spb/traite-evaluation-qc

1% Solutions du chapitre 41 — Plus haute et meilleure utilisation, terrains et développement2% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch41.py (classe TestExercices) et analysis/python/cases/ch41_phmu.py.34\begin{solution}{ex:41:1}{Les quatre tests}5\emph{Test légal.} La densité admet $\lfloor 900/200 \rfloor = 4$ logements et la grille en plafonne le nombre à 4 : le programme de six logements échoue d'emblée sur le nombre de logements. L'aire de plancher maximale est $0{,}70 \times 900 = \msq{630}$ ; le programme de six logements exigerait $6 \times 80/0{,}85 = \msq{565}$, ce qui respecterait le COS, mais le test est déjà perdu sur la densité. Le programme de quatre logements exige $4 \times 110/0{,}85 = \msq{518}$ de plancher brut, moins que \msq{630}, et quatre logements : il franchit le test légal, sous réserve des marges, de la hauteur (trois étages) et de quatre cases de stationnement.67\emph{Vérifications physiques pour le programme de quatre logements.} L'enveloppe constructible après marges doit loger \msq{518} de plancher sur au plus trois étages, soit une empreinte d'au moins \msq{173} par étage ; il faut vérifier la façade et la profondeur du lot, l'emplacement de quatre cases de stationnement et des accès, la capacité des branchements d'aqueduc et d'égout pour quatre logements, la portance du sol (une maison de 1952 peut reposer sur des fondations qui n'informent pas sur le sol) et l'absence de servitudes ou de milieux humides. La démolition de la maison de 1952 suppose en outre une vérification de la présence d'amiante et de réservoirs souterrains, dont le coût entre dans la préparation du site.89\emph{Pourquoi ne pas chiffrer le programme écarté.} Le test financier mesure la valeur résiduelle d'un usage que le marché pourrait réaliser ; un usage que la grille interdit ne peut être réalisé qu'après une modification réglementaire ou un projet particulier, c'est-à-dire avec une probabilité et un délai. Le chiffrer comme s'il était permis produirait une valeur sans objet ; s'il est raisonnablement probable, il doit être traité par l'\cref{eq:8:esperance}, avec $p$ et $T$ justifiés, et non par la méthode résiduelle seule. L'ordre des tests évite ce travail inutile et, surtout, l'erreur de conclure à une valeur fondée sur un usage interdit.10\end{solution}1112\begin{solution}{ex:41:2}{Valeur résiduelle statique}13(a) Produit : $6 \times 95 \times 4900 = \dollars{2793000}$. Coûts directs : $570 \times 2300 = \dollars{1311000}$ ; indirects : $0{,}15 \times 1311000 = \dollars{196650}$ ; démolition \dollars{45000} ; marge $0{,}15 \times 2793000 = \dollars{418950}$ ; financement $0{,}03 \times 2793000 = \dollars{83790}$. Reste avant contribution : $2793000 - 1311000 - 196650 - 45000 - 418950 - 83790 = \dollars{737610}$. Valeur résiduelle par l'\cref{eq:8:residuel} : $737610/1{,}10 = \dollars{670555}$, dont la contribution pour fins de parcs représente \dollars{67055}.1415(b) Sans financement ni contribution : $737610 + 83790 = \dollars{821400}$. L'écart de \dollars{150845}, soit 22 \% du résidu complet, se décompose en \dollars{83790} de financement omis et \dollars{67055} de contribution omise : deux postes « secondaires » qui, additionnés et amplifiés par l'effet de levier, modifient la valeur du terrain de plus d'un cinquième. C'est l'erreur fréquente signalée au chapitre.1617(c) La démolition est incluse dans le résidu ($D = 0$ dans l'\cref{eq:41:ameliore}) ; comme $V_L = \dollars{670555} > V_{\text{act}} = \dollars{520000}$, la démolition est justifiée et la prime d'option immédiate est de \dollars{150555}, soit 29 \% de la valeur en usage. La conclusion suppose que le marché des terrains à redévelopper est actif et que l'acheteur type est un promoteur ; la prudence commande de la confronter à des ventes de démolition-reconstruction du secteur avant de la retenir.18\end{solution}1920\begin{solution}{ex:41:3}{Calendrier et financement intérimaire}21(a) Coûts : $400 \times 2300 = \dollars{920000}$ ; prêt $L = 0{,}75 \times 920000 = \dollars{690000}$ ; la mise de fonds de 25 \% couvre le premier quart des déboursés, de sorte que le prêt est tiré pendant $T_{\text{eff}} = 2 \times 0{,}75 = 1{,}5$ an et que, par l'\cref{eq:23:interets-mise}, $F = 690000 \times 0{,}0619 \times 1{,}5/2 = \dollars{32033}$. Frais de vente $0{,}04 \times 1800000 = \dollars{72000}$ ; marge $0{,}15 \times 1800000 = \dollars{270000}$. Reste à la livraison : $1800000 - 72000 - 920000 - 32033 - 270000 = \dollars{505967}$. Facteur : $(1 + 0{,}10)(1{,}0619)^{2} = 1{,}10 \times 1{,}1276 = 1{,}2404$. Valeur résiduelle par l'\cref{eq:41:residuel} : $505967/1{,}2404 = \dollars{407908}$.2223(b) Avec $r_L = 0$ : $505967/1{,}10 = \dollars{459970}$. Le coût du temps est de $1 - 407908/459970 = 11{,}3$ \% du résidu statique, pour deux ans de portage à 6,19 \% : c'est exactement $1 - 1{,}0619^{-2}$, et il s'ajoute aux intérêts intérimaires déjà comptés dans les coûts, qui ne couvrent que le prêt de construction et non le terrain.2425(c) Forme linéaire : $a = (1 - 0{,}04 - 0{,}15)/1{,}2404 = 0{,}6530$ et $b = (920000 + 32033)/1{,}2404 = \dollars{767524}$, de sorte que $V_L = 0{,}6530 \times 1800000 - 767524 = \dollars{407908}$. Élasticité par l'\cref{eq:41:levier} : $a\,\mathit{GDV}/V_L = 1 + b/V_L = 1 + 767524/407908 = 2{,}88$ : une baisse de 10 \% du produit de vente retranche 28,8 \% de la valeur du terrain.26\end{solution}2728\begin{solution}{ex:41:4}{Extraction par les démolitions-reconstructions}29(a) Par l'\cref{eq:41:teardown}, $\hat V_L = 455000 + 28000 = \dollars{483000}$. La contribution du bâtiment est $C_B = P - \hat V_L = -\dollars{28000}$ : l'acheteur a payé la valeur du terrain moins ce qu'il lui en coûte de s'en débarrasser, ce qui est la définition même d'une vente de démolition. En pourcentage, le bâtiment vaut $-6{,}2$ \% du prix.3031(b) Pour la maison de 1996 : $C_B = 610000 - 483000 = \dollars{127000}$, soit 20,8 \% du prix, positive. Elle ne peut servir de comparable à la maison de 1948 : les deux ventes appartiennent à deux marchés, celui des terrains (acheteurs promoteurs ou autoconstructeurs qui démoliront) et celui des maisons (acheteurs occupants). La maison de 1948 a pour comparables les autres ventes de démolition du secteur et les terrains vacants ; la maison de 1996, les maisons d'âge et de taille voisins. Les ajuster l'une sur l'autre pour l'âge et la superficie supposerait une fonction de prix continue qui n'existe pas au point où le bâtiment cesse de contribuer.3233(c) \textcite{dyeMcmillen2007} montrent que la probabilité de démolition croît avec le rapport entre la valeur du terrain et la valeur totale, et que les prix des propriétés démolies ne réagissent plus aux caractéristiques du bâtiment ; \textcite{mcmillenOsullivan2013} montrent que, dans un modèle hédonique estimé sur un secteur où les démolitions sont fréquentes, les coefficients des caractéristiques du bâtiment, dont l'âge, tendent vers zéro à mesure que la probabilité de démolition augmente. Un modèle estimé sur ce secteur mélange donc deux fonctions de prix : le coefficient de l'âge serait biaisé vers zéro, parce que, pour les maisons anciennes, le prix ne dépend plus de l'âge mais du terrain. La correction consiste soit à estimer le modèle sur les seules ventes de maisons conservées, soit à inclure une variable d'option de redéveloppement, comme le proposent \textcite{clappSalavei2010}.34\end{solution}3536\begin{solution}{ex:41:5}{Arbre binomial à deux périodes}37(a) Par l'\cref{eq:41:ud}, $u = e^{0{,}15\sqrt{5}} = 1{,}3985$ et $d = 1/u = 0{,}7150$. Par l'\cref{eq:41:q}, $\Phi = (1{,}02/1{,}04)^{5} = 0{,}9075$ et $q = (0{,}9075 - 0{,}7150)/(1{,}3985 - 0{,}7150) = 0{,}2815$ ; le facteur d'actualisation par période est $1{,}02^{-5} = 0{,}9057$.3839(b) Produits aux nœuds : $t = 1$ : \dollars{1398514} (hausse) et \dollars{715045} (baisse) ; $t = 2$ : \dollars{1955841}, \dollars{1000000} et \dollars{511289}. Gains d'exercice $\max\{0{,}70\,\mathit{GDV} - 800000, 0\}$ : à $t = 2$, \dollars{569089}, 0 et 0 ; à $t = 1$, \dollars{178960} au nœud de hausse et 0 au nœud de baisse ; à $t = 0$, 0 (le seuil de la valeur actuelle nette est $800000/0{,}70 = \dollars{1142857}$). Récurrence \eqref{eq:41:binomial} : au nœud de hausse de $t = 1$, la continuation vaut $0{,}9057 \times 0{,}2815 \times 569089 = \dollars{145121}$, inférieure au gain d'exercice de \dollars{178960} : le propriétaire exerce, et la valeur du nœud est \dollars{178960}. Au nœud de baisse, 0. À $t = 0$, la continuation vaut $0{,}9057 \times 0{,}2815 \times 178960 = \dollars{45636}$, supérieure au gain d'exercice nul : la valeur de l'option américaine est \dollars{45636}. L'option européenne, exerçable seulement à $t = 2$, vaut $0{,}9057^{2} \times 0{,}2815^{2} \times 569089 = \dollars{37007}$.4041(c) Oui : au nœud de hausse, exercer rapporte \dollars{178960} contre \dollars{145121} pour attendre. L'exercice anticipé est optimal parce que le rendement de détention $y = 4$ \% excède le taux sans risque : chaque période d'attente fait perdre le loyer net de l'immeuble achevé, ce que la faible probabilité risque-neutre de hausse ($q = 0{,}28$) ne compense pas. L'écart entre les options américaine et européenne, \dollars{8629}, est la valeur de cette faculté d'exercice intermédiaire.4243(d) La règle de la valeur actuelle nette conclut à ne pas redévelopper aujourd'hui ($0{,}70 \times 1000000 - 800000 < 0$) et attribue au bien sa seule valeur en usage, \dollars{700000}. L'analyse d'option ajoute \dollars{45636}, soit 6,5 \% : la valeur du droit de redévelopper si les prix montent.44\end{solution}4546\begin{solution}{ex:41:6}{Seuil de Capozza et Helsley}47(a) L'\cref{eq:41:ch-ode} est linéaire du second ordre à coefficients constants, avec second membre constant $R_A$. Une solution particulière est $V = R_A/r$ ; la solution homogène est $A e^{\alpha R} + B e^{\beta R}$, où $\alpha > 0$ et $\beta < 0$ sont les racines de $\tfrac12\sigma^2 x^2 + g x - r = 0$. Lorsque la rente du nouvel usage devient très faible, l'option de convertir perd toute valeur et $V$ doit tendre vers $R_A/r$ : cela impose $B = 0$, d'où $V(R) = R_A/r + A e^{\alpha R}$ (condition de bornitude). Au seuil $R^{*}$, la valeur du terrain non converti doit égaler la valeur convertie nette du coût, $V(R^{*}) = R^{*}/r + g/r^{2} - C$ (continuité de la valeur), et, le seuil étant choisi de façon optimale, les pentes doivent coïncider, $V'(R^{*}) = 1/r$ (raccordement lisse). De la seconde, $A e^{\alpha R^{*}} = 1/(r\alpha)$ ; dans la première, $R_A/r + 1/(r\alpha) = R^{*}/r + g/r^{2} - C$, d'où $R^{*} = R_A + rC - g/r + 1/\alpha$, qui est l'\cref{eq:41:ch-seuil}.4849(b) $\alpha = [-400 + \sqrt{400^{2} + 2 \times 0{,}05 \times 4000^{2}}]/4000^{2} = 5{,}79 \times 10^{-5}$ ; seuil de certitude $R_A + rC = 18000 + 0{,}05 \times 600000 = \dollars{48000}$ ; prime $1/\alpha - g/r = 17266 - 8000 = \dollars{9266}$ ; $R^{*} = \dollars{57266}$. La rente courante de \dollars{42000} devrait croître de $57266/42000 - 1 = 36{,}3$ \% avant que la conversion soit optimale ; sous certitude, de 14,3 \% seulement.5051(c) En écrivant $\alpha = 2r/(g + \sqrt{g^{2} + 2r\sigma^{2}})$, on a $1/\alpha = [g + \sqrt{g^{2} + 2r\sigma^{2}}]/(2r)$, qui tend vers $g/r$ quand $\sigma \to 0$ : la prime s'annule. Comme $\sqrt{g^{2} + 2r\sigma^{2}}$ est croissante en $\sigma$, la prime l'est aussi ; numériquement, elle vaut \dollars{3483} pour $\sigma = \dollars{2000}$, \dollars{9266} pour \dollars{4000} et \dollars{21612} pour \dollars{8000} par année.5253(d) $R_A$ correspond au rendement de détention de l'usage actuel ($y\,V_{\text{act}}$ dans l'exemple du chapitre) et $C$ aux coûts de construction, de démolition et de financement ; $rC$ est l'intérêt annuel sur le coût de conversion, et $R_A + rC$ est la rente qui rend la valeur actuelle nette de la conversion nulle. Le modèle omet les frais de vente, la marge du promoteur, la contribution pour fins de parcs et le délai de construction, qui tous relèvent le seuil dans la méthode résiduelle ; il omet aussi le vieillissement du bâtiment, qui abaisse $R_A$ avec le temps et rapproche la conversion. Il décrit un propriétaire qui convertit lui-même sans friction ; c'est le pendant en temps continu de la convention de la construction sur commande.54\end{solution}5556\begin{solution}{ex:41:7}{PHMU et conventions de marge}57(a) Avec une marge de 12 \% du produit et des frais de vente de 3 \%, la fonction \texttt{residuel\_developpement} donne \dollars{183529} pour la maison neuve, \dollars{223981} pour le duplex et \dollars{269989} pour le triplex sous la convention du promoteur. Le triplex dépasse désormais la maison neuve bâtie sur commande (\dollars{266187}) de \dollars{3802}, un écart de 1,4 \% qui ne permet pas de conclure : la PHMU du terrain vacant devient indéterminée entre les deux usages, et la conformité au voisinage ainsi que le prix du marché des terrains unifamiliaux (\dollars{277000}, supérieur aux deux) maintiennent la conclusion en faveur de la maison. L'exercice montre que la hiérarchie des usages dépend de la marge exigée par le promoteur, un paramètre que l'évaluateur doit extraire du marché plutôt que poser.5859(b) Par l'\cref{eq:41:seuil} avec $\bar V = \dollars{266187}$ et les coefficients du triplex de base ($a = 0{,}6729$, $b' = \dollars{595378}$, puisque $b = b' + V_{\text{act}}$), le produit de seuil est $\mathit{GDV}^{*} = (266187 + 595378)/0{,}6729 = \dollars{1280327}$, soit une hausse de 4,5 \% du prix des unités neuves. La conclusion de la \cref{sec:41:exemple} est donc fragile à la marge près : une hausse de moins de 5 \% des prix des unités neuves, à coûts constants, ferait du triplex de promoteur l'usage le plus productif du terrain vacant, et une hausse de 5,8 \% le porterait au-dessus du prix du marché des terrains unifamiliaux.6061(c) Avec une valeur en usage de \dollars{350000}, $b = 595378 + 350000 = \dollars{945378}$ et le seuil de la valeur actuelle nette tombe à \dollars{1404877}, soit 14,6 \% au-dessus du produit actuel. La prime de l'option à deux périodes vaut \dollars{14897} à 10 \% de volatilité et \dollars{47091} à 15 \%, soit 4,3 et 13,5 \% de la valeur en usage : pour une maison très dépréciée, l'option cesse d'être négligeable et devient une composante de la valeur à expliquer au rapport.6263(d) \emph{Note (modèle).} Le rapport présente d'abord la PHMU du terrain réputé vacant, en énumérant les usages examinés, les tests franchis et la valeur résiduelle de chacun avec ses hypothèses, puis conclut à l'usage retenu en expliquant pourquoi les autres, bien que faisables, ne sont pas les plus productifs pour l'acheteur type du terrain. Il présente ensuite la PHMU du bien amélioré : la valeur dans l'usage actuel, la contribution du bâtiment et la comparaison avec la valeur du terrain nette de la démolition, d'où la conclusion au maintien. Il explique que les deux conclusions ne se contredisent pas, le bâtiment ayant une contribution positive qui retarde la réalisation de l'usage le plus dense, et il situe cet usage comme une option dont il estime la valeur sous des hypothèses déclarées. Pour soutenir ces conclusions, il cherche dans le secteur des ventes de terrains vacants et de propriétés achetées pour démolition (permis de démolition, construction postérieure), dont le prix révèle la valeur du terrain et l'acheteur type ; des ventes de plex neufs vendus à la pièce, qui confirment les prix de sortie ; et des projets récents dont les coûts et les prix permettent d'extraire la marge effectivement réalisée. Sans ces ventes, la PHMU du terrain vacant reste une hypothèse de travail et la prime d'option n'est pas ajoutée à la conclusion.64\end{solution}65