spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 33 — Immeubles de six logements et plus (données synthétiques des cas 3 et 4)2% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch33_six_logements.py (fonction exercices) ; tests : analysis/python/tests/test_ch33.py34\begin{solution}{ex:33:1}{Trois unités pour un immeuble de seize logements}5Les prix unitaires du sujet du cas~3 sont de \dollars{171666.67} par logement, \dollars{2496.97} par mètre carré et \dollars{93636.36} par chambre. Appliqués au comparable, ils donnent $16 \times \dollars{171666.67} = \dollars{2746667}$, $1040 \times \dollars{2496.97} = \dollars{2596848}$ et $26 \times \dollars{93636.36} = \dollars{2434545}$ : l'écart entre l'indication la plus haute et la plus basse est de \pct{12.8}. La raison tient à la composition, que l'\cref{eq:33:composition} rend explicite : le comparable a des logements plus petits que le sujet (\msq{65} contre \msq{68.75} en moyenne) et moins de chambres par logement (\num{1.625} contre \num{1.83}). Le prix par logement, qui ignore ces différences, suppose implicitement que chaque logement du comparable vaut autant qu'un logement du sujet, ce qui le surévalue ; le prix par chambre, qui compte des unités plus petites, le sous-évalue si les logements d'une chambre valent plus que la moitié d'un logement de deux chambres, ce qui est généralement le cas. Le prix par mètre carré est le plus défendable lorsque la superficie locative est fiable, parce qu'il normalise la dimension qui varie le plus ; mais lui aussi ignore le nombre de logements, et donc le nombre de cuisines et de salles de bain, qui coûtent et se louent plus que les mètres carrés de séjour. En pratique, l'évaluateur retient l'unité dont la dispersion entre comparables est la plus faible et ajuste les autres caractéristiques, ou, mieux, passe par le revenu : c'est le loyer de chaque logement qui capitalise correctement sa taille et son nombre de pièces.6\end{solution}78\begin{solution}{ex:33:2}{Le sixième logement et la taxe foncière à Québec}9Pour l'immeuble de cinq logements, la taxe foncière générale est de $\dollars{1800000} \times \num{0.007464} = \dollars{13435.20}$ et les tarifs de $5 \times (\dollars{386} + \dollars{195}) = \dollars{2905}$, soit \dollars{16340.20}. Pour l'immeuble de six logements, la taxe est de $\dollars{1800000} \times \num{0.007697} = \dollars{13854.60}$ et les tarifs de $6 \times \dollars{581} = \dollars{3486}$, soit \dollars{17340.60}. L'écart attribuable au seul taux est de $\dollars{1800000} \times (\num{0.007697} - \num{0.007464}) = \dollars{419.40}$ ; l'écart total, tarifs compris, est de \dollars{1000.40}, dont \dollars{581} proviennent simplement du logement supplémentaire, qui génère aussi un loyer. Capitalisé à \pct{5.5}, l'écart de taux représente $\dollars{419.40} / \num{0.055} = \dollars{7625}$ de valeur, soit environ \pct{0.4} de la valeur au rôle : le changement de catégorie a un effet réel mais modeste, bien inférieur à celui d'un point d'inoccupation ou de dix points de base de taux. L'important pour l'évaluateur est de ne pas l'oublier : un compte de taxes reporté de l'année précédente, ou un immeuble de six logements normalisé au taux des « 1 à 5 logements », surestime le revenu net d'un montant qui, capitalisé, dépasse plusieurs milliers de dollars ; et, à l'inverse, un sextuplex dont un logement serait supprimé pour en faire un cinq logements changerait de catégorie, ce qui entre dans l'analyse de la plus haute et meilleure utilisation.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:33:3}{Effet de taille selon le cas 3}13Le taux prédit pour trente-six logements est $R_{36} = \pct{4.567} - 24 \times \qty{2.27}{\pb} = \pct{4.021}$, soit un écart de $-54{,}6$~points de base par rapport au douze logements. Avec un revenu net de \dollars{7496.31} par logement, la valeur par logement passe de $\dollars{7496.31} / \num{0.04567} = \dollars{164141}$ à $\dollars{7496.31} / \num{0.04021} = \dollars{186426}$, soit une prime de taille de \pct{13.6}. La régression du cas~4 prédit, pour un doublement de la taille, une baisse du taux de \pct{2.16} de sa valeur, soit environ 10 à 12~points de base à un taux de 4,6 à \pct{5.5}, et pour le triplement de douze à trente-six logements une baisse de $3^{-0{,}0315} - 1 = -\pct{3.4}$, soit une quinzaine de points de base à Montréal : la prime de taille du cas~4 est trois à quatre fois plus faible que celle extrapolée du cas~3. L'extrapolation du cas~3 est fragile pour trois raisons. D'abord, l'échantillon ne contient aucun immeuble de plus de trente logements : la pente linéaire est estimée sur la tranche de 6 à 30 et rien ne garantit qu'elle se maintienne au-delà ; une relation linéaire en $n$ finirait d'ailleurs par donner des taux absurdes pour les grands immeubles, alors qu'une relation en $\ln n$, comme dans le cas~4, s'aplatit naturellement. Ensuite, la pente du cas~3 est estimée sur quarante observations avec une précision limitée, et la régression du \cref{ch:47} signale que l'effet d'état n'y est pas statistiquement distinguable de zéro. Enfin, l'effet de taille dans le cas~3 est en partie un effet de quartier et de qualité : les grands immeubles de l'échantillon sont surtout situés au Plateau et à Ahuntsic, où les taux sont plus bas pour d'autres raisons. La leçon est que la prime de taille existe, qu'elle est faible et qu'elle doit être estimée dans la tranche de taille du sujet.14\end{solution}1516\begin{solution}{ex:33:4}{Le mauvais marché}17Au taux montréalais de \pct{4.415}, la valeur serait $\dollars{366800} / \num{0.04415} = \dollars{8308041}$, contre \dollars{6716534} au taux de régression : l'erreur est de \dollars{1591507}, soit \pct{23.7} de l'indication correcte, ou \dollars{44209} par logement. La décomposition de l'\cref{eq:33:decomposition} part d'un immeuble montréalais de douze logements ayant l'état (2) et l'âge (72 ans) du sujet, dont le taux prédit est de \pct{4.726} ; le passage à trente-six logements multiplie le taux par $3^{-0{,}0315} = \num{0.9659}$, soit $-16{,}1$~points de base, et le passage à Gatineau le multiplie par $e^{0{,}1792} = \num{1.1962}$, soit $+89{,}6$~points de base ; le produit redonne \pct{5.461}. L'effet de région explique donc la totalité de l'erreur, et au-delà : la taille joue dans l'autre sens et réduit l'écart, de sorte que si l'évaluateur avait au moins ajusté le taux montréalais pour la taille, il aurait aggravé son erreur. On remarquera que le taux montréalais de départ (\pct{4.415}, médiane du cas~3) et le taux prédit par la régression du cas~4 pour un immeuble montréalais de douze logements d'état 2 et de 72 ans (\pct{4.726}) diffèrent de 31~points de base : le premier correspond à un immeuble d'état moyen de 1962 dans un échantillon de ventes de 6 à 30 logements, le second à un immeuble en état inférieur et plus vieux dans un autre jeu de données ; cette différence rappelle que les taux ne se transposent pas d'un dossier à l'autre sans contrôle de l'état et de l'âge, même à l'intérieur d'une région.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:33:5}{État locatif et baux}21Le revenu brut potentiel est surévalué de $4 \times \dollars{120} \times 12 = \dollars{5760}$. Après la provision pour inoccupation de \pct{3.8} et les frais de gestion de \pct{4} du revenu brut effectif, le revenu net est surévalué de $\dollars{5760} \times (1 - \num{0.038}) \times (1 - \num{0.04}) = \dollars{5319.48}$, et la valeur, au taux de \pct{5.461}, de $\dollars{5319.48} / \num{0.05461} = \dollars{97406}$, soit \pct{1.45} de l'indication de \dollars{6716534} : chaque dollar de loyer mensuel surévalué vaut ici \dollars{203} de valeur, conformément à l'\cref{eq:33:erreur-loyer}. L'ordre de grandeur est modeste pour quatre baux, mais la découverte de quatre écarts sur trente-six change la nature du dossier : l'état locatif remis par le vendeur n'est plus une pièce fiable, et l'évaluateur doit soit vérifier les trente-deux autres baux un à un (ce qu'il aurait dû faire de toute façon pour un immeuble de six logements et plus, en l'absence de formulaire de déclarations du vendeur), soit, s'il ne peut les obtenir, déclarer une hypothèse extraordinaire sur l'exactitude des loyers restants et en chiffrer l'incidence. Le rapport doit mentionner les écarts constatés, la source retenue pour le revenu (les baux, non l'état locatif) et la limite à l'étendue du travail s'il en subsiste une ; la Norme de pratique~2 de l'OEAQ et les CUSPAP l'exigent. L'écart révèle aussi un risque de litige : des loyers supérieurs à ceux des baux signés peuvent correspondre à des augmentations non acceptées, dont le Tribunal pourrait ordonner le remboursement.22\end{solution}2324\begin{solution}{ex:33:6}{Primes régionales et incertitude}25Pour un immeuble de vingt-quatre logements, d'état 3, de quarante-cinq ans et sans risque, le vecteur de caractéristiques est $(1,\ 0,\ \ln 2,\ 0,\ 0,\ -0{,}5,\ \text{indicatrice de région})$ et la prédiction, corrigée du facteur de Duan (\num{1.0011}), donne \pct{4.52} à Montréal, \pct{5.74} à Québec, \pct{5.41} à Gatineau, \pct{5.67} à Sherbrooke, \pct{6.34} à Trois-Rivières et \pct{6.01} au Saguenay. Les effets régionaux ponctuels, $e^{\hat\gamma} - 1$, sont de +\pct{26.8}, +\pct{19.6}, +\pct{25.3}, +\pct{40.2} et +\pct{32.9} respectivement, et les intervalles à \pct{95} construits avec les erreurs-types HC1 ($e^{\hat\gamma \pm 1{,}96 s} - 1$) sont approximativement de \pct{21.8} à \pct{32.1} pour Québec, de \pct{14.1} à \pct{25.4} pour Gatineau, de \pct{18.7} à \pct{32.1} pour Sherbrooke, de \pct{32.1} à \pct{48.8} pour Trois-Rivières et de \pct{23.7} à \pct{42.7} pour le Saguenay ($R^2 = \num{0.883}$, $n = 48$). Ces intervalles ont deux lectures. La première est rassurante : même avec six à huit immeubles par région, la prime régionale est estimée à une dizaine de points de pourcentage du taux près, soit quelque 50~points de base, parce que les autres caractéristiques (état, taille, âge, risques) sont contrôlées et que la dispersion résiduelle du jeu synthétique est faible. La seconde est une mise en garde : 50~points de base représentent près de \pct{10} de la valeur à un taux de \pct{5.5}, et dans un marché réel la dispersion résiduelle serait bien plus forte, les ventes vérifiables plus rares, et les caractéristiques des immeubles moins bien mesurées. L'évaluateur qui ne dispose que de quelques ventes locales ne doit donc pas espérer un taux régional « au point de base » ; il doit établir un intervalle, le documenter (ventes vérifiées, publications pour les régions voisines, raisonnement sur les loyers, l'inoccupation et la croissance), choisir un taux central justifié et rapporter la sensibilité de la valeur aux bornes de l'intervalle, comme le fait le \cref{tab:33:sensibilite}. La régression sur un échantillon interrégional, lorsqu'elle est possible, est précisément l'outil qui permet d'emprunter l'information des autres régions pour préciser la sienne, à condition que la forme fonctionnelle soit plausible et déclarée.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:33:7}{Immeuble neuf : coût et revenu}29(a) Le coût de construction indexé est $\dollars{6400000} \times \num{1.092} = \dollars{6988800}$ ; avec le terrain, le coût total est de \dollars{8088800}, soit \dollars{337033} par logement. (b) Le revenu brut potentiel est de $24 \times \dollars{1975} \times 12 = \dollars{568800}$ ; le revenu brut effectif, après une inoccupation de \pct{5.6}, de \dollars{536947} ; le revenu net, après \pct{32} de dépenses et de réserve, de \dollars{365124}. Capitalisé à \pct{4.50}, il donne \dollars{8113869} ; à \pct{4.75}, \dollars{7686823}. (c) Le taux global implicite du coût total est de $\dollars{365124} / \dollars{8088800} = \pct{4.51}$, exactement au bas de la fourchette des taux publiés pour la construction neuve. Trois conséquences. Sur la faisabilité : le projet ne dégage une marge de promoteur que si le marché accepte le bas de la fourchette ; au haut de la fourchette, la valeur est inférieure au coût de \dollars{402000}, et c'est le signe d'un marché où les coûts de construction, qui ont augmenté de \pct{9.2} en un an, ont rattrapé les valeurs ; le \cref{ch:41} montre comment ce rapport entre coût et valeur détermine la décision de construire. Sur la valeur marchande : la méthode du coût borne l'indication (un acheteur ne paiera pas durablement plus que le coût de reproduire l'immeuble, et un promoteur ne construira pas pour moins), mais c'est la méthode du revenu qui la fixe, parce que l'acheteur d'un immeuble neuf achète un revenu stabilisé ; l'évaluateur retient une valeur dans la fourchette de \dollars{7.69} à \dollars{8.11} millions et motive la pondération, le coût recevant un poids d'appoint justifié par la nouveauté de l'immeuble et la connaissance précise du coût. Il vérifie en outre que le revenu est stabilisé : une inoccupation de \pct{5.6} est celle du parc récent de l'île, mais un immeuble en cours de mise en location peut en être loin, et l'exclusion de la fixation pendant cinq ans (art.~1955 C.c.Q.) ne vaut que si les baux la prévoient et indiquent le loyer maximal. Sur la valeur assurable : elle est de l'ordre du coût de reconstruction du bâtiment, \dollars{6988800} hors terrain, selon les termes de la police (\cref{eq:33:assurable}), et non de la valeur marchande moins le terrain, qui serait de \dollars{6.59} à \dollars{7.01} millions selon le taux retenu ; ici les deux sont proches parce que l'immeuble est neuf, mais elles divergeraient avec l'âge.30\end{solution}31