spb/traite-evaluation-qc

1\chapter{Modèles bayésiens et intervalles}\label{ch:39}23Les chapitres précédents ont estimé la valeur d'un immeuble par des méthodes qui traitent les paramètres du marché, prix implicites, primes de secteur, dispersion des prix, comme des constantes inconnues et les données comme la seule source d'information à leur sujet. Cette posture est confortable lorsque les ventes se comptent par centaines ; elle devient intenable dans les situations que l'évaluateur rencontre le plus souvent en pratique : une municipalité où trois maisons se sont vendues cette année, un secteur dont il connaît le niveau de prix par expérience mais pas par des données récentes, un immeuble atypique dont les substituts se trouvent dans un autre marché. Dans tous ces cas, l'évaluateur combine ce que les données disent et ce qu'il savait déjà, et il le fait aujourd'hui de manière informelle, au moment de la réconciliation. L'inférence bayésienne donne à cette combinaison une forme explicite, vérifiable et reproductible : l'information antérieure est une distribution de probabilité, les données la mettent à jour selon une règle unique, et le résultat est une distribution de la valeur dont les intervalles se lisent exactement comme le client les comprend. Le présent chapitre développe ce cadre pour la régression hédonique du \cref{ch:18}, d'abord sous sa forme conjuguée, où tout se calcule en forme fermée, puis sous une forme hiérarchique où les effets de secteur sont tirés d'une distribution commune et où les secteurs pauvres en ventes empruntent de la force aux autres. Il construit les outils de calcul nécessaires, un échantillonneur de Gibbs et ses diagnostics, avec les seules bibliothèques numériques de base, et il confronte, sur le dossier de Gatineau, l'intervalle de crédibilité bayésien à l'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}.45\begin{objectifs}6À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :7\begin{itemize}8\item expliquer en quoi l'inférence bayésienne répond aux trois difficultés propres à l'évaluation que sont les petits échantillons, l'information d'expert et l'interprétation des intervalles, et distinguer un intervalle de crédibilité d'un intervalle de confiance ;9\item dériver la postérieure normale--inverse-gamma de la régression linéaire bayésienne et la distribution prédictive de Student qui en découle, puis choisir un a priori de référence, faiblement informatif ou informatif et en mesurer l'effet ;10\item formuler un modèle hiérarchique à effets de secteur aléatoires, dériver la formule de rétrécissement et situer ce modèle entre le regroupement complet et les effets fixes ;11\item écrire les conditionnelles complètes d'un échantillonneur de Gibbs, l'implémenter, diagnostiquer sa convergence par la statistique $\hat R$ et la taille d'échantillon effective, et reconnaître les causes d'un mélange lent ;12\item calculer la distribution prédictive de la valeur d'un sujet, en tirer des intervalles de crédibilité à 90 et 95 \%, et comparer les modèles par le WAIC ou la validation croisée sans réestimation ;13\item exposer les limites de l'approche, du choix de l'a priori à la communication devant un tribunal, et documenter un modèle bayésien dans un rapport.14\end{itemize}15\end{objectifs}1617\section{Pourquoi le bayésien en évaluation}\label{sec:39:pourquoi}1819\subsection{Trois difficultés que l'inférence classique traite mal}2021La première difficulté est celle des \motcle{marchés minces}. Le \cref{ch:16} a montré, à propos des biens atypiques et des petites municipalités, que les filtres habituels de sélection ne laissent parfois aucun comparable, et il a proposé trois stratégies : relâcher les filtres, décomposer le bien, ou recourir à un modèle hédonique estimé sur un territoire plus large. La troisième stratégie pose immédiatement une question que l'analyse classique ne sait pas poser : dans quelle mesure les prix implicites estimés à Hull sur deux cents ventes s'appliquent-ils à Masson-Angers, où l'on en compte quarante-sept, ou à une municipalité voisine où l'on en compte cinq ? Les moindres carrés estimés sur les cinq ventes locales donnent des coefficients absurdes ; les moindres carrés estimés sur l'ensemble du territoire ignorent ce que les cinq ventes locales ont de particulier. Entre tout et rien, il faut une règle de dosage, et c'est précisément ce que fournit une distribution a priori.2223La deuxième difficulté est celle de l'\motcle{information d'expert}. L'évaluateur qui travaille depuis quinze ans dans un secteur sait qu'une place de garage y vaut entre trois et cinq pour cent du prix, que le mètre carré supplémentaire vaut moins dans les grandes maisons, que tel quartier se négocie dix pour cent au-dessous de tel autre. Les normes professionnelles lui demandent d'ailleurs d'exercer ce jugement, et le \cref{ch:20} montre qu'il le fait au moment de pondérer les indications de valeur. Mais ce savoir n'entre nulle part dans une régression classique : ou bien il est ignoré, ou bien il sert, après coup et sans règle, à écarter un résultat jugé invraisemblable. L'inférence bayésienne lui donne une place formelle, celle d'une distribution a priori dont la précision mesure la confiance que l'évaluateur lui accorde, et une règle de combinaison avec les données qui ne dépend pas de son humeur.2425La troisième difficulté tient à l'\motcle{interprétation des intervalles}. L'intervalle de prédiction à 95 \% du \cref{ch:18}, de \dollars{539682} à \dollars{749087}, a une définition fréquentiste précise : si l'on répétait l'échantillonnage des 600 ventes un grand nombre de fois et que l'on recalculait l'intervalle à chaque fois, 95 \% de ces intervalles contiendraient le prix du sujet. Cette définition porte sur la procédure, non sur l'intervalle obtenu ; elle ne dit pas que le prix du sujet a 95 \% de chances de se trouver entre ces deux bornes, ce que pourtant tout lecteur du rapport comprend, et ce que l'évaluateur lui-même veut dire. L'intervalle de crédibilité bayésien dit exactement cela : conditionnellement aux données et au modèle, la probabilité que le prix se situe dans l'intervalle est de 95 \%. La différence n'est pas une subtilité de philosophes. Devant un tribunal ou un comité de crédit, c'est la seconde formulation que l'on attend de l'expert, et c'est la seule que la théorie bayésienne autorise à prononcer.2627\subsection{Le théorème de Bayes et le vocabulaire}2829Soit $\boldsymbol\theta$ le vecteur des quantités inconnues, coefficients, variances, effets de secteur, et $\mathbf{y}$ les données observées, ici les logarithmes des prix. L'inférence bayésienne repose sur trois distributions. La \motcle{distribution a priori} $p(\boldsymbol\theta)$ résume ce que l'on sait des paramètres avant d'observer les données. La \motcle{vraisemblance} $p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)$ est le modèle statistique, le même que dans l'analyse classique. La \motcle{distribution a posteriori} $p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y})$ résume ce que l'on sait après, et le théorème de Bayes la calcule :30\begin{equation}\label{eq:39:bayes}31p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y}) = \frac{p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta)}{p(\mathbf{y})} \propto p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta), \qquad p(\mathbf{y}) = \int p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta)\, \dd\boldsymbol\theta .32\end{equation}33Le dénominateur, la \emph{vraisemblance marginale}, ne dépend pas de $\boldsymbol\theta$ et sert de constante de normalisation ; il n'intervient que lorsque l'on compare des modèles entre eux. La quantité qui intéresse l'évaluateur n'est pas la postérieure des paramètres mais celle d'une observation future, le prix $y^{*}$ auquel le sujet de caractéristiques $\mathbf{x}^{*}$ se vendrait. C'est la \motcle{distribution prédictive a posteriori},34\begin{equation}\label{eq:39:predictive-def}35p(y^{*} \mid \mathbf{y}) = \int p(y^{*} \mid \boldsymbol\theta, \mathbf{x}^{*})\, p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y})\, \dd\boldsymbol\theta ,36\end{equation}37qui moyenne la distribution du prix futur, à paramètres donnés, sur l'incertitude qui subsiste quant aux paramètres. Elle contient donc les deux composantes que le \cref{ch:18} additionnait séparément, le bruit de transaction et l'erreur d'estimation des coefficients, et elle les intègre au lieu de les additionner, ce qui fait une différence dès que l'échantillon est petit.3839\begin{definition}{Intervalle de crédibilité}{39-credibilite}40Un \motcle{intervalle de crédibilité} au niveau $1 - a$ pour une quantité $\phi$ (paramètre, effet de secteur ou prix futur) est un intervalle $[\ell, u]$ tel que $\Pr(\ell \leq \phi \leq u \mid \mathbf{y}) = 1 - a$ sous la distribution a posteriori. L'intervalle \emph{à queues égales} place $a/2$ de la probabilité de chaque côté ; l'intervalle \emph{de plus haute densité} est le plus court de tous les intervalles de niveau $1 - a$. Les deux coïncident lorsque la postérieure est symétrique et unimodale, et c'est le premier que l'ouvrage utilise, parce qu'il se transporte sans changement à travers une transformation monotone telle que l'exponentielle.41\end{definition}4243Le \cref{tab:39:vocabulaire} met en regard les notions fréquentistes des chapitres précédents et leurs correspondants bayésiens. La correspondance est étroite, et c'est heureux : le lecteur qui maîtrise le \cref{ch:18} retrouvera chaque objet sous un nom voisin. La différence profonde porte sur ce qui est aléatoire. Dans l'analyse classique, les paramètres sont fixes et les données aléatoires ; les probabilités portent sur des échantillons hypothétiques. Dans l'analyse bayésienne, les données sont fixes, une fois observées, et ce sont les paramètres, inconnus, qui reçoivent une distribution de probabilité ; les probabilités expriment un état de connaissance.4445\begin{table}[htbp]46\caption{Correspondance entre le vocabulaire fréquentiste des chapitres 18 à 20 et le vocabulaire bayésien}\label{tab:39:vocabulaire}47\centering\small48\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}49\toprule50Objet & Lecture fréquentiste & Lecture bayésienne \\51\midrule52Paramètre $\beta_k$ & constante inconnue ; $\hat\beta_k$ est une variable aléatoire & variable aléatoire ; les données sont fixes \\53Estimation ponctuelle & $\hat\beta_k$ (MCO, maximum de vraisemblance) & moyenne, médiane ou mode a posteriori \\54Précision & erreur-type de $\hat\beta_k$ & écart-type a posteriori \\55Intervalle & de confiance : couvre $\beta_k$ dans 95 \% des échantillons répétés & de crédibilité : contient $\beta_k$ avec probabilité 0,95 étant donné les données \\56Prédiction d'un prix & intervalle de prédiction : $\hat\sigma^2 + \mathbf{x}\T\hat V\mathbf{x}$, loi normale & distribution prédictive : intègre sur la postérieure ; loi de Student dans le cas conjugué \\57Information externe & absente, ou appliquée après coup (jugement) & distribution a priori, mise à jour par le théorème de Bayes \\58Choix de modèle & $R^2$ ajusté, AIC, validation croisée & vraisemblance marginale, WAIC, validation croisée par importance \\59Retransformation en niveau & facteur de Duan sur $\exp(\hat y)$ & implicite : la prédictive du prix s'obtient en exponentiant chaque tirage \\60\bottomrule61\end{tabularx}62\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{gelman2013} et \textcite{koop2003}.}63\end{table}6465\subsection{L'évaluateur bayésien sans le savoir}6667Le cas le plus simple suffit à montrer que la réconciliation pratiquée au \cref{ch:20} est déjà une mise à jour bayésienne. Supposons que l'évaluateur cherche le prix au mètre carré $\mu$ d'un segment de marché et qu'il dispose, d'une part, d'une opinion antérieure fondée sur son expérience, qu'il traduit par une loi normale $\mu \sim \mathcal N(m_0, s_0^2)$, et, d'autre part, de $n$ ventes dont les prix unitaires $y_i$ sont distribués autour de $\mu$ avec un écart-type $\sigma$ connu. La vraisemblance des données ne dépend que de la moyenne $\bar y$, et la postérieure est de nouveau normale :68\begin{equation}\label{eq:39:normale-normale}69\begin{aligned}70\mu \mid \mathbf{y} &\sim \mathcal N\!\left(m_n, s_n^2\right), \qquad71\frac{1}{s_n^2} = \frac{1}{s_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}, \\72m_n &= s_n^2\left(\frac{m_0}{s_0^2} + \frac{n\,\bar y}{\sigma^2}\right) = w\,\bar y + (1 - w)\, m_0, \qquad w = \frac{n/\sigma^2}{n/\sigma^2 + 1/s_0^2} .73\end{aligned}74\end{equation}75La moyenne a posteriori est une moyenne pondérée de la moyenne des ventes et de l'opinion antérieure, les poids étant les précisions, c'est-à-dire les inverses des variances. C'est, mot pour mot, la règle de pondération optimale de la \cref{prop:indication} du \cref{ch:16} appliquée à deux indications : les ventes, de variance $\sigma^2/n$, et le jugement, de variance $s_0^2$. L'évaluateur qui écrit qu'il « accorde plus de poids aux comparables, mais tempère leur indication par sa connaissance du secteur » applique l'\cref{eq:39:normale-normale} sans l'écrire ; la version explicite a l'avantage de dire \emph{combien} il tempère, et de faire décroître automatiquement le poids du jugement à mesure que les ventes s'accumulent. La précision a priori $1/s_0^2$ s'interprète comme un nombre de ventes équivalent, $n_0 = \sigma^2/s_0^2$ : un expert dont l'opinion vaut quatre ventes du marché a un $s_0$ égal à la moitié de $\sigma$. L'\cref{ex:39:1} applique cette formule à un marché mince ; le reste du chapitre la généralise à la régression, où $\mu$ devient un vecteur de coefficients et $\sigma^2$ une inconnue de plus.7677\section{La régression linéaire bayésienne conjuguée}\label{sec:39:conjugue}7879\subsection{Le modèle et l'a priori normale--inverse-gamma}8081Reprenons le modèle hédonique de référence sous la forme matricielle du \cref{ch:18} : $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon$, avec $\mathbf{y}$ le vecteur des $n$ logarithmes de prix, $\mathbf{X}$ la matrice $n \times k$ des régresseurs de \texttt{traite.cas1.matrice} et $\boldsymbol\varepsilon \sim \mathcal N(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I})$. Les inconnues sont $\boldsymbol\theta = (\boldsymbol\beta, \sigma^2)$. Un a priori est dit \motcle{conjugué} lorsque la postérieure appartient à la même famille que lui ; pour la régression normale, cette famille est la loi \motcle{normale--inverse-gamma} (NIG), qui s'écrit en deux étages :82\begin{equation}\label{eq:39:nig-prior}83\sigma^2 \sim \mathcal{IG}(a_0, b_0), \qquad \boldsymbol\beta \mid \sigma^2 \sim \mathcal N\!\left(\mathbf{m}_0, \sigma^2 \mathbf{V}_0\right),84\end{equation}85où la loi inverse-gamma a pour densité $p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-(a_0 + 1)} \exp(-b_0/\sigma^2)$, d'espérance $b_0/(a_0 - 1)$ pour $a_0 > 1$. Le conditionnement de $\boldsymbol\beta$ par $\sigma^2$ n'est pas une coquetterie : il exprime que l'incertitude sur les prix implicites est proportionnelle à la dispersion du marché, et c'est lui qui rend le calcul fermé. Les quatre hyperparamètres ont une lecture directe. Le vecteur $\mathbf{m}_0$ est le centre de l'opinion antérieure sur les coefficients ; la matrice $\mathbf{V}_0$ en mesure l'imprécision, en unités de $\sigma^2$, et son inverse $\mathbf{V}_0^{-1}$ joue le rôle d'une matrice $\mathbf{X}_0\T\mathbf{X}_0$ d'observations fictives ; $a_0$ et $b_0$ sont, respectivement, la moitié d'un nombre de degrés de liberté antérieurs et la moitié d'une somme de carrés antérieure. Un a priori NIG équivaut donc à un échantillon antérieur de $2a_0$ observations de somme des carrés des résidus $2b_0$, dont les régresseurs auraient pour matrice de produits croisés $\mathbf{V}_0^{-1}$ et pour estimation $\mathbf{m}_0$. Cette lecture, due à \textcite{koop2003} dans la tradition de Zellner, est le meilleur guide pour fixer un a priori : on se demande quel échantillon fictif on serait prêt à ajouter aux données.8687\subsection{Dérivation de la postérieure}8889\begin{proposition}{Postérieure normale--inverse-gamma}{39-posterieure}90Sous le modèle normal et l'a priori \eqref{eq:39:nig-prior}, la postérieure est NIG de paramètres91\begin{equation}\label{eq:39:posterieure}92\begin{aligned}93\mathbf{V}_n &= \left(\mathbf{V}_0^{-1} + \mathbf{X}\T\mathbf{X}\right)^{-1}, &94\mathbf{m}_n &= \mathbf{V}_n\left(\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 + \mathbf{X}\T\mathbf{y}\right), \\95a_n &= a_0 + \frac{n}{2}, &96b_n &= b_0 + \frac{1}{2}\left(\mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 - \mathbf{m}_n\T\mathbf{V}_n^{-1}\mathbf{m}_n\right).97\end{aligned}98\end{equation}99La loi marginale a posteriori de $\boldsymbol\beta$ est une loi de Student multivariée à $2a_n$ degrés de liberté, de centre $\mathbf{m}_n$ et de matrice d'échelle $(b_n/a_n)\mathbf{V}_n$ ; chaque coefficient a pour écart-type a posteriori $\sqrt{(b_n/(a_n - 1))\,[\mathbf{V}_n]_{kk}}$.100\end{proposition}101\begin{proof}102Le produit de la vraisemblance et de l'a priori s'écrit, à une constante près,103\begin{align*}104p(\boldsymbol\beta, \sigma^2 \mid \mathbf{y}) \propto{}& (\sigma^2)^{-n/2}\exp\!\left[-\frac{(\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta)\T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta)}{2\sigma^2}\right]105(\sigma^2)^{-k/2}\exp\!\left[-\frac{(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_0)\T\mathbf{V}_0^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_0)}{2\sigma^2}\right] \\106&\times (\sigma^2)^{-(a_0+1)}\exp\!\left[-\frac{b_0}{\sigma^2}\right].107\end{align*}108Les deux formes quadratiques en $\boldsymbol\beta$ se regroupent. En développant, leur somme vaut $\boldsymbol\beta\T(\mathbf{X}\T\mathbf{X} + \mathbf{V}_0^{-1})\boldsymbol\beta - 2\boldsymbol\beta\T(\mathbf{X}\T\mathbf{y} + \mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0) + \mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0$. Avec les définitions de $\mathbf{V}_n$ et de $\mathbf{m}_n$, on complète le carré : cette somme égale $(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)\T\mathbf{V}_n^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n) + \mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 - \mathbf{m}_n\T\mathbf{V}_n^{-1}\mathbf{m}_n$, dont le premier terme donne le noyau d'une normale $\mathcal N(\mathbf{m}_n, \sigma^2\mathbf{V}_n)$ pour $\boldsymbol\beta \mid \sigma^2$ et dont le reste, divisé par $2\sigma^2$, s'ajoute à $b_0/\sigma^2$ pour former $b_n/\sigma^2$. Les puissances de $\sigma^2$ se regroupent en $(\sigma^2)^{-(a_0 + n/2 + 1)}$ une fois le facteur $(\sigma^2)^{-k/2}$ absorbé par la normalisation de la normale en $\boldsymbol\beta$, d'où $a_n$. La marginale de $\boldsymbol\beta$ s'obtient en intégrant $\sigma^2$ : l'intégrale d'une densité normale en $\boldsymbol\beta$ contre une inverse-gamma en $\sigma^2$ est une loi de Student de degrés de liberté $2a_n$, ce que l'on vérifie en reconnaissant, dans $\int (\sigma^2)^{-(a_n + k/2 + 1)}\exp[-(b_n + \tfrac12 Q)/\sigma^2]\,\dd\sigma^2 \propto (b_n + \tfrac12 Q)^{-(a_n + k/2)}$, avec $Q = (\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)\T\mathbf{V}_n^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)$, le noyau $[1 + Q/(2b_n)]^{-(2a_n + k)/2}$ d'une Student multivariée. La variance d'une Student d'échelle $s$ et de $\nu$ degrés de liberté est $s^2\nu/(\nu - 2)$, d'où l'écart-type annoncé.109\end{proof}110111Trois lectures de l'\cref{eq:39:posterieure} éclairent la pratique. D'abord, la moyenne a posteriori $\mathbf{m}_n$ est une moyenne matricielle pondérée de l'opinion antérieure et de l'estimation MCO : en écrivant $\mathbf{X}\T\mathbf{y} = \mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}$, on obtient $\mathbf{m}_n = \mathbf{V}_n(\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 + \mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})$, généralisation directe de l'\cref{eq:39:normale-normale} où les précisions sont devenues des matrices. Ensuite, la postérieure ne dépend des données que par $\mathbf{X}\T\mathbf{X}$, $\mathbf{X}\T\mathbf{y}$ et $\mathbf{y}\T\mathbf{y}$, qui s'additionnent d'un échantillon à l'autre : la postérieure obtenue après un premier lot de ventes, prise comme a priori d'un second lot, donne exactement la postérieure que l'on aurait obtenue en traitant les deux lots ensemble. Cette \emph{cohérence séquentielle} est ce qui autorise à faire d'un marché voisin, ou d'une période antérieure, la source d'un a priori ; l'exemple intégral la vérifie numériquement. Enfin, lorsque l'a priori s'efface, le résultat classique réapparaît.112113\begin{proposition}{A priori de référence et moindres carrés}{39-reference}114Sous l'a priori impropre de référence $p(\boldsymbol\beta, \sigma^2) \propto 1/\sigma^2$, cas limite de \eqref{eq:39:nig-prior} où $\mathbf{V}_0^{-1} \to \mathbf{0}$, $a_0 \to -k/2$ et $b_0 \to 0$, la postérieure est NIG de paramètres $\mathbf{V}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$, $\mathbf{m}_n = \hat{\boldsymbol\beta}$, $a_n = (n - k)/2$ et $b_n = \mathit{SCR}/2$, où $\mathit{SCR}$ est la somme des carrés des résidus MCO. La moyenne a posteriori de $\sigma^2$ est $\mathit{SCR}/(n - k - 2)$, et la marginale de chaque coefficient est une Student à $n - k$ degrés de liberté centrée sur $\hat\beta_k$, d'échelle égale à l'erreur-type classique.115\end{proposition}116\begin{proof}117En annulant $\mathbf{V}_0^{-1}$ dans \eqref{eq:39:posterieure}, $\mathbf{V}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$ et $\mathbf{m}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{y} = \hat{\boldsymbol\beta}$ ; alors $\mathbf{y}\T\mathbf{y} - \hat{\boldsymbol\beta}\T\mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})\T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}) = \mathit{SCR}$ par orthogonalité des résidus aux colonnes de $\mathbf{X}$, et $a_n = -k/2 + n/2$. L'échelle de la Student est $\sqrt{(b_n/a_n)[\mathbf{V}_n]_{kk}} = \sqrt{\mathit{SCR}/(n-k)\,[(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}]_{kk}}$, l'erreur-type classique de l'\cref{eq:18:mco}.118\end{proof}119120Cette proposition est la clé de voûte du chapitre : l'analyse bayésienne de référence et l'analyse classique produisent les mêmes nombres, à ceci près que les intervalles de la première se lisent comme des probabilités sur les paramètres. L'inférence bayésienne ne commence à différer que lorsque l'a priori contient de l'information, ou lorsque le modèle devient hiérarchique.121122\subsection{La distribution prédictive de Student}123124\begin{proposition}{Prédictive conjuguée}{39-predictive}125Sous la postérieure NIG$(\mathbf{m}_n, \mathbf{V}_n, a_n, b_n)$, le logarithme du prix $y^{*}$ d'un immeuble de caractéristiques $\mathbf{x}^{*}$ suit a posteriori une loi de Student126\begin{equation}\label{eq:39:predictive}127y^{*} \mid \mathbf{y} \sim t_{2a_n}\!\left(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n,\ \frac{b_n}{a_n}\left(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*}\right)\right),128\end{equation}129de centre $\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n$ et d'échelle au carré $(b_n/a_n)(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*})$. L'intervalle de crédibilité à queues égales au niveau $1 - a$ pour le prix est $[\exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n - t_{2a_n; 1-a/2}\, s^{*}),\ \exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n + t_{2a_n; 1-a/2}\, s^{*})]$ où $s^{*}$ est l'échelle, et la médiane a posteriori du prix est $\exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n)$.130\end{proposition}131\begin{proof}132Conditionnellement à $(\boldsymbol\beta, \sigma^2)$, $y^{*} \sim \mathcal N(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\boldsymbol\beta, \sigma^2)$. En intégrant $\boldsymbol\beta \mid \sigma^2 \sim \mathcal N(\mathbf{m}_n, \sigma^2\mathbf{V}_n)$, $y^{*} \mid \sigma^2 \sim \mathcal N(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n, \sigma^2(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*}))$, somme du bruit de transaction et de l'incertitude sur les coefficients, les deux étant proportionnels à $\sigma^2$. L'intégration d'une normale de variance $\sigma^2 c$ contre $\sigma^2 \sim \mathcal{IG}(a_n, b_n)$ donne, par le même calcul que dans la \cref{prop:39-posterieure}, une Student à $2a_n$ degrés de liberté d'échelle au carré $c\,b_n/a_n$. Les quantiles se transportent par l'exponentielle, qui est monotone, et la médiane de la Student est son centre.133\end{proof}134135Deux remarques distinguent cette prédictive de l'intervalle de prédiction \eqref{eq:18:intervalle}. La première porte sur la forme : la loi est de Student, non normale, avec $2a_n = n - k$ degrés de liberté sous l'a priori de référence. Pour 584 degrés de liberté, le quantile à 97,5 \% vaut 1,964 contre 1,960 pour la normale, et les intervalles sont indiscernables ; pour 28 degrés de liberté, comme dans le petit échantillon de l'exemple intégral, il vaut 2,048 et l'intervalle s'élargit de 4,5 \% ; pour 5 degrés de liberté, 2,571, soit un tiers de plus. La Student rend compte de ce que le fréquentiste nomme l'incertitude sur $\sigma$ et que l'intervalle normal du \cref{ch:18} ignore. La seconde remarque porte sur la moyenne en dollars. La loi de $\exp(y^{*})$, log-Student, a des queues si épaisses que son espérance mathématique n'existe pas, quel que soit le nombre de degrés de liberté. Ce n'est pas un défaut du modèle mais un rappel utile : la quantité à communiquer est la médiane, c'est-à-dire le prix qui a autant de chances d'être dépassé que non atteint, ou un intervalle, et non une « moyenne » qui dépend de la forme des queues extrêmes. La correction de Duan du \cref{ch:18} cherchait à estimer cette moyenne pour une loi log-normale ; la prédictive bayésienne en montre la fragilité. Dans le modèle hiérarchique de la \cref{sec:39:hierarchique}, la moyenne a posteriori du prix existe à chaque tirage et sa moyenne de Monte-Carlo est finie ; on la rapportera à titre de comparaison avec la prédiction de Duan, en sachant ce qu'elle vaut.136137\subsection{Choisir l'a priori : référence, faiblement informatif, informatif}138139L'a priori de référence de la \cref{prop:39-reference} convient lorsque les ventes sont nombreuses et que l'on veut seulement bénéficier de la lecture bayésienne des intervalles. Il est impropre, c'est-à-dire qu'il n'intègre pas à un, ce qui interdit de calculer une vraisemblance marginale et donc des facteurs de Bayes ; cela n'empêche ni la postérieure ni la prédictive d'être parfaitement définies dès que $n > k$. Un a priori \motcle{faiblement informatif} propre, par exemple $\mathbf{m}_0 = \mathbf{0}$ sauf pour la constante, $\mathbf{V}_0 = 10^4\,\mathbf{I}$, $a_0 = b_0 = 10^{-3}$, donne des résultats presque identiques, mais pas tout à fait : parce que l'a priori sur $\boldsymbol\beta$ est propre, les $k$ paramètres ne « coûtent » plus de degrés de liberté et $a_n = a_0 + n/2$ au lieu de $(n-k)/2$, de sorte que la moyenne a posteriori de $\sigma^2$ est proche de $\mathit{SCR}/(n - 2)$ plutôt que de $\mathit{SCR}/(n - k)$. Avec 600 ventes et 16 paramètres, la différence sur $\sigma$ est de 0,0011 ; avec 40 ventes et 12 paramètres, elle n'est plus négligeable, et c'est une raison de préférer l'a priori de référence quand on ne veut rien dire.140141L'a priori \motcle{informatif} est celui qui fait tout l'intérêt de l'approche dans les marchés minces. La difficulté est de le construire honnêtement. La règle qui gouverne l'exemple intégral est la suivante : on emprunte à un \emph{marché voisin}, bien documenté, la postérieure de ses prix implicites, c'est-à-dire des pentes, et l'on refuse d'emprunter son niveau de prix, c'est-à-dire sa constante, parce que c'est précisément le niveau local que les quelques ventes locales doivent fixer. Formellement, si le marché voisin a fourni une postérieure $(\mathbf{m}^{v}, \mathbf{V}^{v}, a^{v}, b^{v})$, l'a priori du marché cible prend $\mathbf{m}_0 = \mathbf{m}^{v}$ et $\mathbf{V}_0 = \kappa\,\mathbf{V}^{v}$ pour les pentes, un $\mathbf{V}_0$ pratiquement infini pour la constante, et $a_0 = a^{v}$, $b_0 = b^{v}$ pour la dispersion. Le facteur $\kappa \geq 1$ exprime la défiance : $\kappa = 1$ signifie que l'on tient les prix implicites du voisin pour ceux du marché cible, aux erreurs d'estimation près ; $\kappa = 4$ double leur écart-type ; $\kappa \to \infty$ revient à l'a priori de référence. Cette construction a deux mérites. Elle est traçable, puisque chaque hyperparamètre provient d'une estimation que l'on peut produire ; et elle est falsifiable, puisque si les ventes locales contredisent systématiquement les prix implicites empruntés, la postérieure s'en écartera d'autant plus que $n$ est grand. Elle a aussi une limite évidente, que le \cref{ch:18} a rappelée : la fonction de prix hédonique est propre à un marché, et transposer ses dérivées d'un marché à l'autre est une hypothèse. Le bayésien ne supprime pas l'hypothèse ; il la quantifie par $\kappa$ et il oblige à l'écrire.142143\section{Le modèle hiérarchique des effets de secteur}\label{sec:39:hierarchique}144145\subsection{Trois attitudes devant les secteurs}146147Le modèle de référence du \cref{ch:18} traite les cinq secteurs de Gatineau par quatre indicatrices, Hull servant de référence. Cette spécification à \motcle{effets fixes} estime le niveau de prix de chaque secteur sur ses seules ventes : 186 à Hull, 200 dans le secteur Gatineau, 125 à Aylmer, 42 à Buckingham, 47 à Masson-Angers. Les erreurs-types des deux derniers, 0,07, sont cinq fois celles de Gatineau, et si Masson-Angers ne comptait que cinq ventes, son effet serait estimé à plus ou moins quinze pour cent. À l'opposé, le \motcle{regroupement complet} (en anglais \emph{complete pooling}) ignore les secteurs et impose un niveau commun, ce que la variante « sans indicatrices de secteur » du \cref{tab:18:variantes} a montré désastreux : $\hat\sigma$ passe de 0,083 à 0,104 et le sujet est surévalué de 4 \%. Entre les deux, le modèle \motcle{hiérarchique}, ou à \motcle{effets aléatoires}, suppose que les niveaux de secteur $\alpha_s$ sont tirés d'une distribution commune :148\begin{equation}\label{eq:39:hier}149\ln P_i = \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \alpha_{s(i)} + \varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i \sim \mathcal N(0, \sigma^2), \qquad \alpha_s \mid \alpha_0, \tau^2 \sim \mathcal N(\alpha_0, \tau^2), \quad s = 1, \dots, J,150\end{equation}151où $\mathbf{x}_i$ ne contient plus de constante, celle-ci étant portée par les $\alpha_s$, où $\alpha_0$ est le niveau moyen des secteurs et où $\tau$ mesure leur dispersion. Le paramètre $\tau$ est la charnière du modèle : si $\tau \to \infty$, les $\alpha_s$ ne sont plus liés et l'on retrouve les effets fixes ; si $\tau \to 0$, ils sont tous égaux à $\alpha_0$ et l'on retrouve le regroupement complet. Le modèle hiérarchique laisse les données fixer $\tau$, donc le degré de mise en commun. \textcite{gelmanHill2007} en font le fil conducteur de leur ouvrage, et le cas des quartiers emboîtés dans des municipalités, elles-mêmes emboîtées dans des régions, en est l'application immobilière la plus naturelle ; la \cref{sec:39:extensions} y revient.152153\subsection{Le rétrécissement}154155\begin{proposition}{Rétrécissement de l'effet de secteur}{39-retrecissement}156Dans le modèle \eqref{eq:39:hier}, conditionnellement à $\boldsymbol\beta$, $\alpha_0$, $\sigma^2$ et $\tau^2$, l'effet du secteur $s$ qui compte $n_s$ ventes a pour loi a posteriori157\begin{equation}\label{eq:39:retrecissement}158\alpha_s \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(B_s\,\bar r_s + (1 - B_s)\,\alpha_0,\ \frac{\sigma^2}{n_s}\,B_s\right), \qquad B_s = \frac{n_s\tau^2}{n_s\tau^2 + \sigma^2},159\end{equation}160où $\bar r_s = n_s^{-1}\sum_{i : s(i) = s}(\ln P_i - \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta)$ est la moyenne des résidus partiels du secteur. Le facteur $B_s \in (0, 1)$ est le poids de la moyenne des résidus du secteur ; $1 - B_s$ est le poids de la moyenne commune, et la variance est celle de l'effet fixe, $\sigma^2/n_s$, multipliée par $B_s$.161\end{proposition}162\begin{proof}163Conditionnellement aux autres paramètres, les $n_s$ quantités $r_i = \ln P_i - \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta$ du secteur $s$ sont indépendantes de loi $\mathcal N(\alpha_s, \sigma^2)$, et $\alpha_s$ a pour a priori $\mathcal N(\alpha_0, \tau^2)$. C'est exactement la situation de l'\cref{eq:39:normale-normale} avec $m_0 = \alpha_0$, $s_0^2 = \tau^2$, $n = n_s$ et $\bar y = \bar r_s$ : la précision a posteriori est $n_s/\sigma^2 + 1/\tau^2$, dont l'inverse est $\sigma^2\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2) = (\sigma^2/n_s)B_s$, et la moyenne est $(n_s\bar r_s/\sigma^2 + \alpha_0/\tau^2)/(n_s/\sigma^2 + 1/\tau^2) = B_s\bar r_s + (1 - B_s)\alpha_0$.164\end{proof}165166La formule dit tout ce qu'il faut savoir sur le \motcle{rétrécissement} (en anglais \emph{shrinkage}). Un secteur riche en ventes ($n_s\tau^2 \gg \sigma^2$) a un $B_s$ proche de un : son effet est estimé sur ses ventes, comme un effet fixe. Un secteur pauvre a un $B_s$ plus petit et son effet est tiré vers la moyenne commune, d'autant plus que les secteurs se ressemblent ($\tau$ petit) et que le bruit de transaction est grand ($\sigma$ grand). Le point de bascule est $n_s = \sigma^2/\tau^2$, nombre de ventes pour lequel $B_s = 1/2$. Avec $\sigma = 0{,}083$ et $\tau = 0{,}18$, valeurs que l'exemple intégral estimera, ce seuil est inférieur à une vente : les secteurs de Gatineau sont si différents les uns des autres, relativement au bruit, que même cinq ventes suffisent à fixer l'essentiel d'un niveau de secteur, et le rétrécissement sera modeste. Avec $\tau = 0{,}05$, valeur plausible pour des quartiers contigus d'un même secteur, le seuil monte à près de trois ventes et un quartier de cinq ventes n'a plus qu'un poids de 0,64. La \cref{fig:39:retrecissement} trace ces courbes. L'enseignement est double. D'une part, le rétrécissement n'est pas une correction arbitraire : c'est la pondération optimale des deux sources d'information, et il disparaît de lui-même quand il n'a plus lieu d'être. D'autre part, son ampleur dépend d'un paramètre, $\tau$, que les données renseignent d'autant plus mal que les groupes sont peu nombreux, et c'est là que l'a priori sur $\tau$ devient important. Ce résultat, dont la forme remonte à l'estimateur de James et Stein et à sa lecture empirique par \textcite{efronMorris1975}, est développé par \textcite[chap.~5]{gelman2013} ; \textcite{goetzmann1992} en a donné une application immobilière précoce en rétrécissant les indices de ventes répétées de petits marchés vers l'indice national.167168\subsection{L'a priori sur la variance des secteurs}169170Les paramètres $\boldsymbol\beta$, $\alpha_0$ et $\sigma^2$ sont bien informés par six cents ventes, et des a priori plats, $p(\boldsymbol\beta) \propto 1$, $p(\alpha_0) \propto 1$, $p(\sigma^2) \propto 1/\sigma^2$, conviennent. Il n'en va pas de même de $\tau$, qui n'est informé que par $J = 5$ écarts $\alpha_s - \alpha_0$. L'a priori conjugué traditionnel, une inverse-gamma $\mathcal{IG}(\epsilon, \epsilon)$ avec $\epsilon$ très petit, est trompeur dans ce cas : loin d'être non informatif, il concentre une masse considérable près de $\tau = 0$ et pousse le modèle vers le regroupement complet, d'autant plus que $J$ est petit \parencite{gelman2006}. \textcite[§~5.7]{gelman2013} recommandent, pour un nombre de groupes d'au moins cinq, un a priori uniforme sur $\tau$ lui-même, $p(\tau) \propto 1$, qui équivaut à $p(\tau^2) \propto \tau^{-1}$ et dont la conditionnelle complète reste une inverse-gamma, $\tau^2 \mid \boldsymbol\alpha, \alpha_0 \sim \mathcal{IG}((J-1)/2,\ \tfrac12\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2)$, propre dès que $J \geq 2$. C'est le choix de l'ouvrage, et c'est un choix : avec cinq secteurs, la postérieure de $\tau$ reste large, et l'analyse de sensibilité de la \cref{sec:39:sensibilite} mesure ce que d'autres a priori changeraient. Le lecteur retiendra qu'un modèle hiérarchique à peu de groupes est un modèle où l'a priori sur la variance des groupes compte, et qu'il faut le déclarer.171172\section{Le calcul : l'échantillonneur de Gibbs}\label{sec:39:gibbs}173174\subsection{Pourquoi simuler}175176La postérieure jointe du modèle \eqref{eq:39:hier}, $p(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha, \alpha_0, \sigma^2, \tau^2 \mid \mathbf{y})$, n'a pas de forme fermée : le produit de la vraisemblance normale, de l'a priori normal des $\alpha_s$ et de l'a priori sur $\tau$ n'appartient à aucune famille connue une fois $\tau^2$ intégré. Pendant longtemps cette absence a confiné les modèles hiérarchiques à des approximations. Les méthodes de \motcle{Monte-Carlo par chaînes de Markov} (MCMC) ont levé l'obstacle : au lieu de calculer la postérieure, on en simule des tirages, dont les moyennes, écarts-types et quantiles empiriques estiment ceux de la postérieure avec une précision qui croît avec le nombre de tirages. L'\motcle{échantillonneur de Gibbs}, introduit en traitement d'images par \textcite{gemanGeman1984} puis reconnu comme outil d'inférence générale par \textcite{gelfandSmith1990}, est le plus simple d'entre eux : il tire tour à tour chaque bloc de paramètres de sa \motcle{conditionnelle complète}, c'est-à-dire de sa loi a posteriori sachant les valeurs courantes de tous les autres. Lorsque chaque conditionnelle est une loi standard, ce qui est le cas des modèles à a priori conjugués par morceaux comme le nôtre, l'algorithme s'écrit en quelques lignes et n'exige aucun réglage. Les logiciels généralistes comme Stan \parencite{carpenter2017}, qui emploient des méthodes hamiltoniennes plus puissantes, ont rendu ce genre de dérivation inutile pour l'utilisateur ; elle reste indispensable pour comprendre ce que ces logiciels font, et c'est pourquoi le chapitre la conduit à la main, en numpy, comme \textcite{mcelreath2020} le recommande pédagogiquement.177178\subsection{Les conditionnelles complètes}179180En écrivant $\mathbf{Z}$ la matrice $n \times J$ des indicatrices de secteur et $\boldsymbol\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_J)$, la postérieure jointe est proportionnelle à181\[182(\sigma^2)^{-n/2 - 1}\exp\!\left[-\frac{\norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha}^2}{2\sigma^2}\right]183(\tau^2)^{-J/2}\exp\!\left[-\frac{\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2}{2\tau^2}\right] p(\tau^2),184\]185et chaque conditionnelle complète s'obtient en ne gardant que les facteurs qui dépendent du bloc considéré.186187\emph{Les coefficients.} À $\boldsymbol\alpha$ et $\sigma^2$ fixés, $\mathbf{y} - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha$ est une régression normale ordinaire sur $\mathbf{X}$ avec a priori plat, d'où, par la \cref{prop:39-reference} appliquée à $\sigma^2$ connu,188\begin{equation}\label{eq:39:cond-beta}189\boldsymbol\beta \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left((\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T(\mathbf{y} - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha),\ \sigma^2(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\right).190\end{equation}191192\emph{Les effets de secteur et leur moyenne.} La conditionnelle de chaque $\alpha_s$ est l'\cref{eq:39:retrecissement}, et celle de $\alpha_0$, à $\boldsymbol\alpha$ et $\tau^2$ fixés, est celle de la moyenne de $J$ observations normales sous un a priori plat :193\begin{equation}\label{eq:39:cond-alpha0}194\alpha_0 \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\frac{1}{J}\sum_{s=1}^{J}\alpha_s,\ \frac{\tau^2}{J}\right).195\end{equation}196197\emph{Les variances.} En ne gardant que les facteurs en $\sigma^2$, puis en $\tau^2$, on reconnaît deux noyaux inverse-gamma :198\begin{equation}\label{eq:39:cond-variances}199\sigma^2 \mid \cdot \sim \mathcal{IG}\!\left(\frac{n}{2},\ \frac{1}{2}\norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha}^2\right), \qquad200\tau^2 \mid \cdot \sim \mathcal{IG}\!\left(\frac{J - 1}{2},\ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^{J}(\alpha_s - \alpha_0)^2\right),201\end{equation}202la seconde sous l'a priori uniforme sur $\tau$ ; sous un a priori $\mathcal{IG}(a_\tau, b_\tau)$ sur $\tau^2$, ses paramètres deviennent $a_\tau + J/2$ et $b_\tau + \tfrac12\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2$. Une itération de l'algorithme tire successivement \eqref{eq:39:cond-beta}, les $J$ lois \eqref{eq:39:retrecissement}, \eqref{eq:39:cond-alpha0} et les deux lois \eqref{eq:39:cond-variances} ; la suite des valeurs forme une chaîne de Markov dont la loi stationnaire est la postérieure jointe. Les premières itérations, qui dépendent du point de départ, sont écartées (la période de \emph{brûlage}, en anglais \emph{burn-in}) ; les suivantes sont conservées.203204\subsection{Blocs, paramétrisation et mélange}205206Rien n'oblige à tirer $\boldsymbol\beta$ et $\boldsymbol\alpha$ séparément. Conditionnellement à $\alpha_0$, $\sigma^2$ et $\tau^2$, le vecteur $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$ est le coefficient d'une régression normale sur $\mathbf{W} = [\mathbf{X}\ \mathbf{Z}]$ avec un a priori normal $\mathcal N(\alpha_0\mathbf{1}, \tau^2\mathbf{I})$ sur la partie $\boldsymbol\alpha$ et plat sur la partie $\boldsymbol\beta$, de sorte que sa conditionnelle jointe est normale :207\begin{equation}\label{eq:39:bloc}208(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha) \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{b},\ \mathbf{Q}^{-1}\right), \qquad209\mathbf{Q} = \frac{\mathbf{W}\T\mathbf{W}}{\sigma^2} + \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \tau^{-2}\mathbf{I}_J\end{pmatrix}, \qquad210\mathbf{b} = \frac{\mathbf{W}\T\mathbf{y}}{\sigma^2} + \begin{pmatrix}\mathbf{0}\\ \tau^{-2}\alpha_0\mathbf{1}_J\end{pmatrix}.211\end{equation}212Tirer ce bloc d'un coup s'appelle le \motcle{Gibbs par blocs}, et la différence avec le tirage un à un n'est pas cosmétique. Lorsque deux paramètres sont fortement corrélés a posteriori, le tirage de l'un sachant l'autre ne bouge presque pas, et la chaîne met des milliers d'itérations à parcourir la postérieure : son \motcle{mélange} (en anglais \emph{mixing}) est lent. Le \cref{ch:18} a signalé une colinéarité structurelle entre la distance au centre, positive seulement au-delà de trois kilomètres, et les indicatrices des secteurs périphériques ; dans le modèle hiérarchique, elle se traduit par une forte corrélation a posteriori entre $\beta_{\text{dist}}$ et $\alpha_{\text{Buckingham}}$, $\alpha_{\text{Masson-Angers}}$, et l'échantillonneur un à un s'y enlise, comme la \cref{fig:39:traces} le montrera. Le tirage par blocs supprime le problème parce que la loi jointe intègre la corrélation. Le choix de la \emph{paramétrisation} compte pour la même raison : écrire le modèle avec des niveaux de secteur $\alpha_s$ centrés sur $\alpha_0$, comme ici, plutôt qu'avec une constante globale et des écarts $\alpha_s - \alpha_0$ de moyenne nulle, est la paramétrisation \emph{centrée} que \textcite{gelfandSahuCarlin1995} ont montrée préférable lorsque les groupes sont bien informés par les données ; le centrage des colonnes de $\mathbf{X}$ sur leurs moyennes, qui découple $\boldsymbol\beta$ des niveaux, complète le dispositif.213214\subsection{Diagnostics de convergence}215216Une chaîne de Markov ne vient avec aucune garantie de convergence en temps fini ; les diagnostics sont obligatoires, et l'ouvrage en retient trois, tous proposés par \textcite{gelmanRubin1992} et raffinés depuis \parencite{vehtariEtAl2021}. Le premier est visuel : les \emph{traces} de plusieurs chaînes lancées de points de départ dispersés doivent se mêler au point de ne plus pouvoir être distinguées. Le deuxième quantifie ce mélange. Pour un paramètre scalaire, on coupe chacune des $c$ chaînes conservées en deux moitiés de longueur $n$, ce qui donne $m = 2c$ demi-chaînes, et l'on compare la variance entre demi-chaînes à la variance en leur sein :217\begin{equation}\label{eq:39:rhat}218B = \frac{n}{m - 1}\sum_{j=1}^{m}(\bar\psi_{\cdot j} - \bar\psi_{\cdot\cdot})^2, \qquad219W = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} s_j^2, \qquad220\widehat{\Var}^{+} = \frac{n - 1}{n}W + \frac{1}{n}B, \qquad221\hat R = \sqrt{\frac{\widehat{\Var}^{+}}{W}} .222\end{equation}223Si les chaînes ont convergé, chacune a exploré toute la postérieure, les moyennes des demi-chaînes se ressemblent, $B$ est petit devant $nW$ et $\hat R$ est proche de un ; si elles sont restées chacune dans une région, $B$ est grand et $\hat R$ dépasse nettement un. La règle courante est de ne rien conclure tant que $\hat R > 1{,}01$ pour un paramètre d'intérêt. Le découpage en moitiés détecte le cas, fréquent, où une chaîne dérive lentement sans que les autres s'en écartent : ses deux moitiés ont alors des moyennes différentes. Le troisième diagnostic mesure ce que valent les tirages. Des tirages autocorrélés contiennent moins d'information que des tirages indépendants, et la \motcle{taille d'échantillon effective}224\begin{equation}\label{eq:39:ess}225\mathit{ESS} = \frac{m\,n}{1 + 2\sum_{t=1}^{T}\hat\rho_t}, \qquad \hat\rho_t = 1 - \frac{V_t}{2\,\widehat{\Var}^{+}}, \qquad V_t = \frac{1}{m(n - t)}\sum_{j=1}^{m}\sum_{i = t+1}^{n}(\psi_{i,j} - \psi_{i-t,j})^2,226\end{equation}227est le nombre de tirages indépendants qui donneraient la même précision sur la moyenne a posteriori ; la somme des autocorrélations est tronquée au premier couple $(\hat\rho_{2t'} + \hat\rho_{2t'+1})$ négatif, suivant la règle de Geyer que \textcite[§~11.5]{gelman2013} adoptent. Une erreur de Monte-Carlo sur la moyenne a posteriori de l'ordre du dixième de l'écart-type a posteriori exige un $\mathit{ESS}$ d'une centaine ; pour des quantiles extrêmes, il en faut davantage, et la pratique vise quelques milliers.228229\subsection{Comparer des modèles}230231Faut-il traiter les secteurs par effets fixes, par effets aléatoires ou pas du tout ? La réponse bayésienne de principe passe par la vraisemblance marginale $p(\mathbf{y})$ de l'\cref{eq:39:bayes}, mais elle est indéfinie sous des a priori impropres et extrêmement sensible aux a priori vagues ; l'ouvrage lui préfère les critères fondés sur la capacité prédictive hors échantillon, qui ont l'avantage de répondre à la question que l'évaluateur se pose. Le point de départ est la densité prédictive logarithmique ponctuelle, estimée à partir de $S$ tirages $\boldsymbol\theta^{(s)}$ de la postérieure,232\begin{equation}\label{eq:39:lppd}233\widehat{\mathrm{lppd}} = \sum_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{S}\sum_{s=1}^{S} p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})\right),234\end{equation}235qui mesure à quel point le modèle prédit bien les données qu'il a vues et qui, comme toute mesure en échantillon, favorise les modèles complexes. Le \motcle{WAIC} de \textcite{watanabe2010} la corrige par le nombre effectif de paramètres, estimé par la somme des variances a posteriori des log-densités \parencite{vehtariGelmanGabry2017} :236\begin{equation}\label{eq:39:waic}237p_{\mathrm{WAIC}} = \sum_{i=1}^{n}\Var_{s}\!\left[\ln p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})\right], \qquad238\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}} = \widehat{\mathrm{lppd}} - p_{\mathrm{WAIC}}, \qquad239\mathrm{WAIC} = -2\,\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}} .240\end{equation}241Le WAIC approche la validation croisée « une observation à la fois » (en anglais \emph{leave-one-out}, LOO), c'est-à-dire la somme des log-densités prédictives de chaque vente calculées par un modèle estimé sans elle. Cette dernière se calcule exactement, en forme fermée, pour le modèle conjugué, puisque la \cref{prop:39-predictive} donne la prédictive de chaque vente retirée après une réestimation que l'\cref{eq:39:posterieure} rend instantanée ; pour le modèle hiérarchique, on l'approche sans réestimer par échantillonnage préférentiel, en repondérant les tirages de la postérieure complète par $1/p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})$, poids que l'on tronque pour en stabiliser la variance, selon le principe de la méthode PSIS de Vehtari, Gelman et Gabry. Les trois quantités, WAIC, LOO exact et LOO par importance, doivent concorder pour un modèle bien conditionné, et l'exemple le vérifie. Elles se comparent entre modèles par leur différence et par l'erreur-type de cette différence ; une différence d'$\widehat{\mathrm{elpd}}$ inférieure à son erreur-type ne départage rien, et c'est alors la simplicité ou l'interprétabilité qui décide.242243\section{Exemple intégral : la maison du cas 1 et les secteurs de Gatineau}\label{sec:39:exemple}244245\begin{synthetique}246Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}, graine 20261031) sont fictives et engendrées par la loi semi-logarithmique déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md} et rappelée au \cref{ch:18} : élasticité de 0,55 pour la superficie habitable, primes de secteur égales au logarithme du rapport des médianes publiées par l'APCIQ au troisième trimestre de 2026 à celle de Hull (Masson-Angers : moins deux points, hypothèse), croissance annuelle composée de 4,43 \% et erreur normale d'écart-type 0,085 \parencite{apciqgatineaut32026,gatineaurole2027}. Les coordonnées sont synthétiques et aucune adresse n'existe. La connaissance des lois de génération permet de vérifier que les postérieures couvrent les vrais paramètres et que l'échantillonneur retrouve ce qu'il doit retrouver, ce qu'aucune donnée réelle ne permet. Tous les chiffres de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch39.py} ; les régresseurs sont ceux de \texttt{traite.cas1.matrice}, le modèle fréquentiste de comparaison est \texttt{traite.cas1.hedonique} et son intervalle \texttt{traite.cas1.intervalle\_prediction}. Les tirages de Gibbs proviennent de quatre chaînes de 3 000 itérations dont 1 000 de brûlage, soit 8 000 tirages conservés.247\end{synthetique}248249\begin{exemple}{Postérieures, prédictive du sujet, petit marché et effets de secteur}{cas1-bayes39}250L'exemple procède en six étapes : la régression conjuguée sur les 600 ventes et sa confrontation aux moindres carrés ; la prédictive du sujet et sa comparaison à l'intervalle du \cref{ch:18} ; le petit marché des quarante ventes autour du sujet avec un a priori emprunté aux autres secteurs ; le modèle hiérarchique des secteurs et ses diagnostics ; l'expérience du secteur de Masson-Angers réduit à cinq, dix et vingt ventes ; la comparaison des trois traitements des secteurs par le WAIC et la validation croisée.251252\emph{Étape 1 : la régression conjuguée sur 600 ventes.} Le \cref{tab:39:conjugue} présente la postérieure NIG sous l'a priori de référence. Conformément à la \cref{prop:39-reference}, les moyennes a posteriori coïncident avec les coefficients MCO du \cref{tab:18:resultats} à la dixième décimale, $a_n = 292$, soit $\nu = 584$ degrés de liberté, et $b_n = 2{,}0122$, la moitié de la somme des carrés des résidus. La moyenne a posteriori de $\sigma$ est 0,0832, contre $\hat\sigma = 0{,}0830$ : la différence est le facteur $(n - k)/(n - k - 2)$. Les écarts-types a posteriori sont ceux de la Student de référence, très proches des erreurs-types HC1 du \cref{ch:18} parce que les erreurs du jeu sont homoscédastiques : 0,0138 contre 0,0127 pour l'élasticité de la superficie, 0,0669 contre 0,0672 pour Masson-Angers. Les quinze paramètres de génération tombent dans les intervalles de crédibilité à 95 \%, et la \cref{fig:39:posterieures} montre six de ces densités marginales avec le paramètre vrai et l'estimation MCO : les courbes sont des Student à 584 degrés de liberté, indiscernables de normales. Sous l'a priori faiblement informatif propre ($\mathbf{V}_0 = 10^4\mathbf{I}$, $a_0 = b_0 = 10^{-3}$), les moyennes a posteriori ne s'écartent des coefficients MCO que de $3 \times 10^{-5}$ au plus, mais $a_n = 300{,}001$, $\nu = 600$ et la moyenne a posteriori de $\sigma$ tombe à 0,0821 : l'a priori propre « achète » les seize paramètres et rend la dispersion un peu trop optimiste. La cohérence séquentielle se vérifie en prenant la postérieure des 344 ventes de 2023 et 2024 comme a priori des 256 ventes de 2025 et 2026 : la postérieure finale coïncide avec celle des 600 ventes à $10^{-11}$ près, pour les moyennes comme pour $a_n$ et $b_n$.253254\emph{Étape 2 : la prédictive du sujet.} Pour le cottage de \msq{165} à Hull évalué au 1\ier{} septembre 2026, le centre de la prédictive est $\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n = 13{,}3627$, la médiane a posteriori du prix $\exp(13{,}3627) = \dollars{635821}$ et l'échelle $s^{*} = 0{,}08364$, dont 1,49 \% provient de $\mathbf{x}_s\T\mathbf{V}_n\mathbf{x}_s$, l'incertitude sur les coefficients, le reste étant le bruit de transaction. L'intervalle de crédibilité à 95 \% va de \dollars{539504} à \dollars{749334}, celui à 90 \% de \dollars{553979} à \dollars{729754} (\cref{tab:39:predictive}). L'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}, de \dollars{539682} à \dollars{749087}, en diffère de moins de 0,04 \% à chaque borne : les deux calculs utilisent les mêmes nombres, à la différence près du quantile de Student (1,964 contre 1,960) et de la matrice de covariance (classique contre HC1), qui se compensent presque exactement ici. Ce que le bayésien apporte n'est donc pas un intervalle différent ; c'est le droit de dire que, sous le modèle, la probabilité que le sujet se vende entre \dollars{540000} et \dollars{749000} est de 95 \%, et que la probabilité qu'il se vende au-dessus de \dollars{650000} est de 39,6 \% (\cref{ex:39:2}). La \cref{fig:39:predictive} superpose cette prédictive de Student à celle du modèle hiérarchique de l'étape 4 et aux bornes du \cref{ch:18}.255256\emph{Étape 3 : un petit marché et un a priori emprunté.} Les filtres du \cref{ch:16} laissent quarante ventes dans un rayon de trois kilomètres du sujet au cours des dix-huit derniers mois. Estimer sur ces quarante ventes un modèle à douze paramètres, les indicatrices de secteur étant constantes dans ce sous-échantillon, est la situation du marché mince. Sous l'a priori de référence, la postérieure ne dispose que de $\nu = 28$ degrés de liberté : l'élasticité de la superficie est estimée à 0,611 avec un écart-type de 0,067, l'échelon de qualité à 0,101 (0,022), la place de garage à 0,010 (0,024), et la moyenne a posteriori de $\sigma$ monte à 0,0924 ; le sujet est prédit à une médiane de \dollars{650965} dans un intervalle à 95 \% de \dollars{535079} à \dollars{791950}, large de 39,5 \% de la médiane (\cref{tab:39:petit}). L'a priori informatif emprunte aux 414 ventes des quatre autres secteurs la postérieure de leurs prix implicites, sans leur constante, selon la règle de la \cref{sec:39:conjugue}. Avec $\kappa = 1$, l'élasticité devient 0,543 (0,016), la qualité 0,062 (0,005), le garage 0,027 (0,006), presque les valeurs des 600 ventes ; la médiane du sujet descend à \dollars{630978} et l'intervalle se resserre à 33,2 \% de la médiane, de \dollars{534942} à \dollars{744255}. Avec $\kappa = 4$ et $\kappa = 16$, les postérieures s'éloignent graduellement de l'a priori vers l'estimation locale, et la \cref{fig:39:prior} en montre le glissement. Deux enseignements. Le premier est que l'a priori agit surtout sur la \emph{position} de la prédiction, qu'il déplace de \dollars{20000}, et sur les coefficients, dont il divise l'incertitude par quatre, mais peu sur la \emph{largeur} de l'intervalle du sujet, qui passe de 39,5 à 33,2 \% : la largeur est gouvernée par $\sigma$, que quarante ventes mesurent déjà grossièrement, et par les degrés de liberté de la Student. Le second est que la version $\kappa = 1$ reproduit presque la postérieure des 600 ventes, ce qui est attendu puisque les quarante ventes locales appartiennent au même jeu synthétique que les 414 autres ; sur un marché réel, l'écart entre l'estimation locale et l'a priori emprunté serait l'information la plus précieuse de l'analyse, parce qu'il mesurerait ce que le petit marché a de spécifique. Le sous-échantillon de Hull seul, 186 ventes, donne une médiane de \dollars{623894} et un intervalle de \dollars{526381} à \dollars{739471}, intermédiaire.257258\emph{Étape 4 : le modèle hiérarchique des secteurs.} Le \cref{tab:39:hier} rapporte la postérieure du modèle \eqref{eq:39:hier} obtenue par le Gibbs par blocs. Les coefficients des caractéristiques sont ceux du modèle à effets fixes, à moins d'un centième d'écart-type ; $\sigma$ a pour moyenne 0,0832 ; $\tau$ a une médiane de 0,181 et un intervalle à 90 \% de 0,089 à 0,494, large comme on l'attend de cinq groupes ; le niveau moyen des secteurs $\alpha_0$ vaut 13,021 avec un écart-type de 0,147. Les effets relatifs à Hull, $\alpha_s - \alpha_{\text{Hull}}$, se comparent directement aux indicatrices du \cref{ch:18} : $-0{,}015$ contre $-0{,}022$ pour le secteur Gatineau, $+0{,}098$ contre $+0{,}085$ pour Aylmer, $-0{,}207$ contre $-0{,}250$ pour Buckingham et $-0{,}224$ contre $-0{,}263$ pour Masson-Angers. Les deux secteurs périphériques sont rétrécis d'environ 0,04 vers la moyenne commune, qui se situe à $\alpha_0 - \alpha_{\text{Hull}} = -0{,}07$, et les deux primes vraies, $-0{,}184$ et $-0{,}204$, sont à l'intérieur de tous les intervalles ; il se trouve que les estimations rétrécies en sont plus proches que les effets fixes, mais c'est une propriété de ce tirage, non une garantie. Les facteurs de rétrécissement \eqref{eq:39:retrecissement} à la médiane de $\sigma^2$ et $\tau^2$ valent 0,999 pour Hull, Gatineau et Aylmer, 0,995 pour Buckingham et Masson-Angers : avec des secteurs aussi différents, quarante-deux ventes suffisent à fixer un niveau. Le \cref{tab:39:diagnostics} et la \cref{fig:39:traces} comparent les deux échantillonneurs. Par blocs, tous les $\hat R$ sont inférieurs à 1,002 et les tailles d'échantillon effectives dépassent 4 700 sur 8 000 pour tous les effets de secteur, 2 985 pour $\tau$ ; un paramètre à la fois, les coefficients des caractéristiques physiques ont des $\hat R$ excellents, mais la distance au centre et les niveaux de Hull, Buckingham et Masson-Angers ont des $\hat R$ de 1,06 à 1,07 et des $\mathit{ESS}$ de 91 à 98, soit un tirage utile sur quatre-vingts. Les traces du haut de la figure montrent des chaînes qui dérivent lentement et séparément ; celles du bas se mêlent dès la première itération. C'est la colinéarité structurelle du \cref{tab:18:diagnostics}, distance au centre contre secteurs périphériques, vue du côté de l'algorithme. La prédictive du sujet, obtenue en exponentiant $(\mathbf{x}_s - \bar{\mathbf{x}})\T\boldsymbol\beta^{(s)} + \alpha_{\text{Hull}}^{(s)} + \varepsilon^{(s)}$ pour chacun des 8 000 tirages, a une médiane de \dollars{634748}, une moyenne de \dollars{637727}, un intervalle à 90 \% de \dollars{554564} à \dollars{729004} et un intervalle à 95 \% de \dollars{540309} à \dollars{749431} (\cref{tab:39:predictive}). La moyenne est à \dollars{226} de la prédiction de Duan du \cref{ch:18}, ce qui illustre la dernière ligne du \cref{tab:39:vocabulaire} : la retransformation est implicite dans la prédictive. L'écart-type du logarithme vaut 0,0834, dont 0,0103 seulement pour la composante « moyenne » $(\mathbf{x}_s - \bar{\mathbf{x}})\T\boldsymbol\beta + \alpha_{\text{Hull}}$.259260\emph{Étape 5 : Masson-Angers réduit à cinq, dix et vingt ventes.} Pour montrer le rétrécissement là où il compte, on retire des ventes de Masson-Angers en ne conservant qu'un sous-ensemble emboîté de cinq, dix, vingt, puis les quarante-sept ventes, et l'on réestime les deux modèles ; le \cref{tab:39:experience} et la \cref{fig:39:retrecissement} rapportent l'effet du secteur et la prédictive d'un sujet hypothétique de mêmes caractéristiques que celui du cas 1 mais situé à Masson-Angers, à la distance médiane du secteur (26,9 km du centre). Avec cinq ventes, l'effet fixe est de $-0{,}342$ avec un écart-type de 0,076 et l'effet aléatoire de $-0{,}300$ avec un écart-type de 0,080 ; le facteur $B$ vaut 0,970, de sorte que trois pour cent de l'estimation proviennent de la moyenne commune, et l'effet rétréci est déplacé de 0,042 vers elle. Avec dix ventes, $-0{,}321$ contre $-0{,}282$ ; avec vingt, $-0{,}280$ contre $-0{,}239$ ; avec quarante-sept, $-0{,}263$ contre $-0{,}224$. Dans les quatre cas, l'effet rétréci est plus proche du paramètre vrai, $-0{,}204$, que l'effet fixe, et les deux intervalles le contiennent. L'écart-type a posteriori de l'effet aléatoire est légèrement supérieur à celui de l'effet fixe, ce qui peut surprendre après l'\cref{eq:39:retrecissement} : la variance conditionnelle $B_s\sigma^2/n_s$ est bien inférieure à $\sigma^2/n_s$, mais la postérieure marginale intègre l'incertitude sur $\tau$, $\alpha_0$ et $\sigma$, et avec cinq groupes cette intégration ajoute davantage que le rétrécissement ne retranche. Les prédictives du sujet hypothétique le confirment : la médiane passe de \dollars{418591} à \dollars{448726} entre cinq et quarante-sept ventes pour le modèle à effets fixes, de \dollars{421106} à \dollars{448829} pour le modèle hiérarchique, et la largeur de l'intervalle à 95 \%, de 36,1 à 33,4 \% de la médiane pour l'un, de 36,1 à 33,1 \% pour l'autre. Que cinq ventes locales suffisent à produire un intervalle à peine plus large que quarante-sept tient à la domination du bruit de transaction, déjà relevée au \cref{ch:18} ; ce que les ventes supplémentaires apportent, c'est la position de l'intervalle, qui bouge de \dollars{30000}.261262\emph{Étape 6 : comparer les trois traitements des secteurs.} Le \cref{tab:39:criteres} applique le WAIC et la validation croisée aux trois modèles. Le regroupement complet, sans secteur, a une $\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}}$ de 497,8 ; les effets fixes, 633,2 ; les effets aléatoires, 632,9. La différence entre le regroupement complet et les deux autres, 135 unités pour une erreur-type d'une vingtaine, est écrasante ; celle entre effets fixes et aléatoires, 0,3 unité pour une erreur-type de 16, ne départage rien, et c'est le résultat attendu lorsque tous les secteurs ont assez de ventes pour que $B_s$ soit proche de un. Le nombre effectif de paramètres, $p_{\mathrm{WAIC}}$, vaut 12,4, 16,0 et 16,1 pour 12 et 16 coefficients, puis 16 coefficients et deux hyperparamètres ($\alpha_0$, $\tau$) : le modèle hiérarchique « dépense » à peine plus que le modèle à effets fixes, parce que le rétrécissement est faible ici, et il dépenserait moins si les secteurs étaient pauvres en ventes. Pour les deux modèles conjugués, le LOO exact, 497,8 et 633,1, et le LOO par importance tronquée concordent avec le WAIC à moins d'une dixième d'unité ; pour le modèle hiérarchique, le LOO par importance donne 632,9. Le choix entre effets fixes et aléatoires se fait donc ici sur d'autres critères : le modèle hiérarchique est préférable dès qu'un secteur est peu documenté ou qu'un sujet se trouve dans un secteur sans ventes, où l'effet fixe n'existe pas et où le modèle hiérarchique propose $\alpha_0$ avec un écart-type $\tau$, et il est indifférent sinon.263\end{exemple}264265\begin{table}[htbp]266\caption{Régression hédonique bayésienne conjuguée sur les 600 ventes du cas 1 : a priori de référence, postérieure NIG et comparaison aux moindres carrés (données synthétiques)}\label{tab:39:conjugue}267\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}268\begin{tabular}{@{}l c S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-1.4]@{}}269\toprule270Variable & {MCO $\hat\beta$ (e.-t. HC1)} & {Moy. a post.} & {É.-t. a post.} & {Créd. 2,5 \%} & {Créd. 97,5 \%} & {Vrai} \\271\midrule272Constante & 13,2074 (0,0138) & 13.2074 & 0.0152 & 13.1777 & 13.2372 & {---} \\273ln(superficie habitable / 140) & 0,5391 (0,0127) & 0.5391 & 0.0138 & 0.5121 & 0.5660 & 0.5500 \\274ln(terrain / 560) & 0,0937 (0,0110) & 0.0937 & 0.0105 & 0.0730 & 0.1143 & 0.1000 \\275Âge & $-$0,0051 (0,0006) & -0.0051 & 0.0006 & -0.0063 & -0.0039 & -0.0055 \\276Âge² / 100 & 0,0026 (0,0006) & 0.0026 & 0.0007 & 0.0013 & 0.0040 & 0.0030 \\277Qualité (écart à 3) & 0,0611 (0,0042) & 0.0611 & 0.0041 & 0.0531 & 0.0691 & 0.0600 \\278Garage (places) & 0,0324 (0,0050) & 0.0324 & 0.0052 & 0.0222 & 0.0426 & 0.0350 \\279Sous-sol fini & 0,0220 (0,0069) & 0.0220 & 0.0070 & 0.0083 & 0.0356 & 0.0300 \\280Piscine & 0,0263 (0,0084) & 0.0263 & 0.0100 & 0.0067 & 0.0459 & 0.0200 \\281À étages & 0,0301 (0,0069) & 0.0301 & 0.0069 & 0.0166 & 0.0436 & 0.0200 \\282Distance au centre $>$ 3 km & $-$0,0036 (0,0027) & -0.0036 & 0.0027 & -0.0089 & 0.0018 & -0.0060 \\283Secteur Gatineau & $-$0,0223 (0,0146) & -0.0223 & 0.0147 & -0.0511 & 0.0065 & -0.0215 \\284Secteur Aylmer & 0,0854 (0,0231) & 0.0854 & 0.0237 & 0.0390 & 0.1318 & 0.1096 \\285Secteur Buckingham & $-$0,2504 (0,0718) & -0.2504 & 0.0732 & -0.3940 & -0.1067 & -0.1844 \\286Secteur Masson-Angers & $-$0,2631 (0,0672) & -0.2631 & 0.0669 & -0.3943 & -0.1320 & -0.2044 \\287Mois depuis le 1\ier{} juillet 2024 & 0,0036 (0,0003) & 0.0036 & 0.0003 & 0.0031 & 0.0042 & 0.0036 \\288\midrule289\multicolumn{7}{@{}l}{$n = 600$ ; $k = 16$ ; $a_n = 292$ ($\nu = 584$) ; $b_n = 2{,}0122$ ; $\E[\sigma \mid \mathbf{y}] = 0{,}0832$ (MCO : 0,0830 ; vrai : 0,085)} \\290\multicolumn{7}{@{}l}{15 paramètres de génération sur 15 dans l'intervalle de crédibilité à 95 \%} \\291\bottomrule292\end{tabular}293\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Écart-type a posteriori de la marginale de Student ; intervalles de crédibilité à queues égales ; MCO et HC1 : \cref{tab:18:resultats}.}294\end{table}295296\begin{figure}[htbp]297\centering298\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-posterieures.pdf}299\caption{Densités marginales a posteriori de six paramètres du modèle conjugué (a priori de référence, 600 ventes) : lois de Student à 584 degrés de liberté, indiscernables de normales. Le point et sa barre donnent l'estimation MCO avec $\pm 1{,}96$ erreur-type HC1 ; la ligne tiretée, le paramètre de génération. Les deux lectures coïncident numériquement ; seule leur interprétation diffère.}\label{fig:39:posterieures}300\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}301\end{figure}302303\begin{table}[htbp]304\caption{Distribution prédictive du prix du sujet du cas 1 au 1\ier{} septembre 2026 selon trois approches (données synthétiques)}\label{tab:39:predictive}305\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}306\begin{tabular}{@{}>{\raggedright\arraybackslash}p{34mm} S[table-format=6.0] c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0]@{}}307\toprule308Approche & {Médiane (\$)} & {Moyenne (\$)} & {Borne 5 \%} & {Borne 95 \%} & {Borne 2,5 \%} & {Borne 97,5 \%} \\309\midrule310Fréquentiste (ch. 18 : normale, HC1, Duan) & 635821 & 637 953 & 554095 & 729601 & 539682 & 749087 \\311Conjuguée, a priori de référence (Student, 584 ddl) & 635821 & n'existe pas & 553979 & 729754 & 539504 & 749334 \\312Hiérarchique (8 000 tirages de Gibbs) & 634748 & 637 727 & 554564 & 729004 & 540309 & 749431 \\313\bottomrule314\end{tabular}315\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} ; ligne fréquentiste : \texttt{traite.cas1.predire} et \texttt{intervalle\_prediction} aux niveaux 90 et 95 \%}. La moyenne d'une loi log-Student n'existe pas (\cref{prop:39-predictive}) ; la moyenne hiérarchique est la moyenne des tirages exponentiés.}316\end{table}317318\begin{figure}[htbp]319\centering320\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-predictive.pdf}321\caption{Distribution prédictive a posteriori du prix du sujet : densité des 8 000 tirages du modèle hiérarchique (aire, avec les intervalles de crédibilité à 90 et 95 \% en teintes plus foncées), prédictive de Student du modèle conjugué (tirets) et bornes de l'intervalle de prédiction fréquentiste à 95 \% du chapitre 18 (traits mixtes). Les trois approches donnent le même intervalle ; la lecture bayésienne autorise à l'énoncer comme une probabilité.}\label{fig:39:predictive}322\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}323\end{figure}324325\begin{table}[htbp]326\caption{Petit marché : 40 ventes à moins de 3 km du sujet et de moins de 18 mois, sous un a priori de référence et sous un a priori emprunté aux 414 ventes des autres secteurs (données synthétiques)}\label{tab:39:petit}327\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2pt}328\begin{tabular}{@{}l c c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1]@{}}329\toprule330A priori & {$\beta_{\ln S}$ (é.-t.)} & {Qualité (é.-t.)} & {Médiane (\$)} & {Créd. 2,5 \%} & {Créd. 97,5 \%} & {Larg. (\%)} \\331\midrule332Référence, 40 ventes ($\nu = 28$) & 0,611 (0,067) & 0,101 (0,022) & 650965 & 535079 & 791950 & 39.5 \\333Voisin, $\kappa = 1$ & 0,543 (0,016) & 0,062 (0,005) & 630978 & 534942 & 744255 & 33.2 \\334Voisin, $\kappa = 4$ & 0,550 (0,028) & 0,067 (0,008) & 633734 & 536880 & 748059 & 33.3 \\335Voisin, $\kappa = 16$ & 0,568 (0,042) & 0,076 (0,013) & 637196 & 539063 & 753193 & 33.6 \\336\midrule337Référence, Hull seul (186 ventes) & 0,540 (0,025) & --- & 623894 & 526381 & 739471 & 34.2 \\338Référence, 600 ventes & 0,539 (0,014) & 0,061 (0,004) & 635821 & 539504 & 749334 & 33.0 \\339\bottomrule340\end{tabular}341\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Largeur : $(\text{borne } 97{,}5\,\% - \text{borne } 2{,}5\,\%)/\text{médiane}$. A priori emprunté : pentes centrées sur la postérieure des autres secteurs avec $\mathbf{V}_0 = \kappa\mathbf{V}^{v}$, constante plate, $a_0 = a^{v}$, $b_0 = b^{v}$ ; coefficient du garage et $\E[\sigma]$ dans le texte.}342\end{table}343344\begin{figure}[htbp]345\centering346\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-prior-informatif.pdf}347\caption{Postérieures de l'élasticité de la superficie et de l'échelon de qualité sur les 40 ventes du petit marché, sous l'a priori de référence (courbe large) et sous l'a priori emprunté au marché voisin pour trois degrés de défiance $\kappa$ ; la courbe grise est la postérieure des 600 ventes et la ligne tiretée le paramètre de génération. À $\kappa = 1$ l'a priori domine ; à $\kappa = 16$ les quarante ventes reprennent la main.}\label{fig:39:prior}348\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}349\end{figure}350351\begin{table}[htbp]352\caption{Modèle hiérarchique des secteurs sur les 600 ventes du cas 1 : postérieure par Gibbs par blocs (4 chaînes, 8 000 tirages) et effets de secteur relatifs à Hull comparés aux effets fixes du chapitre 18 (données synthétiques)}\label{tab:39:hier}353\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{1.5pt}354\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-1.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-1.4]@{}}355\toprule356 & \multicolumn{4}{c}{Postérieure hiérarchique} & \multicolumn{2}{c}{Ch. 18} & \\357\cmidrule(lr){2-5}\cmidrule(lr){6-7}358Paramètre & {Moyenne} & {É.-t.} & {2,5 \%} & {97,5 \%} & {Effet fixe} & {E.-t. HC1} & {Vrai} \\359\midrule360$\sigma$ & 0.0832 & 0.0024 & 0.0785 & 0.0881 & 0.0830 & {---} & 0.0850 \\361$\tau$ (médiane 0,181) & 0.2281 & 0.2050 & 0.0797 & 0.6330 & {---} & {---} & {---} \\362$\alpha_0$ (niveau moyen) & 13.0209 & 0.1474 & 12.7786 & 13.2561 & {---} & {---} & {---} \\363$\alpha_{\text{Hull}}$ & 13.0896 & 0.0203 & 13.0504 & 13.1293 & {---} & {---} & {---} \\364\addlinespace365$\alpha_{\text{Gat}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.0153 & 0.0151 & -0.0450 & 0.0141 & -0.0223 & 0.0146 & -0.0215 \\366$\alpha_{\text{Ayl}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & 0.0976 & 0.0243 & 0.0507 & 0.1449 & 0.0854 & 0.0231 & 0.1096 \\367$\alpha_{\text{Buck}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.2073 & 0.0761 & -0.3562 & -0.0606 & -0.2504 & 0.0718 & -0.1844 \\368$\alpha_{\text{MA}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.2240 & 0.0695 & -0.3602 & -0.0894 & -0.2631 & 0.0672 & -0.2044 \\369\addlinespace370$\beta_{\ln S}$ & 0.5395 & 0.0137 & 0.5130 & 0.5662 & 0.5391 & 0.0127 & 0.5500 \\371$\beta_{\text{qualité}}$ & 0.0613 & 0.0041 & 0.0533 & 0.0695 & 0.0611 & 0.0042 & 0.0600 \\372$\beta_{\text{dist}}$ & -0.0052 & 0.0028 & -0.0106 & 0.0004 & -0.0036 & 0.0027 & -0.0060 \\373\midrule374\multicolumn{8}{@{}l}{$B_s$ (médiane de $\sigma^2$, $\tau^2$) : Hull 0,999 ; Gatineau 0,999 ; Aylmer 0,998 ; Buckingham 0,995 ; Masson-Angers 0,995} \\375\bottomrule376\end{tabular}377\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. A priori : plats sur $\boldsymbol\beta$ et $\alpha_0$, $1/\sigma^2$ sur $\sigma^2$, uniforme sur $\tau$ ; les autres coefficients sont dans le script. Gat : Gatineau ; Ayl : Aylmer ; Buck : Buckingham ; MA : Masson-Angers.}378\end{table}379380\begin{table}[htbp]381\caption{Diagnostics de convergence des deux échantillonneurs de Gibbs (4 chaînes de 2 000 tirages conservés) pour les paramètres les plus corrélés a posteriori}\label{tab:39:diagnostics}382\centering\small383\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=4.0] S[table-format=1.3] S[table-format=4.0]@{}}384\toprule385 & \multicolumn{2}{c}{Un paramètre à la fois} & \multicolumn{2}{c}{Par blocs $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$} \\386\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}387Paramètre & {$\hat R$} & {ESS} & {$\hat R$} & {ESS} \\388\midrule389Distance au centre & 1.065 & 91 & 1.000 & 4785 \\390$\alpha_{\text{Hull}}$ & 1.058 & 98 & 1.000 & 4976 \\391$\alpha_{\text{Gatineau}}$ & 1.040 & 153 & 1.000 & 5881 \\392$\alpha_{\text{Aylmer}}$ & 1.007 & 749 & 1.000 & 7662 \\393$\alpha_{\text{Buckingham}}$ & 1.067 & 92 & 1.000 & 4750 \\394$\alpha_{\text{Masson-Angers}}$ & 1.062 & 94 & 1.000 & 4745 \\395$\alpha_0$ & 1.001 & 208 & 1.000 & 6950 \\396$\tau$ & 1.006 & 678 & 1.001 & 2985 \\397$\sigma$ & 1.000 & 7616 & 1.000 & 7664 \\398Élasticité de la superficie & 1.000 & 5852 & 1.000 & 6721 \\399\bottomrule400\end{tabular}401\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. $\hat R$ scindé \eqref{eq:39:rhat} et ESS \eqref{eq:39:ess} ; 8 000 tirages conservés au total.}402\end{table}403404\begin{figure}[htbp]405\centering406\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-traces.pdf}407\caption{Traces des quatre chaînes (mille premières itérations conservées) pour l'effet de Masson-Angers relatif à Hull et pour le coefficient de la distance au centre. En haut, l'échantillonneur un paramètre à la fois : les chaînes dérivent lentement et séparément, $\hat R$ dépasse 1,06 et l'ESS est inférieur à cent. En bas, le Gibbs par blocs : les chaînes se mêlent immédiatement. La corrélation a posteriori entre la distance et les niveaux des secteurs périphériques est la cause du mélange lent.}\label{fig:39:traces}408\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}409\end{figure}410411\begin{table}[htbp]412\caption{Expérience : secteur de Masson-Angers réduit à 5, 10, 20 puis 47 ventes ; effet du secteur et prédictive d'un sujet hypothétique situé à Masson-Angers (données synthétiques)}\label{tab:39:experience}413\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2.2pt}414\begin{tabular}{@{}S[table-format=2.0] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1]@{}}415\toprule416{$n_{\text{MA}}$} & {Effet fixe} & {É.-t.} & {Effet aléat.} & {É.-t.} & {$\tau$ méd.} & {$B_{\text{MA}}$} & {Méd. fixe (\$)} & {Larg. (\%)} & {Méd. hiér. (\$)} & {Larg. (\%)} \\417\midrule4185 & -0.342 & 0.076 & -0.300 & 0.080 & 0.211 & 0.970 & 418591 & 36.1 & 421106 & 36.1 \\41910 & -0.321 & 0.071 & -0.282 & 0.074 & 0.204 & 0.984 & 428848 & 34.6 & 430624 & 34.8 \\42020 & -0.280 & 0.069 & -0.239 & 0.072 & 0.187 & 0.990 & 443619 & 34.0 & 443556 & 34.0 \\42147 & -0.263 & 0.067 & -0.224 & 0.070 & 0.181 & 0.996 & 448726 & 33.4 & 448829 & 33.1 \\422\bottomrule423\end{tabular}424\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Paramètre vrai de Masson-Angers : $-0{,}2044$ ; sous-ensembles emboîtés tirés avec la graine 20261031 ; sujet hypothétique : caractéristiques du sujet du cas 1, secteur Masson-Angers, 26,9 km du centre ; largeur de l'intervalle à 95 \% en pourcentage de la médiane.}425\end{table}426427\begin{figure}[htbp]428\centering429\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-retrecissement.pdf}430\caption{À gauche, l'effet de Masson-Angers relatif à Hull selon le nombre de ventes conservées : effet fixe avec son intervalle à 95 \% et effet aléatoire avec son intervalle de crédibilité, paramètre de génération (tirets) et moyenne des secteurs (pointillés). L'effet aléatoire est tiré vers la moyenne commune, d'autant plus que les ventes sont rares. À droite, le facteur de rétrécissement $B_s$ de l'\cref{eq:39:retrecissement} selon $n_s$ pour trois valeurs de $\tau$, avec les points de l'expérience : plus les secteurs se ressemblent, plus le rétrécissement est fort.}\label{fig:39:retrecissement}431\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}432\end{figure}433434\begin{table}[htbp]435\caption{Comparaison des trois traitements des secteurs par le WAIC et la validation croisée une observation à la fois (600 ventes, données synthétiques)}\label{tab:39:criteres}436\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{3pt}437\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.1] S[table-format=2.1] S[table-format=3.1] S[table-format=2.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1] S[table-format=-3.1]@{}}438\toprule439Modèle & {lppd} & {$p_{\mathrm{WAIC}}$} & {elpd$_{\mathrm{WAIC}}$} & {E.-t.} & {LOO exact} & {LOO import.} & {$\Delta$elpd} \\440\midrule441Regroupement complet (12 coefficients) & 510.2 & 12.4 & 497.8 & 17.5 & 497.8 & 497.8 & -135.3 \\442Effets fixes, ch. 18 (16 coefficients) & 649.2 & 16.0 & 633.2 & 16.2 & 633.1 & 633.1 & 0.0 \\443Effets aléatoires (16 coeff. + $\alpha_0$, $\tau$) & 649.0 & 16.1 & 632.9 & 16.3 & {---} & 632.9 & -0.3 \\444\bottomrule445\end{tabular}446\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. 2 000 tirages par modèle ; LOO exact par réestimation en forme fermée (modèles conjugués) ; LOO par importance tronquée ; E.-t. : erreur-type de l'elpd ; $\Delta$elpd par rapport au meilleur modèle. WAIC $= -2\,\mathrm{elpd}$ : $-995{,}7$, $-1266{,}3$ et $-1265{,}7$.}447\end{table}448449\section{Analyse de sensibilité : l'a priori sur la variance des secteurs}\label{sec:39:sensibilite}450451Le paramètre le moins bien informé du modèle hiérarchique est $\tau$, et la \cref{sec:39:hierarchique} a annoncé que son a priori compte lorsque les groupes sont peu nombreux. Le \cref{tab:39:sensibilite} réestime le modèle sous quatre a priori : l'uniforme sur $\tau$ retenu dans le chapitre ; l'inverse-gamma $\mathcal{IG}(0{,}001 ; 0{,}001)$ sur $\tau^2$, longtemps présentée comme non informative ; une inverse-gamma $\mathcal{IG}(1 ; 0{,}01)$, plus concentrée ; et un $\tau$ fixé à l'écart-type des quatre effets fixes et de zéro, 0,157, ce qui est l'approche dite du \emph{bayésien empirique}. Sur les 600 ventes, la médiane a posteriori de $\tau$ varie de 0,129 à 0,181 selon l'a priori, et l'effet de Masson-Angers de $-0{,}200$ à $-0{,}224$ ; avec cinq ventes à Masson-Angers, de $-0{,}269$ à $-0{,}300$. L'inverse-gamma « non informative » rapproche bien $\tau$ de zéro, comme Gelman (2006) l'avait montré, et rétrécit davantage ; mais l'ampleur de l'effet reste modeste, 0,03 sur un effet de 0,3, parce que la vraisemblance des cinq secteurs, très différents les uns des autres, domine l'a priori dans la région qui compte. Fixer $\tau$ réduit l'écart-type a posteriori de l'effet d'environ dix pour cent, ce qui est le prix de l'incertitude sur $\tau$ que les trois autres a priori intègrent et que le bayésien empirique ignore. La conclusion pratique est que le choix de l'a priori sur $\tau$ ne change pas la conclusion de valeur dans ce dossier, qu'il la changerait si les secteurs se ressemblaient davantage ou s'ils étaient moins nombreux, et que le rapport doit dans tous les cas déclarer l'a priori retenu et montrer, comme ici, ce qu'une alternative raisonnable aurait donné. Le paramètre $\kappa$ de l'a priori emprunté joue le même rôle pour le modèle conjugué, et le \cref{tab:39:petit} en est l'analyse de sensibilité : entre $\kappa = 1$ et $\kappa = 16$, la médiane du sujet bouge de \dollars{6200} et sa largeur de 0,4 point.452453\begin{table}[htbp]454\caption{Sensibilité du modèle hiérarchique à l'a priori sur $\tau$ : 600 ventes et Masson-Angers réduit à 5 ventes (données synthétiques)}\label{tab:39:sensibilite}455\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}456\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3]@{}}457\toprule458 & \multicolumn{5}{c}{600 ventes} & \multicolumn{3}{c}{$n_{\text{MA}} = 5$} \\459\cmidrule(lr){2-6}\cmidrule(lr){7-9}460A priori sur $\tau$ & {$\tau$ méd.} & {$\tau$ 5 \%} & {$\tau$ 95 \%} & {Effet MA} & {É.-t.} & {$\tau$ méd.} & {Effet MA} & {É.-t.} \\461\midrule462Uniforme sur $\tau$ (retenu) & 0.181 & 0.089 & 0.494 & -0.224 & 0.070 & 0.211 & -0.300 & 0.080 \\463$\mathcal{IG}(0{,}001 ; 0{,}001)$ sur $\tau^2$ & 0.149 & 0.079 & 0.343 & -0.211 & 0.070 & 0.175 & -0.285 & 0.081 \\464$\mathcal{IG}(1 ; 0{,}01)$ sur $\tau^2$ & 0.129 & 0.077 & 0.245 & -0.200 & 0.067 & 0.145 & -0.269 & 0.079 \\465$\tau$ fixé à 0,157 (bayésien empirique) & 0.157 & {---} & {---} & -0.221 & 0.062 & 0.157 & -0.283 & 0.070 \\466\midrule467\multicolumn{9}{@{}l}{Pour mémoire : effet fixe de Masson-Angers $-0{,}263$ (0,067) avec 47 ventes, $-0{,}342$ (0,076) avec 5 ventes ;} \\468\multicolumn{9}{@{}l}{paramètre de génération $-0{,}2044$} \\469\bottomrule470\end{tabular}471\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Effet MA : $\alpha_{\text{Masson-Angers}} - \alpha_{\text{Hull}}$, moyenne et écart-type a posteriori ; Gibbs par blocs, 4 chaînes, 8 000 tirages.}472\end{table}473474\section{Extensions et prolongements}\label{sec:39:extensions}475476Le modèle hiérarchique du chapitre n'a qu'un niveau de regroupement et des secteurs sans structure spatiale : deux secteurs voisins n'y sont pas plus semblables que deux secteurs éloignés. Trois extensions, toutes bayésiennes par nature, lèvent ces restrictions. La première emboîte les niveaux : des quartiers dans des secteurs, des secteurs dans des municipalités, des municipalités dans des régions, chaque niveau ayant sa variance et son rétrécissement ; \textcite{gelmanHill2007} en donnent la grammaire, et le portefeuille interrégional du \cref{ch:48} en est le terrain d'application naturel, puisque ses quarante-huit immeubles se répartissent entre six régions dont certaines ne comptent que quelques observations. La deuxième remplace les effets de secteur discrets par un champ continu : l'effet de localisation $\mu(\mathbf{s})$ devient un \motcle{processus gaussien} dont la covariance décroît avec la distance, ce qui est la version bayésienne du krigeage des résidus du \cref{ch:19} ; \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004} l'ont appliquée aux ventes résidentielles en y ajoutant la dimension temporelle, et \textcite{banerjeeCarlinGelfand2014} en font un traité. Le coût de calcul, cubique en nombre d'observations, a longtemps limité ces modèles à quelques centaines de ventes ; l'approximation de Laplace emboîtée intégrée (INLA) de \textcite{rueMartinoChopin2009} et la représentation des champs de Matérn par une équation aux dérivées partielles stochastique de \textcite{lindgrenRueLindstrom2011} ont levé cet obstacle et rendent aujourd'hui possible l'estimation de modèles spatiaux hiérarchiques sur les dizaines de milliers de ventes d'une métropole, sans MCMC. La troisième extension concerne les données manquantes, question posée au \cref{ch:14} : dans le cadre bayésien, une caractéristique non renseignée d'une vente est simplement un paramètre de plus, tiré à chaque itération de sa conditionnelle complète sachant le prix et les autres attributs ; l'imputation multiple de \textcite{rubin1976} en est l'approximation en quelques tirages, et l'incertitude de l'imputation se propage d'elle-même aux intervalles. Enfin, l'évaluateur qui voudra aller au-delà du Gibbs conjugué, pour des vraisemblances non normales, des a priori non conjugués ou des champs gaussiens, trouvera dans Stan \parencite{carpenter2017} et dans l'exposé de \textcite{mcelreath2020} les outils et la pédagogie ; les dérivations du présent chapitre lui permettront de lire ce que ces outils calculent.477478\begin{quebec}[Intervalles, « prix le plus probable » et preuve d'expert]479La définition québécoise de la valeur marchande, rappelée au \cref{ch:16}, parle du « prix sincère le plus probable » \parencite[Intro-11]{oeaqNormes}, et celle de la valeur réelle aux fins du rôle, du prix le plus probable d'une vente de gré à gré \parencite[art.~43--45]{lfm}. Ces formulations désignent la position centrale d'une distribution de prix, non ses bornes ; la distribution prédictive de ce chapitre en est la traduction statistique la plus directe, et sa médiane, qui est aussi la valeur que le prix a autant de chances de dépasser que de ne pas atteindre, correspond mieux à « le plus probable » que la moyenne arithmétique que le facteur de Duan cherche à estimer. L'intervalle de crédibilité, lui, répond à une question que ces définitions ne posent pas mais que le client et le tribunal posent toujours : avec quelle probabilité le prix tomberait-il dans telle fourchette ? Lorsqu'un modèle bayésien étaye une conclusion de valeur devant le Tribunal administratif du Québec ou une cour, l'évaluateur doit s'attendre à ce que l'a priori soit le premier point attaqué, parce qu'il est la partie du raisonnement qui ne vient pas des ventes. La parade est celle qu'adopte ce chapitre : un a priori dont chaque hyperparamètre provient d'une estimation reproductible (marché voisin, période antérieure, étude publiée) et non d'une conviction, un facteur de défiance $\kappa$ déclaré, une analyse de sensibilité qui montre ce que l'a priori de référence aurait donné, et l'indication claire que, lorsque les ventes locales sont nombreuses, les deux approches coïncident (\cref{prop:39-reference}). Les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport permette au lecteur de comprendre le raisonnement et les méthodes qui conduisent à la conclusion (\cref{ch:10}) ; un modèle bayésien n'y déroge pas, il y ajoute la description de l'a priori et des diagnostics de calcul. Sources consultées le 31 octobre 2026.480\end{quebec}481482\begin{pratique}483Un modèle bayésien déposé à l'appui d'une conclusion de valeur documente, outre ce que le \cref{ch:18} exige d'un modèle hédonique : la forme et la provenance de chaque a priori, avec sa traduction en « ventes équivalentes » ($n_0 = \sigma^2/s_0^2$ pour une moyenne, $2a_0$ et $\mathbf{V}_0^{-1}$ pour une régression) ; le résultat sous l'a priori de référence, pour montrer ce que les données seules disent ; l'algorithme de calcul, le nombre de chaînes, d'itérations et de tirages écartés, et les diagnostics $\hat R$ et ESS de tous les paramètres qui entrent dans la conclusion ; la distribution prédictive du sujet sous forme de médiane et d'intervalles de crédibilité à 90 et 95 \%, en précisant qu'ils portent sur le prix et non sur la valeur espérée ; l'analyse de sensibilité à l'a priori ; et le script. La graine du générateur de nombres aléatoires fait partie du dossier : sans elle, les tirages ne sont pas reproductibles, et une conclusion non reproductible n'est pas une preuve.484\end{pratique}485486\begin{erreurs}487\begin{itemize}488\item \emph{Lire un intervalle de confiance comme un intervalle de crédibilité.} Seul le second autorise l'énoncé « la probabilité que le prix soit dans l'intervalle est de 95 \% » ; le premier porte sur la procédure. Les nombres coïncident sous l'a priori de référence (\cref{prop:39-reference}), pas les phrases.489\item \emph{Croire qu'un a priori « non informatif » n'informe pas.} L'inverse-gamma $\mathcal{IG}(\epsilon, \epsilon)$ sur la variance des groupes pousse vers le regroupement complet ; un a priori propre très vague sur $\boldsymbol\beta$ fausse la postérieure de $\sigma^2$ en petit échantillon. Déclarer l'a priori et tester une alternative.490\item \emph{Emprunter le niveau de prix d'un marché voisin.} On emprunte les prix implicites, jamais la constante : c'est le niveau local que les ventes locales doivent fixer (\cref{sec:39:conjugue}).491\item \emph{Rapporter la « moyenne » de la prédictive en dollars sans réfléchir.} Sous une prédictive log-Student elle n'existe pas ; sous le modèle hiérarchique elle dépend des queues. La médiane et les quantiles sont les quantités à communiquer.492\item \emph{Faire confiance à une seule chaîne.} Sans plusieurs chaînes de départs dispersés, $\hat R$ n'est pas calculable et un mélange lent passe inaperçu ; la \cref{fig:39:traces} montre des chaînes dont chacune, prise isolément, aurait paru convergée.493\item \emph{Confondre le rétrécissement avec un biais vers le bas ou vers le haut.} Il tire vers la moyenne des groupes, où qu'elle soit, et il s'annule de lui-même quand le groupe a assez de ventes ; c'est la pondération optimale de l'\cref{eq:39:normale-normale}, non une correction arbitraire.494\item \emph{Utiliser le WAIC pour départager des modèles dont l'écart d'elpd est inférieur à son erreur-type.} Le \cref{tab:39:criteres} ne départage pas les effets fixes des effets aléatoires ; c'est l'usage qui tranche.495\item \emph{Oublier que la prédictive porte sur le prix et non sur la valeur.} Comme au \cref{ch:18}, l'intervalle de \dollars{540000} à \dollars{749000} décrit la dispersion des prix possibles ; l'incertitude sur la valeur espérée est dix fois moindre (écart-type de 0,010 contre 0,083 en logarithme).496\end{itemize}497\end{erreurs}498499\begin{limites}500\begin{itemize}501\item Les données du cas 1 sont engendrées par le modèle que l'on estime, avec des effets de secteur très distincts et une erreur normale homoscédastique ; la coïncidence des approches, la couverture de quinze paramètres sur quinze et la modestie du rétrécissement en découlent. Sur des données réelles, les secteurs se ressemblent davantage, les queues sont plus épaisses et le rétrécissement comme la sensibilité à l'a priori sont plus marqués.502\item Le modèle hiérarchique n'a que cinq groupes : la postérieure de $\tau$ est large et dépend de l'a priori, comme la \cref{sec:39:sensibilite} le montre. Avec des quartiers ou des rues comme groupes, l'a priori sur $\tau$ compterait moins et le rétrécissement davantage.503\item L'a priori « marché voisin » suppose que les prix implicites se transposent d'un marché à l'autre à un facteur de défiance près ; c'est une hypothèse (\cref{ch:18}), et sur le jeu synthétique elle est vraie par construction.504\item Les diagnostics $\hat R$ et ESS sont nécessaires, non suffisants : une postérieure multimodale dont aucune chaîne n'a visité le second mode donne un $\hat R$ excellent. La version rang-normalisée de Vehtari et al. (2021), non implémentée ici, est plus robuste.505\item Le LOO par échantillonnage préférentiel implémenté est une version tronquée simplifiée, sans le lissage de Pareto de la méthode PSIS ni son diagnostic $\hat k$ ; il est adéquat pour ce modèle bien conditionné et devrait être remplacé par PSIS pour des données à observations influentes.506\item Les seuils de $\hat R < 1{,}01$ et d'un ESS de quelques centaines sont des conventions d'usage ; la recommandation d'un a priori uniforme sur $\tau$ pour $J \geq 5$ est celle de \textcite[§~5.7]{gelman2013}, non une norme.507\end{itemize}508\end{limites}509510\begin{synthese}511\begin{itemize}512\item L'inférence bayésienne combine une distribution a priori et la vraisemblance par le théorème de Bayes ; elle répond aux petits échantillons, à l'information d'expert et au besoin d'intervalles interprétables comme des probabilités. La réconciliation pondérée du \cref{ch:20} en est un cas particulier.513\item Pour la régression hédonique, l'a priori normale--inverse-gamma est conjugué : la postérieure est NIG \eqref{eq:39:posterieure}, la prédictive du logarithme du prix est une Student \eqref{eq:39:predictive}, et sous l'a priori de référence tout coïncide avec les moindres carrés et l'intervalle de prédiction classique. Sur le cas 1 : médiane \dollars{635821}, intervalle de crédibilité à 95 \% de \dollars{539504} à \dollars{749334}, contre \dollars{539682} à \dollars{749087} au \cref{ch:18}.514\item Un a priori informatif emprunte à un marché voisin ses prix implicites, jamais son niveau, avec un facteur de défiance $\kappa$ déclaré ; sur quarante ventes, il divise par quatre l'incertitude des coefficients et déplace la médiane du sujet de \dollars{20000}, mais réduit peu la largeur de l'intervalle, gouvernée par $\sigma$.515\item Le modèle hiérarchique tire les effets de secteur d'une loi commune de variance $\tau^2$ et les rétrécit vers la moyenne selon $B_s = n_s\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2)$ ; il se situe entre le regroupement complet et les effets fixes et les contient comme limites. À Gatineau, les secteurs sont si différents que le rétrécissement est faible ; réduit à cinq ventes, Masson-Angers passe de $-0{,}342$ à $-0{,}300$.516\item L'échantillonneur de Gibbs tire chaque bloc de sa conditionnelle complète ; tirer $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$ ensemble supprime le mélange lent dû aux corrélations a posteriori. Les diagnostics obligatoires sont les traces de plusieurs chaînes, $\hat R$ scindé et la taille d'échantillon effective.517\item Le WAIC et la validation croisée par importance comparent les modèles sur leur capacité prédictive ; ici ils rejettent le regroupement complet et ne départagent pas effets fixes et aléatoires.518\item Le rapport déclare l'a priori et sa provenance, montre le résultat de référence, fournit les diagnostics et la graine, communique la médiane et les intervalles de crédibilité du prix, et présente l'analyse de sensibilité.519\end{itemize}520\end{synthese}521522\section*{Exercices}523\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}524525\begin{exercice}[1]{Mise à jour d'une opinion d'expert dans un marché mince}{ex:39:1}526Un évaluateur estime, par expérience, que le prix au mètre carré habitable des maisons d'une petite municipalité est d'environ \parmsq{3300}, avec une incertitude qu'il traduit par un écart-type de \parmsq{200}. Quatre ventes de l'année donnent une moyenne de \parmsq{3520} ; la dispersion des prix unitaires autour de la moyenne du marché est connue et vaut \parmsq{300}. (a) Calculez la moyenne et l'écart-type a posteriori du prix unitaire par l'\cref{eq:39:normale-normale}, ainsi que le poids $w$ des ventes. (b) À combien de ventes équivaut l'opinion de l'évaluateur ? (c) Donnez les intervalles de crédibilité à 90 et 95 \% du prix unitaire, puis la valeur indiquée et son écart-type pour une maison de \msq{165}. (d) Que deviennent la moyenne et le poids si l'évaluateur, moins sûr de lui, porte son écart-type a priori à \parmsq{400} ?527\end{exercice}528529\begin{exercice}[1]{Lire une distribution prédictive}{ex:39:2}530La prédictive du logarithme du prix du sujet du cas 1 est une Student à 584 degrés de liberté, de centre 13,3627 et d'échelle 0,08364 (\cref{tab:39:predictive}). (a) Calculez la probabilité a posteriori que le sujet se vende plus de \dollars{650000}, puis moins de \dollars{550000} ; on pourra approcher la Student par la normale. (b) Donnez l'intervalle de crédibilité à 80 \%. (c) Rédigez en deux phrases ce que l'évaluateur peut écrire dans son rapport à propos de cet intervalle, puis ce qu'il aurait dû écrire s'il s'agissait de l'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}.531\end{exercice}532533\begin{exercice}[2]{Le facteur de rétrécissement}{ex:39:3}534Avec $\sigma = 0{,}083$ et $\tau = 0{,}15$ : (a) calculez $B_s$ pour $n_s = 5$, 10, 20 et 47 ventes ; (b) un secteur de cinq ventes a une moyenne de résidus $\bar r_s = -0{,}30$ et la moyenne commune vaut $\alpha_0 = -0{,}08$ (en écart à Hull) : calculez l'effet rétréci et son écart-type conditionnel, et comparez ce dernier à l'écart-type $\sigma/\sqrt{n_s}$ de l'effet fixe ; (c) refaites le calcul de $B_s$ avec $\tau = 0{,}05$ et commentez : dans quel type de découpage géographique le rétrécissement devient-il déterminant ? (d) Pour quel $n_s$ a-t-on $B_s = 1/2$ dans chaque cas ?535\end{exercice}536537\begin{exercice}[2]{La prédictive de Student}{ex:39:4}538Pour le sujet du cas 1 sous l'a priori de référence, $a_n = 292$, $b_n = 2{,}0122$, $\mathbf{x}_s\T\mathbf{V}_n\mathbf{x}_s = 0{,}01509$ et $\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n = 13{,}3627$. (a) Calculez $b_n/a_n$, l'échelle $s^{*}$ de l'\cref{eq:39:predictive} et la part de l'incertitude sur les coefficients dans $s^{*2}$. (b) Calculez l'intervalle de crédibilité à 95 \% du prix avec le quantile de Student $t_{584;0{,}975} = 1{,}9640$ et comparez-le à celui obtenu avec le quantile normal 1,9600. (c) Supposez qu'un petit marché ne laisse que 20 degrés de liberté avec la même échelle : avec $t_{20;0{,}975} = 2{,}0860$, de combien l'intervalle s'élargit-il en pourcentage ? (d) Expliquez pourquoi la moyenne a posteriori du prix n'existe pas sous cette prédictive et ce qu'il faut communiquer à la place.539\end{exercice}540541\begin{exercice}[2]{Calculer $\hat R$}{ex:39:5}542Quatre demi-chaînes de $n = 1000$ tirages d'un effet de secteur ont pour moyennes $-0{,}262$, $-0{,}258$, $-0{,}271$ et $-0{,}249$ et pour variances 0,0049, 0,0052, 0,0047 et 0,0055. (a) Calculez $B$, $W$, $\widehat{\Var}^{+}$ et $\hat R$ par l'\cref{eq:39:rhat} ; la convergence est-elle acceptable au seuil de 1,01 ? (b) La troisième demi-chaîne a en réalité une moyenne de $-0{,}371$ : recalculez $\hat R$ et interprétez. (c) Si l'autocorrélation des tirages à l'ordre 1 est de 0,8 et décroît géométriquement, estimez l'ESS des 4 000 tirages à l'aide de la formule $\sum_{t \geq 1}\rho^t = \rho/(1 - \rho)$, et dites si elle suffit pour estimer un quantile à 2,5 \%.543\end{exercice}544545\begin{exercice}[3]{Le facteur de défiance d'un a priori emprunté}{ex:39:6}546À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} (fonctions \texttt{prior\_marche\_voisin} et \texttt{exemple\_conjugue}), reprenez le petit marché des quarante ventes. (a) Reproduisez la ligne $\kappa = 1$ du \cref{tab:39:petit}, puis estimez les variantes $\kappa = 0{,}25$ et $\kappa = 100$ : que deviennent l'élasticité de la superficie, son écart-type et la médiane du sujet ? (b) Modifiez l'a priori pour emprunter aussi la constante du marché voisin (en lui donnant la même défiance $\kappa$) et montrez ce qui arrive à la médiane du sujet ; expliquez pourquoi la règle du chapitre interdit cet emprunt. (c) Construisez un a priori à partir des seules ventes de 2023 et 2024 du secteur de Hull, appliquez-le aux ventes de 2025 et 2026 du petit marché et comparez à l'a priori « autres secteurs » : lequel est le plus défendable devant un tribunal, et pourquoi ? Rédigez une note de 200 mots.547\end{exercice}548549\begin{exercice}[3]{Dériver une conditionnelle complète}{ex:39:7}550On remplace, dans le modèle \eqref{eq:39:hier}, l'a priori plat sur le niveau moyen $\alpha_0$ par un a priori normal $\alpha_0 \sim \mathcal N(m, s^2)$ qui traduit une opinion d'expert sur le niveau de prix moyen des secteurs. (a) Dérivez la nouvelle conditionnelle complète de $\alpha_0$ et vérifiez qu'elle redonne l'\cref{eq:39:cond-alpha0} lorsque $s \to \infty$. (b) Avec $J = 5$, $\tau = 0{,}181$ et une moyenne des $\alpha_s$ de 13,020, calculez la moyenne et l'écart-type de cette conditionnelle pour $(m, s) = (13{,}0 ; 1{,}0)$ puis $(13{,}0 ; 0{,}05)$ et commentez. (c) Montrez que les conditionnelles des autres paramètres ne changent pas. (d) Modifiez la fonction \texttt{gibbs\_hierarchique} du script pour intégrer cet a priori, exécutez quatre chaînes avec $(m, s) = (13{,}0 ; 0{,}05)$ et rapportez $\hat R$, l'ESS et l'effet de Masson-Angers ; dans quelle direction l'a priori a-t-il agi et pourquoi si peu ?551\end{exercice}552553\section*{Pour aller plus loin}554\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}555556Le traité de \textcite{gelman2013} est la référence générale : les chapitres 2 et 3 pour les lois conjuguées, le chapitre 5 pour les modèles hiérarchiques et le rétrécissement, le chapitre 11 pour le Gibbs et ses diagnostics, le chapitre 7 pour le WAIC et la validation croisée. \textcite{gelmanHill2007} exposent les modèles multiniveaux avec une pédagogie tournée vers l'application, et leurs chapitres sur les groupes emboîtés se transposent directement aux quartiers, secteurs et municipalités. \textcite{mcelreath2020} offre l'introduction la plus accessible à la pensée bayésienne et à Stan, dont \textcite{carpenter2017} décrivent le langage et l'algorithme. En économétrie, \textcite{koop2003} traite la régression bayésienne, l'a priori normale--inverse-gamma et la comparaison de modèles avec la lecture « échantillon fictif » adoptée ici. Pour l'immobilier, \textcite{goetzmann1992} a introduit le rétrécissement bayésien des indices de petits marchés ; \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004} ont construit les premiers modèles spatio-temporels bayésiens de ventes résidentielles, que le traité de \textcite{banerjeeCarlinGelfand2014} généralise ; \textcite{rueMartinoChopin2009} et \textcite{lindgrenRueLindstrom2011} donnent les outils de calcul rapide qui rendent ces modèles praticables à grande échelle. Les articles sur l'échantillonneur de Gibbs, la statistique $\hat R$, les a priori sur les variances hiérarchiques et le WAIC sont cités en notes de bas de page avec leur DOI.557