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1% Solutions du chapitre 18 — Modèles hédoniques2% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch18_hedonique.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch18.py.34\begin{solution}{ex:18:1}{Lire les coefficients d'un modèle semi-logarithmique}5(a) Dans $\ln P = \dots + 0{,}539\,\ln(S/140) + \dots$, le coefficient est l'élasticité du prix par rapport à la superficie habitable : une augmentation de 1 \% de la superficie, les autres attributs étant constants, élève le prix de 0,539 \% environ ; une augmentation de 10 \% l'élève de $1{,}10^{0{,}539} - 1 = 5{,}27$ \%. L'élasticité inférieure à un signifie que le prix par mètre carré décroît avec la taille, ce qui est la source du biais de l'unité de comparaison discuté au chapitre 16.67(b) Pour le garage, $100\,[\exp(0{,}0324) - 1] = 3{,}29$ \% par place, contre $100\,\hat\beta = 3{,}24$ \% ; la différence de 0,05 point est négligeable parce que le coefficient est petit.89(c) Pour Buckingham, $\exp(-0{,}250) - 1 = -0{,}2212$, soit $-22{,}1$ \%, alors que $100\,\hat\beta = -25$ \% : l'approximation surestime la décote de près de trois points. La correction de Kennedy donne $\exp(-0{,}250 - 0{,}072^2/2) - 1 = \exp(-0{,}2526) - 1 = -0{,}2232$, soit $-22{,}3$ \% ; avec une erreur-type de 0,072, la variance $0{,}0052$ ne déplace l'effet que de 0,2 point.1011(d) $(1 + 0{,}0036)^{12} - 1 = 4{,}41$ \% par année composée (4,46 \% avec le coefficient non arrondi 0,00364), à comparer à la croissance annuelle de 4,43 \% qui a servi à engendrer le jeu.12\end{solution}1314\begin{solution}{ex:18:2}{Prix implicites en dollars au sujet}15(a) Pour une variable entrée en logarithme, $\partial P / \partial S = \hat\beta_{\ln S}\, P / S = 0{,}539 \times \dollars{638000} / 165 = \parmsq{2084}$.1617(b) L'ajustement exact pour dix mètres carrés de plus est $P[(175/165)^{0{,}539} - 1] = \dollars{638000} \times 0{,}03222 = \dollars{20558}$ ; dix fois le prix marginal donne $\dollars{20841}$. L'approximation linéaire surestime de \dollars{283} (1,4 \%), parce que la fonction est concave : le prix marginal décroît à mesure que la superficie augmente. Pour des écarts de superficie de l'ordre de 10 \%, l'approximation est acceptable ; au-delà, on applique la différence finie exacte, comme le fait \texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques}.1819(c) La dérivée de $\ln P$ par rapport à l'âge est $\hat\beta_{\text{âge}} + 2\hat\beta_{\text{âge}^2/100}\,\text{âge}/100$. À 28 ans : $-0{,}0051 + 2 \times 0{,}0026 \times 0{,}28 = -0{,}003644$, soit $-0{,}003644 \times \dollars{638000} = -\dollars{2325}$ par année ; à 60 ans : $-0{,}0051 + 2 \times 0{,}0026 \times 0{,}60 = -0{,}00198$, soit $-\dollars{1263}$ par année (à prix prédit constant pour la comparaison). La dérivée s'annule à $\text{âge}^* = 0{,}0051 / (2 \times 0{,}000026) = 98$ ans : au-delà, le modèle quadratique ferait remonter le prix avec l'âge, ce qui n'a de sens que pour des maisons patrimoniales rénovées et avertit contre l'extrapolation du polynôme hors de l'étendue des âges observés.2021(d) Piscine : $\dollars{638000} \times [\exp(0{,}0263) - 1] = \dollars{17002}$.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:18:3}{Transformation de Box--Cox et comparaison des formes}25(a) Pour $P = \dollars{500000}$ : $\lambda = 1$ donne $(500\,000 - 1)/1 = 499\,999$ (la forme linéaire à une constante près) ; $\lambda = 0{,}5$ donne $(\sqrt{500\,000} - 1)/0{,}5 = (707{,}107 - 1)/0{,}5 = 1\,412{,}2$ ; $\lambda \to 0$ donne $\ln 500\,000 = 13{,}122$. Les trois échelles sont sans commune mesure, d'où la nécessité du jacobien $(\lambda - 1)\sum \ln P_i$ dans l'\cref{eq:18:boxcox-ll} pour comparer les vraisemblances.2627(b) L'intervalle $[-0{,}036 ; 0{,}353]$ contient 0 et exclut 1 : la forme semi-logarithmique n'est pas rejetée au seuil de 5 \% (le rapport de vraisemblance $2[\ell(\hat\lambda) - \ell(0)] = 2{,}5$ est inférieur à $\chi^2_{1;0{,}95} = 3{,}84$), la forme linéaire l'est très nettement ($2[\ell(\hat\lambda) - \ell(1)] = 66$). L'estimation ponctuelle $\hat\lambda = 0{,}157$ suggère une transformation un peu moins concave que le logarithme, mais rien ne distingue statistiquement les deux ; la semi-log, plus simple et plus interprétable, est retenue.2829(c) Le $R^2$ de la forme linéaire mesure la part expliquée de la variance de $P$, celui de la semi-log la part expliquée de la variance de $\ln P$ : ce sont deux quantités différentes, et le second est mécaniquement avantagé lorsque la distribution des prix est asymétrique. Les statistiques comparables du \cref{tab:18:variantes} sont la racine de l'erreur quadratique moyenne en dollars, après retransformation (\dollars{39907} pour la semi-log contre \dollars{40973} pour la linéaire), le COD (6,68 contre 6,83) et la prédiction du sujet ; la vraisemblance de Box--Cox, qui inclut le jacobien, tranche formellement en faveur de la semi-log.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:18:4}{Retransformation et intervalle de prédiction}33(a) Prédiction naïve : $\exp(13{,}3627) = \dollars{635839}$. Correction de Duan : $\dollars{635839} \times 1{,}0034 = \dollars{638000}$. Correction log-normale : $\exp(0{,}0830^2/2) = 1{,}003451$, d'où $\dollars{638032}$. Les deux corrections coïncident à \dollars{32} près parce que les résidus sont normaux ; toutes deux ajoutent environ \dollars{2200}, soit 0,34 \%, à la prédiction naïve, qui estime la médiane et non la moyenne.3435(b) Variance de prédiction : $\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s = 0{,}006889 + 0{,}00010 = 0{,}006989$, écart-type $s_p = 0{,}0836$. La part due à l'estimation des coefficients est $0{,}00010 / 0{,}006989 = 1{,}4$ \%. Intervalle à 95 \% : $\exp(13{,}3627 \mp 1{,}96 \times 0{,}0836)$, soit de \dollars{539742} à \dollars{749044} ; en proportion de la prédiction naïve, $-15{,}1$ \% et $+17{,}8$ \%, l'asymétrie venant de la retransformation exponentielle. (Les bornes du texte, \dollars{539682} et \dollars{749087}, utilisent les valeurs non arrondies.)3637(c) Dix fois plus de ventes diviseraient approximativement par dix le terme $\mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s$, qui passerait de 0,00010 à 0,00001 ; l'écart-type de prédiction deviendrait $\sqrt{0{,}006889 + 0{,}00001} = 0{,}0831$ au lieu de 0,0836, et la demi-largeur relative ne changerait que de 0,1 point. L'intervalle de prédiction est dominé par $\hat\sigma$, la dispersion des prix du marché à caractéristiques données, qu'aucune quantité de données ne réduit ; seule une meilleure spécification (variables supplémentaires, structure spatiale) peut le resserrer. L'intervalle de confiance pour la valeur espérée, lui, se resserrerait d'un facteur $\sqrt{10}$.38\end{solution}3940\begin{solution}{ex:18:5}{Étude de ratios}41Les ratios $r_i = V_i/P_i$ sont, dans l'ordre des prix croissants : 0,955 ; 0,918 ; 0,925 ; 0,910 ; 0,923 ; 0,899 ; 0,901 ; 0,879 ; 0,869 ; 0,840. Médiane $\tilde r = 0{,}906$ (moyenne des cinquième et sixième ratios ordonnés, 0,901 et 0,910) ; moyenne $\bar r = 0{,}902$.4243COD : la moyenne des écarts absolus à la médiane vaut 0,0243, d'où $\mathit{COD} = 100 \times 0{,}0243 / 0{,}906 = 2{,}68$.4445PRD : $\sum V_i = \dollars{4845000}$ et $\sum P_i = \dollars{5428000}$, d'où un ratio pondéré de 0,8926 et $\mathit{PRD} = 0{,}902 / 0{,}8926 = 1{,}011$.4647Lecture : le niveau de 0,906 est à la limite basse de la plage 0,90--1,10 de l'IAAO, et il serait hors de la plage de 95 à 105 \% du Règlement sur le rôle d'évaluation foncière du Québec ; le PRD de 1,011 est dans la plage 0,98--1,03 ; le COD de 2,68 est \emph{inférieur} à 5,0, ce que la norme signale comme un indice possible de « poursuite des ventes », ou ici, plus simplement, comme l'effet d'un échantillon minuscule et construit. Les ratios décroissent nettement avec le prix (de 0,955 à 0,840) : le PRB est négatif (le script donne $-0{,}075$, erreur-type 0,009, hors de la plage $\pm 0{,}05$), ce qui dénote une évaluation régressive, les biens chers étant relativement sous-évalués, alors que le PRD, peu sensible sur dix observations, ne le détecte pas. C'est l'intérêt du PRB, assorti de son erreur-type.48\end{solution}4950\begin{solution}{ex:18:6}{Variables omises}51Le script (\texttt{ajuster\_variantes}, variante « semi-log sans secteurs ») donne : coefficient de la distance au centre $-0{,}0117$ au lieu de $-0{,}0036$ par kilomètre ; coefficient du terrain 0,042 au lieu de 0,094 ; $\hat\sigma = 0{,}104$ au lieu de 0,083 ; $R^2 = 0{,}766$ au lieu de 0,853 ; prédiction du sujet \dollars{664342} au lieu de \dollars{637953}, soit $+4{,}1$ \%.5253Par l'\cref{eq:18:omission}, $\tilde\beta_j = \beta_j + \sum_s \gamma_s \delta_{sj}$, où $\gamma_s$ est la prime (négative) des secteurs périphériques omis et $\delta_{sj}$ le coefficient de la projection de leur indicatrice sur le régresseur $j$. Buckingham et Masson-Angers ont des primes de $-0{,}25$ et $-0{,}26$ ; leur indicatrice est positivement corrélée à la distance au centre (elles sont les seules ventes au-delà de 3 km du plateau), d'où $\delta > 0$ et un biais négatif sur la distance, qui doit porter seule la décote des secteurs éloignés : le gradient triple. Leur indicatrice est aussi positivement corrélée au logarithme du terrain (terrains médians de \msq{1200} contre \msq{560}), d'où un biais négatif sur l'élasticité du terrain, qui tombe de moitié : les grands terrains « paraissent » valoir moins parce qu'ils sont dans les secteurs bon marché. La prédiction du sujet monte parce que Hull, secteur de référence au prix élevé, n'est plus distingué de la moyenne : la constante estimée est celle d'un marché moyen, mais le sujet, situé à 2,1 km, ne reçoit plus la prime relative de Hull par rapport à Gatineau et aux secteurs périphériques, et le gradient gonflé ne la compense qu'en partie.5455Omission de la qualité : dans la loi de génération, la qualité est tirée indépendamment des autres attributs, de sorte que $\delta \approx 0$ pour tous les régresseurs ; les coefficients sont presque inchangés (élasticité de la superficie 0,528 au lieu de 0,539, prédiction du sujet \dollars{636689}, soit $-0{,}2$ \%), mais $\hat\sigma$ passe de 0,083 à 0,098 et le $R^2$ de 0,853 à 0,797 : l'omission d'une variable orthogonale ne biaise pas, elle dégrade la précision. Sur des données réelles, la qualité est corrélée à l'âge, à la taille et au secteur, et son omission biaiserait ces coefficients.56\end{solution}5758\begin{solution}{ex:18:7}{Le second stade de Rosen et l'identification}59(a) Le ménage maximise $\ln x + \alpha \ln S$ sous $x = y - P(S)$. La condition de premier ordre par rapport à $S$ est $\alpha / S = p_S / x$, où $p_S = \partial P/\partial S$ ; c'est l'\cref{eq:18:rosen} : le prix implicite égale le taux marginal de substitution $(\partial U/\partial S)/(\partial U/\partial x) = (\alpha/S)/(1/x)$. On en tire $\alpha = p_S\, S / x = p_S\, S / [y - P(S)]$ : le paramètre de goût d'un ménage se déduit de son choix $S$, du prix implicite à ce point et de sa consommation résiduelle.6061(b) Avec $P(S) = a S^{0{,}539}$ et $P(165) = \dollars{638000}$, $p_S(S) = 0{,}539\, P(S)/S$. À \msq{165} : \parmsq{2084}. À \msq{120} : $P(120) = 638\,000 \times (120/165)^{0{,}539} = \dollars{537400}$ et $p_S = 0{,}539 \times 537\,400 / 120 = \parmsq{2414}$. À \msq{220} : $P(220) = \dollars{745000}$ et $p_S = \parmsq{1825}$. Le prix implicite marginal décroît avec la taille.6263(c) Le long de la fonction de prix, $p_S(S) = \beta a S^{\beta - 1}$ est une fonction déterministe de $S$ : la régression de $\ln p_S$ sur $\ln S$ parmi les acheteurs observés a une pente exactement égale à $\beta - 1 = -0{,}461$ et un $R^2$ de 1, quelle que soit la distribution des $\alpha_i$ dans la population. Chaque acheteur $i$ vérifie $\alpha_i = p_S(S_i) S_i / x_i$, mais cette identité est satisfaite par construction : les couples $(p_S, S)$ ne contiennent aucune information sur la demande au-delà de celle que contient déjà $P(S)$, parce que prix implicite et quantité sont déterminés simultanément par le même équilibre. C'est le problème d'identification de \textcite{epple1987} ; l'identification exige soit plusieurs marchés où la fonction de prix diffère, soit des restrictions non linéaires \parencite{ekelandHeckmanNesheim2004}. L'évaluateur n'en a pas besoin : sa question porte sur $P(S)$, la fonction de prix du marché observé, non sur les préférences qui l'ont engendrée ; il reste au premier stade.64\end{solution}6566\begin{solution}{ex:18:8}{Indicatrices de période ou tendance ?}67(a) $\hat\beta_{\text{mois}} = 0{,}00364$ : taux mensuel $\exp(0{,}00364) - 1 = 0{,}364$ \%, taux annuel composé $\exp(12 \times 0{,}00364) - 1 = 4{,}46$ \%.6869(b) Sur les quinze trimestres, l'écart absolu moyen entre l'indice par indicatrices et la tendance (base 2023T1 = 100) est de 2,57 \% ; l'écart maximal, 5,03 \%, est atteint au dernier trimestre (2026T3 : indice 122,0 contre tendance 116,5), qui ne compte que 22 ventes et dont l'intervalle de confiance à 95 \% va de 117,7 à 126,5.7071(c) Par la tendance : $\dollars{506500} \times [\exp(0{,}00364 \times 15{,}2) - 1] = \dollars{28774}$ avec le coefficient non arrondi ($0{,}003635$) et une durée arrondie à 15,2 mois ; le \cref{ch:17} et le \cref{ch:35} obtiennent \dollars{28733} avec la durée exacte de 462 jours (15,18 mois), qui est la valeur de référence de l'ouvrage, l'écart de \dollars{41} tenant uniquement à l'arrondi de la durée. Par les indices : G0404 a été vendu le 27 mai 2025, en 2025T2 (indice 112,13), et la date d'évaluation tombe en 2026T3 (indice 122,04) ; l'ajustement est $\dollars{506500} \times (122{,}04/112{,}13 - 1) = \dollars{44760}$, soit \dollars{16000} de plus. La différence provient presque entièrement du dernier trimestre, dont l'indice est 5 \% au-dessus de la tendance avec une imprécision de $\pm 3{,}6$ \%. Sur ce jeu synthétique, où le marché a réellement crû à taux constant, la tendance est la bonne réponse ; sur un marché réel, un décrochage du dernier trimestre peut être réel (changement de taux, choc d'offre) ou n'être que du bruit, et l'évaluateur confronte l'indice estimé aux indices publiés et aux signaux du marché avant de retenir l'un ou l'autre. Dans le doute, la fourchette entre les deux ajustements (\dollars{28774} à \dollars{44760}) entre dans l'analyse d'incertitude du chapitre 20.7273(d) Un indice publié (\cref{ch:35}) doit décrire chaque période, y compris les renversements, et il est révisé lorsque de nouvelles ventes arrivent : les indicatrices y sont la norme et le lissage une option déclarée. Un ajustement de grille ne requiert que le rapport entre deux dates, dont l'une est la date d'évaluation, toujours la moins bien renseignée ; une tendance estimée sur douze à vingt-quatre mois y est souvent plus robuste, et le modèle hédonique de référence du cas 1 la retient pour cette raison.74\end{solution}75