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1% Solutions du chapitre 39 — Modèles bayésiens et intervalles2% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch39_bayes.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch39.py.34\begin{solution}{ex:39:1}{Mise à jour d'une opinion d'expert dans un marché mince}5(a) Les précisions s'additionnent : $1/s_n^2 = 1/200^2 + 4/300^2 = 2{,}5 \times 10^{-5} + 4{,}444 \times 10^{-5} = 6{,}944 \times 10^{-5}$, d'où $s_n = \parmsq{120}$. Le poids des ventes est $w = (4/300^2)/(6{,}944 \times 10^{-5}) = 0{,}64$ et la moyenne a posteriori $m_n = 0{,}64 \times 3520 + 0{,}36 \times 3300 = \parmsq{3440.8}$.67(b) L'opinion vaut $n_0 = \sigma^2/s_0^2 = 300^2/200^2 = 2{,}25$ ventes : les quatre ventes observées pèsent $4/(4 + 2{,}25) = 0{,}64$, ce qui est bien le poids $w$.89(c) Intervalles de crédibilité : à 90 \%, $3440{,}8 \pm 1{,}645 \times 120 = [3243 ; 3638]$ \$/m² ; à 95 \%, $3440{,}8 \pm 1{,}96 \times 120 = [3206 ; 3676]$ \$/m². Pour \msq{165}, la valeur indiquée est $165 \times 3440{,}8 = \dollars{567732}$ avec un écart-type de $165 \times 120 = \dollars{19800}$ ; il s'agit de l'incertitude sur le prix unitaire \emph{moyen} du marché, non de la dispersion d'une vente individuelle, qui s'y ajouterait pour un intervalle de prédiction.1011(d) Avec $s_0 = 400$, $1/s_n^2 = 6{,}25 \times 10^{-6} + 4{,}444 \times 10^{-5} = 5{,}069 \times 10^{-5}$, $s_n = \parmsq{140.4}$, $w = 0{,}877$ et $m_n = \parmsq{3492.9}$ : l'opinion ne vaut plus que $0{,}5625$ vente et les données dominent. La formule fait exactement ce que l'évaluateur fait par jugement : moins il est sûr de lui, moins il tempère les ventes.12\end{solution}1314\begin{solution}{ex:39:2}{Lire une distribution prédictive}15(a) Pour \dollars{650000} : $z = (\ln 650\,000 - 13{,}3627)/0{,}08364 = (13{,}3847 - 13{,}3627)/0{,}08364 = 0{,}264$, et $\Pr(y^{*} > \ln 650\,000) = 1 - F_{584}(0{,}264) = 0{,}396$ : il y a 39,6 \% de chances que le sujet se vende plus de \dollars{650000}. Pour \dollars{550000} : $z = (13{,}2176 - 13{,}3627)/0{,}08364 = -1{,}734$, et $\Pr(y^{*} < \ln 550\,000) = F_{584}(-1{,}734) = 0{,}042$, soit 4,2 \%. L'approximation normale donne 0,396 et 0,041 ; à 584 degrés de liberté elle est indiscernable de la Student.1617(b) Les quantiles à 10 et 90 \% de la Student à 584 degrés de liberté valent $\mp 1{,}2826$ ; l'intervalle à 80 \% est $\exp(13{,}3627 \mp 1{,}2826 \times 0{,}08364) = [\dollars{571126} ; \dollars{707845}]$, à comparer à l'intervalle à 80 \% du chapitre 18, de \dollars{571192} à \dollars{707764}.1819(c) Lecture bayésienne : « Conditionnellement au modèle et aux 600 ventes, la probabilité que le sujet se vende entre \dollars{571000} et \dollars{708000} est de 80 \%, et la probabilité qu'il se vende au-dessus de \dollars{650000} est de 40 \%. » Lecture fréquentiste correcte de l'intervalle de prédiction : « L'intervalle de \dollars{571000} à \dollars{708000} a été construit par une procédure qui, appliquée à des échantillons répétés de ventes, contient le prix du sujet dans 80 \% des cas » ; la phrase « il y a 80 \% de chances que le prix soit dans l'intervalle » n'est pas autorisée par la théorie fréquentiste, bien qu'elle soit celle que le lecteur comprend.20\end{solution}2122\begin{solution}{ex:39:3}{Le facteur de rétrécissement}23(a) Avec $\sigma^2 = 0{,}006889$ et $\tau^2 = 0{,}0225$, $B_s = n_s\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2)$ vaut $0{,}1125/0{,}1194 = 0{,}942$ pour $n_s = 5$, $0{,}970$ pour 10, $0{,}985$ pour 20 et $0{,}994$ pour 47.2425(b) L'effet rétréci est $B_s\bar r_s + (1 - B_s)\alpha_0 = 0{,}942 \times (-0{,}30) + 0{,}058 \times (-0{,}08) = -0{,}2873$ : cinq ventes suffisent à conserver 94 \% de l'estimation locale. L'écart-type conditionnel est $\sqrt{1/(5/\sigma^2 + 1/\tau^2)} = \sqrt{1/(725{,}8 + 44{,}4)} = 0{,}0360$, contre $\sigma/\sqrt 5 = 0{,}0371$ pour l'effet fixe : le gain de précision conditionnel est de 3 \%, et il est plus que compensé, dans la postérieure marginale, par l'incertitude sur $\tau$, comme le \cref{tab:39:experience} le montre.2627(c) Avec $\tau = 0{,}05$, $\tau^2 = 0{,}0025$ et $B_s = 0{,}645$ pour $n_s = 5$, $0{,}784$ pour 10, $0{,}879$ pour 20 et $0{,}945$ pour 47. Un quartier de cinq ventes ne conserve plus que les deux tiers de son estimation locale. Le rétrécissement devient déterminant lorsque les groupes se ressemblent relativement au bruit de transaction, c'est-à-dire pour des découpages fins, quartiers, rues, îlots, où $\tau$ est petit et $n_s$ aussi ; pour des secteurs très contrastés comme ceux de Gatineau, il reste marginal.2829(d) $B_s = 1/2$ pour $n_s = \sigma^2/\tau^2$ : 0,31 vente avec $\tau = 0{,}15$, 2,76 ventes avec $\tau = 0{,}05$. Dans le premier cas, une seule vente fixe déjà l'essentiel du niveau ; dans le second, il en faut trois pour que l'estimation locale et la moyenne commune pèsent autant.30\end{solution}3132\begin{solution}{ex:39:4}{La prédictive de Student}33(a) $b_n/a_n = 2{,}0122/292 = 0{,}006891$, ce qui est $\mathit{SCR}/(n-k) = \hat\sigma^2$ ; $s^{*2} = 0{,}006891 \times (1 + 0{,}01509) = 0{,}006995$ et $s^{*} = 0{,}08364$. La part de l'incertitude sur les coefficients est $0{,}01509/1{,}01509 = 1{,}49$ \% de $s^{*2}$ ; le reste est le bruit de transaction.3435(b) Avec le quantile de Student, $\exp(13{,}3627 \mp 1{,}9640 \times 0{,}08364) = [\dollars{539504} ; \dollars{749334}]$ ; avec le quantile normal, $[\dollars{539688} ; \dollars{749079}]$. L'écart est de \dollars{184} à la borne basse et de \dollars{255} à la borne haute, soit 0,03 \% : à 584 degrés de liberté, Student et normale ne se distinguent pas.3637(c) Avec $t_{20;0{,}975} = 2{,}0860$, la demi-largeur en logarithme passe de $1{,}9640 \times 0{,}08364$ à $2{,}0860 \times 0{,}08364$, soit un élargissement de $2{,}0860/1{,}9640 - 1 = 6{,}2$ \% ; l'intervalle devient $[\dollars{534030} ; \dollars{757014}]$. C'est l'incertitude sur $\sigma$, que la loi normale du chapitre 18 ignore et que la Student intègre, et elle croît vite quand les degrés de liberté tombent sous la vingtaine.3839(d) Si $y^{*}$ est de Student à $\nu$ degrés de liberté, $\exp(y^{*})$ a une densité dont la queue droite décroît comme $(\ln P)^{-(\nu+1)}/P$, trop lentement pour que $\int P \cdot p(P)\,\dd P$ converge : l'espérance est infinie quel que soit $\nu$. La quantité à communiquer est la médiane, $\exp(\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n) = \dollars{635821}$, qui est le prix que le sujet a autant de chances de dépasser que de ne pas atteindre, accompagnée des intervalles de crédibilité ; c'est d'ailleurs ce que « prix le plus probable » veut dire.40\end{solution}4142\begin{solution}{ex:39:5}{Calculer $\hat R$}43(a) La moyenne des quatre moyennes est $-0{,}260$ ; leurs écarts au carré somment à $0{,}000\,250$, d'où $B = n \times 0{,}000\,250/(m-1) = 1000 \times 0{,}000\,250/3 = 0{,}0833$. $W = (0{,}0049 + 0{,}0052 + 0{,}0047 + 0{,}0055)/4 = 0{,}005\,075$. $\widehat{\Var}^{+} = (999/1000) \times 0{,}005\,075 + 0{,}0833/1000 = 0{,}005\,153$, et $\hat R = \sqrt{0{,}005\,153/0{,}005\,075} = 1{,}0077$ : en deçà de 1,01, la convergence est acceptable.4445(b) Avec une troisième moyenne de $-0{,}371$, la moyenne générale devient $-0{,}285$ et la somme des écarts au carré $0{,}009\,95$, d'où $B = 3{,}317$, $\widehat{\Var}^{+} = 0{,}005\,070 + 0{,}003\,317 = 0{,}008\,387$ et $\hat R = 1{,}2855$. Une chaîne explore une région différente des trois autres : soit elle n'a pas convergé, soit la postérieure a plusieurs modes ; dans les deux cas, on ne conclut pas.4647(c) Si $\rho_t = 0{,}8^t$, $\sum_{t \geq 1}\rho_t = 0{,}8/0{,}2 = 4$ et $\mathit{ESS} = 4000/(1 + 2 \times 4) = 444$. C'est suffisant pour la moyenne a posteriori (erreur de Monte-Carlo d'environ $1/\sqrt{444} = 4{,}7$ \% de l'écart-type a posteriori) mais insuffisant pour un quantile à 2,5 \%, dont l'estimation repose sur une vingtaine de tirages effectifs ; il faudrait allonger les chaînes ou, mieux, réduire l'autocorrélation par un tirage par blocs.48\end{solution}4950\begin{solution}{ex:39:6}{Le facteur de défiance d'un a priori emprunté}51(a) La ligne $\kappa = 1$ redonne une élasticité de 0,543 avec un écart-type de 0,016 et une médiane du sujet de \dollars{630978}. Avec $\kappa = 0{,}25$, l'a priori est deux fois plus précis que la postérieure du marché voisin lui-même, ce qui n'est défendable que si l'on dispose d'une information externe supplémentaire ; l'élasticité devient 0,541 avec un écart-type de 0,008 et la médiane du sujet \dollars{629664}. Avec $\kappa = 100$, l'a priori ne pèse presque plus : l'élasticité remonte à 0,599, son écart-type à 0,053 et la médiane à \dollars{644128}, proches de la ligne « référence » (0,611, 0,067, \dollars{650965}). La suite $\kappa = 0{,}25, 1, 4, 16, 100$ dessine le chemin continu entre « le marché voisin décide » et « les quarante ventes décident » ; le rapport doit dire où l'évaluateur s'est placé sur ce chemin et pourquoi.5253(b) Dans le modèle du marché voisin, la constante est le niveau de prix du secteur de référence une fois l'indicatrice de ce secteur retirée. Si ce secteur est Gatineau, dont le niveau est 13,1845 contre 13,2074 à Hull, emprunter la constante avec $\kappa = 1$ ne déplace la médiane du sujet que de \dollars{631263} contre \dollars{630978} ; si l'on prend Buckingham pour référence (constante 12,9591, soit 22 \% sous Hull), la médiane descend à \dollars{628165}. Le déplacement est modeste parce que quarante ventes locales fixent déjà le niveau avec un écart-type d'environ 0,03 en logarithme, contre 0,07 pour la constante empruntée : les données locales l'emportent. Avec cinq ventes locales, le rapport des précisions s'inverserait et le niveau de Buckingham contaminerait celui de Hull. La règle interdit l'emprunt de la constante parce que le niveau de prix est la quantité propre au marché cible, celle que les ventes locales doivent établir, tandis que les prix implicites sont ce que l'on peut raisonnablement supposer partagé ; le fait que l'emprunt soit inoffensif quand il est inutile et nuisible quand il compte est précisément ce qui le rend indéfendable.5455(c) Les 109 ventes de Hull de 2023 et 2024 donnent un a priori qui, appliqué aux quarante ventes du petit marché (toutes de 2025 et 2026), conduit à une élasticité de 0,530 (0,028) et à une médiane du sujet de \dollars{628160} dans un intervalle à 95 \% de \dollars{530314} à \dollars{744060} ; l'a priori « autres secteurs » donne 0,543 (0,016) et \dollars{630978}. Les deux conclusions diffèrent de \dollars{2800}. L'a priori « Hull 2023-2024 » emprunte au même marché à une période antérieure ; il suppose la stabilité des prix implicites dans le temps et laisse l'ajustement temporel aux ventes récentes. L'a priori « autres secteurs » emprunte à d'autres marchés à la même période ; il suppose la transférabilité spatiale des prix implicites. Devant un tribunal, le premier est généralement plus défendable : il porte sur le même bassin d'acheteurs, la même typologie de bâti et les mêmes règles d'urbanisme, et sa seule hypothèse, la stabilité des prix implicites sur deux ou trois ans, est vérifiable par la comparaison des deux postérieures. Le second exige de soutenir que l'acheteur de Buckingham valorise un garage comme celui de Hull, ce qui est plausible mais contestable. Dans les deux cas, l'analyse de sensibilité à $\kappa$ et la présentation du résultat de référence sont ce qui rend l'a priori recevable : il est montré, pas imposé.56\end{solution}5758\begin{solution}{ex:39:7}{Dériver une conditionnelle complète}59(a) Les facteurs de la postérieure jointe qui dépendent de $\alpha_0$ sont $\exp[-\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2/(2\tau^2)]$ et $\exp[-(\alpha_0 - m)^2/(2s^2)]$. Le premier est, en $\alpha_0$, le noyau d'une normale de moyenne $\bar\alpha = J^{-1}\sum_s\alpha_s$ et de variance $\tau^2/J$ ; le produit de deux noyaux normaux est un noyau normal dont la précision est la somme des précisions et la moyenne la moyenne pondérée par les précisions :60\[61\alpha_0 \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\frac{J\bar\alpha/\tau^2 + m/s^2}{J/\tau^2 + 1/s^2},\ \frac{1}{J/\tau^2 + 1/s^2}\right).62\]63Lorsque $s \to \infty$, $1/s^2 \to 0$ et l'on retrouve $\mathcal N(\bar\alpha, \tau^2/J)$, l'\cref{eq:39:cond-alpha0}.6465(b) Avec $J = 5$, $\tau = 0{,}181$ ($\tau^2 = 0{,}0328$, $J/\tau^2 = 152{,}4$) et $\bar\alpha = 13{,}020$ : pour $(m, s) = (13{,}0 ; 1{,}0)$, la précision est $152{,}4 + 1 = 153{,}4$, la moyenne $(152{,}4 \times 13{,}020 + 13{,}0)/153{,}4 = 13{,}0197$ et l'écart-type $0{,}0808$ ; l'a priori ne change presque rien. Pour $(13{,}0 ; 0{,}05)$, la précision est $152{,}4 + 400 = 552{,}4$, la moyenne $(152{,}4 \times 13{,}020 + 400 \times 13{,}0)/552{,}4 = 13{,}0055$ et l'écart-type $0{,}0425$ : l'opinion d'expert, équivalente à $400\tau^2 = 13$ secteurs fictifs, pèse 72 \% et tire le niveau moyen vers 13,0 tout en le rendant deux fois plus précis.6667(c) Les conditionnelles de $\boldsymbol\beta$ et de $\sigma^2$ ne font pas intervenir $\alpha_0$ ; celles des $\alpha_s$ et de $\tau^2$ font intervenir $\alpha_0$ par sa valeur courante, mais pas son a priori, puisque le facteur $p(\alpha_0)$ ne dépend ni de $\alpha_s$ ni de $\tau^2$. Seule la conditionnelle de $\alpha_0$ change.6869(d) L'implémentation remplace la ligne du tirage de $\alpha_0$ par la loi de (a). Avec $(m, s) = (13{,}0 ; 0{,}05)$, quatre chaînes de 3 000 itérations donnent des $\hat R$ au millième près de un et des ESS supérieurs à 5 000 pour tous les effets ; $\alpha_0$ passe de 13,021 (écart-type 0,147) à 13,008 (0,041), $\tau$ de 0,181 à 0,185 en médiane, et l'effet de Masson-Angers relatif à Hull de $-0{,}224$ à $-0{,}219$, soit un déplacement de 0,005. L'a priori sur $\alpha_0$ agit sur le niveau moyen des secteurs, et par le rétrécissement sur les $\alpha_s$ ; mais les effets \emph{relatifs} entre secteurs ne dépendent de $\alpha_0$ qu'à travers un rétrécissement dont le poids $1 - B_s$ est inférieur à 1 \% pour tous les secteurs de Gatineau. L'a priori a donc déplacé le niveau moyen vers 13,0 et l'a rendu trois fois plus précis, sans presque toucher aux écarts entre secteurs, ce qui est bien ce qu'une opinion sur le niveau moyen doit faire.70\end{solution}71