spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 3 — Offre, demande et cycles2% Les chiffres sont produits par analysis/python/cases/ch03_cycles.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch03.py34\begin{solution}{ex:3:1}{Stock et flux au Québec}5Le flux brut est $59\,864 / 3\,749\,035 = 1{,}597\,\%$ du stock. Les retraits à \pct{0.5} représentent $0{,}005 \times 3\,749\,035 = 18\,745$ logements, de sorte que le flux net est $59\,864 - 18\,745 = 41\,119$ logements, soit \pct{1.097} du stock. À ce rythme constant, le parc croît d'un facteur $1{,}01097$ par année et atteint $+10\,\%$ après $\ln(1{,}10)/\ln(1{,}01097) = 8{,}7$ années. Le stock stationnaire que ce rythme pourrait entretenir est $C/\delta = 59\,864 / 0{,}005 = 11{,}97$ millions de logements, soit plus de trois fois le parc actuel : ce chiffre n'a aucune vraisemblance à horizon humain, et il montre que l'identité stock-flux ne décrit un équilibre que lorsque le taux de retrait est significatif ; avec un $\delta$ très faible, le parc est presque entièrement hérité du passé et la construction d'une année ne peut le modifier qu'à la marge, ce qui est la raison de l'inélasticité de court terme de l'offre. Il montre aussi que la valeur retenue pour $\delta$, non mesurée officiellement, pèse lourdement sur toute projection de long terme.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:3:2}{Mois d'inventaire}9Les ventes mensuelles moyennes sont les ventes du trimestre divisées par trois. RMR de Québec : $2\,204 / (2\,161/3) = 2\,204 / 720{,}3 = 3{,}06$ mois. RMR de Montréal : $20\,350 / (9\,265/3) = 20\,350 / 3\,088{,}3 = 6{,}59$ mois. RMR de Gatineau : $2\,256 / (1\,044/3) = 2\,256 / 348 = 6{,}48$ mois. Si les ventes montréalaises reculaient de \pct{10}, à $8\,338{,}5$ par trimestre, l'indicateur passerait à $20\,350 / 2\,779{,}5 = 7{,}32$ mois : une baisse de \pct{10} des ventes relève l'inventaire de \pct{11}, parce que l'indicateur est l'inverse du rythme des ventes. Les inscriptions en vigueur sont un stock mesuré à une date (la fin du trimestre) ; les ventes sont un flux par période. Le rapport d'un stock à un flux a la dimension d'un temps, ici le nombre de mois nécessaire pour écouler le stock au rythme courant, à condition que le flux soit exprimé par mois ; la convention adoptée est celle du trimestre de trois mois, les ventes trimestrielles étant divisées par trois. Une autre convention, par exemple les ventes du dernier mois seul, donnerait un indicateur plus volatil et plus sensible à la saisonnalité.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:3:3}{Équilibre des quatre quadrants}13Avec $a = 150\,000$, $b = 3{,}4722$, $i = 0{,}05$, $c_0 = 240\,000$, $c_1 = 48$ et $\delta = 0{,}01$, l'\cref{eq:3:stock-equilibre} donne $b\,i\,c_0 = 3{,}4722 \times 0{,}05 \times 240\,000 = 41\,667$ et $b\,i\,c_1\,\delta = 3{,}4722 \times 0{,}05 \times 48 \times 0{,}01 = 0{,}08333$, d'où $S^{*} = (150\,000 - 41\,667)/1{,}08333 = 100\,000$ logements. Puis $R^{*} = (150\,000 - 100\,000)/3{,}4722 = 14\,400$ \$ par an, $P^{*} = 14\,400/0{,}05 = 288\,000$ \$ et $C^{*} = 0{,}01 \times 100\,000 = 1\,000$ logements par an. Vérification : $(288\,000 - 240\,000)/48 = 1\,000 = C^{*}$ ; les quatre relations sont satisfaites. Si $c_0$ passe à $264\,000$ \$, $b\,i\,c_0 = 45\,833$ et $S^{*} = (150\,000 - 45\,833)/1{,}08333 = 96\,154$ logements ; $R^{*} = (150\,000 - 96\,154)/3{,}4722 = 15\,508$ \$ par an ; $P^{*} = 310\,154$ \$ ; $C^{*} = 962$ logements par an. Le prix d'équilibre augmente de \pct{7.69}, moins que les \pct{10} du seuil de coût, parce que la baisse du stock et la hausse du loyer qu'elle entraîne ne compensent qu'en partie la hausse du coût : une fraction de la hausse des coûts est absorbée par une réduction de la quantité construite. Mais cette hausse de \pct{7.69} s'applique à tout le parc, neuf et ancien, puisque c'est le prix de l'offre nouvelle qui ancre celui des substituts existants.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:3:4}{Baisse des taux : court terme et long terme}17À court terme, le stock et le loyer sont inchangés ($S = 100\,000$, $R = 14\,400$ \$) et le prix devient $P = 14\,400/0{,}04 = 360\,000$ \$, soit $+25\,\%$ ; la construction bondit à $(360\,000 - 240\,000)/48 = 2\,500$ logements par an. À long terme, $b\,i\,c_0 = 3{,}4722 \times 0{,}04 \times 240\,000 = 33\,333$ et $b\,i\,c_1\,\delta = 0{,}06667$, d'où $S^{*} = (150\,000 - 33\,333)/1{,}06667 = 109\,375$ logements ($+9{,}4\,\%$), $R^{*} = (150\,000 - 109\,375)/3{,}4722 = 11\,700$ \$ par an ($-18{,}75\,\%$), $P^{*} = 11\,700/0{,}04 = 292\,500$ \$ ($+1{,}56\,\%$) et $C^{*} = 1\,093{,}75$ logements par an. Le loyer de long terme est inférieur au loyer initial parce que la baisse du taux a relevé le prix au-dessus du coût de construction, ce qui a déclenché une construction supérieure aux retraits ; le stock s'est accru et, la demande d'espace étant inchangée, le loyer qui équilibre le marché de l'espace a dû baisser jusqu'à ce que le prix capitalisé revienne au niveau où la construction ne fait plus que compenser les retraits. Un investisseur qui achèterait au prix de court terme de $360\,000$ \$ en supposant un loyer stable de $14\,400$ \$ verrait son loyer glisser vers $11\,700$ \$ et la valeur de son immeuble vers $292\,500$ \$ : il aurait payé la hausse des prix qui prépare la baisse des loyers. C'est l'argument qui justifie, au \cref{ch:30}, de projeter les loyers en tenant compte de l'offre à venir plutôt que de les extrapoler.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:3:5}{Coût d'usage d'une unifamiliale montréalaise}21Le taux de coût d'usage est $u = 4{,}58 + 0{,}9 + 2{,}5 - 3{,}1 = 4{,}88\,\%$. Le coût annuel est $645\,500 \times 0{,}0488 = 31\,500$ \$, soit $2\,625$ \$ par mois, et le ratio prix/loyer implicite est $1/0{,}0488 = 20{,}5$. Avec une plus-value anticipée de \pct{1.3}, $u = 6{,}68\,\%$, le coût mensuel monte à $3\,593$ \$ et le multiple tombe à $15{,}0$. Avec un taux de \pct{5.58} et $g = 3{,}1\,\%$, $u = 5{,}88\,\%$ et le multiple est $17{,}0$, soit une baisse de \pct{17.0} par rapport à $20{,}5$ : la semi-élasticité $-1/u = -20{,}5$ prévoit $-20{,}5\,\%$ pour une variation infinitésimale, et la variation discrète de 100 points de base donne $-17{,}0\,\%$. Le loyer moyen des appartements de trois chambres et plus de la RMR de Montréal, $1\,626$ \$ en octobre 2025, est très inférieur au coût mensuel de $2\,625$ \$ ; mais la comparaison est fragile : un appartement de trois chambres dans un immeuble locatif n'offre ni la superficie, ni le terrain, ni la localisation moyenne d'une maison médiane, et le loyer SCHL est une moyenne sur l'ensemble du parc, baux anciens compris, alors que le coût d'usage est calculé au prix courant. Lu dans l'autre sens, un loyer de $1\,626$ \$ par mois capitalisé au taux de coût d'usage de \pct{4.88} justifie un prix de $1\,626 \times 12 / 0{,}0488 = 399\,836$ \$, ce qui donne l'ordre de grandeur du prix auquel un ménage serait indifférent entre louer cet appartement et acheter un logement de service équivalent.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:3:6}{Simulation : délais et réactivité}25Les résultats proviennent de la fonction \texttt{sensibilite\_cycle} ($\lambda = 0{,}75$, choc de \pct{6} étalé sur douze trimestres). Référence ($L = 6$, $\kappa = 0{,}48$) : pointe du loyer $+15{,}0\,\%$, creux $-7{,}0\,\%$, inoccupation maximale $5{,}0\,\%$, période 47 trimestres, amortissement $0{,}17$. Délai de douze trimestres et $\kappa = 0{,}24$ : pointe $+16{,}5\,\%$, creux $-5{,}7\,\%$, inoccupation maximale $4{,}2\,\%$, période 76 trimestres, amortissement $0{,}13$ ; le délai long produit un creux marqué même avec une offre deux fois moins réactive, et la période s'allonge à dix-neuf ans. Délai de deux trimestres et $\kappa = 0{,}48$ : pointe $+12{,}0\,\%$, creux $-1{,}2\,\%$, inoccupation maximale $4{,}5\,\%$, période 39 trimestres, amortissement $0{,}01$ ; l'offre rapide élimine presque le second cycle. Note : dans un marché à offre réactive, les promoteurs décident de construire sur la base du prix courant, et le volume mis en chantier au sommet du cycle est d'autant plus grand que le prix a eu le temps de monter avant que les premières livraisons ne viennent le modérer. Une maison individuelle livrée en deux ou trois trimestres arrive sur le marché alors que la pénurie est encore réelle ; elle freine la hausse des loyers et réduit l'incitation à construire davantage. Une tour livrée en douze trimestres arrive après que les loyers ont culminé et, souvent, après que d'autres tours décidées au même moment ont déjà été livrées : l'excédent de stock est plus grand, l'inoccupation plus élevée, le creux des loyers plus profond, et l'arrêt des chantiers qui suit prépare la pénurie du cycle suivant. Le déplacement de la construction québécoise vers les appartements, documenté au \cref{tab:3:types}, accroît donc le délai moyen de livraison et, toutes choses égales d'ailleurs, l'amplitude potentielle des cycles.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:3:7}{Condition d'oscillation}29Pour $L = 1$, l'\cref{eq:3:dynamique} s'écrit $S_{t+1} = (1-\delta) S_t + \kappa (a - S_{t-1}) - c_0/c_1$. L'équilibre stationnaire $S^{*}$ vérifie $S^{*} = (1-\delta) S^{*} + \kappa (a - S^{*}) - c_0/c_1$ ; en soustrayant, l'écart $s_t = S_t - S^{*}$ obéit à $s_{t+1} = (1-\delta) s_t - \kappa s_{t-1}$. Les solutions $s_t = r^{t}$ exigent $r^{2} - (1-\delta) r + \kappa = 0$, dont les racines sont $r = [(1-\delta) \pm \sqrt{(1-\delta)^{2} - 4\kappa}]/2$. Elles sont réelles et positives, donc la convergence est monotone, si $\kappa \le (1-\delta)^{2}/4$ ; complexes conjuguées si $\kappa > (1-\delta)^{2}/4$. Dans ce cas leur produit vaut $\kappa$, donc leur module commun est $\sqrt{\kappa}$, et leur somme $2\sqrt{\kappa}\cos\theta = 1 - \delta$ fixe l'argument $\theta$ ; la solution $s_t = A\kappa^{t/2}\cos(\theta t + \varphi)$ oscille avec la période $2\pi/\theta$ et converge si et seulement si $\kappa < 1$. Pour $\delta = 0{,}01$, le seuil est $(0{,}99)^{2}/4 = 0{,}2450$. Pour $\kappa = 0{,}48$ : module $\sqrt{0{,}48} = 0{,}693$, $\cos\theta = 0{,}99/(2 \times 0{,}693) = 0{,}7145$, $\theta = 0{,}775$ rad, période $2\pi/0{,}775 = 8{,}1$ années. Pour $\kappa = 0{,}30$ : module $0{,}548$, $\cos\theta = 0{,}99/1{,}095 = 0{,}904$, $\theta = 0{,}442$ rad, période $14{,}2$ années : une offre moins réactive donne des oscillations plus amorties et plus lentes. Le marché devient instable lorsque $\kappa = 1/(b\,i\,c_1) > 1$, soit $c_1 < 1/(b\,i) = 1/(3{,}4722 \times 0{,}05) = 5{,}76$ dollars par logement et par unité de rythme annuel ; il commence à osciller lorsque $\kappa > 0{,}2450$, soit $c_1 < 1/(b\,i \times 0{,}2450) = 23{,}5$. Une pente $c_1$ faible, c'est-à-dire une offre qui répond fortement au prix courant, est donc à la fois la condition de l'élasticité de long terme et la source des cycles. La politique qui réduit l'amplitude sans sacrifier l'élasticité n'agit pas sur $c_1$ mais sur le délai $L$ et sur les anticipations : raccourcir les délais d'approbation et de construction, et diffuser l'information sur les logements en construction pour que les promoteurs réagissent au stock à venir plutôt qu'au prix courant, ce que Wheaton (1999) identifie comme le facteur d'amortissement des cycles.30\end{solution}31