spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 35 — Indices immobiliers et ventes répétées2% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch35_indices.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch35.py.34\begin{solution}{ex:35:1}{Médiane et effet de composition}5La médiane varie de $480\,000/450\,000 - 1 = 6{,}67$ \%. L'effet de composition attribuable à la superficie est, avec la forme log-log du modèle de référence, $(150/140)^{0{,}539} - 1 = \exp(0{,}539 \ln 1{,}0714) - 1 = \exp(0{,}03720) - 1 = 3{,}79$ \% : les maisons vendues la seconde année valaient, à prix constants, 3,79 \% de plus par leur seule taille. La variation pure est le rapport des deux facteurs, $1{,}0667 / 1{,}0379 - 1 = 2{,}77$ \%, soit moins de la moitié de la hausse affichée par la médiane. La correction est incomplète : il faudrait connaître, pour les deux années, la répartition des ventes par secteur (la prime d'Aylmer sur Hull vaut 8,9 \% dans le modèle de référence), l'âge médian, la qualité, le type de bâtiment et les équipements ; c'est exactement ce que la décomposition \eqref{eq:35:decomposition} fait pour toutes les caractéristiques à la fois, et ce que la stratification ne fait que pour les strates observées.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:35:2}{Lire un indice à indicatrices temporelles}9Les indices sont $100\exp(\hat\tau_t)$ : 100 ; $100\exp(0{,}031) = 103{,}15$ ; $100\exp(0{,}058) = 105{,}97$ ; $100\exp(0{,}102) = 110{,}74$. La variation entre le deuxième et le troisième trimestre est $\exp(0{,}102 - 0{,}058) - 1 = \exp(0{,}044) - 1 = 4{,}50$ \%, ou de façon équivalente $110{,}74/105{,}97 - 1$. L'intervalle de confiance à 95 \% de l'indice du troisième trimestre est $100\exp(0{,}102 \pm 1{,}96 \times 0{,}021) = [100\exp(0{,}0608) ; 100\exp(0{,}1432)] = [106{,}27 ; 115{,}39]$, soit environ $\pm 4{,}1$ \% autour de 110,74 : avec une erreur-type de 0,021, typique d'un trimestre de 25 à 30 ventes, la hausse du trimestre n'est pas distinguable de zéro au seuil usuel. La différence des $\hat\tau$ donne directement la variation entre deux périodes quelconques parce que le modèle est additif en logarithme : $\ln \E[P \mid \mathbf{x}, 3] - \ln \E[P \mid \mathbf{x}, 2] = \tau_3 - \tau_2$ quel que soit $\mathbf{x}$, de sorte que l'indice est défini sans panier (\cref{def:indice-qualite-constante}).10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:35:3}{L'estimateur BMN à la main}13Les variations logarithmiques sont $y_A = \ln(462/430) = 0{,}0718$, $y_B = \ln(512/470) = 0{,}0856$, $y_C = \ln(540/495) = 0{,}0870$ et $y_D = \ln(455/436) = 0{,}0427$. La période 0 étant omise, $\mathbf{D}$ a deux colonnes (périodes 1 et 2) : A (0 → 1) donne $(1, 0)$ ; B (1 → 2) donne $(-1, 1)$ ; C (0 → 2) donne $(0, 1)$ ; D (0 → 1) donne $(1, 0)$. Alors14\[15\mathbf{D}\T\mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad16\mathbf{D}\T\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 0{,}0718 - 0{,}0856 + 0{,}0427 \\ 0{,}0856 + 0{,}0870 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}0288 \\ 0{,}1726 \end{pmatrix}.17\]18La diagonale compte les paires qui touchent chaque période (trois pour la période 1, deux pour la période 2) et l'élément hors diagonale est l'opposé du nombre de paires reliant 1 et 2 (une, la paire B). L'inverse est $\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, d'où $\hat\tau_1 = (2 \times 0{,}0288 + 0{,}1726)/5 = 0{,}0461$ et $\hat\tau_2 = (0{,}0288 + 3 \times 0{,}1726)/5 = 0{,}1093$ ; l'indice vaut $100\exp(0{,}0461) = 104{,}71$ en période 1 et $100\exp(0{,}1093) = 111{,}55$ en période 2. Les résidus sont $y - \mathbf{D}\hat{\boldsymbol\tau}$ : $0{,}0257$ (A), $0{,}0223$ (B), $-0{,}0223$ (C), $-0{,}0034$ (D) ; leur produit avec la première colonne de $\mathbf{D}$ donne $0{,}0257 - 0{,}0223 - 0{,}0034 = 0$ et avec la seconde $0{,}0223 - 0{,}0223 = 0$, comme l'exigent les équations normales. Sans la paire B, aucune paire ne relierait la période 1 à la période 2 : $\mathbf{D}\T\mathbf{D}$ deviendrait diagonale, $\hat\tau_1$ serait la moyenne de $y_A$ et $y_D$ (0,0573) et $\hat\tau_2$ vaudrait $y_C$ (0,0870) ; les deux périodes seraient estimées indépendamment l'une de l'autre, chacune par rapport à la période 0 seulement, et la précision de la période 2, fondée sur une seule paire, serait nulle. Le graphe des périodes resterait connexe grâce à la période 0, mais à peine.19\end{solution}2021\begin{solution}{ex:35:4}{Variance et poids de Case--Shiller}22La variance $\hat a_0 + \hat a_1\Delta$ vaut 0,0157 (1 trimestre), 0,0193 (4), 0,0241 (8) et 0,0289 (12), soit des écarts-types de 12,53 \%, 13,89 \%, 15,52 \% et 17,00 \%. Les poids $\hat w_j = 1/\sqrt{\text{var}}$ sont 7,98 ; 7,20 ; 6,44 ; 5,88, et les poids relatifs à une paire d'un trimestre $\sqrt{0{,}0157/\text{var}}$ : 1 ; 0,902 ; 0,807 ; 0,737. Une paire de douze trimestres compte donc pour les trois quarts d'une paire d'un trimestre dans la régression pondérée. Les paramètres structurels sont $\hat\sigma = \sqrt{\hat a_0 / 2} = \sqrt{0{,}00725} = 0{,}0851$, le bruit de transaction par vente, et $\hat\delta = \sqrt{\hat a_1} = \sqrt{0{,}0012} = 0{,}0346$ par racine de trimestre, la dérive idiosyncrasique, soit un écart-type de $0{,}0346\sqrt{12} = 12$ \% de la valeur d'un immeuble par rapport au marché après trois ans. Si l'échantillon contenait de nombreuses reventes rénovées à court intervalle, leurs variations anormalement grandes gonfleraient les carrés des résidus aux petits $\Delta$ et abaisseraient la pente, qui pourrait devenir négative, comme dans l'exemple intégral ($\hat a_1 = -0{,}00023$ sur toutes les paires, $+0{,}00053$ sans les reventes rénovées) ; une pente négative est un signal de contamination des courts intervalles, non une propriété du marché.23\end{solution}2425\begin{solution}{ex:35:5}{Un indice SPAR sur dix ventes}26La somme des prix est $5\,094\,000$ \$ et celle des valeurs au rôle $4\,716\,000$ \$, d'où un rapport arithmétique de $1{,}0802$. Les rapports individuels sont 1,0894 ; 1,0365 ; 1,1028 ; 1,0471 ; 1,1042 ; 1,0417 ; 1,1275 ; 1,0341 ; 1,0945 ; 1,1083, et la moyenne de leurs logarithmes vaut 0,0752, d'où un rapport géométrique de $\exp(0{,}0752) = 1{,}0781$ ; la différence avec le rapport arithmétique tient à ce que celui-ci pondère chaque immeuble par sa valeur. L'indice SPAR du trimestre est $100 \times 1{,}0802 / 1{,}045 = 103{,}36$ en version arithmétique et $100 \times 1{,}0781 / 1{,}045 = 103{,}16$ en version géométrique : les prix ont monté d'environ 3,2 à 3,4 \% depuis le trimestre de base, à qualité constante au sens du rôle. Avant de s'y fier, il faut vérifier l'uniformité du rôle par les statistiques de ratio du \cref{ch:18} : un COD raisonnable (dispersion des rapports) et surtout un PRD proche de 1 et un PRB proche de 0, faute de quoi le rapport prix/valeur dépend du niveau de valeur et la composition des ventes par gamme de prix réapparaît dans l'indice.27\end{solution}2829\begin{solution}{ex:35:6}{L'ajustement de conditions du marché selon l'indice}30Avec $A = P\,(I_{2026\mathrm{T}3}/I_{2025\mathrm{T}2} - 1)$ et les valeurs du \cref{tab:35:indices} : hédonique, $506\,500 \times (122{,}04/112{,}13 - 1) = \dollars{44760}$ ($+8{,}84$ \%) ; BMN, $506\,500 \times (120{,}68/113{,}42 - 1) = \dollars{32406}$ ($+6{,}40$ \%) ; Case--Shiller, $506\,500 \times (120{,}48/113{,}25 - 1) = \dollars{32359}$ ($+6{,}39$ \%) ; médiane, $506\,500 \times (128{,}63/118{,}35 - 1) = \dollars{44009}$ ($+8{,}69$ \%) ; tendance, $506\,500 \times [\exp(0{,}00364 \times 15{,}2) - 1] = 506\,500 \times 0{,}0568 = \dollars{28774}$ ($+5{,}68$ \%), la vérité de génération étant de \dollars{28558}. Le classement va de la tendance (la plus basse et la plus proche de la vérité) aux ventes répétées, puis à la médiane et à l'indice hédonique. L'écart de \dollars{16000} entre l'indice hédonique et la tendance estimée sur les mêmes 600 ventes vient entièrement du dernier trimestre : 2026T3 ne compte que 22 ventes, son indicatrice a une erreur-type de 0,018 et sa valeur, 122,04, se situe 5 \% au-dessus de la tendance, à l'intérieur de son propre intervalle de confiance $[117{,}72 ; 126{,}52]$, qui contient aussi la tendance (116,5). Rien, statistiquement, ne distingue les deux lectures ; la tendance emprunte sa précision à l'ensemble de la période, l'indicatrice n'a que 22 ventes. Paragraphe type : « L'ajustement de conditions du marché est fondé sur la variation des prix des unifamiliales du secteur entre mai 2025 et septembre 2026, estimée à 5,7 \% par la tendance d'un modèle hédonique estimé sur 600 ventes de janvier 2023 à août 2026 (0,364 \% par mois). Les indices trimestriels construits sur les mêmes ventes (indicatrices : 8,8 \% ; ventes répétées : 6,4 \%) et la médiane de l'APCIQ pour le secteur encadrent ce taux ; la dispersion de ces mesures, de 5 à 9 \%, est intégrée à la fourchette de valeur. Le dernier trimestre repose sur 22 ventes et sa valeur est susceptible de révision. »31\end{solution}3233\begin{solution}{ex:35:7}{Révision et filtres : expérience sur le script}34(a) Avec \texttt{PART\_FLIP} $= 0$, aucune paire n'est rénovée : la hausse totale BMN se rapproche de celle de l'oracle de l'exemple (18,4 \% pour une vérité de 16,4 \% ; l'écart restant est le bruit d'échantillonnage de quelque 170 paires) et la pente $\hat a_1$ redevient positive, de l'ordre de $+0{,}0005$ par trimestre, du signe de la loi de génération ($\delta^2 = 0{,}0012$). Avec 0,30, près d'une paire sur trois est rénovée : la hausse mesurée dépasse la vérité de plusieurs points de plus qu'avec 0,15 (où le biais imputable aux reventes rénovées était de 2,3 points, 20,7 \% contre 18,4 \%), et la pente $\hat a_1$ devient franchement négative, puisque les courts intervalles concentrent les grandes variations. Les valeurs exactes dépendent de la graine et doivent être lues dans la sortie du script. (b) Le filtre à 12 mois élimine, dans cette simulation, toutes les reventes rénovées (intervalles de 3 à 9 mois) et supprime donc le biais quelle que soit leur part, au prix de la perte de plus de la moitié des paires ; le filtre à 18 mois ne laisse qu'une quarantaine de paires et l'écart absolu moyen double (6,56 points contre 2,76 dans l'exemple) : le biais est éliminé mais la variance l'emporte. Le seuil doit être proportionné à l'échantillon. (c) Les millésimes reproduisent la \cref{fig:35:revision} : l'indice de 2025T2 passe de 116,39 (110 paires connues en 2025T2) à 114,69 (158 paires en 2025T4) puis à 113,42 (220 paires en 2026T3). La révision est systématiquement à la baisse parce que les paires disponibles à une date donnée sont celles dont la seconde vente est déjà survenue, donc les intervalles courts, où les reventes rénovées (à prime positive) sont surreprésentées ; les paires ordinaires d'intervalle long arrivent ensuite et corrigent l'indice vers le bas. Note attendue : le producteur devrait publier, pour chaque millésime, le nombre de paires par période, les filtres appliqués (seuils d'intervalle, de variation, d'exclusion), la variance estimée des résidus et sa relation à l'intervalle, l'intervalle de confiance de chaque valeur, et l'historique des révisions des douze derniers mois, afin que l'utilisateur sache quelle confiance accorder à la dernière valeur, celle que l'ajustement de conditions du marché utilise.35\end{solution}3637\begin{solution}{ex:35:8}{Dérivations : imputation, moyenne géométrique et estimateur arithmétique}38(a) Si $\hat p_t(\mathbf{x}) - \hat p_0(\mathbf{x}) = \hat\tau_t$ pour tout $\mathbf{x}$, chaque terme des moyennes de l'\cref{eq:35:imputation} vaut $\hat\tau_t$, donc $\ln \hat I^{\,L}_t = \ln \hat I^{\,P}_t = \ln \hat I^{\,F}_t = \hat\tau_t$ et les trois indices valent $100\exp(\hat\tau_t)$. Avec des coefficients propres à chaque période, $\hat p_t(\mathbf{x}) - \hat p_0(\mathbf{x}) = (\hat\alpha_t - \hat\alpha_0) + \mathbf{x}\T(\hat{\boldsymbol\beta}_t - \hat{\boldsymbol\beta}_0)$ dépend de $\mathbf{x}$ ; la moyenne sur le panier de base donne $(\hat\alpha_t - \hat\alpha_0) + \bar{\mathbf{x}}_0\T(\hat{\boldsymbol\beta}_t - \hat{\boldsymbol\beta}_0)$ et celle sur le panier courant remplace $\bar{\mathbf{x}}_0$ par $\bar{\mathbf{x}}_t$ ; leur différence, $(\bar{\mathbf{x}}_t - \bar{\mathbf{x}}_0)\T(\hat{\boldsymbol\beta}_t - \hat{\boldsymbol\beta}_0)$, est l'interaction entre le changement de composition et le changement des prix implicites, nulle si l'un des deux est nul. (b) Avec deux périodes et toutes les paires de 0 vers 1, $\mathbf{D}$ est un vecteur de $n$ uns, $\mathbf{D}\T\mathbf{D} = n$ et $\hat\tau_1 = \frac{1}{n}\sum_j \ln(P_{j2}/P_{j1})$ ; donc $\exp(\hat\tau_1) = \left(\prod_j P_{j2}/P_{j1}\right)^{1/n}$, la moyenne géométrique des rapports. (c) Les rapports sont 1,10 et 1,15. Indice géométrique : $\sqrt{1{,}10 \times 1{,}15} = 1{,}1247$, soit $+12{,}47$ \% ; moyenne arithmétique des rapports : $(1{,}10 + 1{,}15)/2 = 1{,}125$, soit $+12{,}50$ \%, supérieure de 0,03 point par l'inégalité de Jensen (demi-variance des rapports, $0{,}025^2/2 \approx 0{,}0003$) ; indice arithmétique pondéré par la valeur : $(110\,000 + 230\,000)/(100\,000 + 200\,000) = 340/300 = 1{,}1333$, soit $+13{,}33$ \%. Le premier répond à la question « de combien le prix de la maison type a-t-il varié ? » (chaque immeuble compte pour un) ; le second est une moyenne simple des variations individuelles, voisine du premier quand les variations sont peu dispersées ; le troisième répond à « de combien la valeur d'un portefeuille formé de ces maisons a-t-elle varié ? » et donne plus de poids à la maison chère, qui s'est ici le plus appréciée. C'est la question pertinente pour un indice financier, celle de \textcite{shiller1991}, non pour l'ajustement d'un comparable.39\end{solution}40