spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 15 — Études de marché et segmentation2% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch15.py (script analysis/python/cases/ch15_segmentation.py)34\begin{solution}{ex:15:1}{Mois d'inventaire et taux d'absorption}5Les ventes mensuelles moyennes du trimestre sont $569/3 = 189{,}7$. Le nombre de mois d'inventaire vaut $\mathit{MI} = 825 / 189{,}7 = 4{,}35$ mois et le taux d'absorption mensuel $a = 1/\mathit{MI} = 189{,}7/825 = \pct{23.0}$ : un peu moins du quart du stock de Sherbrooke trouve preneur chaque mois. Avec des inscriptions en hausse de \pct{20}, soit $825 \times 1{,}2 = 990$, et des ventes en baisse de \pct{10}, soit $569 \times 0{,}9 = 512{,}1$ par trimestre ou $170{,}7$ par mois, l'inventaire passerait à $990/170{,}7 = 5{,}80$ mois et l'absorption à \pct{17.2}. Le marché resterait dans la bande d'usage « équilibré » (quatre à six mois), mais tout près de son bord supérieur, et surtout il s'y déplacerait rapidement : la lecture qui compte pour l'évaluateur n'est pas la bande, mais la direction et la vitesse du mouvement, qui annoncent une pression à la baisse sur les prix demandés et un allongement des délais.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:15:2}{Délimiter le marché d'un triplex}9\emph{Type et détention} : le marché est celui des plex de deux à cinq logements en pleine propriété ; les copropriétés divises et les unifamiliales n'en font pas partie, même si quelques acheteurs hésitent entre un duplex et une maison. \emph{Fourchette de prix et financement} : autour de la médiane des plex du secteur La Cité--Basse-Ville et Limoilou, \dollars{647500} au troisième trimestre de 2026 ; l'acheteur occupant finance avec une mise de fonds réduite et compte les deux loyers dans sa capacité d'emprunt, ce qui lie le marché au niveau des loyers. \emph{Géographie} : les quartiers centraux de la basse ville, Limoilou et ses environs immédiats, où l'acheteur type arbitre entre quelques quartiers de même tissu urbain ; la haute ville et les banlieues relèvent d'autres marchés. \emph{Caractéristiques physiques} : plex d'avant 1960 à logements superposés avec entrées distinctes, par opposition aux immeubles plus récents ou aux plex convertis. \emph{Temps} : douze à dix-huit mois, resserrés si la hausse de \pct{13} du prix médian des plex du secteur sur un an se poursuit. \emph{Droits et contraintes} : deux baux en place dont les loyers et les échéances déterminent ce que l'acheteur occupant pourra habiter et quand ; encadrement des loyers. \emph{Acheteur type} : un ménage propriétaire occupant qui finance son logement par les deux loyers, ou un petit investisseur ; les deux profils coexistent et expliquent la prime que paient les plex par rapport à leur valeur par le revenu (\cref{ch:32}). Sources : étape 2, baromètre APCIQ de la RMR de Québec, découpage par secteur Centris (secteur 2) ; étape 3, communiqué APCIQ pour les inscriptions et délais de la RMR, non disponibles par secteur ; étape 5, Rapport sur le marché locatif de la SCHL, découpage par zone de l'Enquête sur les logements locatifs, qui ne coïncide pas avec le secteur Centris et dont l'appartenance exacte de Limoilou à la zone « Basse-Ville » doit être vérifiée dans la carte des zones.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:15:3}{Stock, flux et inscriptions hors du prix}13Ventes mensuelles : $9\,265/3 = 3\,088{,}3$. Délai médian en mois : $40 / 30{,}4375 = 1{,}314$. Si toutes les inscriptions se vendaient en ce délai, la relation de Little donnerait un stock de $3\,088{,}3 \times 1{,}314 = 4\,059$ inscriptions. Le stock observé est de $20\,350$ : l'excédent est de $20\,350 - 4\,059 = 16\,291$ inscriptions, soit \pct{80.1} du stock. Deux explications se combinent. La censure : le délai médian ne porte que sur les propriétés vendues ; celles qui attendent, qui seront retirées ou réinscrites ne sont pas comptées, et la durée de séjour de l'ensemble du stock, mesurée par les 6,6 mois d'inventaire, est cinq fois plus longue. L'hétérogénéité : les propriétés au prix du marché se vendent en six semaines, et le reste du stock est composé de propriétés dont le prix demandé excède ce que les acheteurs paient, ou qui sont atypiques. Un excédent de quatre cinquièmes du stock signale un marché où les vendeurs n'ont pas encore ajusté leurs attentes ; les prix vendus résistent tant que les vendeurs refusent de baisser, puis cèdent. Pour l'ajustement de conditions du marché, cela signifie qu'une vente conclue un an plus tôt ne doit pas être revalorisée au rythme passé, et qu'un ajustement nul ou légèrement négatif est plus défendable qu'un ajustement positif ; cela signifie aussi que la fourchette de valeur doit être élargie, parce que la dispersion des prix conclus croît avec la marge de négociation.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:15:4}{Calcul d'une silhouette}17Pour le point $(1, 0)$ du groupe A : distances aux autres membres de A, $d\big((1,0),(0,0)\big) = 1$ et $d\big((1,0),(0,1)\big) = \sqrt{2} = 1{,}414$, d'où $a = (1 + 1{,}414)/2 = 1{,}207$. Distances aux membres de B : $3$, $\sqrt{10} = 3{,}162$ et $4$, d'où $b = (3 + 3{,}162 + 4)/3 = 3{,}387$. Silhouette : $s = (3{,}387 - 1{,}207)/\max(1{,}207 ; 3{,}387) = 0{,}644$. Si le point était affecté à B, ses rôles s'inverseraient : $a' = 3{,}387$, $b' = 1{,}207$ et $s' = (1{,}207 - 3{,}387)/3{,}387 = -0{,}644$, valeur négative qui signale un point mal classé. La silhouette moyenne favorise les partitions en peu de groupes bien séparés parce que $b_i$ est la distance au groupe voisin \emph{le plus proche} : plus il y a de groupes, plus il existe un voisin proche, plus $b_i$ diminue et plus $s_i$ se rapproche de zéro, même si les groupes supplémentaires sont pertinents pour le marché. C'est pourquoi le choix de $k$ par la silhouette doit être tempéré par le sens économique des groupes et confirmé par un test sur la relation prix-attributs.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:15:5}{Test de Chow à partir des sommes des carrés}21Avec $n = 600$, $G = 5$ et $k_0 = 12$, le modèle libre a $Gk_0 = 60$ coefficients et $n - Gk_0 = 540$ degrés de liberté résiduels ; sa variance résiduelle est $3{,}7360/540 = 0{,}006919$. \emph{Version pentes} : $q = (G-1)(k_0-1) = 44$ restrictions et22\[23F = \frac{(4{,}0245 - 3{,}7360)/44}{3{,}7360/540} = \frac{0{,}006557}{0{,}006919} = 0{,}948 < 1{,}40 ,24\]25l'hypothèse de pentes communes n'est pas rejetée ($p = 0{,}57$). \emph{Version classique} : $q_0 = (G-1)k_0 = 48$ restrictions et26\[27F_0 = \frac{(6{,}4024 - 3{,}7360)/48}{3{,}7360/540} = \frac{0{,}05555}{0{,}006919} = 8{,}03 > 1{,}38 ,28\]29l'hypothèse d'une équation entièrement commune est rejetée sans ambiguïté ($p < 10^{-30}$). Conclusion : les cinq secteurs ont des niveaux de prix différents mais la même structure de prix implicites ; une seule équation est acceptable à condition d'inclure des effets de secteur, et les ajustements de superficie, d'âge ou de qualité tirés de l'ensemble de la RMR sont transférables d'un secteur à l'autre, tandis que l'ajustement de localisation est indispensable. Un résultat inverse, rejet des pentes sans rejet des niveaux, signifierait que les secteurs ont en moyenne le même niveau de prix mais rémunèrent différemment les caractéristiques, par exemple le terrain davantage au centre et la surface habitable davantage en banlieue ; les secteurs seraient alors de véritables sous-marchés au sens de la \cref{def:sousmarche}, et il faudrait estimer des prix implicites propres à chacun ou restreindre les comparables au secteur du sujet, même si une vente d'un autre secteur paraît de prix voisin.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:15:6}{Rattrapage des loyers et rotation}33Part de l'écart récupérée, $\pi_T = 1 - (1-r)^T$ : pour $r = \pct{15}$, $\pi_5 = 1 - 0{,}85^5 = \pct{55.6}$ et $\pi_{10} = \pct{80.3}$ ; pour $r = \pct{9.4}$, $\pi_5 = \pct{39.0}$ et $\pi_{10} = \pct{62.7}$ ; pour $r = \pct{8.5}$, $\pi_5 = \pct{35.9}$ et $\pi_{10} = \pct{58.9}$. Montant récupéré la première année, $r \times 20\,496$ : \dollars{3074}, \dollars{1927} et \dollars{1742}. L'hypothèse de \pct{15} récupère donc en cinq ans ce que la rotation observée récupère en huit à neuf ans ; dans un modèle de flux actualisés, cet écart de rythme se traduit par plusieurs dizaines de milliers de dollars de valeur présente, ce que le \cref{ch:47} chiffre. Pour les trois pièces et demie : écart $= 1 - 875{,}25/1\,039 = \pct{15.8}$ du loyer de marché. L'écart entre loyers des une chambre inoccupées et occupées de la zone 9 est de \pct{22.9}, soit $(1\,295 - 1\,054)/1\,054$. Les logements du dossier sont donc moins éloignés de leur loyer de marché que la moyenne de la zone ne l'est du loyer des logements vacants, ce qui admet deux lectures : soit les baux de l'immeuble sont moins anciens que la moyenne du parc de la zone, ce que l'état locatif du \cref{ch:47} permet de vérifier, soit le loyer de marché retenu dans le dossier, \dollars{1039} contre \dollars{1295} pour un logement vacant de la zone, est prudent. La seconde lecture est plausible pour un immeuble de 1962 non rénové, dont les logements vacants ne se louent pas au loyer des logements rénovés qui tirent la moyenne des vacants vers le haut ; elle invite néanmoins à documenter le loyer de marché par des annonces récentes d'immeubles comparables plutôt que par la seule moyenne de la zone.34\end{solution}3536\begin{solution}{ex:15:7}{Variables de classification et sous-marchés}37La pondération par les coefficients du modèle de référence remplace chaque variable centrée-réduite $z_{ik}$ par la contribution $\hat\beta_k x_{ik}$ au logarithme du prix prédit ; les variables dont le prix implicite est faible, comme le terrain, pèsent alors peu, et celles dont le prix implicite est fort, la superficie, la qualité et surtout les indicatrices de secteur et la distance au centre, dominent la distance entre deux ventes. Dans le jeu synthétique, les contributions de localisation étant discrètes par secteur, la classification retrouve une structure proche des secteurs : la silhouette à $k = 5$ et l'indice de Rand ajusté avec les secteurs augmentent par rapport au \cref{tab:15:sens}, dans une mesure que le lecteur mesurera en exécutant le script modifié. Le test de Chow appliqué à la partition obtenue ne rejette pas l'égalité des pentes, parce que la loi de génération impose des pentes communes quelle que soit la partition. Ce que la pondération change : elle remplace une ressemblance physique par une ressemblance en termes de valeur, ce qui est plus proche de la notion de substitut et évite de regrouper des maisons semblables mais situées dans des marchés différents. Ce qu'elle ne peut pas changer : elle dépend du modèle commun dont elle tire ses poids, de sorte qu'elle suppose résolue la question qu'elle sert à poser ; si les prix implicites différaient réellement entre sous-marchés, les poids communs seraient biaisés et la partition le serait aussi. La classification pondérée est donc un point de départ raisonnable pour une segmentation a priori, non un substitut au test de stabilité ni à la validation hors échantillon.38\end{solution}39