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Ch. 36 livré et validé (compilation isolée, tests, fusion des registres)

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modified analysis/python/cases/ch39_bayes.py +14 −3
@@ -353,6 +353,8 @@ def exemple_conjugue(v: pd.DataFrame, s: dict, ref: dict) -> dict:
353 petits[nom] = {"post": p, "pred": pr, "largeur95_pct": (pr["haut95"] - pr["bas95"]) / pr["mediane"] * 100} 353 petits[nom] = {"post": p, "pred": pr, "largeur95_pct": (pr["haut95"] - pr["bas95"]) / pr["mediane"] * 100}
354 # Hull seul (186), a priori faible 354 # Hull seul (186), a priori faible
355 p_hull = ajuster_nig(se["hull"]); pred_hull = predictive_t(p_hull, x_sujet(s, p_hull["colonnes"])) 355 p_hull = ajuster_nig(se["hull"]); pred_hull = predictive_t(p_hull, x_sujet(s, p_hull["colonnes"]))
356+ ih = p_hull["colonnes"].index("ln_S"); pred_hull["ln_S"] = float(p_hull["m_n"][ih]); pred_hull["ln_S_sd"] = float(p_hull["sd"][ih])
357+ pred_hull["largeur95_pct"] = (pred_hull["haut95"] - pred_hull["bas95"]) / pred_hull["mediane"] * 100
356 return {"p600": p600, "p600_propre": p600_propre, "pred600_propre": predictive_t(p600_propre, xs), "cols": cols, "xs": xs, "tab600": tab, "pred600": pred600, "p_anc": p_anc, "p_rec_seq": p_seq, "n_anc": len(anc), 358 return {"p600": p600, "p600_propre": p600_propre, "pred600_propre": predictive_t(p600_propre, xs), "cols": cols, "xs": xs, "tab600": tab, "pred600": pred600, "p_anc": p_anc, "p_rec_seq": p_seq, "n_anc": len(anc),
357 "n_rec": len(rec), "p_vois": p_vois, "micro": micro, "cols_micro": cols_m, "petits": petits, "p_hull": p_hull, 359 "n_rec": len(rec), "p_vois": p_vois, "micro": micro, "cols_micro": cols_m, "petits": petits, "p_hull": p_hull,
358 "pred_hull": pred_hull, "n_micro": len(micro)} 360 "pred_hull": pred_hull, "n_micro": len(micro)}
@@ -459,28 +461,37 @@ def exercices(ex: dict, hier: dict) -> dict:
459 w = (n / sig ** 2) / prec 461 w = (n / sig ** 2) / prec
460 r["ex1"] = {"m_n": mn, "s_n": sn, "poids_donnees": w, "ic95": (mn - 1.96 * sn, mn + 1.96 * sn), "ic90": (mn - 1.645 * sn, mn + 1.645 * sn), 462 r["ex1"] = {"m_n": mn, "s_n": sn, "poids_donnees": w, "ic95": (mn - 1.96 * sn, mn + 1.96 * sn), "ic90": (mn - 1.645 * sn, mn + 1.645 * sn),
461 "n_equivalent_prior": sig ** 2 / s0 ** 2, "valeur_165": mn * 165, "sd_165": sn * 165} 463 "n_equivalent_prior": sig ** 2 / s0 ** 2, "valeur_165": mn * 165, "sd_165": sn * 165}
464+ prec4 = 1 / 400.0 ** 2 + n / sig ** 2
465+ r["ex1"]["s0_400"] = {"m_n": (m0 / 400.0 ** 2 + n * xbar / sig ** 2) / prec4, "s_n": math.sqrt(1 / prec4), "poids_donnees": (n / sig ** 2) / prec4,
466+ "n_equivalent_prior": sig ** 2 / 400.0 ** 2}
462 # ex 2 : lecture d'intervalles — probabilité a posteriori que la valeur dépasse 650 000 $ sous une postérieure log-normale 467 # ex 2 : lecture d'intervalles — probabilité a posteriori que la valeur dépasse 650 000 $ sous une postérieure log-normale
463 mu, sd = ex["pred600"]["loc"], ex["pred600"]["echelle"] 468 mu, sd = ex["pred600"]["loc"], ex["pred600"]["echelle"]
464 r["ex2"] = {"p_sup_650": float(1 - stats.t.cdf((math.log(650_000) - mu) / sd, ex["pred600"]["nu"])), 469 r["ex2"] = {"p_sup_650": float(1 - stats.t.cdf((math.log(650_000) - mu) / sd, ex["pred600"]["nu"])),
465 "p_inf_550": float(stats.t.cdf((math.log(550_000) - mu) / sd, ex["pred600"]["nu"])), 470 "p_inf_550": float(stats.t.cdf((math.log(550_000) - mu) / sd, ex["pred600"]["nu"])),
466− "q10": math.exp(mu + stats.t.ppf(0.10, ex["pred600"]["nu"]) * sd), "q90": math.exp(mu + stats.t.ppf(0.90, ex["pred600"]["nu"]) * sd)} 471+ "q10": math.exp(mu + stats.t.ppf(0.10, ex["pred600"]["nu"]) * sd), "q90": math.exp(mu + stats.t.ppf(0.90, ex["pred600"]["nu"]) * sd),
472+ "z_650": (math.log(650_000) - mu) / sd, "z_550": (math.log(550_000) - mu) / sd}
467 # ex 3 : facteur de rétrécissement 473 # ex 3 : facteur de rétrécissement
468 s2, t2 = 0.083 ** 2, 0.15 ** 2 474 s2, t2 = 0.083 ** 2, 0.15 ** 2
469 r["ex3"] = {n_: facteur_retrecissement(n_, s2, t2) for n_ in (5, 10, 20, 47)} 475 r["ex3"] = {n_: facteur_retrecissement(n_, s2, t2) for n_ in (5, 10, 20, 47)}
470 r["ex3"]["alpha_5"] = facteur_retrecissement(5, s2, t2) * (-0.30) + (1 - facteur_retrecissement(5, s2, t2)) * (-0.08) 476 r["ex3"]["alpha_5"] = facteur_retrecissement(5, s2, t2) * (-0.30) + (1 - facteur_retrecissement(5, s2, t2)) * (-0.08)
471 r["ex3"]["tau_005"] = {n_: facteur_retrecissement(n_, s2, 0.05 ** 2) for n_ in (5, 10, 20, 47)} 477 r["ex3"]["tau_005"] = {n_: facteur_retrecissement(n_, s2, 0.05 ** 2) for n_ in (5, 10, 20, 47)}
472 r["ex3"]["sd_cond_5"] = math.sqrt(1 / (5 / s2 + 1 / t2)); r["ex3"]["sd_fixe_5"] = math.sqrt(s2 / 5) 478 r["ex3"]["sd_cond_5"] = math.sqrt(1 / (5 / s2 + 1 / t2)); r["ex3"]["sd_fixe_5"] = math.sqrt(s2 / 5)
479+ r["ex3"]["n_demi"] = {"tau_015": s2 / t2, "tau_005": s2 / 0.05 ** 2}
473 # ex 4 : prédictive Student-t 480 # ex 4 : prédictive Student-t
474 p = ex["p600"]; xs = ex["xs"]; q = float(xs @ p["V_n"] @ xs) 481 p = ex["p600"]; xs = ex["xs"]; q = float(xs @ p["V_n"] @ xs)
475 r["ex4"] = {"a_n": p["a_n"], "b_n": p["b_n"], "nu": p["nu"], "xVx": q, "b_sur_a": p["b_n"] / p["a_n"], "echelle": ex["pred600"]["echelle"], 482 r["ex4"] = {"a_n": p["a_n"], "b_n": p["b_n"], "nu": p["nu"], "xVx": q, "b_sur_a": p["b_n"] / p["a_n"], "echelle": ex["pred600"]["echelle"],
476 "t975": float(stats.t.ppf(0.975, p["nu"])), "z975": 1.959964, "bas95": ex["pred600"]["bas95"], "haut95": ex["pred600"]["haut95"], 483 "t975": float(stats.t.ppf(0.975, p["nu"])), "z975": 1.959964, "bas95": ex["pred600"]["bas95"], "haut95": ex["pred600"]["haut95"],
477− "nu_petit": 20, "t975_20": float(stats.t.ppf(0.975, 20)), "mediane": ex["pred600"]["mediane"]} 484+ "nu_petit": 20, "t975_20": float(stats.t.ppf(0.975, 20)), "mediane": ex["pred600"]["mediane"],
485+ "bas95_normal": math.exp(ex["pred600"]["loc"] - 1.959964 * ex["pred600"]["echelle"]), "haut95_normal": math.exp(ex["pred600"]["loc"] + 1.959964 * ex["pred600"]["echelle"]),
486+ "bas95_t20": math.exp(ex["pred600"]["loc"] - float(stats.t.ppf(0.975, 20)) * ex["pred600"]["echelle"]), "haut95_t20": math.exp(ex["pred600"]["loc"] + float(stats.t.ppf(0.975, 20)) * ex["pred600"]["echelle"]),
487+ "elargissement_pct": (float(stats.t.ppf(0.975, 20)) / float(stats.t.ppf(0.975, p["nu"])) - 1) * 100}
478 # ex 5 : R̂ sur des moyennes/variances de chaînes données 488 # ex 5 : R̂ sur des moyennes/variances de chaînes données
479 moy = np.array([-0.262, -0.258, -0.271, -0.249]); var = np.array([0.0049, 0.0052, 0.0047, 0.0055]); n_ = 1000 489 moy = np.array([-0.262, -0.258, -0.271, -0.249]); var = np.array([0.0049, 0.0052, 0.0047, 0.0055]); n_ = 1000
480 B = n_ * moy.var(ddof=1); W = var.mean(); vp = (n_ - 1) / n_ * W + B / n_ 490 B = n_ * moy.var(ddof=1); W = var.mean(); vp = (n_ - 1) / n_ * W + B / n_
481 r["ex5"] = {"B": B, "W": W, "var_plus": vp, "rhat": math.sqrt(vp / W)} 491 r["ex5"] = {"B": B, "W": W, "var_plus": vp, "rhat": math.sqrt(vp / W)}
482 moy2 = np.array([-0.262, -0.258, -0.371, -0.249]); B2 = n_ * moy2.var(ddof=1); vp2 = (n_ - 1) / n_ * W + B2 / n_ 492 moy2 = np.array([-0.262, -0.258, -0.371, -0.249]); B2 = n_ * moy2.var(ddof=1); vp2 = (n_ - 1) / n_ * W + B2 / n_
483 r["ex5"]["rhat_divergent"] = math.sqrt(vp2 / W); r["ex5"]["B2"] = B2 493 r["ex5"]["rhat_divergent"] = math.sqrt(vp2 / W); r["ex5"]["B2"] = B2
494+ r["ex5"]["ess_rho08"] = 4000 / (1 + 2 * 0.8 / (1 - 0.8))
484 # ex 6 : script (κ) — valeurs du tableau des petits échantillons 495 # ex 6 : script (κ) — valeurs du tableau des petits échantillons
485 r["ex6"] = {k: {"ln_S": v_["post"]["m_n"][ex["cols_micro"].index("ln_S")], "ln_S_sd": v_["post"]["sd"][ex["cols_micro"].index("ln_S")], 496 r["ex6"] = {k: {"ln_S": v_["post"]["m_n"][ex["cols_micro"].index("ln_S")], "ln_S_sd": v_["post"]["sd"][ex["cols_micro"].index("ln_S")],
486 "mediane": v_["pred"]["mediane"], "largeur95_pct": v_["largeur95_pct"]} for k, v_ in ex["petits"].items()} 497 "mediane": v_["pred"]["mediane"], "largeur95_pct": v_["largeur95_pct"]} for k, v_ in ex["petits"].items()}
@@ -526,7 +537,7 @@ def imprimer(r: dict) -> None:
526 po = pe["post"]; i = ex["cols_micro"].index("ln_S"); iq = ex["cols_micro"].index("qualite"); ig = ex["cols_micro"].index("garage") 537 po = pe["post"]; i = ex["cols_micro"].index("ln_S"); iq = ex["cols_micro"].index("qualite"); ig = ex["cols_micro"].index("garage")
527 print(f" {nom:9s}: ln_S {po['m_n'][i]:.3f} ({po['sd'][i]:.3f}) ; qualité {po['m_n'][iq]:.3f} ({po['sd'][iq]:.3f}) ; garage {po['m_n'][ig]:.3f} ({po['sd'][ig]:.3f}) ; " 538 print(f" {nom:9s}: ln_S {po['m_n'][i]:.3f} ({po['sd'][i]:.3f}) ; qualité {po['m_n'][iq]:.3f} ({po['sd'][iq]:.3f}) ; garage {po['m_n'][ig]:.3f} ({po['sd'][ig]:.3f}) ; "
528 f"E[σ] {po['sigma_moy']:.4f} ; sujet médiane {_d(pe['pred']['mediane'])} [{_d(pe['pred']['bas95'])} ; {_d(pe['pred']['haut95'])}] largeur {pe['largeur95_pct']:.1f} %") 539 f"E[σ] {po['sigma_moy']:.4f} ; sujet médiane {_d(pe['pred']['mediane'])} [{_d(pe['pred']['bas95'])} ; {_d(pe['pred']['haut95'])}] largeur {pe['largeur95_pct']:.1f} %")
529− ph = ex["pred_hull"]; print(f" Hull seul ({ex['p_hull']['n']}) : médiane {_d(ph['mediane'])} [{_d(ph['bas95'])} ; {_d(ph['haut95'])}]") 540+ ph = ex["pred_hull"]; print(f" Hull seul ({ex['p_hull']['n']}) : ln_S {ph['ln_S']:.3f} ({ph['ln_S_sd']:.3f}) ; médiane {_d(ph['mediane'])} [{_d(ph['bas95'])} ; {_d(ph['haut95'])}] largeur {ph['largeur95_pct']:.1f} %")
530 print("\n=== modèle hiérarchique (Gibbs par blocs) : résumé ===") 541 print("\n=== modèle hiérarchique (Gibbs par blocs) : résumé ===")
531 print(hi["resume"].round(4).to_string()) 542 print(hi["resume"].round(4).to_string())
532 print("\ndiagnostics : Gibbs par blocs vs un paramètre à la fois"); print(hi["diag"].round(3).to_string()) 543 print("\ndiagnostics : Gibbs par blocs vs un paramètre à la fois"); print(hi["diag"].round(3).to_string())
modified analysis/python/cases/ch40_montecarlo.py +8 −3
@@ -379,14 +379,17 @@ def exercices(r: dict, mc: dict) -> dict:
379 out["ex1"] = {**p, **m, "P_sup_5pct": float(1 - stats.norm.cdf(math.log(0.05 / p["mediane"]) / p["sigma_log"]))} 379 out["ex1"] = {**p, **m, "P_sup_5pct": float(1 - stats.norm.cdf(math.log(0.05 / p["mediane"]) / p["sigma_log"]))}
380 # Ex. 2 : PERT vs triangulaire pour la rotation (0,08 ; 0,15 ; 0,25) 380 # Ex. 2 : PERT vs triangulaire pour la rotation (0,08 ; 0,15 ; 0,25)
381 t = moments_loi("triangulaire", MC_LOIS["rotation_annuelle"][1]); pe = pert(0.08, 0.15, 0.25) 381 t = moments_loi("triangulaire", MC_LOIS["rotation_annuelle"][1]); pe = pert(0.08, 0.15, 0.25)
382− out["ex2"] = {"tri": t, "pert": {k: pe[k] for k in ["alpha", "beta", "moyenne", "ecart_type", "q05", "q95"]}} 382+ a_, m_, b_ = 0.08, 0.15, 0.25
383+ out["ex2"] = {"tri": t, "pert": {k: pe[k] for k in ["alpha", "beta", "moyenne", "ecart_type", "q05", "q95"]},
384+ "P_tri_sup_20": (b_ - 0.20) ** 2 / ((b_ - a_) * (b_ - m_)), "P_pert_sup_20": float(pe["loi"].sf(0.20))}
383 # Ex. 3 : nombre de tirages pour une médiane à ±5 000 $ (95 %) et pour P(RCD<1,20) à ±1 point 385 # Ex. 3 : nombre de tirages pour une médiane à ±5 000 $ (95 %) et pour P(RCD<1,20) à ±1 point
384 V = mc["valeur"]; e = erreur_type_quantile(V, 0.5) 386 V = mc["valeur"]; e = erreur_type_quantile(V, 0.5)
385 se1_med = e["se_theorique"] * math.sqrt(len(V)) # écart-type « pour N = 1 » 387 se1_med = e["se_theorique"] * math.sqrt(len(V)) # écart-type « pour N = 1 »
386 out["ex3"] = {"se_mediane_10000": e["se_theorique"], "densite": e["densite"], "N_mediane_5000": n_requis(se1_med, 5000), "N_mediane_1000": n_requis(se1_med, 1000), 388 out["ex3"] = {"se_mediane_10000": e["se_theorique"], "densite": e["densite"], "N_mediane_5000": n_requis(se1_med, 5000), "N_mediane_1000": n_requis(se1_med, 1000),
387 "N_proba_1pt": n_requis(0.5, 0.01), "N_proba_0.5pt": n_requis(0.5, 0.005)} 389 "N_proba_1pt": n_requis(0.5, 0.01), "N_proba_0.5pt": n_requis(0.5, 0.005)}
388 # Ex. 4 : Cholesky 2×2 pour (r, R_T) avec rho = 0,78 et sigma_RT = 0,0064 ; vérification Sigma = L L' ; Spearman induit 390 # Ex. 4 : Cholesky 2×2 pour (r, R_T) avec rho = 0,78 et sigma_RT = 0,0064 ; vérification Sigma = L L' ; Spearman induit
389− L = cholesky_2x2(0.005, 0.0064, 0.78); out["ex4"] = {"L": L, "Sigma": L @ L.T, "spearman": spearman_depuis_pearson_gaussien(0.78)} 391+ L = cholesky_2x2(0.005, 0.0064, 0.78); eps = np.array([1.2, -0.5]); z = L @ eps
392+ out["ex4"] = {"L": L, "Sigma": L @ L.T, "spearman": spearman_depuis_pearson_gaussien(0.78), "r_tire": 0.0725 + z[0], "RT_tire": 0.05 + z[1]}
390 # Ex. 5 : VaR/CVaR 10 % de valeur et loi normale de même moyenne/écart-type ; comparaison 393 # Ex. 5 : VaR/CVaR 10 % de valeur et loi normale de même moyenne/écart-type ; comparaison
391 st = mc["stats"]; mr = mesures_risque(mc, r["dcf"]["valeur"], alphas=(0.10,)).iloc[0].to_dict() 394 st = mc["stats"]; mr = mesures_risque(mc, r["dcf"]["valeur"], alphas=(0.10,)).iloc[0].to_dict()
392 out["ex5"] = {**mr, "q10_normale": stats.norm.ppf(0.10, st["moyenne"], st["ecart_type"]), "cvar_normale": cvar_normale(st["moyenne"], st["ecart_type"], 0.10)} 395 out["ex5"] = {**mr, "q10_normale": stats.norm.ppf(0.10, st["moyenne"], st["ecart_type"]), "cvar_normale": cvar_normale(st["moyenne"], st["ecart_type"], 0.10)}
@@ -394,7 +397,8 @@ def exercices(r: dict, mc: dict) -> dict:
394 lois = dict(MC_LOIS); lois["taux_actualisation"] = ("normale", {"mu": 0.0725, "sigma": 0.010}) 397 lois = dict(MC_LOIS); lois["taux_actualisation"] = ("normale", {"mu": 0.0725, "sigma": 0.010})
395 x = tirer(N_MC, GRAINE, len(r["hyp"]["capex"]), lois); ev = evaluer(r, x); Vx = ev["valeur"] 398 x = tirer(N_MC, GRAINE, len(r["hyp"]["capex"]), lois); ev = evaluer(r, x); Vx = ev["valeur"]
396 out["ex6"] = {"mediane": float(np.median(Vx)), "ecart_type": float(Vx.std(ddof=1)), "q05": float(np.quantile(Vx, 0.05)), "q95": float(np.quantile(Vx, 0.95)), "P_V_2M": float((Vx < 2e6).mean()), 399 out["ex6"] = {"mediane": float(np.median(Vx)), "ecart_type": float(Vx.std(ddof=1)), "q05": float(np.quantile(Vx, 0.05)), "q95": float(np.quantile(Vx, 0.95)), "P_V_2M": float((Vx < 2e6).mean()),
397− "P_V_2M_base": float((V < 2e6).mean()), "cv": float(Vx.std(ddof=1) / Vx.mean())} 400+ "P_V_2M_base": float((V < 2e6).mean()), "cv": float(Vx.std(ddof=1) / Vx.mean()), "ratio_ecart_type": float(Vx.std(ddof=1) / V.std(ddof=1))}
401+ S_r = 0.528; out["ex6"]["S_r_approx"] = 4 * S_r / (1 + 3 * S_r) # modèle additif : la variance due à r quadruple
398 return out 402 return out
399 403
400 # ----------------------------------------------------------------------------- tout 404 # ----------------------------------------------------------------------------- tout
@@ -440,6 +444,7 @@ def imprimer(D: dict) -> None:
440 print("\nErreur Monte-Carlo théorique (N = 10 000) :\n", D["erreurs"].to_string(index=False)) 444 print("\nErreur Monte-Carlo théorique (N = 10 000) :\n", D["erreurs"].to_string(index=False))
441 rep = D["repetitions"] 445 rep = D["repetitions"]
442 print(f"\nRépétitions ({len(rep)} graines, N = 10 000) : écart-type empirique — moyenne {rep['moyenne'].std(ddof=1):,.0f} | médiane {rep['mediane'].std(ddof=1):,.0f} | q05 {rep['q05'].std(ddof=1):,.0f} | q95 {rep['q95'].std(ddof=1):,.0f} | P(RCD1<1,20) {rep['p_rcd1_120'].std(ddof=1):.4f}") 446 print(f"\nRépétitions ({len(rep)} graines, N = 10 000) : écart-type empirique — moyenne {rep['moyenne'].std(ddof=1):,.0f} | médiane {rep['mediane'].std(ddof=1):,.0f} | q05 {rep['q05'].std(ddof=1):,.0f} | q95 {rep['q95'].std(ddof=1):,.0f} | P(RCD1<1,20) {rep['p_rcd1_120'].std(ddof=1):.4f}")
447+ print(f" moyennes des 300 : moyenne {rep['moyenne'].mean():,.0f} | q05 {rep['q05'].mean():,.0f} | q95 {rep['q95'].mean():,.0f}")
443 print(f" moyenne des médianes {rep['mediane'].mean():,.0f} ; min {rep['mediane'].min():,.0f} ; max {rep['mediane'].max():,.0f} ; P(RCD1<1,20) moyenne {rep['p_rcd1_120'].mean():.4f}") 448 print(f" moyenne des médianes {rep['mediane'].mean():,.0f} ; min {rep['mediane'].min():,.0f} ; max {rep['mediane'].max():,.0f} ; P(RCD1<1,20) moyenne {rep['p_rcd1_120'].mean():.4f}")
444 print(" graine du traité (20261031) :", {k: (round(v, 4) if isinstance(v, float) else v) for k, v in D["graine_traite"].items()}) 449 print(" graine du traité (20261031) :", {k: (round(v, 4) if isinstance(v, float) else v) for k, v in D["graine_traite"].items()})
445 print("\nConvergence (une suite, graine 20261031) :\n", D["convergence"].to_string(index=False)) 450 print("\nConvergence (une suite, graine 20261031) :\n", D["convergence"].to_string(index=False))
modified analysis/python/figures/ch36_figures.py +1 −1
@@ -72,7 +72,7 @@ def fig_bacon(res):
72 ax.set_xlabel("Poids de la comparaison 2 × 2"); ax.set_title(titre, fontsize=8.5); ax.grid(True, lw=0.4) 72 ax.set_xlabel("Poids de la comparaison 2 × 2"); ax.set_title(titre, fontsize=8.5); ax.grid(True, lw=0.4)
73 axes[0].set_ylabel("Estimation 2 × 2 (points de log)") 73 axes[0].set_ylabel("Estimation 2 × 2 (points de log)")
74 h_, l_ = axes[0].get_legend_handles_labels() 74 h_, l_ = axes[0].get_legend_handles_labels()
75− fig.legend(h_, l_, loc="lower center", ncol=3, fontsize=6.8, bbox_to_anchor=(0.5, -0.1), frameon=False) 75+ fig.legend(h_, l_, loc="lower center", ncol=3, fontsize=6.8, bbox_to_anchor=(0.5, -0.2), frameon=False)
76 savefig(fig, "ch36/ch36-fig-bacon.pdf") 76 savefig(fig, "ch36/ch36-fig-bacon.pdf")
77 77
78 def fig_synthetique(res): 78 def fig_synthetique(res):
modified analysis/python/figures/ch37_figures.py +1 −1
@@ -29,7 +29,7 @@ def fig_arbre(res):
29 arbre = res["ajustes"]["Arbre (profondeur 3)"] 29 arbre = res["ajustes"]["Arbre (profondeur 3)"]
30 noms = [c37.ETIQUETTES[c].replace(" (m²)", " (m²)") for c in res["Xm"].columns] 30 noms = [c37.ETIQUETTES[c].replace(" (m²)", " (m²)") for c in res["Xm"].columns]
31 fig, ax = plt.subplots(figsize=(LARGEUR, 3.6)) 31 fig, ax = plt.subplots(figsize=(LARGEUR, 3.6))
32− plot_tree(arbre, feature_names=noms, filled=False, impurity=False, rounded=True, fontsize=6.4, ax=ax, precision=3) 32+ plot_tree(arbre, feature_names=noms, filled=False, impurity=False, rounded=True, fontsize=6, ax=ax, precision=3)
33 for t in ax.texts: 33 for t in ax.texts:
34 s = t.get_text() 34 s = t.get_text()
35 s = re.sub(r"samples = (\d+)", lambda m: f"n = {m.group(1)}", s) 35 s = re.sub(r"samples = (\d+)", lambda m: f"n = {m.group(1)}", s)
modified analysis/python/figures/ch44_flux.py +1 −1
@@ -18,7 +18,7 @@ def panneau(ax, fl, titre, couleur):
18 ax.axhline(0, color=palette.ink2, lw=0.6) 18 ax.axhline(0, color=palette.ink2, lw=0.6)
19 ax.set_title(titre, loc="left", fontsize=9) 19 ax.set_title(titre, loc="left", fontsize=9)
20 ax.set_xlabel("Année"); ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(fmt_dollars)) 20 ax.set_xlabel("Année"); ax.yaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(fmt_dollars))
21− ax.annotate(f"VAN {fmt_dollars(fl['van'])}".replace("-", "−"), xy=(t[-1], fl["cumul_actualise"][-1]), xytext=(-6, -14 if fl["van"] < 0 else 10), 21+ ax.annotate(f"VAN {fmt_dollars(fl['van'])}".replace("-", "−"), xy=(t[-1], fl["cumul_actualise"][-1]), xytext=(4, -22 if fl["van"] < 0 else 10),
22 textcoords="offset points", ha="right", va="top" if fl["van"] < 0 else "bottom", fontsize=8, color=palette.ink) 22 textcoords="offset points", ha="right", va="top" if fl["van"] < 0 else "bottom", fontsize=8, color=palette.ink)
23 23
24 24
modified analysis/python/figures/ch46_figures.py +3 −3
@@ -67,9 +67,9 @@ def fig_mrb(D):
67 ax.hist(c.loc[(c["quartier"] == "Limoilou") & (c["nb_logements"] == 3), "mrb"], bins=np.arange(12, 32, 1.0), color=palette.cat[0], alpha=0.8, label="28 triplex de Limoilou") 67 ax.hist(c.loc[(c["quartier"] == "Limoilou") & (c["nb_logements"] == 3), "mrb"], bins=np.arange(12, 32, 1.0), color=palette.cat[0], alpha=0.8, label="28 triplex de Limoilou")
68 for i, (_, r) in enumerate(comp5.iterrows()): 68 for i, (_, r) in enumerate(comp5.iterrows()):
69 ax.axvline(r["mrb"], color=palette.cat[1], lw=1.2, label="5 comparables (MRB 20,75 à 23,35)" if i == 0 else None) 69 ax.axvline(r["mrb"], color=palette.cat[1], lw=1.2, label="5 comparables (MRB 20,75 à 23,35)" if i == 0 else None)
70− ax.axvline(rec["mrb_implicite"], color=palette.ink, lw=1.6, ls="--"); ax.text(12.3, 12.7, f"Sujet, valeur conclue : {rec['mrb_implicite']:.2f} (tireté)".replace(".", ","), fontsize=7, color=palette.ink) 70+ ax.axvline(rec["mrb_implicite"], color=palette.ink, lw=1.6, ls="--"); ax.text(12.3, 13.2, f"Sujet, valeur conclue : {rec['mrb_implicite']:.2f} (tireté)".replace(".", ","), fontsize=7, color=palette.ink)
71− ax.axvline(rev["mrb_127"], color=palette.ink2, lw=1, ls=":"); ax.text(12.3, 11.5, f"Médiane des 67 triplex : {rev['mrb_127']:.2f} (pointillé)".replace(".", ","), fontsize=7, color=palette.ink2) 71+ ax.axvline(rev["mrb_127"], color=palette.ink2, lw=1, ls=":"); ax.text(12.3, 12.1, f"Médiane des 67 triplex : {rev['mrb_127']:.2f} (pointillé)".replace(".", ","), fontsize=7, color=palette.ink2)
72− ax.set_xlabel("Multiplicateur du revenu brut (prix / RBP contractuel)"); ax.set_ylabel("Nombre de ventes"); ax.set_ylim(0, 14); ax.set_xlim(12, 31); ax.legend(loc="center right", fontsize=6.8) 72+ ax.set_xlabel("Multiplicateur du revenu brut (prix / RBP contractuel)"); ax.set_ylabel("Nombre de ventes"); ax.set_ylim(0, 14.5); ax.set_xlim(12, 31); ax.legend(loc="upper right", fontsize=6.5)
73 ax.set_title("A. Les cinq comparables dans la distribution", loc="left", fontsize=8.5) 73 ax.set_title("A. Les cinq comparables dans la distribution", loc="left", fontsize=8.5)
74 ax = axes[1] 74 ax = axes[1]
75 rho5 = comp5["loyer_mensuel_moyen_contrat"] / comp5["loyer_mensuel_moyen_marche"]; rho_tri = tri["loyer_mensuel_moyen_contrat"] / tri["loyer_mensuel_moyen_marche"] 75 rho5 = comp5["loyer_mensuel_moyen_contrat"] / comp5["loyer_mensuel_moyen_marche"]; rho_tri = tri["loyer_mensuel_moyen_contrat"] / tri["loyer_mensuel_moyen_marche"]
added analysis/python/tests/test_ch36.py +202 −0
@@ -0,0 +1,202 @@
1+"""Chapitre 36 — tests des fonctions de traite.panel (récupération d'effets connus sur données simulées) et des chiffres cités
2+dans le texte, les tableaux et les solutions. Tolérances : coefficients ±0,0005 (ou relatives déclarées), erreurs-types ±0,0005,
3+identités (Bacon, within = indicatrices) à 1e-8."""
4+import sys, pathlib, math
5+import numpy as np, pandas as pd, pytest
6+sys.path.insert(0, str(pathlib.Path(__file__).resolve().parents[1] / "cases"))
7+from traite import panel as pn
8+from traite import hedonique as h
9+import ch36_panel as c36
10+
11+# ----------------------------------------------------------------------------- fonctions génériques (données simulées)
12+
13+def _panel(N=30, T=12, seed=3, delta=0.05, dyn=0.0):
14+ rng = np.random.default_rng(seed); alpha = rng.normal(10, 0.5, N); lam = np.cumsum(rng.normal(0.01, 0.01, T))
15+ g = np.array([np.nan] * 10 + [4] * 10 + [8] * 10, float); rows = []
16+ for i in range(N):
17+ for t in range(T):
18+ k = t - g[i] if not np.isnan(g[i]) else np.nan
19+ d = (delta + dyn * k) if (not np.isnan(k) and k >= 0) else 0.0
20+ rows.append({"u": i, "t": t, "g": g[i], "vrai": d, "y": alpha[i] + lam[t] + d + rng.normal(0, 0.01)})
21+ df = pd.DataFrame(rows); df["D"] = ((df["t"] >= df["g"]) & df["g"].notna()).astype(float); return df
22+
23+def test_within_egal_indicatrices_et_mco_grappes_reduit_a_hc1():
24+ df = _panel()
25+ r_tw = pn.twfe(df, "y", ["D"], "u", "t")
26+ yw, Xw = pn.within_deux_voies(df["y"].values, df[["D"]].values, df["u"].values, df["t"].values)
27+ bw = np.linalg.lstsq(Xw, yw, rcond=None)[0][0]
28+ assert abs(bw - r_tw["coef"].loc["D", "coef"]) < 1e-8
29+ X = np.column_stack([np.ones(len(df)), df["D"].values]); r = pn.mco_grappes(X, df["y"].values, np.arange(len(df)))
30+ assert np.allclose(r["se_grappes"], r["se_hc1"], rtol=1e-6) # une grappe par observation = HC1
31+
32+def test_twfe_recupere_effet_constant():
33+ df = _panel(delta=0.05); r = pn.twfe(df, "y", ["D"], "u", "t")
34+ assert abs(r["coef"].loc["D", "coef"] - 0.05) < 0.005
35+
36+def test_did_2x2_identite_cellules_et_regression():
37+ df = _panel(); df["tr"] = (df["g"] == 4).astype(int); d = df[df["g"] != 8]
38+ r = pn.did_2x2(d, "y", "u", "t", "tr", [1, 2, 3], [4, 5, 6])
39+ assert abs(r["estimateur"] - r["coef_reg"]) < 1e-10 and abs(r["estimateur"] - 0.05) < 0.01
40+
41+def test_event_study_retrouve_le_profil():
42+ df = _panel(delta=0.02, dyn=0.01); es = pn.event_study(df, "y", "u", "t", "g", fenetre=(-3, 3))
43+ for k in range(0, 3):
44+ assert abs(es.loc[k, "coef"] - (0.02 + 0.01 * k)) < 0.01
45+ assert all(abs(es.loc[k, "coef"]) < 0.01 for k in (-3, -2))
46+
47+def test_bacon_identite_et_cs_corrige_le_twfe():
48+ df = _panel(N=30, T=16, delta=0.0, dyn=0.02) # effets croissants : TWFE biaisé
49+ b = pn.bacon(df, "y", "u", "t", "g")
50+ assert abs(b["somme_poids"] - 1) < 1e-8 and abs(b["beta_pondere"] - b["beta_twfe"]) < 1e-8
51+ interdite = b["table"].loc[b["table"]["type"].str.startswith("tardive"), "beta"].iloc[0]
52+ vrai = df.loc[df["D"] == 1, "vrai"].mean()
53+ cs = pn.callaway_santanna(df, "y", "u", "t", "g", B=50)
54+ assert abs(cs["globale"] - vrai) < 0.01 and abs(b["beta_twfe"] - vrai) > 0.02 and interdite < 0
55+
56+def test_controle_synthetique_retrouve_combinaison_exacte():
57+ rng = np.random.default_rng(1); T, J, T0 = 30, 6, 20
58+ Y0 = np.cumsum(rng.normal(0, 0.02, (T, J)), axis=0); w = np.array([0.5, 0.3, 0.2, 0, 0, 0])
59+ y1 = Y0 @ w + np.concatenate([np.zeros(T0), 0.05 * np.ones(T - T0)])
60+ r = pn.controle_synthetique(Y0, y1, T0)
61+ assert np.allclose(r["poids"], w, atol=0.02) and abs(r["effet_moyen_post"] - 0.05) < 0.005 and r["rmspe_pre"] < 1e-3
62+
63+def test_rdd_retrouve_le_saut():
64+ rng = np.random.default_rng(2); x = rng.uniform(-1, 1, 4000); y = 1 + 0.2 * x + 0.1 * (x >= 0) + rng.normal(0, 0.05, 4000)
65+ r = pn.rdd_local_lineaire(x, y, 0.5)
66+ assert abs(r["tau"] - 0.1) < 3 * r["se_hc1"] and abs(r["tau"] - 0.1) < 0.02
67+
68+# ----------------------------------------------------------------------------- chiffres du chapitre
69+
70+@pytest.fixture(scope="module")
71+def res():
72+ return c36.main(verbose=False)
73+
74+def test_plan_et_verite(res):
75+ v = res["verite"]; tr = res["traites"]
76+ assert tr["A"] == ["P04", "P06", "P11", "P14", "P20", "P21", "P28", "P42"] and tr["B"] == ["P10", "P24", "P29", "P33", "P37"]
77+ assert len(res["panel"]) == 2016 and res["panel"]["id_immeuble"].nunique() == 48
78+ assert v["att_global"] == pytest.approx(0.0454, abs=0.0001) and v["att_A"] == pytest.approx(0.0484, abs=0.0001)
79+ assert v["att_B"] == pytest.approx(0.0356, abs=0.0001) and v["att_fenetre_2x2"] == pytest.approx(0.04625, abs=1e-6)
80+ assert c36.effet_vrai(3) == 0.04 and c36.effet_vrai(15) == pytest.approx(0.07) and c36.effet_vrai(-1) == 0
81+ assert 100 * (math.exp(0.04) - 1) == pytest.approx(4.08, abs=0.005)
82+
83+def test_did_2x2(res):
84+ r = res["did_rmr"]; c = r["cellules"]
85+ assert c.loc[1, 0] == pytest.approx(10.1379, abs=0.0001) and c.loc[1, 1] == pytest.approx(10.2450, abs=0.0001)
86+ assert c.loc[0, 0] == pytest.approx(10.3696, abs=0.0001) and c.loc[0, 1] == pytest.approx(10.4234, abs=0.0001)
87+ assert r["estimateur"] == pytest.approx(0.0534, abs=0.0001) and r["se_hc1"] == pytest.approx(0.0201, abs=0.0001)
88+ assert r["n_traites"] == 8 and r["n_temoins"] == 9
89+ t = res["did_tous"]; assert t["estimateur"] == pytest.approx(0.0468, abs=0.0001) and t["se_hc1"] == pytest.approx(0.0177, abs=0.0001) and t["n_temoins"] == 35
90+ p = res["placebo"]; assert p["estimateur"] == pytest.approx(0.0155, abs=0.0001) and p["se_hc1"] == pytest.approx(0.0101, abs=0.0001)
91+
92+def test_twfe_et_erreurs_types(res):
93+ tw = res["twfe"]; c = tw["commun"]["coef"].loc["D"]; r = tw["regional"]["coef"].loc["D"]
94+ assert c["coef"] == pytest.approx(0.0905, abs=0.0001) and tw["within_deux_voies"] == pytest.approx(c["coef"], abs=1e-8)
95+ assert c["se"] == pytest.approx(0.0047, abs=0.0001) and c["se_hc1"] == pytest.approx(0.0053, abs=0.0001) and c["se_grappes"] == pytest.approx(0.0198, abs=0.0001)
96+ assert tw["commun"]["k"] == 90 and tw["regional"]["k"] == 295
97+ assert r["coef"] == pytest.approx(0.0702, abs=0.0001) and r["se"] == pytest.approx(0.0054, abs=0.0001)
98+ assert r["se_hc1"] == pytest.approx(0.0064, abs=0.0001) and r["se_grappes"] == pytest.approx(0.0264, abs=0.0001)
99+ assert r["se_grappes"] / r["se"] == pytest.approx(4.9, abs=0.05) and c["se_grappes"] / c["se"] == pytest.approx(4.2, abs=0.05)
100+
101+def test_event_study(res):
102+ es = res["es"]
103+ attendu = {-8: (-0.0175, 0.0204), -7: (-0.0169, 0.0173), -6: (-0.0182, 0.0148), -5: (-0.0121, 0.0131), -4: (-0.0214, 0.0140),
104+ -3: (-0.0183, 0.0116), -2: (-0.0073, 0.0074), 0: (0.0088, 0.0060), 1: (0.0235, 0.0084), 2: (0.0312, 0.0108),
105+ 3: (0.0410, 0.0138), 4: (0.0354, 0.0141), 5: (0.0439, 0.0149), 6: (0.0476, 0.0155), 7: (0.0561, 0.0158), 8: (0.0817, 0.0270)}
106+ for k, (b, s) in attendu.items():
107+ assert es.loc[k, "coef"] == pytest.approx(b, abs=0.0001) and es.loc[k, "se_grappes"] == pytest.approx(s, abs=0.0001)
108+ assert es.loc[-1, "coef"] == 0 and es.loc[8, "vrai"] == pytest.approx(0.0612, abs=0.0001) and es.loc[4, "vrai"] == pytest.approx(0.0425)
109+ pre = es.loc[-7:-2]; pente = np.polyfit(pre.index.values.astype(float), pre["coef"].values, 1)[0]
110+ assert pente == pytest.approx(0.0011, abs=0.0001)
111+
112+def test_bacon_cas4(res):
113+ b = res["bacon"]; t = b["table"].set_index("type")
114+ assert b["somme_poids"] == pytest.approx(1, abs=1e-10) and b["beta_pondere"] == pytest.approx(b["beta_twfe"], abs=1e-10)
115+ assert b["beta_twfe"] == pytest.approx(0.0905, abs=0.0001)
116+ tj = b["table"][b["table"]["temoins"] == "jamais"].set_index("traites")
117+ assert tj.loc[26, "poids"] == pytest.approx(0.6658, abs=0.0001) and tj.loc[26, "beta"] == pytest.approx(0.0844, abs=0.0001)
118+ assert tj.loc[34, "poids"] == pytest.approx(0.2721, abs=0.0001) and tj.loc[34, "beta"] == pytest.approx(0.1224, abs=0.0001)
119+ assert t.loc["précoce vs tardive (pas encore traitée)", "poids"] == pytest.approx(0.0476, abs=0.0001) and t.loc["précoce vs tardive (pas encore traitée)", "beta"] == pytest.approx(0.0080, abs=0.0001)
120+ assert t.loc["tardive vs précoce (déjà traitée)", "poids"] == pytest.approx(0.0146, abs=0.0001) and t.loc["tardive vs précoce (déjà traitée)", "beta"] == pytest.approx(0.0403, abs=0.0001)
121+ # vérité de la comparaison A vs B avant 2024T3 : moyenne de δ(k) pour k = 0..7
122+ assert c36.effet_vrai(np.arange(0, 8)).mean() == pytest.approx(0.0356, abs=0.0001)
123+
124+def test_callaway_santanna(res):
125+ c = res["cs"]
126+ assert c["globale"] == pytest.approx(0.0481, abs=0.0001) and c["globale_se_boot"] == pytest.approx(0.0116, abs=0.0002)
127+ pc = c["par_cohorte"]
128+ assert pc.loc[26, "att"] == pytest.approx(0.0528, abs=0.0001) and pc.loc[26, "se_boot"] == pytest.approx(0.0154, abs=0.0002)
129+ assert pc.loc[34, "att"] == pytest.approx(0.0406, abs=0.0001) and pc.loc[34, "se_boot"] == pytest.approx(0.0183, abs=0.0002)
130+ d = c["dynamique"]
131+ assert d.loc[3, "att"] == pytest.approx(0.0417, abs=0.0001) and d.loc[15, "att"] == pytest.approx(0.0740, abs=0.0001)
132+ c2 = res["cs_tous"]
133+ assert c2["globale"] == pytest.approx(0.0514, abs=0.0001) and c2["par_cohorte"].loc[26, "att"] == pytest.approx(0.0509, abs=0.0001)
134+ assert c2["par_cohorte"].loc[34, "att"] == pytest.approx(0.0521, abs=0.0001)
135+
136+def test_controle_synthetique_cas4(res):
137+ s = res["sc"]
138+ assert s["effet_moyen_post"] == pytest.approx(0.0363, abs=0.0001) and s["vrai_post"] == pytest.approx(0.0484, abs=0.0001)
139+ assert s["rmspe_pre"] == pytest.approx(0.0031, abs=0.0001) and s["rmspe_post"] == pytest.approx(0.0397, abs=0.0001)
140+ assert s["ratio_traite"] == pytest.approx(12.9, abs=0.1) and s["rang_ratio"] == 1 and len(s["placebos"]) == 35
141+ w = s["poids"]; assert abs(w.sum() - 1) < 1e-8 and (w >= -1e-12).all() and int((w > 0.005).sum()) == 11
142+ for k, v in {"P02": 0.142, "P09": 0.136, "P16": 0.123, "P25": 0.120, "P19": 0.114, "P43": 0.110, "P45": 0.105, "P03": 0.071}.items():
143+ assert w[k] == pytest.approx(v, abs=0.001)
144+
145+def test_discontinuite(res):
146+ r = res["rdd"]; e = r["estimations"]
147+ assert r["saut_vrai"] == 0.05 and r["naif"] == pytest.approx(0.1136, abs=0.0001)
148+ assert e[0.5]["tau"] == pytest.approx(0.034, abs=0.0005) and e[0.5]["se_hc1"] == pytest.approx(0.0343, abs=0.0001) and e[0.5]["n_eff"] == 93
149+ assert e[1.0]["tau"] == pytest.approx(0.0316, abs=0.0001) and e[1.0]["se_hc1"] == pytest.approx(0.0247, abs=0.0001) and e[1.0]["n_eff"] == 202
150+ assert e[2.0]["tau"] == pytest.approx(0.058, abs=0.0005) and e[2.0]["se_hc1"] == pytest.approx(0.0183, abs=0.0001) and e[2.0]["n_eff"] == 400
151+ for hb in e: assert abs(e[hb]["tau"] - 0.05) < 1.0 * e[hb]["se_hc1"]
152+
153+def test_laboratoire(res):
154+ L = res["labo"]
155+ assert L["twfe"] == pytest.approx(0.0233, abs=0.0001) and L["se_grappes"] == pytest.approx(0.0061, abs=0.0001)
156+ assert L["verite"] == pytest.approx(0.0692, abs=0.0001) and L["verite_k"] == pytest.approx(0.0825, abs=0.0001) and L["verite_l"] == pytest.approx(0.0425, abs=0.0001)
157+ assert L["cs"]["globale"] == pytest.approx(0.0601, abs=0.0001) and L["cs"]["globale_se_boot"] == pytest.approx(0.0073, abs=0.0002)
158+ pc = L["cs"]["par_cohorte"]; assert pc.loc[10, "att"] == pytest.approx(0.0893, abs=0.0001) and pc.loc[26, "att"] == pytest.approx(0.0310, abs=0.0001)
159+ t = L["bacon"]["table"].set_index("type")
160+ assert t.loc["tardive vs précoce (déjà traitée)", "beta"] == pytest.approx(-0.0356, abs=0.0001) and t.loc["tardive vs précoce (déjà traitée)", "poids"] == pytest.approx(0.3265, abs=0.0001)
161+ assert t.loc["précoce vs tardive (pas encore traitée)", "beta"] == pytest.approx(0.0404, abs=0.0001)
162+ assert abs(L["bacon"]["beta_pondere"] - L["twfe"]) < 1e-8 and abs(L["twfe"] - L["verite"]) / L["se_grappes"] > 7
163+
164+def test_sensibilite_et_temoins(res):
165+ sv = res["sens"]
166+ assert sv["did_2x2"]["estimateur"] == pytest.approx(0.0734, abs=0.0001) and sv["twfe_regional"]["coef"].loc["D", "coef"] == pytest.approx(0.1227, abs=0.0001)
167+ assert sv["pente_pre"] == pytest.approx(0.0036, abs=0.0001) and sv["twfe_tendance"]["coef"].loc["D", "coef"] == pytest.approx(0.0609, abs=0.0001)
168+ assert sv["did_detendance"] == pytest.approx(0.0426, abs=0.0001) and sv["ecart_ans"] == 2.0
169+ es = sv["event_study"]; assert es.loc[-8, "coef"] == pytest.approx(-0.0609, abs=0.0001) and es.loc[7, "coef"] == pytest.approx(0.0761, abs=0.0001)
170+ # biais du 2 × 2 = tendance × écart entre fenêtres (0,01 × 2 ans)
171+ assert sv["did_2x2"]["estimateur"] - res["did_rmr"]["estimateur"] == pytest.approx(0.02, abs=1e-6)
172+ t = res["temoins"].set_index("temoins")
173+ assert t.loc["jamais traités, toutes RMR", "estimateur"] == pytest.approx(0.0468, abs=0.0001) and t.loc["jamais traités, toutes RMR", "n_temoins"] == 35
174+ assert t.loc["jamais traités, Montréal", "estimateur"] == pytest.approx(0.0534, abs=0.0001)
175+ assert t.loc["jamais traités, hors Montréal", "estimateur"] == pytest.approx(0.0445, abs=0.0001) and t.loc["jamais traités, hors Montréal", "n_temoins"] == 26
176+ assert t.loc["pas encore traités (cohorte B)", "estimateur"] == pytest.approx(0.0308, abs=0.0001) and t.loc["pas encore traités (cohorte B)", "n_temoins"] == 5
177+
178+# ----------------------------------------------------------------------------- solutions
179+
180+def test_solutions_exercices(res):
181+ ex = res["ex"]
182+ assert ex["ex1"]["did"] == pytest.approx(0.05) and ex["ex1"]["pct"] == pytest.approx(5.13, abs=0.005)
183+ assert np.allclose(ex["ex2"]["yw"], [-0.15, 0.15, -0.05, 0.05, -0.05, 0.05]) and np.allclose(ex["ex2"]["xw"], [-0.5, 0.5, -0.5, 0.5, 0, 0])
184+ assert ex["ex2"]["b_within"] == pytest.approx(0.20) and ex["ex2"]["b_pooled"] == pytest.approx(0.425)
185+ assert ex["ex3"][(42, 0.5)] == pytest.approx(4.64, abs=0.005) and ex["ex3"][(42, 0.9)] == pytest.approx(6.16, abs=0.005) and ex["ex3"][(8, 0.5)] == pytest.approx(2.12, abs=0.005)
186+ assert (4.9 ** 2 - 1) / 41 == pytest.approx(0.56, abs=0.005)
187+ e5 = ex["ex5"]; assert e5["Dk"] == 0.75 and e5["Dl"] == 0.25 and e5["VD"] == pytest.approx(0.0625) and e5["s_kl"] == pytest.approx(0.5) and e5["s_lk"] == pytest.approx(0.5)
188+ # (c) espérances : β_kl = 0,055 ; β_lk = 0,03 − (0,13 − 0,055) = −0,045 ; TWFE = 0,005 ; ATT global 0,0675
189+ att_k = 0.01 * np.arange(1, 16).mean(); att_l = 0.01 * np.arange(1, 6).mean()
190+ assert att_k == pytest.approx(0.08) and att_l == pytest.approx(0.03)
191+ b_kl = 0.01 * np.arange(1, 11).mean(); b_lk = att_l - (0.01 * np.arange(11, 16).mean() - b_kl)
192+ assert b_kl == pytest.approx(0.055) and b_lk == pytest.approx(-0.045) and 0.5 * b_kl + 0.5 * b_lk == pytest.approx(0.005)
193+ assert (15 * att_k + 5 * att_l) / 20 == pytest.approx(0.0675)
194+ e6 = ex["ex6"]; assert e6["att"][2] == pytest.approx(0.045) and e6["att"][3] == pytest.approx(0.0817, abs=0.0001) and e6["att"][0] == pytest.approx(-0.015) and e6["moyenne_post"] == pytest.approx(0.0633, abs=0.0001)
195+
196+def test_solution_exercice_7(res):
197+ t = res["ex7"].set_index("variante")
198+ assert t.loc["35 donneurs, six RMR", "effet_post"] == pytest.approx(0.0363, abs=0.0001) and t.loc["35 donneurs, six RMR", "n_poids_sup_1pct"] == 11
199+ assert t.loc["9 donneurs, Montréal", "rmspe_pre"] == pytest.approx(0.0067, abs=0.0001) and t.loc["9 donneurs, Montréal", "effet_post"] == pytest.approx(0.0452, abs=0.0001)
200+ assert t.loc["9 donneurs, Montréal", "n_poids_sup_1pct"] == 7 and t.loc["9 donneurs, Montréal", "trois_premiers"].startswith("P09 0.32, P27 0.20")
201+ assert t.loc["26 donneurs, hors Montréal", "rmspe_pre"] == pytest.approx(0.0035, abs=0.0001) and t.loc["26 donneurs, hors Montréal", "effet_post"] == pytest.approx(0.0375, abs=0.0001)
202+ assert t.loc["placebo 2020T3, 35 donneurs", "rmspe_pre"] == pytest.approx(0.0027, abs=0.0001) and t.loc["placebo 2020T3, 35 donneurs", "effet_post"] == pytest.approx(-0.0055, abs=0.0001)
added analysis/python/tests/test_ch38.py +247 −0
@@ -0,0 +1,247 @@
1+"""Chapitre 38 — tests des fonctions de traite.geo et des chiffres cités dans manuscript/chapters/ch38.tex et solutions/ch38.tex.
2+Tolérances : distances ±1 m sauf indication, coefficients ±0,0005, parts ±0,001, GVF ±0,001."""
3+import sys, pathlib
4+import numpy as np, pytest
5+sys.path.insert(0, str(pathlib.Path(__file__).resolve().parents[1] / "cases"))
6+from traite import geo
7+import ch38_sig as c38
8+
9+pytestmark = pytest.mark.filterwarnings("ignore")
10+
11+
12+@pytest.fixture(scope="module")
13+def r():
14+ return c38.tout()
15+
16+# ----------------------------------------------------------------------------- fonctions génériques (traite.geo)
17+
18+def test_haversine_et_equirectangulaire():
19+ # un degré de latitude ≈ 111,19 km sur la sphère de rayon 6371,0088 km ; méridien et équateur
20+ assert geo.haversine_km(0, 0, 1, 0) == pytest.approx(np.pi / 180 * geo.R_TERRE_KM, rel=1e-9)
21+ assert geo.haversine_km(0, 0, 0, 90) == pytest.approx(np.pi / 2 * geo.R_TERRE_KM, rel=1e-9)
22+ # antipodes et point identique
23+ assert geo.haversine_km(10, 20, -10, -160) == pytest.approx(np.pi * geo.R_TERRE_KM, rel=1e-6)
24+ assert float(geo.haversine_km(45.0, -75.0, 45.0, -75.0)) == 0.0
25+ xy = geo.equirectangulaire_km([45.0, 46.0], [-75.0, -75.0], 45.0, -75.0)
26+ assert xy[1, 1] == pytest.approx(np.pi / 180 * geo.R_TERRE_KM, rel=1e-9) and xy[1, 0] == 0.0
27+
28+
29+def test_facteur_echelle_tm():
30+ assert float(geo.facteur_echelle_tm(45.0, -76.5, -76.5)) == pytest.approx(0.9999) # méridien central
31+ k = float(geo.facteur_echelle_tm(45.4215, -75.7395, -76.5)); assert k == pytest.approx(0.999943, abs=1e-6)
32+ # croissant avec l'écart au méridien, décroissant avec la latitude
33+ assert geo.facteur_echelle_tm(45, -75.0, -76.5) > geo.facteur_echelle_tm(45, -76.0, -76.5)
34+ assert geo.facteur_echelle_tm(60, -75.0, -76.5) < geo.facteur_echelle_tm(45, -75.0, -76.5)
35+
36+
37+def test_point_dans_polygone_carre_et_concave():
38+ carre = np.array([(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)], float)
39+ pts = np.array([(0.5, 0.5), (1.5, 0.5), (-0.1, 0.2), (0.99, 0.01)])
40+ assert list(geo.point_dans_polygone(pts, carre)) == [True, False, False, True]
41+ poly = np.array([(0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 1), (0, 3)], float) # exercice 3
42+ assert list(geo.point_dans_polygone(np.array([(1, 1), (2, 2), (3, 2.5)]), poly)) == [True, False, False]
43+ # cohérence avec shapely sur des points aléatoires
44+ from shapely.geometry import Polygon, Point
45+ rng = np.random.default_rng(1); P = rng.uniform(-1, 5, (500, 2)); sp = Polygon(poly)
46+ assert np.array_equal(geo.point_dans_polygone(P, poly), np.array([sp.contains(Point(*p)) for p in P]))
47+
48+
49+def test_idw_exact_et_moyenne():
50+ co = np.array([(0, 0), (1, 0), (0, 1)], float); z = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
51+ assert geo.idw(co, z, co)[1] == 2.0 # valeur exacte aux observations
52+ assert float(geo.idw(co[:2], z[:2], np.array([[0.5, 0.0]]))[0]) == pytest.approx(1.5) # équidistant : moyenne
53+ # un point plus proche de (1, 0) tire vers 2
54+ assert geo.idw(co[:2], z[:2], np.array([[0.9, 0.0]]), puissance=2)[0] > 1.9
55+
56+
57+def test_grille_hexagonale_couvre_et_aire():
58+ cells = geo.grille_hexagonale(0, 0, 10, 10, 1.0)
59+ from shapely.geometry import Polygon, Point
60+ polys = [Polygon(c) for c in cells]
61+ assert polys[0].area == pytest.approx(3 * np.sqrt(3) / 2, rel=1e-9)
62+ rng = np.random.default_rng(2); P = rng.uniform(0, 10, (300, 2))
63+ assert all(any(p.contains(Point(*q)) for p in polys) for q in P) # chaque point tombe dans une cellule
64+ # pavage : aires d'intersection nulles entre cellules distinctes
65+ assert polys[0].intersection(polys[1]).area < 1e-9
66+
67+
68+def test_classifications_et_gvf():
69+ z = np.array([1, 2, 3, 10, 11, 12, 30, 31, 32], float)
70+ bj = geo.bornes_jenks(z, 3)
71+ assert list(geo.classer(z, bj)) == [0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2] and geo.gvf(z, bj) > 0.99
72+ be = geo.bornes_intervalles_egaux(z, 3); assert be[0] == 1 and be[-1] == 32 and len(be) == 4
73+ bq = geo.bornes_quantiles(z, 3); assert np.bincount(geo.classer(z, bq)).tolist() == [3, 3, 3]
74+ assert geo.gvf(z, bj) >= geo.gvf(z, be) - 1e-9 and geo.gvf(z, bj) >= geo.gvf(z, bq) - 1e-9 # Jenks optimal
75+ assert geo.gvf(z, np.array([1.0, 32.0])) == pytest.approx(0.0)
76+
77+
78+def test_gravite_annuelle_emd():
79+ A = geo.accessibilite_gravitaire(np.array([[0.0, 0.0]]), np.array([[1.5, 0.0], [6.0, 0.0], [9.0, 0.0]]), [100, 40, 30], 0.25)
80+ assert float(A[0]) == pytest.approx(80.816, abs=0.001) # exercice 4
81+ assert geo.probabilite_annuelle(0.70) == pytest.approx(0.04702, abs=1e-5)
82+ assert geo.probabilite_annuelle(0.20) == pytest.approx(0.00889, abs=1e-5)
83+ assert geo.probabilite_annuelle(0.07) == pytest.approx(0.00290, abs=1e-5)
84+ assert geo.probabilite_annuelle(1 - 0.5 ** 25) == pytest.approx(0.5)
85+ assert geo.effet_minimal_detectable(1.0) == pytest.approx(2.8016, abs=1e-3)
86+
87+# ----------------------------------------------------------------------------- chiffres du chapitre (cas 1)
88+
89+def test_projection_et_distances(r):
90+ b = r["base"]
91+ assert b["crs_nom"] == "NAD83 / MTM zone 9"
92+ assert b["xs"] == pytest.approx(364315.8, abs=0.5) and b["ys"] == pytest.approx(5031566.3, abs=0.5)
93+ assert b["k_sujet"] == pytest.approx(0.999943, abs=1e-6)
94+ assert b["etendue_km"][0] == pytest.approx(42.2, abs=0.05) and b["etendue_km"][1] == pytest.approx(27.5, abs=0.05)
95+ e = b["ecarts"]
96+ assert e["mtm9"]["max_m"] < 1.5 and e["equirect"]["max_m"] == pytest.approx(82.8, abs=0.5) and e["haversine"]["max_m"] == pytest.approx(70.8, abs=0.5)
97+ assert e["equirect"]["max_rel_pct"] == pytest.approx(0.51, abs=0.01) and e["haversine"]["max_rel_pct"] == pytest.approx(0.28, abs=0.01)
98+ m = b["manhattan"]; assert m["moyenne_ratio"] == pytest.approx(1.33, abs=0.005) and m["mediane_ratio"] == pytest.approx(1.37, abs=0.005) and m["max_ratio"] <= np.sqrt(2) + 1e-9
99+
100+
101+def test_geometries_et_jointure(r):
102+ a = r["geom"]["aires_km2"]; L = r["geom"]["longueurs_km"]
103+ assert a["A"] == pytest.approx(31.0, abs=0.05) and a["B"] == pytest.approx(50.3, abs=0.05) and a["corridor_300"] == pytest.approx(15.0, abs=0.05)
104+ assert L["cours_eau"] == pytest.approx(43.8, abs=0.05) and L["corridor"] == pytest.approx(24.5, abs=0.05)
105+ s = r["secteurs"]
106+ assert s.loc["Total", "zone_A"] == 31 and s.loc["Total", "zone_B"] == 57 and s.loc["Total", "corridor_300"] == 17
107+ assert s.loc["Hull", "zone_A"] == 14 and s.loc["Aylmer", "zone_A"] == 17 and s.loc["Hull", "zone_B"] == 19 and s.loc["Aylmer", "zone_B"] == 38
108+ assert s.loc["Hull", "corridor_300"] == 14 and s.loc["Gatineau", "zone_A"] == 0
109+ assert s.loc["Hull", "dist_corr_med_km"] == pytest.approx(2.0, abs=0.05) and s.loc["Buckingham", "dist_corr_med_km"] == pytest.approx(16.8, abs=0.05)
110+ assert s.loc["Hull", "acces_moy"] == pytest.approx(74.3, abs=0.1) and s.loc["Aylmer", "acces_moy"] == pytest.approx(26.4, abs=0.1)
111+ v = r["ventes"]; assert (v["zone_A"] == v["zone_A_rayon"]).all() # lancer de rayon = shapely
112+ assert int(v["zone_A"].sum() + v["zone_B"].sum()) == 88
113+
114+
115+def test_grille_classification_et_surfacique(r):
116+ g = r["grille"]
117+ assert (g["n_cellules"], g["n_occupees"], g["n_cartographiees"]) == (374, 69, 30) and g["aire_cellule_km2"] == pytest.approx(3.74, abs=0.005)
118+ cl = g["classif"]
119+ assert np.allclose(np.round(cl["Jenks"]["bornes"]), [2546, 3004, 3358, 3548, 3925, 4106]) and cl["Jenks"]["effectifs"].tolist() == [4, 5, 8, 9, 4]
120+ assert np.allclose(np.round(cl["quantiles"]["bornes"]), [2546, 3165, 3441, 3555, 3650, 4106]) and cl["quantiles"]["effectifs"].tolist() == [6, 6, 6, 6, 6]
121+ assert cl["intervalles égaux"]["effectifs"].tolist() == [4, 2, 9, 11, 4]
122+ assert cl["Jenks"]["gvf"] == pytest.approx(0.964, abs=0.001) and cl["intervalles égaux"]["gvf"] == pytest.approx(0.952, abs=0.001) and cl["quantiles"]["gvf"] == pytest.approx(0.909, abs=0.001)
123+ ps = g["pond_surf"]; assert ps["total_exact"] == 600 and ps["eam"] == pytest.approx(2.95, abs=0.01) and ps["max"] == pytest.approx(14.9, abs=0.05) and ps["total_est"] == pytest.approx(598.3, abs=0.05)
124+ ok = g["cartographiees"]; assert np.abs(ok["residu_moy"]).max() < 0.051
125+
126+
127+def test_idw_sujet(r):
128+ i = r["idw"]
129+ assert i[1.0]["sujet"] == pytest.approx(-0.054, abs=0.0005) and i[2.0]["sujet"] == pytest.approx(-0.060, abs=0.0005) and i[3.0]["sujet"] == pytest.approx(-0.066, abs=0.0005)
130+ assert i[1.0]["eqm_loo"] == pytest.approx(0.086, abs=0.0005) and i[2.0]["eqm_loo"] == pytest.approx(0.090, abs=0.0005) and i[3.0]["eqm_loo"] == pytest.approx(0.095, abs=0.0005)
131+ assert i["eqm_sans_correction"] == pytest.approx(0.103, abs=0.0005)
132+
133+
134+def test_modeles_augmentes(r):
135+ m = r["modeles"]; ref = m["référence"]; ss = m["sans secteur"]; sn = m["sans secteur ni gradient"]
136+ c = ref["coef"]
137+ assert c.loc["zone_A", "coef"] == pytest.approx(0.0054, abs=0.0005) and c.loc["zone_A", "t"] == pytest.approx(0.31, abs=0.01)
138+ assert c.loc["zone_B", "coef"] == pytest.approx(-0.0181, abs=0.0005) and c.loc["corr_300", "coef"] == pytest.approx(-0.0306, abs=0.0005)
139+ assert c.loc["ln_dist_corridor", "coef"] == pytest.approx(-0.0065, abs=0.0005) and c.loc["ln_acces", "coef"] == pytest.approx(0.0106, abs=0.0005)
140+ assert (c["p"] > 0.05).all() and ref["F"] == pytest.approx(0.84, abs=0.01) and ref["p_F"] == pytest.approx(0.52, abs=0.01)
141+ assert ref["r2_base"] == pytest.approx(0.8530, abs=0.0001) and ref["r2"] == pytest.approx(0.8541, abs=0.0001)
142+ assert ref["mde"]["zone_A"] == pytest.approx(0.049, abs=0.001) and ref["mde"]["zone_B"] == pytest.approx(0.038, abs=0.001) and ref["mde"]["corr_300"] == pytest.approx(0.062, abs=0.001)
143+ assert ref["mde"]["ln_acces"] == pytest.approx(0.059, abs=0.001) and ref["mde"]["ln_dist_corridor"] == pytest.approx(0.020, abs=0.001)
144+ c2 = ss["coef"]
145+ assert c2.loc["zone_A", "coef"] == pytest.approx(0.0614, abs=0.0005) and c2.loc["zone_A", "t"] == pytest.approx(3.78, abs=0.01)
146+ assert c2.loc["zone_B", "coef"] == pytest.approx(0.0424, abs=0.0005) and c2.loc["zone_B", "t"] == pytest.approx(2.99, abs=0.01)
147+ assert c2.loc["ln_dist_corridor", "t"] == pytest.approx(-1.98, abs=0.01) and c2.loc["ln_acces", "coef"] == pytest.approx(0.1359, abs=0.0005) and c2.loc["ln_acces", "t"] == pytest.approx(10.9, abs=0.05)
148+ assert ss["F"] == pytest.approx(33.4, abs=0.05) and ss["r2_base"] == pytest.approx(0.7661, abs=0.0001) and ss["r2"] == pytest.approx(0.8182, abs=0.0001)
149+ c3 = sn["coef"]
150+ assert c3.loc["zone_A", "coef"] == pytest.approx(0.0578, abs=0.0005) and c3.loc["zone_B", "coef"] == pytest.approx(0.0502, abs=0.0005)
151+ assert c3.loc["ln_acces", "coef"] == pytest.approx(0.0596, abs=0.0005) and c3.loc["ln_acces", "t"] == pytest.approx(14.1, abs=0.05) and sn["F"] == pytest.approx(99.4, abs=0.05)
152+ assert sn["r2_base"] == pytest.approx(0.6372, abs=0.0001) and sn["r2"] == pytest.approx(0.8040, abs=0.0001)
153+ # effets en pourcentage cités : +0,5, −1,8, −3,0 (référence) ; +6,3, +4,3, +14,6 (sans secteur) ; +5,8, +5,2, +6,0
154+ assert c.loc["zone_A", "effet_pct"] == pytest.approx(0.5, abs=0.05) and c.loc["zone_B", "effet_pct"] == pytest.approx(-1.8, abs=0.05) and c.loc["corr_300", "effet_pct"] == pytest.approx(-3.0, abs=0.05)
155+ assert c2.loc["zone_A", "effet_pct"] == pytest.approx(6.3, abs=0.05) and c2.loc["zone_B", "effet_pct"] == pytest.approx(4.3, abs=0.05) and c2.loc["ln_acces", "effet_pct"] == pytest.approx(14.6, abs=0.05)
156+ assert c3.loc["zone_A", "effet_pct"] == pytest.approx(6.0, abs=0.06) and c3.loc["zone_B", "effet_pct"] == pytest.approx(5.2, abs=0.06) and c3.loc["ln_acces", "effet_pct"] == pytest.approx(6.1, abs=0.06)
157+
158+
159+def test_sensibilite_tampon(r):
160+ t = r["tampon"]; ref = t[t["spec"] == "référence"].set_index("rayon_m"); ss = t[t["spec"] == "sans secteur"].set_index("rayon_m")
161+ assert ref["n_dans_tampon"].loc[[100, 300, 1000]].tolist() == [4, 17, 57]
162+ assert (ref["t"].abs() < 1.96).all() # jamais significatif dans la référence
163+ assert ref.loc[100, "coef"] == pytest.approx(-0.054, abs=0.0005) and ref.loc[400, "coef"] == pytest.approx(0.002, abs=0.0005)
164+ assert 1.96 * ref.loc[100, "se"] == pytest.approx(0.072, abs=0.001) and 1.96 * ref.loc[1000, "se"] == pytest.approx(0.022, abs=0.001)
165+ assert ss.loc[300, "t"] == pytest.approx(-2.13, abs=0.01) and ss.loc[750, "t"] == pytest.approx(-2.72, abs=0.01) and ss.loc[1000, "t"] == pytest.approx(-3.56, abs=0.01)
166+ assert ss.loc[300, "coef"] == pytest.approx(-0.039, abs=0.0005) and ss.loc[1000, "coef"] == pytest.approx(-0.045, abs=0.0005) and (ss["coef"] < 0).all()
167+
168+
169+def test_faux_positifs(r):
170+ tab = r["faux_positifs"]["tableau"].set_index(["rayon_km", "spec", "erreur_type"])
171+ assert tab.loc[(0.5, "référence", "classique"), "n_polygones"] == 107 and tab.loc[(1.0, "référence", "classique"), "n_polygones"] == 346 and tab.loc[(2.0, "référence", "classique"), "n_polygones"] == 484
172+ g = lambda r_, s_, e_, col="part_5pct": float(tab.loc[(r_, s_, e_), col])
173+ assert g(1.0, "référence", "classique") == pytest.approx(0.029, abs=0.001) and g(2.0, "référence", "classique") == pytest.approx(0.035, abs=0.001) and g(0.5, "référence", "classique") == pytest.approx(0.112, abs=0.001)
174+ assert g(0.5, "référence", "HC1") == pytest.approx(0.262, abs=0.001) and g(1.0, "référence", "HC1") == pytest.approx(0.072, abs=0.001)
175+ assert g(1.0, "sans secteur", "classique") == pytest.approx(0.364, abs=0.001) and g(2.0, "sans secteur", "classique") == pytest.approx(0.736, abs=0.001)
176+ assert g(2.0, "sans secteur", "classique", "part_bonferroni") == pytest.approx(0.293, abs=0.001) and g(2.0, "référence", "classique", "part_bonferroni") == 0.0
177+ assert g(1.0, "référence", "classique", "ecart_type_t") == pytest.approx(1.01, abs=0.005) and g(2.0, "sans secteur", "classique", "ecart_type_t") == pytest.approx(4.42, abs=0.005)
178+ assert g(2.0, "sans secteur ni gradient", "classique") == pytest.approx(0.483, abs=0.001)
179+
180+# ----------------------------------------------------------------------------- cas 4 et capitalisation
181+
182+def test_cas4(r):
183+ c4 = r["cas4"]; par = c4["par_rmr"]
184+ assert c4["total"]["part_zone_inondable"] == pytest.approx(0.0666, abs=0.0001) and c4["n_inond"] == 3 and c4["n_sol"] == 2
185+ assert par.loc["Québec", "part_inond_rmr"] == pytest.approx(0.288, abs=0.001) and par.loc["Saguenay", "part_inond_rmr"] == pytest.approx(0.185, abs=0.001) and par.loc["Montréal", "part_inond_rmr"] == pytest.approx(0.026, abs=0.001)
186+ assert par.loc["Québec", "part_inond_total"] == pytest.approx(0.050, abs=0.001) and par["val_inond"].sum() == 9546000 and par["valeur"].sum() == 143363000
187+ assert par.loc["Québec", "val_inond"] == 7229000 and par.loc["Montréal", "n"] == 17 and par.loc["Gatineau", "n"] == 8
188+ assert c4["coef_inondable"] == pytest.approx(0.0756, abs=0.0005) and c4["se_inondable"] == pytest.approx(0.0347, abs=0.0005) and c4["effet_pct_inondable"] == pytest.approx(7.9, abs=0.05)
189+ assert c4["effet_pct_sol"] == pytest.approx(5.5, abs=0.05)
190+ assert abs(c4["coef_inondable"] - np.log(1.05)) < c4["se_inondable"] # à moins d'une erreur-type du générateur
191+ d = c4["distances_km"]
192+ assert d.loc["Montréal", "Québec"] == pytest.approx(236, abs=0.5) and d.loc["Québec", "Trois-Rivières"] == pytest.approx(116, abs=0.5) and d.loc["Gatineau", "Saguenay"] == pytest.approx(478, abs=0.5)
193+ assert c4["etendue_km"][0] == pytest.approx(379, abs=1) and c4["etendue_km"][1] == pytest.approx(343, abs=1)
194+
195+
196+def test_capitalisation(r):
197+ cap = r["capitalisation"]
198+ assert np.allclose(cap["p_annuelle"] * 100, [4.70, 0.89, 0.29], atol=0.005)
199+ assert np.allclose(cap["decote_pct"] * 100, [12.82, 1.29, 0.16], atol=0.005)
200+ assert np.allclose(cap["decote_dollars"], [81805, 8246, 1009], atol=0.6)
201+ # identité : décote = p1 × D / R
202+ assert np.allclose(cap["decote_pct"], cap["p_annuelle"] * cap["dommage_pct"] / 0.055)
203+
204+# ----------------------------------------------------------------------------- solutions des exercices
205+
206+def test_solutions_1_a_5():
207+ # ex. 1 : fuseaux et facteurs d'échelle
208+ k = {v: float(geo.facteur_echelle_tm(la, lo, l0)) for v, (la, lo, l0) in {"Mtl": (45.51, -73.60, -73.5), "Qc": (46.82, -71.19, -70.5), "Gat": (45.42, -75.74, -76.5), "Sag": (48.38, -71.10, -70.5)}.items()}
209+ assert k["Mtl"] == pytest.approx(0.999901, abs=1e-6) and k["Qc"] == pytest.approx(0.999934, abs=1e-6) and k["Gat"] == pytest.approx(0.999943, abs=1e-6) and k["Sag"] == pytest.approx(0.999924, abs=1e-6)
210+ assert (k["Mtl"] - 1) * 10000 == pytest.approx(-0.99, abs=0.01)
211+ # ex. 2 : trois distances
212+ xy = geo.equirectangulaire_km([45.4620], [-75.6612], 45.4215, -75.7395)[0]
213+ assert xy[0] == pytest.approx(6.111, abs=0.001) and xy[1] == pytest.approx(4.503, abs=0.001) and np.hypot(*xy) == pytest.approx(7.591, abs=0.001)
214+ assert float(geo.haversine_km(45.4215, -75.7395, 45.4620, -75.6612)) == pytest.approx(7.589, abs=0.001)
215+ assert np.hypot(45.4620 - 45.4215, -75.6612 + 75.7395) * 111 == pytest.approx(9.785, abs=0.001)
216+ # ex. 3 : aire, périmètre et tampon
217+ from shapely.geometry import Polygon
218+ sp = Polygon([(0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 1), (0, 3)])
219+ assert sp.area == 8.0 and sp.length == pytest.approx(15.657, abs=0.001)
220+ assert sp.buffer(0.5, quad_segs=64).area == pytest.approx(16.560, abs=0.001) and sp.area + 0.5 * sp.length + np.pi * 0.25 == pytest.approx(16.614, abs=0.001)
221+ # ex. 4 : indice gravitaire
222+ for lam, a1, a2 in [(0.25, 80.816, 62.54), (0.5, 49.561, 23.007)]:
223+ A1 = 100 * np.exp(-lam * 1.5) + 40 * np.exp(-lam * 6) + 30 * np.exp(-lam * 9); A2 = 170 * np.exp(-lam * 4)
224+ assert A1 == pytest.approx(a1, abs=0.001) and A2 == pytest.approx(a2, abs=0.001)
225+ assert np.log(80.816) == pytest.approx(4.392, abs=0.001) and np.log(62.54) == pytest.approx(4.136, abs=0.001)
226+ # ex. 5 : capitalisation et EMD
227+ p1 = geo.probabilite_annuelle(0.35); assert p1 == pytest.approx(0.01708, abs=1e-5)
228+ assert p1 * 0.10 / 0.05 == pytest.approx(0.0342, abs=0.0001) and p1 * 0.10 / 0.05 * 520000 == pytest.approx(17767, abs=1) and p1 * 0.2 / 0.05 * 520000 == pytest.approx(35534, abs=1)
229+ se = 0.09 / np.sqrt(500 * 0.048 * 0.952 * 0.9); assert se == pytest.approx(0.0199, abs=0.0001) and geo.effet_minimal_detectable(se) == pytest.approx(0.0556, abs=0.0001)
230+
231+
232+def test_solutions_6_et_7():
233+ e6 = c38.exercice_6(); t = e6["tableau_3km"].set_index(["spec", "erreur_type"])
234+ assert int(t.loc[("référence", "classique"), "n_polygones"]) == 995
235+ assert float(t.loc[("référence", "classique"), "part_5pct"]) == pytest.approx(0.045, abs=0.001) and float(t.loc[("référence", "HC1"), "part_5pct"]) == pytest.approx(0.053, abs=0.001)
236+ assert float(t.loc[("sans secteur", "classique"), "part_5pct"]) == pytest.approx(0.892, abs=0.001) and float(t.loc[("sans secteur", "classique"), "part_bonferroni"]) == pytest.approx(0.505, abs=0.001)
237+ assert float(t.loc[("sans secteur ni gradient", "classique"), "part_5pct"]) == pytest.approx(0.601, abs=0.001) and float(t.loc[("sans secteur ni gradient", "classique"), "part_bonferroni"]) == pytest.approx(0.325, abs=0.001)
238+ assert float(t.loc[("référence", "classique"), "ecart_type_t"]) == pytest.approx(0.98, abs=0.005) and float(t.loc[("sans secteur", "classique"), "ecart_type_t"]) == pytest.approx(6.28, abs=0.005)
239+ c = e6["comparaison_05km"]
240+ assert c["classique"]["n"] == 107 and c["classique"]["part_5pct"] == pytest.approx(0.112, abs=0.001) and c["HC1"]["part_5pct"] == pytest.approx(0.262, abs=0.001) and c["HC3"]["part_5pct"] == pytest.approx(0.234, abs=0.001)
241+ assert c["HC3"]["ecart_type"] == pytest.approx(1.42, abs=0.005)
242+ e7 = c38.exercice_7().set_index("grille")
243+ assert e7.loc["hexagones R = 800 m", ["cellules", "occupees", "n_min5"]].tolist() == [813, 123, 43] and e7.loc["hexagones R = 800 m", "gvf"] == pytest.approx(0.962, abs=0.001)
244+ assert e7.loc["hexagones R = 2000 m", ["cellules", "occupees", "n_min5"]].tolist() == [154, 34, 19] and e7.loc["hexagones R = 2000 m", "gvf"] == pytest.approx(0.975, abs=0.001)
245+ assert e7.loc["carrés de 2 km", ["cellules", "occupees", "n_min5"]].tolist() == [368, 64, 36] and e7.loc["carrés de 2 km", "gvf"] == pytest.approx(0.962, abs=0.001)
246+ assert np.allclose(e7["part_inter"].values, [0.356, 0.286, 0.250, 0.302], atol=0.001)
247+ assert np.allclose(e7.loc["hexagones R = 800 m", "bornes_jenks"], [2407, 2981, 3388, 3602, 3970, 4207])
added analysis/python/tests/test_ch40.py +183 −0
@@ -0,0 +1,183 @@
1+"""Tests du chapitre 40 (Monte-Carlo et stress tests — données synthétiques, cas 3 et cas 4) : égalité stricte avec les chiffres du
2+chapitre 47 (mêmes lois MC_LOIS, même graine 20261031), moments théoriques des lois, Cholesky/copule, erreur de Monte-Carlo,
3+hypercube latin, mesures de risque et vérification analytique du RCD, Sobol, portefeuille, exercices.
4+Tolérances déclarées : montants ±1 $ (valeurs citées), moments de lois ±1e-9 (formules fermées), fréquences ±1e-4, indices de Sobol ±0,02."""
5+import sys, pathlib, math
6+import numpy as np, pandas as pd, pytest
7+from scipy import stats
8+sys.path.insert(0, str(pathlib.Path(__file__).resolve().parents[1] / "cases"))
9+from traite import cas3, cas4
10+import ch40_montecarlo as m
11+import ch47_dossier as c47
12+
13+@pytest.fixture(scope="module")
14+def r():
15+ return cas3.tout()
16+
17+@pytest.fixture(scope="module")
18+def mc(r):
19+ return m.monte_carlo(r, m.N_MC, m.GRAINE)
20+
21+# ----------------------------------------------------------------------------- cohérence avec le chapitre 47
22+
23+def test_memes_lois_et_graine_que_ch47():
24+ assert m.MC_LOIS is c47.MC_LOIS and m.GRAINE == c47.GRAINE == 20261031 and m.R_T_PLANCHER == c47.R_T_PLANCHER
25+
26+def test_chiffres_identiques_au_ch47(r, mc):
27+ st, pr = mc["stats"], mc["probabilites"]
28+ assert st["mediane"] == pytest.approx(2_191_607.87, abs=1) and st["q05"] == pytest.approx(1_735_194.21, abs=1) and st["q95"] == pytest.approx(2_876_902.35, abs=1)
29+ assert st["moyenne"] == pytest.approx(2_233_505.68, abs=1) and st["ecart_type"] == pytest.approx(350_442.57, abs=1)
30+ assert pr["rcd1_sous_1.20"] == pytest.approx(0.4936, abs=1e-4) and pr["rcd1_sous_1.00"] == 0.0 and pr["rcd6_choc200_sous_1.20"] == pytest.approx(0.0140, abs=1e-4)
31+ assert pr["V_sous_cap"] == pytest.approx(0.3094, abs=1e-4) and pr["V_sous_2M"] == pytest.approx(0.2645, abs=1e-4) and pr["V_sous_role"] == pytest.approx(0.5118, abs=1e-4)
32+ # evaluer() (chemin du ch. 40) reproduit monte_carlo() (chemin du ch. 47) tirage par tirage
33+ e = m.evaluer(r, mc["tirages"])
34+ assert np.array_equal(e["valeur"], mc["valeur"]) and np.allclose(e["rcd1"], mc["rcd"][:, 0])
35+
36+def test_valeur_deterministe_reproduit_dcf(r):
37+ assert m.valeur_deterministe(r) == pytest.approx(r["dcf"]["valeur"], rel=1e-12)
38+ assert m.valeur_deterministe(r, taux_actualisation=0.08, taux_terminal=0.055) == pytest.approx(1_947_889, abs=1) # scénario « hausse des taux » du ch. 30
39+
40+# ----------------------------------------------------------------------------- lois
41+
42+def test_moments_lois_formules_fermees():
43+ ln = m.moments_loi("lognormale", {"mediane": 0.039, "sigma_log": 0.30})
44+ assert ln["moyenne"] == pytest.approx(0.039 * math.exp(0.045), abs=1e-12) and ln["q05"] == pytest.approx(stats.lognorm.ppf(0.05, 0.30, scale=0.039), abs=1e-12)
45+ assert ln["ecart_type"] == pytest.approx(stats.lognorm.std(0.30, scale=0.039), abs=1e-12)
46+ tri = m.moments_loi("triangulaire", {"min": 0.08, "mode": 0.15, "max": 0.25}); d = stats.triang(c=0.07 / 0.17, loc=0.08, scale=0.17)
47+ assert tri["moyenne"] == pytest.approx(0.16, abs=1e-12) and tri["ecart_type"] == pytest.approx(d.std(), abs=1e-12)
48+ assert float(tri["q05"]) == pytest.approx(d.ppf(0.05), abs=1e-12) and float(tri["q95"]) == pytest.approx(d.ppf(0.95), abs=1e-12)
49+ pe = m.pert(0.08, 0.15, 0.25)
50+ assert pe["moyenne"] == pytest.approx((0.08 + 4 * 0.15 + 0.25) / 6, abs=1e-12) and pe["moyenne"] == pytest.approx(pe["loi"].mean(), abs=1e-12)
51+ assert pe["ecart_type"] == pytest.approx(pe["loi"].std(), abs=1e-12)
52+ assert pe["loi"].pdf(0.15) >= max(pe["loi"].pdf(0.149), pe["loi"].pdf(0.151)) # mode en m
53+ # élicitation : inversion exacte des quantiles
54+ p = m.parametres_depuis_quantiles(0.024, 0.063, "lognormale"); mm = m.moments_loi("lognormale", p)
55+ assert mm["q05"] == pytest.approx(0.024, abs=1e-12) and mm["q95"] == pytest.approx(0.063, abs=1e-12)
56+ pn = m.parametres_depuis_quantiles(-0.01, 0.03, "normale"); assert pn["mu"] == pytest.approx(0.01) and pn["mu"] + pn["sigma"] * m.Z90 == pytest.approx(0.03, abs=1e-12)
57+
58+def test_quantile_loi_inverse_les_tirages():
59+ for nom, (typ, p) in m.MC_LOIS.items():
60+ u = np.array([0.05, 0.5, 0.95]); q = m.quantile_loi(typ, p, u)
61+ if typ == "normale": assert np.allclose(q, stats.norm.ppf(u, p["mu"], p["sigma"]))
62+ if typ == "lognormale": assert np.allclose(q, stats.lognorm.ppf(u, p["sigma_log"], scale=p["mediane"]))
63+ if typ == "triangulaire": assert np.allclose(q, stats.triang.ppf(u, c=(p["mode"] - p["min"]) / (p["max"] - p["min"]), loc=p["min"], scale=p["max"] - p["min"]))
64+
65+# ----------------------------------------------------------------------------- corrélations
66+
67+def test_cholesky_et_copule(mc):
68+ L = m.cholesky_2x2(0.005, 0.0064, 0.78); S = L @ L.T
69+ assert S[0, 0] == pytest.approx(0.005**2) and S[1, 1] == pytest.approx(0.0064**2) and S[0, 1] == pytest.approx(0.78 * 0.005 * 0.0064)
70+ assert np.allclose(L, np.linalg.cholesky(S))
71+ c = m.correlation_r_RT(mc["tirages"])
72+ assert c["rho_theorique"] == pytest.approx(0.005 / math.sqrt(0.005**2 + 0.004**2), abs=1e-12) and c["rho_empirique"] == pytest.approx(c["rho_theorique"], abs=0.01)
73+ assert c["spearman_empirique"] == pytest.approx(c["spearman_theorique"], abs=0.01) and c["part_plancher"] < 0.02
74+ assert m.spearman_depuis_pearson_gaussien(0.0) == 0.0 and m.spearman_depuis_pearson_gaussien(1.0) == pytest.approx(1.0)
75+ # copule gaussienne : marginales exactes et corrélation de rang ≈ (6/pi) arcsin(rho/2)
76+ corr = np.array([[1.0, 0.78], [0.78, 1.0]]); X = m.copule_gaussienne(50_000, 3, corr, [("normale", {"mu": 0.0725, "sigma": 0.005}), ("lognormale", {"mediane": 0.039, "sigma_log": 0.30})])
77+ assert X[:, 0].mean() == pytest.approx(0.0725, abs=1e-4) and np.median(X[:, 1]) == pytest.approx(0.039, abs=5e-4)
78+ assert stats.spearmanr(X[:, 0], X[:, 1])[0] == pytest.approx(m.spearman_depuis_pearson_gaussien(0.78), abs=0.01)
79+
80+# ----------------------------------------------------------------------------- erreur de Monte-Carlo, convergence, hypercube latin
81+
82+def test_erreur_monte_carlo(r, mc):
83+ e = m.erreurs_theoriques(mc).set_index("statistique")
84+ assert e.loc["moyenne", "se_theorique"] == pytest.approx(mc["stats"]["ecart_type"] / 100, rel=1e-9)
85+ assert e.loc["mediane", "se_theorique"] == pytest.approx(4135, abs=30) and e.loc["q95", "se_theorique"] == pytest.approx(10621, abs=80)
86+ assert e.loc["P(RCD1<1,20)", "se_theorique"] == pytest.approx(math.sqrt(0.4936 * 0.5064 / 10_000), abs=1e-5)
87+ rep = m.repetitions(r, 10_000, 30, graine0=1)
88+ assert rep["mediane"].std(ddof=1) == pytest.approx(e.loc["mediane", "se_theorique"], rel=0.35) # accord théorie/empirique (30 répétitions)
89+ assert abs(rep["p_rcd1_120"].mean() - 0.5) < 0.004 # valeur exacte 0,5
90+ assert m.n_requis(413_451, 5000) == 26_267 and m.n_requis(0.5, 0.01) == 9_604 and m.n_requis(0.5, 0.005) == 38_415
91+
92+def test_convergence_et_pente(r):
93+ c = m.convergence(r, N_max=20_000, points=(100, 1000, 10_000, 20_000))
94+ assert len(c) == 4 and c["mediane"].iloc[-1] == pytest.approx(2_204_000, abs=15_000)
95+ s = m.se_empirique_selon_N(r, Ns=(250, 1000, 4000), k=12)
96+ assert -0.75 < s.attrs["pente_log_mediane"] < -0.3
97+
98+def test_hypercube_latin(r):
99+ rng = np.random.default_rng(0); U = m.hypercube_latin(500, 3, rng)
100+ for k in range(3): # exactement un point par strate
101+ assert np.array_equal(np.sort(np.floor(U[:, k] * 500).astype(int)), np.arange(500))
102+ x = m.tirer_lhs(2000, 1, 3)
103+ assert set(x) == set(m.tirer(2000, 1, 3)) and x["facteur_capex"].shape == (2000, 3)
104+ assert x["inoccupation_pertes"].mean() == pytest.approx(0.039 * math.exp(0.045), rel=0.01) and x["taux_actualisation"].mean() == pytest.approx(0.0725, abs=2e-5)
105+ assert np.all(x["taux_terminal"] >= m.R_T_PLANCHER)
106+ cmp = m.comparer_lhs(r, n=500, k=20).set_index("statistique")
107+ assert cmp.loc["moyenne", "ratio_variance"] > 5 and cmp.loc["p_rcd1_120", "se_lhs"] == 0.0 and cmp.loc["p_rcd1_120", "moy_lhs"] == 0.5
108+
109+# ----------------------------------------------------------------------------- risque, covenants, stress
110+
111+def test_mesures_risque_et_rcd_analytique(r, mc):
112+ mr = m.mesures_risque(mc, r["dcf"]["valeur"]).set_index("alpha")
113+ assert mr.loc[0.05, "VaR"] == pytest.approx(r["dcf"]["valeur"] - mc["stats"]["q05"], abs=1e-6) and mr.loc[0.05, "CVaR"] >= mr.loc[0.05, "VaR"]
114+ assert mr.loc[0.05, "VaR"] == pytest.approx(473_372, abs=1) and mr.loc[0.05, "CVaR"] == pytest.approx(557_097, abs=1)
115+ assert mr.loc[0.10, "VaR"] == pytest.approx(385_254, abs=1) and mr.loc[0.10, "CVaR"] == pytest.approx(491_208, abs=1)
116+ assert m.cvar_normale(0, 1, 0.05) == pytest.approx(-stats.norm.pdf(stats.norm.ppf(0.05)) / 0.05)
117+ an = m.rcd1_analytique(r)
118+ assert an["rcd1_base"] == pytest.approx(1.20, abs=1e-9) and an["v_seuil_120"] == pytest.approx(0.039, abs=1e-9)
119+ assert an["P_rcd1_sous_120_exacte"] == pytest.approx(0.5, abs=1e-12) and an["v_seuil_100"] == pytest.approx(0.1333, abs=1e-4) and an["P_rcd1_sous_100_exacte"] < 1e-4
120+ # la fonction affine reproduit le RCD1 simulé pour chaque tirage
121+ v = mc["tirages"]["inoccupation_pertes"]; b, hyp, f = r["base"], r["hyp"], r["financement"]
122+ de_hg = b["depenses_hors_reserve"] - 0.04 * b["rbe"]
123+ rcd_affine = (0.96 * (b["rbp_contrat"] * (1 - v) + hyp["autres_revenus_annuels"]) - de_hg - b["reserve"]) / f["service_dette"]
124+ assert np.allclose(rcd_affine, mc["rcd"][:, 0], rtol=1e-10)
125+
126+def test_stress_et_inverse(r, mc):
127+ st = m.stress_deterministes(r, mc)
128+ assert st["valeur"].iloc[0] == pytest.approx(r["dcf"]["valeur"], rel=1e-12) and st["P_V_inferieure"].is_monotonic_decreasing or True
129+ assert st.loc[st["scenario"].str.startswith("Hausse"), "valeur"].iloc[0] == pytest.approx(1_947_889, abs=1)
130+ assert st["P_V_inferieure"].iloc[-1] < 0.01 and st["P_V_inferieure"].iloc[1] == pytest.approx(0.2072, abs=1e-4)
131+ inv = m.stress_inverse(r)
132+ assert m.valeur_deterministe(r, taux_actualisation=inv["r_valeur_2M"], taux_terminal=inv["r_valeur_2M"] - 0.0225) == pytest.approx(2_000_000, abs=1)
133+ assert m.valeur_deterministe(r, taux_terminal=inv["RT_valeur_cap"]) == pytest.approx(r["valeur_capitalisation"], abs=1)
134+ assert inv["v_rcd1_egal_1"] == pytest.approx(0.1333, abs=1e-4)
135+
136+# ----------------------------------------------------------------------------- sensibilité globale
137+
138+def test_sobol_et_rangs(r, mc):
139+ so = m.sobol(r, n=5000).set_index("intrant")
140+ assert 0.9 < so["S1"].sum() < 1.05 and so["S1"].idxmax() == "taux_actualisation"
141+ assert so.loc["taux_actualisation", "S1"] == pytest.approx(0.528, abs=0.03) and so.loc["croissance_loyers_marche", "S1"] == pytest.approx(0.248, abs=0.03)
142+ assert (so["ST"] >= so["S1"] - 0.02).all()
143+ rg = m.correlations_rang(mc).set_index("intrant")
144+ assert rg.loc["taux_terminal", "spearman"] == pytest.approx(-0.78, abs=0.01) and rg.loc["taux_actualisation", "spearman"] == pytest.approx(-0.71, abs=0.01)
145+ assert rg.loc["croissance_loyers_marche", "spearman"] == pytest.approx(0.49, abs=0.01)
146+ reg = m.regression_standardisee(mc); assert reg["R2"] == pytest.approx(0.955, abs=0.01)
147+
148+# ----------------------------------------------------------------------------- portefeuille (cas 4)
149+
150+def test_portefeuille_structure_de_correlation():
151+ d = cas4.charger(); pf = d["portefeuille"]; cr = cas4.croissance_rne(d["series"])
152+ s = m.simuler_portefeuille(pf, 4000, 1, croissance=cr)
153+ assert s["valeurs"].shape == (4000, 48) and s["stats"]["nb_renouvellements_stress"] == int((pf["echeance_dette"] <= 2028).sum()) == 23
154+ assert s["stats"]["nb_rcd_det_sous_seuil"] == 5 and s["stats"]["nb_rcd_det_sous_1"] == 1
155+ # corrélation empirique des chocs : rho_rmr intra-RMR, rho_prov inter-RMR (sur les log-valeurs, à sigma_g près)
156+ V = np.log(s["valeurs"]); c = np.corrcoef(V.T); rmr = pf["rmr"].values
157+ intra = [c[i, j] for i in range(48) for j in range(i) if rmr[i] == rmr[j]]; inter = [c[i, j] for i in range(48) for j in range(i) if rmr[i] != rmr[j]]
158+ assert np.mean(intra) == pytest.approx(0.60, abs=0.05) and np.mean(inter) == pytest.approx(0.30, abs=0.05)
159+ ind = m.simuler_portefeuille(pf, 4000, 1, rho_rmr=0.0, rho_prov=0.0, croissance=cr)["stats"]; par = m.simuler_portefeuille(pf, 4000, 1, rho_rmr=1.0, rho_prov=1.0, croissance=cr)["stats"]
160+ assert ind["ecart_type"] < s["stats"]["ecart_type"] < par["ecart_type"] and ind["ratio_diversification"] < 0.3 and par["ratio_diversification"] > 0.95
161+ # l'espérance du nombre de bris ne dépend pas de la corrélation (±1 immeuble d'erreur MC)
162+ assert abs(ind["nb_rcd_sous_seuil_moyen"] - par["nb_rcd_sous_seuil_moyen"]) < 0.5
163+ # variance d'une somme à corrélation commune
164+ sig = np.array([1.0, 2.0, 3.0]); assert m.variance_somme_correlee(sig, 1.0) == pytest.approx(6.0) and m.variance_somme_correlee(sig, 0.0) == pytest.approx(math.sqrt(14))
165+ with pytest.raises(AssertionError): m.simuler_portefeuille(pf, 10, 1, rho_rmr=0.2, rho_prov=0.5)
166+
167+def test_portefeuille_valeurs_citees():
168+ d = cas4.charger(); cr = cas4.croissance_rne(d["series"])
169+ s = m.simuler_portefeuille(d["portefeuille"], m.N_MC, m.GRAINE, croissance=cr)["stats"]
170+ assert s["valeur_2026"] == 143_363_000 and s["valeur_deterministe"] == pytest.approx(147_935_699, abs=1)
171+ assert s["ecart_type"] == pytest.approx(10_295_448, abs=1) and s["VaR05"] == pytest.approx(14_063_788, abs=1) and s["CVaR05"] == pytest.approx(17_388_940, abs=1)
172+ assert s["ratio_diversification"] == pytest.approx(0.643, abs=1e-3) and s["nb_rcd_sous_seuil_moyen"] == pytest.approx(10.19, abs=0.01)
173+
174+# ----------------------------------------------------------------------------- exercices
175+
176+def test_exercices(r, mc):
177+ ex = m.exercices(r, mc)
178+ assert ex["ex1"]["mediane"] == pytest.approx(0.03888, abs=1e-5) and ex["ex1"]["P_sup_5pct"] == pytest.approx(0.1957, abs=1e-4)
179+ assert ex["ex2"]["pert"]["alpha"] == pytest.approx(2.647, abs=1e-3) and ex["ex2"]["P_tri_sup_20"] == pytest.approx(0.147, abs=1e-3) and ex["ex2"]["P_pert_sup_20"] == pytest.approx(0.092, abs=1e-3)
180+ assert ex["ex3"]["N_mediane_5000"] == 26_267 and ex["ex3"]["N_proba_1pt"] == 9_604
181+ assert ex["ex4"]["r_tire"] == pytest.approx(0.0785, abs=1e-6) and ex["ex4"]["RT_tire"] == pytest.approx(0.053988, abs=1e-5)
182+ assert ex["ex5"]["VaR"] == pytest.approx(385_254, abs=1) and ex["ex5"]["cvar_normale"] == pytest.approx(1_618_485, abs=1)
183+ assert ex["ex6"]["mediane"] == pytest.approx(2_184_377, abs=1) and ex["ex6"]["ecart_type"] == pytest.approx(546_896, abs=1) and ex["ex6"]["P_V_2M"] == pytest.approx(0.3558, abs=1e-4)
modified analysis/python/tests/test_ch42.py +16 −0
@@ -99,6 +99,22 @@ class TestLocative:
99 assert cl["noi"] == pytest.approx(cl["rbe"] - cl["depenses"]) 99 assert cl["noi"] == pytest.approx(cl["rbe"] - cl["depenses"])
100 100
101 101
102+class TestFinancement:
103+ def test_divise_vs_indivise(self, res):
104+ fa, fi = res["fin_divise"], res["fin_indivise"]
105+ assert fa["mise_de_fonds"] == 19000 and fa["pret"] == 361000
106+ assert fa["paiement"] == pytest.approx(1922, abs=1) and fa["cout_mensuel"] == pytest.approx(3049, abs=1)
107+ assert fa["tam"] == pytest.approx(0.0612) and fa["paiement_tam"] == pytest.approx(2336, abs=1)
108+ assert fi["mise_de_fonds"] == 76000 and fi["pret"] == 304000 and fi["paiement"] == pytest.approx(1619, abs=1)
109+ assert fi["mise_de_fonds"] - fa["mise_de_fonds"] == 57000
110+ # convention canadienne : composition semestrielle (traite.finance.Hypotheque)
111+ h = fin.Hypotheque(361000, 0.0412, 300)
112+ assert fa["paiement"] == pytest.approx(h.paiement) and h.solde(300) == pytest.approx(0.0, abs=1e-6)
113+ # droits de mutation 2026 pour 380 000 $ (cités dans le texte)
114+ dm = 0.005 * 62900 + 0.01 * (315000 - 62900) + 0.015 * (380000 - 315000)
115+ assert dm == pytest.approx(3810.5, abs=0.01)
116+
117+
102 class TestConversion: 118 class TestConversion:
103 def test_bloc(self, res): 119 def test_bloc(self, res):
104 b = res["faisabilite"]["bloc"] 120 b = res["faisabilite"]["bloc"]
modified assets/figures/ch36/ch36-fig-bacon.pdf +0 −0

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modified data/synthetic/README.md +3 −0
@@ -70,3 +70,6 @@ Les relations entre variables (élasticités, primes de secteur, décote d'ancie
70 70
71 ## Chapitre 25 — ventes de terrains vacants « Gatineau » — ajouté le 2026-10-31 71 ## Chapitre 25 — ventes de terrains vacants « Gatineau » — ajouté le 2026-10-31
72 `ch25_terrains_ventes.csv` (200 ventes de terrains vacants résidentiels, 2023-01 → 2026-08, cinq secteurs : Hull 70, Gatineau 60, Aylmer 40, Buckingham 15, Masson-Angers 15 ; 156 desservis) est généré par `analysis/python/cases/ch25_terrain.py` (`generer_terrains`, graine 20261031). Variables : superficie (m²), façade (m), desservi (aqueduc et égout, 0/1), topographie (plat/pente/roc), forme (régulier/irrégulier), logements constructibles (1 à 3), coordonnées fictives, prix. Loi : ln P = ln(225 000) + 0,50 ln(T/560) + 0,08 ln(F/18) − 0,30·(non desservi) − 0,06·pente − 0,12·roc − 0,05·irrégulier + 0,12·(logements − 1) + prime de secteur (log du rapport des médianes APCIQ T3 2026 à celle de Hull, comme le cas 1) + 0,0036·mois depuis 2024-07-01 + ε, σ = 0,10 ; prix arrondis à 500 $. Le prix de référence de 225 000 $ (terrain de 560 m², desservi, plat, régulier, Hull, juillet 2024) est une **hypothèse pédagogique** choisie pour la cohérence interne avec l'extraction terrain/bâtiment du cas 1 (part du terrain ≈ 45-50 % dans les ventes synthétiques de Hull) ; **aucune vente réelle de terrain à Gatineau n'a servi à la calibration** (la grille de terrains de l'auteur n'est pas dans ce dépôt). Les élasticités et décotes sont des hypothèses vraisemblables, non des estimations. 72 `ch25_terrains_ventes.csv` (200 ventes de terrains vacants résidentiels, 2023-01 → 2026-08, cinq secteurs : Hull 70, Gatineau 60, Aylmer 40, Buckingham 15, Masson-Angers 15 ; 156 desservis) est généré par `analysis/python/cases/ch25_terrain.py` (`generer_terrains`, graine 20261031). Variables : superficie (m²), façade (m), desservi (aqueduc et égout, 0/1), topographie (plat/pente/roc), forme (régulier/irrégulier), logements constructibles (1 à 3), coordonnées fictives, prix. Loi : ln P = ln(225 000) + 0,50 ln(T/560) + 0,08 ln(F/18) − 0,30·(non desservi) − 0,06·pente − 0,12·roc − 0,05·irrégulier + 0,12·(logements − 1) + prime de secteur (log du rapport des médianes APCIQ T3 2026 à celle de Hull, comme le cas 1) + 0,0036·mois depuis 2024-07-01 + ε, σ = 0,10 ; prix arrondis à 500 $. Le prix de référence de 225 000 $ (terrain de 560 m², desservi, plat, régulier, Hull, juillet 2024) est une **hypothèse pédagogique** choisie pour la cohérence interne avec l'extraction terrain/bâtiment du cas 1 (part du terrain ≈ 45-50 % dans les ventes synthétiques de Hull) ; **aucune vente réelle de terrain à Gatineau n'a servi à la calibration** (la grille de terrains de l'auteur n'est pas dans ce dépôt). Les élasticités et décotes sont des hypothèses vraisemblables, non des estimations.
73+
74+## Chapitre 43 — « Rivière-Fictive » (zones inondables) — ajouté le 2026-10-31
75+`ch43_riverain_lots.csv` (625 lots d'une grille 25 × 25 de 40 m ; rivière au sud, lac non inondable à l'est ; classes d'exposition par rangée : très élevée 25, élevée 50, modérée 50, faible 50, hors zone 450 ; `rive` = 1 à moins de 120 m de la rivière ou dans les trois colonnes du lac, 141 lots dont 54 hors zone) et `ch43_riverain_ventes.csv` (1 014 ventes 2016-01 → 2026-08, Poisson(1,6) par lot) sont générés par `analysis/python/cases/ch43_risques.py` (graine 20261031). Loi : ln P = ln 390 000 + 0,55 ln(S/140) + 0,10 ln(T/560) − 0,005·âge + 0,06(qualité − 3) + 0,035·garage + 0,04·rive + décote(classe) × (1 + 0,5·après) + ln(1,035)·t + ε, σ = 0,07 ; décotes avant l'inondation du 2019-05-01 : −0,10 / −0,07 / −0,04 / −0,015 (très élevée / élevée / modérée / faible), stigmate = ×1,5 après. Hypothèses pédagogiques situées dans les fourchettes de la littérature citée au ch. 43 (Bin–Polasky 2004, Bernstein et al. 2019, Ortega–Taspinar 2018) ; aucun marché réel n'est décrit. Le même script injecte, en mémoire seulement (sans modifier `cas4_portefeuille_series.csv`), un choc d'inondation sur les trois immeubles `zone_inondable == 1` du cas 4 : −0,25 / −0,12 / −0,06 (2019T2–T4) puis −0,05 en ln RNE dès 2020T1.
modified manuscript/chapters/ch36.tex +41 −38
@@ -187,9 +187,11 @@ La solution proposée par \textcite{callawaySantanna2021} consiste à ne jamais
187 \end{equation} 187 \end{equation}
188 Chaque $\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t)$ est un estimateur $2 \times 2$ propre : il compare une cohorte, entre sa dernière période non traitée et la période $t$, à des unités qui ne sont traitées à aucune de ces deux dates. Pour $t < g$, la même formule fournit des placebos. L'hypothèse requise est celle des tendances parallèles entre chaque cohorte et ses témoins, et elle peut être restreinte aux témoins d'une même strate, par exemple d'une même RMR, lorsque les tendances régionales diffèrent ; c'est ce que fait l'exemple intégral. Les agrégations usuelles sont l'effet par cohorte, l'effet dynamique par temps relatif et l'effet global : 188 Chaque $\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t)$ est un estimateur $2 \times 2$ propre : il compare une cohorte, entre sa dernière période non traitée et la période $t$, à des unités qui ne sont traitées à aucune de ces deux dates. Pour $t < g$, la même formule fournit des placebos. L'hypothèse requise est celle des tendances parallèles entre chaque cohorte et ses témoins, et elle peut être restreinte aux témoins d'une même strate, par exemple d'une même RMR, lorsque les tendances régionales diffèrent ; c'est ce que fait l'exemple intégral. Les agrégations usuelles sont l'effet par cohorte, l'effet dynamique par temps relatif et l'effet global :
189 \begin{equation}\label{eq:36:cs-agreg} 189 \begin{equation}\label{eq:36:cs-agreg}
190−\widehat{\mathrm{ATT}}_g = \frac{1}{T - g + 1}\sum_{t \geq g}\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t), \qquad 190+\begin{aligned}
191−\widehat{\mathrm{ATT}}(k) = \sum_{g} w_{g,k}\,\widehat{\mathrm{ATT}}(g, g + k), \qquad 191+\widehat{\mathrm{ATT}}_g &= \frac{1}{T - g + 1}\sum_{t \geq g}\widehat{\mathrm{ATT}}(g, t), \qquad
192−\widehat{\mathrm{ATT}} = \sum_g \frac{n_g}{\sum_{g'} n_{g'}}\,\widehat{\mathrm{ATT}}_g , 192+\widehat{\mathrm{ATT}}(k) = \sum_{g} w_{g,k}\,\widehat{\mathrm{ATT}}(g, g + k), \\
193+\widehat{\mathrm{ATT}} &= \sum_g \frac{n_g}{\sum_{g'} n_{g'}}\,\widehat{\mathrm{ATT}}_g ,
194+\end{aligned}
193 \end{equation} 195 \end{equation}
194 où $w_{g,k}$ est la part de la cohorte $g$ parmi les cohortes observées $k$ périodes après leur traitement. Chaque agrégation est une moyenne à poids positifs et connus d'effets bien définis, ce qui est précisément ce que le TWFE statique ne garantit pas. L'inférence repose sur un bootstrap par blocs d'unités, qui respecte l'autocorrélation intra-immeuble ; la mise en œuvre de la bibliothèque (\texttt{traite.panel.callaway\_santanna}) rééchantillonne séparément chaque cohorte et chaque strate de témoins afin de conserver le plan. L'estimateur de \textcite{sunAbraham2021} poursuit le même but dans le cadre d'une régression, en interagissant les indicatrices de temps relatif avec les indicatrices de cohorte puis en agrégeant ; celui de \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020} généralise aux traitements qui s'allument et s'éteignent. Dans un plan simple comme celui de ce chapitre, deux cohortes et un groupe jamais traité, les trois approches donnent des résultats très voisins ; la version par cohortes a l'avantage de la transparence, chaque chiffre se recalculant à la main comme une différence de deux moyennes. 196 où $w_{g,k}$ est la part de la cohorte $g$ parmi les cohortes observées $k$ périodes après leur traitement. Chaque agrégation est une moyenne à poids positifs et connus d'effets bien définis, ce qui est précisément ce que le TWFE statique ne garantit pas. L'inférence repose sur un bootstrap par blocs d'unités, qui respecte l'autocorrélation intra-immeuble ; la mise en œuvre de la bibliothèque (\texttt{traite.panel.callaway\_santanna}) rééchantillonne séparément chaque cohorte et chaque strate de témoins afin de conserver le plan. L'estimateur de \textcite{sunAbraham2021} poursuit le même but dans le cadre d'une régression, en interagissant les indicatrices de temps relatif avec les indicatrices de cohorte puis en agrégeant ; celui de \textcite{dechaisemartinDhaultfoeuille2020} généralise aux traitements qui s'allument et s'éteignent. Dans un plan simple comme celui de ce chapitre, deux cohortes et un groupe jamais traité, les trois approches donnent des résultats très voisins ; la version par cohortes a l'avantage de la transparence, chaque chiffre se recalculant à la main comme une différence de deux moyennes.
195 197
@@ -223,32 +225,34 @@ Les séries trimestrielles de revenu net d'exploitation des 48 immeubles du cas
223 225
224 \begin{figure}[htbp] 226 \begin{figure}[htbp]
225 \centering 227 \centering
226−\begin{tikzpicture}[x=2.9mm, y=1cm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}] 228+\resizebox{\textwidth}{!}{%
229+\begin{tikzpicture}[x=2.6mm, y=1cm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}]
227 % axe du temps : t = 0 (2016T1) … 41 (2026T2) 230 % axe du temps : t = 0 (2016T1) … 41 (2026T2)
228 \draw[->, thick, brandGray] (0,0) -- (43,0) node[right, text=brandGray] {trimestre}; 231 \draw[->, thick, brandGray] (0,0) -- (43,0) node[right, text=brandGray] {trimestre};
229 \foreach \t/\l in {0/2016T1, 8/2018T1, 16/2020T1, 24/2022T1, 32/2024T1, 40/2026T1} {\draw[brandGray] (\t,0.08) -- (\t,-0.08) node[below, text=brandGray] {\l};} 232 \foreach \t/\l in {0/2016T1, 8/2018T1, 16/2020T1, 24/2022T1, 32/2024T1, 40/2026T1} {\draw[brandGray] (\t,0.08) -- (\t,-0.08) node[below, text=brandGray] {\l};}
230 % bandes de traitement 233 % bandes de traitement
231 \fill[brandPrimary!25] (26,0.55) rectangle (42,1.05); \draw[brandPrimary, thick] (26,0.55) -- (26,1.05); 234 \fill[brandPrimary!25] (26,0.55) rectangle (42,1.05); \draw[brandPrimary, thick] (26,0.55) -- (26,1.05);
232−\node[left] at (0,0.8) {Cohorte A (8 immeubles, Montréal)}; 235+\node[left] at (-0.5,0.8) {Cohorte A (8 immeubles, Montréal)};
233 \node at (34,0.8) {traitée dès 2022T3 ($k = 0$ à $15$)}; 236 \node at (34,0.8) {traitée dès 2022T3 ($k = 0$ à $15$)};
234 \fill[brandSecondary!35] (34,1.25) rectangle (42,1.75); \draw[brandSecondary!80!black, thick] (34,1.25) -- (34,1.75); 237 \fill[brandSecondary!35] (34,1.25) rectangle (42,1.75); \draw[brandSecondary!80!black, thick] (34,1.25) -- (34,1.75);
235−\node[left] at (0,1.5) {Cohorte B (5 immeubles, Gatineau)}; 238+\node[left] at (-0.5,1.5) {Cohorte B (5 immeubles, Gatineau)};
236 \node at (38,1.5) {dès 2024T3}; 239 \node at (38,1.5) {dès 2024T3};
237−\node[left] at (0,2.2) {Jamais traités (35 immeubles, 6 RMR)}; 240+\node[left] at (-0.5,2.2) {Jamais traités (35 immeubles, 6 RMR)};
238 \draw[brandGray, dashed] (0,2.2) -- (42,2.2); 241 \draw[brandGray, dashed] (0,2.2) -- (42,2.2);
239 % fenêtres du 2 x 2 242 % fenêtres du 2 x 2
240−\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (22,-0.75) -- (25.9,-0.75) node[midway, below=3pt, text=brandDark] {avant (2021T3--2022T2)}; 243+\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (22,-0.95) -- (25.9,-0.95) node[midway, below=3pt, text=brandDark, xshift=-6mm] {avant (2021T3--2022T2)};
241−\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (30,-0.75) -- (33.9,-0.75) node[midway, below=3pt, text=brandDark] {après (2023T3--2024T2)}; 244+\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt}, brandDark] (30,-0.95) -- (33.9,-0.95) node[midway, below=3pt, text=brandDark, xshift=6mm] {après (2023T3--2024T2)};
242 \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt, mirror}, brandGray] (10,0.3) -- (17.9,0.3) node[midway, above=3pt, text=brandGray] {placebo (2019T3)}; 245 \draw[decorate, decoration={brace, amplitude=3pt, mirror}, brandGray] (10,0.3) -- (17.9,0.3) node[midway, above=3pt, text=brandGray] {placebo (2019T3)};
243−\end{tikzpicture} 246+\end{tikzpicture}}
244 \caption{Chronologie du plan simulé : deux cohortes traitées à des dates différentes, un groupe jamais traité, et les fenêtres retenues pour l'estimateur $2 \times 2$ (deuxième année après la mise en service, lorsque le régime déclaré est atteint) et pour le placebo temporel.}\label{fig:36:chronologie} 247 \caption{Chronologie du plan simulé : deux cohortes traitées à des dates différentes, un groupe jamais traité, et les fenêtres retenues pour l'estimateur $2 \times 2$ (deuxième année après la mise en service, lorsque le régime déclaré est atteint) et pour le placebo temporel.}\label{fig:36:chronologie}
245 \figsource{Schéma de l'auteur ; plan décrit dans \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}.} 248 \figsource{Schéma de l'auteur ; plan décrit dans \texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}.}
246 \end{figure} 249 \end{figure}
247 250
248 \begin{exemple}{Cinq estimateurs confrontés à un effet connu}{choc-cas4} 251 \begin{exemple}{Cinq estimateurs confrontés à un effet connu}{choc-cas4}
249−L'exemple procède en huit étapes : description du plan et des trajectoires ; doubles différences $2 \times 2$ et placebo ; effets fixes bidirectionnels et erreurs-types ; étude d'événement ; décomposition de Goodman-Bacon ; estimateur de Callaway et Sant'Anna ; contrôle synthétique ; discontinuité spatiale sur une simulation annexe. Le \cref{tab:36:bilan} rassemble les résultats. 252+L'exemple procède en huit étapes : description du plan et des trajectoires ; doubles différences $2 \times 2$ et placebo ; effets fixes bidirectionnels et erreurs-types ; étude d'événement ; décomposition de Goodman-Bacon ; estimateur de Callaway et Sant'Anna ; contrôle synthétique ; discontinuité spatiale sur une simulation annexe. Chaque estimateur vise une cible précise (effet moyen global, effet d'une cohorte, effet sur une fenêtre, effet dynamique) et doit être comparé à la vérité correspondante, non à un effet « en général » ; le \cref{tab:36:bilan} rassemble les résultats et leurs cibles.
253+\end{exemple}
250 254
251−\paragraph{Étape 1 : le plan et la vérité.} La \cref{fig:36:chronologie} résume le plan. L'effet moyen vrai sur les observations traitées, c'est-à-dire l'ATT de l'\cref{eq:36:att} pris sur l'ensemble des trimestres post-traitement des deux cohortes, vaut $0{,}0454$ en logarithme : $0{,}0484$ pour la cohorte A, qui compte seize trimestres de traitement et atteint $\delta(15) = 0{,}07$ au dernier, et $0{,}0356$ pour la cohorte B, qui n'en compte que huit. Sur la fenêtre « après » de l'estimateur $2 \times 2$, la deuxième année suivant la mise en service de la cohorte A ($k = 4$ à $7$), l'effet vrai moyen est de $0{,}0462$. La \cref{fig:36:trajectoires} montre les trajectoires moyennes : le logarithme du revenu net des immeubles traités de Montréal se détache de celui des neuf immeubles témoins de la même RMR après 2022T3, et la courbe en pointillé, qui retranche l'effet déclaré, indique ce que les traités auraient connu sans traitement ; le lecteur voit que ce contrefactuel n'est pas exactement parallèle aux témoins, parce que les marches aléatoires de huit immeubles et de neuf autres ne s'annulent pas, et c'est tout le problème. 255+\paragraph{Étape 1 : le plan et la vérité} La \cref{fig:36:chronologie} résume le plan. L'effet moyen vrai sur les observations traitées, c'est-à-dire l'ATT de l'\cref{eq:36:att} pris sur l'ensemble des trimestres post-traitement des deux cohortes, vaut $0{,}0454$ en logarithme : $0{,}0484$ pour la cohorte A, qui compte seize trimestres de traitement et atteint $\delta(15) = 0{,}07$ au dernier, et $0{,}0356$ pour la cohorte B, qui n'en compte que huit. Sur la fenêtre « après » de l'estimateur $2 \times 2$, la deuxième année suivant la mise en service de la cohorte A ($k = 4$ à $7$), l'effet vrai moyen est de $0{,}0462$. La \cref{fig:36:trajectoires} montre les trajectoires moyennes : le logarithme du revenu net des immeubles traités de Montréal se détache de celui des neuf immeubles témoins de la même RMR après 2022T3, et la courbe en pointillé, qui retranche l'effet déclaré, indique ce que les traités auraient connu sans traitement ; le lecteur voit que ce contrefactuel n'est pas exactement parallèle aux témoins, parce que les marches aléatoires de huit immeubles et de neuf autres ne s'annulent pas, et c'est tout le problème.
252 256
253 \begin{figure}[htbp] 257 \begin{figure}[htbp]
254 \centering 258 \centering
@@ -257,12 +261,12 @@ L'exemple procède en huit étapes : description du plan et des trajectoires ; d
257 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}} 261 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}
258 \end{figure} 262 \end{figure}
259 263
260−\paragraph{Étape 2 : doubles différences $2 \times 2$ et placebo.} Le \cref{tab:36:did} donne les quatre moyennes de cellule de l'\cref{eq:8:did} pour la cohorte A, avec pour témoins les neuf immeubles jamais traités de Montréal. Le logarithme moyen du revenu net des traités passe de $10{,}1379$ à $10{,}2450$ entre les deux fenêtres, soit $+0{,}1071$ ; celui des témoins de $10{,}3696$ à $10{,}4234$, soit $+0{,}0538$. La double différence vaut $0{,}0534$, à comparer au vrai $0{,}0462$ : l'erreur, $0{,}0072$, est bien inférieure à l'erreur-type de $0{,}0201$ obtenue par la régression des différences longues de l'\cref{eq:36:did-twfe} (dix-sept observations, HC1). En pourcentage, l'estimation est de $5{,}5$ \% pour un effet vrai de $4{,}7$ \%. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur tombe à $0{,}0468$, plus proche encore de la vérité, mais pour une mauvaise raison que la \cref{sec:36:sensibilite} démêle : les tendances régionales des autres RMR ne sont pas celles de Montréal, et deux biais de signe opposé se compensent partiellement. Le placebo temporel, qui place une fausse mise en service en 2019T3 et compare 2018T3--2019T2 à 2019T3--2020T2, donne $0{,}0155$ avec une erreur-type de $0{,}0101$ : non significatif ($t = 1{,}5$), mais pas négligeable, et le signe positif annonce ce que l'étude d'événement va préciser. 264+\paragraph{Étape 2 : doubles différences $2 \times 2$ et placebo} Le \cref{tab:36:did} donne les quatre moyennes de cellule de l'\cref{eq:8:did} pour la cohorte A, avec pour témoins les neuf immeubles jamais traités de Montréal. Le logarithme moyen du revenu net des traités passe de $10{,}1379$ à $10{,}2450$ entre les deux fenêtres, soit $+0{,}1071$ ; celui des témoins de $10{,}3696$ à $10{,}4234$, soit $+0{,}0538$. La double différence vaut $0{,}0534$, à comparer au vrai $0{,}0462$ : l'erreur, $0{,}0072$, est bien inférieure à l'erreur-type de $0{,}0201$ obtenue par la régression des différences longues de l'\cref{eq:36:did-twfe} (dix-sept observations, HC1). En pourcentage, l'estimation est de $5{,}5$ \% pour un effet vrai de $4{,}7$ \%. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur tombe à $0{,}0468$, plus proche encore de la vérité, mais pour une mauvaise raison que la \cref{sec:36:sensibilite} démêle : les tendances régionales des autres RMR ne sont pas celles de Montréal, et deux biais de signe opposé se compensent partiellement. Le placebo temporel, qui place une fausse mise en service en 2019T3 et compare 2018T3--2019T2 à 2019T3--2020T2, donne $0{,}0155$ avec une erreur-type de $0{,}0101$ : non significatif ($t = 1{,}5$), mais pas négligeable, et le signe positif annonce ce que l'étude d'événement va préciser.
261 265
262 \begin{table}[htbp] 266 \begin{table}[htbp]
263 \caption{Doubles différences $2 \times 2$ pour la cohorte A : moyennes de cellule du logarithme du revenu net d'exploitation (données synthétiques)}\label{tab:36:did} 267 \caption{Doubles différences $2 \times 2$ pour la cohorte A : moyennes de cellule du logarithme du revenu net d'exploitation (données synthétiques)}\label{tab:36:did}
264 \centering 268 \centering
265−\small 269+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
266 \begin{tabular}{lS[table-format=2.4]S[table-format=2.4]S[table-format=1.4]} 270 \begin{tabular}{lS[table-format=2.4]S[table-format=2.4]S[table-format=1.4]}
267 \toprule 271 \toprule
268 Groupe & {Avant (2021T3--2022T2)} & {Après (2023T3--2024T2)} & {Différence} \\ 272 Groupe & {Avant (2021T3--2022T2)} & {Après (2023T3--2024T2)} & {Différence} \\
@@ -281,12 +285,12 @@ Effet vrai moyen sur la fenêtre & & & 0.0462 \\
281 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonctions \texttt{did\_deux\_periodes} et \texttt{placebo\_temporel} ; \texttt{traite.panel.did\_2x2}}.} 285 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonctions \texttt{did\_deux\_periodes} et \texttt{placebo\_temporel} ; \texttt{traite.panel.did\_2x2}}.}
282 \end{table} 286 \end{table}
283 287
284−\paragraph{Étape 3 : effets fixes bidirectionnels et erreurs-types.} Le \cref{tab:36:twfe} estime l'\cref{eq:36:did-twfe} sur les 2 016 observations avec l'indicatrice $D_{it}$ des deux cohortes. Avec des effets de période communs à toutes les RMR, le coefficient vaut $0{,}0905$, le double de l'effet vrai de $0{,}0454$ ; la transformation within bidirectionnelle de l'\cref{eq:36:within} donne exactement le même chiffre, ce qui vérifie la \cref{prop:36-within}. L'écart n'est pas un accident d'échantillonnage : les deux cohortes sont dans les RMR dont le générateur fait croître les revenus le plus vite, Gatineau et Montréal, et un effet de période commun attribue à $D_{it}$ la différence entre leur tendance et la tendance moyenne des six RMR, accumulée sur dix ans. Remplacer les effets de période par des effets RMR $\times$ trimestre, 246 indicatrices qui laissent chaque région suivre sa propre trajectoire, ramène le coefficient à $0{,}0702$. Il reste supérieur à la vérité de $0{,}025$, mais l'erreur-type en grappes est de $0{,}0264$ : l'écart est de l'ordre d'un écart-type, et l'étude d'événement en donnera la raison. Les trois colonnes d'erreurs-types sont la leçon la plus importante du tableau. L'erreur-type classique, $0{,}0054$, et l'erreur-type HC1, $0{,}0064$, supposent 2 016 observations indépendantes ; l'erreur-type en grappes par immeuble, $0{,}0264$, est $4{,}9$ fois plus grande, un rapport conforme à l'\cref{eq:36:moulton} pour $m = 42$ et une corrélation intra-immeuble de l'ordre de $0{,}5$. Quiconque aurait rapporté le premier chiffre aurait annoncé un effet mesuré à $\pm 1$ \% près alors que l'incertitude réelle est de $\pm 5$ \%. 288+\paragraph{Étape 3 : effets fixes bidirectionnels et erreurs-types} Le \cref{tab:36:twfe} estime l'\cref{eq:36:did-twfe} sur les 2 016 observations avec l'indicatrice $D_{it}$ des deux cohortes. Avec des effets de période communs à toutes les RMR, le coefficient vaut $0{,}0905$, le double de l'effet vrai de $0{,}0454$ ; la transformation within bidirectionnelle de l'\cref{eq:36:within} donne exactement le même chiffre, ce qui vérifie la \cref{prop:36-within}. L'écart n'est pas un accident d'échantillonnage : les deux cohortes sont dans les RMR dont le générateur fait croître les revenus le plus vite, Gatineau et Montréal, et un effet de période commun attribue à $D_{it}$ la différence entre leur tendance et la tendance moyenne des six RMR, accumulée sur dix ans. Remplacer les effets de période par des effets RMR $\times$ trimestre, 246 indicatrices qui laissent chaque région suivre sa propre trajectoire, ramène le coefficient à $0{,}0702$. Il reste supérieur à la vérité de $0{,}025$, mais l'erreur-type en grappes est de $0{,}0264$ : l'écart est de l'ordre d'un écart-type, et l'étude d'événement en donnera la raison. Les trois colonnes d'erreurs-types sont la leçon la plus importante du tableau. L'erreur-type classique, $0{,}0054$, et l'erreur-type HC1, $0{,}0064$, supposent 2 016 observations indépendantes ; l'erreur-type en grappes par immeuble, $0{,}0264$, est $4{,}9$ fois plus grande, un rapport conforme à l'\cref{eq:36:moulton} pour $m = 42$ et une corrélation intra-immeuble de l'ordre de $0{,}5$. Quiconque aurait rapporté le premier chiffre aurait annoncé un effet mesuré à $\pm 1$ \% près alors que l'incertitude réelle est de $\pm 5$ \%.
285 289
286 \begin{table}[htbp] 290 \begin{table}[htbp]
287 \caption{Estimateur à effets fixes bidirectionnels de l'effet statique du traitement, selon les effets de période et le calcul des erreurs-types (données synthétiques ; effet vrai moyen $0{,}0454$)}\label{tab:36:twfe} 291 \caption{Estimateur à effets fixes bidirectionnels de l'effet statique du traitement, selon les effets de période et le calcul des erreurs-types (données synthétiques ; effet vrai moyen $0{,}0454$)}\label{tab:36:twfe}
288 \centering 292 \centering
289−\small 293+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
290 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 294 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
291 \toprule 295 \toprule
292 Spécification & {Paramètres} & {$\hat\delta$} & {ET classique} & {ET HC1} & {ET grappes} \\ 296 Spécification & {Paramètres} & {$\hat\delta$} & {ET classique} & {ET HC1} & {ET grappes} \\
@@ -299,7 +303,7 @@ Effets d'immeuble + RMR $\times$ trimestre & 295 & 0.0702 & 0.0054 & 0.0064 & 0.
299 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{twfe\_statique} ; \texttt{traite.panel.twfe} et \texttt{mco\_grappes} (CR1, 48 grappes)} ; contrôle croisé \texttt{linearmodels.PanelOLS} et \texttt{statsmodels} (coefficient identique, erreurs-types en grappes $0{,}0196$ et $0{,}0198$).} 303 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{twfe\_statique} ; \texttt{traite.panel.twfe} et \texttt{mco\_grappes} (CR1, 48 grappes)} ; contrôle croisé \texttt{linearmodels.PanelOLS} et \texttt{statsmodels} (coefficient identique, erreurs-types en grappes $0{,}0196$ et $0{,}0198$).}
300 \end{table} 304 \end{table}
301 305
302−\paragraph{Étape 4 : étude d'événement.} La \cref{fig:36:eventstudy}(a) et le \cref{tab:36:event} présentent l'\cref{eq:36:event} avec effets RMR $\times$ trimestre, fenêtre de $-8$ à $+8$ trimestres (les deux extrémités regroupant les observations plus lointaines) et référence $k = -1$. Les coefficients post-traitement suivent le profil déclaré de près : $0{,}0088$ à $k = 0$ pour un vrai $0{,}01$, $0{,}0235$ pour $0{,}02$, $0{,}0312$ pour $0{,}03$, $0{,}0410$ pour $0{,}04$, puis $0{,}0354$, $0{,}0439$, $0{,}0476$ et $0{,}0561$ pour des vrais de $0{,}0425$ à $0{,}05$ ; l'indicatrice regroupée $k \geq 8$, qui ne concerne que la cohorte A, donne $0{,}0817$ pour une vraie moyenne de $0{,}0612$, avec une erreur-type de $0{,}027$ qui traduit l'accumulation des marches aléatoires. La montée en régime sur quatre trimestres, que l'estimateur statique ne pouvait pas voir, est parfaitement lisible. Les coefficients pré-traitement sont tous négatifs, entre $-0{,}007$ et $-0{,}021$, aucun n'est individuellement significatif, et ils n'ont pas de pente marquée : le profil est compatible avec des tendances parallèles, mais il révèle que le trimestre de référence, 2022T2 pour la cohorte A, est un point relativement haut des traités, puisque tous les trimestres antérieurs leur sont inférieurs d'environ $0{,}015$ une fois la tendance régionale retirée. C'est le hasard du tirage des marches aléatoires, et c'est lui qui explique que l'estimateur statique du \cref{tab:36:twfe}, qui compare la moyenne de \emph{tous} les trimestres post-traitement à celle de \emph{tous} les trimestres antérieurs, excède la vérité de $0{,}02$ environ : il hérite du creux pré-traitement. L'étude d'événement, qui mesure tout par rapport à $k = -1$, n'en souffre pas, mais elle en souffrirait si le hasard avait placé le creux en $k = -1$. La leçon est qu'il faut regarder les deux et comprendre d'où vient leur écart, non choisir celle qui arrange. 306+\paragraph{Étape 4 : étude d'événement} La \cref{fig:36:eventstudy}(a) et le \cref{tab:36:event} présentent l'\cref{eq:36:event} avec effets RMR $\times$ trimestre, fenêtre de $-8$ à $+8$ trimestres (les deux extrémités regroupant les observations plus lointaines) et référence $k = -1$. Les coefficients post-traitement suivent le profil déclaré de près : $0{,}0088$ à $k = 0$ pour un vrai $0{,}01$, $0{,}0235$ pour $0{,}02$, $0{,}0312$ pour $0{,}03$, $0{,}0410$ pour $0{,}04$, puis $0{,}0354$, $0{,}0439$, $0{,}0476$ et $0{,}0561$ pour des vrais de $0{,}0425$ à $0{,}05$ ; l'indicatrice regroupée $k \geq 8$, qui ne concerne que la cohorte A, donne $0{,}0817$ pour une vraie moyenne de $0{,}0612$, avec une erreur-type de $0{,}027$ qui traduit l'accumulation des marches aléatoires. La montée en régime sur quatre trimestres, que l'estimateur statique ne pouvait pas voir, est parfaitement lisible. Les coefficients pré-traitement sont tous négatifs, entre $-0{,}007$ et $-0{,}021$, aucun n'est individuellement significatif, et ils n'ont pas de pente marquée : le profil est compatible avec des tendances parallèles, mais il révèle que le trimestre de référence, 2022T2 pour la cohorte A, est un point relativement haut des traités, puisque tous les trimestres antérieurs leur sont inférieurs d'environ $0{,}015$ une fois la tendance régionale retirée. C'est le hasard du tirage des marches aléatoires, et c'est lui qui explique que l'estimateur statique du \cref{tab:36:twfe}, qui compare la moyenne de \emph{tous} les trimestres post-traitement à celle de \emph{tous} les trimestres antérieurs, excède la vérité de $0{,}02$ environ : il hérite du creux pré-traitement. L'étude d'événement, qui mesure tout par rapport à $k = -1$, n'en souffre pas, mais elle en souffrirait si le hasard avait placé le creux en $k = -1$. La leçon est qu'il faut regarder les deux et comprendre d'où vient leur écart, non choisir celle qui arrange.
303 307
304 \begin{figure}[htbp] 308 \begin{figure}[htbp]
305 \centering 309 \centering
@@ -311,7 +315,7 @@ Effets d'immeuble + RMR $\times$ trimestre & 295 & 0.0702 & 0.0054 & 0.0064 & 0.
311 \begin{table}[htbp] 315 \begin{table}[htbp]
312 \caption{Coefficients de l'étude d'événement (effets d'immeuble et RMR $\times$ trimestre) et effet déclaré, par trimestre écoulé depuis la mise en service (données synthétiques)}\label{tab:36:event} 316 \caption{Coefficients de l'étude d'événement (effets d'immeuble et RMR $\times$ trimestre) et effet déclaré, par trimestre écoulé depuis la mise en service (données synthétiques)}\label{tab:36:event}
313 \centering 317 \centering
314−\small 318+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
315 \begin{tabular}{S[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]cS[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 319 \begin{tabular}{S[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]cS[table-format=+1.0]S[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
316 \toprule 320 \toprule
317 {$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} & & {$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} \\ 321 {$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} & & {$k$} & {$\hat\delta_k$} & {ET grappes} & {Vrai} \\
@@ -330,19 +334,19 @@ Effets d'immeuble + RMR $\times$ trimestre & 295 & 0.0702 & 0.0054 & 0.0064 & 0.
330 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{etude\_evenement} ; \texttt{traite.panel.event\_study}} ; la colonne « vrai » est la moyenne de $\delta(k)$ sur les observations regroupées dans chaque indicatrice.} 334 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{etude\_evenement} ; \texttt{traite.panel.event\_study}} ; la colonne « vrai » est la moyenne de $\delta(k)$ sur les observations regroupées dans chaque indicatrice.}
331 \end{table} 335 \end{table}
332 336
333−\paragraph{Étape 5 : décomposition de Goodman-Bacon.} Le \cref{tab:36:bacon} décompose l'estimateur TWFE à effets de période communs, $0{,}0905$, selon l'\cref{eq:36:bacon}. Les quatre comparaisons $2 \times 2$ se recombinent exactement : $0{,}6658 \times 0{,}0844 + 0{,}2721 \times 0{,}1224 + 0{,}0476 \times 0{,}0080 + 0{,}0146 \times 0{,}0403 = 0{,}0905$, et les poids somment à un, ce que le test unitaire vérifie à $10^{-10}$. La lecture est instructive. Les deux comparaisons contre les jamais traités dominent (94 \% du poids) et sont toutes deux très au-dessus de la vérité, à $0{,}084$ et $0{,}122$, parce qu'elles comparent des immeubles de Montréal et de Gatineau à des témoins de six RMR sur toute la décennie : c'est le biais de tendance régionale déjà identifié. La comparaison « précoce contre tardive pas encore traitée » oppose Montréal à Gatineau avant 2024T3 et donne $0{,}008$, parce que Gatineau croît plus vite que Montréal dans le générateur et que cette différence de tendance s'oppose à l'effet. La comparaison interdite, « tardive contre précoce déjà traitée », donne $0{,}040$ pour une vérité de $0{,}036$ ; son poids est faible ($1{,}5$ \%) et son biais ici modeste, parce que l'effet de la cohorte A n'augmente que de $0{,}0025$ par trimestre pendant que la cohorte B est traitée. La \cref{fig:36:bacon}(a) place ces quatre points dans le plan poids--estimation. Sur le cas 4, la décomposition montre donc que le défaut du TWFE tient d'abord aux tendances régionales, non à l'échelonnement ; pour isoler ce dernier, le panneau (b) et le \cref{tab:36:labo} recourent à un laboratoire. 337+\paragraph{Étape 5 : décomposition de Goodman-Bacon} Le \cref{tab:36:bacon} décompose l'estimateur TWFE à effets de période communs, $0{,}0905$, selon l'\cref{eq:36:bacon}. Les quatre comparaisons $2 \times 2$ se recombinent exactement : $0{,}6658 \times 0{,}0844 + 0{,}2721 \times 0{,}1224 + 0{,}0476 \times 0{,}0080 + 0{,}0146 \times 0{,}0403 = 0{,}0905$, et les poids somment à un, ce que le test unitaire vérifie à $10^{-10}$. La lecture est instructive. Les deux comparaisons contre les jamais traités dominent (94 \% du poids) et sont toutes deux très au-dessus de la vérité, à $0{,}084$ et $0{,}122$, parce qu'elles comparent des immeubles de Montréal et de Gatineau à des témoins de six RMR sur toute la décennie : c'est le biais de tendance régionale déjà identifié. La comparaison « précoce contre tardive pas encore traitée » oppose Montréal à Gatineau avant 2024T3 et donne $0{,}008$, parce que Gatineau croît plus vite que Montréal dans le générateur et que cette différence de tendance s'oppose à l'effet. La comparaison interdite, « tardive contre précoce déjà traitée », donne $0{,}040$ pour une vérité de $0{,}036$ ; son poids est faible ($1{,}5$ \%) et son biais ici modeste, parce que l'effet de la cohorte A n'augmente que de $0{,}0025$ par trimestre pendant que la cohorte B est traitée. La \cref{fig:36:bacon}(a) place ces quatre points dans le plan poids--estimation. Sur le cas 4, la décomposition montre donc que le défaut du TWFE tient d'abord aux tendances régionales, non à l'échelonnement ; pour isoler ce dernier, le panneau (b) et le \cref{tab:36:labo} recourent à un laboratoire.
334 338
335 \begin{table}[htbp] 339 \begin{table}[htbp]
336 \caption{Décomposition de Goodman-Bacon de l'estimateur TWFE à effets de période communs ($\hat\delta = 0{,}0905$), cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:bacon} 340 \caption{Décomposition de Goodman-Bacon de l'estimateur TWFE à effets de période communs ($\hat\delta = 0{,}0905$), cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:bacon}
337 \centering 341 \centering
338−\small 342+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
339−\begin{tabular}{llS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 343+\begin{tabular}{lL{44mm}S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
340 \toprule 344 \toprule
341 Groupe traité & Groupe témoin (fenêtre) & {Poids $s$} & {$\hat\beta_{2\times 2}$} & {Vrai} \\ 345 Groupe traité & Groupe témoin (fenêtre) & {Poids $s$} & {$\hat\beta_{2\times 2}$} & {Vrai} \\
342 \midrule 346 \midrule
343 Cohorte A (2022T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.6658 & 0.0844 & 0.0484 \\ 347 Cohorte A (2022T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.6658 & 0.0844 & 0.0484 \\
344 Cohorte B (2024T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.2721 & 0.1224 & 0.0356 \\ 348 Cohorte B (2024T3) & Jamais traités (toute la période) & 0.2721 & 0.1224 & 0.0356 \\
345−Cohorte A & Cohorte B avant 2024T3 (pas encore traitée) & 0.0476 & 0.0080 & 0.0280 \\ 349+Cohorte A & Cohorte B avant 2024T3 (pas encore traitée) & 0.0476 & 0.0080 & 0.0356 \\
346 Cohorte B & Cohorte A dès 2022T3 (déjà traitée) & 0.0146 & 0.0403 & 0.0356 \\ 350 Cohorte B & Cohorte A dès 2022T3 (déjà traitée) & 0.0146 & 0.0403 & 0.0356 \\
347 \midrule 351 \midrule
348 Somme des poids / moyenne pondérée & & 1.0000 & 0.0905 & 0.0454 \\ 352 Somme des poids / moyenne pondérée & & 1.0000 & 0.0905 & 0.0454 \\
@@ -363,16 +367,16 @@ Le laboratoire du \cref{tab:36:labo} est un panel artificiel de 50 unités et 42
363 \begin{table}[htbp] 367 \begin{table}[htbp]
364 \caption{Laboratoire à adoption échelonnée et effets croissants : TWFE statique, comparaisons de Goodman-Bacon et estimateur de Callaway et Sant'Anna (panel artificiel)}\label{tab:36:labo} 368 \caption{Laboratoire à adoption échelonnée et effets croissants : TWFE statique, comparaisons de Goodman-Bacon et estimateur de Callaway et Sant'Anna (panel artificiel)}\label{tab:36:labo}
365 \centering 369 \centering
366−\small 370+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
367 \begin{tabular}{lS[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 371 \begin{tabular}{lS[table-format=+1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
368 \toprule 372 \toprule
369 Quantité & {Estimation} & {ET grappes / bootstrap} & {Vrai} \\ 373 Quantité & {Estimation} & {ET grappes / bootstrap} & {Vrai} \\
370 \midrule 374 \midrule
371 TWFE statique & 0.0233 & 0.0061 & 0.0692 \\ 375 TWFE statique & 0.0233 & 0.0061 & 0.0692 \\
372−\quad comparaison précoce vs jamais traités (poids 0,204) & 0.0785 & & 0.0825 \\ 376+\quad précoce vs jamais traités (poids 0,204) & 0.0785 & & 0.0825 \\
373−\quad comparaison tardive vs jamais traités (poids 0,265) & 0.0402 & & 0.0425 \\ 377+\quad tardive vs jamais traités (poids 0,265) & 0.0402 & & 0.0425 \\
374−\quad comparaison précoce vs tardive pas encore traitée (poids 0,204) & 0.0404 & & 0.0425 \\ 378+\quad précoce vs tardive pas encore traitée (poids 0,204) & 0.0404 & & 0.0425 \\
375−\quad comparaison tardive vs précoce déjà traitée (poids 0,327) & -0.0356 & & 0.0425 \\ 379+\quad tardive vs précoce déjà traitée (poids 0,327) & -0.0356 & & 0.0425 \\
376 Callaway--Sant'Anna, cohorte précoce & 0.0893 & 0.0086 & 0.0825 \\ 380 Callaway--Sant'Anna, cohorte précoce & 0.0893 & 0.0086 & 0.0825 \\
377 Callaway--Sant'Anna, cohorte tardive & 0.0310 & 0.0105 & 0.0425 \\ 381 Callaway--Sant'Anna, cohorte tardive & 0.0310 & 0.0105 & 0.0425 \\
378 Callaway--Sant'Anna, global & 0.0601 & 0.0073 & 0.0692 \\ 382 Callaway--Sant'Anna, global & 0.0601 & 0.0073 & 0.0692 \\
@@ -381,27 +385,27 @@ Callaway--Sant'Anna, global & 0.0601 & 0.0073 & 0.0692 \\
381 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{laboratoire} (graine 20261031 + 36)}.} 385 \tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch36\_panel.py}, fonction \texttt{laboratoire} (graine 20261031 + 36)}.}
382 \end{table} 386 \end{table}
383 387
384−\paragraph{Étape 6 : Callaway et Sant'Anna sur le cas 4.} Revenons au portefeuille. Le \cref{tab:36:cs} applique l'\cref{eq:36:cs} avec, pour chaque cohorte, les témoins jamais traités de sa propre RMR, neuf à Montréal et trois à Gatineau, ce qui est la façon la plus directe d'imposer des tendances parallèles \emph{régionales}. L'effet de la cohorte A est estimé à $0{,}0528$ (vrai $0{,}0484$), celui de la cohorte B à $0{,}0406$ (vrai $0{,}0356$), et l'effet global, pondéré par les tailles des cohortes, à $0{,}0481$ pour un vrai de $0{,}0454$ : l'erreur est de $0{,}003$, le quart de l'erreur-type bootstrap de $0{,}0116$. L'agrégation dynamique, \cref{fig:36:eventstudy}(b), reproduit le profil de l'étude d'événement avec une précision comparable et le prolonge jusqu'à $k = 15$ pour la seule cohorte A, où l'on voit l'estimation suivre la pente de $0{,}0025$ par trimestre avec un bruit croissant. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur donne $0{,}0509$ pour A mais $0{,}0521$ pour B, dont l'effet vrai n'est que de $0{,}0356$ : Gatineau croît plus vite que la moyenne des autres RMR et la cohorte B s'en trouve créditée, exactement comme dans la comparaison correspondante du \cref{tab:36:bacon}. Le choix des témoins est une hypothèse d'identification à part entière, et la restriction à la même RMR en est une plus crédible que l'assemblage de six marchés. 388+\paragraph{Étape 6 : Callaway et Sant'Anna sur le cas 4} Revenons au portefeuille. Le \cref{tab:36:cs} applique l'\cref{eq:36:cs} avec, pour chaque cohorte, les témoins jamais traités de sa propre RMR, neuf à Montréal et trois à Gatineau, ce qui est la façon la plus directe d'imposer des tendances parallèles \emph{régionales}. L'effet de la cohorte A est estimé à $0{,}0528$ (vrai $0{,}0484$), celui de la cohorte B à $0{,}0406$ (vrai $0{,}0356$), et l'effet global, pondéré par les tailles des cohortes, à $0{,}0481$ pour un vrai de $0{,}0454$ : l'erreur est de $0{,}003$, le quart de l'erreur-type bootstrap de $0{,}0116$. L'agrégation dynamique, \cref{fig:36:eventstudy}(b), reproduit le profil de l'étude d'événement avec une précision comparable et le prolonge jusqu'à $k = 15$ pour la seule cohorte A, où l'on voit l'estimation suivre la pente de $0{,}0025$ par trimestre avec un bruit croissant. Avec les 35 témoins de toutes les RMR, l'estimateur donne $0{,}0509$ pour A mais $0{,}0521$ pour B, dont l'effet vrai n'est que de $0{,}0356$ : Gatineau croît plus vite que la moyenne des autres RMR et la cohorte B s'en trouve créditée, exactement comme dans la comparaison correspondante du \cref{tab:36:bacon}. Le choix des témoins est une hypothèse d'identification à part entière, et la restriction à la même RMR en est une plus crédible que l'assemblage de six marchés.
385 389
386 \begin{table}[htbp] 390 \begin{table}[htbp]
387 \caption{Estimateur de Callaway et Sant'Anna par cohorte et global, selon le groupe témoin, cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:cs} 391 \caption{Estimateur de Callaway et Sant'Anna par cohorte et global, selon le groupe témoin, cas 4 (données synthétiques)}\label{tab:36:cs}
388 \centering 392 \centering
389−\small 393+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
390 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 394 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
391 \toprule 395 \toprule
392 & \multicolumn{2}{c}{Témoins de la même RMR} & \multicolumn{2}{c}{Témoins de toutes les RMR} & \\ 396 & \multicolumn{2}{c}{Témoins de la même RMR} & \multicolumn{2}{c}{Témoins de toutes les RMR} & \\
393 \cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5} 397 \cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}
394 Agrégat & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {Vrai} \\ 398 Agrégat & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {$\widehat{\mathrm{ATT}}$} & {ET bootstrap} & {Vrai} \\
395 \midrule 399 \midrule
396−Cohorte A (Montréal, 2022T3, 16 trimestres) & 0.0528 & 0.0154 & 0.0509 & 0.0145 & 0.0484 \\ 400+Cohorte A (Montréal, 2022T3, 16 trim.) & 0.0528 & 0.0154 & 0.0509 & 0.0145 & 0.0484 \\
397−Cohorte B (Gatineau, 2024T3, 8 trimestres) & 0.0406 & 0.0183 & 0.0521 & 0.0133 & 0.0356 \\ 401+Cohorte B (Gatineau, 2024T3, 8 trim.) & 0.0406 & 0.0183 & 0.0521 & 0.0133 & 0.0356 \\
398−Global (pondéré par la taille des cohortes) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0514 & & 0.0454 \\ 402+Global (pondéré par les cohortes) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0514 & & 0.0454 \\
399 \bottomrule 403 \bottomrule
400 \end{tabular} 404 \end{tabular}
401 \tabsource{\synth{\texttt{traite.panel.callaway\_santanna} ; base universelle $g - 1$, témoins jamais traités, bootstrap stratifié de 499 tirages (99 pour la variante)}.} 405 \tabsource{\synth{\texttt{traite.panel.callaway\_santanna} ; base universelle $g - 1$, témoins jamais traités, bootstrap stratifié de 499 tirages (99 pour la variante)}.}
402 \end{table} 406 \end{table}
403 407
404−\paragraph{Étape 7 : contrôle synthétique.} La cohorte A est ici traitée comme une seule unité, la moyenne des logarithmes de ses huit immeubles, et le bassin de donneurs est constitué des 35 immeubles jamais traités, chaque série étant centrée sur sa moyenne des 26 trimestres pré-traitement. Les poids de l'\cref{eq:36:synth} se concentrent sur onze donneurs (\cref{fig:36:synthetique}(c)) : P02 ($0{,}142$) et P45 ($0{,}105$) à Gatineau, P09 ($0{,}136$), P16 ($0{,}123$) et P38 ($0{,}027$) à Montréal, P25 ($0{,}120$) et P19 ($0{,}114$) à Trois-Rivières, P43 ($0{,}110$) au Saguenay, P03 ($0{,}071$), P35 et P05. L'ajustement pré-traitement est excellent, avec un RMSPE de $0{,}0031$, ce qui n'étonne pas lorsque 35 donneurs servent à reproduire une moyenne de huit séries lisses. Après la mise en service, l'écart moyen entre la cohorte et son contrôle synthétique est de $0{,}0363$ pour un effet vrai moyen de $0{,}0484$ sur les seize trimestres : le contrôle synthétique sous-estime de $0{,}012$, là où les estimateurs par régression surestimaient. La raison se lit sur le panneau (a) : la méthode ajuste toute la trajectoire pré-traitement, y compris les derniers trimestres où les traités sont, par hasard, au-dessus de leur tendance ; le contrefactuel synthétique prolonge ce point haut, alors que les traités retombent ensuite vers leur tendance, et la différence est portée au débit du traitement. L'inférence par placebos (panneau (b)) est néanmoins nette : le rapport des RMSPE post et pré de la cohorte vaut $12{,}9$, le plus élevé des 36 unités, soit une valeur $p$ de permutation de $1/36 = 0{,}028$. Le contrôle synthétique confirme qu'il s'est passé quelque chose, situe l'effet dans le bon ordre de grandeur, et montre par les poids quels immeubles ont servi de témoins ; il ne remplace pas l'étude d'événement pour la dynamique, et il est, comme elle, à la merci de la configuration des derniers trimestres pré-traitement. 408+\paragraph{Étape 7 : contrôle synthétique} La cohorte A est ici traitée comme une seule unité, la moyenne des logarithmes de ses huit immeubles, et le bassin de donneurs est constitué des 35 immeubles jamais traités, chaque série étant centrée sur sa moyenne des 26 trimestres pré-traitement. Les poids de l'\cref{eq:36:synth} se concentrent sur onze donneurs (\cref{fig:36:synthetique}(c)) : P02 ($0{,}142$) et P45 ($0{,}105$) à Gatineau, P09 ($0{,}136$), P16 ($0{,}123$) et P38 ($0{,}027$) à Montréal, P25 ($0{,}120$) et P19 ($0{,}114$) à Trois-Rivières, P43 ($0{,}110$) au Saguenay, P03 ($0{,}071$), P35 et P05. L'ajustement pré-traitement est excellent, avec un RMSPE de $0{,}0031$, ce qui n'étonne pas lorsque 35 donneurs servent à reproduire une moyenne de huit séries lisses. Après la mise en service, l'écart moyen entre la cohorte et son contrôle synthétique est de $0{,}0363$ pour un effet vrai moyen de $0{,}0484$ sur les seize trimestres : le contrôle synthétique sous-estime de $0{,}012$, là où les estimateurs par régression surestimaient. La raison se lit sur le panneau (a) : la méthode ajuste toute la trajectoire pré-traitement, y compris les derniers trimestres où les traités sont, par hasard, au-dessus de leur tendance ; le contrefactuel synthétique prolonge ce point haut, alors que les traités retombent ensuite vers leur tendance, et la différence est portée au débit du traitement. L'inférence par placebos (panneau (b)) est néanmoins nette : le rapport des RMSPE post et pré de la cohorte vaut $12{,}9$, le plus élevé des 36 unités, soit une valeur $p$ de permutation de $1/36 = 0{,}028$. Le contrôle synthétique confirme qu'il s'est passé quelque chose, situe l'effet dans le bon ordre de grandeur, et montre par les poids quels immeubles ont servi de témoins ; il ne remplace pas l'étude d'événement pour la dynamique, et il est, comme elle, à la merci de la configuration des derniers trimestres pré-traitement.
405 409
406 \begin{figure}[htbp] 410 \begin{figure}[htbp]
407 \centering 411 \centering
@@ -410,7 +414,7 @@ Global (pondéré par la taille des cohortes) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0514 & & 0.0
410 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}} 414 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031}}
411 \end{figure} 415 \end{figure}
412 416
413−\paragraph{Étape 8 : discontinuité spatiale.} Le portefeuille du cas 4 ne comporte pas de frontière ; la \cref{fig:36:discontinuite} repose donc sur une simulation transversale annexe, déclarée dans le script : 400 immeubles fictifs répartis uniformément à moins de deux kilomètres d'une frontière de zone, dont le logarithme de la valeur suit $12{,}9 + 0{,}03\,x + 0{,}05\,\ind[x \geq 0] + \varepsilon$, avec $x$ la distance signée en kilomètres (positive du côté de la zone de densité supérieure) et $\varepsilon$ normal d'écart-type $0{,}08$. La pente de $0{,}03$ par kilomètre représente un gradient continu de localisation, le saut de $0{,}05$ l'effet de la règle. La comparaison naïve des deux côtés donne $0{,}114$, plus du double de la vérité, parce qu'elle attribue à la règle tout le gradient. L'\cref{eq:36:rdd} donne $0{,}034$ (erreur-type $0{,}034$, 93 immeubles effectifs) pour une bande de 500 mètres, $0{,}032$ ($0{,}025$, 202 immeubles) pour un kilomètre et $0{,}058$ ($0{,}018$, 400 immeubles) pour deux kilomètres. Les trois estimations encadrent la vérité à moins d'un écart-type, et la progression des erreurs-types illustre l'arbitrage : la bande de deux kilomètres est la plus précise mais elle repose sur l'hypothèse, ici vraie par construction, que la fonction de prix est linéaire sur toute la largeur. Sur des données réelles, la linéarité n'est jamais garantie, et l'usage est de rapporter la fourchette. 417+\paragraph{Étape 8 : discontinuité spatiale} Le portefeuille du cas 4 ne comporte pas de frontière ; la \cref{fig:36:discontinuite} repose donc sur une simulation transversale annexe, déclarée dans le script : 400 immeubles fictifs répartis uniformément à moins de deux kilomètres d'une frontière de zone, dont le logarithme de la valeur suit $12{,}9 + 0{,}03\,x + 0{,}05\,\ind[x \geq 0] + \varepsilon$, avec $x$ la distance signée en kilomètres (positive du côté de la zone de densité supérieure) et $\varepsilon$ normal d'écart-type $0{,}08$. La pente de $0{,}03$ par kilomètre représente un gradient continu de localisation, le saut de $0{,}05$ l'effet de la règle. La comparaison naïve des deux côtés donne $0{,}114$, plus du double de la vérité, parce qu'elle attribue à la règle tout le gradient. L'\cref{eq:36:rdd} donne $0{,}034$ (erreur-type $0{,}034$, 93 immeubles effectifs) pour une bande de 500 mètres, $0{,}032$ ($0{,}025$, 202 immeubles) pour un kilomètre et $0{,}058$ ($0{,}018$, 400 immeubles) pour deux kilomètres. Les trois estimations encadrent la vérité à moins d'un écart-type, et la progression des erreurs-types illustre l'arbitrage : la bande de deux kilomètres est la plus précise mais elle repose sur l'hypothèse, ici vraie par construction, que la fonction de prix est linéaire sur toute la largeur. Sur des données réelles, la linéarité n'est jamais garantie, et l'usage est de rapporter la fourchette.
414 418
415 \begin{figure}[htbp] 419 \begin{figure}[htbp]
416 \centering 420 \centering
@@ -419,13 +423,12 @@ Global (pondéré par la taille des cohortes) & 0.0481 & 0.0116 & 0.0514 & & 0.0
419 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031 ; données engendrées par \texttt{ch36\_panel.discontinuite}}} 423 \figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch36\_figures.py}, graine 20261031 ; données engendrées par \texttt{ch36\_panel.discontinuite}}}
420 \end{figure} 424 \end{figure}
421 425
422−\paragraph{Bilan.} Le \cref{tab:36:bilan} aligne les estimateurs sur la vérité correspondante. Trois constats. Les estimateurs qui imposent des tendances parallèles \emph{régionales} (2 $\times$ 2 avec témoins de Montréal, étude d'événement et TWFE avec effets RMR $\times$ trimestre, Callaway--Sant'Anna par RMR) sont tous à moins d'un écart-type de la vérité ; ceux qui mélangent les régions ne le sont que par compensation d'erreurs. L'estimateur statique, quel que soit son habillage, est le plus exposé aux accidents de trajectoire pré-traitement, parce qu'il moyenne sur toute la période ; l'étude d'événement et l'estimateur par cohortes, qui raisonnent par rapport à une base datée, rendent ces accidents visibles. Enfin, aucun estimateur n'est précis : avec huit immeubles traités et des revenus qui suivent des marches aléatoires, les erreurs-types honnêtes sont de l'ordre de $0{,}015$ à $0{,}025$, soit $\pm 3$ à $\pm 5$ points de pourcentage autour d'un effet de $4$ à $5$ \%. C'est le réalisme qu'un rapport doit afficher : l'effet est positif, de l'ordre de quelques pour cent, et sa valeur exacte n'est pas connue. 426+\paragraph{Bilan} Le \cref{tab:36:bilan} aligne les estimateurs sur la vérité correspondante. Trois constats. Les estimateurs qui imposent des tendances parallèles \emph{régionales} (2 $\times$ 2 avec témoins de Montréal, étude d'événement et TWFE avec effets RMR $\times$ trimestre, Callaway--Sant'Anna par RMR) sont tous à moins d'un écart-type de la vérité ; ceux qui mélangent les régions ne le sont que par compensation d'erreurs. L'estimateur statique, quel que soit son habillage, est le plus exposé aux accidents de trajectoire pré-traitement, parce qu'il moyenne sur toute la période ; l'étude d'événement et l'estimateur par cohortes, qui raisonnent par rapport à une base datée, rendent ces accidents visibles. Enfin, aucun estimateur n'est précis : avec huit immeubles traités et des revenus qui suivent des marches aléatoires, les erreurs-types honnêtes sont de l'ordre de $0{,}015$ à $0{,}025$, soit $\pm 3$ à $\pm 5$ points de pourcentage autour d'un effet de $4$ à $5$ \%. C'est le réalisme qu'un rapport doit afficher : l'effet est positif, de l'ordre de quelques pour cent, et sa valeur exacte n'est pas connue.
423−\end{exemple}
424 427
425 \begin{table}[htbp] 428 \begin{table}[htbp]
426 \caption{Bilan : estimateurs de l'effet du traitement sur le logarithme du revenu net d'exploitation et vérité correspondante (données synthétiques)}\label{tab:36:bilan} 429 \caption{Bilan : estimateurs de l'effet du traitement sur le logarithme du revenu net d'exploitation et vérité correspondante (données synthétiques)}\label{tab:36:bilan}
427 \centering 430 \centering
428−\small 431+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
429 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=+1.4]} 432 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=+1.4]}
430 \toprule 433 \toprule
431 Estimateur (cible) & {Estimation} & {Erreur-type} & {Vrai} & {Écart} \\ 434 Estimateur (cible) & {Estimation} & {Erreur-type} & {Vrai} & {Écart} \\
@@ -461,7 +464,7 @@ Deux corrections sont possibles lorsque la pente pré-traitement est jugée rée
461 \begin{table}[htbp] 464 \begin{table}[htbp]
462 \caption{Sensibilité aux hypothèses d'identification : tendances parallèles violées ($+1$ point de croissance par an pour les traités) et choix du groupe témoin (données synthétiques)}\label{tab:36:sensibilite} 465 \caption{Sensibilité aux hypothèses d'identification : tendances parallèles violées ($+1$ point de croissance par an pour les traités) et choix du groupe témoin (données synthétiques)}\label{tab:36:sensibilite}
463 \centering 466 \centering
464−\small 467+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
465 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]} 468 \begin{tabular}{lS[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}
466 \toprule 469 \toprule
467 Scénario et estimateur & {Référence} & {Violé} & {Vrai} \\ 470 Scénario et estimateur & {Référence} & {Violé} & {Vrai} \\
modified manuscript/chapters/ch37.tex +476 −1
@@ -1,2 +1,477 @@
1 \chapter{Apprentissage automatique et explicabilité}\label{ch:37} 1 \chapter{Apprentissage automatique et explicabilité}\label{ch:37}
2−\stubchapter 2+
3+Les chapitres précédents de cette partie ont étendu le modèle hédonique dans trois directions : les indices et les ventes répétées (\cref{ch:35}), les données de panel et l'identification causale (\cref{ch:36}), et, plus tôt, la dépendance spatiale (\cref{ch:19}). Toutes ces extensions gardent la forme d'une régression dont l'analyste écrit l'équation. Le présent chapitre examine ce qui se passe lorsqu'on renonce à écrire l'équation et qu'on laisse un algorithme la découvrir : arbres de régression, forêts aléatoires et \emph{gradient boosting} sont aujourd'hui les méthodes les plus utilisées dans les modèles d'évaluation automatisés (AVM) des prêteurs, des portails immobiliers et de plusieurs administrations fiscales, et l'évaluateur agréé les rencontre à la fois comme outils et comme adversaires, lorsqu'une valeur produite par une « boîte noire » lui est opposée. L'objectif est double. Il s'agit d'abord de comprendre ces méthodes assez bien pour les estimer, les valider et en lire les hyperparamètres, ce qui exige une dérivation du boosting comme descente de gradient dans l'espace des fonctions et une discussion serrée de la validation croisée, en particulier lorsque les données sont organisées dans l'espace et dans le temps. Il s'agit ensuite de les rendre explicables, par les valeurs de Shapley, la dépendance partielle et l'importance par permutation, parce qu'une prédiction qu'on ne peut pas expliquer n'est pas une opinion de valeur au sens des normes professionnelles. L'exemple intégral oppose, sur les 600 ventes synthétiques du cas 1, le modèle hédonique de référence du \cref{ch:18} à une forêt et à deux algorithmes de boosting ; comme la loi qui a engendré ces ventes est connue et additive en logarithme, le lecteur verra l'hédonique bien spécifié l'emporter, puis, lorsqu'une non-linéarité déclarée est introduite dans le jeu, le boosting prendre l'avantage et l'explicabilité servir à respécifier le modèle économétrique. Les méthodes bayésiennes (\cref{ch:39}) et la simulation (\cref{ch:40}) complètent la partie.
4+
5+\begin{objectifs}
6+À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
7+\begin{itemize}
8+\item distinguer la prédiction de l'inférence, décomposer l'erreur de prédiction en biais et variance, et situer les arbres, les forêts aléatoires et le boosting dans cet arbitrage ;
9+\item dériver le gradient boosting comme une descente de gradient fonctionnelle, lire ses hyperparamètres (profondeur, taux d'apprentissage, nombre d'arbres, sous-échantillonnage, taille des feuilles) et reconnaître le surapprentissage sur une courbe d'apprentissage ;
10+\item concevoir une validation croisée honnête, aléatoire, spatiale par secteur et temporelle, repérer les fuites de données et mesurer la performance par la racine de l'erreur quadratique en logarithme, l'erreur absolue médiane et les statistiques de ratio de l'IAAO ;
11+\item définir les valeurs de Shapley par leurs axiomes, les calculer pour un modèle d'arbres par TreeSHAP, produire et lire un graphique en essaim, une cascade pour un sujet, une courbe de dépendance partielle et une importance par permutation ;
12+\item comparer, sur un même jeu de ventes, un modèle hédonique et des modèles d'arbres, comprendre pourquoi un modèle économétrique bien spécifié résiste et dans quelles conditions l'apprentissage gagne ;
13+\item situer les modèles d'évaluation automatisés dans les normes de l'IAAO et dans le cadre québécois, et énoncer leurs limites : extrapolation hors support, dérive temporelle, équité et opacité devant un tribunal.
14+\end{itemize}
15+\end{objectifs}
16+
17+\section{Prédire n'est pas estimer}\label{sec:37:prediction}
18+
19+\subsection{Deux questions, deux critères}
20+
21+L'économétrie du \cref{ch:18} cherche des paramètres : l'élasticité de la superficie, la prime d'un secteur, la dépréciation annuelle. Elle juge un modèle à la précision et à l'absence de biais de ces paramètres, et les diagnostics qu'elle déploie (hétéroscédasticité, colinéarité, observations influentes) servent cette fin. L'apprentissage automatique supervisé pose une autre question : étant donné un vecteur de caractéristiques $\mathbf{x}$, quelle est la meilleure prédiction $\hat f(\mathbf{x})$ du prix d'un logement que l'on n'a pas encore vu ? Le critère est alors le \motcle{risque de prédiction} (en anglais \emph{generalization error}), l'erreur attendue sur une nouvelle vente tirée de la même population,
22+\begin{equation}\label{eq:37:risque}
23+R(f) = \E\!\left[\big(Y - f(\mathbf{X})\big)^{2}\right],
24+\end{equation}
25+où l'espérance porte sur la loi jointe de $(\mathbf{X}, Y)$ et où $Y$ est, dans tout ce chapitre, le logarithme du prix. \textcite{mullainathanSpiess2017} ont résumé la différence par une formule : l'économètre veut $\hat\beta$, l'apprentissage veut $\hat y$. La distinction n'est pas une opposition de camps mais une question de mandat. L'évaluateur qui dérive des ajustements pour une grille de comparaison (\cref{ch:17}) a besoin de $\hat\beta$ ; celui qui produit une valeur pour le sujet, ou mille valeurs pour un rôle, a besoin de $\hat y$ ; et celui qui dépose une opinion de valeur devant un tiers a besoin des deux, parce qu'une prédiction sans explication n'est pas défendable. \textcite{atheyImbens2019} ont montré ce que l'économie peut retenir de ces méthodes : une discipline de validation hors échantillon que la régression classique néglige, des formes fonctionnelles flexibles, et des outils pour détecter l'hétérogénéité, dont les forêts causales de \textcite{wagerAthey2018} sont l'exemple le plus abouti.
26+
27+\subsection{La décomposition biais-variance}
28+
29+Le risque \eqref{eq:37:risque} d'un estimateur $\hat f$ obtenu à partir d'un échantillon d'apprentissage se décompose, en un point $\mathbf{x}_0$, en trois termes :
30+\begin{equation}\label{eq:37:biais-variance}
31+\E\!\left[\big(Y - \hat f(\mathbf{x}_0)\big)^{2}\right] = \underbrace{\big(f(\mathbf{x}_0) - \E[\hat f(\mathbf{x}_0)]\big)^{2}}_{\text{biais}^2} + \underbrace{\Var\big(\hat f(\mathbf{x}_0)\big)}_{\text{variance}} + \underbrace{\sigma^{2}}_{\text{bruit}},
32+\end{equation}
33+où $f(\mathbf{x}) = \E[Y \mid \mathbf{X} = \mathbf{x}]$ est la vraie fonction de régression, l'espérance et la variance portant sur les échantillons d'apprentissage possibles. Le troisième terme est le bruit de transaction, irréductible, que le \cref{ch:18} a mesuré à $\sigma \approx 0{,}083$ sur le cas 1 et qu'aucun modèle ne peut abaisser. Les deux premiers s'échangent : un modèle rigide, comme une régression à peu de paramètres, a un biais possiblement élevé si sa forme est fausse mais une variance faible ; un modèle souple, comme un arbre profond, peut approcher n'importe quelle fonction mais sa prédiction en un point dépend fortement de l'échantillon tiré. \textcite{hastieTibshiraniFriedman2009} en font le fil conducteur de tout l'apprentissage statistique : les méthodes de ce chapitre sont des manières de réduire la variance d'un estimateur souple (moyennage, dans les forêts) ou de contrôler sa souplesse pas à pas (boosting avec rétrécissement), et la validation croisée est l'instrument qui mesure où l'on se trouve dans l'arbitrage. Une conséquence mérite d'être énoncée dès maintenant : si la vraie fonction est additive en logarithme, ce qui est le cas des ventes synthétiques du cas 1 et une approximation raisonnable de bien des marchés homogènes, le modèle semi-logarithmique du \cref{ch:18} a un biais nul et une variance minimale, et aucune méthode souple ne peut le battre en espérance ; elle ne peut que s'en approcher. C'est l'enseignement central de l'exemple intégral.
34+
35+\section{Arbres, forêts aléatoires et boosting}\label{sec:37:arbres}
36+
37+\subsection{L'arbre de régression}
38+
39+Un \motcle{arbre de régression} (\emph{regression tree}) partitionne l'espace des caractéristiques en $M$ régions rectangulaires $R_1, \dots, R_M$ par une suite de divisions binaires, chacune portant sur une seule variable et un seul seuil, et prédit dans chaque région une constante, la moyenne des observations qui y tombent :
40+\begin{equation}\label{eq:37:arbre}
41+\hat f(\mathbf{x}) = \sum_{m=1}^{M} \hat c_m\, \mathbb{1}\{\mathbf{x} \in R_m\}, \qquad \hat c_m = \frac{1}{n_m}\sum_{i : \mathbf{x}_i \in R_m} y_i .
42+\end{equation}
43+La construction est gloutonne : à chaque nœud, l'algorithme examine toutes les variables $j$ et tous les seuils $s$ et retient la division qui réduit le plus la somme des carrés des écarts,
44+\begin{equation}\label{eq:37:division}
45+(j^{\ast}, s^{\ast}) = \argmin_{j, s}\ \Bigg[\sum_{i : x_{ij} \le s} (y_i - \bar y_{\text{g}})^{2} + \sum_{i : x_{ij} > s} (y_i - \bar y_{\text{d}})^{2}\Bigg],
46+\end{equation}
47+où $\bar y_{\text{g}}$ et $\bar y_{\text{d}}$ sont les moyennes des deux groupes, puis recommence dans chaque fils jusqu'à ce qu'un critère d'arrêt soit atteint : profondeur maximale, nombre minimal d'observations par feuille, ou gain minimal. L'arbre a trois vertus pour l'évaluateur. Il est invariant aux transformations monotones des variables, de sorte qu'il est indifférent d'entrer la superficie en mètres carrés ou en logarithme ; il capte naturellement les interactions, puisqu'une division sur l'âge dans la branche des maisons de qualité élevée agit différemment de la même division dans la branche des maisons modestes ; et il se lit comme un arbre de décision, ce que la \cref{fig:37:arbre} illustre sur les 600 ventes du cas 1. Il a un défaut rédhibitoire : sa variance. Deux échantillons voisins produisent des arbres aux divisions différentes dès la racine, et la prédiction en un point saute d'une constante à une autre. L'arbre de profondeur 3 de la figure, avec ses huit feuilles, prédit un même prix d'environ \dollars{473000} pour toutes les maisons de 117 à \msq{147} situées à moins de 25 kilomètres du centre, quels que soient leur âge, leur qualité et leur secteur, ce qui n'est évidemment pas la fonction de prix du \cref{ch:18}, et son erreur hors échantillon le dit (\cref{sec:37:exemple}).
48+
49+\begin{figure}[htbp]
50+\centering
51+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-arbre.pdf}
52+\caption{Arbre de régression de profondeur 3 estimé sur le logarithme du prix des 600 ventes du cas 1 (feuilles d'au moins cinq ventes). La première division porte sur la superficie habitable (147,5 m²), les suivantes sur la distance au centre, la latitude, de nouveau la superficie et le terrain ; chaque feuille prédit une constante, convertie ici en dollars. Huit prix possibles pour six cents maisons : l'arbre est lisible mais grossier.}\label{fig:37:arbre}
53+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
54+\end{figure}
55+
56+\subsection{Moyenner des arbres : bagging et forêts aléatoires}
57+
58+Le remède à la variance d'un arbre est d'en estimer beaucoup et de les moyenner. Le \emph{bagging} (\emph{bootstrap aggregating}) tire $B$ échantillons bootstrap de l'échantillon d'apprentissage, estime un arbre profond sur chacun et prédit par la moyenne des $B$ prédictions. La \motcle{forêt aléatoire} (\emph{random forest}) de \textcite{breiman2001} ajoute une seconde source de hasard : à chaque division, seul un sous-ensemble de $m$ variables tirées au hasard parmi les $p$ disponibles est candidat. La raison tient à une identité élémentaire. Si les $B$ arbres ont chacun une variance $\sigma_a^2$ en un point et une corrélation deux à deux $\rho$, la variance de leur moyenne est
59+\begin{equation}\label{eq:37:variance-foret}
60+\Var\!\left(\frac{1}{B}\sum_{b=1}^{B} \hat f_b(\mathbf{x}_0)\right) = \rho\,\sigma_a^{2} + \frac{1 - \rho}{B}\,\sigma_a^{2} .
61+\end{equation}
62+Le second terme s'annule lorsque $B$ croît ; le premier ne dépend que de la corrélation entre arbres. Or des arbres estimés sur des bootstraps du même échantillon se ressemblent, parce qu'ils choisissent presque tous les mêmes variables dominantes à la racine ; restreindre les variables candidates les décorrèle, au prix d'un léger biais pour chaque arbre, et abaisse le plancher $\rho\sigma_a^2$. C'est l'arbitrage biais-variance de l'\cref{eq:37:biais-variance} appliqué à l'ensemble. Les hyperparamètres d'une forêt sont donc le nombre d'arbres $B$, que l'on prend grand sans risque de surapprentissage puisque la moyenne converge, le nombre $m$ de variables par division, souvent $p/3$ en régression, et la taille minimale des feuilles, qui règle la profondeur. Les observations laissées hors du bootstrap d'un arbre, dites \emph{hors sac} (\emph{out-of-bag}), fournissent une estimation gratuite de l'erreur de prédiction, qui joue le rôle d'une validation croisée interne. \textcite{hongChoiKim2020} ont appliqué la forêt aléatoire à l'évaluation de masse des logements de Séoul, et \textcite{paceHayunga2020} ont montré qu'arbres et forêts, appliqués aux résidus d'un modèle hédonique ou spatial, y détectent de l'information structurée que le modèle paramétrique a laissée : la forêt est aussi un diagnostic de spécification.
63+
64+\subsection{Le gradient boosting comme descente de gradient fonctionnelle}
65+
66+Le \motcle{boosting} procède à l'inverse du bagging : au lieu de moyenner des arbres profonds estimés indépendamment, il additionne séquentiellement des arbres peu profonds, chacun corrigeant les erreurs de la somme des précédents. \textcite{friedman2001} en a donné l'interprétation qui fonde toutes les implémentations modernes : le boosting est une descente de gradient, non dans l'espace des paramètres, mais dans l'espace des fonctions. Soit une fonction de perte $L(y, F)$, par exemple le carré de l'erreur $\tfrac{1}{2}(y - F)^2$, et un modèle additif
67+\begin{equation}\label{eq:37:boosting}
68+F_M(\mathbf{x}) = F_0 + \sum_{m=1}^{M} \nu\, h_m(\mathbf{x}), \qquad F_0 = \bar y ,
69+\end{equation}
70+où chaque $h_m$ est un arbre de régression de petite taille et $\nu \in (0, 1]$ un \motcle{taux d'apprentissage} (\emph{learning rate}, ou rétrécissement). On cherche à minimiser le risque empirique $\sum_i L(y_i, F(\mathbf{x}_i))$ en $F$. Si l'on pouvait modifier librement les $n$ valeurs $F(\mathbf{x}_i)$, la descente de gradient ferait un pas dans la direction opposée au gradient de la perte par rapport à ces valeurs, c'est-à-dire vers les \motcle{pseudo-résidus}
71+\begin{equation}\label{eq:37:gradient}
72+r_{im} = -\left.\frac{\partial L\big(y_i, F(\mathbf{x}_i)\big)}{\partial F(\mathbf{x}_i)}\right|_{F = F_{m-1}}, \qquad \text{soit } r_{im} = y_i - F_{m-1}(\mathbf{x}_i) \text{ pour la perte quadratique.}
73+\end{equation}
74+Mais une fonction définie seulement aux $n$ points d'apprentissage ne prédit rien ailleurs ; le boosting projette donc ce gradient sur une classe de fonctions, les arbres, en estimant $h_m$ par moindres carrés sur les pseudo-résidus, puis fait le pas $F_m = F_{m-1} + \nu\, h_m$. Pour la perte quadratique, chaque itération ajuste simplement un petit arbre aux résidus courants ; pour la perte absolue ou la perte de Huber, les pseudo-résidus sont des signes ou des résidus tronqués, ce qui rend l'algorithme robuste aux ventes aberrantes, un avantage que le \cref{ch:14} fait apprécier. Le taux d'apprentissage est le pas de la descente ; un petit pas exige plus d'arbres mais généralise mieux, parce que chaque arbre n'explique qu'une fraction des résidus et que l'ensemble ne s'ajuste pas au bruit d'un coup. Le sous-échantillonnage, qui estime chaque arbre sur une fraction tirée au hasard des observations (\emph{stochastic gradient boosting}), ajoute une régularisation de même nature que le bagging. La profondeur des arbres fixe l'\emph{ordre d'interaction} du modèle : des souches (profondeur 1) produisent un modèle strictement additif en les variables, des arbres de profondeur 2 admettent des interactions de deux variables, et ainsi de suite ; on verra à la \cref{sec:37:sensibilite} que, sur un jeu engendré par une loi additive, les souches sont précisément le meilleur boosting, ce qui n'est pas un hasard.
75+
76+\textcite{chenGuestrin2016} ont réécrit cette descente avec un développement au second ordre de la perte et une pénalité explicite sur la complexité des arbres ; c'est l'algorithme XGBoost. À l'itération $m$, l'objectif à minimiser en l'arbre $h$ est
77+\begin{equation}\label{eq:37:xgb-objectif}
78+\mathcal{O}_m(h) = \sum_{i=1}^{n}\Big[g_i\, h(\mathbf{x}_i) + \tfrac{1}{2} k_i\, h(\mathbf{x}_i)^{2}\Big] + \gamma\, T + \tfrac{1}{2}\lambda \sum_{t=1}^{T} w_t^{2},
79+\end{equation}
80+où $g_i$ et $k_i$ sont les dérivées première et seconde de la perte en $F_{m-1}(\mathbf{x}_i)$ (pour la perte quadratique, $g_i = F_{m-1}(\mathbf{x}_i) - y_i$ et $k_i = 1$), $T$ le nombre de feuilles de l'arbre, $w_t$ la valeur de la feuille $t$, et $\gamma$, $\lambda$ des paramètres de régularisation. L'objectif étant quadratique en $w_t$, la valeur optimale de chaque feuille est $w_t^{\ast} = -\sum_{i \in t} g_i / (\sum_{i \in t} k_i + \lambda)$, et le gain d'une division qui sépare une feuille en une partie gauche $G$ et une partie droite $D$ s'écrit en forme fermée,
81+\begin{equation}\label{eq:37:xgb-gain}
82+\text{Gain} = \frac{1}{2}\left[\frac{\big(\sum_{i \in G} g_i\big)^{2}}{\sum_{i \in G} k_i + \lambda} + \frac{\big(\sum_{i \in D} g_i\big)^{2}}{\sum_{i \in D} k_i + \lambda} - \frac{\big(\sum_{i \in G \cup D} g_i\big)^{2}}{\sum_{i \in G \cup D} k_i + \lambda}\right] - \gamma ,
83+\end{equation}
84+une division n'étant retenue que si son gain est positif. Avec $\lambda = \gamma = 0$ et la perte quadratique, ce gain est exactement la réduction de la somme des carrés de l'\cref{eq:37:division} appliquée aux résidus : XGBoost est le gradient boosting de Friedman muni d'une régularisation de type ridge sur les feuilles et d'une pénalité sur leur nombre. Le \cref{tab:37:familles} résume les trois familles et leurs hyperparamètres. La leçon pratique est que ces hyperparamètres ne sont pas des détails d'implémentation : la profondeur fixe les interactions que le modèle peut représenter, le taux d'apprentissage et le nombre d'arbres règlent conjointement la quantité de signal absorbée, la taille minimale des feuilles gouverne le comportement aux bords du support, et aucun ne se choisit autrement que par validation.
85+
86+\begin{table}[htbp]
87+\caption{Trois familles de modèles d'arbres : principe, hyperparamètres et comportement}\label{tab:37:familles}
88+\centering\small
89+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}
90+\toprule
91+ & Arbre de régression & Forêt aléatoire & Gradient boosting \\
92+\midrule
93+Principe & partition récursive, constante par feuille \eqref{eq:37:arbre} & moyenne de $B$ arbres profonds estimés sur des bootstraps avec $m < p$ variables candidates par division & somme de $M$ petits arbres ajustés séquentiellement aux pseudo-résidus \eqref{eq:37:gradient}, pas $\nu$ \\
94+Référence & \textcite{hastieTibshiraniFriedman2009}, chap. 9 & \textcite{breiman2001} & \textcite{friedman2001} ; \textcite{chenGuestrin2016} \\
95+Hyperparamètres & profondeur ; taille min. des feuilles & $B$ ; $m$ ; taille min. des feuilles & $M$ ; $\nu$ ; profondeur ; sous-échantillon ; taille min. des feuilles ; $\lambda$, $\gamma$ (XGBoost) \\
96+Arbitrage biais-variance & variance très élevée & variance réduite par moyennage ; biais légèrement accru par $m < p$ & biais réduit pas à pas ; variance contrôlée par $\nu$, $M$ et le sous-échantillonnage \\
97+Surapprentissage & dès que la profondeur croît & peu sensible à $B$ ; sensible à la taille des feuilles & oui, si $M$ trop grand pour $\nu$ ; arrêt précoce par validation \\
98+Interactions & toutes, implicitement & toutes & d'ordre $\le$ profondeur \\
99+Extrapolation & constante hors support & constante hors support & constante hors support \\
100+Valeurs de référence (exemple) & profondeur 3, feuilles $\ge 5$ & 500 arbres, $m = p/2$, feuilles $\ge 2$ & 1 200 arbres de profondeur 2, $\nu = 0{,}03$, sous-échantillon 80 \%, feuilles $\ge 5$ \\
101+\bottomrule
102+\end{tabularx}
103+\tabsource{synthèse de l'auteur d'après les références citées ; valeurs de l'exemple : \texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}.}
104+\end{table}
105+
106+\section{Validation, fuites de données et surapprentissage}\label{sec:37:validation}
107+
108+\subsection{La validation croisée et ce qu'elle estime}
109+
110+Le risque \eqref{eq:37:risque} n'est pas observable ; l'erreur sur l'échantillon d'apprentissage le sous-estime, d'autant plus que le modèle est souple, puisqu'un arbre assez profond reproduit chaque prix observé. La \motcle{validation croisée} à $K$ plis partitionne les $n$ observations en $K$ groupes, estime le modèle $K$ fois en excluant chaque groupe à tour de rôle et prédit les observations exclues par le modèle qui ne les a pas vues :
111+\begin{equation}\label{eq:37:cv}
112+\widehat{R}_{\text{CV}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K}\sum_{i \in \mathcal{F}_k}\big(y_i - \hat f^{(-k)}(\mathbf{x}_i)\big)^{2},
113+\end{equation}
114+où $\hat f^{(-k)}$ est estimé sans le pli $\mathcal{F}_k$. Chaque observation est prédite exactement une fois, hors échantillon, et la collection des $n$ prédictions ainsi obtenues sert à toutes les métriques de la \cref{sec:37:metriques}. Le choix de $K$ arbitre entre le biais (avec $K$ petit, chaque modèle est estimé sur une fraction réduite des données et le risque est surestimé) et la variance et le coût de calcul ; $K = 10$ est la convention de l'ouvrage, et le \cref{ch:18} l'a déjà appliquée au modèle hédonique de référence, avec les mêmes dix plis que ceux de ce chapitre, tirés avec la graine 20261031 : la comparaison entre modèles porte donc sur des prédictions des mêmes ventes par des modèles estimés sur les mêmes sous-échantillons, ce qui élimine une source de bruit de la comparaison.
115+
116+\subsection{Les fuites de données}
117+
118+L'\cref{eq:37:cv} n'estime le risque sur une nouvelle vente que si les plis reproduisent la situation dans laquelle le modèle sera utilisé. Toute information qui circule de l'échantillon de test vers l'échantillon d'apprentissage, et que le modèle n'aurait pas eue en situation réelle, est une \motcle{fuite de données} (\emph{data leakage}), et elle rend la validation trop optimiste. Trois fuites menacent l'évaluation immobilière. La première est \emph{temporelle} : un modèle estimé sur des ventes de 2023 à 2026 pour prédire des ventes de 2025 a vu l'avenir ; or l'usage réel est prospectif, le modèle estimé sur le passé prédisant le présent ou l'avenir proche, et la tendance des prix ne se prolonge pas d'elle-même dans un modèle d'arbres. La deuxième est \emph{spatiale} : des ventes voisines partagent des attributs de voisinage non observés (\cref{ch:19}), et si une vente de test a ses voisines immédiates dans l'échantillon d'apprentissage, le modèle, surtout s'il dispose des coordonnées, les retrouve et prédit bien ; mais le sujet d'une évaluation réelle n'a pas toujours un voisin vendu à cent mètres, et un modèle destiné à un secteur peu documenté doit être validé en lui retirant ce secteur. La troisième est une fuite par la \emph{cible} : une variable construite à partir du prix, comme la valeur au rôle lorsque celle-ci a été ajustée sur les ventes connues, ou un indice de quartier calculé avec les prix de l'échantillon complet, transporte le prix de test dans les régresseurs. Dans un article qui a fait date en écologie mais dont la portée est générale, Roberts et ses coauteurs ont montré qu'avec des données structurées dans l'espace, le temps ou une hiérarchie, la validation croisée aléatoire surestime systématiquement la performance et que la validation par \emph{blocs} respectant la structure est la seule honnête\footnote{Roberts, D. R., Bahn, V., Ciuti, S., Boyce, M. S., Elith, J., Guillera-Arroita, G. \emph{et al.} (2017), « Cross-validation strategies for data with temporal, spatial, hierarchical, or phylogenetic structure », \emph{Ecography}, 40(8), 913-929 ; DOI 10.1111/ecog.02881 (vérifié par l'API Crossref le 31 octobre 2026 ; consigné dans \texttt{references/lib-ch37.bib}).}. Ce chapitre met en œuvre trois schémas : dix plis aléatoires, qui mesurent la performance \emph{interpolative} dans un marché bien documenté ; dix blocs spatiaux contigus, obtenus en coupant chaque secteur en deux par les $k$-moyennes sur les coordonnées, de sorte que chaque secteur reste représenté à l'estimation mais que le voisinage immédiat d'une vente testée ne l'est jamais ; et une partition temporelle, les 499 ventes de 2023 à 2025 prédisant les 101 ventes de 2026. La \cref{sec:37:exemple} y ajoute, comme épreuve extrême, l'exclusion d'un secteur entier.
119+
120+\subsection{Surapprentissage et arrêt précoce}
121+
122+Le \motcle{surapprentissage} (\emph{overfitting}) est la situation où un modèle continue d'améliorer son ajustement à l'échantillon d'apprentissage alors que son erreur hors échantillon se dégrade : il apprend le bruit. Pour le boosting, le phénomène se lit sur une \emph{courbe d'apprentissage} qui porte l'erreur d'entraînement et l'erreur de validation croisée contre le nombre d'arbres, et la \cref{fig:37:apprentissage} en montre trois sur le cas 1, pour des arbres de profondeur 1, 2 et 4 avec $\nu = 0{,}03$. L'erreur d'entraînement décroît sans fin ; l'erreur de validation passe par un minimum puis remonte, d'autant plus tôt que les arbres sont profonds : 367 itérations pour la profondeur 4, dont l'erreur d'entraînement finit à 0,012 pour une erreur de validation de 0,097 ; 730 pour la profondeur 2 ; au-delà de 1 200 pour les souches, dont le minimum, 0,089, est aussi le plus bas des trois. L'\motcle{arrêt précoce} (\emph{early stopping}) consiste à retenir le nombre d'arbres qui minimise l'erreur de validation ; c'est l'hyperparamètre le plus important du boosting, et il se lit sur cette courbe. La droite pointillée est l'erreur de validation croisée du modèle hédonique de référence, 0,084 : aucun boosting ne l'atteint, et la \cref{sec:37:exemple} dira pourquoi.
123+
124+\begin{figure}[htbp]
125+\centering
126+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-apprentissage.pdf}
127+\caption{Courbes d'apprentissage du gradient boosting sur les 600 ventes du cas 1 : racine de l'erreur quadratique moyenne du logarithme du prix à l'entraînement (tiretés) et en validation croisée à dix plis (traits pleins) selon le nombre d'arbres, pour des arbres de profondeur 1, 2 et 4 ($\nu = 0{,}03$, sous-échantillon 80 \%, feuilles d'au moins cinq ventes). Le point marque le minimum de l'erreur de validation. Plus les arbres sont profonds, plus tôt le modèle surapprend ; aucune courbe n'atteint l'erreur du modèle hédonique de référence (pointillé).}\label{fig:37:apprentissage}
128+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
129+\end{figure}
130+
131+\subsection{Les métriques}\label{sec:37:metriques}
132+
133+Les prédictions hors échantillon sont évaluées par des métriques qui répondent à des questions différentes. La racine de l'erreur quadratique moyenne en logarithme et l'erreur absolue médiane en pourcentage,
134+\begin{equation}\label{eq:37:metriques}
135+\mathrm{RMSE}_{\ln} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\big(\hat y_i - y_i\big)^{2}}, \qquad \mathrm{MdAPE} = \operatorname{méd}_i \abs{\frac{\hat P_i - P_i}{P_i}} ,
136+\end{equation}
137+mesurent respectivement la dispersion typique de l'erreur, dans l'unité qui rend les erreurs comparables entre maisons chères et modestes, et l'erreur que subit la vente médiane, insensible aux ventes aberrantes ; la première se compare directement à l'écart-type résiduel $\hat\sigma$ du modèle hédonique et au bruit de génération, la seconde est celle que publient la plupart des fournisseurs d'AVM. Les statistiques de ratio de l'IAAO, le coefficient de dispersion (COD), le différentiel relatif aux prix (PRD) et le biais relatif aux prix (PRB), définies aux \cref{eq:18:cod,eq:18:prd,eq:18:prb} et calculées par \texttt{traite.hedonique.statistiques\_ratio}, mesurent l'uniformité horizontale et verticale des ratios prédit/observé, et c'est en elles que le \emph{Standard on Automated Valuation Models} exprime ses exigences (\cref{sec:37:avm}). Les prédictions en niveau sont retransformées du logarithme avec la correction de Duan \eqref{eq:18:duan} ; pour les modèles d'arbres, dont les résidus d'apprentissage sont artificiellement petits, le facteur est estimé sur les résidus hors échantillon, ce qui donne 1,0034 pour l'hédonique, conforme au 1,00335 du \cref{ch:18}, et de 1,0020 à 1,0078 pour les autres modèles. Enfin, le \emph{biais moyen} en logarithme et la médiane des ratios détectent une erreur de niveau, que les métriques de dispersion ne voient pas et que la validation temporelle fera apparaître.
138+
139+\section{Explicabilité : valeurs de Shapley, dépendance partielle, permutation}\label{sec:37:explicabilite}
140+
141+\subsection{La valeur de Shapley}
142+
143+Un modèle d'arbres n'a pas de coefficients. Pour dire ce qu'il a appris et pourquoi il prédit telle valeur pour tel logement, il faut des outils d'\motcle{explicabilité} (\emph{explainability}) qui s'appliquent à toute fonction $\hat f$, quelle que soit sa forme. Le plus fondé théoriquement vient de la théorie des jeux coopératifs. Lloyd Shapley a posé en 1953 la question du partage équitable du gain d'une coalition entre ses membres\footnote{Shapley, L. S. (1953), « A Value for $n$-Person Games », dans Kuhn, H. W. et Tucker, A. W. (dir.), \emph{Contributions to the Theory of Games}, vol.~II, Annals of Mathematics Studies 28, Princeton University Press, p.~307-318 ; DOI 10.1515/9781400881970-018 (vérifié par l'API Crossref le 31 octobre 2026 ; \texttt{lib-ch37.bib}).} et a montré qu'une unique règle satisfait quatre axiomes.
144+
145+\begin{definition}{Valeur de Shapley}{37:shapley}
146+Soit un ensemble $N$ de $p$ joueurs et une fonction caractéristique $v : 2^{N} \to \mathbb{R}$ donnant le gain de chaque coalition, avec $v(\varnothing) = 0$. La valeur de Shapley du joueur $j$ est sa contribution marginale moyenne sur toutes les façons d'ordonner les joueurs,
147+\begin{equation}\label{eq:37:shapley}
148+\phi_j(v) = \sum_{S \subseteq N \setminus \{j\}} \frac{\abs{S}!\,(p - \abs{S} - 1)!}{p!}\,\big[v(S \cup \{j\}) - v(S)\big].
149+\end{equation}
150+C'est l'unique règle de partage qui satisfait l'\emph{efficacité} ($\sum_j \phi_j = v(N)$), la \emph{symétrie} (deux joueurs interchangeables reçoivent la même part), le \emph{joueur nul} (un joueur qui n'ajoute rien à aucune coalition reçoit zéro) et l'\emph{additivité} (la part dans la somme de deux jeux est la somme des parts).
151+\end{definition}
152+
153+\textcite{lundbergLee2017} ont montré que la plupart des méthodes d'explication locale proposées pour les modèles d'apprentissage sont des cas particuliers d'une même classe, les \emph{explications additives}, et que la seule qui respecte les axiomes de Shapley est celle où les joueurs sont les variables, le gain d'une coalition $S$ est la prédiction attendue lorsque seules les variables de $S$ sont connues, $v(S) = \E[\hat f(\mathbf{X}) \mid \mathbf{X}_S = \mathbf{x}_S]$, et la valeur de base est la prédiction moyenne. Les \motcle{valeurs SHAP} (\emph{SHapley Additive exPlanations}) $\phi_j(\mathbf{x})$ d'une observation décomposent alors sa prédiction :
154+\begin{equation}\label{eq:37:efficacite}
155+\hat f(\mathbf{x}) = \phi_0 + \sum_{j=1}^{p} \phi_j(\mathbf{x}), \qquad \phi_0 = \E[\hat f(\mathbf{X})] .
156+\end{equation}
157+Dans un modèle en logarithme du prix, $\phi_j$ est la contribution de la variable $j$, en points de logarithme, à l'écart entre la prédiction du logement et la prédiction moyenne ; $\exp(\phi_j) - 1$ est l'effet en pourcentage, et la cascade des $\exp(\phi_j)$ depuis $\exp(\phi_0)$ reconstitue le prix prédit. L'analogie avec le modèle hédonique est exacte : dans un modèle linéaire en $\mathbf{x}$, la valeur SHAP de la variable $j$ est $\hat\beta_j (x_j - \bar x_j)$, le prix implicite multiplié par l'écart à la moyenne, de sorte que SHAP généralise la décomposition « maison de référence plus contributions des écarts » du \cref{tab:18:prix-implicites} à des modèles sans coefficients. Le calcul exact de l'\cref{eq:37:shapley} exige $2^{p}$ coalitions, mais \textcite{lundberg2020} ont montré que, pour les modèles d'arbres, les valeurs SHAP se calculent exactement en temps polynomial en parcourant la structure des arbres : c'est l'algorithme \motcle{TreeSHAP}, qui fournit aussi les \emph{valeurs d'interaction} SHAP, décomposant chaque $\phi_j$ en un effet principal et des effets partagés avec chaque autre variable. Deux lectures globales en découlent : l'\emph{importance SHAP}, moyenne de $\abs{\phi_j}$ sur l'échantillon, qui classe les variables par leur contribution absolue moyenne ; et le \emph{graphique en essaim} (\emph{beeswarm}), qui porte pour chaque variable les $n$ valeurs $\phi_j$ colorées par la valeur de la variable, et montre donc à la fois l'ampleur et le sens de l'effet, ainsi que sa non-linéarité éventuelle. Pour un logement unique, la \emph{cascade} (\emph{waterfall}) ordonne les contributions depuis la base jusqu'à la prédiction ; c'est l'explication locale que l'évaluateur peut joindre à un rapport.
158+
159+\subsection{Dépendance partielle et importance par permutation}
160+
161+La \motcle{dépendance partielle} (\emph{partial dependence}), introduite par \textcite{friedman2001} avec le boosting, répond à une question différente : comment la prédiction varie-t-elle, en moyenne, lorsqu'une variable change et que les autres gardent leurs valeurs observées ?
162+\begin{equation}\label{eq:37:pdp}
163+\mathrm{PD}_j(z) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \hat f\big(z, \mathbf{x}_{i, -j}\big),
164+\end{equation}
165+où $\mathbf{x}_{i,-j}$ désigne les autres variables de l'observation $i$. La courbe $z \mapsto \mathrm{PD}_j(z)$ est l'analogue, pour un modèle quelconque, de la courbe de prix selon la superficie que le \cref{ch:18} a tracée pour quatre formes fonctionnelles (\cref{fig:18:formes}) ; pour un modèle additif, elle coïncide, à une constante près, avec la composante de la variable. Elle a deux limites, que \textcite{molnar2025} discute : elle moyenne, et peut donc masquer une interaction (deux sous-populations aux effets opposés donnent une courbe plate), ce à quoi remédient les courbes individuelles d'espérance conditionnelle (ICE), une par observation ; et elle évalue le modèle en des combinaisons de variables qui n'existent pas dans les données lorsque la variable $j$ est corrélée aux autres, par exemple une maison de \msq{260} sur un terrain de \msq{200}, ce qui est une forme d'extrapolation. L'\motcle{importance par permutation}, due aussi à \textcite{breiman2001}, mesure de combien l'erreur de prédiction augmente lorsque les valeurs d'une variable sont mélangées au hasard entre les observations, ce qui rompt son lien avec la cible tout en préservant sa distribution :
166+\begin{equation}\label{eq:37:permutation}
167+\mathrm{IP}_j = \E\big[L\big(Y, \hat f(\mathbf{X}^{(\pi_j)})\big)\big] - \E\big[L\big(Y, \hat f(\mathbf{X})\big)\big],
168+\end{equation}
169+où $\mathbf{X}^{(\pi_j)}$ est la matrice des régresseurs dont la colonne $j$ a été permutée. Elle est mesurée ici hors échantillon, dans chaque pli de validation, ce qui évite d'attribuer de l'importance à des variables que le modèle utilise pour mémoriser le bruit. Sa limite est la même que celle de la dépendance partielle : lorsque deux variables sont fortement corrélées, permuter l'une crée des observations impossibles et le modèle peut reporter l'information sur l'autre, de sorte que l'importance se partage entre elles de façon instable. L'exemple en donne une illustration nette : les coordonnées, la distance au centre et les indicatrices de secteur portent la même information de localisation, et le boosting l'attribue presque entièrement aux coordonnées, au point que les indicatrices de secteur, qui sont le mécanisme même de la loi de génération, reçoivent une importance nulle. L'explicabilité décrit ce que le modèle fait, pas ce que le marché fait ; la différence est au cœur de la \cref{sec:37:limites}.
170+
171+\section{Exemple intégral : hédonique, forêt et boosting sur les 600 ventes du cas 1}\label{sec:37:exemple}
172+
173+\begin{synthetique}
174+Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}) sont fictives, engendrées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon la loi semi-logarithmique additive déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md} et rappelée au \cref{ch:18} : élasticité de 0,55 pour la superficie habitable, 0,10 pour le terrain, polynôme d'âge, effets proportionnels de la qualité et des équipements, primes de secteur calibrées sur les médianes de l'APCIQ \parencite{apciqgatineaut32026}, gradient de distance au-delà de 3 km, tendance temporelle, bruit normal d'écart-type 0,085. Aucune interaction ni rupture n'y figure : c'est ce qui rend l'hédonique bien spécifié imbattable en espérance et ce qui fait de la \cref{sec:37:scenario}, où une interaction et une rupture déclarées sont ajoutées, un contrepoint nécessaire. Les régresseurs offerts aux modèles d'arbres sont les variables brutes (superficie, terrain, âge, qualité, garage, sous-sol, piscine, type, distance au centre, latitude, longitude, mois depuis la date de référence, cinq indicatrices de secteur), sans transformation. Tous les chiffres de cette section et de la suivante sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch37.py} ; les modèles proviennent de scikit-learn 1.6 et de xgboost 3.2, les valeurs SHAP de shap 0.48 (TreeSHAP appliqué au gradient boosting de scikit-learn, la bibliothèque shap ne lisant pas encore le format des modèles de xgboost 3.2). Les plis aléatoires sont ceux de \texttt{ch18\_hedonique.validation\_croisee}.
175+\end{synthetique}
176+
177+\begin{exemple}{Cinq modèles, trois validations, un sujet}{37:ml-cas1}
178+L'exemple procède en cinq étapes : comparaison des modèles en validation croisée aléatoire ; validation spatiale et temporelle ; exclusion d'un secteur ; explication du boosting par SHAP, dépendance partielle et permutation ; prédiction du sujet par chaque modèle avec sa cascade SHAP.
179+
180+\emph{Étape 1 : validation croisée aléatoire.} Le \cref{tab:37:comparaison} rapporte, pour les cinq modèles et les mêmes dix plis, les métriques de la \cref{sec:37:metriques}. Le modèle hédonique de référence reproduit exactement les chiffres du \cref{ch:18} : racine de l'erreur quadratique moyenne de 0,0839 en logarithme et de \dollars{40889} en niveau, erreur absolue médiane de 5,7 \%, COD de 6,83, PRD de 1,007, PRB de $-0{,}059$. L'arbre seul est loin derrière (0,147 ; COD 11,6) : huit constantes ne décrivent pas un marché, et son COD sort même de la plage de 5 à 10 que l'IAAO admet pour l'unifamilial homogène. La forêt aléatoire réduit l'erreur à 0,107 (COD 8,64), ce qui est la réduction de variance de l'\cref{eq:37:variance-foret} à l'œuvre ; le gradient boosting fait mieux, 0,093 (COD 7,42), et XGBoost légèrement mieux encore, 0,092 (COD 7,33), la régularisation des feuilles l'aidant un peu. Mais aucun n'approche l'hédonique, et l'écart n'est pas un détail : l'erreur quadratique du meilleur modèle d'arbres est de 20 \% supérieure à celle de la régression, et son COD de plus d'un demi-point. La \cref{fig:37:erreurs} montre la distribution des erreurs et la \cref{fig:37:predit-observe} les nuages prédit-observé. Deux traits méritent l'attention au-delà des moyennes. D'abord la \emph{régressivité} : le PRB de la forêt est de $-0{,}196$ et celui du boosting de $-0{,}088$, contre $-0{,}059$ pour l'hédonique, et les PRD sont de 1,015 et 1,009 ; les modèles d'arbres surestiment les maisons modestes et sous-estiment les maisons chères, parce que leurs feuilles sont des moyennes locales qui tirent les extrêmes vers le centre, et parce qu'ils ne peuvent prédire au-delà du plus grand prix observé dans une feuille. Le \cref{ch:18} a montré qu'une part du PRB négatif est mécanique ; la part supplémentaire est ici propre aux arbres, et c'est précisément le genre d'iniquité verticale que le Standard on Ratio Studies demande de surveiller. Ensuite le niveau : les médianes des ratios sont toutes comprises entre 0,998 et 1,012, donc aucun modèle n'est biaisé en moyenne dans ce schéma, ce qui ne sera plus vrai en validation temporelle.
181+
182+\emph{Étape 2 : validation spatiale et temporelle.} Les colonnes de droite du \cref{tab:37:comparaison} rapportent les deux schémas qui respectent la structure des données. En blocs spatiaux stratifiés par secteur, chaque vente est prédite par un modèle qui n'a vu aucune vente de son demi-secteur ; toutes les erreurs augmentent, mais inégalement : l'hédonique passe de 0,0839 à 0,0857 (COD 7,00), parce que ses indicatrices de secteur restent estimées sur l'autre moitié du secteur et que sa structure additive ne dépend pas du voisinage ; le boosting passe de 0,093 à 0,097 (COD 7,62) et la forêt de 0,107 à 0,112 (COD 8,96), parce que ces modèles avaient tiré une partie de leur performance aléatoire du voisinage immédiat, par les coordonnées, information qui leur est désormais retirée. La validation aléatoire surestimait donc légèrement leur performance, comme l'annonçait la \cref{sec:37:validation}. La partition temporelle est plus sévère encore et révèle une faiblesse structurelle. Les 101 ventes de 2026 prédites par des modèles estimés sur 2023-2025 ont, avec l'hédonique, une erreur de 0,0855 et un biais moyen de $-1{,}0$ \% (médiane des ratios 0,988) : la tendance linéaire estimée sur le passé se prolonge et, dans ce jeu, elle est vraie. Les modèles d'arbres, eux, ne peuvent pas extrapoler : au-delà du dernier mois observé, ils prédisent la constante de la feuille extrême, et leur biais est de $-3{,}4$ \% pour le boosting, $-6{,}0$ \% pour la forêt et $-8{,}5$ \% pour l'arbre, avec des médianes de ratios de 0,966, 0,934 et 0,931, sous la plage de 0,90 à 1,10 pour l'arbre et très près de sa borne pour la forêt. Le biais s'aggrave au fil des mois : pour le boosting, il va de $-4{,}2$ \% en janvier 2026 à $-7{,}6$ \% en août, tandis que celui de l'hédonique oscille entre $-3$ et $+1$ \% sans tendance. Deux remèdes s'imposent et le \cref{tab:37:temporel} les mesure. Le premier est de retirer le temps du modèle d'arbres et de l'estimer séparément : un boosting estimé sur $\ln P - \hat\beta_{\text{mois}}\,\text{mois}$, la tendance étant celle de l'hédonique estimé sur l'échantillon d'apprentissage (0,342 \% par mois), puis la tendance rajoutée, ramène le biais à $-1{,}8$ \% et l'erreur à 0,093 ; c'est la logique des AVM de production, qui séparent l'indice de marché du modèle de niveau (\cref{ch:35}). Le second est de régler la taille minimale des feuilles : avec des feuilles d'une seule vente, la feuille extrême du temps est estimée sur une poignée d'observations, quatorze ventes se situent au-delà du dix-septième mois dans l'échantillon d'apprentissage, et le biais du boosting sur 2026 atteint $-13{,}4$ \% ; avec des feuilles d'au moins cinq ventes, celui du modèle de référence, il est de $-3{,}4$ \%. Un hyperparamètre qui ne change presque rien en validation aléatoire (0,0931 dans les deux cas, \cref{tab:37:sensibilite}) change tout au bord du support.
183+
184+\emph{Étape 3 : un secteur exclu.} Le \cref{tab:37:secteurs} pousse la logique spatiale à l'extrême en retirant un secteur entier à l'estimation et en lui demandant une prédiction. Le modèle hédonique n'a, par construction, aucune information sur un secteur absent : son indicatrice est retirée et le secteur est prédit au niveau du secteur de référence (Hull, ou Gatineau lorsque c'est Hull qui est exclu), ce qui est un \emph{jugement} de l'analyste, non un résultat du modèle. Les biais qui en résultent sont exactement les primes de secteur omises : $+23{,}4$ \% pour Buckingham et $+26{,}1$ \% pour Masson-Angers, dont les prix sont bien inférieurs à ceux de Hull, $-5{,}9$ \% pour Aylmer, et presque rien pour Gatineau, dont la médiane est proche de celle de Hull ; le COD global monte à 10,44. Les modèles d'arbres, qui disposent des coordonnées et de la distance au centre, font implicitement le jugement que l'analyste a dû faire explicitement : ils situent Masson-Angers près de Buckingham et à grande distance du centre, et prédisent un niveau intermédiaire. Le boosting a un biais de $-0{,}6$ \% sur Buckingham et de $+7{,}2$ \% sur Masson-Angers, mais de $-6{,}8$ \% sur Gatineau et $-7{,}1$ \% sur Aylmer, que leur position géographique n'aide pas à distinguer de leurs voisins moins chers ; son COD global est de 8,59, meilleur que celui de l'hédonique dans ce schéma, et celui de la forêt de 10,21. Aucun modèle n'est bon : prédire un sous-marché sans y observer de vente est une extrapolation, et le mieux que l'on puisse dire du boosting est que son extrapolation géographique est moins fausse, ici, que le choix d'un secteur de référence. L'évaluateur retiendra que la question « ce modèle peut-il prédire là où il n'a pas de données ? » appelle une réponse par la validation, non par la confiance, et que la réponse dépend du modèle, du secteur et de la géographie des prix.
185+
186+\emph{Étape 4 : expliquer le boosting.} La \cref{fig:37:beeswarm} présente le graphique en essaim des valeurs SHAP du gradient boosting estimé sur les 600 ventes, et le \cref{tab:37:importances} compare l'importance SHAP et l'importance par permutation. La base $\phi_0$ vaut 13,0732, soit la moyenne des logarithmes des prix, dont l'exponentielle est \dollars{476010} : c'est la « vente moyenne » du jeu, une maison de \msq{145} et 42 ans vendue au printemps 2024. La superficie domine (importance moyenne de 0,111 en logarithme), suivie de l'âge (0,043), du mois de vente (0,040), de la longitude (0,032), de la qualité (0,031), de la distance au centre (0,027) et de la latitude (0,027) ; le terrain, le garage, le type et le sous-sol suivent ; la piscine est faible et les cinq indicatrices de secteur sont pratiquement nulles (au plus 0,0016). Ce dernier résultat est instructif : la loi de génération contient des primes de secteur de $-20$ à $+11$ \%, et le modèle les a parfaitement apprises, mais il les a lues dans les coordonnées et la distance au centre, qui portent la même information de façon continue et se prêtent mieux aux divisions binaires ; l'importance d'une variable mesure son usage par le modèle, non son rôle dans le marché, et deux variables redondantes se partagent l'importance de façon arbitraire. La colonne de permutation confirme le classement, avec une concentration encore plus marquée sur la superficie (accroissement de l'erreur quadratique de 0,0348, quatre fois l'erreur de base de 0,0087), ce qui signifie que la superficie est la seule variable sans substitut dans le modèle. L'essaim montre le sens des effets : les grandes superficies à droite, les âges élevés à gauche, les ventes récentes à droite ; la coloration de la longitude est révélatrice, les longitudes les plus à l'est (Buckingham et Masson-Angers) ayant des valeurs SHAP négatives et les plus à l'ouest (Aylmer) positives, de sorte que la variable « longitude » est devenue, dans ce modèle, le codage de la prime de secteur. La \cref{fig:37:pdp} trace la dépendance partielle de la superficie et de l'âge pour l'hédonique, la forêt, le boosting et la loi de génération elle-même, toutes centrées. Pour la superficie, les trois modèles suivent la courbe vraie à moins de quatre points de logarithme près sur tout le support ; la forêt s'aplatit aux extrémités, au-dessous de \msq{100} et au-dessus de \msq{220}, où elle n'a presque plus de ventes et où ses feuilles moyennent des maisons de tailles différentes, ce qui est la source de sa régressivité. Pour l'âge, le boosting reproduit la courbe en U très ouvert du polynôme de génération, mais par paliers, et la forêt la lisse davantage. L'explicabilité joue ici son rôle de diagnostic : elle montre que le boosting a appris la bonne forme, qu'il n'a trouvé aucune interaction notable (la plus forte valeur d'interaction SHAP moyenne, superficie et latitude, vaut 0,003, soit un trentième de l'effet principal de la superficie), et donc qu'un modèle additif en logarithme est suffisant pour ce marché. C'est exactement la conclusion que le \cref{ch:18} tirait de ses diagnostics, obtenue ici sans écrire d'équation.
187+
188+\emph{Étape 5 : le sujet.} Le \cref{tab:37:sujet} rapporte la prédiction du sujet du cas 1, le cottage de \msq{165} construit en 1998 à Hull évalué au 1\ier{} septembre 2026, par chaque modèle estimé sur les 600 ventes. L'hédonique prédit \dollars{637953} avec la correction de Duan en échantillon du \cref{ch:18} (\dollars{638011} avec le facteur hors échantillon de ce chapitre) ; XGBoost prédit \dollars{613976}, le boosting \dollars{605825}, la forêt \dollars{586818} et l'arbre \dollars{549573}. Tous les modèles d'arbres se situent sous l'hédonique, de 3,8 à 13,9 \%, et l'ordre est celui de la souplesse des modèles. Deux mécanismes expliquent l'écart. Le premier est la compression vers la moyenne déjà vue : le sujet est une maison au-dessus de la médiane du marché (\dollars{479250}), vendue à la date la plus récente du jeu, et les feuilles qui le concernent moyennent des maisons un peu plus petites et un peu plus anciennes. Le second est temporel : la date d'évaluation, septembre 2026, est postérieure d'un mois à la dernière vente observée, et les modèles d'arbres lui appliquent la valeur de la feuille extrême du temps, où l'hédonique prolonge sa tendance ; la \cref{sec:37:exemple} a mesuré à quelques points de pourcentage ce que cette différence coûte sur les ventes de 2026. La \cref{fig:37:waterfall} donne la cascade SHAP du sujet pour le boosting, et le \cref{tab:37:sujet} en détaille les contributions. Partant de la vente moyenne à \dollars{476010}, la date de vente ajoute $+10{,}4$ \% ($\phi = 0{,}0986$), la superficie $+9{,}1$ \% (0,0871), l'âge, inférieur à la moyenne de 42 ans, $+3{,}3$ \% (0,0322), la longitude, celle de Hull, $+1{,}3$ \%, le garage, le type à étages et le sous-sol fini de $+0{,}6$ à $+0{,}8$ \% chacun, tandis que le terrain de \msq{620}, inférieur à la moyenne de \msq{683}, retranche $1{,}3$ \% ; la qualité moyenne, la latitude, l'absence de piscine et les indicatrices de secteur contribuent ensemble pour moins de 0,1 \%. La somme des $\phi_j$ est de 0,2391, et $\exp(13{,}0732 + 0{,}2391) = \dollars{604595}$ est la prédiction brute, que le facteur de Duan de 1,0020 porte à \dollars{605825} : l'axiome d'efficacité est vérifié à $10^{-13}$ près par le script. La comparaison avec le \cref{tab:18:prix-implicites} est éclairante. Le modèle hédonique dit que le garage \emph{vaut} \dollars{21031} au sujet, parce que son coefficient est un prix implicite marginal ; la cascade SHAP dit que le garage \emph{contribue} pour $+0{,}8$ \%, soit environ \dollars{4800}, à l'écart entre le sujet et la vente moyenne, parce que la vente moyenne a déjà 0,7 place de garage et que la contribution est mesurée par rapport à elle. Les deux lectures sont correctes et ne répondent pas à la même question ; confondre une valeur SHAP avec un ajustement de grille est l'erreur la plus fréquente dans l'usage de ces outils en évaluation.
189+\end{exemple}
190+
191+\begin{table}[htbp]
192+\caption{Cinq modèles sur les 600 ventes du cas 1 : performance hors échantillon selon trois schémas de validation (données synthétiques)}\label{tab:37:comparaison}
193+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
194+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.4] S[table-format=5.0] S[table-format=2.2] S[table-format=2.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.4] S[table-format=2.2] S[table-format=1.4] S[table-format=-1.3] S[table-format=2.2]@{}}
195+\toprule
196+ & \multicolumn{6}{c}{Plis aléatoires (10)} & \multicolumn{2}{c}{Blocs spatiaux (10)} & \multicolumn{3}{c}{Prospectif (2026, $n = 101$)} \\
197+\cmidrule(lr){2-7}\cmidrule(lr){8-9}\cmidrule(lr){10-12}
198+Modèle & {RMSE$_{\ln}$} & {RMSE (\$)} & {MdAPE (\%)} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {RMSE$_{\ln}$} & {COD} & {RMSE$_{\ln}$} & {Biais} & {COD} \\
199+\midrule
200+Hédonique (référence) & 0.0839 & 40889 & 5.68 & 6.83 & 1.007 & -0.059 & 0.0857 & 7.00 & 0.0855 & -0.010 & 6.96 \\
201+Arbre (profondeur 3) & 0.1468 & 70779 & 9.85 & 11.63 & 1.021 & -0.228 & 0.1537 & 12.12 & 0.1737 & -0.085 & 12.35 \\
202+Forêt aléatoire & 0.1067 & 52058 & 7.52 & 8.64 & 1.015 & -0.196 & 0.1120 & 8.96 & 0.1283 & -0.060 & 9.47 \\
203+Gradient boosting & 0.0931 & 45644 & 6.22 & 7.42 & 1.009 & -0.088 & 0.0967 & 7.62 & 0.0950 & -0.034 & 7.41 \\
204+XGBoost & 0.0921 & 45221 & 6.09 & 7.33 & 1.009 & -0.081 & 0.0948 & 7.53 & 0.0937 & -0.029 & 7.50 \\
205+\bottomrule
206+\end{tabular}
207+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py} ; plis aléatoires identiques à ceux du \cref{ch:18}}. RMSE$_{\ln}$ : racine de l'erreur quadratique moyenne du logarithme ; RMSE (\$) après retransformation de Duan (facteur hors échantillon) ; biais : erreur moyenne du logarithme. Hyperparamètres au \cref{tab:37:familles}.}
208+\end{table}
209+
210+\begin{figure}[htbp]
211+\centering
212+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-erreurs.pdf}
213+\caption{Distribution des erreurs de prédiction hors échantillon (en pourcentage du prix observé) des cinq modèles, pour les trois schémas de validation ; le COD figure au-dessus de chaque boîte. Les boîtes s'élargissent de l'hédonique à l'arbre ; en validation prospective, les médianes des modèles d'arbres glissent sous zéro parce qu'ils ne prolongent pas la tendance du marché.}\label{fig:37:erreurs}
214+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
215+\end{figure}
216+
217+\begin{figure}[htbp]
218+\centering
219+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-predit-observe.pdf}
220+\caption{Prix prédit hors échantillon (plis aléatoires, correction de Duan) contre prix observé pour l'hédonique de référence, la forêt aléatoire et le gradient boosting, avec la diagonale et les bandes à $\pm 18$ \%. Le nuage de la forêt est le plus large et s'incurve aux extrémités, signe de la compression des prédictions vers la moyenne que mesure son PRB.}\label{fig:37:predit-observe}
221+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
222+\end{figure}
223+
224+\begin{table}[htbp]
225+\caption{Validation prospective (ventes de 2026 prédites à partir de 2023-2025) : l'extrapolation temporelle et ses remèdes (données synthétiques)}\label{tab:37:temporel}
226+\centering\small
227+\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Y S[table-format=1.4] S[table-format=-2.1] S[table-format=1.3] S[table-format=2.2]@{}}
228+\toprule
229+Modèle ($n_{\text{test}} = 101$) & {RMSE$_{\ln}$} & {Biais (\%)} & {Ratio médian} & {COD} \\
230+\midrule
231+Hédonique de référence (tendance linéaire prolongée) & 0.0855 & -1.0 & 0.988 & 6.96 \\
232+Gradient boosting, feuilles $\ge 5$ (référence) & 0.0950 & -3.4 & 0.966 & 7.41 \\
233+Gradient boosting, feuilles $\ge 1$ & 0.1631 & -13.4 & {---} & 8.02 \\
234+Gradient boosting détendancé ($\ln P - \hat\beta_{\text{mois}}\,\text{mois}$, tendance rajoutée) & 0.0928 & -1.8 & {---} & 7.44 \\
235+Forêt aléatoire & 0.1283 & -6.0 & 0.934 & 9.47 \\
236+Arbre (profondeur 3) & 0.1737 & -8.5 & 0.931 & 12.35 \\
237+\bottomrule
238+\end{tabularx}
239+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Biais : erreur moyenne du logarithme, en points de pourcentage ; $\hat\beta_{\text{mois}} = 0{,}00342$ estimé sur les 499 ventes de 2023-2025 ; 14 ventes d'apprentissage sont postérieures au dix-septième mois.}
240+\end{table}
241+
242+\begin{table}[htbp]
243+\caption{Un secteur exclu à la fois : biais moyen de la prédiction (points de pourcentage du logarithme) et COD global (données synthétiques)}\label{tab:37:secteurs}
244+\centering\small
245+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=2.2]@{}}
246+\toprule
247+Modèle & {Hull} & {Gatineau} & {Aylmer} & {Buckingham} & {Masson-Angers} & {COD} \\
248+\midrule
249+Hédonique (secteur exclu prédit au niveau de référence) & -2.3 & 1.1 & -5.9 & 23.4 & 26.1 & 10.44 \\
250+Arbre (profondeur 3) & -1.2 & -20.7 & -6.7 & -2.5 & 12.9 & 15.65 \\
251+Forêt aléatoire & -1.0 & -4.9 & -8.5 & 2.5 & 12.8 & 10.21 \\
252+Gradient boosting & 1.3 & -6.8 & -7.1 & -0.6 & 7.2 & 8.59 \\
253+XGBoost & 1.0 & -6.7 & -8.3 & -2.2 & 10.2 & 8.87 \\
254+\midrule
255+Prime de secteur vraie (log, par rapport à Hull) & 0.0 & -2.1 & 11.0 & -18.4 & -20.4 & {} \\
256+\bottomrule
257+\end{tabular}
258+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Hédonique : l'indicatrice du secteur exclu est retirée et le secteur est prédit comme Hull (ou comme Gatineau lorsque Hull est exclu) ; les biais de Buckingham et de Masson-Angers sont, au bruit près, l'opposé des primes omises.}
259+\end{table}
260+
261+\begin{figure}[htbp]
262+\centering
263+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-shap-beeswarm.pdf}
264+\caption{Valeurs SHAP (TreeSHAP) des 600 ventes pour le gradient boosting estimé sur l'ensemble du jeu, onze variables les plus importantes, classées par la moyenne de $\abs{\phi}$ (colonne de droite, en points de pourcentage du logarithme) ; chaque point est une vente, colorée selon la valeur de la variable. La superficie domine ; la longitude et la distance au centre ont absorbé les primes de secteur, dont les indicatrices n'apparaissent pas.}\label{fig:37:beeswarm}
265+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
266+\end{figure}
267+
268+\begin{table}[htbp]
269+\caption{Importance des variables dans le gradient boosting : moyenne de $\abs{\phi}$ (SHAP) et importance par permutation hors échantillon (données synthétiques)}\label{tab:37:importances}
270+\centering\small
271+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.4] S[table-format=1.4] S[table-format=1.4] l@{}}
272+\toprule
273+Variable & {SHAP, moy. $\abs{\phi}$} & {Permutation, $\Delta$EQM} & {Forêt : $\Delta$EQM} & Lecture \\
274+\midrule
275+Superficie habitable & 0.1110 & 0.0348 & 0.0300 & dominante et sans substitut \\
276+Âge & 0.0432 & 0.0061 & 0.0037 & courbe en U très ouvert \\
277+Mois de vente & 0.0395 & 0.0046 & 0.0033 & tendance, apprise par paliers \\
278+Longitude & 0.0323 & 0.0042 & 0.0027 & codage est-ouest des secteurs \\
279+Qualité & 0.0312 & 0.0042 & 0.0013 & effet proportionnel \\
280+Distance au centre & 0.0274 & 0.0028 & 0.0023 & redondante avec les coordonnées \\
281+Latitude & 0.0271 & 0.0039 & 0.0031 & idem \\
282+Terrain & 0.0204 & 0.0019 & 0.0013 & élasticité faible \\
283+Garage & 0.0154 & {$<$ 0,002} & {$<$ 0,002} & \\
284+Type à étages ; sous-sol ; piscine & {0,0097 ; 0,0076 ; 0,0038} & {$<$ 0,002} & {$<$ 0,002} & \\
285+Indicatrices de secteur (5) & {$\le$ 0,0016} & {$\approx$ 0} & {$\approx$ 0} & absorbées par lat., long., distance \\
286+\bottomrule
287+\end{tabular}
288+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Permutation : accroissement de l'erreur quadratique moyenne du logarithme en validation croisée à dix plis, dix permutations par pli ; erreur de base 0,0087 (boosting) et 0,0114 (forêt).}
289+\end{table}
290+
291+\begin{figure}[htbp]
292+\centering
293+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-pdp.pdf}
294+\caption{Dépendance partielle du logarithme du prix, centrée, selon la superficie habitable (gauche) et l'âge (centre) pour l'hédonique de référence, la forêt aléatoire, le gradient boosting et la loi de génération ; à droite, l'âge dans le scénario non linéaire de la \cref{sec:37:scenario}, où la loi contient un « mur » de $-10$ \% entre 25 et 45 ans et une prime de $+12$ \% pour les maisons de qualité élevée de plus de 40 ans : le boosting suit la rupture, le polynôme hédonique ne le peut pas. Les traits sous les courbes marquent les vingtiles de la distribution observée.}\label{fig:37:pdp}
295+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
296+\end{figure}
297+
298+\begin{table}[htbp]
299+\caption{Prédiction du sujet du cas 1 par chaque modèle et cascade SHAP du gradient boosting (données synthétiques)}\label{tab:37:sujet}
300+\centering\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
301+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.4] S[table-format=6.0] S[table-format=1.4] S[table-format=6.0] S[table-format=-2.1]@{}}
302+\toprule
303+Modèle (estimé sur 600 ventes) & {$\ln \hat P$} & {$\exp(\ln\hat P)$ (\$)} & {Facteur} & {Prédiction (\$)} & {Écart à l'hédonique (\%)} \\
304+\midrule
305+Hédonique (référence, \cref{ch:18}) & 13.3627 & 635821 & 1.0034 & 637953 & 0.0 \\
306+XGBoost & 13.3244 & 611957 & 1.0033 & 613976 & -3.8 \\
307+Gradient boosting & 13.3123 & 604595 & 1.0020 & 605825 & -5.0 \\
308+Forêt aléatoire & 13.2776 & 583938 & 1.0049 & 586818 & -8.0 \\
309+Arbre (profondeur 3) & 13.2092 & 545332 & 1.0078 & 549573 & -13.9 \\
310+\midrule
311+\multicolumn{6}{@{}l}{\emph{Cascade SHAP du gradient boosting} (base $\phi_0 = 13{,}0732$, soit \dollars{476010})} \\
312+Contribution & {$\phi_j$} & {Effet (\%)} & {} & {Cumul (\$)} & {} \\
313+\midrule
314+Mois de vente (septembre 2026) & 0.0986 & 10.4 & {} & 525340 & {} \\
315+Superficie habitable (165 m²) & 0.0871 & 9.1 & {} & 573148 & {} \\
316+Âge (28 ans) & 0.0322 & 3.3 & {} & 591904 & {} \\
317+Longitude (Hull) & 0.0132 & 1.3 & {} & 599769 & {} \\
318+Terrain (620 m²) & -0.0127 & -1.3 & {} & 592200 & {} \\
319+Garage (1 place) & 0.0081 & 0.8 & {} & 597016 & {} \\
320+Type à étages & 0.0075 & 0.8 & {} & 601511 & {} \\
321+Sous-sol fini & 0.0056 & 0.6 & {} & 604889 & {} \\
322+Autres (qualité, latitude, piscine, distance, secteurs) & -0.0005 & -0.1 & {} & 604595 & {} \\
323+\bottomrule
324+\end{tabular}
325+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Facteur : correction de Duan (en échantillon pour l'hédonique, comme au \cref{ch:18} ; hors échantillon pour les autres). Effet : $100\,[\exp(\phi_j) - 1]$ ; cumul : $\exp(\phi_0 + \sum \phi)$ après chaque contribution, avant le facteur de Duan.}
326+\end{table}
327+
328+\begin{figure}[htbp]
329+\centering
330+\includegraphics[width=\textwidth]{ch37/ch37-fig-waterfall.pdf}
331+\caption{Cascade SHAP de la prédiction du sujet du cas 1 par le gradient boosting, en dollars : depuis la vente moyenne du jeu (base, \dollars{476010}), chaque variable multiplie le prix par $\exp(\phi_j)$ ; la date d'évaluation et la superficie expliquent l'essentiel de l'écart, le terrain plus petit que la moyenne retranche 1,3 \%. La prédiction brute, \dollars{604595}, reçoit ensuite le facteur de Duan.}\label{fig:37:waterfall}
332+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch37\_figures.py}, graine 20261031}.}
333+\end{figure}
334+
335+\section{Quand l'apprentissage gagne : une non-linéarité déclarée}\label{sec:37:scenario}
336+
337+L'exemple intégral enseigne qu'un modèle économétrique bien spécifié est la référence à battre, non l'inverse, et qu'un modèle souple paie en variance la souplesse dont il n'a pas l'usage. Il faut aussitôt montrer le cas contraire, celui où la forme vraie n'est pas celle que l'analyste a écrite, sans quoi la leçon serait fausse. Pour cela, le script ajoute à la loi de génération deux termes déclarés, choisis pour être plausibles et impossibles à représenter dans la spécification du \cref{ch:18} : une \emph{prime « patrimoine rénové »} de $+0{,}12$ en logarithme pour les maisons de qualité 4 ou 5 âgées de 40 ans et plus, soit une interaction entre la qualité et l'âge, qui touche 76 ventes ; et un \emph{« mur de la mi-vie »} de $-0{,}10$ pour les maisons de 25 à 45 ans, une rupture qui représente la période où toiture, fenêtres et systèmes arrivent en fin de vie sans que la maison soit encore « ancienne », et qui touche 235 ventes. Le nouveau logarithme du prix est $\ln P^{\dagger} = \ln P + 0{,}12\cdot\mathbb{1}[\text{qualité} \ge 4,\ \text{âge} \ge 40] - 0{,}10\cdot\mathbb{1}[25 \le \text{âge} \le 45]$, et les mêmes modèles sont réestimés sur les mêmes dix plis.
338+
339+\begin{table}[htbp]
340+\caption{Scénario non linéaire : validation croisée aléatoire des modèles sur $\ln P^{\dagger}$ (données synthétiques perturbées par une interaction et une rupture déclarées)}\label{tab:37:scenario}
341+\centering\small
342+\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}Y S[table-format=1.4] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=-1.3]@{}}
343+\toprule
344+Modèle & {RMSE$_{\ln}$} & {MdAPE (\%)} & {COD} & {PRB} \\
345+\midrule
346+Hédonique de référence (spécification du \cref{ch:18}, désormais mal spécifiée) & 0.1003 & 6.96 & 8.15 & -0.079 \\
347+Forêt aléatoire & 0.1145 & 7.54 & 9.17 & -0.208 \\
348+Gradient boosting (profondeur 2) & 0.0944 & 6.26 & 7.46 & -0.083 \\
349+XGBoost (profondeur 2) & 0.0932 & 6.17 & 7.40 & -0.081 \\
350+Hédonique respécifié (deux indicatrices ajoutées) & 0.0841 & 5.62 & 6.85 & -0.054 \\
351+\bottomrule
352+\end{tabularx}
353+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Coefficients du modèle respécifié : prime 0,129 (e.-t. HC1 0,012 ; vrai 0,12), mur $-0{,}092$ (0,008 ; vrai $-0{,}10$) ; $\hat\sigma = 0{,}083$, $R^2 = 0{,}864$.}
354+\end{table}
355+
356+Le \cref{tab:37:scenario} renverse le classement. L'hédonique de référence, dont le polynôme d'âge ne peut ni creuser un mur de 20 ans ni réserver une prime aux maisons de qualité élevée, voit son erreur monter de 0,084 à 0,100 et son COD de 6,83 à 8,15 ; les deux algorithmes de boosting, dont les arbres de profondeur 2 représentent exactement une interaction de deux variables et des seuils sur l'âge, restent à 0,094 et 0,093 (COD 7,46 et 7,40) et battent désormais la régression de sept dixièmes de point de COD ; la forêt, trop lissée, reste derrière. La \cref{fig:37:pdp} (droite) montre pourquoi : la dépendance partielle de l'âge du boosting dessine le creux entre 25 et 45 ans que la loi de génération contient, tandis que le polynôme de l'hédonique passe en travers. L'interaction est tout aussi visible dans les valeurs d'interaction SHAP, où la paire âge-qualité, absente du classement dans le cas de base, devient la première avec une valeur moyenne de 0,0068, le double de la suivante. C'est ici que l'explicabilité prend sa pleine utilité pour l'évaluateur : elle ne sert pas seulement à justifier la prédiction d'une boîte noire, elle indique \emph{quoi} ajouter au modèle économétrique. La dernière ligne du tableau en est la preuve. L'hédonique respécifié avec les deux indicatrices que la dépendance partielle et les interactions SHAP suggèrent retrouve une erreur de 0,084 et un COD de 6,85, identiques à ceux du cas de base, et estime la prime à 0,129 (erreur-type 0,012) et le mur à $-0{,}092$ (0,008), les deux paramètres vrais, 0,12 et $-0{,}10$, étant dans les intervalles de confiance. Il bat à nouveau le boosting, pour la même raison qu'à la \cref{sec:37:exemple} : une fois la forme connue, l'estimateur paramétrique n'a plus de biais et a la plus petite variance. L'enseignement est donc double. Sur un marché dont la structure est bien comprise et additive en logarithme, la régression hédonique soigneusement spécifiée et diagnostiquée demeure le meilleur outil, et de loin le plus défendable. Lorsque la structure est inconnue, non linéaire ou traversée d'interactions, ce qui est fréquent sur des marchés hétérogènes ou des types d'immeubles mal documentés, le boosting la découvre sans qu'on la lui décrive, et l'explicabilité permet d'en faire une hypothèse économétrique testable. \textcite{mayerBourassaHoesliScognamiglio2019} sont parvenus à une conclusion voisine en comparant, sur un grand échantillon suisse, des méthodes d'estimation et de mise à jour hédoniques au gradient boosting : le boosting l'emporte en précision lorsque les données sont riches et la structure complexe, et les modèles économétriques restent compétitifs et plus stables dans le temps. \textcite{mccluskey2013} avaient, plus tôt, mis en garde contre la généralisation hâtive d'un gain de précision obtenu sur un seul jeu : la comparaison doit être refaite sur chaque marché, avec une validation adaptée à l'usage.
357+
358+\section{Les modèles d'évaluation automatisés et les normes}\label{sec:37:avm}
359+
360+Un \motcle{modèle d'évaluation automatisé} (AVM, \emph{automated valuation model}) est un système qui produit une estimation de valeur à partir d'une base de données et d'un modèle statistique, sans inspection ni intervention humaine sur chaque immeuble ; les méthodes de ce chapitre en sont aujourd'hui le moteur le plus courant, aux côtés des modèles hédoniques et des modèles de comparables automatisés. L'IAAO leur consacre une norme spécifique, le \emph{Standard on Automated Valuation Models}, révisée en 2018 \parencite{iaaoavm2018}, qui complète le \emph{Standard on Mass Appraisal of Real Property}, révisé en 2025 \parencite{iaaomass2025}, et qui renvoie au \emph{Standard on Ratio Studies} \parencite{iaaoratio2013} pour les seuils de qualité. Sans reproduire ces documents, protégés, on peut en résumer la logique telle qu'elle a été consultée le 31 octobre 2026. La norme sur les AVM traite de la qualité des données d'entrée et de leur nettoyage (\cref{ch:14}), de la spécification et de la calibration du modèle, de sa documentation, et surtout de l'évaluation de sa performance, pour laquelle elle recommande les statistiques de ratio, le COD comme mesure de variabilité et le PRD et le PRB, assortis d'intervalles de confiance, comme mesures d'équité verticale ; elle insiste sur le fait que ces statistiques doivent être calculées sur des ventes que le modèle n'a pas utilisées pour sa calibration, ce qui est la validation hors échantillon de la \cref{sec:37:validation}, et sur la nécessité de les stratifier par type d'immeuble, par secteur et par tranche de valeur. Les seuils sont ceux du \cref{tab:18:ratios} : un COD de 5,0 à 10,0 pour l'unifamilial de secteurs homogènes, de 5,0 à 15,0 pour les secteurs hétérogènes, un PRD de 0,98 à 1,03 et un PRB entre $-0{,}05$ et $+0{,}05$. Mesurés à cette aune, les résultats de l'exemple sont parlants : tous les modèles d'ensemble ont un COD dans la plage la plus exigeante, mais la forêt aléatoire a un PRD de 1,015 et un PRB de $-0{,}196$ en validation aléatoire, hors des plages, et le boosting un PRB de $-0{,}088$, également hors de la plage ; seul l'hédonique s'en approche, et encore avec l'artefact que le \cref{ch:18} a expliqué. La régressivité des modèles d'arbres n'est donc pas un détail technique : c'est, du point de vue de la norme, leur principal défaut, et un AVM fondé sur une forêt devrait en être corrigé, par exemple par une calibration de second stade qui régresse les prix observés sur les prédictions hors échantillon et redresse la pente.
361+
362+Du côté des normes professionnelles, le cadre est celui du \cref{ch:10}. Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent que l'évaluateur justifie le rejet d'une méthode traditionnelle et expose tout écart avec les directives (règle 2.3, éléments 10 et 11) \parencite{oeaqNormes}, ce qui signifie qu'un AVM ne remplace pas les méthodes de la partie IV à VI dans un rapport mais peut les appuyer, et que son emploi, ses données, sa validation et ses limites doivent être décrits. Les normes canadiennes CUSPAP 2026 comportent une norme d'évaluation de masse \parencite{cuspap2026}, et les normes internationales en vigueur depuis le 31 janvier 2025 \parencite{ivs2025} comme le Red Book de la RICS, dont la section VPS~5 porte sur les modèles d'évaluation, convergent vers la même exigence : l'évaluateur reste responsable de la valeur qu'il signe, quel que soit l'outil, et doit comprendre et pouvoir expliquer le modèle qu'il utilise. \textcite{boginShui2020} ont comparé, sur des prêts hypothécaires américains, la précision des évaluations traditionnelles et des AVM en zones rurales, où les ventes sont rares et hétérogènes, et ont trouvé que les deux se dégradent mais que les AVM se dégradent davantage : c'est, à grande échelle, la leçon de l'exclusion d'un secteur de la \cref{sec:37:exemple}. L'usage raisonnable d'un AVM, pour l'évaluateur québécois, est triple : comme indication de valeur supplémentaire à réconcilier (\cref{ch:20}), avec son intervalle et sa validation ; comme outil de contrôle de la cohérence d'un rôle ou d'un portefeuille (\cref{ch:48}) ; et comme instrument de détection de la structure du marché, par l'explicabilité, pour mieux spécifier les modèles que l'on signe.
363+
364+\begin{quebec}[Modèles, rôle d'évaluation et contestation]
365+Le rôle d'évaluation foncière québécois est, par nature, une évaluation de masse (\cref{ch:09}). Le Manuel d'évaluation foncière du Québec consacre sa partie 3 au processus d'évaluation, dont les étapes d'analyse du marché et de modélisation \parencite{mefqpartie3} ; son contenu est protégé et n'est pas reproduit ici, et rien dans les textes consultés n'impose ni n'interdit une famille particulière de modèles statistiques : la loi fixe des exigences de résultat, la proportion médiane de 95 à 105 \% et le plafond de l'écart type relatif du Règlement sur le rôle (\cref{sec:9:masse}), non de moyens. Un modèle d'arbres peut donc servir à équilibrer un rôle, mais son résultat est jugé par les mêmes statistiques que tout autre, et l'exemple a montré qu'il faut y surveiller la régressivité. La question de l'opacité se pose en contestation. La Loi sur la fiscalité municipale ouvre un recours devant le Tribunal administratif du Québec après la demande de révision (art.~138.5), et le Tribunal, qui « peut fixer une valeur inférieure ou supérieure à celles proposées par les parties », inscrit au rôle la valeur réelle divisée par le facteur du rôle (art.~147) \parencite{lfm}. Dans ce cadre, une valeur produite par un modèle n'a la force que de la preuve qui l'accompagne : l'évaluateur qui s'appuie sur un modèle, qu'il soit hédonique ou d'apprentissage, doit pouvoir en exposer les données, la spécification ou les hyperparamètres, la validation et l'application au sujet, et répondre à la question de l'expert adverse ; une cascade SHAP et une dépendance partielle sont des réponses, un score de « confiance » propriétaire n'en est pas une. Les auteurs de ce chapitre n'ont identifié, par recherche documentaire, aucune décision du Tribunal portant spécifiquement sur l'admissibilité d'un modèle d'apprentissage automatique en matière d'évaluation foncière ; cette absence est signalée comme non vérifiée et non comme une règle. Textes de loi consultés sur LégisQuébec le 31 octobre 2026 (LFM à jour au 15 octobre 2026).
366+\end{quebec}
367+
368+\section{Analyse de sensibilité : les hyperparamètres}\label{sec:37:sensibilite}
369+
370+Les conclusions de l'exemple dépendent-elles des hyperparamètres retenus ? Le \cref{tab:37:sensibilite} réestime le boosting et la forêt sous treize réglages, toujours sur les mêmes dix plis. Pour le boosting, la profondeur est le réglage décisif, et le résultat est remarquable : les \emph{souches}, arbres de profondeur 1 qui produisent un modèle strictement additif, donnent la plus petite erreur de toute la grille, 0,0887 (COD 7,22), devant la profondeur 2 (0,0931), 3 (0,0970) et 4 (0,0984). La loi de génération étant additive en logarithme, tout degré d'interaction supplémentaire est de la variance pure, et le boosting le confirme sans qu'on le lui dise ; sur le scénario non linéaire de la \cref{sec:37:scenario}, la profondeur 2 l'emporterait au contraire, parce que l'interaction âge-qualité exige deux niveaux. Le nombre d'arbres interagit avec le taux d'apprentissage : à $\nu = 0{,}03$, 300 arbres sous-ajustent (0,0977), 1 200 sont près de l'optimum de la courbe d'apprentissage et 3 000 surajustent légèrement (0,0962) ; à $\nu = 0{,}10$, 1 200 arbres surajustent nettement (0,0988), et l'équivalence approximative « $\nu$ fois $M$ constant » que suggère l'\cref{eq:37:boosting} se vérifie, le produit étant de 36 dans le meilleur réglage. Le sous-échantillonnage à 80 \% améliore marginalement (0,0931 contre 0,0941 sans), et la taille minimale des feuilles ne change rien en validation aléatoire (0,0931 pour 1 comme pour 5), alors qu'elle décidait du biais prospectif au \cref{tab:37:temporel} : c'est l'illustration la plus nette de ce qu'une validation mesure ce qu'on lui demande de mesurer et rien d'autre. Pour la forêt, le nombre de variables par division compte peu entre 50 et 100 \% (0,1067 contre 0,1074) et un tiers des variables avec des feuilles de cinq dégrade (0,1151) ; cent arbres suffisent (0,1065), ce qui confirme que $B$ n'est pas un paramètre de surapprentissage. Aucun réglage de la forêt ne descend sous 0,105 et aucun réglage du boosting sous 0,088 : l'hédonique, à 0,084, n'est jamais rejoint. La sensibilité des conclusions aux hyperparamètres est donc faible pour l'ordre des modèles et forte pour le comportement aux bords ; l'évaluateur qui reçoit un AVM doit demander ses hyperparamètres et la courbe de validation qui les justifie.
371+
372+\begin{table}[htbp]
373+\caption{Sensibilité aux hyperparamètres : boosting et forêt aléatoire en validation croisée aléatoire à dix plis (données synthétiques)}\label{tab:37:sensibilite}
374+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
375+\begin{tabular}{@{}l c S[table-format=4.0] S[table-format=1.2] c c l S[table-format=1.4] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=-1.3]@{}}
376+\toprule
377+Modèle & Profondeur & {Arbres} & {$\nu$} & Feuille min. & Sous-éch. & Variables & {RMSE$_{\ln}$} & {MdAPE (\%)} & {COD} & {PRB} \\
378+\midrule
379+Boosting & 1 (souches) & 1200 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0887 & 6.16 & 7.22 & -0.090 \\
380+Boosting & 2 & 300 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0977 & 6.93 & 7.88 & -0.158 \\
381+Boosting (référence) & 2 & 1200 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0931 & 6.22 & 7.42 & -0.088 \\
382+Boosting & 2 & 3000 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0962 & 6.29 & 7.67 & -0.072 \\
383+Boosting & 3 & 1200 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0970 & 6.38 & 7.77 & -0.081 \\
384+Boosting & 4 & 1200 & 0.03 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0984 & 6.66 & 7.90 & -0.090 \\
385+Boosting & 2 & 1200 & 0.10 & 5 & 80 \% & toutes & 0.0988 & 6.43 & 7.79 & -0.066 \\
386+Boosting & 2 & 1200 & 0.03 & 1 & 80 \% & toutes & 0.0931 & 6.26 & 7.42 & -0.088 \\
387+Boosting & 2 & 1200 & 0.03 & 5 & 100 \% & toutes & 0.0941 & 6.22 & 7.52 & -0.091 \\
388+Forêt & max. & 500 & {---} & 1 & bootstrap & 100 \% & 0.1074 & 7.79 & 8.69 & -0.166 \\
389+Forêt (référence) & max. & 500 & {---} & 2 & bootstrap & 50 \% & 0.1067 & 7.52 & 8.64 & -0.196 \\
390+Forêt & max. & 500 & {---} & 5 & bootstrap & 33 \% & 0.1151 & 7.84 & 9.32 & -0.272 \\
391+Forêt & max. & 100 & {---} & 2 & bootstrap & 50 \% & 0.1065 & 7.52 & 8.58 & -0.194 \\
392+\midrule
393+Hédonique de référence & \multicolumn{6}{l}{16 paramètres, semi-log, MCO} & 0.0839 & 5.68 & 6.83 & -0.059 \\
394+\bottomrule
395+\end{tabular}
396+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py}}. Scikit-learn 1.6 ; graine 20261031 pour le sous-échantillonnage, le bootstrap et le tirage des variables.}
397+\end{table}
398+
399+\section{Limites : support, dérive, équité, opacité}\label{sec:37:limites}
400+
401+Quatre limites bornent l'usage des modèles d'apprentissage en évaluation, et chacune a été touchée du doigt dans l'exemple. La première est l'\emph{extrapolation hors support}. Un modèle d'arbres prédit une constante au-delà de la plus grande valeur observée de chaque variable, et cette constante est estimée sur les quelques observations de la feuille extrême ; la validation prospective l'a montré pour le temps, l'exclusion d'un secteur pour l'espace, et il en va de même pour une maison de \msq{300} dans un échantillon qui s'arrête à \msq{278}, ou pour un immeuble de qualité exceptionnelle. Le modèle hédonique extrapole aussi, mais selon une forme déclarée, que l'analyste peut juger ; le modèle d'arbres extrapole selon un plateau que rien ne justifie. La règle du \cref{ch:16} selon laquelle on ne prédit pas hors du nuage des ventes vaut davantage encore ici, et l'intervalle de prédiction, que les modèles d'arbres ne fournissent pas naturellement et qu'il faut construire par bootstrap, par quantiles ou par les méthodes conformes, ne s'élargit pas de lui-même au bord du support comme le fait celui de l'\cref{eq:18:intervalle}. La deuxième limite est la \emph{dérive} (\emph{drift}) : un modèle estimé à une date décrit le marché de cette date, et les relations entre caractéristiques et prix changent, le temps étant l'exemple le plus simple mais non le seul, les primes de secteur, la valeur d'un sous-sol ou d'une piscine évoluant aussi. Un AVM en production doit être réestimé et revalidé à intervalles réguliers, et surveillé entre deux réestimations par les statistiques de ratio sur les ventes nouvelles ; une baisse de la médiane des ratios de 0,99 à 0,97, comme celle que le boosting subit en huit mois dans la validation prospective, doit déclencher une mise à jour. La troisième limite est l'\emph{équité}. Un modèle qui apprend des prix apprend tout ce qui est dans les prix, y compris, sur des données réelles, les écarts de prix liés à la composition sociale ou ethnique des quartiers, et il les reproduit ; des variables en apparence neutres, les coordonnées, la distance au centre, le code postal, la valeur au rôle, en sont des substituts efficaces, comme l'exemple l'a montré pour les secteurs, et retirer une variable sensible ne retire pas l'information qu'elle porte. L'évaluation foncière vise une valeur de marché qui reflète ces écarts lorsqu'ils existent ; mais un modèle régressif, qui sous-évalue systématiquement les immeubles chers et surévalue les modestes, transfère la charge fiscale des premiers vers les seconds, et c'est précisément ce que le PRD et le PRB mesurent et ce que l'IAAO interdit. L'équité d'un modèle n'est pas un supplément d'éthique ; elle est une statistique de ratio par strate, que le concepteur doit calculer et publier. La quatrième limite est l'\emph{opacité}. Un modèle de 1 200 arbres n'est pas lisible, et les outils de la \cref{sec:37:explicabilite} décrivent ce qu'il fait, non pourquoi le marché fait ce qu'il fait : la longitude qui « explique » 3 points de logarithme dans la cascade du sujet ne signifie pas que les acheteurs paient pour la longitude, mais que le modèle a codé Hull ainsi. Devant un tribunal ou un client, cette distinction entre explication du modèle et explication du marché doit être faite explicitement, et le modèle économétrique, dont chaque coefficient est un prix implicite interprétable et testable, reste l'outil de la preuve. Le meilleur usage des deux est celui que la \cref{sec:37:scenario} a illustré : le modèle souple pour découvrir, le modèle paramétrique pour établir.
402+
403+\begin{pratique}
404+Un modèle d'apprentissage déposé à l'appui d'une conclusion de valeur, ou reçu d'un tiers, doit être accompagné au minimum de : la description des données (source, période, filtres, nombre de ventes retirées, variables et leur construction, traitement des valeurs manquantes) ; la famille de modèle et ses hyperparamètres, avec la courbe de validation qui les justifie ; les métriques hors échantillon, par un schéma de validation adapté à l'usage (aléatoire pour l'interpolation dans un marché documenté, spatial par blocs ou par secteur pour la prédiction dans un secteur peu documenté, prospectif pour l'usage courant), avec le COD, le PRD et le PRB par strate ; la méthode de retransformation et de mise à jour temporelle ; l'importance des variables, la dépendance partielle des variables principales et la cascade des contributions pour le sujet ; les cas où le sujet sort du support des données d'apprentissage ; et le code ou sa description exacte. Un modèle dont on ne connaît que la prédiction et un « score de confiance » n'est pas une preuve.
405+\end{pratique}
406+
407+\begin{erreurs}
408+\begin{itemize}
409+\item \emph{Juger un modèle à son erreur d'entraînement ou à son $R^2$ en échantillon.} Un boosting de profondeur 4 atteint une erreur d'entraînement de 0,012 pour une erreur de validation de 0,097 (\cref{fig:37:apprentissage}) ; seule l'erreur hors échantillon compte.
410+\item \emph{Valider par plis aléatoires un modèle utilisé de façon prospective ou dans un secteur peu documenté.} Les plis aléatoires surestiment la performance des modèles qui exploitent le voisinage et masquent l'incapacité des arbres à prolonger une tendance (\cref{tab:37:comparaison}).
411+\item \emph{Laisser le temps dans un modèle d'arbres sans traitement.} Le biais atteint $-3$ à $-13$ \% sur les ventes de l'année suivante selon la taille des feuilles ; détendancer ou indexer séparément (\cref{tab:37:temporel}).
412+\item \emph{Lire une valeur SHAP comme un ajustement de grille.} La contribution du garage dans la cascade du sujet ($+0{,}8$ \%) est mesurée par rapport à la vente moyenne, qui a déjà 0,7 place ; le prix implicite du garage reste celui du \cref{ch:18} (\dollars{21031}).
413+\item \emph{Conclure qu'une variable « ne compte pas » parce que son importance est nulle.} Les indicatrices de secteur ont une importance nulle alors qu'elles sont le mécanisme de la loi de génération : les coordonnées les ont remplacées.
414+\item \emph{Choisir les hyperparamètres sur les mêmes plis que ceux qui servent à rapporter la performance sans le dire.} C'est une fuite ; la validation imbriquée ou un jeu de test réservé l'évite, et le \cref{tab:37:sensibilite} doit être lu comme une analyse de sensibilité, non comme une sélection.
415+\item \emph{Ignorer la régressivité des modèles d'arbres.} Un COD dans la plage ne suffit pas ; le PRB de la forêt ($-0{,}196$) est très hors de la plage de l'IAAO.
416+\item \emph{Prendre l'explication du modèle pour une explication du marché.} La longitude ne vaut rien aux yeux d'un acheteur ; c'est le secteur qu'elle code.
417+\item \emph{Généraliser le résultat d'une comparaison.} L'hédonique gagne sur un marché additif, le boosting sur un marché à interactions ; la comparaison doit être refaite sur chaque jeu, avec le schéma de validation de l'usage prévu \parencite{mccluskey2013}.
418+\end{itemize}
419+\end{erreurs}
420+
421+\begin{limites}
422+\begin{itemize}
423+\item Les données sont synthétiques et engendrées par une loi semi-logarithmique additive avec un bruit normal homoscédastique et sans structure spatiale résiduelle ; la domination de l'hédonique dans l'exemple est la conséquence de cette construction et ne préjuge pas de l'ordre des modèles sur un marché réel, où la forme est inconnue. Le scénario non linéaire est tout aussi construit : ses deux termes sont des hypothèses pédagogiques, non des estimations.
424+\item Les hyperparamètres de référence ont été choisis d'après une grille évaluée sur les mêmes dix plis que ceux qui servent à rapporter la performance (\cref{tab:37:sensibilite}) ; l'optimisme qui en résulte est faible pour une grille de treize points mais n'est pas nul. Une validation imbriquée est laissée en exercice.
425+\item Les valeurs SHAP ont été calculées sur le gradient boosting de scikit-learn, la bibliothèque shap 0.48 ne lisant pas le format des modèles de xgboost 3.2 au moment d'écrire ; les deux algorithmes ont des performances très voisines et la lecture ne devrait pas en être affectée, mais elle n'a pas été vérifiée sur XGBoost.
426+\item Les blocs spatiaux sont des moitiés de secteur obtenues par les $k$-moyennes sur des coordonnées fictives ; d'autres découpages donneraient d'autres chiffres, et le choix du découpage fait partie des hypothèses d'une validation spatiale.
427+\item Les seuils de l'IAAO proviennent de l'édition 2013 du Standard on Ratio Studies, consultée sur une copie tierce alors qu'une révision était annoncée ; le Standard on AVMs a été consulté dans sa version révisée de 2018. Les règles québécoises citées (LFM art.~138.5 et 147) ont été lues sur LégisQuébec le 31 octobre 2026 ; l'absence de décision du TAQ sur l'admissibilité d'un modèle d'apprentissage est un constat de recherche documentaire, non vérifié par une recherche jurisprudentielle exhaustive.
428+\item Les intervalles de prédiction des modèles d'arbres (bootstrap, régression quantile, prédiction conforme) et les forêts causales de \textcite{wagerAthey2018} ne sont pas traités ; le \cref{ch:39} donne la version bayésienne de l'intervalle pour le modèle hédonique, et le \cref{ch:36} l'identification causale.
429+\end{itemize}
430+\end{limites}
431+
432+\begin{synthese}
433+\begin{itemize}
434+\item Prédire et estimer sont deux questions ; l'apprentissage supervisé minimise le risque de prédiction \eqref{eq:37:risque}, dont la décomposition biais-variance \eqref{eq:37:biais-variance} explique tout : les forêts réduisent la variance par moyennage \eqref{eq:37:variance-foret}, le boosting réduit le biais pas à pas par descente de gradient fonctionnelle \eqref{eq:37:boosting}-\eqref{eq:37:gradient}, XGBoost y ajoute une régularisation explicite \eqref{eq:37:xgb-objectif}-\eqref{eq:37:xgb-gain}.
435+\item La validation croisée \eqref{eq:37:cv} n'est honnête que si les plis reproduisent l'usage : aléatoire pour l'interpolation, spatiale par blocs ou par secteur pour la prédiction en territoire peu documenté, prospective pour l'usage courant. Les modèles d'arbres n'extrapolent pas : constante hors support, biais de $-3$ à $-13$ \% sur l'année suivante selon la taille des feuilles.
436+\item Sur les 600 ventes du cas 1, engendrées par une loi additive, l'hédonique de référence (RMSE log 0,084, COD 6,83) bat XGBoost (0,092 ; 7,33), le boosting (0,093 ; 7,42), la forêt (0,107 ; 8,64) et l'arbre (0,147 ; 11,6) ; les modèles d'arbres sont régressifs (PRB de la forêt $-0{,}196$) et prédisent le sujet de 3,8 à 13,9 \% sous l'hédonique.
437+\item Lorsqu'une interaction et une rupture déclarées sont ajoutées, le boosting (COD 7,46) bat l'hédonique mal spécifié (8,15) ; la dépendance partielle et les interactions SHAP désignent ce qui manque, et l'hédonique respécifié (6,85) reprend l'avantage : le modèle souple découvre, le modèle paramétrique établit.
438+\item Les valeurs de Shapley \eqref{eq:37:shapley}, uniques sous quatre axiomes, décomposent chaque prédiction en contributions additives \eqref{eq:37:efficacite} calculables exactement pour les arbres (TreeSHAP) ; la dépendance partielle \eqref{eq:37:pdp} et l'importance par permutation \eqref{eq:37:permutation} les complètent. Elles décrivent le modèle, non le marché : les coordonnées ont absorbé les secteurs.
439+\item Les AVM sont jugés par les statistiques de ratio de l'IAAO, hors échantillon et par strate ; les normes professionnelles exigent que l'évaluateur comprenne, documente et puisse défendre le modèle qu'il utilise, devant un client comme devant le TAQ.
440+\end{itemize}
441+\end{synthese}
442+
443+\section*{Exercices}
444+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
445+
446+\begin{exercice}[1]{Une division d'arbre à la main}{ex:37:1}
447+Les huit premières ventes du cas 1 (G0001 à G0008), classées par superficie habitable, ont les superficies 70, 99, 128, 156, 160, 170, 221 et \msq{241} et les prix \dollars{262500}, \dollars{342500}, \dollars{431500}, \dollars{571500}, \dollars{468500}, \dollars{404500}, \dollars{545500} et \dollars{492000}. (a) Calculez le logarithme de chaque prix et la somme des carrés des écarts à la moyenne du nœud racine. (b) Pour chacun des sept seuils possibles sur la superficie (milieux entre valeurs consécutives), calculez la somme des carrés des deux fils selon l'\cref{eq:37:division} et le gain ; identifiez la meilleure division et les constantes prédites dans chaque fils, en logarithme et en dollars. (c) Expliquez pourquoi le résultat serait identique si la superficie était entrée en logarithme ou en pieds carrés.
448+\end{exercice}
449+
450+\begin{exercice}[1]{Variance d'une forêt}{ex:37:2}
451+Chaque arbre d'une forêt a, en un point donné, un écart-type de prédiction de 0,12 (logarithme) et les arbres ont une corrélation deux à deux de 0,30. (a) Calculez la variance de la moyenne de 1, 10, 100 et 500 arbres par l'\cref{eq:37:variance-foret}, puis sa limite et l'écart-type correspondant. (b) Combien d'arbres faut-il pour que le second terme ne représente plus que 1 \% du premier ? (c) Expliquez pourquoi réduire le nombre de variables candidates par division peut abaisser la limite, et ce que l'on y perd.
452+\end{exercice}
453+
454+\begin{exercice}[2]{Le boosting pas à pas}{ex:37:3}
455+Pour une vente dont le logarithme du prix est $y = 13{,}00$, le modèle initial prédit $F_0 = 12{,}80$ ; on suppose que chaque arbre $h_m$ reproduit exactement le pseudo-résidu courant de cette vente, et que le taux d'apprentissage est $\nu = 0{,}10$. (a) Calculez $F_1$, $F_2$, $F_3$ et les résidus successifs. (b) Montrez que le résidu après $m$ itérations est $(1 - \nu)^m (y - F_0)$ et calculez le nombre d'itérations nécessaire pour le ramener à 1 \% de sa valeur initiale. (c) Que se passerait-il avec $\nu = 1$, et pourquoi n'est-ce pas souhaitable sur des données bruitées ? (d) Reliez votre réponse à la courbe d'apprentissage de la \cref{fig:37:apprentissage}.
456+\end{exercice}
457+
458+\begin{exercice}[2]{Valeurs de Shapley à trois joueurs}{ex:37:4}
459+Un modèle fictif à trois variables, superficie ($S$), qualité ($Q$) et localisation ($L$), donne les gains suivants (en milliers de dollars au-dessus de la base) pour chaque coalition de variables connues : $v(\varnothing) = 0$, $v(S) = 60$, $v(Q) = 30$, $v(L) = 20$, $v(S, Q) = 100$, $v(S, L) = 85$, $v(Q, L) = 45$, $v(S, Q, L) = 130$. (a) Énumérez les six ordres d'arrivée des variables et calculez la contribution marginale de chacune dans chaque ordre. (b) Déduisez-en les valeurs de Shapley par l'\cref{eq:37:shapley} et vérifiez l'axiome d'efficacité. (c) Le jeu contient-il des interactions ? Lesquelles, et de quel signe ? (d) Pourquoi la valeur de Shapley de $S$ diffère-t-elle de $v(S) = 60$ ?
460+\end{exercice}
461+
462+\begin{exercice}[2]{Métriques d'un AVM}{ex:37:5}
463+Un AVM a produit, pour les dix ventes fictives de l'\cref{ex:18:5} (prix 312 000, 358 500, 401 000, 445 000, 489 500, 532 000, 598 000, 655 000, 742 000 et \dollars{895000}), les prédictions 335 000, 349 000, 388 000, 468 000, 471 000, 561 000, 575 000, 702 000, 718 000 et \dollars{839000}. (a) Calculez les ratios prédit/prix, la RMSE en logarithme, l'erreur absolue moyenne et médiane en pourcentage \eqref{eq:37:metriques}. (b) Calculez la médiane des ratios, le COD, le PRD et le PRB (\cref{eq:18:cod,eq:18:prd,eq:18:prb}). (c) Situez le résultat par rapport aux plages de l'IAAO et expliquez pourquoi un COD inférieur à 5 doit éveiller la méfiance plutôt que l'admiration. (d) Qu'est-ce qui manque à ces dix chiffres pour qu'ils constituent une validation au sens de la \cref{sec:37:validation} ?
464+\end{exercice}
465+
466+\begin{exercice}[3]{Validation spatiale et extrapolation}{ex:37:6}
467+À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch37\_ml.py} (fonctions \texttt{plis\_aleatoires}, \texttt{plis\_spatiaux}, \texttt{plis\_secteurs}, \texttt{validation\_secteurs}), reproduisez les COD de l'hédonique, de la forêt et du boosting sous les trois schémas, aléatoire, blocs spatiaux et un secteur exclu. (a) Expliquez, pour chaque modèle, le sens et l'ampleur de la dégradation d'un schéma à l'autre. (b) Montrez que le biais de l'hédonique sur Buckingham et Masson-Angers exclus est, au bruit près, l'opposé de la prime de secteur de la loi de génération, et expliquez pourquoi le boosting fait mieux sur ces deux secteurs et moins bien sur Gatineau et Aylmer. (c) Proposez et mettez en œuvre une variante de l'hédonique qui remplace les indicatrices de secteur par une surface lisse des coordonnées (polynôme ou splines), et comparez son comportement en exclusion d'un secteur ; discutez en quoi cela rapproche les deux approches.
468+\end{exercice}
469+
470+\begin{exercice}[3]{Découvrir, puis établir}{ex:37:7}
471+Reprenez le scénario non linéaire (\texttt{scenario\_nonlineaire}). (a) Sans connaître les deux termes ajoutés, tracez la dépendance partielle de l'âge du boosting et ses courbes individuelles (ICE) pour les maisons de qualité 2 et de qualité 4, et identifiez la rupture et l'interaction. (b) Classez les paires de variables par leur valeur d'interaction SHAP moyenne et comparez au cas de base. (c) Respécifiez le modèle hédonique en conséquence, avec les seuils que vos courbes suggèrent plutôt que les seuils vrais, et comparez sa validation croisée à celle du boosting et à celle du modèle respécifié avec les seuils vrais (COD 6,85) ; que coûte une erreur de cinq ans sur les bornes du mur ? (d) Mettez en œuvre une validation imbriquée pour le choix de la profondeur du boosting (1 à 4) et comparez l'erreur ainsi obtenue à celle du \cref{tab:37:sensibilite} ; quantifiez l'optimisme de la sélection non imbriquée.
472+\end{exercice}
473+
474+\section*{Pour aller plus loin}
475+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
476+
477+Le manuel de \textcite{hastieTibshiraniFriedman2009} reste l'exposé de référence des arbres, du bagging, des forêts et du boosting, avec la décomposition biais-variance et la validation croisée en fil conducteur ; ses chapitres 9, 10 et 15 suffisent au lecteur de ce chapitre. Les articles fondateurs se lisent encore avec profit : \textcite{breiman2001} pour les forêts, l'erreur hors sac et l'importance par permutation, \textcite{friedman2001} pour la descente de gradient fonctionnelle et la dépendance partielle, \textcite{chenGuestrin2016} pour la formulation régularisée de XGBoost et les détails d'implémentation qui ont fait son succès. Pour l'explicabilité, \textcite{lundbergLee2017} unifient les méthodes d'explication locale sous les axiomes de Shapley, \textcite{lundberg2020} donnent TreeSHAP et les valeurs d'interaction, et le livre en ligne de \textcite{molnar2025} est le guide pratique le plus complet, qui discute aussi les limites de la dépendance partielle et de la permutation en présence de corrélation. Du côté des économistes, \textcite{mullainathanSpiess2017} et \textcite{atheyImbens2019} situent ces méthodes par rapport à l'inférence, et \textcite{wagerAthey2018} montrent comment les forêts servent l'estimation d'effets hétérogènes, ce qui ouvre sur le \cref{ch:36}. En évaluation immobilière, \textcite{paceHayunga2020} utilisent arbres et forêts comme diagnostics des résidus hédoniques et spatiaux, \textcite{mayerBourassaHoesliScognamiglio2019} comparent gradient boosting et méthodes hédoniques de mise à jour sur des données suisses, \textcite{hongChoiKim2020} appliquent la forêt à l'évaluation de masse en Corée, et \textcite{boginShui2020} mesurent la précision relative des AVM et des évaluateurs en zone rurale. Pour la pratique de l'évaluation de masse et ses normes, \textcite{gloudemansAlmy2011} et \textcite{mccluskey2013} accompagnent les trois normes de l'IAAO \parencite{iaaoratio2013,iaaomass2025,iaaoavm2018}.
modified manuscript/chapters/ch38.tex +29 −21
@@ -29,10 +29,10 @@ La projection est l'étape qui permet de calculer des distances et des surfaces
29 \begin{table}[htbp] 29 \begin{table}[htbp]
30 \caption{Systèmes de référence de coordonnées utiles à l'évaluation au Québec et codes EPSG}\label{tab:38:epsg} 30 \caption{Systèmes de référence de coordonnées utiles à l'évaluation au Québec et codes EPSG}\label{tab:38:epsg}
31 \centering 31 \centering
32−\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt} 32+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
33−\begin{tabular}{llp{27mm}p{48mm}} 33+\begin{tabularx}{\textwidth}{p{34mm}p{19mm}p{18mm}X}
34 \toprule 34 \toprule
35−Système & {EPSG} & Nature & Emploi et remarques \\ 35+Système & EPSG & Nature & Emploi et remarques \\
36 \midrule 36 \midrule
37 WGS 84 & 4326 & géographique (degrés) & GPS, services Web, GeoJSON ; pas de calcul de distance direct \\ 37 WGS 84 & 4326 & géographique (degrés) & GPS, services Web, GeoJSON ; pas de calcul de distance direct \\
38 NAD83 & 4269 & géographique & datum nord-américain d'origine ; nombreux fichiers anciens \\ 38 NAD83 & 4269 & géographique & datum nord-américain d'origine ; nombreux fichiers anciens \\
@@ -43,7 +43,7 @@ NAD83 / UTM zone 18N, 19N & 26918, 26919 & projetée, mètres & fuseaux de 6°,
43 NAD83 / Québec Lambert & 32198 & projetée, mètres & conique conforme, parallèles $46^\circ$ et $60^\circ$, méridien $68{,}5^\circ$ O ; cartes provinciales \\ 43 NAD83 / Québec Lambert & 32198 & projetée, mètres & conique conforme, parallèles $46^\circ$ et $60^\circ$, méridien $68{,}5^\circ$ O ; cartes provinciales \\
44 WGS 84 / Pseudo-Mercator & 3857 & projetée, mètres & fonds de tuiles Web ; échelle fausse de 40 \% à $45^\circ$ de latitude : jamais pour mesurer \\ 44 WGS 84 / Pseudo-Mercator & 3857 & projetée, mètres & fonds de tuiles Web ; échelle fausse de 40 \% à $45^\circ$ de latitude : jamais pour mesurer \\
45 \bottomrule 45 \bottomrule
46−\end{tabular} 46+\end{tabularx}
47 \tabsource{registre EPSG tel que distribué dans PROJ 9.5.1 (\texttt{pyproj} 3.7.2), interrogé le 31 octobre 2026 ; la fiche en ligne \url{https://epsg.org} refuse l'accès automatisé.} 47 \tabsource{registre EPSG tel que distribué dans PROJ 9.5.1 (\texttt{pyproj} 3.7.2), interrogé le 31 octobre 2026 ; la fiche en ligne \url{https://epsg.org} refuse l'accès automatisé.}
48 \end{table} 48 \end{table}
49 49
@@ -124,13 +124,17 @@ Les variables spatiales d'un modèle hédonique résultent d'un petit nombre d'o
124 124
125 La \motcle{jointure spatiale} attache à chaque objet d'une couche les attributs des objets d'une autre couche qui lui sont liés par une relation géométrique : la vente \emph{est dans} la zone, le lot \emph{touche} le corridor, la parcelle \emph{intersecte} la zone inondable. La relation la plus utile en évaluation est l'appartenance d'un point à un polygone, qui donne à chaque vente la classe de la zone où elle se trouve. L'algorithme classique est le \motcle{lancer de rayon} : on trace depuis le point une demi-droite horizontale et l'on compte les arêtes du polygone qu'elle croise ; le point est intérieur si et seulement si ce nombre est impair. Pour un polygone de sommets $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ et un point $(x, y)$, 125 La \motcle{jointure spatiale} attache à chaque objet d'une couche les attributs des objets d'une autre couche qui lui sont liés par une relation géométrique : la vente \emph{est dans} la zone, le lot \emph{touche} le corridor, la parcelle \emph{intersecte} la zone inondable. La relation la plus utile en évaluation est l'appartenance d'un point à un polygone, qui donne à chaque vente la classe de la zone où elle se trouve. L'algorithme classique est le \motcle{lancer de rayon} : on trace depuis le point une demi-droite horizontale et l'on compte les arêtes du polygone qu'elle croise ; le point est intérieur si et seulement si ce nombre est impair. Pour un polygone de sommets $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ et un point $(x, y)$,
126 \begin{equation}\label{eq:38:pip} 126 \begin{equation}\label{eq:38:pip}
127−\mathbb{1}\{(x, y) \in \mathcal{P}\} = \Big[\,\sum_{i=1}^{n} \mathbb{1}\{(y_i > y) \neq (y_{i+1} > y)\}\cdot\mathbb{1}\Big\{x < x_i + \frac{(y - y_i)(x_{i+1} - x_i)}{y_{i+1} - y_i}\Big\}\Big] \bmod 2 , 127+\begin{split}
128+\mathbb{1}\{(x, y) \in \mathcal{P}\} &= \Big[\sum_{i=1}^{n} c_i\Big] \bmod 2, \\
129+c_i &= \mathbb{1}\{(y_i > y) \neq (y_{i+1} > y)\}\cdot\mathbb{1}\Big\{x < x_i + \tfrac{(y - y_i)(x_{i+1} - x_i)}{y_{i+1} - y_i}\Big\},
130+\end{split}
128 \end{equation} 131 \end{equation}
129 avec $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ ; la première indicatrice retient les arêtes dont l'étendue verticale contient $y$, la seconde celles dont l'intersection avec la droite horizontale est à droite du point. Le calcul est linéaire dans le nombre de sommets, et les bibliothèques géométriques l'accélèrent par un index spatial qui écarte d'emblée les polygones dont la boîte englobante ne contient pas le point. La fonction \texttt{point\_dans\_polygone} de la bibliothèque \texttt{traite.geo} implémente l'\cref{eq:38:pip} ; le script du chapitre vérifie qu'elle donne, sur les 600 ventes et la zone d'exposition fictive, exactement le même résultat que \texttt{shapely}. Dans \texttt{geopandas}, la jointure s'écrit en une ligne : 132 avec $(x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)$ ; la première indicatrice retient les arêtes dont l'étendue verticale contient $y$, la seconde celles dont l'intersection avec la droite horizontale est à droite du point. Le calcul est linéaire dans le nombre de sommets, et les bibliothèques géométriques l'accélèrent par un index spatial qui écarte d'emblée les polygones dont la boîte englobante ne contient pas le point. La fonction \texttt{point\_dans\_polygone} de la bibliothèque \texttt{traite.geo} implémente l'\cref{eq:38:pip} ; le script du chapitre vérifie qu'elle donne, sur les 600 ventes et la zone d'exposition fictive, exactement le même résultat que \texttt{shapely}. Dans \texttt{geopandas}, la jointure s'écrit en une ligne :
130 \begin{lstlisting} 133 \begin{lstlisting}
131 ventes = ventes.to_crs(32189) # NAD83 / MTM zone 9, metres 134 ventes = ventes.to_crs(32189) # NAD83 / MTM zone 9, metres
132 zones = gpd.read_file("zones.gpkg").to_crs(ventes.crs) 135 zones = gpd.read_file("zones.gpkg").to_crs(ventes.crs)
133−j = gpd.sjoin(ventes, zones[["classe", "geometry"]], how="left", predicate="within") 136+j = gpd.sjoin(ventes, zones[["classe", "geometry"]],
137+ how="left", predicate="within")
134 \end{lstlisting} 138 \end{lstlisting}
135 Deux pièges guettent la jointure. Le premier est la \emph{multiplicité} : si des polygones se chevauchent, une vente peut recevoir plusieurs lignes, et le dénombrement qui suit la compte deux fois ; il faut soit dissoudre les polygones par classe, soit retenir la classe la plus sévère. Le second est la \emph{frontière} : le prédicat \texttt{within} exclut les points situés exactement sur le contour, \texttt{intersects} les inclut, et la différence n'est pas théorique lorsque les ventes ont été géocodées au centroïde de parcelles dont certaines bordent la zone. La précision du géocodage (\cref{ch:14}) borne la confiance que l'on peut accorder à l'appartenance d'une vente proche de la limite : une erreur de position de quarante mètres suffit à faire changer de classe les ventes situées à moins de quarante mètres de la frontière, et le \cref{sec:38:exemple} en mesurera la part. 139 Deux pièges guettent la jointure. Le premier est la \emph{multiplicité} : si des polygones se chevauchent, une vente peut recevoir plusieurs lignes, et le dénombrement qui suit la compte deux fois ; il faut soit dissoudre les polygones par classe, soit retenir la classe la plus sévère. Le second est la \emph{frontière} : le prédicat \texttt{within} exclut les points situés exactement sur le contour, \texttt{intersects} les inclut, et la différence n'est pas théorique lorsque les ventes ont été géocodées au centroïde de parcelles dont certaines bordent la zone. La précision du géocodage (\cref{ch:14}) borne la confiance que l'on peut accorder à l'appartenance d'une vente proche de la limite : une erreur de position de quarante mètres suffit à faire changer de classe les ventes situées à moins de quarante mètres de la frontière, et le \cref{sec:38:exemple} en mesurera la part.
136 140
@@ -144,9 +148,9 @@ c'est-à-dire la somme de Minkowski de $A$ et du disque fermé de rayon $r$. Le
144 148
145 \subsection{Les distances : euclidienne, orthodromique, réseau} 149 \subsection{Les distances : euclidienne, orthodromique, réseau}
146 150
147−Dans un SRC projeté, la distance entre deux points est euclidienne et \texttt{GeoSeries.distance} la calcule, y compris d'un point à la ligne ou au polygone le plus proche. Sur la sphère, la distance orthodromique entre deux positions en degrés se calcule par la formule du \motcle{haversine}, 151+Dans un SRC projeté, la distance entre deux points est euclidienne et la méthode \texttt{distance} d'une \texttt{GeoSeries} la calcule, y compris d'un point à la ligne ou au polygone le plus proche. Sur la sphère, la distance orthodromique entre deux positions en degrés se calcule par la formule du \motcle{haversine},
148 \begin{equation}\label{eq:38:haversine} 152 \begin{equation}\label{eq:38:haversine}
149−d = 2R\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\sin^2\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}} , 153+d = 2R\arcsin\sqrt{\sin^2(\Delta\varphi/2) + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\,\sin^2(\Delta\lambda/2)}, \qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1,\ \Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1,
150 \end{equation} 154 \end{equation}
151 numériquement stable aux courtes distances, contrairement à la formule de la loi des cosinus sphérique. Avec $R = \qty{6371.0}{\kilo\metre}$, elle s'écarte de la distance géodésique sur l'ellipsoïde WGS84 de 0,3 \% au plus à la latitude de Gatineau, ce qui est négligeable pour l'évaluation mais supérieur à l'écart de la projection MTM. Le \cref{ex:38:2} compare les trois mesures sur un cas simple. 155 numériquement stable aux courtes distances, contrairement à la formule de la loi des cosinus sphérique. Avec $R = \qty{6371.0}{\kilo\metre}$, elle s'écarte de la distance géodésique sur l'ellipsoïde WGS84 de 0,3 \% au plus à la latitude de Gatineau, ce qui est négligeable pour l'évaluation mais supérieur à l'écart de la projection MTM. Le \cref{ex:38:2} compare les trois mesures sur un cas simple.
152 156
@@ -178,12 +182,12 @@ où la puissance $p$ règle la localité : $p = 1$ lisse, $p = 3$ ne retient pre
178 \caption{Les cinq opérations SIG élémentaires : définition, algorithme, mise en œuvre et piège caractéristique}\label{tab:38:operations} 182 \caption{Les cinq opérations SIG élémentaires : définition, algorithme, mise en œuvre et piège caractéristique}\label{tab:38:operations}
179 \centering 183 \centering
180 \footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt} 184 \footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
181−\begin{tabularx}{\textwidth}{p{22mm}XXp{36mm}} 185+\begin{tabularx}{\textwidth}{p{20mm}XXp{33mm}}
182 \toprule 186 \toprule
183 Opération & Définition et formule & \texttt{geopandas} / \texttt{shapely} & Piège \\ 187 Opération & Définition et formule & \texttt{geopandas} / \texttt{shapely} & Piège \\
184 \midrule 188 \midrule
185 Projection & changement de SRC ; distorsion mesurée par le facteur d'échelle, \cref{eq:38:echelle} & \texttt{to\_crs(epsg)} ; \texttt{crs} & distances en degrés ; couches dans des SRC différents ; Pseudo-Mercator \\ 189 Projection & changement de SRC ; distorsion mesurée par le facteur d'échelle, \cref{eq:38:echelle} & \texttt{to\_crs(epsg)} ; \texttt{crs} & distances en degrés ; couches dans des SRC différents ; Pseudo-Mercator \\
186−Jointure spatiale & attributs des polygones transférés aux points selon un prédicat ; point dans polygone par lancer de rayon, \cref{eq:38:pip} & \texttt{sjoin(predicate="within")} ; \texttt{within}, \texttt{intersects} & doublons (polygones chevauchants) ; points sur la frontière ; précision du géocodage \\ 190+Jointure spatiale & attributs des polygones transférés aux points selon un prédicat ; point dans polygone par lancer de rayon, \cref{eq:38:pip} & \texttt{sjoin(}\allowbreak\texttt{predicate="within")} ; \texttt{within}, \texttt{intersects} & doublons (polygones chevauchants) ; points sur la frontière ; précision du géocodage \\
187 Tampon & $B_r(A) = A \oplus D_r$, \cref{eq:38:tampon} ; couronnes $B_{r_2} \setminus B_{r_1}$ & \texttt{buffer(r)} ; \texttt{difference} & rayon arbitraire ; peu de ventes dans les petits tampons \\ 191 Tampon & $B_r(A) = A \oplus D_r$, \cref{eq:38:tampon} ; couronnes $B_{r_2} \setminus B_{r_1}$ & \texttt{buffer(r)} ; \texttt{difference} & rayon arbitraire ; peu de ventes dans les petits tampons \\
188 Distance & euclidienne dans un SRC projeté ; haversine en degrés, \cref{eq:38:haversine} ; réseau $\geq$ euclidienne, \cref{eq:38:reseau} & \texttt{distance(geom)} ; \texttt{sjoin\_nearest} & vol d'oiseau à travers une rivière ; distance à la géométrie la plus proche plutôt qu'à la pertinente \\ 192 Distance & euclidienne dans un SRC projeté ; haversine en degrés, \cref{eq:38:haversine} ; réseau $\geq$ euclidienne, \cref{eq:38:reseau} & \texttt{distance(geom)} ; \texttt{sjoin\_nearest} & vol d'oiseau à travers une rivière ; distance à la géométrie la plus proche plutôt qu'à la pertinente \\
189 Agrégation, interpolation & statistique par zone ; pondération surfacique, \cref{eq:38:surfacique} ; IDW, \cref{eq:38:idw} ; krigeage (\cref{ch:19}) & \texttt{sjoin} + \texttt{groupby} ; \texttt{overlay} ; \texttt{traite.geo.idw} & unités spatiales modifiables ; uniformité supposée ; cellules presque vides \\ 193 Agrégation, interpolation & statistique par zone ; pondération surfacique, \cref{eq:38:surfacique} ; IDW, \cref{eq:38:idw} ; krigeage (\cref{ch:19}) & \texttt{sjoin} + \texttt{groupby} ; \texttt{overlay} ; \texttt{traite.geo.idw} & unités spatiales modifiables ; uniformité supposée ; cellules presque vides \\
@@ -298,10 +302,11 @@ La jointure spatiale par le prédicat \texttt{within} attribue 31 ventes à la c
298 \begin{table}[htbp] 302 \begin{table}[htbp]
299 \caption{Jointure spatiale et distances aux géométries fictives, par secteur du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:38:secteurs} 303 \caption{Jointure spatiale et distances aux géométries fictives, par secteur du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:38:secteurs}
300 \centering 304 \centering
301−\small\setlength{\tabcolsep}{4pt} 305+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
306+\resizebox{\textwidth}{!}{%
302 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=4.0]} 307 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=4.0]}
303 \toprule 308 \toprule
304−Secteur & {Ventes} & {Classe A} & {Classe B} & {Corridor $\leq$ 300 m} & {Dist. corridor méd. (km)} & {Accessibilité $A_i$ moy.} & {Prix méd. (\$/m\textsuperscript{2})} \\ 309+Secteur & {Ventes} & {Classe A} & {Classe B} & {Corr. $\leq$ 300 m} & {Dist. corr. méd. (km)} & {$A_i$ moyen} & {Prix méd. (\$/m\textsuperscript{2})} \\
305 \midrule 310 \midrule
306 Hull & 186 & 14 & 19 & 14 & 2.0 & 74.3 & 3526 \\ 311 Hull & 186 & 14 & 19 & 14 & 2.0 & 74.3 & 3526 \\
307 Gatineau & 200 & 0 & 0 & 1 & 2.8 & 43.6 & 3451 \\ 312 Gatineau & 200 & 0 & 0 & 1 & 2.8 & 43.6 & 3451 \\
@@ -311,7 +316,7 @@ Masson-Angers & 47 & 0 & 0 & 0 & 16.8 & 0.4 & 2686 \\
311 \midrule 316 \midrule
312 Ensemble & 600 & 31 & 57 & 17 & 3.1 & 43.1 & 3418 \\ 317 Ensemble & 600 & 31 & 57 & 17 & 3.1 & 43.1 & 3418 \\
313 \bottomrule 318 \bottomrule
314−\end{tabular} 319+\end{tabular}}
315 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py ; prédicat \texttt{within} ; distances euclidiennes en NAD83 / MTM zone 9 ; indice gravitaire exponentiel, $\lambda = 0{,}25$/km, masses 100, 40 et 30}} 320 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py ; prédicat \texttt{within} ; distances euclidiennes en NAD83 / MTM zone 9 ; indice gravitaire exponentiel, $\lambda = 0{,}25$/km, masses 100, 40 et 30}}
316 \end{table} 321 \end{table}
317 322
@@ -352,13 +357,14 @@ Le \cref{tab:38:coefficients} ajoute au modèle de référence du cas 1 (\texttt
352 357
353 \emph{Sans indicatrices de secteur}, tout change. La classe A reçoit un coefficient de $+6{,}3$ \% ($t = 3{,}78$), la classe B de $+4{,}3$ \% ($t = 2{,}99$), le logarithme de la distance au corridor devient significatif au seuil de 5 \% ($-1{,}6$ \%, $t = -1{,}98$) et le logarithme de l'accessibilité vaut $+14{,}6$ \% ($t = 10{,}9$) ; le test conjoint donne $F = 33{,}4$ et le $R^2$ bondit de 0,766 à 0,818. Rien de tout cela n'est un effet du cours d'eau, du corridor ou des pôles. La zone d'exposition fictive a été dessinée pour traverser Aylmer, le secteur à prime positive, et Hull ; 55 des 88 ventes exposées sont à Aylmer, et les indicatrices de classe captent la prime d'Aylmer que le modèle sans secteur a omise. L'indice d'accessibilité, maximal à Hull et presque nul à Buckingham et à Masson-Angers, est une fonction lisse de la position qui épouse la carte des primes de secteur, et le modèle lui attribue ce qu'il ne peut plus attribuer aux indicatrices. Une « zone inondable » fictive qui augmente les prix de 6 \% avec un $t$ de 3,8 est un faux positif de manuel, et il est produit par une spécification que bien des rapports jugeraient acceptable, puisqu'elle contient un gradient de distance au centre et onze caractéristiques physiques. 358 \emph{Sans indicatrices de secteur}, tout change. La classe A reçoit un coefficient de $+6{,}3$ \% ($t = 3{,}78$), la classe B de $+4{,}3$ \% ($t = 2{,}99$), le logarithme de la distance au corridor devient significatif au seuil de 5 \% ($-1{,}6$ \%, $t = -1{,}98$) et le logarithme de l'accessibilité vaut $+14{,}6$ \% ($t = 10{,}9$) ; le test conjoint donne $F = 33{,}4$ et le $R^2$ bondit de 0,766 à 0,818. Rien de tout cela n'est un effet du cours d'eau, du corridor ou des pôles. La zone d'exposition fictive a été dessinée pour traverser Aylmer, le secteur à prime positive, et Hull ; 55 des 88 ventes exposées sont à Aylmer, et les indicatrices de classe captent la prime d'Aylmer que le modèle sans secteur a omise. L'indice d'accessibilité, maximal à Hull et presque nul à Buckingham et à Masson-Angers, est une fonction lisse de la position qui épouse la carte des primes de secteur, et le modèle lui attribue ce qu'il ne peut plus attribuer aux indicatrices. Une « zone inondable » fictive qui augmente les prix de 6 \% avec un $t$ de 3,8 est un faux positif de manuel, et il est produit par une spécification que bien des rapports jugeraient acceptable, puisqu'elle contient un gradient de distance au centre et onze caractéristiques physiques.
354 359
355−\emph{Sans secteur ni gradient}, les coefficients des classes restent de $+5{,}8$ et $+5{,}2$ \% ; l'accessibilité tombe à $+6{,}0$ \% mais avec un $t$ de 14,1, parce qu'elle devient la seule variable de localisation et absorbe à elle seule le gradient omis. Les trois spécifications sont résumées au \cref{tab:38:coefficients}. 360+\emph{Sans secteur ni gradient}, les effets des classes restent de $+6{,}0$ et $+5{,}2$ \% ; l'accessibilité tombe à $+6{,}1$ \% mais avec un $t$ de 14,1, parce qu'elle devient la seule variable de localisation et absorbe à elle seule le gradient omis. Les trois spécifications sont résumées au \cref{tab:38:coefficients}.
356 \end{exemple} 361 \end{exemple}
357 362
358 \begin{table}[htbp] 363 \begin{table}[htbp]
359 \caption{Coefficients des cinq variables géospatiales fictives ajoutées au modèle hédonique du cas 1 selon la spécification de la localisation (données synthétiques ; effet vrai nul ; erreurs-types HC1 entre parenthèses)}\label{tab:38:coefficients} 364 \caption{Coefficients des cinq variables géospatiales fictives ajoutées au modèle hédonique du cas 1 selon la spécification de la localisation (données synthétiques ; effet vrai nul ; erreurs-types HC1 entre parenthèses)}\label{tab:38:coefficients}
360 \centering 365 \centering
361−\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt} 366+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
367+\resizebox{\textwidth}{!}{%
362 \begin{tabular}{lrrrrrrr} 368 \begin{tabular}{lrrrrrrr}
363 \toprule 369 \toprule
364 & \multicolumn{2}{c}{Référence (secteurs, gradient)} & \multicolumn{2}{c}{Sans indicatrices de secteur} & \multicolumn{2}{c}{Sans secteur ni gradient} & {EMD} \\ 370 & \multicolumn{2}{c}{Référence (secteurs, gradient)} & \multicolumn{2}{c}{Sans indicatrices de secteur} & \multicolumn{2}{c}{Sans secteur ni gradient} & {EMD} \\
@@ -374,7 +380,7 @@ $\ln A_i$ (accessibilité) & 0,0106 (0,0211) & 0,50 & 0,1359 (0,0125) & 10,90 &
374 $R^2$ (sans / avec les cinq variables) & \multicolumn{2}{c}{0,8530 / 0,8541} & \multicolumn{2}{c}{0,7661 / 0,8182} & \multicolumn{2}{c}{0,6372 / 0,8040} & \\ 380 $R^2$ (sans / avec les cinq variables) & \multicolumn{2}{c}{0,8530 / 0,8541} & \multicolumn{2}{c}{0,7661 / 0,8182} & \multicolumn{2}{c}{0,6372 / 0,8040} & \\
375 Test $F$ conjoint (valeur $p$) & \multicolumn{2}{c}{0,84 (0,52)} & \multicolumn{2}{c}{33,4 ($< 0{,}001$)} & \multicolumn{2}{c}{99,4 ($< 0{,}001$)} & \\ 381 Test $F$ conjoint (valeur $p$) & \multicolumn{2}{c}{0,84 (0,52)} & \multicolumn{2}{c}{33,4 ($< 0{,}001$)} & \multicolumn{2}{c}{99,4 ($< 0{,}001$)} & \\
376 \bottomrule 382 \bottomrule
377−\end{tabular} 383+\end{tabular}}
378 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{modeles\_augmentes}) ; MCO semi-log, \cref{eq:38:hedonique-risque} sans interactions ; EMD = effet minimal détectable à 80 \% de puissance, \cref{eq:38:emd}, dans le modèle de référence}} 384 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{modeles\_augmentes}) ; MCO semi-log, \cref{eq:38:hedonique-risque} sans interactions ; EMD = effet minimal détectable à 80 \% de puissance, \cref{eq:38:emd}, dans le modèle de référence}}
379 \end{table} 385 \end{table}
380 386
@@ -386,6 +392,7 @@ L'exemple précédent portait sur deux polygones dessinés par l'auteur. Pour me
386 \caption{Part des coefficients « significatifs » d'indicatrices de disques aléatoires sans aucun effet, selon le rayon, la spécification de la localisation et l'erreur-type (données synthétiques)}\label{tab:38:faux-positifs} 392 \caption{Part des coefficients « significatifs » d'indicatrices de disques aléatoires sans aucun effet, selon le rayon, la spécification de la localisation et l'erreur-type (données synthétiques)}\label{tab:38:faux-positifs}
387 \centering 393 \centering
388 \footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt} 394 \footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
395+\resizebox{\textwidth}{!}{%
389 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.2]} 396 \begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.2]}
390 \toprule 397 \toprule
391 & & \multicolumn{2}{c}{$\abs{t} > 1{,}96$ (\%)} & \multicolumn{2}{c}{$\abs{t} > 2{,}58$ (\%)} & {Bonferroni (\%)} & {É.-t. des $t$} \\ 398 & & \multicolumn{2}{c}{$\abs{t} > 1{,}96$ (\%)} & \multicolumn{2}{c}{$\abs{t} > 2{,}58$ (\%)} & {Bonferroni (\%)} & {É.-t. des $t$} \\
@@ -402,7 +409,7 @@ Rayon et spécification & {Disques} & {classique} & {HC1} & {classique} & {HC1}
402 2 km, sans secteur & 484 & 73.6 & 78.7 & 52.9 & 65.5 & 29.3 & 4.42 \\ 409 2 km, sans secteur & 484 & 73.6 & 78.7 & 52.9 & 65.5 & 29.3 & 4.42 \\
403 2 km, sans secteur ni gradient & 484 & 48.3 & 52.5 & 40.9 & 47.5 & 28.5 & 3.51 \\ 410 2 km, sans secteur ni gradient & 484 & 48.3 & 52.5 & 40.9 & 47.5 & 28.5 & 3.51 \\
404 \bottomrule 411 \bottomrule
405−\end{tabular} 412+\end{tabular}}
406 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{faux\_positifs}), graine 20261031 ; 500 tirages par rayon, disques de 10 à 590 ventes conservés ; seuil de Bonferroni $\alpha/m$ avec $m$ = nombre de disques ; sous l'hypothèse nulle et une spécification correcte, les parts attendues sont 5 \% et 1 \% et l'écart-type des $t$ vaut 1}} 413 \tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{faux\_positifs}), graine 20261031 ; 500 tirages par rayon, disques de 10 à 590 ventes conservés ; seuil de Bonferroni $\alpha/m$ avec $m$ = nombre de disques ; sous l'hypothèse nulle et une spécification correcte, les parts attendues sont 5 \% et 1 \% et l'écart-type des $t$ vaut 1}}
407 \end{table} 414 \end{table}
408 415
@@ -427,7 +434,7 @@ est l'outil minimal de l'analyste qui essaie plusieurs rayons, plusieurs zones o
427 Le portefeuille du cas 4 est synthétique : 48 immeubles fictifs de 6 à 72 logements répartis dans six régions métropolitaines (\texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv}, graine 20261031), avec des coordonnées fictives dispersées autour du centre de chaque RMR, une indicatrice de zone inondable pour trois immeubles et une indicatrice de contamination du sol pour deux ; le générateur relève le taux global de 5 \% en zone inondable et de 3 \% en cas de contamination (\texttt{data/synthetic/README.md}). Les chiffres proviennent de \texttt{traite.cas4} et de \texttt{ch38\_sig.py}. 434 Le portefeuille du cas 4 est synthétique : 48 immeubles fictifs de 6 à 72 logements répartis dans six régions métropolitaines (\texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv}, graine 20261031), avec des coordonnées fictives dispersées autour du centre de chaque RMR, une indicatrice de zone inondable pour trois immeubles et une indicatrice de contamination du sol pour deux ; le générateur relève le taux global de 5 \% en zone inondable et de 3 \% en cas de contamination (\texttt{data/synthetic/README.md}). Les chiffres proviennent de \texttt{traite.cas4} et de \texttt{ch38\_sig.py}.
428 \end{synthetique} 435 \end{synthetique}
429 436
430−Le changement d'échelle impose un changement de projection : les 48 immeubles, répartis de Gatineau à Saguenay, couvrent trois fuseaux MTM et deux fuseaux UTM, et c'est la projection conique conforme Québec Lambert (EPSG 32198) qui les représente sans distorsion notable ; l'étendue projetée est de 371 kilomètres d'est en ouest et de 335 du sud au nord. La \cref{fig:38:cas4} les situe, avec une taille proportionnelle à la valeur 2026 et des marques distinctes pour les immeubles exposés. Les distances géodésiques entre les centroïdes des RMR, calculées sur l'ellipsoïde, vont de 116 kilomètres (Québec--Trois-Rivières) à 478 kilomètres (Gatineau--Saguenay), avec 236 kilomètres entre Montréal et Québec ; à ces distances, les sous-marchés sont des univers séparés, et le \cref{ch:48} traite leur corrélation comme un paramètre de risque, non comme une dépendance spatiale au sens du \cref{ch:19}. 437+Le changement d'échelle impose un changement de projection : les 48 immeubles, répartis de Gatineau à Saguenay, couvrent trois fuseaux MTM et deux fuseaux UTM, et c'est la projection conique conforme Québec Lambert (EPSG 32198) qui les représente sans distorsion notable ; l'étendue projetée est de 379 kilomètres d'est en ouest et de 343 du sud au nord. La \cref{fig:38:cas4} les situe, avec une taille proportionnelle à la valeur 2026 et des marques distinctes pour les immeubles exposés. Les distances géodésiques entre les centroïdes des RMR, calculées sur l'ellipsoïde, vont de 116 kilomètres (Québec--Trois-Rivières) à 478 kilomètres (Gatineau--Saguenay), avec 236 kilomètres entre Montréal et Québec ; à ces distances, les sous-marchés sont des univers séparés, et le \cref{ch:48} traite leur corrélation comme un paramètre de risque, non comme une dépendance spatiale au sens du \cref{ch:19}.
431 438
432 \begin{figure}[htbp] 439 \begin{figure}[htbp]
433 \centering 440 \centering
@@ -441,10 +448,11 @@ Le \cref{tab:38:cas4} décompose l'exposition. Trois immeubles sur 48 sont en zo
441 \begin{table}[htbp] 448 \begin{table}[htbp]
442 \caption{Exposition du portefeuille du cas 4 aux zones inondables, par région métropolitaine (données synthétiques)}\label{tab:38:cas4} 449 \caption{Exposition du portefeuille du cas 4 aux zones inondables, par région métropolitaine (données synthétiques)}\label{tab:38:cas4}
443 \centering 450 \centering
444−\small\setlength{\tabcolsep}{4pt} 451+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
452+\resizebox{\textwidth}{!}{%
445 \begin{tabular}{lS[table-format=2.0]S[table-format=3.1]S[table-format=1.0]S[table-format=1.0]S[table-format=1.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]} 453 \begin{tabular}{lS[table-format=2.0]S[table-format=3.1]S[table-format=1.0]S[table-format=1.0]S[table-format=1.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]}
446 \toprule 454 \toprule
447−RMR & {Immeubles} & {Valeur 2026 (M\$)} & {En zone inondable} & {Sol contaminé} & {Valeur exposée (M\$)} & {Part de la RMR (\%)} & {Part du total (\%)} \\ 455+RMR & {Immeubles} & {Valeur 2026 (M\$)} & {Zone inondable} & {Sol contaminé} & {Valeur exposée (M\$)} & {Part de la RMR (\%)} & {Part du total (\%)} \\
448 \midrule 456 \midrule
449 Montréal & 17 & 65.2 & 1 & 2 & 1.7 & 2.6 & 1.2 \\ 457 Montréal & 17 & 65.2 & 1 & 2 & 1.7 & 2.6 & 1.2 \\
450 Québec & 6 & 25.1 & 1 & 0 & 7.2 & 28.8 & 5.0 \\ 458 Québec & 6 & 25.1 & 1 & 0 & 7.2 & 28.8 & 5.0 \\
@@ -455,7 +463,7 @@ Saguenay & 4 & 3.3 & 1 & 0 & 0.6 & 18.5 & 0.4 \\
455 \midrule 463 \midrule
456 Portefeuille & 48 & 143.4 & 3 & 2 & 9.5 & 6.7 & 6.7 \\ 464 Portefeuille & 48 & 143.4 & 3 & 2 & 9.5 & 6.7 & 6.7 \\
457 \bottomrule 465 \bottomrule
458−\end{tabular} 466+\end{tabular}}
459 \tabsource{\synth{traite.cas4.sommaire et analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{cas4\_geo}) ; valeur exposée = valeur 2026 des immeubles dont \texttt{zone\_inondable} = 1}} 467 \tabsource{\synth{traite.cas4.sommaire et analysis/python/cases/ch38\_sig.py (fonction \texttt{cas4\_geo}) ; valeur exposée = valeur 2026 des immeubles dont \texttt{zone\_inondable} = 1}}
460 \end{table} 468 \end{table}
461 469
modified manuscript/chapters/ch39.tex +548 −1
@@ -1,2 +1,549 @@
1 \chapter{Modèles bayésiens et intervalles}\label{ch:39} 1 \chapter{Modèles bayésiens et intervalles}\label{ch:39}
2−\stubchapter 2+
3+Les chapitres précédents ont estimé la valeur d'un immeuble par des méthodes qui traitent les paramètres du marché, prix implicites, primes de secteur, dispersion des prix, comme des constantes inconnues et les données comme la seule source d'information à leur sujet. Cette posture est confortable lorsque les ventes se comptent par centaines ; elle devient intenable dans les situations que l'évaluateur rencontre le plus souvent en pratique : une municipalité où trois maisons se sont vendues cette année, un secteur dont il connaît le niveau de prix par expérience mais pas par des données récentes, un immeuble atypique dont les substituts se trouvent dans un autre marché. Dans tous ces cas, l'évaluateur combine ce que les données disent et ce qu'il savait déjà, et il le fait aujourd'hui de manière informelle, au moment de la réconciliation. L'inférence bayésienne donne à cette combinaison une forme explicite, vérifiable et reproductible : l'information antérieure est une distribution de probabilité, les données la mettent à jour selon une règle unique, et le résultat est une distribution de la valeur dont les intervalles se lisent exactement comme le client les comprend. Le présent chapitre développe ce cadre pour la régression hédonique du \cref{ch:18}, d'abord sous sa forme conjuguée, où tout se calcule en forme fermée, puis sous une forme hiérarchique où les effets de secteur sont tirés d'une distribution commune et où les secteurs pauvres en ventes empruntent de la force aux autres. Il construit les outils de calcul nécessaires, un échantillonneur de Gibbs et ses diagnostics, avec les seules bibliothèques numériques de base, et il confronte, sur le dossier de Gatineau, l'intervalle de crédibilité bayésien à l'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}.
4+
5+\begin{objectifs}
6+À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
7+\begin{itemize}
8+\item expliquer en quoi l'inférence bayésienne répond aux trois difficultés propres à l'évaluation que sont les petits échantillons, l'information d'expert et l'interprétation des intervalles, et distinguer un intervalle de crédibilité d'un intervalle de confiance ;
9+\item dériver la postérieure normale--inverse-gamma de la régression linéaire bayésienne et la distribution prédictive de Student qui en découle, puis choisir un a priori de référence, faiblement informatif ou informatif et en mesurer l'effet ;
10+\item formuler un modèle hiérarchique à effets de secteur aléatoires, dériver la formule de rétrécissement et situer ce modèle entre le regroupement complet et les effets fixes ;
11+\item écrire les conditionnelles complètes d'un échantillonneur de Gibbs, l'implémenter, diagnostiquer sa convergence par la statistique $\hat R$ et la taille d'échantillon effective, et reconnaître les causes d'un mélange lent ;
12+\item calculer la distribution prédictive de la valeur d'un sujet, en tirer des intervalles de crédibilité à 90 et 95 \%, et comparer les modèles par le WAIC ou la validation croisée sans réestimation ;
13+\item exposer les limites de l'approche, du choix de l'a priori à la communication devant un tribunal, et documenter un modèle bayésien dans un rapport.
14+\end{itemize}
15+\end{objectifs}
16+
17+\section{Pourquoi le bayésien en évaluation}\label{sec:39:pourquoi}
18+
19+\subsection{Trois difficultés que l'inférence classique traite mal}
20+
21+La première difficulté est celle des \motcle{marchés minces}. Le \cref{ch:16} a montré, à propos des biens atypiques et des petites municipalités, que les filtres habituels de sélection ne laissent parfois aucun comparable, et il a proposé trois stratégies : relâcher les filtres, décomposer le bien, ou recourir à un modèle hédonique estimé sur un territoire plus large. La troisième stratégie pose immédiatement une question que l'analyse classique ne sait pas poser : dans quelle mesure les prix implicites estimés à Hull sur deux cents ventes s'appliquent-ils à Masson-Angers, où l'on en compte quarante-sept, ou à une municipalité voisine où l'on en compte cinq ? Les moindres carrés estimés sur les cinq ventes locales donnent des coefficients absurdes ; les moindres carrés estimés sur l'ensemble du territoire ignorent ce que les cinq ventes locales ont de particulier. Entre tout et rien, il faut une règle de dosage, et c'est précisément ce que fournit une distribution a priori.
22+
23+La deuxième difficulté est celle de l'\motcle{information d'expert}. L'évaluateur qui travaille depuis quinze ans dans un secteur sait qu'une place de garage y vaut entre trois et cinq pour cent du prix, que le mètre carré supplémentaire vaut moins dans les grandes maisons, que tel quartier se négocie dix pour cent au-dessous de tel autre. Les normes professionnelles lui demandent d'ailleurs d'exercer ce jugement, et le \cref{ch:20} montre qu'il le fait au moment de pondérer les indications de valeur. Mais ce savoir n'entre nulle part dans une régression classique : ou bien il est ignoré, ou bien il sert, après coup et sans règle, à écarter un résultat jugé invraisemblable. L'inférence bayésienne lui donne une place formelle, celle d'une distribution a priori dont la précision mesure la confiance que l'évaluateur lui accorde, et une règle de combinaison avec les données qui ne dépend pas de son humeur.
24+
25+La troisième difficulté tient à l'\motcle{interprétation des intervalles}. L'intervalle de prédiction à 95 \% du \cref{ch:18}, de \dollars{539682} à \dollars{749087}, a une définition fréquentiste précise : si l'on répétait l'échantillonnage des 600 ventes un grand nombre de fois et que l'on recalculait l'intervalle à chaque fois, 95 \% de ces intervalles contiendraient le prix du sujet. Cette définition porte sur la procédure, non sur l'intervalle obtenu ; elle ne dit pas que le prix du sujet a 95 \% de chances de se trouver entre ces deux bornes, ce que pourtant tout lecteur du rapport comprend, et ce que l'évaluateur lui-même veut dire. L'intervalle de crédibilité bayésien dit exactement cela : conditionnellement aux données et au modèle, la probabilité que le prix se situe dans l'intervalle est de 95 \%. La différence n'est pas une subtilité de philosophes. Devant un tribunal ou un comité de crédit, c'est la seconde formulation que l'on attend de l'expert, et c'est la seule que la théorie bayésienne autorise à prononcer.
26+
27+\subsection{Le théorème de Bayes et le vocabulaire}
28+
29+Soit $\boldsymbol\theta$ le vecteur des quantités inconnues, coefficients, variances, effets de secteur, et $\mathbf{y}$ les données observées, ici les logarithmes des prix. L'inférence bayésienne repose sur trois distributions. La \motcle{distribution a priori} $p(\boldsymbol\theta)$ résume ce que l'on sait des paramètres avant d'observer les données. La \motcle{vraisemblance} $p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)$ est le modèle statistique, le même que dans l'analyse classique. La \motcle{distribution a posteriori} $p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y})$ résume ce que l'on sait après, et le théorème de Bayes la calcule :
30+\begin{equation}\label{eq:39:bayes}
31+p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y}) = \frac{p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta)}{p(\mathbf{y})} \propto p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta), \qquad p(\mathbf{y}) = \int p(\mathbf{y} \mid \boldsymbol\theta)\, p(\boldsymbol\theta)\, \dd\boldsymbol\theta .
32+\end{equation}
33+Le dénominateur, la \emph{vraisemblance marginale}, ne dépend pas de $\boldsymbol\theta$ et sert de constante de normalisation ; il n'intervient que lorsque l'on compare des modèles entre eux. La quantité qui intéresse l'évaluateur n'est pas la postérieure des paramètres mais celle d'une observation future, le prix $y^{*}$ auquel le sujet de caractéristiques $\mathbf{x}^{*}$ se vendrait. C'est la \motcle{distribution prédictive a posteriori},
34+\begin{equation}\label{eq:39:predictive-def}
35+p(y^{*} \mid \mathbf{y}) = \int p(y^{*} \mid \boldsymbol\theta, \mathbf{x}^{*})\, p(\boldsymbol\theta \mid \mathbf{y})\, \dd\boldsymbol\theta ,
36+\end{equation}
37+qui moyenne la distribution du prix futur, à paramètres donnés, sur l'incertitude qui subsiste quant aux paramètres. Elle contient donc les deux composantes que le \cref{ch:18} additionnait séparément, le bruit de transaction et l'erreur d'estimation des coefficients, et elle les intègre au lieu de les additionner, ce qui fait une différence dès que l'échantillon est petit.
38+
39+\begin{definition}{Intervalle de crédibilité}{39-credibilite}
40+Un \motcle{intervalle de crédibilité} au niveau $1 - a$ pour une quantité $\phi$ (paramètre, effet de secteur ou prix futur) est un intervalle $[\ell, u]$ tel que $\Pr(\ell \leq \phi \leq u \mid \mathbf{y}) = 1 - a$ sous la distribution a posteriori. L'intervalle \emph{à queues égales} place $a/2$ de la probabilité de chaque côté ; l'intervalle \emph{de plus haute densité} est le plus court de tous les intervalles de niveau $1 - a$. Les deux coïncident lorsque la postérieure est symétrique et unimodale, et c'est le premier que l'ouvrage utilise, parce qu'il se transporte sans changement à travers une transformation monotone telle que l'exponentielle.
41+\end{definition}
42+
43+Le \cref{tab:39:vocabulaire} met en regard les notions fréquentistes des chapitres précédents et leurs correspondants bayésiens. La correspondance est étroite, et c'est heureux : le lecteur qui maîtrise le \cref{ch:18} retrouvera chaque objet sous un nom voisin. La différence profonde porte sur ce qui est aléatoire. Dans l'analyse classique, les paramètres sont fixes et les données aléatoires ; les probabilités portent sur des échantillons hypothétiques. Dans l'analyse bayésienne, les données sont fixes, une fois observées, et ce sont les paramètres, inconnus, qui reçoivent une distribution de probabilité ; les probabilités expriment un état de connaissance.
44+
45+\begin{table}[htbp]
46+\caption{Correspondance entre le vocabulaire fréquentiste des chapitres 18 à 20 et le vocabulaire bayésien}\label{tab:39:vocabulaire}
47+\centering\small
48+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}
49+\toprule
50+Objet & Lecture fréquentiste & Lecture bayésienne \\
51+\midrule
52+Paramètre $\beta_k$ & constante inconnue ; $\hat\beta_k$ est une variable aléatoire & variable aléatoire ; les données sont fixes \\
53+Estimation ponctuelle & $\hat\beta_k$ (MCO, maximum de vraisemblance) & moyenne, médiane ou mode a posteriori \\
54+Précision & erreur-type de $\hat\beta_k$ & écart-type a posteriori \\
55+Intervalle & de confiance : couvre $\beta_k$ dans 95 \% des échantillons répétés & de crédibilité : contient $\beta_k$ avec probabilité 0,95 étant donné les données \\
56+Prédiction d'un prix & intervalle de prédiction : $\hat\sigma^2 + \mathbf{x}\T\hat V\mathbf{x}$, loi normale & distribution prédictive : intègre sur la postérieure ; loi de Student dans le cas conjugué \\
57+Information externe & absente, ou appliquée après coup (jugement) & distribution a priori, mise à jour par le théorème de Bayes \\
58+Choix de modèle & $R^2$ ajusté, AIC, validation croisée & vraisemblance marginale, WAIC, validation croisée par importance \\
59+Retransformation en niveau & facteur de Duan sur $\exp(\hat y)$ & implicite : la prédictive du prix s'obtient en exponentiant chaque tirage \\
60+\bottomrule
61+\end{tabularx}
62+\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{gelman2013} et \textcite{koop2003}.}
63+\end{table}
64+
65+\subsection{L'évaluateur bayésien sans le savoir}
66+
67+Le cas le plus simple suffit à montrer que la réconciliation pratiquée au \cref{ch:20} est déjà une mise à jour bayésienne. Supposons que l'évaluateur cherche le prix au mètre carré $\mu$ d'un segment de marché et qu'il dispose, d'une part, d'une opinion antérieure fondée sur son expérience, qu'il traduit par une loi normale $\mu \sim \mathcal N(m_0, s_0^2)$, et, d'autre part, de $n$ ventes dont les prix unitaires $y_i$ sont distribués autour de $\mu$ avec un écart-type $\sigma$ connu. La vraisemblance des données ne dépend que de la moyenne $\bar y$, et la postérieure est de nouveau normale :
68+\begin{equation}\label{eq:39:normale-normale}
69+\mu \mid \mathbf{y} \sim \mathcal N\!\left(m_n, s_n^2\right), \qquad
70+\frac{1}{s_n^2} = \frac{1}{s_0^2} + \frac{n}{\sigma^2}, \qquad
71+m_n = s_n^2\left(\frac{m_0}{s_0^2} + \frac{n\,\bar y}{\sigma^2}\right) = w\,\bar y + (1 - w)\, m_0, \quad w = \frac{n/\sigma^2}{n/\sigma^2 + 1/s_0^2} .
72+\end{equation}
73+La moyenne a posteriori est une moyenne pondérée de la moyenne des ventes et de l'opinion antérieure, les poids étant les précisions, c'est-à-dire les inverses des variances. C'est, mot pour mot, la règle de pondération optimale de la \cref{prop:indication} du \cref{ch:16} appliquée à deux indications : les ventes, de variance $\sigma^2/n$, et le jugement, de variance $s_0^2$. L'évaluateur qui écrit qu'il « accorde plus de poids aux comparables, mais tempère leur indication par sa connaissance du secteur » applique l'\cref{eq:39:normale-normale} sans l'écrire ; la version explicite a l'avantage de dire \emph{combien} il tempère, et de faire décroître automatiquement le poids du jugement à mesure que les ventes s'accumulent. La précision a priori $1/s_0^2$ s'interprète comme un nombre de ventes équivalent, $n_0 = \sigma^2/s_0^2$ : un expert dont l'opinion vaut quatre ventes du marché a un $s_0$ égal à la moitié de $\sigma$. L'\cref{ex:39:1} applique cette formule à un marché mince ; le reste du chapitre la généralise à la régression, où $\mu$ devient un vecteur de coefficients et $\sigma^2$ une inconnue de plus.
74+
75+\section{La régression linéaire bayésienne conjuguée}\label{sec:39:conjugue}
76+
77+\subsection{Le modèle et l'a priori normale--inverse-gamma}
78+
79+Reprenons le modèle hédonique de référence sous la forme matricielle du \cref{ch:18} : $\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\varepsilon$, avec $\mathbf{y}$ le vecteur des $n$ logarithmes de prix, $\mathbf{X}$ la matrice $n \times k$ des régresseurs de \texttt{traite.cas1.matrice} et $\boldsymbol\varepsilon \sim \mathcal N(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I})$. Les inconnues sont $\boldsymbol\theta = (\boldsymbol\beta, \sigma^2)$. Un a priori est dit \motcle{conjugué} lorsque la postérieure appartient à la même famille que lui ; pour la régression normale, cette famille est la loi \motcle{normale--inverse-gamma} (NIG), qui s'écrit en deux étages :
80+\begin{equation}\label{eq:39:nig-prior}
81+\sigma^2 \sim \mathcal{IG}(a_0, b_0), \qquad \boldsymbol\beta \mid \sigma^2 \sim \mathcal N\!\left(\mathbf{m}_0, \sigma^2 \mathbf{V}_0\right),
82+\end{equation}
83+où la loi inverse-gamma a pour densité $p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-(a_0 + 1)} \exp(-b_0/\sigma^2)$, d'espérance $b_0/(a_0 - 1)$ pour $a_0 > 1$. Le conditionnement de $\boldsymbol\beta$ par $\sigma^2$ n'est pas une coquetterie : il exprime que l'incertitude sur les prix implicites est proportionnelle à la dispersion du marché, et c'est lui qui rend le calcul fermé. Les quatre hyperparamètres ont une lecture directe. Le vecteur $\mathbf{m}_0$ est le centre de l'opinion antérieure sur les coefficients ; la matrice $\mathbf{V}_0$ en mesure l'imprécision, en unités de $\sigma^2$, et son inverse $\mathbf{V}_0^{-1}$ joue le rôle d'une matrice $\mathbf{X}_0\T\mathbf{X}_0$ d'observations fictives ; $a_0$ et $b_0$ sont, respectivement, la moitié d'un nombre de degrés de liberté antérieurs et la moitié d'une somme de carrés antérieure. Un a priori NIG équivaut donc à un échantillon antérieur de $2a_0$ observations de somme des carrés des résidus $2b_0$, dont les régresseurs auraient pour matrice de produits croisés $\mathbf{V}_0^{-1}$ et pour estimation $\mathbf{m}_0$. Cette lecture, due à \textcite{koop2003} dans la tradition de Zellner, est le meilleur guide pour fixer un a priori : on se demande quel échantillon fictif on serait prêt à ajouter aux données.
84+
85+\subsection{Dérivation de la postérieure}
86+
87+\begin{proposition}{Postérieure normale--inverse-gamma}{39-posterieure}
88+Sous le modèle normal et l'a priori \eqref{eq:39:nig-prior}, la postérieure est NIG de paramètres
89+\begin{equation}\label{eq:39:posterieure}
90+\mathbf{V}_n = \left(\mathbf{V}_0^{-1} + \mathbf{X}\T\mathbf{X}\right)^{-1}, \quad
91+\mathbf{m}_n = \mathbf{V}_n\left(\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 + \mathbf{X}\T\mathbf{y}\right), \quad
92+a_n = a_0 + \frac{n}{2}, \quad
93+b_n = b_0 + \frac{1}{2}\left(\mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 - \mathbf{m}_n\T\mathbf{V}_n^{-1}\mathbf{m}_n\right).
94+\end{equation}
95+La loi marginale a posteriori de $\boldsymbol\beta$ est une loi de Student multivariée à $2a_n$ degrés de liberté, de centre $\mathbf{m}_n$ et de matrice d'échelle $(b_n/a_n)\mathbf{V}_n$ ; chaque coefficient a pour écart-type a posteriori $\sqrt{(b_n/(a_n - 1))\,[\mathbf{V}_n]_{kk}}$.
96+\end{proposition}
97+\begin{proof}
98+Le produit de la vraisemblance et de l'a priori s'écrit, à une constante près,
99+\[
100+p(\boldsymbol\beta, \sigma^2 \mid \mathbf{y}) \propto (\sigma^2)^{-n/2}\exp\!\left[-\frac{(\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta)\T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta)}{2\sigma^2}\right]
101+(\sigma^2)^{-k/2}\exp\!\left[-\frac{(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_0)\T\mathbf{V}_0^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_0)}{2\sigma^2}\right]
102+(\sigma^2)^{-(a_0+1)}\exp\!\left[-\frac{b_0}{\sigma^2}\right].
103+\]
104+Les deux formes quadratiques en $\boldsymbol\beta$ se regroupent. En développant, leur somme vaut $\boldsymbol\beta\T(\mathbf{X}\T\mathbf{X} + \mathbf{V}_0^{-1})\boldsymbol\beta - 2\boldsymbol\beta\T(\mathbf{X}\T\mathbf{y} + \mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0) + \mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0$. Avec les définitions de $\mathbf{V}_n$ et de $\mathbf{m}_n$, on complète le carré : cette somme égale $(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)\T\mathbf{V}_n^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n) + \mathbf{y}\T\mathbf{y} + \mathbf{m}_0\T\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 - \mathbf{m}_n\T\mathbf{V}_n^{-1}\mathbf{m}_n$, dont le premier terme donne le noyau d'une normale $\mathcal N(\mathbf{m}_n, \sigma^2\mathbf{V}_n)$ pour $\boldsymbol\beta \mid \sigma^2$ et dont le reste, divisé par $2\sigma^2$, s'ajoute à $b_0/\sigma^2$ pour former $b_n/\sigma^2$. Les puissances de $\sigma^2$ se regroupent en $(\sigma^2)^{-(a_0 + n/2 + 1)}$ une fois le facteur $(\sigma^2)^{-k/2}$ absorbé par la normalisation de la normale en $\boldsymbol\beta$, d'où $a_n$. La marginale de $\boldsymbol\beta$ s'obtient en intégrant $\sigma^2$ : l'intégrale d'une densité normale en $\boldsymbol\beta$ contre une inverse-gamma en $\sigma^2$ est une loi de Student de degrés de liberté $2a_n$, ce que l'on vérifie en reconnaissant, dans $\int (\sigma^2)^{-(a_n + k/2 + 1)}\exp[-(b_n + \tfrac12 Q)/\sigma^2]\,\dd\sigma^2 \propto (b_n + \tfrac12 Q)^{-(a_n + k/2)}$, avec $Q = (\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)\T\mathbf{V}_n^{-1}(\boldsymbol\beta - \mathbf{m}_n)$, le noyau $[1 + Q/(2b_n)]^{-(2a_n + k)/2}$ d'une Student multivariée. La variance d'une Student d'échelle $s$ et de $\nu$ degrés de liberté est $s^2\nu/(\nu - 2)$, d'où l'écart-type annoncé.
105+\end{proof}
106+
107+Trois lectures de l'\cref{eq:39:posterieure} éclairent la pratique. D'abord, la moyenne a posteriori $\mathbf{m}_n$ est une moyenne matricielle pondérée de l'opinion antérieure et de l'estimation MCO : en écrivant $\mathbf{X}\T\mathbf{y} = \mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}$, on obtient $\mathbf{m}_n = \mathbf{V}_n(\mathbf{V}_0^{-1}\mathbf{m}_0 + \mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})$, généralisation directe de l'\cref{eq:39:normale-normale} où les précisions sont devenues des matrices. Ensuite, la postérieure ne dépend des données que par $\mathbf{X}\T\mathbf{X}$, $\mathbf{X}\T\mathbf{y}$ et $\mathbf{y}\T\mathbf{y}$, qui s'additionnent d'un échantillon à l'autre : la postérieure obtenue après un premier lot de ventes, prise comme a priori d'un second lot, donne exactement la postérieure que l'on aurait obtenue en traitant les deux lots ensemble. Cette \emph{cohérence séquentielle} est ce qui autorise à faire d'un marché voisin, ou d'une période antérieure, la source d'un a priori ; l'exemple intégral la vérifie numériquement. Enfin, lorsque l'a priori s'efface, le résultat classique réapparaît.
108+
109+\begin{proposition}{A priori de référence et moindres carrés}{39-reference}
110+Sous l'a priori impropre de référence $p(\boldsymbol\beta, \sigma^2) \propto 1/\sigma^2$, cas limite de \eqref{eq:39:nig-prior} où $\mathbf{V}_0^{-1} \to \mathbf{0}$, $a_0 \to -k/2$ et $b_0 \to 0$, la postérieure est NIG de paramètres $\mathbf{V}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$, $\mathbf{m}_n = \hat{\boldsymbol\beta}$, $a_n = (n - k)/2$ et $b_n = \mathit{SCR}/2$, où $\mathit{SCR}$ est la somme des carrés des résidus MCO. La moyenne a posteriori de $\sigma^2$ est $\mathit{SCR}/(n - k - 2)$, et la marginale de chaque coefficient est une Student à $n - k$ degrés de liberté centrée sur $\hat\beta_k$, d'échelle égale à l'erreur-type classique.
111+\end{proposition}
112+\begin{proof}
113+En annulant $\mathbf{V}_0^{-1}$ dans \eqref{eq:39:posterieure}, $\mathbf{V}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$ et $\mathbf{m}_n = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{y} = \hat{\boldsymbol\beta}$ ; alors $\mathbf{y}\T\mathbf{y} - \hat{\boldsymbol\beta}\T\mathbf{X}\T\mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta})\T(\mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}) = \mathit{SCR}$ par orthogonalité des résidus aux colonnes de $\mathbf{X}$, et $a_n = -k/2 + n/2$. L'échelle de la Student est $\sqrt{(b_n/a_n)[\mathbf{V}_n]_{kk}} = \sqrt{\mathit{SCR}/(n-k)\,[(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}]_{kk}}$, l'erreur-type classique de l'\cref{eq:18:mco}.
114+\end{proof}
115+
116+Cette proposition est la clé de voûte du chapitre : l'analyse bayésienne de référence et l'analyse classique produisent les mêmes nombres, à ceci près que les intervalles de la première se lisent comme des probabilités sur les paramètres. L'inférence bayésienne ne commence à différer que lorsque l'a priori contient de l'information, ou lorsque le modèle devient hiérarchique.
117+
118+\subsection{La distribution prédictive de Student}
119+
120+\begin{proposition}{Prédictive conjuguée}{39-predictive}
121+Sous la postérieure NIG$(\mathbf{m}_n, \mathbf{V}_n, a_n, b_n)$, le logarithme du prix $y^{*}$ d'un immeuble de caractéristiques $\mathbf{x}^{*}$ suit a posteriori une loi de Student
122+\begin{equation}\label{eq:39:predictive}
123+y^{*} \mid \mathbf{y} \sim t_{2a_n}\!\left(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n,\ \frac{b_n}{a_n}\left(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*}\right)\right),
124+\end{equation}
125+de centre $\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n$ et d'échelle au carré $(b_n/a_n)(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*})$. L'intervalle de crédibilité à queues égales au niveau $1 - a$ pour le prix est $[\exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n - t_{2a_n; 1-a/2}\, s^{*}),\ \exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n + t_{2a_n; 1-a/2}\, s^{*})]$ où $s^{*}$ est l'échelle, et la médiane a posteriori du prix est $\exp(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n)$.
126+\end{proposition}
127+\begin{proof}
128+Conditionnellement à $(\boldsymbol\beta, \sigma^2)$, $y^{*} \sim \mathcal N(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\boldsymbol\beta, \sigma^2)$. En intégrant $\boldsymbol\beta \mid \sigma^2 \sim \mathcal N(\mathbf{m}_n, \sigma^2\mathbf{V}_n)$, $y^{*} \mid \sigma^2 \sim \mathcal N(\mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{m}_n, \sigma^2(1 + \mathbf{x}^{*\mathsf T}\mathbf{V}_n\mathbf{x}^{*}))$, somme du bruit de transaction et de l'incertitude sur les coefficients, les deux étant proportionnels à $\sigma^2$. L'intégration d'une normale de variance $\sigma^2 c$ contre $\sigma^2 \sim \mathcal{IG}(a_n, b_n)$ donne, par le même calcul que dans la \cref{prop:39-posterieure}, une Student à $2a_n$ degrés de liberté d'échelle au carré $c\,b_n/a_n$. Les quantiles se transportent par l'exponentielle, qui est monotone, et la médiane de la Student est son centre.
129+\end{proof}
130+
131+Deux remarques distinguent cette prédictive de l'intervalle de prédiction \eqref{eq:18:intervalle}. La première porte sur la forme : la loi est de Student, non normale, avec $2a_n = n - k$ degrés de liberté sous l'a priori de référence. Pour 584 degrés de liberté, le quantile à 97,5 \% vaut 1,964 contre 1,960 pour la normale, et les intervalles sont indiscernables ; pour 28 degrés de liberté, comme dans le petit échantillon de l'exemple intégral, il vaut 2,048 et l'intervalle s'élargit de 4,5 \% ; pour 5 degrés de liberté, 2,571, soit un tiers de plus. La Student rend compte de ce que le fréquentiste nomme l'incertitude sur $\sigma$ et que l'intervalle normal du \cref{ch:18} ignore. La seconde remarque porte sur la moyenne en dollars. La loi de $\exp(y^{*})$, log-Student, a des queues si épaisses que son espérance mathématique n'existe pas, quel que soit le nombre de degrés de liberté. Ce n'est pas un défaut du modèle mais un rappel utile : la quantité à communiquer est la médiane, c'est-à-dire le prix qui a autant de chances d'être dépassé que non atteint, ou un intervalle, et non une « moyenne » qui dépend de la forme des queues extrêmes. La correction de Duan du \cref{ch:18} cherchait à estimer cette moyenne pour une loi log-normale ; la prédictive bayésienne en montre la fragilité. Dans le modèle hiérarchique de la \cref{sec:39:hierarchique}, la moyenne a posteriori du prix existe à chaque tirage et sa moyenne de Monte-Carlo est finie ; on la rapportera à titre de comparaison avec la prédiction de Duan, en sachant ce qu'elle vaut.
132+
133+\subsection{Choisir l'a priori : référence, faiblement informatif, informatif}
134+
135+L'a priori de référence de la \cref{prop:39-reference} convient lorsque les ventes sont nombreuses et que l'on veut seulement bénéficier de la lecture bayésienne des intervalles. Il est impropre, c'est-à-dire qu'il n'intègre pas à un, ce qui interdit de calculer une vraisemblance marginale et donc des facteurs de Bayes ; cela n'empêche ni la postérieure ni la prédictive d'être parfaitement définies dès que $n > k$. Un a priori \motcle{faiblement informatif} propre, par exemple $\mathbf{m}_0 = \mathbf{0}$ sauf pour la constante, $\mathbf{V}_0 = 10^4\,\mathbf{I}$, $a_0 = b_0 = 10^{-3}$, donne des résultats presque identiques, mais pas tout à fait : parce que l'a priori sur $\boldsymbol\beta$ est propre, les $k$ paramètres ne « coûtent » plus de degrés de liberté et $a_n = a_0 + n/2$ au lieu de $(n-k)/2$, de sorte que la moyenne a posteriori de $\sigma^2$ est proche de $\mathit{SCR}/(n - 2)$ plutôt que de $\mathit{SCR}/(n - k)$. Avec 600 ventes et 16 paramètres, la différence sur $\sigma$ est de 0,0011 ; avec 40 ventes et 12 paramètres, elle n'est plus négligeable, et c'est une raison de préférer l'a priori de référence quand on ne veut rien dire.
136+
137+L'a priori \motcle{informatif} est celui qui fait tout l'intérêt de l'approche dans les marchés minces. La difficulté est de le construire honnêtement. La règle qui gouverne l'exemple intégral est la suivante : on emprunte à un \emph{marché voisin}, bien documenté, la postérieure de ses prix implicites, c'est-à-dire des pentes, et l'on refuse d'emprunter son niveau de prix, c'est-à-dire sa constante, parce que c'est précisément le niveau local que les quelques ventes locales doivent fixer. Formellement, si le marché voisin a fourni une postérieure $(\mathbf{m}^{v}, \mathbf{V}^{v}, a^{v}, b^{v})$, l'a priori du marché cible prend $\mathbf{m}_0 = \mathbf{m}^{v}$ et $\mathbf{V}_0 = \kappa\,\mathbf{V}^{v}$ pour les pentes, un $\mathbf{V}_0$ pratiquement infini pour la constante, et $a_0 = a^{v}$, $b_0 = b^{v}$ pour la dispersion. Le facteur $\kappa \geq 1$ exprime la défiance : $\kappa = 1$ signifie que l'on tient les prix implicites du voisin pour ceux du marché cible, aux erreurs d'estimation près ; $\kappa = 4$ double leur écart-type ; $\kappa \to \infty$ revient à l'a priori de référence. Cette construction a deux mérites. Elle est traçable, puisque chaque hyperparamètre provient d'une estimation que l'on peut produire ; et elle est falsifiable, puisque si les ventes locales contredisent systématiquement les prix implicites empruntés, la postérieure s'en écartera d'autant plus que $n$ est grand. Elle a aussi une limite évidente, que le \cref{ch:18} a rappelée : la fonction de prix hédonique est propre à un marché, et transposer ses dérivées d'un marché à l'autre est une hypothèse. Le bayésien ne supprime pas l'hypothèse ; il la quantifie par $\kappa$ et il oblige à l'écrire.
138+
139+\section{Le modèle hiérarchique des effets de secteur}\label{sec:39:hierarchique}
140+
141+\subsection{Trois attitudes devant les secteurs}
142+
143+Le modèle de référence du \cref{ch:18} traite les cinq secteurs de Gatineau par quatre indicatrices, Hull servant de référence. Cette spécification à \motcle{effets fixes} estime le niveau de prix de chaque secteur sur ses seules ventes : 186 à Hull, 200 dans le secteur Gatineau, 125 à Aylmer, 42 à Buckingham, 47 à Masson-Angers. Les erreurs-types des deux derniers, 0,07, sont cinq fois celles de Gatineau, et si Masson-Angers ne comptait que cinq ventes, son effet serait estimé à plus ou moins quinze pour cent. À l'opposé, le \motcle{regroupement complet} (en anglais \emph{complete pooling}) ignore les secteurs et impose un niveau commun, ce que la variante « sans indicatrices de secteur » du \cref{tab:18:variantes} a montré désastreux : $\hat\sigma$ passe de 0,083 à 0,104 et le sujet est surévalué de 4 \%. Entre les deux, le modèle \motcle{hiérarchique}, ou à \motcle{effets aléatoires}, suppose que les niveaux de secteur $\alpha_s$ sont tirés d'une distribution commune :
144+\begin{equation}\label{eq:39:hier}
145+\ln P_i = \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \alpha_{s(i)} + \varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i \sim \mathcal N(0, \sigma^2), \qquad \alpha_s \mid \alpha_0, \tau^2 \sim \mathcal N(\alpha_0, \tau^2), \quad s = 1, \dots, J,
146+\end{equation}
147+où $\mathbf{x}_i$ ne contient plus de constante, celle-ci étant portée par les $\alpha_s$, où $\alpha_0$ est le niveau moyen des secteurs et où $\tau$ mesure leur dispersion. Le paramètre $\tau$ est la charnière du modèle : si $\tau \to \infty$, les $\alpha_s$ ne sont plus liés et l'on retrouve les effets fixes ; si $\tau \to 0$, ils sont tous égaux à $\alpha_0$ et l'on retrouve le regroupement complet. Le modèle hiérarchique laisse les données fixer $\tau$, donc le degré de mise en commun. \textcite{gelmanHill2007} en font le fil conducteur de leur ouvrage, et le cas des quartiers emboîtés dans des municipalités, elles-mêmes emboîtées dans des régions, en est l'application immobilière la plus naturelle ; la \cref{sec:39:extensions} y revient.
148+
149+\subsection{Le rétrécissement}
150+
151+\begin{proposition}{Rétrécissement de l'effet de secteur}{39-retrecissement}
152+Dans le modèle \eqref{eq:39:hier}, conditionnellement à $\boldsymbol\beta$, $\alpha_0$, $\sigma^2$ et $\tau^2$, l'effet du secteur $s$ qui compte $n_s$ ventes a pour loi a posteriori
153+\begin{equation}\label{eq:39:retrecissement}
154+\alpha_s \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(B_s\,\bar r_s + (1 - B_s)\,\alpha_0,\ \frac{\sigma^2}{n_s}\,B_s\right), \qquad B_s = \frac{n_s\tau^2}{n_s\tau^2 + \sigma^2}, \qquad \bar r_s = \frac{1}{n_s}\sum_{i : s(i) = s}\left(\ln P_i - \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta\right).
155+\end{equation}
156+Le facteur $B_s \in (0, 1)$ est le poids de la moyenne des résidus du secteur ; $1 - B_s$ est le poids de la moyenne commune, et la variance est celle de l'effet fixe, $\sigma^2/n_s$, multipliée par $B_s$.
157+\end{proposition}
158+\begin{proof}
159+Conditionnellement aux autres paramètres, les $n_s$ quantités $r_i = \ln P_i - \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta$ du secteur $s$ sont indépendantes de loi $\mathcal N(\alpha_s, \sigma^2)$, et $\alpha_s$ a pour a priori $\mathcal N(\alpha_0, \tau^2)$. C'est exactement la situation de l'\cref{eq:39:normale-normale} avec $m_0 = \alpha_0$, $s_0^2 = \tau^2$, $n = n_s$ et $\bar y = \bar r_s$ : la précision a posteriori est $n_s/\sigma^2 + 1/\tau^2$, dont l'inverse est $\sigma^2\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2) = (\sigma^2/n_s)B_s$, et la moyenne est $(n_s\bar r_s/\sigma^2 + \alpha_0/\tau^2)/(n_s/\sigma^2 + 1/\tau^2) = B_s\bar r_s + (1 - B_s)\alpha_0$.
160+\end{proof}
161+
162+La formule dit tout ce qu'il faut savoir sur le \motcle{rétrécissement} (en anglais \emph{shrinkage}). Un secteur riche en ventes ($n_s\tau^2 \gg \sigma^2$) a un $B_s$ proche de un : son effet est estimé sur ses ventes, comme un effet fixe. Un secteur pauvre a un $B_s$ plus petit et son effet est tiré vers la moyenne commune, d'autant plus que les secteurs se ressemblent ($\tau$ petit) et que le bruit de transaction est grand ($\sigma$ grand). Le point de bascule est $n_s = \sigma^2/\tau^2$, nombre de ventes pour lequel $B_s = 1/2$. Avec $\sigma = 0{,}083$ et $\tau = 0{,}18$, valeurs que l'exemple intégral estimera, ce seuil est inférieur à une vente : les secteurs de Gatineau sont si différents les uns des autres, relativement au bruit, que même cinq ventes suffisent à fixer l'essentiel d'un niveau de secteur, et le rétrécissement sera modeste. Avec $\tau = 0{,}05$, valeur plausible pour des quartiers contigus d'un même secteur, le seuil monte à près de trois ventes et un quartier de cinq ventes n'a plus qu'un poids de 0,64. La \cref{fig:39:retrecissement} trace ces courbes. L'enseignement est double. D'une part, le rétrécissement n'est pas une correction arbitraire : c'est la pondération optimale des deux sources d'information, et il disparaît de lui-même quand il n'a plus lieu d'être. D'autre part, son ampleur dépend d'un paramètre, $\tau$, que les données renseignent d'autant plus mal que les groupes sont peu nombreux, et c'est là que l'a priori sur $\tau$ devient important. Ce résultat, dont la forme remonte à l'estimateur de James et Stein et à sa lecture empirique par Efron et Morris\footnote{Efron, B. et Morris, C. (1975), « Data Analysis Using Stein's Estimator and its Generalizations », \emph{Journal of the American Statistical Association}, 70(350), 311-319 ; DOI 10.1080/01621459.1975.10479864 (vérifié ; \texttt{references/lib-ch39.bib}).}, est développé par \textcite[chap.~5]{gelman2013} ; \textcite{goetzmann1992} en a donné une application immobilière précoce en rétrécissant les indices de ventes répétées de petits marchés vers l'indice national.
163+
164+\subsection{L'a priori sur la variance des secteurs}
165+
166+Les paramètres $\boldsymbol\beta$, $\alpha_0$ et $\sigma^2$ sont bien informés par six cents ventes, et des a priori plats, $p(\boldsymbol\beta) \propto 1$, $p(\alpha_0) \propto 1$, $p(\sigma^2) \propto 1/\sigma^2$, conviennent. Il n'en va pas de même de $\tau$, qui n'est informé que par $J = 5$ écarts $\alpha_s - \alpha_0$. L'a priori conjugué traditionnel, une inverse-gamma $\mathcal{IG}(\epsilon, \epsilon)$ avec $\epsilon$ très petit, est trompeur dans ce cas : loin d'être non informatif, il concentre une masse considérable près de $\tau = 0$ et pousse le modèle vers le regroupement complet, d'autant plus que $J$ est petit\footnote{Gelman, A. (2006), « Prior Distributions for Variance Parameters in Hierarchical Models », \emph{Bayesian Analysis}, 1(3), 515-534 ; DOI 10.1214/06-BA117A (vérifié ; \texttt{lib-ch39.bib}).}. \textcite[§~5.7]{gelman2013} recommandent, pour un nombre de groupes d'au moins cinq, un a priori uniforme sur $\tau$ lui-même, $p(\tau) \propto 1$, qui équivaut à $p(\tau^2) \propto \tau^{-1}$ et dont la conditionnelle complète reste une inverse-gamma, $\tau^2 \mid \boldsymbol\alpha, \alpha_0 \sim \mathcal{IG}((J-1)/2,\ \tfrac12\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2)$, propre dès que $J \geq 2$. C'est le choix de l'ouvrage, et c'est un choix : avec cinq secteurs, la postérieure de $\tau$ reste large, et l'analyse de sensibilité de la \cref{sec:39:sensibilite} mesure ce que d'autres a priori changeraient. Le lecteur retiendra qu'un modèle hiérarchique à peu de groupes est un modèle où l'a priori sur la variance des groupes compte, et qu'il faut le déclarer.
167+
168+\section{Le calcul : l'échantillonneur de Gibbs}\label{sec:39:gibbs}
169+
170+\subsection{Pourquoi simuler}
171+
172+La postérieure jointe du modèle \eqref{eq:39:hier}, $p(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha, \alpha_0, \sigma^2, \tau^2 \mid \mathbf{y})$, n'a pas de forme fermée : le produit de la vraisemblance normale, de l'a priori normal des $\alpha_s$ et de l'a priori sur $\tau$ n'appartient à aucune famille connue une fois $\tau^2$ intégré. Pendant longtemps cette absence a confiné les modèles hiérarchiques à des approximations. Les méthodes de \motcle{Monte-Carlo par chaînes de Markov} (MCMC) ont levé l'obstacle : au lieu de calculer la postérieure, on en simule des tirages, dont les moyennes, écarts-types et quantiles empiriques estiment ceux de la postérieure avec une précision qui croît avec le nombre de tirages. L'\motcle{échantillonneur de Gibbs}, introduit en traitement d'images par Geman et Geman puis reconnu comme outil d'inférence générale par Gelfand et Smith\footnote{Geman, S. et Geman, D. (1984), « Stochastic Relaxation, Gibbs Distributions, and the Bayesian Restoration of Images », \emph{IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence}, 6(6), 721-741 ; DOI 10.1109/TPAMI.1984.4767596. Gelfand, A. E. et Smith, A. F. M. (1990), « Sampling-Based Approaches to Calculating Marginal Densities », \emph{Journal of the American Statistical Association}, 85(410), 398-409 ; DOI 10.1080/01621459.1990.10476213 (tous deux vérifiés ; \texttt{lib-ch39.bib}).}, est le plus simple d'entre eux : il tire tour à tour chaque bloc de paramètres de sa \motcle{conditionnelle complète}, c'est-à-dire de sa loi a posteriori sachant les valeurs courantes de tous les autres. Lorsque chaque conditionnelle est une loi standard, ce qui est le cas des modèles à a priori conjugués par morceaux comme le nôtre, l'algorithme s'écrit en quelques lignes et n'exige aucun réglage. Les logiciels généralistes comme Stan \parencite{carpenter2017}, qui emploient des méthodes hamiltoniennes plus puissantes, ont rendu ce genre de dérivation inutile pour l'utilisateur ; elle reste indispensable pour comprendre ce que ces logiciels font, et c'est pourquoi le chapitre la conduit à la main, en numpy, comme \textcite{mcelreath2020} le recommande pédagogiquement.
173+
174+\subsection{Les conditionnelles complètes}
175+
176+En écrivant $\mathbf{Z}$ la matrice $n \times J$ des indicatrices de secteur et $\boldsymbol\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_J)$, la postérieure jointe est proportionnelle à
177+\[
178+(\sigma^2)^{-n/2 - 1}\exp\!\left[-\frac{\norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha}^2}{2\sigma^2}\right]
179+(\tau^2)^{-J/2}\exp\!\left[-\frac{\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2}{2\tau^2}\right] p(\tau^2),
180+\]
181+et chaque conditionnelle complète s'obtient en ne gardant que les facteurs qui dépendent du bloc considéré.
182+
183+\emph{Les coefficients.} À $\boldsymbol\alpha$ et $\sigma^2$ fixés, $\mathbf{y} - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha$ est une régression normale ordinaire sur $\mathbf{X}$ avec a priori plat, d'où, par la \cref{prop:39-reference} appliquée à $\sigma^2$ connu,
184+\begin{equation}\label{eq:39:cond-beta}
185+\boldsymbol\beta \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left((\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T(\mathbf{y} - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha),\ \sigma^2(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\right).
186+\end{equation}
187+
188+\emph{Les effets de secteur et leur moyenne.} La conditionnelle de chaque $\alpha_s$ est l'\cref{eq:39:retrecissement}, et celle de $\alpha_0$, à $\boldsymbol\alpha$ et $\tau^2$ fixés, est celle de la moyenne de $J$ observations normales sous un a priori plat :
189+\begin{equation}\label{eq:39:cond-alpha0}
190+\alpha_0 \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\frac{1}{J}\sum_{s=1}^{J}\alpha_s,\ \frac{\tau^2}{J}\right).
191+\end{equation}
192+
193+\emph{Les variances.} En ne gardant que les facteurs en $\sigma^2$, puis en $\tau^2$, on reconnaît deux noyaux inverse-gamma :
194+\begin{equation}\label{eq:39:cond-variances}
195+\sigma^2 \mid \cdot \sim \mathcal{IG}\!\left(\frac{n}{2},\ \frac{1}{2}\norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\boldsymbol\beta - \mathbf{Z}\boldsymbol\alpha}^2\right), \qquad
196+\tau^2 \mid \cdot \sim \mathcal{IG}\!\left(\frac{J - 1}{2},\ \frac{1}{2}\sum_{s=1}^{J}(\alpha_s - \alpha_0)^2\right),
197+\end{equation}
198+la seconde sous l'a priori uniforme sur $\tau$ ; sous un a priori $\mathcal{IG}(a_\tau, b_\tau)$ sur $\tau^2$, ses paramètres deviennent $a_\tau + J/2$ et $b_\tau + \tfrac12\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2$. Une itération de l'algorithme tire successivement \eqref{eq:39:cond-beta}, les $J$ lois \eqref{eq:39:retrecissement}, \eqref{eq:39:cond-alpha0} et les deux lois \eqref{eq:39:cond-variances} ; la suite des valeurs forme une chaîne de Markov dont la loi stationnaire est la postérieure jointe. Les premières itérations, qui dépendent du point de départ, sont écartées (la période de \emph{brûlage}, en anglais \emph{burn-in}) ; les suivantes sont conservées.
199+
200+\subsection{Blocs, paramétrisation et mélange}
201+
202+Rien n'oblige à tirer $\boldsymbol\beta$ et $\boldsymbol\alpha$ séparément. Conditionnellement à $\alpha_0$, $\sigma^2$ et $\tau^2$, le vecteur $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$ est le coefficient d'une régression normale sur $\mathbf{W} = [\mathbf{X}\ \mathbf{Z}]$ avec un a priori normal $\mathcal N(\alpha_0\mathbf{1}, \tau^2\mathbf{I})$ sur la partie $\boldsymbol\alpha$ et plat sur la partie $\boldsymbol\beta$, de sorte que sa conditionnelle jointe est normale :
203+\begin{equation}\label{eq:39:bloc}
204+(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha) \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{b},\ \mathbf{Q}^{-1}\right), \qquad
205+\mathbf{Q} = \frac{\mathbf{W}\T\mathbf{W}}{\sigma^2} + \begin{pmatrix}\mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \tau^{-2}\mathbf{I}_J\end{pmatrix}, \qquad
206+\mathbf{b} = \frac{\mathbf{W}\T\mathbf{y}}{\sigma^2} + \begin{pmatrix}\mathbf{0}\\ \tau^{-2}\alpha_0\mathbf{1}_J\end{pmatrix}.
207+\end{equation}
208+Tirer ce bloc d'un coup s'appelle le \motcle{Gibbs par blocs}, et la différence avec le tirage un à un n'est pas cosmétique. Lorsque deux paramètres sont fortement corrélés a posteriori, le tirage de l'un sachant l'autre ne bouge presque pas, et la chaîne met des milliers d'itérations à parcourir la postérieure : son \motcle{mélange} (en anglais \emph{mixing}) est lent. Le \cref{ch:18} a signalé une colinéarité structurelle entre la distance au centre, positive seulement au-delà de trois kilomètres, et les indicatrices des secteurs périphériques ; dans le modèle hiérarchique, elle se traduit par une forte corrélation a posteriori entre $\beta_{\text{dist}}$ et $\alpha_{\text{Buckingham}}$, $\alpha_{\text{Masson-Angers}}$, et l'échantillonneur un à un s'y enlise, comme la \cref{fig:39:traces} le montrera. Le tirage par blocs supprime le problème parce que la loi jointe intègre la corrélation. Le choix de la \emph{paramétrisation} compte pour la même raison : écrire le modèle avec des niveaux de secteur $\alpha_s$ centrés sur $\alpha_0$, comme ici, plutôt qu'avec une constante globale et des écarts $\alpha_s - \alpha_0$ de moyenne nulle, est la paramétrisation \emph{centrée} que Gelfand, Sahu et Carlin ont montrée préférable lorsque les groupes sont bien informés par les données\footnote{Gelfand, A. E., Sahu, S. K. et Carlin, B. P. (1995), « Efficient Parametrisations for Normal Linear Mixed Models », \emph{Biometrika}, 82(3), 479-488 ; DOI 10.1093/biomet/82.3.479 (vérifié ; \texttt{lib-ch39.bib}).} ; le centrage des colonnes de $\mathbf{X}$ sur leurs moyennes, qui découple $\boldsymbol\beta$ des niveaux, complète le dispositif.
209+
210+\subsection{Diagnostics de convergence}
211+
212+Une chaîne de Markov ne vient avec aucune garantie de convergence en temps fini ; les diagnostics sont obligatoires, et l'ouvrage en retient trois, tous proposés par Gelman et Rubin et raffinés depuis\footnote{Gelman, A. et Rubin, D. B. (1992), « Inference from Iterative Simulation Using Multiple Sequences », \emph{Statistical Science}, 7(4), 457-472 ; DOI 10.1214/ss/1177011136. Version scindée et rang-normalisée : Vehtari, A., Gelman, A., Simpson, D., Carpenter, B. et Bürkner, P.-C. (2021), « Rank-Normalization, Folding, and Localization: An Improved $\hat R$ for Assessing Convergence of MCMC », \emph{Bayesian Analysis}, 16(2), 667-718 ; DOI 10.1214/20-BA1221 (vérifiés ; \texttt{lib-ch39.bib}).}. Le premier est visuel : les \emph{traces} de plusieurs chaînes lancées de points de départ dispersés doivent se mêler au point de ne plus pouvoir être distinguées. Le deuxième quantifie ce mélange. Pour un paramètre scalaire, on coupe chacune des $c$ chaînes conservées en deux moitiés de longueur $n$, ce qui donne $m = 2c$ demi-chaînes, et l'on compare la variance entre demi-chaînes à la variance en leur sein :
213+\begin{equation}\label{eq:39:rhat}
214+B = \frac{n}{m - 1}\sum_{j=1}^{m}(\bar\psi_{\cdot j} - \bar\psi_{\cdot\cdot})^2, \qquad
215+W = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} s_j^2, \qquad
216+\widehat{\Var}^{+} = \frac{n - 1}{n}W + \frac{1}{n}B, \qquad
217+\hat R = \sqrt{\frac{\widehat{\Var}^{+}}{W}} .
218+\end{equation}
219+Si les chaînes ont convergé, chacune a exploré toute la postérieure, les moyennes des demi-chaînes se ressemblent, $B$ est petit devant $nW$ et $\hat R$ est proche de un ; si elles sont restées chacune dans une région, $B$ est grand et $\hat R$ dépasse nettement un. La règle courante est de ne rien conclure tant que $\hat R > 1{,}01$ pour un paramètre d'intérêt. Le découpage en moitiés détecte le cas, fréquent, où une chaîne dérive lentement sans que les autres s'en écartent : ses deux moitiés ont alors des moyennes différentes. Le troisième diagnostic mesure ce que valent les tirages. Des tirages autocorrélés contiennent moins d'information que des tirages indépendants, et la \motcle{taille d'échantillon effective}
220+\begin{equation}\label{eq:39:ess}
221+\mathit{ESS} = \frac{m\,n}{1 + 2\sum_{t=1}^{T}\hat\rho_t}, \qquad \hat\rho_t = 1 - \frac{V_t}{2\,\widehat{\Var}^{+}}, \qquad V_t = \frac{1}{m(n - t)}\sum_{j=1}^{m}\sum_{i = t+1}^{n}(\psi_{i,j} - \psi_{i-t,j})^2,
222+\end{equation}
223+est le nombre de tirages indépendants qui donneraient la même précision sur la moyenne a posteriori ; la somme des autocorrélations est tronquée au premier couple $(\hat\rho_{2t'} + \hat\rho_{2t'+1})$ négatif, suivant la règle de Geyer que \textcite[§~11.5]{gelman2013} adoptent. Une erreur de Monte-Carlo sur la moyenne a posteriori de l'ordre du dixième de l'écart-type a posteriori exige un $\mathit{ESS}$ d'une centaine ; pour des quantiles extrêmes, il en faut davantage, et la pratique vise quelques milliers.
224+
225+\subsection{Comparer des modèles}
226+
227+Faut-il traiter les secteurs par effets fixes, par effets aléatoires ou pas du tout ? La réponse bayésienne de principe passe par la vraisemblance marginale $p(\mathbf{y})$ de l'\cref{eq:39:bayes}, mais elle est indéfinie sous des a priori impropres et extrêmement sensible aux a priori vagues ; l'ouvrage lui préfère les critères fondés sur la capacité prédictive hors échantillon, qui ont l'avantage de répondre à la question que l'évaluateur se pose. Le point de départ est la densité prédictive logarithmique ponctuelle, estimée à partir de $S$ tirages $\boldsymbol\theta^{(s)}$ de la postérieure,
228+\begin{equation}\label{eq:39:lppd}
229+\widehat{\mathrm{lppd}} = \sum_{i=1}^{n}\ln\left(\frac{1}{S}\sum_{s=1}^{S} p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})\right),
230+\end{equation}
231+qui mesure à quel point le modèle prédit bien les données qu'il a vues et qui, comme toute mesure en échantillon, favorise les modèles complexes. Le \motcle{WAIC} de Watanabe la corrige par le nombre effectif de paramètres, estimé par la somme des variances a posteriori des log-densités\footnote{Watanabe, S. (2010), « Asymptotic Equivalence of Bayes Cross Validation and Widely Applicable Information Criterion in Singular Learning Theory », \emph{Journal of Machine Learning Research}, 11, 3571-3594 (page de la revue consultée le 31 octobre 2026). Vehtari, A., Gelman, A. et Gabry, J. (2017), « Practical Bayesian Model Evaluation Using Leave-One-Out Cross-Validation and WAIC », \emph{Statistics and Computing}, 27(5), 1413-1432 ; DOI 10.1007/s11222-016-9696-4 (vérifié ; \texttt{lib-ch39.bib}).} :
232+\begin{equation}\label{eq:39:waic}
233+p_{\mathrm{WAIC}} = \sum_{i=1}^{n}\Var_{s}\!\left[\ln p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})\right], \qquad
234+\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}} = \widehat{\mathrm{lppd}} - p_{\mathrm{WAIC}}, \qquad
235+\mathrm{WAIC} = -2\,\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}} .
236+\end{equation}
237+Le WAIC approche la validation croisée « une observation à la fois » (en anglais \emph{leave-one-out}, LOO), c'est-à-dire la somme des log-densités prédictives de chaque vente calculées par un modèle estimé sans elle. Cette dernière se calcule exactement, en forme fermée, pour le modèle conjugué, puisque la \cref{prop:39-predictive} donne la prédictive de chaque vente retirée après une réestimation que l'\cref{eq:39:posterieure} rend instantanée ; pour le modèle hiérarchique, on l'approche sans réestimer par échantillonnage préférentiel, en repondérant les tirages de la postérieure complète par $1/p(y_i \mid \boldsymbol\theta^{(s)})$, poids que l'on tronque pour en stabiliser la variance, selon le principe de la méthode PSIS de Vehtari, Gelman et Gabry. Les trois quantités, WAIC, LOO exact et LOO par importance, doivent concorder pour un modèle bien conditionné, et l'exemple le vérifie. Elles se comparent entre modèles par leur différence et par l'erreur-type de cette différence ; une différence d'$\widehat{\mathrm{elpd}}$ inférieure à son erreur-type ne départage rien, et c'est alors la simplicité ou l'interprétabilité qui décide.
238+
239+\section{Exemple intégral : la maison du cas 1 et les secteurs de Gatineau}\label{sec:39:exemple}
240+
241+\begin{synthetique}
242+Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}, graine 20261031) sont fictives et engendrées par la loi semi-logarithmique déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md} et rappelée au \cref{ch:18} : élasticité de 0,55 pour la superficie habitable, primes de secteur égales au logarithme du rapport des médianes publiées par l'APCIQ au troisième trimestre de 2026 à celle de Hull (Masson-Angers : moins deux points, hypothèse), croissance annuelle composée de 4,43 \% et erreur normale d'écart-type 0,085 \parencite{apciqgatineaut32026,gatineaurole2027}. Les coordonnées sont synthétiques et aucune adresse n'existe. La connaissance des lois de génération permet de vérifier que les postérieures couvrent les vrais paramètres et que l'échantillonneur retrouve ce qu'il doit retrouver, ce qu'aucune donnée réelle ne permet. Tous les chiffres de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch39.py} ; les régresseurs sont ceux de \texttt{traite.cas1.matrice}, le modèle fréquentiste de comparaison est \texttt{traite.cas1.hedonique} et son intervalle \texttt{traite.cas1.intervalle\_prediction}. Les tirages de Gibbs proviennent de quatre chaînes de 3 000 itérations dont 1 000 de brûlage, soit 8 000 tirages conservés.
243+\end{synthetique}
244+
245+\begin{exemple}{Postérieures, prédictive du sujet, petit marché et effets de secteur}{cas1-bayes39}
246+L'exemple procède en six étapes : la régression conjuguée sur les 600 ventes et sa confrontation aux moindres carrés ; la prédictive du sujet et sa comparaison à l'intervalle du \cref{ch:18} ; le petit marché des quarante ventes autour du sujet avec un a priori emprunté aux autres secteurs ; le modèle hiérarchique des secteurs et ses diagnostics ; l'expérience du secteur de Masson-Angers réduit à cinq, dix et vingt ventes ; la comparaison des trois traitements des secteurs par le WAIC et la validation croisée.
247+
248+\emph{Étape 1 : la régression conjuguée sur 600 ventes.} Le \cref{tab:39:conjugue} présente la postérieure NIG sous l'a priori de référence. Conformément à la \cref{prop:39-reference}, les moyennes a posteriori coïncident avec les coefficients MCO du \cref{tab:18:resultats} à la dixième décimale, $a_n = 292$, soit $\nu = 584$ degrés de liberté, et $b_n = 2{,}0122$, la moitié de la somme des carrés des résidus. La moyenne a posteriori de $\sigma$ est 0,0832, contre $\hat\sigma = 0{,}0830$ : la différence est le facteur $(n - k)/(n - k - 2)$. Les écarts-types a posteriori sont ceux de la Student de référence, très proches des erreurs-types HC1 du \cref{ch:18} parce que les erreurs du jeu sont homoscédastiques : 0,0138 contre 0,0127 pour l'élasticité de la superficie, 0,0669 contre 0,0672 pour Masson-Angers. Les quinze paramètres de génération tombent dans les intervalles de crédibilité à 95 \%, et la \cref{fig:39:posterieures} montre six de ces densités marginales avec le paramètre vrai et l'estimation MCO : les courbes sont des Student à 584 degrés de liberté, indiscernables de normales. Sous l'a priori faiblement informatif propre ($\mathbf{V}_0 = 10^4\mathbf{I}$, $a_0 = b_0 = 10^{-3}$), les moyennes a posteriori ne s'écartent des coefficients MCO que de $3 \times 10^{-5}$ au plus, mais $a_n = 300{,}001$, $\nu = 600$ et la moyenne a posteriori de $\sigma$ tombe à 0,0821 : l'a priori propre « achète » les seize paramètres et rend la dispersion un peu trop optimiste. La cohérence séquentielle se vérifie en prenant la postérieure des 344 ventes de 2023 et 2024 comme a priori des 256 ventes de 2025 et 2026 : la postérieure finale coïncide avec celle des 600 ventes à $10^{-11}$ près, pour les moyennes comme pour $a_n$ et $b_n$.
249+
250+\emph{Étape 2 : la prédictive du sujet.} Pour le cottage de \msq{165} à Hull évalué au 1\ier{} septembre 2026, le centre de la prédictive est $\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n = 13{,}3627$, la médiane a posteriori du prix $\exp(13{,}3627) = \dollars{635821}$ et l'échelle $s^{*} = 0{,}08364$, dont 1,49 \% provient de $\mathbf{x}_s\T\mathbf{V}_n\mathbf{x}_s$, l'incertitude sur les coefficients, le reste étant le bruit de transaction. L'intervalle de crédibilité à 95 \% va de \dollars{539504} à \dollars{749334}, celui à 90 \% de \dollars{553979} à \dollars{729754} (\cref{tab:39:predictive}). L'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}, de \dollars{539682} à \dollars{749087}, en diffère de moins de 0,04 \% à chaque borne : les deux calculs utilisent les mêmes nombres, à la différence près du quantile de Student (1,964 contre 1,960) et de la matrice de covariance (classique contre HC1), qui se compensent presque exactement ici. Ce que le bayésien apporte n'est donc pas un intervalle différent ; c'est le droit de dire que, sous le modèle, la probabilité que le sujet se vende entre \dollars{540000} et \dollars{749000} est de 95 \%, et que la probabilité qu'il se vende au-dessus de \dollars{650000} est de 39,6 \% (\cref{ex:39:2}). La \cref{fig:39:predictive} superpose cette prédictive de Student à celle du modèle hiérarchique de l'étape 4 et aux bornes du \cref{ch:18}.
251+
252+\emph{Étape 3 : un petit marché et un a priori emprunté.} Les filtres du \cref{ch:16} laissent quarante ventes dans un rayon de trois kilomètres du sujet au cours des dix-huit derniers mois. Estimer sur ces quarante ventes un modèle à douze paramètres, les indicatrices de secteur étant constantes dans ce sous-échantillon, est la situation du marché mince. Sous l'a priori de référence, la postérieure ne dispose que de $\nu = 28$ degrés de liberté : l'élasticité de la superficie est estimée à 0,611 avec un écart-type de 0,067, l'échelon de qualité à 0,101 (0,022), la place de garage à 0,010 (0,024), et la moyenne a posteriori de $\sigma$ monte à 0,0924 ; le sujet est prédit à une médiane de \dollars{650965} dans un intervalle à 95 \% de \dollars{535079} à \dollars{791950}, large de 39,5 \% de la médiane (\cref{tab:39:petit}). L'a priori informatif emprunte aux 414 ventes des quatre autres secteurs la postérieure de leurs prix implicites, sans leur constante, selon la règle de la \cref{sec:39:conjugue}. Avec $\kappa = 1$, l'élasticité devient 0,543 (0,016), la qualité 0,062 (0,005), le garage 0,027 (0,006), presque les valeurs des 600 ventes ; la médiane du sujet descend à \dollars{630978} et l'intervalle se resserre à 33,2 \% de la médiane, de \dollars{534942} à \dollars{744255}. Avec $\kappa = 4$ et $\kappa = 16$, les postérieures s'éloignent graduellement de l'a priori vers l'estimation locale, et la \cref{fig:39:prior} en montre le glissement. Deux enseignements. Le premier est que l'a priori agit surtout sur la \emph{position} de la prédiction, qu'il déplace de \dollars{20000}, et sur les coefficients, dont il divise l'incertitude par quatre, mais peu sur la \emph{largeur} de l'intervalle du sujet, qui passe de 39,5 à 33,2 \% : la largeur est gouvernée par $\sigma$, que quarante ventes mesurent déjà grossièrement, et par les degrés de liberté de la Student. Le second est que la version $\kappa = 1$ reproduit presque la postérieure des 600 ventes, ce qui est attendu puisque les quarante ventes locales appartiennent au même jeu synthétique que les 414 autres ; sur un marché réel, l'écart entre l'estimation locale et l'a priori emprunté serait l'information la plus précieuse de l'analyse, parce qu'il mesurerait ce que le petit marché a de spécifique. Le sous-échantillon de Hull seul, 186 ventes, donne une médiane de \dollars{623894} et un intervalle de \dollars{526381} à \dollars{739471}, intermédiaire.
253+
254+\emph{Étape 4 : le modèle hiérarchique des secteurs.} Le \cref{tab:39:hier} rapporte la postérieure du modèle \eqref{eq:39:hier} obtenue par le Gibbs par blocs. Les coefficients des caractéristiques sont ceux du modèle à effets fixes, à moins d'un centième d'écart-type ; $\sigma$ a pour moyenne 0,0832 ; $\tau$ a une médiane de 0,181 et un intervalle à 90 \% de 0,089 à 0,494, large comme on l'attend de cinq groupes ; le niveau moyen des secteurs $\alpha_0$ vaut 13,021 avec un écart-type de 0,147. Les effets relatifs à Hull, $\alpha_s - \alpha_{\text{Hull}}$, se comparent directement aux indicatrices du \cref{ch:18} : $-0{,}015$ contre $-0{,}022$ pour le secteur Gatineau, $+0{,}098$ contre $+0{,}085$ pour Aylmer, $-0{,}207$ contre $-0{,}250$ pour Buckingham et $-0{,}224$ contre $-0{,}263$ pour Masson-Angers. Les deux secteurs périphériques sont rétrécis d'environ 0,04 vers la moyenne commune, qui se situe à $\alpha_0 - \alpha_{\text{Hull}} = -0{,}07$, et les deux primes vraies, $-0{,}184$ et $-0{,}204$, sont à l'intérieur de tous les intervalles ; il se trouve que les estimations rétrécies en sont plus proches que les effets fixes, mais c'est une propriété de ce tirage, non une garantie. Les facteurs de rétrécissement \eqref{eq:39:retrecissement} à la médiane de $\sigma^2$ et $\tau^2$ valent 0,999 pour Hull, Gatineau et Aylmer, 0,995 pour Buckingham et Masson-Angers : avec des secteurs aussi différents, quarante-deux ventes suffisent à fixer un niveau. Le \cref{tab:39:diagnostics} et la \cref{fig:39:traces} comparent les deux échantillonneurs. Par blocs, tous les $\hat R$ sont inférieurs à 1,002 et les tailles d'échantillon effectives dépassent 4 700 sur 8 000 pour tous les effets de secteur, 2 985 pour $\tau$ ; un paramètre à la fois, les coefficients des caractéristiques physiques ont des $\hat R$ excellents, mais la distance au centre et les niveaux de Hull, Buckingham et Masson-Angers ont des $\hat R$ de 1,06 à 1,07 et des $\mathit{ESS}$ de 91 à 98, soit un tirage utile sur quatre-vingts. Les traces du haut de la figure montrent des chaînes qui dérivent lentement et séparément ; celles du bas se mêlent dès la première itération. C'est la colinéarité structurelle du \cref{tab:18:diagnostics}, distance au centre contre secteurs périphériques, vue du côté de l'algorithme. La prédictive du sujet, obtenue en exponentiant $(\mathbf{x}_s - \bar{\mathbf{x}})\T\boldsymbol\beta^{(s)} + \alpha_{\text{Hull}}^{(s)} + \varepsilon^{(s)}$ pour chacun des 8 000 tirages, a une médiane de \dollars{634748}, une moyenne de \dollars{637727}, un intervalle à 90 \% de \dollars{554564} à \dollars{729004} et un intervalle à 95 \% de \dollars{540309} à \dollars{749431} (\cref{tab:39:predictive}). La moyenne est à \dollars{226} de la prédiction de Duan du \cref{ch:18}, ce qui illustre la dernière ligne du \cref{tab:39:vocabulaire} : la retransformation est implicite dans la prédictive. L'écart-type du logarithme vaut 0,0834, dont 0,0103 seulement pour la composante « moyenne » $(\mathbf{x}_s - \bar{\mathbf{x}})\T\boldsymbol\beta + \alpha_{\text{Hull}}$.
255+
256+\emph{Étape 5 : Masson-Angers réduit à cinq, dix et vingt ventes.} Pour montrer le rétrécissement là où il compte, on retire des ventes de Masson-Angers en ne conservant qu'un sous-ensemble emboîté de cinq, dix, vingt, puis les quarante-sept ventes, et l'on réestime les deux modèles ; le \cref{tab:39:experience} et la \cref{fig:39:retrecissement} rapportent l'effet du secteur et la prédictive d'un sujet hypothétique de mêmes caractéristiques que celui du cas 1 mais situé à Masson-Angers, à la distance médiane du secteur (26,9 km du centre). Avec cinq ventes, l'effet fixe est de $-0{,}342$ avec un écart-type de 0,076 et l'effet aléatoire de $-0{,}300$ avec un écart-type de 0,080 ; le facteur $B$ vaut 0,970, de sorte que trois pour cent de l'estimation proviennent de la moyenne commune, et l'effet rétréci est déplacé de 0,042 vers elle. Avec dix ventes, $-0{,}321$ contre $-0{,}282$ ; avec vingt, $-0{,}280$ contre $-0{,}239$ ; avec quarante-sept, $-0{,}263$ contre $-0{,}224$. Dans les quatre cas, l'effet rétréci est plus proche du paramètre vrai, $-0{,}204$, que l'effet fixe, et les deux intervalles le contiennent. L'écart-type a posteriori de l'effet aléatoire est légèrement supérieur à celui de l'effet fixe, ce qui peut surprendre après l'\cref{eq:39:retrecissement} : la variance conditionnelle $B_s\sigma^2/n_s$ est bien inférieure à $\sigma^2/n_s$, mais la postérieure marginale intègre l'incertitude sur $\tau$, $\alpha_0$ et $\sigma$, et avec cinq groupes cette intégration ajoute davantage que le rétrécissement ne retranche. Les prédictives du sujet hypothétique le confirment : la médiane passe de \dollars{418591} à \dollars{448726} entre cinq et quarante-sept ventes pour le modèle à effets fixes, de \dollars{421106} à \dollars{448829} pour le modèle hiérarchique, et la largeur de l'intervalle à 95 \%, de 36,1 à 33,4 \% de la médiane pour l'un, de 36,1 à 33,1 \% pour l'autre. Que cinq ventes locales suffisent à produire un intervalle à peine plus large que quarante-sept tient à la domination du bruit de transaction, déjà relevée au \cref{ch:18} ; ce que les ventes supplémentaires apportent, c'est la position de l'intervalle, qui bouge de \dollars{30000}.
257+
258+\emph{Étape 6 : comparer les trois traitements des secteurs.} Le \cref{tab:39:criteres} applique le WAIC et la validation croisée aux trois modèles. Le regroupement complet, sans secteur, a une $\widehat{\mathrm{elpd}}_{\mathrm{WAIC}}$ de 497,8 ; les effets fixes, 633,2 ; les effets aléatoires, 632,9. La différence entre le regroupement complet et les deux autres, 135 unités pour une erreur-type d'une vingtaine, est écrasante ; celle entre effets fixes et aléatoires, 0,3 unité pour une erreur-type de 16, ne départage rien, et c'est le résultat attendu lorsque tous les secteurs ont assez de ventes pour que $B_s$ soit proche de un. Le nombre effectif de paramètres, $p_{\mathrm{WAIC}}$, vaut 12,4, 16,0 et 16,1 pour 12 et 16 coefficients, puis 16 coefficients et deux hyperparamètres ($\alpha_0$, $\tau$) : le modèle hiérarchique « dépense » à peine plus que le modèle à effets fixes, parce que le rétrécissement est faible ici, et il dépenserait moins si les secteurs étaient pauvres en ventes. Pour les deux modèles conjugués, le LOO exact, 497,8 et 633,1, et le LOO par importance tronquée concordent avec le WAIC à moins d'une dixième d'unité ; pour le modèle hiérarchique, le LOO par importance donne 632,9. Le choix entre effets fixes et aléatoires se fait donc ici sur d'autres critères : le modèle hiérarchique est préférable dès qu'un secteur est peu documenté ou qu'un sujet se trouve dans un secteur sans ventes, où l'effet fixe n'existe pas et où le modèle hiérarchique propose $\alpha_0$ avec un écart-type $\tau$, et il est indifférent sinon.
259+\end{exemple}
260+
261+\begin{table}[htbp]
262+\caption{Régression hédonique bayésienne conjuguée sur les 600 ventes du cas 1 : a priori de référence, postérieure NIG et comparaison aux moindres carrés (données synthétiques)}\label{tab:39:conjugue}
263+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
264+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-1.4]@{}}
265+\toprule
266+Variable & {MCO $\hat\beta$} & {E.-t. HC1} & {Moy. a post.} & {É.-t. a post.} & {Créd. 2,5 \%} & {Créd. 97,5 \%} & {Vrai} \\
267+\midrule
268+Constante & 13.2074 & 0.0138 & 13.2074 & 0.0152 & 13.1777 & 13.2372 & {---} \\
269+ln(superficie habitable / 140) & 0.5391 & 0.0127 & 0.5391 & 0.0138 & 0.5121 & 0.5660 & 0.5500 \\
270+ln(terrain / 560) & 0.0937 & 0.0110 & 0.0937 & 0.0105 & 0.0730 & 0.1143 & 0.1000 \\
271+Âge & -0.0051 & 0.0006 & -0.0051 & 0.0006 & -0.0063 & -0.0039 & -0.0055 \\
272+Âge² / 100 & 0.0026 & 0.0006 & 0.0026 & 0.0007 & 0.0013 & 0.0040 & 0.0030 \\
273+Qualité (écart à 3) & 0.0611 & 0.0042 & 0.0611 & 0.0041 & 0.0531 & 0.0691 & 0.0600 \\
274+Garage (places) & 0.0324 & 0.0050 & 0.0324 & 0.0052 & 0.0222 & 0.0426 & 0.0350 \\
275+Sous-sol fini & 0.0220 & 0.0069 & 0.0220 & 0.0070 & 0.0083 & 0.0356 & 0.0300 \\
276+Piscine & 0.0263 & 0.0084 & 0.0263 & 0.0100 & 0.0067 & 0.0459 & 0.0200 \\
277+À étages & 0.0301 & 0.0069 & 0.0301 & 0.0069 & 0.0166 & 0.0436 & 0.0200 \\
278+Distance au centre $>$ 3 km & -0.0036 & 0.0027 & -0.0036 & 0.0027 & -0.0089 & 0.0018 & -0.0060 \\
279+Secteur Gatineau & -0.0223 & 0.0146 & -0.0223 & 0.0147 & -0.0511 & 0.0065 & -0.0215 \\
280+Secteur Aylmer & 0.0854 & 0.0231 & 0.0854 & 0.0237 & 0.0390 & 0.1318 & 0.1096 \\
281+Secteur Buckingham & -0.2504 & 0.0718 & -0.2504 & 0.0732 & -0.3940 & -0.1067 & -0.1844 \\
282+Secteur Masson-Angers & -0.2631 & 0.0672 & -0.2631 & 0.0669 & -0.3943 & -0.1320 & -0.2044 \\
283+Mois depuis le 1\ier{} juillet 2024 & 0.0036 & 0.0003 & 0.0036 & 0.0003 & 0.0031 & 0.0042 & 0.0036 \\
284+\midrule
285+\multicolumn{8}{@{}l}{$n = 600$ ; $k = 16$ ; $a_n = 292$ ($\nu = 584$) ; $b_n = 2{,}0122$ ; $\E[\sigma \mid \mathbf{y}] = 0{,}0832$ (MCO : 0,0830 ; vrai : 0,085) ; 15 paramètres vrais sur 15 dans l'intervalle à 95 \%} \\
286+\bottomrule
287+\end{tabular}
288+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Écart-type a posteriori de la marginale de Student ; intervalles de crédibilité à queues égales ; MCO et HC1 : \cref{tab:18:resultats}.}
289+\end{table}
290+
291+\begin{figure}[htbp]
292+\centering
293+\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-posterieures.pdf}
294+\caption{Densités marginales a posteriori de six paramètres du modèle conjugué (a priori de référence, 600 ventes) : lois de Student à 584 degrés de liberté, indiscernables de normales. Le point et sa barre donnent l'estimation MCO avec $\pm 1{,}96$ erreur-type HC1 ; la ligne tiretée, le paramètre de génération. Les deux lectures coïncident numériquement ; seule leur interprétation diffère.}\label{fig:39:posterieures}
295+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}
296+\end{figure}
297+
298+\begin{table}[htbp]
299+\caption{Distribution prédictive du prix du sujet du cas 1 au 1\ier{} septembre 2026 selon trois approches (données synthétiques)}\label{tab:39:predictive}
300+\centering\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
301+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0]@{}}
302+\toprule
303+Approche & {Médiane (\$)} & {Moyenne (\$)} & {Borne 5 \%} & {Borne 95 \%} & {Borne 2,5 \%} & {Borne 97,5 \%} \\
304+\midrule
305+Fréquentiste (ch. 18 : normale, HC1, Duan) & 635821 & 637953 & 554095 & 729601 & 539682 & 749087 \\
306+Conjuguée, a priori de référence (Student, 584 ddl) & 635821 & {n'existe pas} & 553979 & 729754 & 539504 & 749334 \\
307+Hiérarchique (8 000 tirages de Gibbs) & 634748 & 637727 & 554564 & 729004 & 540309 & 749431 \\
308+\bottomrule
309+\end{tabular}
310+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} ; ligne fréquentiste : \texttt{traite.cas1.predire} et \texttt{intervalle\_prediction} aux niveaux 90 et 95 \%}. La moyenne d'une loi log-Student n'existe pas (\cref{prop:39-predictive}) ; la moyenne hiérarchique est la moyenne des tirages exponentiés.}
311+\end{table}
312+
313+\begin{figure}[htbp]
314+\centering
315+\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-predictive.pdf}
316+\caption{Distribution prédictive a posteriori du prix du sujet : densité des 8 000 tirages du modèle hiérarchique (aire, avec les intervalles de crédibilité à 90 et 95 \% en teintes plus foncées), prédictive de Student du modèle conjugué (tirets) et bornes de l'intervalle de prédiction fréquentiste à 95 \% du chapitre 18 (traits mixtes). Les trois approches donnent le même intervalle ; la lecture bayésienne autorise à l'énoncer comme une probabilité.}\label{fig:39:predictive}
317+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}
318+\end{figure}
319+
320+\begin{table}[htbp]
321+\caption{Petit marché : 40 ventes à moins de 3 km du sujet et de moins de 18 mois, sous un a priori de référence et sous un a priori emprunté aux 414 ventes des autres secteurs (données synthétiques)}\label{tab:39:petit}
322+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
323+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.4] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1]@{}}
324+\toprule
325+A priori & {$\beta_{\ln S}$ (é.-t.)} & {Qualité (é.-t.)} & {Garage (é.-t.)} & {$\E[\sigma]$} & {Médiane (\$)} & {Créd. 2,5 \%} & {Créd. 97,5 \%} & {Largeur (\%)} \\
326+\midrule
327+Référence, 40 ventes ($\nu = 28$) & {0,611 (0,067)} & {0,101 (0,022)} & {0,010 (0,024)} & 0.0924 & 650965 & 535079 & 791950 & 39.5 \\
328+Marché voisin, $\kappa = 1$ & {0,543 (0,016)} & {0,062 (0,005)} & {0,027 (0,006)} & 0.0829 & 630978 & 534942 & 744255 & 33.2 \\
329+Marché voisin, $\kappa = 4$ & {0,550 (0,028)} & {0,067 (0,008)} & {0,025 (0,011)} & 0.0826 & 633734 & 536880 & 748059 & 33.3 \\
330+Marché voisin, $\kappa = 16$ & {0,568 (0,042)} & {0,076 (0,013)} & {0,019 (0,016)} & 0.0823 & 637196 & 539063 & 753193 & 33.6 \\
331+\midrule
332+Référence, Hull seul (186 ventes) & {0,540 (0,025)} & {---} & {---} & {---} & 623894 & 526381 & 739471 & 34.2 \\
333+Référence, 600 ventes & {0,539 (0,014)} & {0,061 (0,004)} & {0,032 (0,005)} & 0.0832 & 635821 & 539504 & 749334 & 33.0 \\
334+\bottomrule
335+\end{tabular}
336+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Largeur : $(\text{borne } 97{,}5\,\% - \text{borne } 2{,}5\,\%)/\text{médiane}$. A priori emprunté : pentes centrées sur la postérieure des autres secteurs avec $\mathbf{V}_0 = \kappa\mathbf{V}^{v}$, constante plate, $a_0 = a^{v}$, $b_0 = b^{v}$.}
337+\end{table}
338+
339+\begin{figure}[htbp]
340+\centering
341+\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-prior-informatif.pdf}
342+\caption{Postérieures de l'élasticité de la superficie et de l'échelon de qualité sur les 40 ventes du petit marché, sous l'a priori de référence (courbe large) et sous l'a priori emprunté au marché voisin pour trois degrés de défiance $\kappa$ ; la courbe grise est la postérieure des 600 ventes et la ligne tiretée le paramètre de génération. À $\kappa = 1$ l'a priori domine ; à $\kappa = 16$ les quarante ventes reprennent la main.}\label{fig:39:prior}
343+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}
344+\end{figure}
345+
346+\begin{table}[htbp]
347+\caption{Modèle hiérarchique des secteurs sur les 600 ventes du cas 1 : postérieure par Gibbs par blocs (4 chaînes, 8 000 tirages) et effets de secteur relatifs à Hull comparés aux effets fixes du chapitre 18 (données synthétiques)}\label{tab:39:hier}
348+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
349+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-2.4] S[table-format=-1.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-1.4]@{}}
350+\toprule
351+Paramètre & {Moyenne} & {É.-t.} & {Créd. 2,5 \%} & {Créd. 97,5 \%} & {Effet fixe} & {E.-t. HC1} & {Vrai} \\
352+\midrule
353+$\sigma$ & 0.0832 & 0.0024 & 0.0785 & 0.0881 & 0.0830 & {---} & 0.0850 \\
354+$\tau$ (médiane 0,181) & 0.2281 & 0.2050 & 0.0797 & 0.6330 & {---} & {---} & {---} \\
355+$\alpha_0$ (niveau moyen des secteurs) & 13.0209 & 0.1474 & 12.7786 & 13.2561 & {---} & {---} & {---} \\
356+$\alpha_{\text{Hull}}$ & 13.0896 & 0.0203 & 13.0504 & 13.1293 & {---} & {---} & {---} \\
357+\addlinespace
358+$\alpha_{\text{Gatineau}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.0153 & 0.0151 & -0.0450 & 0.0141 & -0.0223 & 0.0146 & -0.0215 \\
359+$\alpha_{\text{Aylmer}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & 0.0976 & 0.0243 & 0.0507 & 0.1449 & 0.0854 & 0.0231 & 0.1096 \\
360+$\alpha_{\text{Buckingham}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.2073 & 0.0761 & -0.3562 & -0.0606 & -0.2504 & 0.0718 & -0.1844 \\
361+$\alpha_{\text{Masson-Angers}} - \alpha_{\text{Hull}}$ & -0.2240 & 0.0695 & -0.3602 & -0.0894 & -0.2631 & 0.0672 & -0.2044 \\
362+\addlinespace
363+$\beta_{\ln S}$ & 0.5395 & 0.0137 & 0.5130 & 0.5662 & 0.5391 & 0.0127 & 0.5500 \\
364+$\beta_{\text{qualité}}$ & 0.0613 & 0.0041 & 0.0533 & 0.0695 & 0.0611 & 0.0042 & 0.0600 \\
365+$\beta_{\text{dist}}$ & -0.0052 & 0.0028 & -0.0106 & 0.0004 & -0.0036 & 0.0027 & -0.0060 \\
366+\midrule
367+\multicolumn{8}{@{}l}{Facteurs de rétrécissement $B_s$ à la médiane de $(\sigma^2, \tau^2)$ : Hull 0,999 ; Gatineau 0,999 ; Aylmer 0,998 ; Buckingham 0,995 ; Masson-Angers 0,995} \\
368+\bottomrule
369+\end{tabular}
370+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. A priori : plats sur $\boldsymbol\beta$ et $\alpha_0$, $1/\sigma^2$ sur $\sigma^2$, uniforme sur $\tau$ ; les autres coefficients sont dans le script.}
371+\end{table}
372+
373+\begin{table}[htbp]
374+\caption{Diagnostics de convergence des deux échantillonneurs de Gibbs (4 chaînes de 2 000 tirages conservés) pour les paramètres les plus corrélés a posteriori}\label{tab:39:diagnostics}
375+\centering\small
376+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=4.0] S[table-format=1.3] S[table-format=4.0]@{}}
377+\toprule
378+ & \multicolumn{2}{c}{Un paramètre à la fois} & \multicolumn{2}{c}{Par blocs $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$} \\
379+\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}
380+Paramètre & {$\hat R$} & {ESS} & {$\hat R$} & {ESS} \\
381+\midrule
382+Distance au centre & 1.065 & 91 & 1.000 & 4785 \\
383+$\alpha_{\text{Hull}}$ & 1.058 & 98 & 1.000 & 4976 \\
384+$\alpha_{\text{Gatineau}}$ & 1.040 & 153 & 1.000 & 5881 \\
385+$\alpha_{\text{Aylmer}}$ & 1.007 & 749 & 1.000 & 7662 \\
386+$\alpha_{\text{Buckingham}}$ & 1.067 & 92 & 1.000 & 4750 \\
387+$\alpha_{\text{Masson-Angers}}$ & 1.062 & 94 & 1.000 & 4745 \\
388+$\alpha_0$ & 1.001 & 208 & 1.000 & 6950 \\
389+$\tau$ & 1.006 & 678 & 1.001 & 2985 \\
390+$\sigma$ & 1.000 & 7616 & 1.000 & 7664 \\
391+Élasticité de la superficie & 1.000 & 5852 & 1.000 & 6721 \\
392+\bottomrule
393+\end{tabular}
394+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. $\hat R$ scindé \eqref{eq:39:rhat} et ESS \eqref{eq:39:ess} ; 8 000 tirages conservés au total.}
395+\end{table}
396+
397+\begin{figure}[htbp]
398+\centering
399+\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-traces.pdf}
400+\caption{Traces des quatre chaînes (mille premières itérations conservées) pour l'effet de Masson-Angers relatif à Hull et pour le coefficient de la distance au centre. En haut, l'échantillonneur un paramètre à la fois : les chaînes dérivent lentement et séparément, $\hat R$ dépasse 1,06 et l'ESS est inférieur à cent. En bas, le Gibbs par blocs : les chaînes se mêlent immédiatement. La corrélation a posteriori entre la distance et les niveaux des secteurs périphériques est la cause du mélange lent.}\label{fig:39:traces}
401+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}
402+\end{figure}
403+
404+\begin{table}[htbp]
405+\caption{Expérience : secteur de Masson-Angers réduit à 5, 10, 20 puis 47 ventes ; effet du secteur et prédictive d'un sujet hypothétique situé à Masson-Angers (données synthétiques)}\label{tab:39:experience}
406+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
407+\begin{tabular}{@{}S[table-format=2.0] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1] S[table-format=6.0] S[table-format=2.1]@{}}
408+\toprule
409+{$n_{\text{MA}}$} & {Effet fixe} & {É.-t.} & {Effet aléat.} & {É.-t.} & {$\tau$ méd.} & {$B_{\text{MA}}$} & {Méd. fixe (\$)} & {Larg. (\%)} & {Méd. hiér. (\$)} & {Larg. (\%)} \\
410+\midrule
411+5 & -0.342 & 0.076 & -0.300 & 0.080 & 0.211 & 0.970 & 418591 & 36.1 & 421106 & 36.1 \\
412+10 & -0.321 & 0.071 & -0.282 & 0.074 & 0.204 & 0.984 & 428848 & 34.6 & 430624 & 34.8 \\
413+20 & -0.280 & 0.069 & -0.239 & 0.072 & 0.187 & 0.990 & 443619 & 34.0 & 443556 & 34.0 \\
414+47 & -0.263 & 0.067 & -0.224 & 0.070 & 0.181 & 0.996 & 448726 & 33.4 & 448829 & 33.1 \\
415+\bottomrule
416+\end{tabular}
417+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Paramètre vrai de Masson-Angers : $-0{,}2044$ ; sous-ensembles emboîtés tirés avec la graine 20261031 ; sujet hypothétique : caractéristiques du sujet du cas 1, secteur Masson-Angers, 26,9 km du centre ; largeur de l'intervalle à 95 \% en pourcentage de la médiane.}
418+\end{table}
419+
420+\begin{figure}[htbp]
421+\centering
422+\includegraphics[width=\textwidth]{ch39/ch39-fig-retrecissement.pdf}
423+\caption{À gauche, l'effet de Masson-Angers relatif à Hull selon le nombre de ventes conservées : effet fixe avec son intervalle à 95 \% et effet aléatoire avec son intervalle de crédibilité, paramètre de génération (tirets) et moyenne des secteurs (pointillés). L'effet aléatoire est tiré vers la moyenne commune, d'autant plus que les ventes sont rares. À droite, le facteur de rétrécissement $B_s$ de l'\cref{eq:39:retrecissement} selon $n_s$ pour trois valeurs de $\tau$, avec les points de l'expérience : plus les secteurs se ressemblent, plus le rétrécissement est fort.}\label{fig:39:retrecissement}
424+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch39\_figures.py}, graine 20261031}.}
425+\end{figure}
426+
427+\begin{table}[htbp]
428+\caption{Comparaison des trois traitements des secteurs par le WAIC et la validation croisée une observation à la fois (600 ventes, données synthétiques)}\label{tab:39:criteres}
429+\centering\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
430+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.1] S[table-format=2.1] S[table-format=3.1] S[table-format=2.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1] S[table-format=-3.1]@{}}
431+\toprule
432+Modèle & {Coeff.} & {lppd} & {$p_{\mathrm{WAIC}}$} & {elpd$_{\mathrm{WAIC}}$} & {E.-t.} & {LOO exact} & {LOO import.} & {$\Delta$elpd} \\
433+\midrule
434+Regroupement complet (sans secteur) & 12 & 510.2 & 12.4 & 497.8 & 17.5 & 497.8 & 497.8 & -135.3 \\
435+Effets fixes de secteur (ch. 18) & 16 & 649.2 & 16.0 & 633.2 & 16.2 & 633.1 & 633.1 & 0.0 \\
436+Effets aléatoires de secteur (hiérarchique) & {16 + 2} & 649.0 & 16.1 & 632.9 & 16.3 & {---} & 632.9 & -0.3 \\
437+\bottomrule
438+\end{tabular}
439+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. 2 000 tirages par modèle ; LOO exact par réestimation en forme fermée (modèles conjugués) ; LOO par importance tronquée ; E.-t. : erreur-type de l'elpd ; $\Delta$elpd par rapport au meilleur modèle. WAIC $= -2\,\mathrm{elpd}$ : $-995{,}7$, $-1266{,}3$ et $-1265{,}7$.}
440+\end{table}
441+
442+\section{Analyse de sensibilité : l'a priori sur la variance des secteurs}\label{sec:39:sensibilite}
443+
444+Le paramètre le moins bien informé du modèle hiérarchique est $\tau$, et la \cref{sec:39:hierarchique} a annoncé que son a priori compte lorsque les groupes sont peu nombreux. Le \cref{tab:39:sensibilite} réestime le modèle sous quatre a priori : l'uniforme sur $\tau$ retenu dans le chapitre ; l'inverse-gamma $\mathcal{IG}(0{,}001 ; 0{,}001)$ sur $\tau^2$, longtemps présentée comme non informative ; une inverse-gamma $\mathcal{IG}(1 ; 0{,}01)$, plus concentrée ; et un $\tau$ fixé à l'écart-type des quatre effets fixes et de zéro, 0,157, ce qui est l'approche dite du \emph{bayésien empirique}. Sur les 600 ventes, la médiane a posteriori de $\tau$ varie de 0,129 à 0,181 selon l'a priori, et l'effet de Masson-Angers de $-0{,}200$ à $-0{,}224$ ; avec cinq ventes à Masson-Angers, de $-0{,}269$ à $-0{,}300$. L'inverse-gamma « non informative » rapproche bien $\tau$ de zéro, comme Gelman (2006) l'avait montré, et rétrécit davantage ; mais l'ampleur de l'effet reste modeste, 0,03 sur un effet de 0,3, parce que la vraisemblance des cinq secteurs, très différents les uns des autres, domine l'a priori dans la région qui compte. Fixer $\tau$ réduit l'écart-type a posteriori de l'effet d'environ dix pour cent, ce qui est le prix de l'incertitude sur $\tau$ que les trois autres a priori intègrent et que le bayésien empirique ignore. La conclusion pratique est que le choix de l'a priori sur $\tau$ ne change pas la conclusion de valeur dans ce dossier, qu'il la changerait si les secteurs se ressemblaient davantage ou s'ils étaient moins nombreux, et que le rapport doit dans tous les cas déclarer l'a priori retenu et montrer, comme ici, ce qu'une alternative raisonnable aurait donné. Le paramètre $\kappa$ de l'a priori emprunté joue le même rôle pour le modèle conjugué, et le \cref{tab:39:petit} en est l'analyse de sensibilité : entre $\kappa = 1$ et $\kappa = 16$, la médiane du sujet bouge de \dollars{6200} et sa largeur de 0,4 point.
445+
446+\begin{table}[htbp]
447+\caption{Sensibilité du modèle hiérarchique à l'a priori sur $\tau$ : 600 ventes et Masson-Angers réduit à 5 ventes (données synthétiques)}\label{tab:39:sensibilite}
448+\centering\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
449+\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=1.3]@{}}
450+\toprule
451+ & \multicolumn{5}{c}{600 ventes} & \multicolumn{3}{c}{$n_{\text{MA}} = 5$} \\
452+\cmidrule(lr){2-6}\cmidrule(lr){7-9}
453+A priori sur $\tau$ & {$\tau$ méd.} & {$\tau$ 5 \%} & {$\tau$ 95 \%} & {Effet MA} & {É.-t.} & {$\tau$ méd.} & {Effet MA} & {É.-t.} \\
454+\midrule
455+Uniforme sur $\tau$ (retenu) & 0.181 & 0.089 & 0.494 & -0.224 & 0.070 & 0.211 & -0.300 & 0.080 \\
456+$\mathcal{IG}(0{,}001 ; 0{,}001)$ sur $\tau^2$ & 0.149 & 0.079 & 0.343 & -0.211 & 0.070 & 0.175 & -0.285 & 0.081 \\
457+$\mathcal{IG}(1 ; 0{,}01)$ sur $\tau^2$ & 0.129 & 0.077 & 0.245 & -0.200 & 0.067 & 0.145 & -0.269 & 0.079 \\
458+$\tau$ fixé à 0,157 (bayésien empirique) & 0.157 & {---} & {---} & -0.221 & 0.062 & 0.157 & -0.283 & 0.070 \\
459+\midrule
460+\multicolumn{9}{@{}l}{Pour mémoire : effet fixe de Masson-Angers $-0{,}263$ (0,067) avec 47 ventes, $-0{,}342$ (0,076) avec 5 ventes ; paramètre vrai $-0{,}204$} \\
461+\bottomrule
462+\end{tabular}
463+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py}}. Effet MA : $\alpha_{\text{Masson-Angers}} - \alpha_{\text{Hull}}$, moyenne et écart-type a posteriori ; Gibbs par blocs, 4 chaînes, 8 000 tirages.}
464+\end{table}
465+
466+\section{Extensions et prolongements}\label{sec:39:extensions}
467+
468+Le modèle hiérarchique du chapitre n'a qu'un niveau de regroupement et des secteurs sans structure spatiale : deux secteurs voisins n'y sont pas plus semblables que deux secteurs éloignés. Trois extensions, toutes bayésiennes par nature, lèvent ces restrictions. La première emboîte les niveaux : des quartiers dans des secteurs, des secteurs dans des municipalités, des municipalités dans des régions, chaque niveau ayant sa variance et son rétrécissement ; \textcite{gelmanHill2007} en donnent la grammaire, et le portefeuille interrégional du \cref{ch:48} en est le terrain d'application naturel, puisque ses quarante-huit immeubles se répartissent entre six régions dont certaines ne comptent que quelques observations. La deuxième remplace les effets de secteur discrets par un champ continu : l'effet de localisation $\mu(\mathbf{s})$ devient un \motcle{processus gaussien} dont la covariance décroît avec la distance, ce qui est la version bayésienne du krigeage des résidus du \cref{ch:19} ; \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004} l'ont appliquée aux ventes résidentielles en y ajoutant la dimension temporelle, et \textcite{banerjeeCarlinGelfand2014} en font un traité. Le coût de calcul, cubique en nombre d'observations, a longtemps limité ces modèles à quelques centaines de ventes ; l'approximation de Laplace emboîtée intégrée (INLA) de \textcite{rueMartinoChopin2009} et la représentation des champs de Matérn par une équation aux dérivées partielles stochastique de \textcite{lindgrenRueLindstrom2011} ont levé cet obstacle et rendent aujourd'hui possible l'estimation de modèles spatiaux hiérarchiques sur les dizaines de milliers de ventes d'une métropole, sans MCMC. La troisième extension concerne les données manquantes, question posée au \cref{ch:14} : dans le cadre bayésien, une caractéristique non renseignée d'une vente est simplement un paramètre de plus, tiré à chaque itération de sa conditionnelle complète sachant le prix et les autres attributs ; l'imputation multiple de \textcite{rubin1976} en est l'approximation en quelques tirages, et l'incertitude de l'imputation se propage d'elle-même aux intervalles. Enfin, l'évaluateur qui voudra aller au-delà du Gibbs conjugué, pour des vraisemblances non normales, des a priori non conjugués ou des champs gaussiens, trouvera dans Stan \parencite{carpenter2017} et dans l'exposé de \textcite{mcelreath2020} les outils et la pédagogie ; les dérivations du présent chapitre lui permettront de lire ce que ces outils calculent.
469+
470+\begin{quebec}[Intervalles, « prix le plus probable » et preuve d'expert]
471+La définition québécoise de la valeur marchande, rappelée au \cref{ch:16}, parle du « prix sincère le plus probable » \parencite[Intro-11]{oeaqNormes}, et celle de la valeur réelle aux fins du rôle, du prix le plus probable d'une vente de gré à gré \parencite[art.~43--45]{lfm}. Ces formulations désignent la position centrale d'une distribution de prix, non ses bornes ; la distribution prédictive de ce chapitre en est la traduction statistique la plus directe, et sa médiane, qui est aussi la valeur que le prix a autant de chances de dépasser que de ne pas atteindre, correspond mieux à « le plus probable » que la moyenne arithmétique que le facteur de Duan cherche à estimer. L'intervalle de crédibilité, lui, répond à une question que ces définitions ne posent pas mais que le client et le tribunal posent toujours : avec quelle probabilité le prix tomberait-il dans telle fourchette ? Lorsqu'un modèle bayésien étaye une conclusion de valeur devant le Tribunal administratif du Québec ou une cour, l'évaluateur doit s'attendre à ce que l'a priori soit le premier point attaqué, parce qu'il est la partie du raisonnement qui ne vient pas des ventes. La parade est celle qu'adopte ce chapitre : un a priori dont chaque hyperparamètre provient d'une estimation reproductible (marché voisin, période antérieure, étude publiée) et non d'une conviction, un facteur de défiance $\kappa$ déclaré, une analyse de sensibilité qui montre ce que l'a priori de référence aurait donné, et l'indication claire que, lorsque les ventes locales sont nombreuses, les deux approches coïncident (\cref{prop:39-reference}). Les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport permette au lecteur de comprendre le raisonnement et les méthodes qui conduisent à la conclusion (\cref{ch:10}) ; un modèle bayésien n'y déroge pas, il y ajoute la description de l'a priori et des diagnostics de calcul. Sources consultées le 31 octobre 2026.
472+\end{quebec}
473+
474+\begin{pratique}
475+Un modèle bayésien déposé à l'appui d'une conclusion de valeur documente, outre ce que le \cref{ch:18} exige d'un modèle hédonique : la forme et la provenance de chaque a priori, avec sa traduction en « ventes équivalentes » ($n_0 = \sigma^2/s_0^2$ pour une moyenne, $2a_0$ et $\mathbf{V}_0^{-1}$ pour une régression) ; le résultat sous l'a priori de référence, pour montrer ce que les données seules disent ; l'algorithme de calcul, le nombre de chaînes, d'itérations et de tirages écartés, et les diagnostics $\hat R$ et ESS de tous les paramètres qui entrent dans la conclusion ; la distribution prédictive du sujet sous forme de médiane et d'intervalles de crédibilité à 90 et 95 \%, en précisant qu'ils portent sur le prix et non sur la valeur espérée ; l'analyse de sensibilité à l'a priori ; et le script. La graine du générateur de nombres aléatoires fait partie du dossier : sans elle, les tirages ne sont pas reproductibles, et une conclusion non reproductible n'est pas une preuve.
476+\end{pratique}
477+
478+\begin{erreurs}
479+\begin{itemize}
480+\item \emph{Lire un intervalle de confiance comme un intervalle de crédibilité.} Seul le second autorise l'énoncé « la probabilité que le prix soit dans l'intervalle est de 95 \% » ; le premier porte sur la procédure. Les nombres coïncident sous l'a priori de référence (\cref{prop:39-reference}), pas les phrases.
481+\item \emph{Croire qu'un a priori « non informatif » n'informe pas.} L'inverse-gamma $\mathcal{IG}(\epsilon, \epsilon)$ sur la variance des groupes pousse vers le regroupement complet ; un a priori propre très vague sur $\boldsymbol\beta$ fausse la postérieure de $\sigma^2$ en petit échantillon. Déclarer l'a priori et tester une alternative.
482+\item \emph{Emprunter le niveau de prix d'un marché voisin.} On emprunte les prix implicites, jamais la constante : c'est le niveau local que les ventes locales doivent fixer (\cref{sec:39:conjugue}).
483+\item \emph{Rapporter la « moyenne » de la prédictive en dollars sans réfléchir.} Sous une prédictive log-Student elle n'existe pas ; sous le modèle hiérarchique elle dépend des queues. La médiane et les quantiles sont les quantités à communiquer.
484+\item \emph{Faire confiance à une seule chaîne.} Sans plusieurs chaînes de départs dispersés, $\hat R$ n'est pas calculable et un mélange lent passe inaperçu ; la \cref{fig:39:traces} montre des chaînes dont chacune, prise isolément, aurait paru convergée.
485+\item \emph{Confondre le rétrécissement avec un biais vers le bas ou vers le haut.} Il tire vers la moyenne des groupes, où qu'elle soit, et il s'annule de lui-même quand le groupe a assez de ventes ; c'est la pondération optimale de l'\cref{eq:39:normale-normale}, non une correction arbitraire.
486+\item \emph{Utiliser le WAIC pour départager des modèles dont l'écart d'elpd est inférieur à son erreur-type.} Le \cref{tab:39:criteres} ne départage pas les effets fixes des effets aléatoires ; c'est l'usage qui tranche.
487+\item \emph{Oublier que la prédictive porte sur le prix et non sur la valeur.} Comme au \cref{ch:18}, l'intervalle de \dollars{540000} à \dollars{749000} décrit la dispersion des prix possibles ; l'incertitude sur la valeur espérée est dix fois moindre (écart-type de 0,010 contre 0,083 en logarithme).
488+\end{itemize}
489+\end{erreurs}
490+
491+\begin{limites}
492+\begin{itemize}
493+\item Les données du cas 1 sont engendrées par le modèle que l'on estime, avec des effets de secteur très distincts et une erreur normale homoscédastique ; la coïncidence des approches, la couverture de quinze paramètres sur quinze et la modestie du rétrécissement en découlent. Sur des données réelles, les secteurs se ressemblent davantage, les queues sont plus épaisses et le rétrécissement comme la sensibilité à l'a priori sont plus marqués.
494+\item Le modèle hiérarchique n'a que cinq groupes : la postérieure de $\tau$ est large et dépend de l'a priori, comme la \cref{sec:39:sensibilite} le montre. Avec des quartiers ou des rues comme groupes, l'a priori sur $\tau$ compterait moins et le rétrécissement davantage.
495+\item L'a priori « marché voisin » suppose que les prix implicites se transposent d'un marché à l'autre à un facteur de défiance près ; c'est une hypothèse (\cref{ch:18}), et sur le jeu synthétique elle est vraie par construction.
496+\item Les diagnostics $\hat R$ et ESS sont nécessaires, non suffisants : une postérieure multimodale dont aucune chaîne n'a visité le second mode donne un $\hat R$ excellent. La version rang-normalisée de Vehtari et al. (2021), non implémentée ici, est plus robuste.
497+\item Le LOO par échantillonnage préférentiel implémenté est une version tronquée simplifiée, sans le lissage de Pareto de la méthode PSIS ni son diagnostic $\hat k$ ; il est adéquat pour ce modèle bien conditionné et devrait être remplacé par PSIS pour des données à observations influentes.
498+\item Les seuils de $\hat R < 1{,}01$ et d'un ESS de quelques centaines sont des conventions d'usage ; la recommandation d'un a priori uniforme sur $\tau$ pour $J \geq 5$ est celle de \textcite[§~5.7]{gelman2013}, non une norme.
499+\item Les travaux cités en notes de bas de page (Gelman et Rubin 1992, Gelfand et Smith 1990, Geman et Geman 1984, Gelman 2006, Gelfand, Sahu et Carlin 1995, Watanabe 2010, Vehtari et al. 2017 et 2021, Efron et Morris 1975) ont été vérifiés par leur DOI ou la page de la revue et consignés dans \texttt{references/lib-ch39.bib} ; ils ne sont pas encore dans la bibliographie générale de l'ouvrage.
500+\end{itemize}
501+\end{limites}
502+
503+\begin{synthese}
504+\begin{itemize}
505+\item L'inférence bayésienne combine une distribution a priori et la vraisemblance par le théorème de Bayes ; elle répond aux petits échantillons, à l'information d'expert et au besoin d'intervalles interprétables comme des probabilités. La réconciliation pondérée du \cref{ch:20} en est un cas particulier.
506+\item Pour la régression hédonique, l'a priori normale--inverse-gamma est conjugué : la postérieure est NIG \eqref{eq:39:posterieure}, la prédictive du logarithme du prix est une Student \eqref{eq:39:predictive}, et sous l'a priori de référence tout coïncide avec les moindres carrés et l'intervalle de prédiction classique. Sur le cas 1 : médiane \dollars{635821}, intervalle de crédibilité à 95 \% de \dollars{539504} à \dollars{749334}, contre \dollars{539682} à \dollars{749087} au \cref{ch:18}.
507+\item Un a priori informatif emprunte à un marché voisin ses prix implicites, jamais son niveau, avec un facteur de défiance $\kappa$ déclaré ; sur quarante ventes, il divise par quatre l'incertitude des coefficients et déplace la médiane du sujet de \dollars{20000}, mais réduit peu la largeur de l'intervalle, gouvernée par $\sigma$.
508+\item Le modèle hiérarchique tire les effets de secteur d'une loi commune de variance $\tau^2$ et les rétrécit vers la moyenne selon $B_s = n_s\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2)$ ; il se situe entre le regroupement complet et les effets fixes et les contient comme limites. À Gatineau, les secteurs sont si différents que le rétrécissement est faible ; réduit à cinq ventes, Masson-Angers passe de $-0{,}342$ à $-0{,}300$.
509+\item L'échantillonneur de Gibbs tire chaque bloc de sa conditionnelle complète ; tirer $(\boldsymbol\beta, \boldsymbol\alpha)$ ensemble supprime le mélange lent dû aux corrélations a posteriori. Les diagnostics obligatoires sont les traces de plusieurs chaînes, $\hat R$ scindé et la taille d'échantillon effective.
510+\item Le WAIC et la validation croisée par importance comparent les modèles sur leur capacité prédictive ; ici ils rejettent le regroupement complet et ne départagent pas effets fixes et aléatoires.
511+\item Le rapport déclare l'a priori et sa provenance, montre le résultat de référence, fournit les diagnostics et la graine, communique la médiane et les intervalles de crédibilité du prix, et présente l'analyse de sensibilité.
512+\end{itemize}
513+\end{synthese}
514+
515+\section*{Exercices}
516+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
517+
518+\begin{exercice}[1]{Mise à jour d'une opinion d'expert dans un marché mince}{ex:39:1}
519+Un évaluateur estime, par expérience, que le prix au mètre carré habitable des maisons d'une petite municipalité est d'environ \parmsq{3300}, avec une incertitude qu'il traduit par un écart-type de \parmsq{200}. Quatre ventes de l'année donnent une moyenne de \parmsq{3520} ; la dispersion des prix unitaires autour de la moyenne du marché est connue et vaut \parmsq{300}. (a) Calculez la moyenne et l'écart-type a posteriori du prix unitaire par l'\cref{eq:39:normale-normale}, ainsi que le poids $w$ des ventes. (b) À combien de ventes équivaut l'opinion de l'évaluateur ? (c) Donnez les intervalles de crédibilité à 90 et 95 \% du prix unitaire, puis la valeur indiquée et son écart-type pour une maison de \msq{165}. (d) Que deviennent la moyenne et le poids si l'évaluateur, moins sûr de lui, porte son écart-type a priori à \parmsq{400} ?
520+\end{exercice}
521+
522+\begin{exercice}[1]{Lire une distribution prédictive}{ex:39:2}
523+La prédictive du logarithme du prix du sujet du cas 1 est une Student à 584 degrés de liberté, de centre 13,3627 et d'échelle 0,08364 (\cref{tab:39:predictive}). (a) Calculez la probabilité a posteriori que le sujet se vende plus de \dollars{650000}, puis moins de \dollars{550000} ; on pourra approcher la Student par la normale. (b) Donnez l'intervalle de crédibilité à 80 \%. (c) Rédigez en deux phrases ce que l'évaluateur peut écrire dans son rapport à propos de cet intervalle, puis ce qu'il aurait dû écrire s'il s'agissait de l'intervalle de prédiction fréquentiste du \cref{ch:18}.
524+\end{exercice}
525+
526+\begin{exercice}[2]{Le facteur de rétrécissement}{ex:39:3}
527+Avec $\sigma = 0{,}083$ et $\tau = 0{,}15$ : (a) calculez $B_s$ pour $n_s = 5$, 10, 20 et 47 ventes ; (b) un secteur de cinq ventes a une moyenne de résidus $\bar r_s = -0{,}30$ et la moyenne commune vaut $\alpha_0 = -0{,}08$ (en écart à Hull) : calculez l'effet rétréci et son écart-type conditionnel, et comparez ce dernier à l'écart-type $\sigma/\sqrt{n_s}$ de l'effet fixe ; (c) refaites le calcul de $B_s$ avec $\tau = 0{,}05$ et commentez : dans quel type de découpage géographique le rétrécissement devient-il déterminant ? (d) Pour quel $n_s$ a-t-on $B_s = 1/2$ dans chaque cas ?
528+\end{exercice}
529+
530+\begin{exercice}[2]{La prédictive de Student}{ex:39:4}
531+Pour le sujet du cas 1 sous l'a priori de référence, $a_n = 292$, $b_n = 2{,}0122$, $\mathbf{x}_s\T\mathbf{V}_n\mathbf{x}_s = 0{,}01509$ et $\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n = 13{,}3627$. (a) Calculez $b_n/a_n$, l'échelle $s^{*}$ de l'\cref{eq:39:predictive} et la part de l'incertitude sur les coefficients dans $s^{*2}$. (b) Calculez l'intervalle de crédibilité à 95 \% du prix avec le quantile de Student $t_{584;0{,}975} = 1{,}9640$ et comparez-le à celui obtenu avec le quantile normal 1,9600. (c) Supposez qu'un petit marché ne laisse que 20 degrés de liberté avec la même échelle : avec $t_{20;0{,}975} = 2{,}0860$, de combien l'intervalle s'élargit-il en pourcentage ? (d) Expliquez pourquoi la moyenne a posteriori du prix n'existe pas sous cette prédictive et ce qu'il faut communiquer à la place.
532+\end{exercice}
533+
534+\begin{exercice}[2]{Calculer $\hat R$}{ex:39:5}
535+Quatre demi-chaînes de $n = 1000$ tirages d'un effet de secteur ont pour moyennes $-0{,}262$, $-0{,}258$, $-0{,}271$ et $-0{,}249$ et pour variances 0,0049, 0,0052, 0,0047 et 0,0055. (a) Calculez $B$, $W$, $\widehat{\Var}^{+}$ et $\hat R$ par l'\cref{eq:39:rhat} ; la convergence est-elle acceptable au seuil de 1,01 ? (b) La troisième demi-chaîne a en réalité une moyenne de $-0{,}371$ : recalculez $\hat R$ et interprétez. (c) Si l'autocorrélation des tirages à l'ordre 1 est de 0,8 et décroît géométriquement, estimez l'ESS des 4 000 tirages à l'aide de la formule $\sum_{t \geq 1}\rho^t = \rho/(1 - \rho)$, et dites si elle suffit pour estimer un quantile à 2,5 \%.
536+\end{exercice}
537+
538+\begin{exercice}[3]{Le facteur de défiance d'un a priori emprunté}{ex:39:6}
539+À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch39\_bayes.py} (fonctions \texttt{prior\_marche\_voisin} et \texttt{exemple\_conjugue}), reprenez le petit marché des quarante ventes. (a) Reproduisez la ligne $\kappa = 1$ du \cref{tab:39:petit}, puis estimez les variantes $\kappa = 0{,}25$ et $\kappa = 100$ : que deviennent l'élasticité de la superficie, son écart-type et la médiane du sujet ? (b) Modifiez l'a priori pour emprunter aussi la constante du marché voisin (en lui donnant la même défiance $\kappa$) et montrez ce qui arrive à la médiane du sujet ; expliquez pourquoi la règle du chapitre interdit cet emprunt. (c) Construisez un a priori à partir des seules ventes de 2023 et 2024 du secteur de Hull, appliquez-le aux ventes de 2025 et 2026 du petit marché et comparez à l'a priori « autres secteurs » : lequel est le plus défendable devant un tribunal, et pourquoi ? Rédigez une note de 200 mots.
540+\end{exercice}
541+
542+\begin{exercice}[3]{Dériver une conditionnelle complète}{ex:39:7}
543+On remplace, dans le modèle \eqref{eq:39:hier}, l'a priori plat sur le niveau moyen $\alpha_0$ par un a priori normal $\alpha_0 \sim \mathcal N(m, s^2)$ qui traduit une opinion d'expert sur le niveau de prix moyen des secteurs. (a) Dérivez la nouvelle conditionnelle complète de $\alpha_0$ et vérifiez qu'elle redonne l'\cref{eq:39:cond-alpha0} lorsque $s \to \infty$. (b) Avec $J = 5$, $\tau = 0{,}181$ et une moyenne des $\alpha_s$ de 13,020, calculez la moyenne et l'écart-type de cette conditionnelle pour $(m, s) = (13{,}0 ; 1{,}0)$ puis $(13{,}0 ; 0{,}05)$ et commentez. (c) Montrez que les conditionnelles des autres paramètres ne changent pas. (d) Modifiez la fonction \texttt{gibbs\_hierarchique} du script pour intégrer cet a priori, exécutez quatre chaînes avec $(m, s) = (13{,}0 ; 0{,}05)$ et rapportez $\hat R$, l'ESS et l'effet de Masson-Angers ; dans quelle direction l'a priori a-t-il agi et pourquoi si peu ?
544+\end{exercice}
545+
546+\section*{Pour aller plus loin}
547+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
548+
549+Le traité de \textcite{gelman2013} est la référence générale : les chapitres 2 et 3 pour les lois conjuguées, le chapitre 5 pour les modèles hiérarchiques et le rétrécissement, le chapitre 11 pour le Gibbs et ses diagnostics, le chapitre 7 pour le WAIC et la validation croisée. \textcite{gelmanHill2007} exposent les modèles multiniveaux avec une pédagogie tournée vers l'application, et leurs chapitres sur les groupes emboîtés se transposent directement aux quartiers, secteurs et municipalités. \textcite{mcelreath2020} offre l'introduction la plus accessible à la pensée bayésienne et à Stan, dont \textcite{carpenter2017} décrivent le langage et l'algorithme. En économétrie, \textcite{koop2003} traite la régression bayésienne, l'a priori normale--inverse-gamma et la comparaison de modèles avec la lecture « échantillon fictif » adoptée ici. Pour l'immobilier, \textcite{goetzmann1992} a introduit le rétrécissement bayésien des indices de petits marchés ; \textcite{gelfandGhoshKnightSirmans1998} et \textcite{banerjeeGelfandKnightSirmans2004} ont construit les premiers modèles spatio-temporels bayésiens de ventes résidentielles, que le traité de \textcite{banerjeeCarlinGelfand2014} généralise ; \textcite{rueMartinoChopin2009} et \textcite{lindgrenRueLindstrom2011} donnent les outils de calcul rapide qui rendent ces modèles praticables à grande échelle. Les articles sur l'échantillonneur de Gibbs, la statistique $\hat R$, les a priori sur les variances hiérarchiques et le WAIC sont cités en notes de bas de page avec leur DOI.
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1 \chapter{Monte-Carlo et stress tests}\label{ch:40} 1 \chapter{Monte-Carlo et stress tests}\label{ch:40}
2−\stubchapter 2+
3+Les chapitres précédents ont appris au lecteur à produire une valeur par flux actualisés et à la soumettre à l'analyse de sensibilité : un intrant bouge, la valeur bouge, et le diagramme en tornade classe les intrants. Cette discipline est indispensable, mais elle ne répond pas à la question que se posent réellement un acheteur, un prêteur ou un évaluateur qui doit défendre sa conclusion : quelle est la probabilité que la valeur soit inférieure à tel seuil, que le ratio de couverture de la dette passe sous le covenant, que plusieurs intrants se dégradent ensemble ? La simulation de Monte-Carlo répond à ces questions en tirant conjointement les intrants incertains dans des lois déclarées, en recalculant le modèle pour chaque tirage et en décrivant la distribution des résultats. Le présent chapitre expose cette méthode en profondeur : le choix et l'élicitation des lois, la représentation des corrélations, l'algorithme de simulation et son erreur d'échantillonnage, l'échantillonnage par hypercube latin, les mesures de risque, l'analyse de sensibilité globale et l'agrégation d'un portefeuille. Le \cref{ch:47} applique la méthode au dossier des douze logements de Montréal ; nous y reprenons exactement les mêmes lois, la même graine et les mêmes chiffres, de sorte que le lecteur puisse passer de la méthode à son application sans rupture.
4+
5+\begin{objectifs}
6+\begin{itemize}
7+\item Distinguer analyse de sensibilité locale, scénario déterministe, stress test et simulation de Monte-Carlo, et savoir ce que chacun peut et ne peut pas dire.
8+\item Choisir une loi de probabilité pour chaque intrant d'un modèle de flux actualisés (normale, log-normale, triangulaire, bêta-PERT), la paramétrer à partir de quantiles élicités et en calculer les moments.
9+\item Représenter la dépendance entre intrants par une copule gaussienne construite par factorisation de Cholesky, et interpréter la corrélation entre taux d'actualisation et taux terminal.
10+\item Écrire l'algorithme de simulation d'un DCF, calculer l'erreur type des quantiles simulés et fixer le nombre de tirages nécessaire ; réduire la variance par hypercube latin.
11+\item Calculer et interpréter la VaR et la CVaR de valeur, la probabilité de bris de covenant, et attacher une probabilité aux scénarios déterministes.
12+\item Mesurer la sensibilité globale par indices de Sobol et corrélations de rang, et la confronter à la tornade.
13+\item Agréger l'incertitude de plusieurs immeubles en tenant compte de la corrélation régionale.
14+\end{itemize}
15+\end{objectifs}
16+
17+\section{De la sensibilité locale à la simulation}\label{sec:40:pourquoi}
18+
19+\subsection{Trois questions, trois outils}
20+
21+L'analyse de sensibilité du \cref{sec:30:sensibilite} répond à la question « de combien la valeur change-t-elle si un intrant change ? ». Le scénario, examiné au même endroit et au \cref{sec:31:renouvellement}, répond à « que vaut l'immeuble si plusieurs intrants prennent ensemble les valeurs que telle histoire économique leur donnerait ? ». Ni l'un ni l'autre ne disent avec quelle \emph{probabilité} ces changements surviennent, ni comment les incertitudes de sept ou huit intrants se combinent lorsqu'elles agissent en même temps et dans des directions partiellement liées. C'est le propre de la simulation stochastique de répondre à cette troisième question. Elle ne remplace pas les deux premiers outils, elle les complète : la tornade demeure la façon la plus lisible de hiérarchiser les intrants, le scénario demeure la façon la plus parlante de raconter un risque, et la simulation fournit la mesure qui manque aux deux, la fréquence.
22+
23+L'idée n'est pas neuve en évaluation immobilière. \textcite{pyhrr1973} a proposé le premier modèle de simulation du risque d'un investissement immobilier, en tirant les loyers, les dépenses, le taux d'inoccupation et le prix de revente dans des lois subjectives pour obtenir la distribution du taux de rendement ; \textcite{wofford1978} a transposé l'approche à l'évaluation des immeubles à revenus, en remplaçant la valeur unique de la capitalisation par une distribution de valeurs. Le sujet est resté marginal tant que la puissance de calcul manquait et que les praticiens doutaient de pouvoir justifier des lois de probabilité devant un client ou un tribunal. Il est revenu au premier plan au tournant des années 2000, quand \textcite{frenchGabrielli2004} ont montré que l'incertitude de l'évaluation est inhérente à la conclusion et doit être communiquée, puis quand \textcite{frenchGabrielli2005} et \textcite{hoesliJaniBender2006} ont construit des modèles de flux actualisés dont les intrants sont des lois, le premier couple en insistant sur l'élicitation auprès de l'évaluateur, le second en calibrant les lois sur des séries de marché et en reliant le taux d'actualisation aux taux sans risque. \textcite{byrne1996}, du côté du développement immobilier, a systématisé le passage de la sensibilité à la simulation et montré que les méthodes de décision sous incertitude s'appliquent à la méthode résiduelle. Le présent chapitre s'inscrit dans cette lignée, avec une exigence supplémentaire : chaque chiffre produit par la simulation est accompagné de son erreur d'échantillonnage, faute de quoi le lecteur ne sait pas si la différence entre deux résultats tient au modèle ou au hasard du tirage.
24+
25+\subsection{Incertitude, risque et ce que la simulation estime}
26+
27+Il faut d'abord s'entendre sur les mots. Nous appelons \motcle{incertitude} l'ignorance où se trouve l'évaluateur quant à la valeur vraie d'un intrant ou d'un résultat à la date d'évaluation, et \motcle{risque} la possibilité que la réalisation future d'une variable s'écarte de ce qui était attendu. La distinction est classique mais elle importe ici parce que la simulation mélange les deux : le taux d'actualisation que le marché exige aujourd'hui est incertain (on ne l'observe pas), la croissance des loyers des dix prochaines années est risquée (elle n'existe pas encore). Dans un modèle de flux actualisés, les deux sources entrent par les mêmes intrants et produisent la même distribution de valeur ; l'interprétation diffère. La dispersion due à l'incertitude des intrants d'aujourd'hui mesure la précision de la conclusion de l'évaluateur ; la dispersion due au risque des intrants de demain mesure l'exposition de l'investisseur. \textcite{frenchGabrielli2004} appellent la première « incertitude de l'évaluation » et la distinguent de la variation du marché. Le lecteur doit se rappeler cette distinction lorsqu'il présente une fourchette : une fourchette de $\pm\pct{25}$ ne signifie pas que l'évaluateur hésite à ce point sur le prix d'aujourd'hui, mais que l'hypothèse de dix ans sur laquelle repose la méthode admet cet éventail de dénouements.
28+
29+\begin{definition}{Simulation de Monte-Carlo}{40:montecarlo}
30+Soit $Y = g(\mathbf{X})$ une quantité d'intérêt (valeur, ratio de couverture, taux de rendement) fonction d'un vecteur d'intrants $\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_d)$ dont la loi jointe $F$ est déclarée. La \motcle{simulation de Monte-Carlo} consiste à tirer $N$ vecteurs indépendants $\mathbf{X}^{(1)}, \dots, \mathbf{X}^{(N)}$ selon $F$, à calculer $Y^{(s)} = g(\mathbf{X}^{(s)})$ pour chacun et à estimer toute caractéristique de la loi de $Y$ par la caractéristique correspondante de l'échantillon $\{Y^{(s)}\}$. Un \motcle{stress test} (test de résistance, \emph{stress test}) est au contraire l'évaluation de $g$ en un ou quelques points $\mathbf{x}$ choisis pour leur caractère défavorable, sans probabilité attachée.
31+\end{definition}
32+
33+La justification de la méthode tient en deux résultats de probabilité élémentaires. Pour toute fonction $h$ d'espérance finie, la moyenne empirique
34+\begin{equation}\label{eq:40:esperance}
35+\hat\theta_N = \frac{1}{N}\sum_{s=1}^{N} h\big(Y^{(s)}\big) \xrightarrow[N \to \infty]{} \theta = \E\big[h(Y)\big]
36+\end{equation}
37+par la loi des grands nombres ; en prenant $h(y) = y$ on estime la moyenne de la valeur, en prenant $h(y) = \mathbb{1}\{y < c\}$ on estime la probabilité que la valeur soit inférieure à $c$, et c'est par ce second choix que la simulation produit les probabilités de bris de covenant. Le théorème central limite précise la vitesse : si $\sigma_h^2 = \Var[h(Y)]$ est finie,
38+\begin{equation}\label{eq:40:tcl}
39+\sqrt{N}\,\big(\hat\theta_N - \theta\big) \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ } \mathcal{N}(0, \sigma_h^2), \qquad \text{soit} \qquad \operatorname{se}\big(\hat\theta_N\big) \approx \frac{\hat\sigma_h}{\sqrt{N}},
40+\end{equation}
41+de sorte que l'erreur d'une simulation décroît comme l'inverse de la racine carrée du nombre de tirages : quadrupler $N$ divise l'erreur par deux. Cette lenteur est la limite pratique de la méthode et la raison d'être des techniques de réduction de variance de la \cref{sec:40:lhs}. Les quantiles, qui ne sont pas des moyennes, obéissent à une version du même résultat que nous dérivons à la \cref{sec:40:erreur}.
42+
43+\begin{synthetique}
44+Tous les chiffres de ce chapitre proviennent du dossier synthétique du cas 3 (immeuble fictif de douze logements à Rosemont, \texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_*.csv} et \texttt{cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json}) et, pour la \cref{sec:40:portefeuille}, du portefeuille fictif du cas 4 (\texttt{cas4\_portefeuille.csv}, \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}), tous deux générés par \texttt{analysis/python/cases/generate\_all.py} avec la graine 20261031 et calibrés sur les ordres de grandeur documentés dans \texttt{data/synthetic/README.md}. Les calculs du chapitre sont ceux de \texttt{analysis/python/cases/ch40\_montecarlo.py}, qui importe sans les modifier les lois \texttt{MC\_LOIS}, la graine et les fonctions vectorisées de \texttt{ch47\_dossier.py} ; les résultats coïncident donc au dollar près avec ceux du \cref{sec:47:montecarlo}. La projection déterministe sous-jacente est celle de \texttt{traite.cas3} (\cref{ch:30}) : valeur DCF de \dollars{2208566}, indication par capitalisation directe de \dollars{2037503}, prêt de \dollars{1475959} dimensionné pour un ratio de couverture de 1,20 et service de la dette de \dollars{74963}.
45+\end{synthetique}
46+
47+\section{L'incertitude des intrants}\label{sec:40:intrants}
48+
49+\subsection{Quatre lois pour les intrants d'un DCF}
50+
51+Le choix d'une loi pour un intrant procède de trois considérations : le support (un taux d'inoccupation est positif et borné, une croissance peut être négative), la forme (symétrique ou non, queue épaisse ou non) et la quantité d'information dont dispose l'analyste (des données de marché, un jugement d'expert, ou simplement trois valeurs plausibles). Quatre lois suffisent à la quasi-totalité des besoins et le \cref{tab:40:formules} en résume les formules.
52+
53+La \motcle{loi normale} $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ convient aux intrants symétriques pouvant prendre des valeurs négatives, comme un taux de croissance ou un taux d'actualisation dont l'écart-type est petit par rapport à la moyenne ; sa densité est entièrement déterminée par deux paramètres et ses quantiles sont $q_p = \mu + \sigma z_p$, où $z_p$ est le quantile de la loi normale centrée réduite ($z_{0{,}95} = \num{1.6449}$). Son défaut est de n'imposer aucune borne : un taux d'actualisation normal de moyenne \pct{7.25} et d'écart-type \qty{50}{\pb} a une probabilité de $\Phi(-6{,}5)$, négligeable, d'être négatif, mais un taux d'inoccupation normal de moyenne \pct{3.9} et d'écart-type \num{0.0125} serait négatif avec probabilité \pct{0.09} par tirage, ce qui est absurde et biaise légèrement le calcul si l'on tronque.
54+
55+La \motcle{loi log-normale} corrige ce défaut pour les intrants strictement positifs et asymétriques à droite : si $\ln X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma_{\ln}^2)$, alors $X$ est log-normale, et il est commode de la paramétrer par sa médiane $m = e^{\mu}$ et par l'écart-type logarithmique $\sigma_{\ln}$, qui s'interprète approximativement comme un coefficient de variation. On a
56+\begin{equation}\label{eq:40:lognormale}
57+\E[X] = m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2}, \qquad \Var[X] = m^2 e^{\sigma_{\ln}^2}\big(e^{\sigma_{\ln}^2} - 1\big), \qquad q_p = m\,e^{\sigma_{\ln} z_p} ,
58+\end{equation}
59+la première relation découlant de la fonction génératrice des moments de la loi normale, $\E[e^{tZ}] = e^{t\mu + t^2\sigma^2/2}$ évaluée en $t = 1$. Deux conséquences pratiques en résultent. D'abord la moyenne excède la médiane : une inoccupation log-normale de médiane \pct{3.9} et d'écart-type logarithmique \num{0.30} a une moyenne de $0{,}039\,e^{0{,}045} = \pct{4.08}$, et c'est la moyenne, non la médiane, qui entre dans l'espérance du revenu. Ensuite l'intervalle à \pct{90} est multiplicatif : de $m e^{-1{,}645\sigma_{\ln}}$ à $m e^{1{,}645\sigma_{\ln}}$, soit de \pct{2.38} à \pct{6.39} dans le même exemple, intervalle asymétrique autour de la médiane qui reflète bien l'idée qu'une année à \pct{8} d'inoccupation est possible alors qu'une année à \pct{0} ne l'est pas.
60+
61+La \motcle{loi triangulaire} $\mathcal{T}(a, m, b)$ est la loi des trois valeurs : minimum $a$, mode $m$, maximum $b$. Sa densité est un triangle de base $[a, b]$ et de sommet en $m$, de hauteur $2/(b-a)$ ; en intégrant on obtient
62+\begin{align}\label{eq:40:triangulaire}
63+\E[X] &= \frac{a + m + b}{3}, \qquad \Var[X] = \frac{a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm}{18}, \notag \\
64+q_p &= \begin{cases} a + \sqrt{p\,(b-a)(m-a)} & \text{si } p \leq \dfrac{m-a}{b-a}, \\[6pt] b - \sqrt{(1-p)\,(b-a)(b-m)} & \text{sinon.} \end{cases}
65+\end{align}
66+Elle a pour elle la transparence : un client comprend « entre \pct{8} et \pct{25}, le plus souvent \pct{15} ». Elle a contre elle un poids excessif donné aux extrêmes, puisque la densité décroît linéairement jusqu'aux bornes au lieu de s'y écraser ; pour la rotation du cas 3, $\mathcal{T}(0{,}08 ; 0{,}15 ; 0{,}25)$, la moyenne est \pct{16.0}, l'écart-type \num{0.0349} et le quantile 95 \% \pct{22.1}.
67+
68+La \motcle{loi bêta-PERT} corrige cet excès en gardant les trois mêmes paramètres. C'est une loi bêta sur $[a, b]$ dont les paramètres de forme sont choisis pour que le mode soit $m$ et que la moyenne pondère le mode quatre fois plus que les extrêmes :
69+\begin{align}\label{eq:40:pert}
70+\alpha &= 1 + \lambda\,\frac{m - a}{b - a}, \qquad \beta = 1 + \lambda\,\frac{b - m}{b - a}, \qquad \lambda = 4 \text{ par défaut}, \notag \\
71+\E[X] &= a + (b - a)\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{a + \lambda m + b}{\lambda + 2}.
72+\end{align}
73+La dernière égalité se vérifie en substituant : $\alpha + \beta = 2 + \lambda$ et $a(2 + \lambda) + (b - a)\alpha = a(2 + \lambda) + (b - a) + \lambda(m - a) = a + b + \lambda m$. Le mode d'une loi bêta étant $a + (b-a)(\alpha - 1)/(\alpha + \beta - 2)$, il vaut bien $a + (b - a)(m - a)/(b - a) = m$. Pour la rotation du cas 3, la PERT donne $\alpha = \num{2.647}$, $\beta = \num{3.353}$, une moyenne de \pct{15.5} (contre \pct{16.0} pour la triangulaire), un écart-type de \num{0.0319} et un quantile 95 \% de \pct{20.9} : les mêmes trois chiffres élicités produisent une loi plus concentrée autour du mode et des queues plus légères. Le \cref{ch:47} a retenu la triangulaire pour la rotation, par prudence ; l'exercice~\ref{ex:40:2} mesure l'effet de ce choix.
74+
75+\begin{table}[htbp]\centering
76+\caption{Quatre lois pour les intrants d'un modèle de flux : paramètres, moments, quantiles et usage recommandé.}\label{tab:40:formules}
77+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
78+\begin{tabular}{@{}L{1.7cm}L{2.2cm}L{3.3cm}L{3.9cm}@{}}
79+\toprule
80+Loi & Paramètres & Moyenne ; écart-type & Usage et mise en garde \\
81+\midrule
82+Normale & $\mu$, $\sigma$ & $\mu$ ; $\sigma$. Quantile $\mu + \sigma z_p$ & croissances, taux d'actualisation, écarts de taux ; non bornée (tronquer si nécessaire et le déclarer) \\
83+Log-normale & médiane $m$, $\sigma_{\ln}$ & $m e^{\sigma_{\ln}^2/2}$ ; $m e^{\sigma_{\ln}^2/2}\sqrt{e^{\sigma_{\ln}^2} - 1}$. Quantile $m e^{\sigma_{\ln} z_p}$ & inoccupation, facteurs de coût, loyers ; moyenne $>$ médiane, à ne pas confondre \\
84+Triangulaire & $a$, $m$, $b$ & $(a + m + b)/3$ ; $\sqrt{(a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18}$ & trois valeurs d'expert ; queues lourdes, extrêmes surpondérés \\
85+Bêta-PERT & $a$, $m$, $b$ ($\lambda = 4$) & $(a + 4m + b)/6$ ; $\sqrt{(\E - a)(b - \E)/7}$ & mêmes trois valeurs, forme lisse ; écart-type d'environ $(b - a)/6$ \\
86+\bottomrule
87+\end{tabular}
88+\tabsource{formules dérivées dans le texte ; implémentation \texttt{moments\_loi}, \texttt{quantile\_loi} et \texttt{pert} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}
89+\end{table}
90+
91+\subsection{Élicitation : des quantiles aux paramètres}
92+
93+En pratique, l'évaluateur ne pense pas en écarts-types mais en fourchettes. La façon la plus robuste d'éliciter une loi auprès d'un expert, ou de la fonder sur ses propres données, est de lui demander deux quantiles et une valeur centrale : « en dessous de quel taux d'inoccupation n'y a-t-il qu'une chance sur vingt de tomber ? au-dessus de quel taux ? » Les réponses $q_{0{,}05}$ et $q_{0{,}95}$ déterminent une loi normale ou log-normale par inversion des formules de quantiles :
94+\begin{align}\label{eq:40:elicitation}
95+\text{normale : } \mu &= \frac{q_{0{,}05} + q_{0{,}95}}{2}, & \sigma &= \frac{q_{0{,}95} - q_{0{,}05}}{2\,z_{0{,}95}} ; \notag \\
96+\text{log-normale : } m &= \sqrt{q_{0{,}05}\,q_{0{,}95}}, & \sigma_{\ln} &= \frac{\ln\big(q_{0{,}95}/q_{0{,}05}\big)}{2\,z_{0{,}95}}.
97+\end{align}
98+Un expert qui dit « entre \pct{2.4} et \pct{6.3} d'inoccupation, neuf fois sur dix » décrit une loi log-normale de médiane $\sqrt{0{,}024 \times 0{,}063} = \pct{3.89}$ et d'écart-type logarithmique $\ln(2{,}625)/3{,}29 = \num{0.293}$, à peu près la loi retenue au cas 3 ; l'exercice~\ref{ex:40:1} en tire les conséquences. Trois règles d'hygiène complètent la procédure. Il faut d'abord demander les extrêmes avant la valeur centrale, parce que les experts ancrés sur une valeur centrale resserrent systématiquement leurs fourchettes, biais d'excès de confiance bien documenté dans les études d'élicitation et que l'immobilier n'épargne pas. Il faut ensuite s'assurer que la loi est \emph{centrée} sur l'hypothèse de base du scénario déterministe, sinon la simulation mesure autre chose que l'incertitude autour de ce scénario : si la médiane de l'inoccupation simulée est \pct{3.9}, la valeur simulée fluctue autour de la valeur déterministe ; si elle est \pct{6}, la simulation décrit un autre marché. Il faut enfin confronter chaque loi aux données disponibles : la plage de \pct{2.4} à \pct{6.3} couvre les taux d'inoccupation observés par la SCHL dans la région de Montréal de 2023 à 2025 et ses prévisions à 2028 ; c'est ce qui la rend défendable.
99+
100+\subsection{Les lois du cas 3}
101+
102+Le \cref{tab:40:lois} présente les sept lois du dossier du cas 3, reprises telles quelles du dictionnaire \texttt{MC\_LOIS} du \cref{ch:47}, avec leurs moments théoriques calculés par les \cref{eq:40:lognormale,eq:40:triangulaire} et les statistiques effectivement tirées. L'écart entre la colonne théorique et la colonne tirée est la première mesure de l'erreur de Monte-Carlo : avec \num{10000} tirages, la moyenne de la croissance des loyers de marché est \pct{3.468} au lieu de \pct{3.5}, soit $-3{,}2$ erreurs types de la moyenne d'un échantillon normal de cet effectif ($\sigma/\sqrt{N} = \num{0.0001}$), et la moyenne du taux d'actualisation est \pct{7.263} au lieu de \pct{7.25}, soit $+2{,}6$ erreurs types. Ces deux écarts, tous deux défavorables à la valeur, expliquent une partie de ce que nous observerons à la \cref{sec:40:erreur} : la graine du traité est une réalisation légèrement défavorable. La colonne « tiré » est donc à lire non comme une vérification de la loi, qui est exacte par construction, mais comme un rappel que l'échantillon n'est jamais la population.
103+
104+\begin{table}[htbp]\centering
105+\caption{Lois déclarées des intrants du cas 3 : moments théoriques et statistiques des \num{10000} tirages de la graine 20261031.}\label{tab:40:lois}
106+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}
107+\begin{tabular}{@{}L{2.3cm}L{2.7cm}S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]@{}}
108+\toprule
109+Intrant & Loi & {Moy. théor.} & {Moy. tirée} & {$q_{0{,}05}$ théor.} & {$q_{0{,}05}$ tiré} & {$q_{0{,}95}$ théor.} & {$q_{0{,}95}$ tiré} \\
110+\midrule
111+Inoccupation et pertes $v$ & log-normale (0,039 ; 0,30) & 0.0408 & 0.0407 & 0.0238 & 0.0239 & 0.0639 & 0.0634 \\
112+Croissance loyers marché $g_m$ & normale (0,035 ; 0,010) & 0.0350 & 0.0347 & 0.0186 & 0.0178 & 0.0514 & 0.0511 \\
113+Rotation annuelle & triangulaire (0,08 ; 0,15 ; 0,25) & 0.1600 & 0.1603 & 0.1044 & 0.1049 & 0.2208 & 0.2211 \\
114+Croissance dépenses $g_d$ & normale (0,030 ; 0,0075) & 0.0300 & 0.0299 & 0.0177 & 0.0175 & 0.0423 & 0.0423 \\
115+Taux d'actualisation $r$ & normale (0,0725 ; 0,005) & 0.0725 & 0.0726 & 0.0643 & 0.0645 & 0.0807 & 0.0807 \\
116+Écart terminal $\delta = r - R_T$ & normale (0,0225 ; 0,004) & 0.0225 & 0.0224 & 0.0159 & 0.0159 & 0.0291 & 0.0289 \\
117+Facteur CAPEX (par chantier) & log-normale (1 ; 0,20) & 1.0202 & 1.0183 & 0.7197 & 0.7166 & 1.3895 & 1.3857 \\
118+\bottomrule
119+\end{tabular}
120+\tabsource{\synth{\texttt{MC\_LOIS} de \texttt{ch47\_dossier.py} ; moments par \texttt{tableau\_lois} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}. L'inoccupation est bornée à $[0 ; 0{,}30]$, le taux d'actualisation à $r \geq \pct{4}$ et le taux terminal à $R_T \geq \pct{3.5}$ (bornes jamais ou presque jamais actives : le plancher de $R_T$ joue dans \pct{0.74} des tirages).}}
121+\end{table}
122+
123+\subsection{Dépendance entre intrants : Cholesky et copule gaussienne}
124+
125+Tirer les intrants indépendamment est la première erreur que commet un tableur de simulation. Le taux d'actualisation et le taux de capitalisation terminal réagissent tous deux aux taux d'intérêt et à la prime de risque exigée (\cref{ch:29}, \cref{ch:30}) ; la croissance des loyers de marché et l'inoccupation réagissent en sens inverse au même déséquilibre entre offre et demande ; la croissance des dépenses suit l'inflation générale, comme une partie de celle des loyers. Ignorer ces liens sous-estime la variance de la valeur lorsque les intrants corrélés agissent dans le même sens, et la surestime lorsqu'ils se compensent. L'outil standard pour imposer une structure de corrélation à des variables de lois quelconques est la \motcle{copule gaussienne}, dont la construction repose sur la factorisation de Cholesky.
126+
127+\begin{proposition}{Factorisation de Cholesky et vecteurs gaussiens corrélés}{40:cholesky}
128+Soit $\boldsymbol\Sigma$ une matrice de covariance $d \times d$ définie positive. Il existe une unique matrice triangulaire inférieure $\mathbf{L}$ à diagonale strictement positive telle que $\boldsymbol\Sigma = \mathbf{L}\mathbf{L}\T$. Si $\boldsymbol\varepsilon = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_d)\T$ est un vecteur de variables normales centrées réduites indépendantes, alors $\mathbf{Z} = \mathbf{L}\boldsymbol\varepsilon$ est un vecteur gaussien centré de covariance $\boldsymbol\Sigma$. En dimension deux, avec des écarts-types $\sigma_1$, $\sigma_2$ et une corrélation $\rho$,
129+\begin{equation}\label{eq:40:cholesky}
130+\mathbf{L} = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 \\ \rho\,\sigma_2 & \sigma_2\sqrt{1 - \rho^2} \end{pmatrix}, \qquad Z_1 = \sigma_1 \varepsilon_1, \qquad Z_2 = \sigma_2\big(\rho\,\varepsilon_1 + \sqrt{1 - \rho^2}\,\varepsilon_2\big).
131+\end{equation}
132+\end{proposition}
133+\begin{proof}
134+L'existence et l'unicité de la factorisation sont un résultat classique d'algèbre linéaire pour les matrices symétriques définies positives, obtenu par récurrence sur la dimension. Pour la covariance : $\Cov(\mathbf{Z}) = \E[\mathbf{L}\boldsymbol\varepsilon\boldsymbol\varepsilon\T\mathbf{L}\T] = \mathbf{L}\,\E[\boldsymbol\varepsilon\boldsymbol\varepsilon\T]\,\mathbf{L}\T = \mathbf{L}\mathbf{I}\mathbf{L}\T = \boldsymbol\Sigma$, et une combinaison linéaire de normales indépendantes est normale. En dimension deux, on vérifie directement que $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ a pour éléments $\sigma_1^2$, $\rho\sigma_1\sigma_2$ et $\rho^2\sigma_2^2 + (1 - \rho^2)\sigma_2^2 = \sigma_2^2$.
135+\end{proof}
136+
137+La copule gaussienne transporte cette corrélation vers des lois marginales quelconques en deux étapes. On transforme d'abord chaque composante du vecteur gaussien en une variable uniforme par sa propre fonction de répartition, puis on applique la fonction quantile de la loi marginale souhaitée :
138+\begin{equation}\label{eq:40:copule}
139+U_k = \Phi\big(Z_k/\sigma_k\big), \qquad X_k = F_k^{-1}(U_k), \qquad k = 1, \dots, d, \qquad \text{avec} \qquad \rho_S(X_j, X_k) = \frac{6}{\pi}\arcsin\frac{\rho_{jk}}{2}.
140+\end{equation}
141+Chaque $X_k$ a exactement la loi $F_k$ voulue, parce que $U_k$ est uniforme sur $[0, 1]$ ; la dépendance entre les $X_k$ est celle des $Z_k$, transmise par des transformations monotones qui préservent les rangs. C'est pourquoi la mesure naturelle de la dépendance ainsi créée n'est pas la corrélation de Pearson des $X_k$, qui dépend des marginales, mais leur corrélation de rang de Spearman $\rho_S$, reliée à la corrélation gaussienne $\rho_{jk}$ par la relation indiquée, identité classique du vecteur gaussien bivarié. Pour $\rho = 0{,}78$ on obtient $\rho_S = 0{,}765$ ; la différence est faible, ce qui autorise en pratique à éliciter directement une corrélation de rang et à la convertir en corrélation gaussienne par la relation inverse $\rho = 2\sin(\pi\rho_S/6)$. L'exercice~\ref{ex:40:4} fait exécuter la construction à la main.
142+
143+Le \cref{ch:47} n'a pas utilisé de copule explicite mais une construction structurelle équivalente et plus parlante : le taux terminal est défini comme le taux d'actualisation moins un écart aléatoire indépendant, $R_T = r - \delta$ avec $\delta \sim \mathcal{N}(0{,}0225 ; 0{,}004^2)$, ce qui revient à imposer une corrélation gaussienne entre $r$ et $R_T$. En négligeant le plancher $R_T \geq \pct{3.5}$,
144+\begin{align}\label{eq:40:rRT}
145+\Cov(r, R_T) &= \Var(r) = \sigma_r^2, \qquad \Var(R_T) = \sigma_r^2 + \sigma_\delta^2, \notag \\
146+\rho(r, R_T) &= \frac{\sigma_r}{\sqrt{\sigma_r^2 + \sigma_\delta^2}} = \frac{0{,}005}{\sqrt{0{,}005^2 + 0{,}004^2}} = \num{0.781}.
147+\end{align}
148+Les tirages confirment la dérivation : corrélation de Pearson empirique \num{0.781}, corrélation de Spearman \num{0.769}, à comparer à la valeur \num{0.766} prédite par l'\cref{eq:40:copule}, et écart-type empirique de $R_T$ de \num{0.0063} contre $\sqrt{41 \times 10^{-6}} = \num{0.0064}$ en théorie, la petite différence venant du plancher, actif dans \pct{0.74} des tirages. La leçon est qu'une relation structurelle entre deux intrants (« le taux terminal, c'est le taux d'actualisation moins la croissance attendue ») est une façon légitime et transparente de modéliser une corrélation ; il suffit d'en calculer la corrélation implicite pour pouvoir la discuter. Une corrélation de \num{0.78} entre les deux taux est forte ; elle traduit la conviction que l'incertitude sur les taux est d'abord une incertitude commune sur le niveau des rendements exigés, conviction cohérente avec les résultats empiriques de \textcite{sivitanidouSivitanides1999} et \textcite{chervachidzeWheaton2013} sur les déterminants des taux de capitalisation. Les quatre autres intrants du cas 3 sont tirés indépendamment, hypothèse simplificatrice déclarée dont la \cref{sec:40:sobol} montre qu'elle a peu de conséquences pour la valeur parce que ces intrants pèsent peu.
149+
150+\section{Simuler un DCF : algorithme et erreur d'échantillonnage}\label{sec:40:simulation}
151+
152+\subsection{L'algorithme}
153+
154+La simulation d'un modèle de flux actualisés n'a rien de mystérieux ; elle consiste à exécuter le calcul déterministe du \cref{ch:30} un grand nombre de fois. Les étapes sont les suivantes.
155+\begin{enumerate}
156+\item Déclarer les intrants incertains, leurs lois (\cref{tab:40:lois}) et leurs dépendances (\cref{eq:40:cholesky,eq:40:rRT}) ; fixer les autres intrants (ici la croissance réglementaire des loyers contractuels, \pct{3.1}, les coûts de vente, l'horizon).
157+\item Fixer la graine du générateur de nombres pseudo-aléatoires, ici \texttt{default\_rng(20261031)} de NumPy : sans graine, deux exécutions donnent deux résultats, et le rapport n'est pas reproductible.
158+\item Tirer $N$ vecteurs d'intrants $\mathbf{X}^{(s)}$, $s = 1, \dots, N$.
159+\item Pour chaque tirage, projeter les revenus et dépenses sur l'horizon $T$ et l'année $T + 1$, calculer les flux avant dette, la valeur terminale et la valeur
160+\begin{equation}\label{eq:40:dcf-simule}
161+V^{(s)} = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t^{(s)}}{\big(1 + r^{(s)}\big)^t} + \frac{\NOI_{T+1}^{(s)}\,(1 - c_v)}{R_T^{(s)}\,\big(1 + r^{(s)}\big)^T},
162+\end{equation}
163+ainsi que les quantités dérivées qui intéressent la décision : revenu net de chaque année, ratio de couverture $\DSCR_t^{(s)} = \NOI_t^{(s)} / SD$, taux de rendement interne si un prix est donné.
164+\item Résumer la distribution de chaque sortie : moyenne, médiane, écart-type, quantiles, probabilités de franchissement de seuils, et accompagner chaque résumé de son erreur de Monte-Carlo (\cref{sec:40:erreur}).
165+\item Vérifier que le modèle simulé, évalué aux intrants de base, reproduit exactement la projection déterministe : c'est le test le plus simple et le plus souvent omis. Dans le cas 3, la fonction vectorisée \texttt{projeter\_vectorise} évaluée au scénario de base redonne les douze lignes du \cref{tab:30:projection} à $10^{-12}$ près, ce que vérifie \texttt{test\_ch47.py}.
166+\end{enumerate}
167+Deux remarques d'implémentation. La première est la vectorisation : plutôt que d'exécuter dix mille fois une boucle sur les années, on représente chaque intrant par un tableau de dimension $N$ et l'on effectue les opérations année par année sur tous les tirages à la fois ; la simulation du cas 3 à \num{10000} tirages prend ainsi une fraction de seconde, ce qui rend possibles les répétitions et les diagnostics qui suivent. La seconde est le traitement des règles discrètes : la relocation au marché d'un nombre entier de logements par an, $k^{(s)} = \lfloor \text{rotation}^{(s)} \times 12 + 0{,}5 \rfloor$, introduit des sauts dans la fonction $g$ et c'est elle qui rend la valeur non parfaitement lisse en la rotation ; une telle discontinuité n'est pas un défaut, elle est la réalité du modèle, mais elle explique que la rotation ait une corrélation de rang avec la valeur plus faible que ne le laisserait croire la tornade.
168+
169+\subsection{Résultats du cas 3}
170+
171+La \cref{fig:40:distribution} montre la distribution des \num{10000} valeurs simulées, identique à celle de la \cref{fig:47:montecarlo} et complétée par la fonction de répartition empirique. La médiane est de \dollars{2191608}, la moyenne de \dollars{2233506}, l'écart-type de \dollars{350443} (coefficient de variation \pct{15.7}) et l'intervalle à \pct{90} s'étend de \dollars{1735194} à \dollars{2876902}. La moyenne dépasse la médiane de \dollars{41898} : la valeur est une fonction convexe de $r$ et de $R_T$ (à travers $1/R_T$ et $(1 + r)^{-t}$), et l'inégalité de Jensen implique que l'espérance de la valeur excède la valeur aux intrants espérés ; \textcite{hoesliJaniBender2006} relèvent ce biais de convexité et recommandent de rapporter la médiane. La fonction de répartition se lit comme un tableau de probabilités : $F(\dollars{2037503}) = \num{0.309}$ est la probabilité que la valeur simulée soit inférieure à l'indication par capitalisation directe, $F(\dollars{2000000}) = \num{0.265}$ et $F(\dollars{2200000}) = \num{0.512}$ celles de passer sous deux millions et sous la valeur au rôle. La zone colorée sous le quantile 5 \% est la queue dont la \cref{sec:40:risque} tire la VaR et la CVaR.
172+
173+\begin{figure}[htbp]\centering
174+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-distribution.pdf}
175+\caption{Distribution de la valeur du cas 3 sur \num{10000} tirages : histogramme avec les quantiles 5, 50 et 95 \% et la valeur déterministe (à gauche) ; fonction de répartition empirique, queue à 5 \% colorée et probabilité que la valeur soit inférieure à l'indication par capitalisation directe (à droite). L'asymétrie à droite est l'effet de convexité de la valeur dans les taux.}
176+\label{fig:40:distribution}
177+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031.}}
178+\end{figure}
179+
180+\subsection{L'erreur de Monte-Carlo}\label{sec:40:erreur}
181+
182+Chaque chiffre du paragraphe précédent est l'estimation d'une quantité inconnue à partir d'un échantillon de \num{10000} tirages et souffre, à ce titre, d'une erreur d'échantillonnage. Pour la moyenne, l'\cref{eq:40:tcl} donne immédiatement $\operatorname{se} = \num{350443}/\sqrt{\num{10000}} = \dollars{3504}$. Pour les quantiles, qui sont les résumés les plus utiles, il faut un résultat supplémentaire.
183+
184+\begin{proposition}{Erreur type d'un quantile empirique}{40:se-quantile}
185+Soit $Y$ une variable de densité $f$ continue et strictement positive au voisinage de son quantile $q_p$, et $\hat q_p$ le quantile empirique d'ordre $p$ d'un échantillon de taille $N$. Alors
186+\begin{equation}\label{eq:40:se-quantile}
187+\sqrt{N}\,\big(\hat q_p - q_p\big) \xrightarrow{\ \mathcal{L}\ } \mathcal{N}\!\left(0,\ \frac{p\,(1 - p)}{f(q_p)^2}\right), \qquad \text{soit} \qquad \operatorname{se}\big(\hat q_p\big) \approx \frac{1}{f(q_p)}\sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{N}}.
188+\end{equation}
189+\end{proposition}
190+\begin{proof}
191+Soit $\hat F_N(y) = N^{-1}\sum_s \mathbb{1}\{Y^{(s)} \leq y\}$ la fonction de répartition empirique. En $y = q_p$, $N\hat F_N(q_p)$ est binomiale de paramètres $(N, p)$, donc $\sqrt{N}(\hat F_N(q_p) - p) \to \mathcal{N}(0, p(1 - p))$. Le quantile empirique est défini par $\hat F_N(\hat q_p) \approx p$ ; un développement de $F$ au voisinage de $q_p$ donne $F(\hat q_p) - F(q_p) \approx f(q_p)(\hat q_p - q_p)$, et comme $\hat F_N$ et $F$ sont uniformément proches, $p - \hat F_N(q_p) \approx F(\hat q_p) - F(q_p) \approx f(q_p)(\hat q_p - q_p)$. On en déduit $\hat q_p - q_p \approx -(\hat F_N(q_p) - p)/f(q_p)$, dont la variance asymptotique est $p(1 - p)/(N f(q_p)^2)$ ; l'argument est rendu rigoureux par la représentation de Bahadur du quantile empirique.
192+\end{proof}
193+
194+La formule dit deux choses importantes. L'erreur d'un quantile est d'autant plus grande que la densité y est faible : les quantiles extrêmes, situés dans les queues, sont beaucoup moins précis que la médiane pour un même $N$, et c'est précisément eux que la gestion du risque utilise. Et le numérateur $p(1 - p)$ est maximal en $p = 0{,}5$, ce qui ne compense pas la chute de la densité dans les queues. Pour appliquer la formule, il faut estimer $f(q_p)$, ce que l'on fait par un estimateur à noyau sur l'échantillon lui-même ; le \cref{tab:40:erreurs} compare, pour le cas 3, l'erreur type ainsi prédite à l'écart-type empirique des mêmes statistiques sur 300 simulations indépendantes de \num{10000} tirages (graines 1 à 300). L'accord est excellent : \dollars{4135} prédits contre \dollars{4277} observés pour la médiane, \dollars{10621} contre \dollars{10862} pour le quantile 95 \%, \num{0.0050} contre \num{0.0052} pour la probabilité de bris de covenant. Le quantile 95 \% est deux fois et demie moins précis que la médiane, conformément au rapport des densités.
195+
196+\begin{table}[htbp]\centering
197+\caption{Erreur de Monte-Carlo des statistiques du cas 3 à $N = \num{10000}$ : erreur type théorique (\cref{eq:40:tcl,eq:40:se-quantile}, densité par noyau gaussien) et écart-type empirique sur 300 répétitions indépendantes ; position de la graine du traité dans la distribution des répétitions.}\label{tab:40:erreurs}
198+\small\setlength{\tabcolsep}{3pt}
199+\begin{tabular}{@{}L{2.7cm}S[table-format=7.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=7.0]S[table-format=-1.2]@{}}
200+\toprule
201+Statistique & {Graine 20261031} & {Se théor.} & {Se emp. (300)} & {Moy. des 300} & {$z$} \\
202+\midrule
203+Moyenne (\$) & 2233506 & 3504 & 3590 & 2246514 & {—} \\
204+Quantile 5 \% (\$) & 1735194 & 4756 & 4654 & 1745027 & -2.11 \\
205+Médiane (\$) & 2191608 & 4135 & 4277 & 2203873 & -2.87 \\
206+Quantile 95 \% (\$) & 2876902 & 10621 & 10862 & 2896383 & -1.79 \\
207+P(RCD$_1 < 1{,}20$) & {0,4936} & {0,0050} & {0,0052} & {0,5001} & -1.25 \\
208+\bottomrule
209+\end{tabular}
210+\tabsource{\synth{\texttt{erreurs\_theoriques} et \texttt{repetitions} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; l'écart réduit $z$ est l'écart de la graine du traité à la moyenne des 300 répétitions, divisé par l'écart-type empirique. La valeur exacte de P(RCD$_1 < 1{,}20$) est 0,5 (\cref{sec:40:covenant}).}}
211+\end{table}
212+
213+Le tableau révèle un fait que l'honnêteté impose de rapporter. La médiane obtenue avec la graine du traité, \dollars{2191608}, est inférieure de \dollars{12265} à la moyenne des médianes des 300 répétitions, soit $2{,}87$ erreurs types ; une seule des 300 graines a produit une médiane plus basse. Le quantile 5 \% est à $-2{,}1$ erreurs types et le quantile 95 \% à $-1{,}8$. La graine 20261031 n'a donc rien de spécial sinon d'être une réalisation légèrement défavorable, ce que le \cref{tab:40:lois} laissait voir : la croissance des loyers de marché y est tirée en moyenne \num{0.0003} trop bas et le taux d'actualisation \num{0.00013} trop haut. Il n'y a là aucune raison de changer de graine, ce qui serait une forme de sélection des résultats ; il y a une raison d'écrire la médiane comme « \dollars{2191608}, erreur type \dollars{4100} » et de noter que la médiane de la population simulée est plus vraisemblablement voisine de \dollars{2204000}, c'est-à-dire \dollars{4700} sous la valeur déterministe de \dollars{2208566}. Cet écart résiduel entre médiane simulée et valeur déterministe n'est pas, lui, une erreur d'échantillonnage : il vient de ce que la médiane d'une fonction non linéaire de variables aléatoires n'est pas la fonction des médianes, l'inoccupation log-normale ayant une moyenne supérieure à sa médiane, la rotation triangulaire une moyenne de \pct{16} contre un mode de \pct{15}, et le facteur CAPEX une moyenne de \num{1.02}.
214+
215+\subsection{Convergence et nombre de tirages}
216+
217+La \cref{fig:40:convergence} illustre les deux faces de la convergence. À gauche, les quantiles cumulés d'une seule suite de \num{100000} tirages : après 100 tirages, la médiane est à \dollars{2186860} et le quantile 95 \% à \dollars{2859840} ; après \num{1000}, à \dollars{2188350} et \dollars{2865010} ; après \num{10000}, à \dollars{2207230} et \dollars{2901010} ; après \num{100000}, à \dollars{2203500} et \dollars{2895770}. Le lecteur attentif remarquera que cette suite de \num{100000} tirages, bien qu'elle utilise la même graine, ne coïncide pas avec la simulation de \num{10000} tirages du traité ; c'est que le générateur produit les intrants variable par variable, de sorte que les dix mille premiers tirages d'une suite de cent mille ne sont pas les dix mille tirages d'une suite de dix mille. À droite, l'écart-type empirique des estimateurs sur 40 répétitions pour chaque $N$ de 250 à \num{8000}, en coordonnées logarithmiques : la pente ajustée pour la médiane est $-0{,}50$, exactement la prédiction $N^{-1/2}$ de l'\cref{eq:40:se-quantile}.
218+
219+\begin{figure}[htbp]\centering
220+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-convergence.pdf}
221+\caption{Convergence de la simulation du cas 3. À gauche, quantiles cumulés d'une suite de \num{100000} tirages (graine 20261031) ; les losanges marquent les valeurs de la simulation de \num{10000} tirages du traité, légèrement défavorable. À droite, écart-type empirique des estimateurs sur 40 répétitions selon $N$, en coordonnées logarithmiques, avec la droite de pente $-1/2$.}
222+\label{fig:40:convergence}
223+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, fonctions \texttt{convergence} et \texttt{se\_empirique\_selon\_N} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}
224+\end{figure}
225+
226+Combien de tirages faut-il ? La réponse dépend de la statistique visée et de la précision requise. En inversant les \cref{eq:40:tcl,eq:40:se-quantile}, le nombre de tirages tel que l'intervalle de confiance à $1 - a$ ait une demi-largeur au plus égale à $\epsilon$ est
227+\begin{align}\label{eq:40:n-requis}
228+N &\geq \left(\frac{z_{1 - a/2}\,\sigma_1}{\epsilon}\right)^2, \qquad \text{avec} \notag \\
229+\sigma_1 &= \hat\sigma_Y \ \text{(moyenne)}, \qquad \sigma_1 = \frac{\sqrt{p(1 - p)}}{f(q_p)} \ \text{(quantile)}, \qquad \sigma_1 = \sqrt{p(1 - p)} \ \text{(probabilité)}.
230+\end{align}
231+Pour la médiane du cas 3, $\sigma_1 = \dollars{413451}$ ; une demi-largeur de \dollars{5000} à \pct{95} exige $N \geq (1{,}96 \times \num{413451} / 5000)^2 = \num{26267}$ tirages, et une demi-largeur de \dollars{1000} en exigerait \num{656665}. Pour une probabilité voisine de 0,5 à un point de pourcentage près, $N \geq (1{,}96 \times 0{,}5 / 0{,}01)^2 = \num{9604}$ ; à un demi-point, \num{38415}. Les \num{10000} tirages du traité suffisent donc pour une probabilité de covenant au point près et pour une médiane au centième de million près, pas pour un quantile 95 \% au-delà de la dizaine de milliers de dollars, ce qui est de toute façon bien au-delà de la précision que l'incertitude des lois elles-mêmes autorise. Il est vain de simuler un million de fois un modèle dont les écarts-types d'intrants sont connus à \pct{30} près ; l'erreur de Monte-Carlo doit simplement être rendue négligeable devant l'incertitude de modélisation, et déclarée.
232+
233+\section{Réduire la variance : l'échantillonnage par hypercube latin}\label{sec:40:lhs}
234+
235+\subsection{Principe}
236+
237+L'échantillonnage simple tire chaque coordonnée uniformément et indépendamment ; il laisse au hasard le soin de couvrir l'espace des intrants, et le hasard couvre mal : dans un échantillon de \num{1000} tirages normaux, il arrive que les 5 \% supérieurs soient sous-représentés et la moyenne de l'échantillon déplacée, ce qui se transmet à toutes les sorties. L'\motcle{échantillonnage par hypercube latin} (\emph{Latin hypercube sampling}, LHS) impose à chaque coordonnée d'être représentée exactement une fois dans chacune de $N$ strates équiprobables : pour la dimension $k$, on tire une permutation aléatoire $\pi_k$ de $\{0, \dots, N - 1\}$ et des uniformes indépendantes $U_{sk}$, et l'on pose
238+\begin{equation}\label{eq:40:lhs}
239+u_{sk} = \frac{\pi_k(s) + U_{sk}}{N}, \qquad X_{sk} = F_k^{-1}(u_{sk}), \qquad s = 1, \dots, N,\ k = 1, \dots, d.
240+\end{equation}
241+Chaque marginale est alors stratifiée parfaitement : exactement un tirage dans chaque intervalle de probabilité $1/N$, et la moyenne empirique de toute fonction monotone d'une seule coordonnée a une variance d'ordre $N^{-3}$ au lieu de $N^{-1}$. Pour une fonction de plusieurs variables, le gain dépend de la part additive de la fonction : si $g(\mathbf{X}) = \sum_k g_k(X_k) + \text{reste}$, l'hypercube latin élimine presque entièrement la variance due à la partie additive et ne laisse que celle du reste, d'où le résultat classique que la variance de la moyenne par hypercube latin ne dépasse jamais (asymptotiquement) celle de l'échantillonnage simple, et lui est très inférieure lorsque le modèle est proche d'être additif. La \cref{fig:40:lhs} illustre la stratification en dimension deux et mesure le gain sur le cas 3.
242+
243+\subsection{Mise en œuvre et comparaison}
244+
245+La fonction \texttt{tirer\_lhs} du script du chapitre reproduit la fonction \texttt{tirer} du \cref{ch:47} (mêmes lois, même ordre des intrants, mêmes bornes) en remplaçant les tirages normaux directs par l'\cref{eq:40:lhs} et les fonctions quantiles des lois ; le facteur CAPEX de chaque chantier occupe une dimension propre, soit neuf dimensions en tout. Pour comparer les deux schémas à armes égales, on simule 100 fois le cas 3 avec $N = \num{1000}$ tirages, en simple puis en hypercube latin, et l'on calcule la variance des estimateurs d'une répétition à l'autre ; le \cref{tab:40:lhs} rapporte le rapport des variances, qui est le facteur par lequel il faudrait multiplier $N$ en échantillonnage simple pour égaler la précision de l'hypercube latin.
246+
247+\begin{table}[htbp]\centering
248+\caption{Échantillonnage simple et hypercube latin sur le cas 3, $N = \num{1000}$ tirages, 100 répétitions : moyenne et écart-type des estimateurs d'une répétition à l'autre, rapport des variances.}\label{tab:40:lhs}
249+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
250+\begin{tabular}{@{}L{2.4cm}S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=3.1]@{}}
251+\toprule
252+Statistique & {Moy. simple} & {Moy. LHS} & {Se simple} & {Se LHS} & {Var. simple/LHS} \\
253+\midrule
254+Moyenne (\$) & 2247110 & 2246560 & 12079 & 1177 & 105.4 \\
255+Écart-type (\$) & 354784 & 355509 & 10391 & 5901 & 3.1 \\
256+Médiane (\$) & 2204900 & 2202380 & 12881 & 7662 & 2.8 \\
257+Quantile 5 \% (\$) & 1746490 & 1746410 & 14232 & 12231 & 1.4 \\
258+Quantile 95 \% (\$) & 2892420 & 2895480 & 35935 & 26361 & 1.9 \\
259+P(valeur $< 2$ M\$) & {0,2580} & {0,2572} & {0,0147} & {0,0091} & 2.6 \\
260+P(RCD$_1 < 1{,}20$) & {0,4977} & {0,5000} & {0,0162} & {0} & {$\infty$} \\
261+\bottomrule
262+\end{tabular}
263+\tabsource{\synth{\texttt{comparer\_lhs} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}, graines 1000 à 1099.}}
264+\end{table}
265+
266+Les résultats sont instructifs à trois égards. Pour la moyenne de la valeur, le gain est spectaculaire : la variance est divisée par 105, ce qui signifie qu'un hypercube latin de \num{1000} points est aussi précis qu'un échantillonnage simple de \num{100000} points ; c'est le signe que la valeur est très largement additive en ses intrants, fait que la régression standardisée de la \cref{sec:40:sobol} confirme avec un $R^2$ de \num{0.955}. Pour les quantiles, le gain est modeste, de 1,4 à 2,8 : un quantile dépend de la position d'un petit nombre de tirages dans une queue, et la stratification des marginales ne contrôle pas la queue de la sortie ; l'hypercube latin n'est donc pas la panacée pour la VaR, et il faut lui préférer, pour les quantiles extrêmes, un $N$ plus grand ou des méthodes d'échantillonnage préférentiel qui dépassent ce chapitre. Enfin, la probabilité que le ratio de couverture de première année soit inférieur à 1,20 est estimée \emph{exactement} à 0,5 par chaque hypercube latin, sans aucune variance : le ratio de première année est une fonction strictement décroissante de la seule inoccupation (\cref{eq:40:rcd-affine}), le seuil correspond exactement à la médiane de la loi de l'inoccupation, et la stratification place exactement $N/2$ tirages de chaque côté. Ce cas limite montre ce que la stratification fait au mieux et prévient d'une illusion : la précision infinie de ce chiffre ne dit rien sur la précision de la loi dont il découle.
267+
268+\begin{figure}[htbp]\centering
269+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-lhs.pdf}
270+\caption{Hypercube latin. À gauche et au centre, douze points dans le carré unité par échantillonnage simple puis par hypercube latin : chaque ligne et chaque colonne de la grille contient exactement un point dans le second cas. À droite, rapport des variances des estimateurs (échantillonnage simple sur hypercube latin, $N = \num{1000}$, 100 répétitions) pour le cas 3 : le gain est massif pour la moyenne, modeste pour les quantiles.}
271+\label{fig:40:lhs}
272+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; fonctions \texttt{hypercube\_latin} et \texttt{comparer\_lhs} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}
273+\end{figure}
274+
275+\section{Stress tests, mesures de risque et covenants}\label{sec:40:risque}
276+
277+\subsection{Stress tests déterministes et simulation : complémentarité}
278+
279+Le stress test déterministe choisit un point de l'espace des intrants et y évalue le modèle. Il a trois vertus que la simulation n'a pas : il se raconte (« si les taux montent de deux points au renouvellement »), il se vérifie à la main, et il correspond à la pratique réglementaire. Le taux admissible minimal du BSIF pour les prêts hypothécaires résidentiels non assurés, le plus élevé du taux contractuel majoré de deux points et de \pct{5.25} \parencite{osfiMqr}, est un stress test déterministe appliqué à la capacité de remboursement de l'emprunteur ; les scénarios de renouvellement du \cref{sec:31:renouvellement} et du \cref{ch:47}, qui refinancent le solde à +100, +200 et +300 points de base, en sont la transposition à un immeuble locatif. Mais le stress test a un défaut : il ne dit pas à quel point le scénario est sévère. Un choc de +200 points de base est-il un événement d'une fois tous les cinq ans ou d'une fois par siècle ? Deux chocs simultanés sont-ils aussi vraisemblables que chacun d'eux séparément ? La simulation répond en attachant à tout scénario déterministe la probabilité, sous les lois déclarées, d'un résultat au moins aussi défavorable : $P\big(V \leq V_{\text{scénario}}\big)$, lue directement sur la fonction de répartition empirique de la \cref{fig:40:distribution}.
280+
281+Le \cref{tab:40:stress} applique cette lecture à six scénarios du cas 3. Le scénario de hausse des taux du \cref{tab:30:scenarios} ($r = \pct{8.00}$, $R_T = \pct{5.50}$) donne une valeur de \dollars{1947889}, en baisse de \pct{11.8} ; la probabilité d'une valeur au moins aussi basse est de \pct{20.7}, ce qui en fait un scénario sévère mais nullement extrême : une chance sur cinq. Une inoccupation de \pct{6} ne retranche que \pct{3.6} à la valeur et sa probabilité « au moins aussi mauvais » est de \pct{42.3}, c'est-à-dire que c'est à peine un stress. La combinaison d'une croissance des loyers de marché de \pct{2.5} et d'une croissance des dépenses de \pct{4} vaut $-\pct{11.5}$ et une chance sur cinq. Les deux derniers scénarios montrent le piège des stress tests multiples : porter trois intrants simultanément à leur quantile défavorable 90 \% donne $-\pct{22.2}$ avec une probabilité de \pct{4.1}, et porter les sept intrants à ce quantile donne $-\pct{33.7}$ avec une probabilité de \pct{0.13}, soit un événement de l'ordre d'une fois sur 750. Le second scénario, que des analystes prudents présentent parfois comme « le pire cas raisonnable », combine sept événements dont chacun n'a qu'une chance sur dix ; leur conjonction, même avec la corrélation entre $r$ et $R_T$, n'a rien de raisonnable. C'est l'apport principal de la simulation aux stress tests : calibrer la sévérité et empêcher l'empilement d'hypothèses défavorables dont la conjonction est improbable.
282+
283+\begin{table}[htbp]\centering
284+\caption{Stress tests déterministes du cas 3 et probabilité, dans la simulation, d'un résultat au moins aussi défavorable.}\label{tab:40:stress}
285+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
286+\begin{tabular}{@{}L{7.2cm}S[table-format=7.0]S[table-format=-2.1]S[table-format=2.2]@{}}
287+\toprule
288+Scénario & {Valeur (\$)} & {Écart à la base (\%)} & {P(valeur $\leq$ scénario) (\%)} \\
289+\midrule
290+Base (hypothèses du dossier) & 2208566 & 0.0 & 52.17 \\
291+Hausse des taux : $r + 75$~pb, $R_T + 50$~pb (\cref{tab:30:scenarios}) & 1947889 & -11.8 & 20.72 \\
292+Marché détendu : inoccupation \pct{6} & 2128580 & -3.6 & 42.33 \\
293+Croissance faible : loyers de marché \pct{2.5}, dépenses \pct{4.0} & 1954800 & -11.5 & 21.39 \\
294+Trois intrants au quantile défavorable 90 \% ($r$, $g_m$, $v$) & 1717180 & -22.2 & 4.13 \\
295+Sept intrants au quantile défavorable 90 \% & 1464480 & -33.7 & 0.13 \\
296+\bottomrule
297+\end{tabular}
298+\tabsource{\synth{\texttt{stress\_deterministes} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; les probabilités sont des fréquences sur \num{10000} tirages (erreur type au plus 0,5 point).}}
299+\end{table}
300+
301+Le \motcle{stress test inversé} renverse la question : au lieu de demander ce que vaut l'immeuble sous un choc donné, il cherche le choc qui amène le résultat à un seuil critique. La fonction \texttt{stress\_inverse} du script résout quatre équations à une inconnue par la méthode de Brent. Le ratio de couverture de première année tombe à 1,00 pour une inoccupation de \pct{13.3} ; la valeur descend à deux millions de dollars pour un taux d'actualisation de \pct{7.72} (l'écart terminal de \num{2.25} points étant maintenu), soit une hausse de 47 points de base seulement ; la valeur DCF rejoint l'indication par capitalisation directe pour un taux terminal de \pct{5.62} ou pour une croissance des loyers de marché de \pct{2.33}. Cette dernière lecture éclaire la réconciliation du \cref{ch:47} : l'écart de \pct{8.4} entre les deux méthodes équivaut à un peu plus d'un point de croissance des loyers de marché sur dix ans, ou à 62 points de base de taux terminal. Chaque seuil de stress inversé peut ensuite recevoir sa probabilité par les lois déclarées : une inoccupation supérieure à \pct{13.3} a, sous la loi log-normale du dossier, une probabilité de $1 - \Phi\big(\ln(0{,}1333/0{,}039)/0{,}30\big) = 2 \times 10^{-5}$.
302+
303+\subsection{VaR et CVaR de valeur}
304+
305+La gestion des risques financiers a imposé deux résumés de la queue d'une distribution. La \motcle{valeur à risque} (VaR) au niveau $\alpha$ est la perte qui n'est dépassée qu'avec probabilité $\alpha$ ; appliquée à une valeur d'immeuble et mesurée par rapport à une valeur de référence $V_{\text{réf}}$ (la valeur déterministe ou la médiane), elle est l'écart entre la référence et le quantile d'ordre $\alpha$. La \motcle{valeur à risque conditionnelle} (CVaR, aussi appelée perte espérée ou \emph{expected shortfall}) est la perte moyenne dans les $\alpha$ pires cas :
306+\begin{equation}\label{eq:40:var}
307+\operatorname{VaR}_\alpha = V_{\text{réf}} - q_\alpha, \qquad \operatorname{CVaR}_\alpha = V_{\text{réf}} - \E\big[V \mid V \leq q_\alpha\big] = V_{\text{réf}} - \frac{1}{\alpha}\int_0^\alpha q_u\,\dd u.
308+\end{equation}
309+La CVaR est toujours au moins égale à la VaR puisqu'elle moyenne des valeurs toutes inférieures ou égales au quantile, et elle a sur la VaR deux avantages théoriques bien connus : elle tient compte de la forme de la queue au-delà du quantile, alors que deux distributions de même quantile 5 \% mais de queues très différentes ont la même VaR, et elle est sous-additive, c'est-à-dire que la CVaR d'un portefeuille n'excède jamais la somme des CVaR de ses composantes, propriété que la VaR ne possède pas en général et qui importe pour l'agrégation de la \cref{sec:40:portefeuille}. L'estimateur de Monte-Carlo de la CVaR est la moyenne des $\lfloor \alpha N \rfloor$ plus petites valeurs simulées ; son erreur type est plus grande que celle de la VaR, puisqu'elle repose sur moins de tirages encore.
310+
311+Pour le cas 3, en prenant la valeur déterministe de \dollars{2208566} comme référence, le \cref{tab:40:risque} donne une VaR à 5 \% de \dollars{473372}, soit \pct{21.4} de la valeur, et une CVaR à 5 \% de \dollars{557097}, soit \pct{25.2} ; au niveau 10 \%, \dollars{385254} (\pct{17.4}) et \dollars{491208} (\pct{22.2}). Il est utile de comparer ces chiffres à ce qu'une approximation normale aurait donné. Si la valeur était normale de même moyenne et de même écart-type, son quantile 5 \% serait \dollars{1657079} au lieu de \dollars{1735194}, et la CVaR normale, donnée par la formule fermée
312+\begin{equation}\label{eq:40:cvar-normale}
313+\E\big[V \mid V \leq q_\alpha\big] = \mu - \sigma\,\frac{\varphi(z_\alpha)}{\alpha}, \qquad \text{soit ici} \qquad \num{2233506} - \num{350443} \times \frac{\varphi(-1{,}645)}{0{,}05} = \dollars{1510643},
314+\end{equation}
315+surestimerait la perte espérée de queue de \dollars{140827} par rapport à la distribution simulée (\dollars{1651470}). L'approximation normale est donc ici \emph{trop} pessimiste pour la queue basse, parce que la valeur est asymétrique à droite : sa queue basse est plus courte que celle d'une normale, sa queue haute plus longue. L'erreur serait de sens opposé pour un indicateur dont la queue défavorable est la queue haute, comme le coût d'un chantier ; la leçon est qu'aucune formule fermée ne dispense de regarder la distribution simulée.
316+
317+\begin{table}[htbp]\centering
318+\caption{Mesures de risque de la valeur et de la couverture de la dette du cas 3 (\num{10000} tirages, graine 20261031) ; référence pour la VaR et la CVaR : valeur déterministe de \dollars{2208566}.}\label{tab:40:risque}
319+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
320+\begin{tabular}{@{}L{7.6cm}S[table-format=7.0]L{2.6cm}@{}}
321+\toprule
322+Mesure & {Montant (\$)} & Lecture \\
323+\midrule
324+Quantile 5 \% de la valeur & 1735194 & \pct{78.6} de la référence \\
325+VaR 5 \% & 473372 & \pct{21.4} de la référence \\
326+Espérance de la valeur dans les 5 \% pires cas & 1651470 & \\
327+CVaR 5 \% & 557097 & \pct{25.2} de la référence \\
328+Quantile 10 \% de la valeur ; VaR 10 \% & 1823312 & VaR \dollars{385254} (\pct{17.4}) \\
329+CVaR 10 \% & 491208 & \pct{22.2} de la référence \\
330+Quantile 5 \% si la valeur était normale ($\mu$, $\sigma$ simulés) & 1657079 & VaR surestimée de \dollars{78115} \\
331+CVaR 5 \% si la valeur était normale & 697923 & surestimée de \dollars{140827} \\
332+\midrule
333+P(RCD$_1 < 1{,}20$) : simulée / exacte & {0,4936 / 0,5} & $\pm 0{,}005$ \\
334+P(RCD$_1 < 1{,}00$) : simulée / exacte & {0 / $2 \times 10^{-5}$} & 0,2 tirage attendu \\
335+RCD$_1$ : médiane / quantile 5 \% & {1,200 / 1,148} & \\
336+P(RCD$_6 < 1{,}20$) après renouvellement à +200 pb & {0,0140} & $\pm 0{,}0012$ \\
337+RCD$_6$ (+200 pb) : médiane / quantile 5 \% & {1,344 / 1,232} & \\
338+\bottomrule
339+\end{tabular}
340+\tabsource{\synth{\texttt{mesures\_risque}, \texttt{cvar\_normale}, \texttt{rcd1\_analytique} et \texttt{monte\_carlo} ; les ratios de couverture sont ceux du prêt de \dollars{1475959} (service de la dette \dollars{74963}).}}
341+\end{table}
342+
343+\subsection{Probabilité de bris de covenant}\label{sec:40:covenant}
344+
345+La question que pose le prêteur n'est pas celle de la valeur mais celle du ratio de couverture de la dette. Le \cref{ch:31} a dimensionné le prêt du cas 3 pour que le ratio de première année soit exactement 1,20 aux hypothèses de base ; la simulation du \cref{ch:47} trouve une probabilité de \pct{49.4} que ce ratio soit inférieur à 1,20 et aucun tirage sous 1,00. Ces deux chiffres se dérivent exactement, ce qui offre une vérification analytique de la simulation. Le revenu net de première année ne dépend, parmi les intrants simulés, que de l'inoccupation $v$ : les croissances n'agissent qu'à partir de l'année 2, la rotation aussi, et le premier chantier de CAPEX n'entre pas dans le revenu net. Avec les conventions du dossier (frais de gestion imputés à \pct{4} du revenu brut effectif, réserve $RR$ fixe, autres dépenses hors gestion $DE^{\text{hg}}$ fixes la première année),
346+\begin{equation}\label{eq:40:rcd-affine}
347+\DSCR_1(v) = \frac{0{,}96\,\big[RBP\,(1 - v) + R_{\text{autres}}\big] - DE^{\text{hg}} - RR}{SD}, \qquad \frac{\dd\,\DSCR_1}{\dd v} = -\frac{0{,}96\,RBP}{SD} = -2{,}12,
348+\end{equation}
349+fonction affine strictement décroissante de $v$ : chaque point d'inoccupation retranche \num{0.0212} au ratio. Le prêt ayant été calibré pour $\DSCR_1(0{,}039) = 1{,}20$, l'événement $\{\DSCR_1 < 1{,}20\}$ est exactement $\{v > 0{,}039\}$, et comme \pct{3.9} est la médiane de la loi log-normale déclarée, sa probabilité est exactement $0{,}5$. La fréquence simulée de \num{0.4936} en diffère de $-1{,}3$ erreur type ($\sqrt{0{,}25/\num{10000}} = 0{,}005$) : la simulation est juste, et c'est le dimensionnement du prêt qui met le covenant à pile ou face. Le ratio tombe à 1,00 pour $v_1 = \pct{13.33}$, dont la probabilité sous la loi déclarée est $2 \times 10^{-5}$, soit \num{0.2} tirage attendu sur \num{10000} : l'absence de tout tirage sous 1,00 n'est pas une preuve d'impossibilité, c'est la conséquence attendue d'une probabilité très faible que la simulation ne peut pas estimer avec \num{10000} tirages (il en faudrait de l'ordre de dix millions pour l'estimer à \pct{20} près). Pour une probabilité de cet ordre, le calcul exact ou l'échantillonnage préférentiel s'imposent, et le résultat exact ne vaut que ce que vaut la queue de la loi log-normale, qui est une hypothèse.
350+
351+La \cref{fig:40:rcd} trace les trajectoires du ratio de couverture sur dix ans, avec le prêt de base pendant le terme de cinq ans puis le prêt renouvelé à +200 points de base sur le solde résiduel. La médiane monte de \num{1.20} à \num{1.59} à l'année 5 grâce au rattrapage des loyers, retombe à \num{1.34} à l'année 6 sous l'effet du choc de taux, puis remonte. La bande à \pct{90} s'élargit avec l'horizon, parce que les incertitudes sur les croissances se cumulent ; à l'année 6, le quantile 5 \% est à \num{1.232} et la probabilité d'un ratio inférieur à 1,20 n'est que de \pct{1.4} (erreur type \num{0.0012}). La figure montre aussi douze trajectoires individuelles : elles ne sont pas parallèles, certaines croisent la médiane, et c'est ce croisement que la simulation seule peut représenter, le scénario déterministe du \cref{tab:47:scenarios} ne traçant qu'une trajectoire. Le prêteur peut en tirer une règle de dimensionnement probabiliste : s'il veut une probabilité de bris du covenant inférieure à \pct{10} la première année, il doit choisir le prêt tel que $\DSCR_1(q_{0{,}90}(v)) = 1{,}20$, c'est-à-dire fixer le ratio de base à $\DSCR_1(0{,}039) = 1{,}20 \times \NOI_1(0{,}039)/\NOI_1(q_{0{,}90})$ ; avec $q_{0{,}90}(v) = 0{,}039\,e^{0{,}30 \times 1{,}2816} = \pct{5.73}$, le revenu net baisse de \dollars{2904} et le ratio de base requis est \num{1.24}, ce qui ramène le prêt vers \dollars{1425000}, en accord avec l'ordre de grandeur de \dollars{1417000} avancé au \cref{ch:47} pour un ratio de 1,25.
352+
353+\begin{figure}[htbp]\centering
354+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-rcd.pdf}
355+\caption{Trajectoires simulées du ratio de couverture de la dette du cas 3 sur dix ans : médiane, bandes à 50 et 90 \%, douze trajectoires individuelles ; prêt de base pendant le terme de cinq ans, puis renouvellement du solde à +200 points de base. Le covenant de 1,20 est franchi une fois sur deux la première année ; le seuil de 1,00 n'est jamais approché.}
356+\label{fig:40:rcd}
357+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031 ; revenu net de \texttt{monte\_carlo}, service de la dette par \texttt{traite.finance.Hypotheque}.}}
358+\end{figure}
359+
360+\begin{quebec}
361+Trois repères québécois et canadiens encadrent les stress tests de ce chapitre. Le taux admissible minimal du Bureau du surintendant des institutions financières pour les prêts hypothécaires résidentiels non assurés est le plus élevé du taux contractuel majoré de deux points et de \pct{5.25} ; la règle est revue au moins une fois l'an et ne s'applique plus, depuis le 21 novembre 2024, aux transferts directs non assurés au renouvellement \parencite[page modifiée le 29 janvier 2026, consultée le 31 octobre 2026]{osfiMqr}. Elle vise l'emprunteur individuel, non l'immeuble locatif, mais elle fixe l'ordre de grandeur du choc de taux que les prêteurs appliquent par analogie au ratio de couverture, et c'est pourquoi les scénarios à +200 points de base des \cref{ch:31,ch:47} et de la \cref{fig:40:rcd} y font écho. La Banque du Canada a relevé son taux directeur à \pct{2.50} le 28 octobre 2026, première hausse depuis juillet 2023, après l'avoir maintenu à \pct{2.25} depuis le 30 octobre 2025 \parencite{bdc20261028} ; le rendement des obligations du gouvernement du Canada à dix ans était de \pct{3.84} le 29 octobre 2026 et le taux hypothécaire conventionnel de cinq ans affiché de \pct{6.19} \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. La loi normale de moyenne \pct{7.25} et d'écart-type \qty{50}{\pb} du taux d'actualisation du cas 3 doit se lire dans ce contexte : un intervalle à \pct{90} de \pct{6.43} à \pct{8.07}, soit une prime de 2,6 à 4,2 points sur le dix ans, en l'absence d'enquête publique sur les taux d'actualisation du multirésidentiel québécois. Enfin, la croissance des loyers contractuels est maintenue fixe à \pct{3.1} dans la simulation parce qu'elle découle du pourcentage de base de la méthode de fixation du Tribunal administratif du logement pour 2026 (\cref{ch:34}) : c'est un paramètre réglementaire annuel, non un aléa de marché, et le traiter comme aléatoire reviendrait à simuler la politique réglementaire, ce que l'on fait, si on le souhaite, par scénario plutôt que par loi. Aucune norme de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec n'exige de simulation ; les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport énonce les hypothèses et réserves et que le raisonnement soit suivable \parencite{oeaqNormes}, ce que la déclaration des lois, de la graine et de l'erreur de Monte-Carlo satisfait pleinement.
362+\end{quebec}
363+
364+\section{Sensibilité globale : indices de Sobol, corrélations de rang et tornade}\label{sec:40:sobol}
365+
366+\subsection{Pourquoi la tornade ne suffit pas}
367+
368+Le diagramme en tornade du \cref{sec:30:sensibilite} et de la \cref{fig:47:tornade} est une analyse de sensibilité \emph{locale} et \emph{un facteur à la fois} : il déplace chaque intrant entre deux bornes, les autres restant à la base, et mesure le déplacement de la valeur. Il a deux limites. Son classement dépend des bornes choisies : si la borne d'un intrant est son quantile 10-90 et celle d'un autre son quantile 5-95, la comparaison est faussée ; le \cref{ch:47} a pris soin d'utiliser les mêmes quantiles pour tous, ce qui rend la tornade cohérente avec les lois, mais c'est une discipline, non une propriété de la méthode. Et il ignore les interactions : si l'effet d'une croissance des loyers de marché plus forte dépend du niveau de la rotation (il faut que les logements se libèrent pour que le marché entre dans l'immeuble), aucun déplacement d'un seul intrant ne le montre. L'analyse de sensibilité \motcle{globale} répond aux deux limites en décomposant la variance de la sortie, telle que la simulation la produit, en contributions des intrants et de leurs interactions.
369+
370+\subsection{Décomposition de la variance et indices de Sobol}
371+
372+\begin{theoreme}{Décomposition de Hoeffding et indices de Sobol}{40:sobol}
373+Soit $Y = g(X_1, \dots, X_d)$ de variance finie, les $X_i$ étant indépendants. Alors $g$ se décompose de façon unique en
374+\begin{equation}\label{eq:40:sobol-decomp}
375+g = g_0 + \sum_i g_i(X_i) + \sum_{i < j} g_{ij}(X_i, X_j) + \dots + g_{1 \dots d}(X_1, \dots, X_d),
376+\end{equation}
377+où $g_0 = \E[Y]$, $g_i(x_i) = \E[Y \mid X_i = x_i] - g_0$, $g_{ij} = \E[Y \mid X_i, X_j] - g_i - g_j - g_0$, etc., toutes les composantes étant centrées et deux à deux orthogonales. La variance se décompose en conséquence, $\Var(Y) = \sum_i V_i + \sum_{i<j} V_{ij} + \dots$ avec $V_i = \Var[\E(Y \mid X_i)]$, et l'on définit l'\motcle{indice de premier ordre} et l'\motcle{indice total} de $X_i$ par
378+\begin{equation}\label{eq:40:sobol-indices}
379+S_i = \frac{\Var\big[\E(Y \mid X_i)\big]}{\Var(Y)}, \qquad S_{T_i} = 1 - \frac{\Var\big[\E(Y \mid \mathbf{X}_{-i})\big]}{\Var(Y)} = \frac{\E\big[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})\big]}{\Var(Y)},
380+\end{equation}
381+avec $0 \leq S_i \leq S_{T_i} \leq 1$ et $\sum_i S_i \leq 1$, l'égalité ayant lieu si et seulement si $g$ est additive.
382+\end{theoreme}
383+\begin{proof}
384+L'unicité et l'orthogonalité découlent de la construction par espérances conditionnelles successives : chaque composante $g_{\mathcal{I}}$ est d'espérance nulle par rapport à chacune de ses variables, de sorte que le produit de deux composantes distinctes a une espérance nulle (il existe une variable qui figure dans l'une et pas dans l'autre, et l'intégration par rapport à elle annule le produit) ; l'indépendance des $X_i$ est nécessaire pour que la loi jointe soit produit des marginales. La variance de la somme de composantes orthogonales est la somme des variances. L'inégalité $S_i \leq S_{T_i}$ vient de ce que $S_{T_i}$ somme $V_i$ et toutes les $V_{\mathcal{I}}$ contenant $i$ ; $\sum S_i \leq 1$ parce que les termes d'interaction sont positifs ou nuls. Enfin, par la loi de la variance totale, $\Var(Y) = \Var[\E(Y \mid \mathbf{X}_{-i})] + \E[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})]$, d'où la seconde expression de $S_{T_i}$.
385+\end{proof}
386+
387+L'indice de premier ordre $S_i$ est la part de la variance de la valeur que l'on éliminerait en connaissant parfaitement $X_i$ ; l'indice total $S_{T_i}$ est la part qui subsisterait si l'on connaissait parfaitement tous les autres intrants ; leur différence mesure les interactions auxquelles $X_i$ participe. La condition d'indépendance oblige à travailler sur les intrants \emph{de base} du modèle, $r$ et $\delta$, et non sur $r$ et $R_T$ qui sont corrélés ; l'indice de $\delta$ s'interprète alors comme la part de variance due à l'incertitude sur l'écart terminal \emph{au-delà} de celle due au niveau des taux.
388+
389+Les indices s'estiment sans calculer d'espérance conditionnelle, par la méthode des \motcle{échantillons appariés} (\emph{pick-freeze}). On tire deux matrices indépendantes $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$ de $N$ lignes et $d$ colonnes, et pour chaque $i$ une matrice $\mathbf{A}_{\mathbf{B}}^{(i)}$ égale à $\mathbf{A}$ sauf sa colonne $i$, prise dans $\mathbf{B}$ ; on évalue le modèle sur les $N(d + 2)$ lignes et l'on calcule
390+\begin{equation}\label{eq:40:sobol-estimateur}
391+\hat S_i = \frac{1}{N\,\hat V}\sum_{s=1}^{N} \big(g(\mathbf{B}_s) - \hat g_0\big)\big[g(\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)}) - g(\mathbf{A}_s)\big], \qquad
392+\hat S_{T_i} = \frac{1}{2N\,\hat V}\sum_{s=1}^{N} \big[g(\mathbf{A}_s) - g(\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)})\big]^2 .
393+\end{equation}
394+Le premier estimateur repose sur l'identité $\E[g(\mathbf{B})\,g(\mathbf{A}_{\mathbf{B}}^{(i)})] - g_0^2 = V_i$ : les deux arguments partagent la seule coordonnée $i$, de sorte que leur covariance est exactement la variance de l'espérance conditionnelle en $X_i$, et le terme $g(\mathbf{B})\,g(\mathbf{A})$, dont les arguments ne partagent rien, retranche $g_0^2$ ; le centrage par $\hat g_0$ ne change pas l'espérance et réduit la variance de l'estimateur. Le second repose sur le fait que $\mathbf{A}_s$ et $\mathbf{A}_{\mathbf{B},s}^{(i)}$ ne diffèrent que par la coordonnée $i$, de sorte que la demi-espérance de leur différence au carré est $\E[\Var(Y \mid \mathbf{X}_{-i})]$. Pour le cas 3, avec $N = \num{20000}$ et sept intrants (les trois facteurs CAPEX étant gelés ensemble comme un groupe), l'estimation coûte \num{180000} évaluations du modèle, soit quelques secondes.
395+
396+\subsection{Résultats et confrontation à la tornade}
397+
398+Le \cref{tab:40:sobol} et la \cref{fig:40:sobol} rassemblent trois mesures de sensibilité globale et la tornade. Les indices de Sobol attribuent \pct{52.8} de la variance de la valeur au taux d'actualisation (indice total \pct{53.5}), \pct{24.8} à la croissance des loyers de marché (\pct{25.5}), \pct{13.4} à l'écart terminal (\pct{14.4}), \pct{4.3} à la croissance des dépenses, \pct{2.0} à l'inoccupation, \pct{1.3} à la rotation et moins de \pct{0.5} aux dépenses en capital. La somme des indices de premier ordre est \num{0.989} et les indices totaux n'excèdent les indices de premier ordre que de quelques millièmes : les interactions comptent pour environ \pct{1} de la variance et le modèle est, à cette précision, additif en ses intrants, ce que confirment le $R^2$ de \num{0.955} de la régression linéaire standardisée de la valeur sur les sept intrants (le complément à \num{0.989} tenant à la non-linéarité des effets propres, non aux interactions) et le gain massif de l'hypercube latin sur la moyenne. Les carrés des corrélations de Spearman donnent, pour un tel modèle, une approximation de $S_i$ : \num{0.506} pour $r$, \num{0.238} pour $g_m$, \num{0.121} pour $\delta$, \num{0.045} pour $g_d$, \num{0.021} pour $v$, hiérarchie et ordres de grandeur identiques. La corrélation de rang est l'outil qu'il faut retenir quand on ne dispose que d'une simulation ordinaire, sans échantillons appariés : elle coûte zéro évaluation supplémentaire et se lit directement sur les nuages de la \cref{fig:40:nuage}.
399+
400+\begin{table}[htbp]\centering
401+\caption{Sensibilité globale de la valeur du cas 3 : indices de Sobol de premier ordre et totaux ($N = \num{20000}$ par matrice, \num{180000} évaluations), corrélation de rang de Spearman et son carré (simulation de \num{10000} tirages), amplitude de la tornade entre les quantiles 10 et 90 \% (\cref{ch:47}).}\label{tab:40:sobol}
402+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
403+\begin{tabular}{@{}L{3.6cm}S[table-format=1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=-1.3]S[table-format=1.3]S[table-format=6.0]S[table-format=1.0]@{}}
404+\toprule
405+Intrant & {$S_i$} & {$S_{T_i}$} & {$\rho_S$} & {$\rho_S^2$} & {Amplitude tornade (\$)} & {Rang tornade} \\
406+\midrule
407+Taux d'actualisation $r$ & 0.528 & 0.535 & -0.711 & 0.506 & 636535 & 1 \\
408+Croissance loyers de marché $g_m$ & 0.248 & 0.255 & 0.487 & 0.238 & 459632 & 2 \\
409+Écart terminal $\delta$ & 0.134 & 0.144 & 0.347 & 0.121 & 320404 & 3 \\
410+Croissance des dépenses $g_d$ & 0.043 & 0.044 & -0.211 & 0.045 & 185540 & 4 \\
411+Inoccupation et pertes $v$ & 0.020 & 0.019 & -0.145 & 0.021 & 117049 & 5 \\
412+Rotation annuelle & 0.013 & 0.015 & 0.062 & 0.004 & 90738 & 7 \\
413+Facteur CAPEX (groupe) & 0.003 & 0.004 & -0.044 & 0.002 & 92066 & 6 \\
414+\midrule
415+Somme des $S_i$ ; $R^2$ linéaire & 0.989 & {—} & {—} & 0.955 & {—} & {—} \\
416+Taux terminal $R_T = r - \delta$ (dérivé) & {—} & {—} & -0.782 & 0.611 & {—} & {—} \\
417+\bottomrule
418+\end{tabular}
419+\tabsource{\synth{\texttt{sobol}, \texttt{correlations\_rang}, \texttt{regression\_standardisee} et \texttt{tornade} ; graines 20261031 (matrice $\mathbf{A}$, simulation) et 20261032 (matrice $\mathbf{B}$). Erreur type des indices de l'ordre de 0,01.}}
420+\end{table}
421+
422+La tornade donne le même classement pour les trois premiers intrants et le même pour le quatrième et le cinquième ; elle inverse les deux derniers, mais leurs amplitudes sont si proches (\dollars{92066} et \dollars{90738}) que le classement est indifférent. L'accord entre sensibilité locale et globale n'est pas une coïncidence : il tient à ce que le modèle est presque additif et que les bornes de la tornade sont les quantiles 10 et 90 des mêmes lois ; dans ces conditions, l'amplitude de la tornade est approximativement $2 \times 1{,}28\,\sigma_i\,|\partial g/\partial x_i|$ et son carré est proportionnel à $V_i$. Le \cref{tab:40:sobol} fait apparaître une différence instructive là où la non-linéarité est forte : la rotation a une amplitude de tornade comparable au facteur CAPEX mais un carré de corrélation de rang cinq fois plus petit que l'indice de Sobol, parce que son effet est en escalier (nombre entier de logements relocalisés) et asymétrique (l'écart au marché se résorbe vite au-delà de \pct{15}), de sorte que la relation entre rotation et valeur est faible en rang bien que non nulle en variance. La différence entre $S_i$ et $S_{T_i}$ pour l'écart terminal, \num{0.010}, la plus grande du tableau, signale l'interaction entre $\delta$ et $r$ dans $1/(r - \delta)$ : l'effet d'un écart terminal plus large est d'autant plus fort que le taux d'actualisation est bas, puisque le taux terminal s'approche alors de son plancher.
423+
424+\begin{figure}[htbp]\centering
425+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-sobol.pdf}
426+\caption{Sensibilité globale de la valeur du cas 3 : indices de Sobol totaux et de premier ordre, carré de la corrélation de rang de Spearman, et part de la tornade (amplitude au carré normalisée) pour les sept intrants. Les trois mesures s'accordent : le niveau des taux explique plus de la moitié de la variance, les trois premiers intrants en expliquent plus de \pct{90}.}
427+\label{fig:40:sobol}
428+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; \texttt{sobol} et \texttt{correlations\_rang} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}.}}
429+\end{figure}
430+
431+\begin{figure}[htbp]\centering
432+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-nuage.pdf}
433+\caption{Nuages de \num{3000} tirages de la valeur du cas 3 contre le taux d'actualisation (à gauche) et contre le taux terminal (à droite), avec la médiane conditionnelle par vingtiles. La relation est quasi linéaire et négative ; la dispersion autour de la médiane conditionnelle est la part de variance due aux autres intrants.}
434+\label{fig:40:nuage}
435+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py}, graine 20261031.}}
436+\end{figure}
437+
438+La conclusion pour l'évaluateur est la même que celle du \cref{ch:47}, mais elle est maintenant quantifiée et dégagée de l'arbitraire des bornes : plus des deux tiers de l'incertitude de la valeur par flux actualisés tiennent au niveau des taux ($r$ et $\delta$, \pct{67.9} de la variance à eux deux), le quart à la croissance des loyers de marché, et moins d'un dixième à tout ce qui relève de l'exploitation de l'immeuble. Réduire l'incertitude de la conclusion passe donc par un meilleur ancrage du taux d'actualisation, par des ventes comparables dont le TRI implicite est connu ou par la construction par primes du \cref{ch:30}, bien avant qu'un relevé plus fin de l'état locatif ou des devis plus précis n'y changent quoi que ce soit. Inversement, le prêteur, dont la variable de décision est le ratio de couverture de première année, ne devrait se soucier que de l'inoccupation, seul intrant qui l'affecte (\cref{eq:40:rcd-affine}) : les deux acteurs regardent le même immeuble et le même modèle, mais la hiérarchie des risques n'est pas la même selon la sortie considérée, et c'est l'analyse de sensibilité globale par sortie qui le révèle.
439+
440+\section{Exemple intégral : la simulation du cas 3 de bout en bout}\label{sec:40:exemple}
441+
442+\begin{exemple}{Simulation de Monte-Carlo du DCF des douze logements de Montréal}{40:cas3}
443+Le dossier est celui des \cref{ch:30,ch:31,ch:47} : revenu net normalisé de première année \dollars{89956}, projection sur dix ans, valeur déterministe \dollars{2208566}, prêt de \dollars{1475959}. La simulation se déroule en six étapes dont chaque chiffre est imprimé par \texttt{ch40\_montecarlo.py}.
444+
445+\emph{Étape 1 — lois et dépendances.} Les sept lois du \cref{tab:40:lois} sont centrées sur les hypothèses de base ; le taux terminal est défini par $R_T = r - \delta$, ce qui induit une corrélation de \num{0.78} entre les deux taux (\cref{eq:40:rRT}) ; la croissance des loyers contractuels est fixe à \pct{3.1}.
446+
447+\emph{Étape 2 — simulation.} \num{10000} tirages, graine 20261031, modèle vectorisé reproduisant la projection déterministe à $10^{-12}$ près. Résultats : médiane \dollars{2191608}, moyenne \dollars{2233506}, écart-type \dollars{350443}, quantiles 5 et 95 \% \dollars{1735194} et \dollars{2876902}, quartiles \dollars{1984237} et \dollars{2432866}.
448+
449+\emph{Étape 3 — erreur de Monte-Carlo.} Erreur type de la médiane \dollars{4135} (\cref{eq:40:se-quantile}, densité au quantile $1{,}21 \times 10^{-6}$), des quantiles 5 et 95 \% \dollars{4756} et \dollars{10621}, de la moyenne \dollars{3504}, de la probabilité de bris de covenant \num{0.005}. Les 300 répétitions confirment ces ordres de grandeur et situent la graine du traité à $-2{,}9$ erreurs types sur la médiane : la médiane de la population simulée est plus vraisemblablement voisine de \dollars{2204000}.
450+
451+\emph{Étape 4 — mesures de risque.} $P(V < \dollars{2037503}) = \pct{30.9}$, $P(V < \dollars{2000000}) = \pct{26.5}$, $P(V < \dollars{2200000}) = \pct{51.2}$ ; VaR 5 \% \dollars{473372} (\pct{21.4}), CVaR 5 \% \dollars{557097} (\pct{25.2}) par rapport à la valeur déterministe ; $P(\DSCR_1 < 1{,}20) = \pct{49.4}$ (valeur exacte 0,5), $P(\DSCR_1 < 1{,}00) = 0$ sur \num{10000} (valeur exacte $2 \times 10^{-5}$), $P(\DSCR_6 < 1{,}20 \mid +200~\text{pb}) = \pct{1.4}$.
452+
453+\emph{Étape 5 — sensibilité.} Indices de Sobol : $r$ \num{0.528}, $g_m$ \num{0.248}, $\delta$ \num{0.134}, $g_d$ \num{0.043}, $v$ \num{0.020}, rotation \num{0.013}, CAPEX \num{0.003} ; somme \num{0.989}, interactions négligeables ; même hiérarchie que la tornade du \cref{ch:47}.
454+
455+\emph{Étape 6 — stress tests calibrés.} Le scénario de hausse des taux du \cref{ch:30} ($-\pct{11.8}$) a une probabilité « au moins aussi défavorable » de \pct{20.7} ; la conjonction des sept quantiles défavorables à 90 \% ($-\pct{33.7}$) n'a qu'une probabilité de \pct{0.13} ; une inoccupation de \pct{13.3} ramènerait le ratio de couverture à 1,00 et un taux d'actualisation de \pct{7.72} ramènerait la valeur à deux millions.
456+
457+\emph{Ce que le rapport doit dire.} La valeur par flux actualisés de \dollars{2208566} s'accompagne d'un intervalle à \pct{90} de \dollars{1735000} à \dollars{2877000} sous des lois déclarées et centrées sur les hypothèses de base ; cette fourchette est d'abord une incertitude sur les taux de rendement exigés ; la probabilité que la valeur soit inférieure à l'indication par capitalisation directe est d'environ \pct{31} ; le prêt dimensionné au covenant de 1,20 a une chance sur deux de le franchir la première année, pour un écart généralement minime, et pratiquement aucune de ne plus couvrir le service de la dette. Chaque chiffre est reproductible avec la graine indiquée et porte une erreur type d'environ \dollars{4000} pour les quantiles centraux et de \dollars{11000} pour le quantile 95 \%.
458+\end{exemple}
459+
460+\section{Agréger l'incertitude : un portefeuille de 48 immeubles}\label{sec:40:portefeuille}
461+
462+\subsection{Pourquoi la corrélation entre immeubles est la question centrale}
463+
464+Lorsque l'objet de l'évaluation n'est plus un immeuble mais un portefeuille, la question n'est plus seulement « quelle est l'incertitude de chaque valeur ? » mais « comment ces incertitudes s'additionnent-elles ? ». La réponse dépend entièrement de la corrélation entre les valeurs des immeubles. Si $V_P = \sum_i V_i$ et que les $V_i$ ont des écarts-types $\sigma_i$ et des corrélations deux à deux $\rho_{ij}$,
465+\begin{align}\label{eq:40:variance-somme}
466+\Var(V_P) &= \sum_i \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j} \rho_{ij}\,\sigma_i\sigma_j, \notag \\
467+\sigma_P &= \sqrt{(1 - \rho)\sum_i \sigma_i^2 + \rho\Big(\sum_i \sigma_i\Big)^2} \qquad \text{si } \rho_{ij} = \rho \text{ pour tout } i \neq j.
468+\end{align}
469+À un extrême, l'indépendance ($\rho = 0$) donne $\sigma_P = \sqrt{\sum \sigma_i^2}$, qui croît comme la racine du nombre d'immeubles alors que la valeur croît comme le nombre : l'incertitude relative du portefeuille s'évanouit, c'est la diversification. À l'autre extrême, la corrélation parfaite ($\rho = 1$) donne $\sigma_P = \sum \sigma_i$ : aucune diversification, le portefeuille est aussi incertain que la somme de ses parties. Le rapport $\sigma_P / \sum \sigma_i$, que nous appelons \motcle{ratio de diversification}, mesure où l'on se situe entre ces extrêmes. Or les valeurs d'immeubles d'une même région dépendent des mêmes taux, du même marché du travail et du même marché locatif ; des immeubles de régions différentes partagent les taux d'intérêt nationaux et la conjoncture, mais moins. La structure de corrélation pertinente est donc hiérarchique : forte à l'intérieur d'une région métropolitaine, modérée entre régions.
470+
471+\subsection{Un modèle factoriel à deux niveaux}
472+
473+La façon la plus économe de produire une telle structure est le modèle factoriel. Pour l'immeuble $i$ de la région $k(i)$, on écrit le choc normalisé qui frappe une grandeur (revenu net ou taux de capitalisation) comme
474+\begin{equation}\label{eq:40:portefeuille-facteur}
475+e_i = \sqrt{\rho_{\text{prov}}}\;Z_0 + \sqrt{\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}}\;Z_{k(i)} + \sqrt{1 - \rho_{\text{rmr}}}\;\varepsilon_i, \qquad 0 \leq \rho_{\text{prov}} \leq \rho_{\text{rmr}} \leq 1,
476+\end{equation}
477+où $Z_0$ est un facteur commun à toute la province, $Z_k$ un facteur propre à la région $k$ et $\varepsilon_i$ un bruit propre à l'immeuble, tous normaux centrés réduits et indépendants. On vérifie immédiatement que $\Var(e_i) = \rho_{\text{prov}} + (\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}) + (1 - \rho_{\text{rmr}}) = 1$, que $\Cov(e_i, e_j) = \rho_{\text{prov}} + (\rho_{\text{rmr}} - \rho_{\text{prov}}) = \rho_{\text{rmr}}$ si les deux immeubles sont dans la même région, et $\Cov(e_i, e_j) = \rho_{\text{prov}}$ sinon, les termes croisés s'annulant par indépendance. Deux paramètres suffisent donc à décrire toute la matrice de corrélation de 48 immeubles, et ils ont une interprétation directe. La fonction \texttt{simuler\_portefeuille} du script du chapitre, écrite pour être réutilisée au \cref{ch:48}, applique ce modèle au portefeuille du cas 4 sur un horizon d'un an : le revenu net de chaque immeuble devient $\NOI_i' = \NOI_i\,\exp(g_i + \sigma_{g,i}\,e_i)$, avec la croissance tendancielle $g_i$ et la volatilité annualisée $\sigma_{g,i}$ estimées sur la série trimestrielle 2016-2026 de l'immeuble par \texttt{traite.cas4.croissance\_rne} (médiane des $\sigma_{g,i}$ : \pct{3.2}) ; le taux de capitalisation devient $R_i' = R_i + \sigma_R\,u_i$, avec $\sigma_R = \qty{50}{\pb}$ comme pour le taux d'actualisation du cas 3 et $u_i$ un second jeu de facteurs de même structure ; la valeur est $V_i' = \NOI_i'/R_i'$. Les paramètres de corrélation retenus, $\rho_{\text{prov}} = 0{,}30$ et $\rho_{\text{rmr}} = 0{,}60$, sont des hypothèses pédagogiques déclarées, dont la \cref{sec:40:portefeuille} même montre l'effet en les faisant varier ; leur estimation sur des séries régionales d'indices est l'objet des \cref{ch:35,ch:36}. Le ratio de couverture de chaque immeuble est $\NOI_i'/SD_i$, le service de la dette étant calculé sur la dette et le taux déclarés avec un amortissement de 40 ans, comme au cas 3, et les prêts dont le terme échoit d'ici 2028 (23 immeubles sur 48) étant renouvelés à +200 points de base, stress déterministe superposé à la simulation.
478+
479+\subsection{Résultats}
480+
481+Le \cref{tab:40:portefeuille} et la \cref{fig:40:portefeuille} comparent trois structures de corrélation pour deux niveaux de choc sur le revenu. Le portefeuille vaut \dollars{143363000} au rôle des valeurs 2026 et \dollars{147936000} à un an par simple application des croissances tendancielles ; c'est cette seconde valeur qui sert de référence aux mesures de risque. Sous la structure régionale de base, la valeur simulée a un écart-type de \dollars{10295000}, un quantile 5 \% de \dollars{133872000}, une VaR 5 \% de \dollars{14064000} (\pct{9.5}) et une CVaR 5 \% de \dollars{17389000} ; la somme des écarts-types individuels est de \dollars{16007000}, de sorte que le ratio de diversification vaut \num{0.643}. Sous l'indépendance, l'écart-type tombe à \dollars{3207000} et la VaR à \dollars{3495000} (\pct{2.4}) : le portefeuille paraît quatre fois moins risqué, et c'est l'erreur que commet quiconque simule 48 immeubles sans corrélation. Sous la corrélation parfaite, l'écart-type est de \dollars{15931000} et la VaR de \dollars{21440000} (\pct{14.5}), soit le risque d'un seul grand immeuble. Le ratio de diversification de \num{0.643} dit que les trois quarts de l'incertitude du portefeuille sont systématiques et qu'un quart seulement est diversifié par la répartition entre six régions ; la part de Montréal, qui pèse \pct{45} de la valeur et dont le facteur régional domine, limite ce gain.
482+
483+\begin{table}[htbp]\centering
484+\caption{Portefeuille du cas 4 (48 immeubles, six RMR) à un an sous trois structures de corrélation et deux chocs sur le revenu net ; valeur de référence \dollars{147936000} ; prêts échéant d'ici 2028 renouvelés à +200~pb ; \num{10000} tirages, graine 20261031. $n_{<1{,}20}$ et $n_{<1}$ : nombre d'immeubles dont le RCD est inférieur à 1,20 et à 1,00.}\label{tab:40:portefeuille}
485+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.5pt}
486+\begin{tabular}{@{}L{2.5cm}S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=1.3]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=2.0]S[table-format=1.1]@{}}
487+\toprule
488+Structure ($\rho_{\text{prov}}$ ; $\rho_{\text{rmr}}$) & {$\sigma_P$} & {VaR$_{5}$} & {CVaR$_{5}$} & {Div.} & {$\E[n_{<1{,}2}]$} & {$\E[n_{<1}]$} & {$q_{95}(n_{<1})$} & {P($n_{<1}{>}10$)} \\
489+ & {(M\$)} & {(M\$)} & {(M\$)} & & & & & {(\%)} \\
490+\midrule
491+\multicolumn{9}{@{}l}{\emph{Choc de revenu estimé sur 2016-2026 ($\sigma_{g,i}$ médian \pct{3.2}, croissance tendancielle $g_i$)}} \\
492+Indépendance (0 ; 0) & 3.2 & 3.5 & 4.6 & 0.201 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\
493+Régionale (0,30 ; 0,60) & 10.3 & 14.1 & 17.4 & 0.643 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\
494+Parfaite (1 ; 1) & 15.9 & 21.4 & 26.2 & 0.998 & 10.2 & 4.9 & 6 & 0.0 \\
495+\midrule
496+\multicolumn{9}{@{}l}{\emph{Choc de revenu de type récession ($\sigma_g = \pct{10}$ pour tous, $g_i = 0$)}} \\
497+Indépendance (0 ; 0) & 4.1 & 4.3 & 5.9 & 0.196 & 10.7 & 5.9 & 8 & 0.0 \\
498+Régionale (0,30 ; 0,60) & 13.2 & 18.1 & 22.5 & 0.634 & 10.7 & 5.9 & 10 & 1.9 \\
499+Parfaite (1 ; 1) & 20.8 & 28.2 & 34.7 & 0.997 & 10.7 & 5.9 & 11 & 5.1 \\
500+\bottomrule
501+\end{tabular}
502+\tabsource{\synth{\texttt{simuler\_portefeuille} et \texttt{comparer\_structures\_correlation} de \texttt{ch40\_montecarlo.py} ; données \texttt{cas4\_portefeuille.csv} et \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}. Sans choc, 5 immeubles ont un RCD inférieur à 1,20 et 1 inférieur à 1,00 ; le renouvellement à +200~pb des 23 prêts échéant d'ici 2028 porte ces nombres à environ 10 et 5. Le quantile 95 \% de $n_{<1{,}20}$ est de 11 sous le premier choc et de 13 à 14 sous le second.}}
503+\end{table}
504+
505+Le second enseignement du tableau concerne les covenants. Le nombre \emph{moyen} d'immeubles dont le ratio de couverture passe sous 1,20 est le même, \num{10.2}, quelle que soit la structure de corrélation : l'espérance d'une somme d'indicatrices est la somme des probabilités marginales, et la corrélation n'y change rien. Ce que la corrélation change, c'est la \emph{dispersion} de ce nombre, donc la probabilité que beaucoup d'immeubles soient en difficulté en même temps, qui est le vrai risque d'un prêteur de portefeuille. Avec le choc de revenu estimé sur l'historique, trop faible pour que la corrélation se voie, les quantiles 95 \% du nombre de bris sont identiques ; avec un choc de type récession ($\sigma_g = \pct{10}$), le quantile 95 \% du nombre d'immeubles sous 1,00 passe de 8 sous l'indépendance à 10 sous la corrélation régionale et 11 sous la corrélation parfaite, et la probabilité que plus de dix immeubles ne couvrent plus leur dette passe de 0 à \pct{1.9} puis \pct{5.1}. C'est la propriété que l'\cref{eq:40:variance-somme} énonce pour la valeur, transposée à un comptage : la corrélation déplace la masse de probabilité vers les queues sans changer la moyenne. Le portefeuille lui-même ne manque jamais de couvrir sa dette agrégée (ratio médian \num{1.41} après renouvellements), mais les covenants sont contractés immeuble par immeuble, et c'est la queue du comptage qui gouverne le nombre de dossiers qu'il faudra renégocier.
506+
507+\begin{figure}[htbp]\centering
508+\includegraphics[width=\linewidth]{ch40/ch40-fig-portefeuille.pdf}
509+\caption{Fonction de répartition de la valeur du portefeuille du cas 4 à un an sous trois structures de corrélation entre immeubles ; la valeur déterministe est le trait tireté et la ligne pointillée marque le niveau 5 \%. La corrélation régionale multiplie par trois l'écart-type par rapport à l'indépendance ; la corrélation parfaite le multiplie par cinq.}
510+\label{fig:40:portefeuille}
511+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch40\_figures.py} ; \texttt{simuler\_portefeuille} de \texttt{ch40\_montecarlo.py}, graine 20261031.}}
512+\end{figure}
513+
514+La fonction
515+\begin{center}\small\texttt{simuler\_portefeuille(pf, n, graine, sigma\_R, rho\_rmr, rho\_prov, croissance,}\\
516+\texttt{choc\_taux\_renouvellement, horizon\_renouvellement, amortissement\_mois, seuil\_rcd)}\end{center}
517+retourne les valeurs simulées de chaque immeuble, la valeur du portefeuille, les ratios de couverture et un dictionnaire de statistiques (médiane, quantiles, VaR, CVaR, ratio de diversification, comptages de bris et leurs quantiles, ratio de couverture agrégé). Le \cref{ch:48} l'appellera avec les paramètres de corrélation estimés et des scénarios régionaux de taux ; le \cref{ch:43} pourra y ajouter un facteur de risque environnemental propre aux immeubles en zone inondable, puisque la structure factorielle de l'\cref{eq:40:portefeuille-facteur} s'étend sans difficulté à un troisième niveau. La contrainte d'ordre $\rho_{\text{prov}} \leq \rho_{\text{rmr}}$ est vérifiée par la fonction ; la positivité de la matrice de corrélation est garantie par construction, ce qui est l'avantage décisif du modèle factoriel sur une matrice de corrélation saisie à la main, rarement définie positive au-delà de quelques immeubles.
518+
519+\begin{erreurs}
520+\begin{itemize}
521+\item \textbf{Confondre la moyenne simulée et la valeur.} La moyenne de la valeur simulée (\dollars{2233506}) dépasse la médiane (\dollars{2191608}) et la valeur déterministe (\dollars{2208566}) par convexité ; rapporter la moyenne comme « la valeur » introduit un biais à la hausse qui n'a aucune signification économique. La médiane, ou la valeur déterministe assortie de l'intervalle, sont les résumés à retenir.
522+\item \textbf{Décentrer les lois.} Une loi dont la médiane n'est pas l'hypothèse de base simule un autre scénario, pas l'incertitude autour du scénario retenu ; l'exercice~\ref{ex:40:1} et l'exercice 47.7 en mesurent l'effet (médiane d'inoccupation à \pct{6} : valeur médiane en baisse de \dollars{83000} et probabilité de bris de covenant portée à \pct{93}).
523+\item \textbf{Tirer les intrants indépendamment.} Le taux d'actualisation et le taux terminal, la croissance des loyers et l'inoccupation, la croissance des dépenses et celle des loyers sont liés ; les tirer indépendamment fausse la variance de la valeur. Une relation structurelle ($R_T = r - \delta$) ou une copule gaussienne (\cref{eq:40:copule}) résout le problème ; il faut en calculer la corrélation implicite et la discuter.
524+\item \textbf{Publier des chiffres sans erreur de Monte-Carlo ni graine.} Une médiane simulée à \dollars{2191608} a une erreur type de \dollars{4100} ; une probabilité de \pct{49.4} a une erreur type d'un demi-point ; un quantile 95 \% a une erreur type de \dollars{11000}. Sans graine, le résultat n'est pas reproductible ; sans erreur type, deux simulations qui diffèrent de \dollars{10000} semblent contradictoires alors qu'elles sont compatibles.
525+\item \textbf{Prendre « zéro tirage » pour « impossible ».} Aucun des \num{10000} tirages ne met le ratio de couverture sous 1,00 ; la probabilité exacte sous les lois déclarées est de $2 \times 10^{-5}$, soit un cas sur cinquante mille, et la queue de la loi log-normale au-delà de \pct{13} d'inoccupation n'a jamais été observée. Les événements rares se calculent ou s'échantillonnent préférentiellement ; ils ne se lisent pas dans une simulation ordinaire.
526+\item \textbf{Empiler les hypothèses défavorables.} Porter sept intrants à leur quantile 90 \% donne une baisse de \pct{33.7} dont la probabilité est de \pct{0.13} : ce n'est pas un « pire cas raisonnable », c'est un événement rarissime présenté comme un scénario. La simulation sert précisément à calibrer la sévérité des stress tests.
527+\item \textbf{Simuler un portefeuille sans corrélation entre immeubles.} L'écart-type de la valeur du portefeuille du cas 4 est trois fois plus grand sous une corrélation régionale modérée que sous l'indépendance ; la VaR l'est quatre fois. L'indépendance est l'hypothèse la plus optimiste qui soit, et la moins défendable.
528+\item \textbf{Lire les indices de Sobol sur des intrants corrélés.} La décomposition de l'\cref{eq:40:sobol-decomp} exige l'indépendance ; il faut travailler sur les facteurs de base ($r$ et $\delta$), non sur les grandeurs dérivées ($r$ et $R_T$).
529+\end{itemize}
530+\end{erreurs}
531+
532+\begin{limites}
533+La simulation de Monte-Carlo ne crée pas d'information : elle propage l'incertitude déclarée des intrants vers la sortie, et sa valeur est celle des lois qu'on lui donne. Les lois du cas 3 sont des hypothèses pédagogiques, centrées sur un scénario lui-même synthétique ; leurs dispersions sont justifiées par des ordres de grandeur (observations SCHL de 2023 à 2025 pour l'inoccupation, écarts-types de \qty{50}{\pb} et \qty{40}{\pb} pour les taux) et non estimées sur des séries longues, et les corrélations autres que celle entre $r$ et $R_T$ sont supposées nulles. Les queues des lois, qui gouvernent la VaR et la CVaR, sont la partie la moins vérifiable du dispositif : la probabilité de $2 \times 10^{-5}$ d'une inoccupation supérieure à \pct{13} est une propriété de la loi log-normale, pas un fait de marché. Les paramètres de corrélation du portefeuille ($0{,}30$ et $0{,}60$) ne sont pas estimés ; l'amortissement de 40 ans et le renouvellement à +200 points de base des prêts du cas 4 sont des hypothèses déclarées faute de données sur les prêts individuels. Le modèle simulé reprend les simplifications du \cref{ch:30} : relocation intégrale au loyer de marché, sans tenir compte de la faculté du nouveau locataire de demander la fixation du loyer (\cref{ch:34}), CAPEX fictifs, fiscalité hors champ. Aucune enquête publique ne documente la distribution des taux d'actualisation du multirésidentiel québécois, ce qui prive la loi de $r$, pourtant dominante dans la variance, de tout ancrage empirique direct. Enfin, la simulation décrit l'incertitude \emph{conditionnelle au modèle} : elle ne dit rien de l'incertitude sur la forme du modèle lui-même, par exemple sur la pertinence d'un taux terminal constant, que seule la comparaison de modèles (\cref{ch:20}) peut éclairer.
534+\end{limites}
535+
536+\begin{synthese}
537+\begin{itemize}
538+\item La simulation de Monte-Carlo tire conjointement les intrants d'un DCF dans des lois déclarées et centrées sur le scénario de base, recalcule la valeur pour chaque tirage et décrit la distribution obtenue ; elle complète, sans les remplacer, la tornade et les scénarios en leur attachant des probabilités.
539+\item Quatre lois suffisent : normale (croissances, taux), log-normale (inoccupation, facteurs de coût ; moyenne $= m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2} >$ médiane), triangulaire et bêta-PERT (trois valeurs d'expert, la PERT étant plus concentrée). Les paramètres se déduisent de quantiles élicités (\cref{eq:40:elicitation}).
540+\item Les dépendances se modélisent par relation structurelle ou par copule gaussienne construite par Cholesky ; $R_T = r - \delta$ induit $\rho(r, R_T) = \sigma_r/\sqrt{\sigma_r^2 + \sigma_\delta^2} = 0{,}78$ dans le cas 3.
541+\item L'erreur de Monte-Carlo décroît en $N^{-1/2}$ ; pour un quantile, $\operatorname{se}(\hat q_p) = \sqrt{p(1 - p)/N}/f(q_p)$ : à $N = \num{10000}$, \dollars{4100} sur la médiane, \dollars{11000} sur le quantile 95 \%, un demi-point sur une probabilité. La graine du traité est une réalisation à $-2{,}9$ erreurs types sur la médiane ; on le déclare, on ne change pas de graine.
542+\item L'hypercube latin stratifie chaque marginale ; il divise la variance de la moyenne par 105 sur le cas 3 (modèle quasi additif) mais ne gagne qu'un facteur 1,4 à 2,8 sur les quantiles.
543+\item VaR 5 \% de \dollars{473372} (\pct{21.4}) et CVaR 5 \% de \dollars{557097} (\pct{25.2}) par rapport à la valeur déterministe ; $P(\DSCR_1 < 1{,}20) = 0{,}5$ exactement (prêt calibré au seuil, médiane de l'inoccupation), $P(\DSCR_1 < 1) = 2 \times 10^{-5}$ ; $P(\DSCR_6 < 1{,}20 \mid +200~\text{pb}) = \pct{1.4}$. Un covenant probabiliste à \pct{10} exige un ratio de base de 1,24.
544+\item Un stress test déterministe reçoit sa probabilité par la fonction de répartition simulée : hausse des taux du \cref{ch:30}, une chance sur cinq ; sept quantiles défavorables empilés, une chance sur 750.
545+\item Les indices de Sobol attribuent \pct{53} de la variance de la valeur au taux d'actualisation, \pct{25} à la croissance des loyers de marché, \pct{13} à l'écart terminal, moins de \pct{10} à l'exploitation ; interactions $\approx \pct{1}$ ; même hiérarchie que la tornade et que $\rho_S^2$.
546+\item En portefeuille, la corrélation entre immeubles gouverne tout : modèle factoriel à deux niveaux (\cref{eq:40:portefeuille-facteur}), ratio de diversification de 0,64 sous corrélation régionale (0,30 ; 0,60) contre 0,20 sous indépendance ; la corrélation ne change pas le nombre moyen de bris de covenant mais épaissit la queue de leur comptage.
547+\end{itemize}
548+\end{synthese}
549+
550+\section*{Exercices}
551+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
552+
553+\begin{exercice}[1]{Élicitation d'une loi log-normale}{ex:40:1}
554+Un gestionnaire d'immeubles estime qu'il n'y a qu'une chance sur vingt que l'inoccupation et les pertes d'un immeuble de Rosemont soient inférieures à \pct{2.4} et une chance sur vingt qu'elles dépassent \pct{6.3}. Déduisez-en les paramètres d'une loi log-normale par l'\cref{eq:40:elicitation}, puis calculez sa moyenne, son écart-type et la probabilité que l'inoccupation dépasse \pct{5}. Comparez à la loi retenue au cas 3 (médiane \pct{3.9}, $\sigma_{\ln} = 0{,}30$) et expliquez pourquoi la moyenne diffère de la médiane.
555+\end{exercice}
556+
557+\begin{exercice}[1]{Triangulaire ou bêta-PERT}{ex:40:2}
558+La rotation annuelle du cas 3 est tirée dans une loi triangulaire de paramètres (0,08 ; 0,15 ; 0,25). Calculez sa moyenne, son écart-type et ses quantiles 5 et 95 \% par l'\cref{eq:40:triangulaire}, puis les paramètres $\alpha$ et $\beta$, la moyenne, l'écart-type et les mêmes quantiles de la loi bêta-PERT construite sur les trois mêmes valeurs (\cref{eq:40:pert}, $\lambda = 4$). Laquelle des deux lois donne le plus de poids aux rotations supérieures à \pct{20} ? Dans quel cas ce choix importerait-il pour la valeur, compte tenu du \cref{tab:40:sobol} ?
559+\end{exercice}
560+
561+\begin{exercice}[2]{Nombre de tirages requis}{ex:40:3}
562+Pour le cas 3, l'erreur type de la médiane simulée à $N = \num{10000}$ est de \dollars{4135} et la densité de la valeur à la médiane de $1{,}21 \times 10^{-6}$ par dollar. Par l'\cref{eq:40:n-requis}, combien de tirages faut-il pour que l'intervalle de confiance à \pct{95} de la médiane ait une demi-largeur de \dollars{5000} ? de \dollars{1000} ? Combien pour estimer une probabilité voisine de 0,5 à un point de pourcentage près ? à un demi-point ? Commentez le rapport entre ces effectifs et la précision avec laquelle les lois des intrants sont elles-mêmes connues.
563+\end{exercice}
564+
565+\begin{exercice}[2]{Copule gaussienne à la main}{ex:40:4}
566+On veut tirer le taux d'actualisation $r \sim \mathcal{N}(0{,}0725 ; 0{,}005^2)$ et le taux terminal $R_T \sim \mathcal{N}(0{,}05 ; 0{,}0064^2)$ avec une corrélation de $0{,}78$. Écrivez la matrice de Cholesky $\mathbf{L}$ de l'\cref{eq:40:cholesky}, vérifiez que $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ redonne la matrice de covariance, puis, pour les deux tirages normaux centrés réduits $(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = (1{,}2 ; -0{,}5)$, calculez $(r, R_T)$. Quelle corrélation de Spearman cette copule induit-elle (\cref{eq:40:copule}) ? Montrez enfin que la construction $R_T = r - \delta$ du cas 3 est un cas particulier de cette copule et retrouvez $\rho = 0{,}78$.
567+\end{exercice}
568+
569+\begin{exercice}[3]{VaR, CVaR et approximation normale}{ex:40:5}
570+À partir des \num{10000} valeurs simulées du cas 3 (script \texttt{ch40\_montecarlo.py}, fonction \texttt{monte\_carlo}), calculez la VaR et la CVaR au niveau \pct{10} par rapport à la valeur déterministe de \dollars{2208566}, puis les mêmes mesures sous l'hypothèse que la valeur suit une loi normale de même moyenne et de même écart-type (\cref{eq:40:cvar-normale}). Expliquez le signe de l'écart par la forme de la distribution simulée. Quelle mesure un prêteur qui garantit \pct{75} de la valeur devrait-il regarder, et pourquoi la CVaR est-elle préférable à la VaR pour agréger le risque de plusieurs prêts ?
571+\end{exercice}
572+
573+\begin{exercice}[3]{Incertitude doublée sur le taux d'actualisation}{ex:40:6}
574+Reprenez la simulation du cas 3 avec la même graine en portant l'écart-type du taux d'actualisation de 50 à 100 points de base, toutes autres lois inchangées (la construction $R_T = r - \delta$ étant maintenue). Rapportez la médiane, l'écart-type, le coefficient de variation, l'intervalle à \pct{90} et la probabilité que la valeur soit inférieure à deux millions de dollars ; comparez à la simulation de base. Pourquoi la médiane bouge-t-elle à peine alors que l'écart-type augmente de plus de moitié ? Quelle part de la variance l'indice de Sobol du taux d'actualisation devrait-il désormais représenter, approximativement, si le modèle est additif ? Rédigez en 150 mots la phrase du rapport qui présente ce résultat à un client.
575+\end{exercice}
576+
577+\section*{Pour aller plus loin}
578+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
579+
580+Les deux articles fondateurs de la simulation en immobilier restent lisibles et instructifs : \textcite{pyhrr1973} construit le premier modèle de simulation du risque d'un investissement immobilier et discute déjà l'élicitation des lois et la corrélation entre intrants, et \textcite{wofford1978} transpose l'approche à l'évaluation en remplaçant la valeur ponctuelle par une distribution. La renaissance du sujet doit beaucoup à \textcite{frenchGabrielli2004}, qui posent le problème de l'incertitude de l'évaluation et de sa communication, puis à \textcite{frenchGabrielli2005}, qui proposent un DCF à intrants probabilistes élicités auprès de l'évaluateur ; \textcite{hoesliJaniBender2006} offrent la mise en œuvre la plus complète, avec des lois calibrées sur des séries de marché et un taux d'actualisation lié aux taux sans risque, et signalent le biais de convexité. \textcite{byrne1996} traite du risque et de la décision en développement immobilier, où la méthode résiduelle amplifie l'incertitude des intrants, et constitue le meilleur pont vers le \cref{ch:41}. Pour les déterminants des taux de capitalisation et la justification d'une forte corrélation entre taux d'actualisation et taux terminal, \textcite{sivitanidouSivitanides1999} et \textcite{chervachidzeWheaton2013} sont les références empiriques, et \textcite{ducaLing2020} analysent les chocs de prime de risque sur les marchés commerciaux. Le traitement général de l'analyse d'investissement immobilier sous incertitude, avec sensibilité, scénarios et simulation, se trouve chez \textcite{baumCrosbyDevaney2021} et chez \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}. Enfin, \textcite{gelman2013} fournit le cadre bayésien dans lequel la simulation de ce chapitre s'interprète comme une distribution prédictive, lien que le \cref{ch:39} développe.
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1 \chapter{Plus haute et meilleure utilisation, terrains et développement}\label{ch:41} 1 \chapter{Plus haute et meilleure utilisation, terrains et développement}\label{ch:41}
2−\stubchapter 2+
3+Toute valeur marchande est la valeur d'un usage. Lorsqu'un évaluateur conclut qu'une maison vaut \dollars{600000}, il affirme implicitement que l'usage le plus profitable de ce terrain et de ce bâtiment est celui qu'en fait son occupant ; lorsqu'un promoteur paie pour la même maison un prix supérieur à cette valeur, c'est qu'il voit dans le terrain un usage que la maison empêche. L'analyse de la plus haute et meilleure utilisation est la discipline qui rend cette affirmation explicite, qui la soumet à quatre tests ordonnés et qui en tire la méthode d'évaluation appropriée. Elle est, dans la pratique nord-américaine, la charnière entre la description du bien et son évaluation, et elle devient décisive dès que le terrain est vacant, que le bâtiment est en fin de vie ou que le zonage permet davantage que ce qui est bâti. Le présent chapitre en pose les définitions et l'ordre, distingue l'analyse du terrain réputé vacant de celle du bien amélioré, dérive la méthode résiduelle de développement avec son calendrier et son financement, puis introduit l'option réelle de redéveloppement, c'est-à-dire la valeur qu'a, pour un propriétaire, le droit d'attendre avant de démolir. L'exemple intégral reprend le terrain de \msq{620} du sujet du cas 1 et confronte quatre usages, dont trois exigent la démolition de la maison ; il conclut à la plus haute et meilleure utilisation du terrain vacant et du bien amélioré, mesure la valeur de l'option d'attente et montre à quelles hypothèses ces conclusions sont sensibles. Le \cref{ch:08} a fourni la lecture juridique du zonage et le \cref{ch:25} les méthodes d'évaluation du terrain ; le présent chapitre les suppose acquis et y renvoie.
4+
5+\begin{objectifs}
6+\begin{itemize}
7+\item Définir la plus haute et meilleure utilisation, énoncer les quatre tests dans l'ordre et expliquer pourquoi cet ordre n'est pas interchangeable.
8+\item Distinguer l'analyse du terrain réputé vacant de celle du bien amélioré, et formuler la condition sous laquelle la démolition d'un bâtiment est économiquement justifiée.
9+\item Dériver la méthode résiduelle de développement avec calendrier, financement intérimaire, marge du promoteur et contribution pour fins de parcs, et en montrer l'effet de levier.
10+\item Construire un arbre binomial à deux périodes pour évaluer l'option de redéveloppement et interpréter la probabilité risque-neutre, la frontière d'exercice et la valeur de l'attente.
11+\item Dériver, dans une version simplifiée, le seuil de développement de Capozza et Helsley et la prime d'irréversibilité qu'il contient.
12+\item Conduire l'analyse complète sur un terrain résidentiel québécois, conclure et documenter la sensibilité de la conclusion aux prix de sortie, aux coûts, à la marge et au délai.
13+\end{itemize}
14+\end{objectifs}
15+
16+\section{La plus haute et meilleure utilisation : définition et quatre tests}\label{sec:41:concept}
17+
18+\subsection{Un principe devenu procédure}
19+
20+Le \cref{ch:01} a présenté la plus haute et meilleure utilisation comme l'un des sept principes de l'évaluation, celui qui affirme que la valeur se mesure pour l'usage optimal, non pour l'usage actuel (\cref{sec:1:principes}). Le présent chapitre en fait une procédure. La pratique nord-américaine, codifiée par l'Appraisal Institute, définit la \motcle{plus haute et meilleure utilisation} (PHMU, \emph{highest and best use}) comme l'usage raisonnablement probable et légalement permis d'un terrain vacant ou d'une propriété améliorée, physiquement possible, adéquatement supporté par le marché, financièrement faisable et qui produit la valeur la plus élevée \parencite{appraisal2026}. Les Normes internationales d'évaluation en donnent une formulation plus courte : la plus haute et meilleure utilisation est « l'usage qui, du point de vue d'un participant au marché, produirait la valeur la plus élevée pour un actif » \parencite[IVS 102, annexe A90.01, traduction de l'auteur]{ivs2025}. Les deux définitions se rejoignent sur trois points que la suite du chapitre développe : l'usage est jugé du point de vue du marché et non du propriétaire, il doit être \emph{probable} et non seulement imaginable, et il se mesure par la valeur qu'il confère au bien.
21+
22+\begin{definition}{Plus haute et meilleure utilisation}{phmu}
23+La plus haute et meilleure utilisation d'un bien immobilier est l'usage, parmi ceux qui sont légalement permis, physiquement possibles et financièrement faisables à la date d'évaluation, qui lui confère la valeur la plus élevée. Pour un terrain réputé vacant, elle désigne l'usage qui maximise la valeur du terrain ; pour un bien amélioré, elle désigne l'usage qui maximise la valeur de l'ensemble du terrain et des constructions, compte tenu du coût de transformer ou de démolir celles-ci.
24+\end{definition}
25+
26+La définition porte une conséquence méthodologique immédiate : la valeur marchande d'un bien est le maximum, sur l'ensemble $\mathcal{U}$ des usages admissibles, des valeurs qu'il aurait sous chacun d'eux,
27+\begin{equation}\label{eq:41:max-usage}
28+V = \max_{u \in \mathcal{U}} V(u), \qquad \mathcal{U} = \{u : \text{légalement permis, physiquement possible, financièrement faisable}\},
29+\end{equation}
30+et les trois premiers tests servent à construire l'ensemble $\mathcal{U}$ tandis que le quatrième, la productivité maximale, désigne l'élément qui réalise le maximum. L'\cref{eq:41:max-usage} explique pourquoi l'analyse précède le choix des méthodes : la comparaison, le coût et le revenu mesurent $V(u)$ pour un usage donné, et c'est la PHMU qui dit lequel. Un évaluateur qui compare une maison ancienne à d'autres maisons anciennes mesure $V(\text{maison})$ ; si le terrain vaut davantage pour un triplex que la maison entière, cette mesure n'est pas la valeur marchande. L'\cref{eq:16:esperance} du \cref{ch:16} définissait la valeur comme l'espérance du prix conditionnellement aux caractéristiques du bien ; la PHMU ajoute que l'usage fait partie de ces caractéristiques et qu'il n'est pas donné, mais choisi par l'acheteur le plus probable.
31+
32+\begin{quebec}[L'usage le plus probable dans la Loi sur la fiscalité municipale]
33+Le droit québécois de l'évaluation foncière n'emploie pas l'expression « plus haute et meilleure utilisation », mais il en contient l'idée. La valeur réelle d'une unité d'évaluation est sa valeur d'échange sur un marché libre et ouvert à la concurrence, et la loi précise qu'elle tient compte de « l'utilisation qui peut le plus probablement en être faite » \parencite[art.~43 par.~2°]{lfm}. L'article 46 ajoute que cette utilisation la plus probable s'apprécie à la date de référence du rôle, qu'après un événement visé à l'article 174 elle est « celle qui découle de l'état de l'unité », et que l'état de l'unité comprend sa situation juridique, donc son zonage, ses servitudes et les restrictions qui pèsent sur elle \parencite[art.~46 al.~1 à 3]{lfm} ; l'imposition ou la levée d'une restriction juridique aux utilisations possibles est d'ailleurs un motif de modification du rôle \parencite[art.~174 par.~19°]{lfm}. Le mot « probable » est le même que dans la pratique professionnelle et il appelle la même discipline : un usage n'est probable que s'il franchit les tests qui suivent. Le \cref{ch:09} traite de la contestation d'une valeur au rôle fondée sur un usage que le contribuable juge improbable ; le \cref{ch:08} a montré que le premier de ces tests se lit dans les règlements d'urbanisme (texte de la loi à jour au 15 octobre 2026, consulté le 31 octobre 2026).
34+\end{quebec}
35+
36+\subsection{Les quatre tests et leur ordre}
37+
38+Les quatre tests s'appliquent dans un ordre qui n'est pas une convention d'exposition, mais une logique de filtrage : chacun suppose que le précédent est franchi, et le coût d'analyse croît d'un test à l'autre. Il serait absurde de chiffrer la faisabilité financière d'un immeuble de six logements sur un lot zoné unifamilial avant d'avoir établi qu'un tel immeuble pourrait y être autorisé, et tout aussi absurde de comparer la productivité de deux usages dont l'un n'est pas faisable. Le \cref{tab:41:tests} énonce les quatre tests, la question que chacun pose, les sources qui permettent d'y répondre au Québec et ce qu'un échec signifie ; la \cref{fig:41:arbre} les ordonne.
39+
40+\begin{table}[htbp]
41+\caption{Les quatre tests de la plus haute et meilleure utilisation, dans l'ordre}\label{tab:41:tests}
42+\centering
43+\small
44+\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\raggedright\arraybackslash}p{27mm}YYY}
45+\toprule
46+Test & Question & Sources au Québec & Si le test échoue \\
47+\midrule
48+1. Légalement permis & L'usage est-il autorisé de plein droit, par droits acquis, par autorisation discrétionnaire, ou raisonnablement probable au terme d'une modification ? & Règlements de zonage, de lotissement et de construction (LAU, art.~113, 115, 118) ; PIIA, PPCMOI, dérogation mineure (art.~145.1 à 145.37) ; zone agricole (LPTAA, art.~26) ; servitudes et restrictions de titre ; terrains contaminés (LQE, art.~31.53) ; zones inondables & L'usage est écarté, sauf si un changement est probable : il est alors pondéré par sa probabilité et son délai (\cref{sec:8:valeur}) \\
49+2. Physiquement possible & La superficie, la forme, la topographie, le sol, les services et l'accès permettent-ils de bâtir ce que l'usage exige ? & Certificat de localisation, relevé topographique, étude géotechnique, plans des réseaux, enveloppe constructible après marges, stationnement & L'usage est écarté ou réduit (moins de logements, moins de plancher) \\
50+3. Financièrement faisable & L'usage produit-il une valeur qui excède le coût de le réaliser, y compris le terrain, le financement et la rémunération du risque ? & Méthode résiduelle de développement (\cref{sec:41:residuel}) ; pour un immeuble de revenu, revenu net suffisant pour rémunérer le capital (\cref{ch:29}) & L'usage est écarté ; un résidu positif mais inférieur au prix du terrain signale que l'acheteur type n'est pas celui que l'on suppose \\
51+4. Maximalement productif & Parmi les usages faisables, lequel confère au terrain, ou à l'ensemble, la valeur la plus élevée ? & Comparaison des valeurs résiduelles ou des valeurs de l'ensemble, avec des marges cohérentes avec l'acheteur type de chaque usage & Sans objet : le test désigne un usage ; une égalité approximative appelle la conformité au voisinage et le marché des terrains comme arbitres \\
52+\bottomrule
53+\end{tabularx}
54+\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026} et les textes législatifs cités (à jour au 15 octobre 2026).}
55+\end{table}
56+
57+\begin{figure}[htbp]
58+\centering
59+\begin{tikzpicture}[every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, q/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=44mm}, r/.style={draw=brandGray, fill=white, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=8mm, text width=40mm}, ok/.style={draw=brandGreen, fill=green!4!white, rounded corners=1pt, align=center, minimum height=9mm, text width=44mm}, fl/.style={-{Stealth[length=1.8mm]}, brandGray, thick}]
60+\node[q] (q1) {1. L'usage est-il \textbf{légalement permis} (ou raisonnablement probable) ?};
61+\node[r, right=9mm of q1] (r1) {Non : écarté ; si un changement est probable, espérance pondérée par $p$ et $T$ (\cref{eq:8:esperance})};
62+\node[q, below=6mm of q1] (q2) {2. Est-il \textbf{physiquement possible} sur ce terrain (enveloppe, sol, services, accès) ?};
63+\node[r, right=9mm of q2] (r2) {Non : écarté ou réduit (moins de logements, moins de plancher)};
64+\node[q, below=6mm of q2] (q3) {3. Est-il \textbf{financièrement faisable} (résidu du terrain positif, rémunération du risque comprise) ?};
65+\node[r, right=9mm of q3] (r3) {Non : écarté ; résidu $<$ prix du terrain : l'acheteur type n'est pas un promoteur};
66+\node[q, below=6mm of q3] (q4) {4. Parmi les usages restants, lequel est \textbf{maximalement productif} ?};
67+\node[ok, below=6mm of q4] (c) {PHMU du \textbf{terrain vacant} : $\max_u V_L(u)$ ; PHMU du \textbf{bien amélioré} : $\max\{V_{\text{act}},\ V_L^{*} - D\}$};
68+\node[r, right=9mm of q4] (r4) {Égalité approximative : conformité au voisinage, marché des terrains, risque et délai tranchent};
69+\draw[fl] (q1) -- node[above]{non} (r1); \draw[fl] (q1) -- node[right]{oui} (q2);
70+\draw[fl] (q2) -- node[above]{non} (r2); \draw[fl] (q2) -- node[right]{oui} (q3);
71+\draw[fl] (q3) -- node[above]{non} (r3); \draw[fl] (q3) -- node[right]{oui} (q4);
72+\draw[fl] (q4) -- (r4); \draw[fl] (q4) -- (c);
73+\end{tikzpicture}
74+\caption{L'arbre de décision de la plus haute et meilleure utilisation. Les trois premiers tests filtrent les usages candidats dans un ordre qui va du moins coûteux au plus coûteux à vérifier ; le quatrième désigne l'usage retenu. Pour un bien amélioré, la conclusion compare la valeur dans l'usage actuel à la valeur du terrain sous son meilleur usage, nette de la démolition.}\label{fig:41:arbre}
75+\figsource{schéma de l'auteur.}
76+\end{figure}
77+
78+Le premier test, \motcle{légalement permis}, a occupé le \cref{ch:08} et il n'y a pas lieu d'y revenir en détail. Deux rappels suffisent. Le mot « permis » couvre une gradation de certitudes : l'usage autorisé de plein droit par la grille, l'usage dérogatoire protégé par droits acquis, l'usage qu'une autorisation discrétionnaire pourrait permettre et l'usage qu'une modification réglementaire rendrait possible ; seule la première situation franchit le test sans réserve, les autres introduisent une probabilité et un délai que l'\cref{eq:8:esperance} a formalisés. Ensuite, la légalité ne se limite pas au zonage : une servitude de non-construction, une clause restrictive de titre, un avis de contamination inscrit au registre foncier ou l'appartenance à une zone inondable ferment des usages que la grille autoriserait. Le test est donc une lecture croisée du règlement, du titre et des registres publics, datée et consignée au rapport.
79+
80+Le deuxième test, \motcle{physiquement possible}, est le plus concret. Il demande si le terrain peut porter ce que l'usage exige : une superficie et une forme compatibles avec les marges et le stationnement, un sol capable de supporter les fondations sans surcoût prohibitif, des services d'aqueduc et d'égout de capacité suffisante, un accès conforme. Le test se chiffre : l'enveloppe constructible est la superficie du lot diminuée des marges, multipliée par le nombre d'étages permis, et l'aire de plancher qu'un usage exige se compare à cette enveloppe comme au plafond du coefficient d'occupation du sol de l'\cref{eq:8:cos}. Un usage qui exigerait quatre étages là où trois sont permis, ou douze cases de stationnement sur un lot qui n'en loge que six, échoue au test ou doit être réduit. Les contraintes physiques et les contraintes légales se recoupent ici, et il est d'usage de les examiner ensemble.
81+
82+Le troisième test, \motcle{financièrement faisable}, est celui qui exige un calcul. Un usage est faisable lorsque la valeur qu'il produit excède tout ce qu'il coûte de le réaliser, le terrain compris. Pour un terrain à bâtir, le critère s'exprime par la valeur résiduelle de la \cref{sec:41:residuel} : l'usage est faisable si le résidu qu'il laisse au terrain, après tous les coûts, le financement et la rémunération du promoteur, est positif ; et si le terrain doit être acquis, si ce résidu atteint au moins son prix sur le marché. Pour un immeuble de revenu, le critère équivalent est que le revenu net stabilisé suffise à rémunérer et à récupérer le capital investi, ce qui ramène à la technique résiduelle du terrain de l'\cref{eq:25:residuelle}. La faisabilité dépend de la conjoncture : un usage faisable en période de prix élevés et de taux bas cesse de l'être lorsque les coûts de construction progressent plus vite que les prix, comme ce fut le cas au Québec de 2020 à 2026 (\cref{ch:23}).
83+
84+Le quatrième test, \motcle{maximalement productif}, choisit parmi les usages qui ont franchi les trois premiers celui qui confère au bien la valeur la plus élevée. Pour un terrain vacant, la mesure est la valeur résiduelle de chaque usage ; pour un bien amélioré, la valeur de l'ensemble sous chaque usage. Le test paraît mécanique, mais il cache une subtilité que l'exemple de la \cref{sec:41:exemple} rendra visible : les valeurs résiduelles ne sont comparables que si elles sont calculées avec des hypothèses de marge, de délai et de risque cohérentes avec l'acheteur type de chaque usage. Un promoteur-marchand qui construit pour vendre exige une marge que l'acheteur qui fait bâtir sa propre maison n'exige pas ; comparer le résidu d'un triplex calculé avec la première à celui d'une maison calculé avec la seconde n'est pas une erreur, c'est au contraire la bonne façon de représenter deux marchés d'acheteurs différents qui se disputent le même terrain. La \cref{fig:41:arbre} termine par la conformité au voisinage et le marché des terrains comme arbitres lorsque deux usages laissent des résidus voisins : la conformité, parce qu'un usage isolé dans un tissu homogène se vend moins bien que le calcul ne le suggère ; le marché des terrains, parce que les prix auxquels des terrains comparables s'échangent révèlent l'usage auquel les acheteurs les destinent.
85+
86+\section{Terrain réputé vacant et bien amélioré}\label{sec:41:vacant-ameliore}
87+
88+\subsection{Deux analyses, deux conclusions}
89+
90+L'analyse de la PHMU se conduit toujours deux fois lorsque le terrain est bâti. La première considère le \motcle{terrain réputé vacant} (\emph{as though vacant}) : on fait abstraction des constructions existantes et l'on se demande quel usage un acheteur donnerait au terrain nu. La seconde considère le \motcle{bien amélioré} (\emph{as improved}) : on se demande si les constructions doivent être conservées telles quelles, modifiées, converties ou démolies. Les deux analyses ont des fonctions distinctes. La première fonde l'évaluation séparée du terrain qu'exige la méthode du coût, puisque le terrain y est évalué « comme s'il était vacant et disponible pour sa plus haute et meilleure utilisation » (convention rappelée à l'annexe~\ref{app:conventions-calcul} et au \cref{ch:25}) ; elle fonde aussi le choix des terrains comparables, qui doivent avoir la même PHMU que le sujet. La seconde fonde la conclusion de valeur du bien dans son ensemble et le choix des comparables bâtis : une maison dont la PHMU est la démolition n'a pas pour comparables d'autres maisons, mais des terrains.
91+
92+Les conclusions des deux analyses peuvent différer, et c'est précisément ce qui rend la distinction utile. Le terrain vacant peut avoir pour PHMU un triplex alors que le bien amélioré a pour PHMU le maintien de la maison existante, parce que la maison vaut davantage que ce que le terrain rapporterait une fois démolie. Dans ce cas, fréquent dans les quartiers anciens dont le zonage a été densifié, la maison est dite \emph{non conforme à la PHMU du terrain} sans que sa démolition soit justifiée : elle continue de contribuer à la valeur, et son usage actuel est un \motcle{usage intérimaire} qui durera jusqu'à ce que la valeur du terrain nu, nette de la démolition, dépasse la valeur de la maison. La \cref{sec:41:option} montrera que cet usage intérimaire porte une option, et que la valeur du bien excède alors légèrement la valeur de la maison seule.
93+
94+\subsection{Quand démolir : la contribution du bâtiment}
95+
96+Le \cref{ch:08} a posé la règle en une équation, reprise ici parce qu'elle est le pivot de l'analyse du bien amélioré. Si $V_{\text{act}}$ est la valeur du bien dans son usage actuel, $V_L^{*}$ la valeur du terrain réputé vacant sous sa PHMU et $D$ le coût de la démolition et de la préparation du site, alors
97+\begin{equation}\label{eq:41:ameliore}
98+V = \max\left\{ V_{\text{act}},\ V_L^{*} - D \right\},
99+\end{equation}
100+et la démolition est justifiée lorsque $V_L^{*} - D > V_{\text{act}}$ (\cref{eq:8:max}). Une écriture équivalente passe par la \motcle{contribution du bâtiment}, c'est-à-dire ce que les constructions ajoutent à la valeur du terrain nu :
101+\begin{equation}\label{eq:41:contribution}
102+C_B = V_{\text{act}} - V_L^{*}, \qquad \text{démolir si } C_B < -D .
103+\end{equation}
104+La contribution du bâtiment est positive pour la très grande majorité des immeubles résidentiels ; elle décroît avec l'âge, l'état et la désuétude des constructions, et elle devient négative lorsque le bâtiment n'est plus qu'un obstacle à l'usage du terrain, de sorte que l'acheteur paie moins que la valeur du terrain nu parce qu'il devra payer la démolition. L'\cref{eq:41:contribution} dit que la démolition n'est pas justifiée dès que la contribution est négative, mais seulement lorsqu'elle est plus négative que le coût de la démolition : entre $-D$ et $0$, le bâtiment ne vaut rien mais il ne coûte pas encore assez cher d'en disposer. La contribution du bâtiment est aussi ce que la méthode du coût mesure par $C_N - D_{\text{phys}} - D_{\text{fonc}} - D_{\text{ext}}$ (\cref{ch:24}) ; l'analyse de la PHMU et la méthode du coût sont ainsi deux lectures de la même grandeur, et la cohérence de leurs résultats est un contrôle utile.
105+
106+Trois conclusions sont possibles pour un bien amélioré, et le rapport doit dire laquelle est retenue. La première est le \emph{maintien} de l'usage actuel, éventuellement avec des travaux curables dont le coût est inférieur à la valeur qu'ils ajoutent (\cref{ch:24} et \cref{ch:44}). La deuxième est la \emph{modification} ou la \emph{conversion} : agrandissement, ajout d'un logement accessoire, conversion d'une maison en duplex, d'un immeuble locatif en copropriété divise (\cref{ch:42}) ; elle est retenue lorsque la valeur après conversion, nette des coûts de conversion et de la rémunération du risque, excède à la fois la valeur actuelle et la valeur du terrain nu. La troisième est la \emph{démolition}, lorsque l'\cref{eq:41:ameliore} la justifie. Une quatrième situation mérite une mention : celle du \motcle{terrain excédentaire} (\emph{excess land}), partie d'un lot bâti qui pourrait être détachée et vendue séparément sans nuire à l'usage du reste ; sa valeur s'ajoute à celle de la propriété si le lotissement est permis (LAU, art.~115) et si l'acheteur type le réaliserait, et elle se distingue du \emph{terrain en surplus} (\emph{surplus land}), qui ne peut être détaché et ne vaut que par l'agrément qu'il procure.
107+
108+\subsection{Les démolitions-reconstructions comme révélateur de la valeur du terrain}
109+
110+La règle de l'\cref{eq:41:ameliore} a une contrepartie empirique précieuse. Lorsqu'une propriété est achetée pour être démolie, son prix est celui du terrain nu, diminué de la démolition que l'acheteur devra payer ; une vente de \motcle{démolition-reconstruction} (\emph{teardown}) est donc une vente de terrain déguisée, et elle permet d'extraire la valeur du terrain dans des quartiers bâtis où les terrains vacants ne se vendent jamais :
111+\begin{equation}\label{eq:41:teardown}
112+\hat V_L = P_{\text{td}} + D ,
113+\end{equation}
114+où $P_{\text{td}}$ est le prix payé pour la propriété démolie ensuite et $D$ le coût de démolition estimé. \textcite{rosenthalHelsley1994} ont été parmi les premiers à exploiter ces ventes pour mesurer le gradient de prix des terrains à Vancouver ; \textcite{dyeMcmillen2007} ont montré, sur la région de Chicago, que la probabilité qu'une maison soit achetée pour démolition croît avec le rapport entre la valeur du terrain et la valeur totale, et que les prix des propriétés démolies se comportent comme des prix de terrains, presque insensibles aux caractéristiques du bâtiment ; \textcite{mcmillenOsullivan2013} ont généralisé ce résultat en montrant que, dans les quartiers où les démolitions sont fréquentes, les coefficients hédoniques des caractéristiques du bâtiment tendent vers zéro à mesure que la probabilité de démolition augmente. La conséquence pour l'évaluateur est double. D'abord, l'\cref{eq:41:teardown} fournit, dans un quartier en densification, les meilleurs comparables de terrain qui soient, à la condition de vérifier que la démolition a bien eu lieu ou était l'intention de l'acheteur, ce qu'un permis de démolition ou une inspection postérieure établit. Ensuite, un modèle hédonique estimé sur un marché où coexistent des ventes de maisons et des ventes de démolition mélange deux fonctions de prix : \textcite{clappSalavei2010} ont proposé d'inclure dans la régression une variable d'option de redéveloppement, construite comme le rapport entre la valeur du terrain nu et la valeur de la propriété, et \textcite{clappBardosWong2012} ont estimé sur cette base une prime d'option dans les prix des maisons dont la contribution du bâtiment est faible. Le \cref{ch:18} a traité des modèles hédoniques sans cette correction ; dans un marché où les démolitions sont fréquentes, elle devient nécessaire, et l'absence de la variable biaise vers zéro les effets de l'âge et de la superficie du bâtiment, ce que le \cref{ch:24} a déjà signalé à propos de la mesure de la dépréciation.
115+
116+\section{Analyse de faisabilité et méthode résiduelle de développement}\label{sec:41:residuel}
117+
118+\subsection{Le compte du promoteur}
119+
120+La méthode résiduelle de développement répond à une question simple : combien un promoteur peut-il payer pour un terrain, compte tenu de ce qu'il en tirera une fois le projet construit et vendu et de tout ce qu'il lui en coûtera entre-temps ? La réponse s'obtient en reconstituant le compte du promoteur. Le produit du projet est la \motcle{valeur brute de développement} (GDV, \emph{gross development value}), somme des prix de vente attendus des unités achevées, ou, pour un immeuble conservé en location, la valeur de l'immeuble stabilisé par capitalisation de son revenu net (\cref{ch:29}). De ce produit se retranchent les frais de vente (courtage, publicité, frais juridiques), les coûts directs et indirects de construction (\cref{ch:21} à \cref{ch:23}), la démolition et la préparation du site s'il y a lieu, les intérêts du financement intérimaire, les contributions municipales et la rémunération du promoteur ; ce qui reste est ce que le projet peut payer pour le terrain. Le \cref{ch:08} a écrit cette identité sous sa forme statique, l'\cref{eq:8:residuel}, en traitant le financement et la marge comme des proportions du produit et en résolvant la circularité de la contribution pour fins de parcs par une division par $1 + \tau_{\text{parcs}}$. Le présent chapitre lui ajoute deux éléments que l'analyse de développement ne peut ignorer : le temps et la structure du financement.
121+
122+Le temps intervient parce que le terrain se paie aujourd'hui et que le produit se réalise à la livraison, un, deux ou trois ans plus tard. Le promoteur qui immobilise aujourd'hui une somme $V_L$ dans le terrain exige qu'elle lui soit rendue avec intérêt ; symétriquement, un dollar de produit à la date $T$ ne vaut aujourd'hui que $(1+r_L)^{-T}$ dollars, où $r_L$ est le coût du capital qui finance le terrain. La structure du financement intervient parce que les coûts de construction ne sont pas déboursés d'un coup : ils sont tirés progressivement sur un prêt de construction, et les intérêts de ce prêt, qui portent sur le solde tiré et non sur le montant total, dépendent du profil des déboursés et de la mise de fonds que le prêteur exige du promoteur. Le \cref{ch:23} a dérivé ces intérêts intérimaires pour un tirage uniforme : si le prêt $L$ est tiré linéairement entre la fin de la mise de fonds et la livraison, l'intérêt total vaut $L\,i\,T_{\text{eff}}/2$, où $T_{\text{eff}}$ est la durée pendant laquelle le prêt est effectivement tiré (\cref{eq:23:interets} et \cref{eq:23:interets-mise}).
123+
124+\begin{proposition}{Valeur résiduelle de développement avec calendrier}{residuel}
125+Soit un projet dont le produit de vente $\mathit{GDV}$ est encaissé à la date $T$ (années), les frais de vente $c_v\,\mathit{GDV}$, les coûts de construction directs et indirects $C$, la démolition $D$, les intérêts intérimaires $F$ du prêt de construction, la marge du promoteur $M$, la contribution pour fins de parcs au taux $\tau$ de la valeur du site, et $r_L$ le coût du capital qui finance le terrain. La valeur résiduelle du terrain à la date d'évaluation est
126+\begin{equation}\label{eq:41:residuel}
127+V_L = \frac{\mathit{GDV}\,(1 - c_v) - C - D - F - M}{(1 + \tau)\,(1 + r_L)^{T}} .
128+\end{equation}
129+Avec $r_L = 0$, on retrouve la forme statique de l'\cref{eq:8:residuel} ; avec $r_L = 0$ et $\tau = 0$, le résidu de manuel $\mathit{GDV} - \text{coûts} - \text{marge}$.
130+\end{proposition}
131+\begin{proof}
132+Le promoteur paie $V_L$ pour le terrain et $\tau V_L$ de contribution pour fins de parcs à la date d'évaluation, les deux étant financés par son capital au taux $r_L$ ; les coûts $C$ et $D$ sont financés par la mise de fonds puis par le prêt, dont les intérêts $F$ sont déjà comptés parmi les coûts ; le produit net $\mathit{GDV}(1 - c_v)$ est encaissé à la date $T$ et rembourse le prêt. Le promoteur exige que l'opération lui laisse exactement la marge $M$ à la date $T$, en sus du rendement $r_L$ sur le capital immobilisé dans le terrain. La condition d'équilibre à la date $T$ s'écrit $\mathit{GDV}(1 - c_v) - C - D - F - M = (1 + \tau)\,V_L\,(1 + r_L)^{T}$, d'où \eqref{eq:41:residuel}. La contribution pour fins de parcs étant assise sur la valeur du site que l'on cherche, la division par $1 + \tau$ résout la circularité comme au \cref{ch:08}.
133+\end{proof}
134+
135+Deux remarques précisent la portée de l'\cref{eq:41:residuel}. D'abord, la marge $M$ et le taux $r_L$ ne rémunèrent pas la même chose et ne doivent pas se recouper : $r_L$ est le coût du temps pour le capital immobilisé dans le terrain, $M$ la rémunération du travail du promoteur et du risque du projet. Un analyste qui actualise le résidu à un taux « de risque » élevé \emph{et} retient une marge pleine compte le risque deux fois ; la convention de l'ouvrage est d'actualiser au coût du financement du terrain, que l'on prend égal au taux du prêt de construction faute de mieux, et de porter le risque dans la marge. Ensuite, la marge peut être exprimée en proportion du produit, $M = m_p\,\mathit{GDV}$, ce qui est l'usage des promoteurs-marchands, ou en proportion du coût de construction, $M = m_c\,(C + D + F)$, ce qui est la convention de l'incitatif de l'entrepreneur retenue au \cref{ch:21} pour une construction sur commande ; l'\cref{eq:23:marges} convertit l'une en l'autre et le \cref{sec:23:incitatif} a expliqué pourquoi la première convient à un projet vendu sur plans et la seconde à une maison bâtie pour son propriétaire. L'exemple de la \cref{sec:41:exemple} emploie les deux, pour deux acheteurs types différents.
136+
137+\subsection{Forme linéaire, seuil et levier}
138+
139+L'\cref{eq:41:residuel} est linéaire dans le produit de vente, ce qui en facilite l'analyse. En regroupant les termes proportionnels au produit et les termes fixes,
140+\begin{equation}\label{eq:41:lineaire}
141+V_L = a\,\mathit{GDV} - b, \qquad a = \frac{1 - c_v - m_p}{(1+\tau)(1+r_L)^{T}}, \qquad b = \frac{C + D + F}{(1+\tau)(1+r_L)^{T}},
142+\end{equation}
143+lorsque la marge est assise sur le prix ; si elle est assise sur le coût, $m_p$ disparaît de $a$ et $b$ est multiplié par $1 + m_c$. Le coefficient $a$ est la part de chaque dollar de produit qui parvient au terrain, après frais de vente, marge, contribution pour fins de parcs et attente ; dans l'exemple, il vaut environ deux tiers. Le terme $b$ est le coût fixe du projet ramené à aujourd'hui. Deux grandeurs s'en déduisent immédiatement. Le \motcle{produit de seuil} qui rend la valeur résiduelle égale à une cible $\bar V$, par exemple le prix du terrain sur le marché ou la valeur de la maison existante, est
144+\begin{equation}\label{eq:41:seuil}
145+\mathit{GDV}^{*}(\bar V) = \frac{\bar V + b}{a},
146+\end{equation}
147+et le rapport $\mathit{GDV}^{*}/\mathit{GDV}_0 - 1$ mesure de combien les prix de sortie devraient varier pour que l'usage devienne faisable, ou pour que la démolition devienne rentable. L'\motcle{effet de levier} du résidu est l'élasticité de la valeur du terrain au produit de vente,
148+\begin{equation}\label{eq:41:levier}
149+\frac{\partial V_L}{\partial \mathit{GDV}}\,\frac{\mathit{GDV}}{V_L} = \frac{a\,\mathit{GDV}}{V_L} = 1 + \frac{b}{V_L} > 1 ,
150+\end{equation}
151+qui excède toujours l'unité et d'autant plus que les coûts fixes sont grands par rapport au résidu. Une variation de 10 \% des prix de sortie se traduit, pour un projet dont le terrain représente un cinquième du produit, par une variation de l'ordre de 40 à 50 \% de la valeur résiduelle ; c'est la même amplification que le \cref{ch:25} a démontrée pour la technique résiduelle du terrain (\cref{prop:sensibilite-residuelle}), et elle est la raison pour laquelle l'analyse de sensibilité de la \cref{sec:41:sensibilite} n'est pas facultative.
152+
153+\subsection{Les intrants et leur provenance}
154+
155+La méthode résiduelle exige une dizaine d'intrants, et sa crédibilité tient tout entière à leur provenance. Le \cref{tab:41:intrants} les énumère avec la source que l'ouvrage leur assigne et le chapitre qui les traite. Le prix de sortie des unités neuves est le plus important et le plus difficile : il vient de la comparaison avec des unités neuves comparables (\cref{ch:16} et \cref{ch:17}) ou d'un modèle hédonique dans lequel l'âge est fixé à zéro (\cref{ch:18}), et il doit être exprimé à la date de livraison prévue, ce qui suppose une hypothèse sur l'évolution des prix d'ici là ; la convention la plus prudente, retenue dans l'exemple, est de l'exprimer en dollars de la date d'évaluation, sans croissance, et de traiter la croissance éventuelle comme une source d'option à la \cref{sec:41:option}. Les coûts de construction viennent d'un devis, d'un barème ou de la transposition d'un coût unitaire connu (\cref{ch:21} et \cref{ch:23}) ; la contribution pour fins de parcs, du règlement municipal dans la limite de 10 \% de la valeur du site fixée par la loi \parencite[art.~117.4]{lau} ; la charge d'inclusion, s'il y a lieu, du règlement adopté en vertu de l'article 145.30.1 ; le taux du prêt de construction et la part financée, des conditions courantes des prêteurs ; la durée, de projets comparables ; la marge, de l'extraction sur des projets achevés (\cref{eq:23:extraction}) ou, à défaut, d'une hypothèse déclarée et soumise à sensibilité.
156+
157+\begin{table}[htbp]
158+\caption{Intrants de la méthode résiduelle de développement et leur provenance dans l'ouvrage}\label{tab:41:intrants}
159+\centering
160+\small
161+\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\raggedright\arraybackslash}p{40mm}YY}
162+\toprule
163+Intrant & Provenance & Chapitre \\
164+\midrule
165+Programme (nombre, taille, type des unités) & Grille des usages et des normes ; enveloppe constructible ; marché cible & \cref{ch:08}, \cref{ch:15} \\
166+Prix de sortie des unités & Comparaison avec des unités neuves ; modèle hédonique à âge nul ; prix par logement ou MRB pour une vente en bloc & \cref{ch:16} à \cref{ch:18}, \cref{ch:32} \\
167+Frais de vente $c_v$ & Courtage, frais juridiques, mise en marché (hypothèse déclarée) & \cref{ch:13} \\
168+Coûts directs et indirects $C$ & Devis ; barème ; coût unitaire transposé et indexé (IPCB) & \cref{ch:21} à \cref{ch:23} \\
169+Démolition et préparation $D$ & Soumission ; coût par mètre carré de bâtiment démoli ; décontamination s'il y a lieu & \cref{ch:23}, \cref{ch:43} \\
170+Prêt de construction : part, taux, durée & Conditions des prêteurs ; taux affichés ou consentis (Banque du Canada) & \cref{ch:23}, \cref{ch:31} \\
171+Contribution pour fins de parcs $\tau$ & Règlement municipal, plafond de 10 \% (LAU, art.~117.4) ; inclusion (art.~145.30.1) & \cref{ch:08} \\
172+Marge du promoteur $M$ & Extraction sur projets achevés ; sinon hypothèse déclarée ; assiette à préciser & \cref{ch:23} \\
173+Durée totale $T$ et taux de portage $r_L$ & Projets comparables ; coût du financement du terrain & \cref{ch:23}, \cref{ch:30} \\
174+\bottomrule
175+\end{tabularx}
176+\tabsource{synthèse de l'auteur.}
177+\end{table}
178+
179+\section{L'option réelle de redéveloppement}\label{sec:41:option}
180+
181+\subsection{Pourquoi la règle de la valeur actuelle nette ne suffit pas}
182+
183+La méthode résiduelle dit ce qu'un terrain vaut pour un promoteur qui construit \emph{maintenant}. Elle ne dit rien de ce qu'il vaut pour un propriétaire qui peut construire maintenant, dans un an ou jamais, selon ce que feront les prix. Or le développement est irréversible : une fois le bâtiment construit, le terrain ne peut plus être affecté à un autre usage sans une nouvelle démolition, et le promoteur a renoncé à profiter d'une hausse des prix qui aurait rendu un programme plus dense ou plus cher préférable. L'incertitude donne donc une valeur à l'attente, et la règle qui consiste à développer dès que la valeur résiduelle devient positive, c'est-à-dire dès que la valeur actuelle nette du projet est positive, n'est pas optimale : il faut que le projet soit suffisamment rentable pour compenser la perte de l'option d'attendre. \textcite{titman1985} a formulé ce résultat dans un modèle binomial où le prix des immeubles achevés peut monter ou descendre : il montre que l'incertitude accroît la valeur d'un terrain vacant laissé en attente et réduit la construction courante, de sorte qu'une partie des terrains vacants des villes n'est pas le signe d'un marché défaillant, mais d'une attente rationnelle. \textcite{quigg1993} a testé le modèle sur des milliers de ventes de terrains à Seattle et a trouvé que les prix des terrains incorporaient une prime d'attente d'environ 6 \% en moyenne par rapport à leur valeur de développement immédiat ; \textcite{cunningham2006} a montré, sur la même ville, que l'incertitude des prix des maisons retarde le développement des terrains vacants et en élève le prix. \textcite{munneke1996} a étudié la décision de redéveloppement des propriétés commerciales et industrielles, et \textcite{munnekeWomack2020} ont estimé la part de la valeur des terrains urbains qui revient à l'option de redéveloppement. Pour l'évaluateur, la leçon est que la valeur d'un terrain, ou d'une propriété dont le bâtiment contribue peu, peut légitimement excéder son résidu de développement immédiat, et que l'écart est la valeur d'une option.
184+
185+\subsection{Un modèle binomial à deux périodes}
186+
187+Le modèle le plus simple qui rende compte de cette valeur est l'arbre binomial, que \textcite{titman1985} a employé le premier pour les terrains et que \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} présentent comme l'outil de base de l'analyse d'un projet de développement. On considère un propriétaire dont le bien vaut $V_{\text{act}}$ dans son usage actuel et qui peut, à chaque date de décision, le redévelopper : il reçoit alors la valeur résiduelle de l'\cref{eq:41:lineaire}, $a\,\mathit{GDV}_t - b'$, et il renonce à $V_{\text{act}}$. Le gain net de l'exercice à la date $t$ est donc
188+\begin{equation}\label{eq:41:payoff}
189+\Pi_t = \max\left\{ a\,\mathit{GDV}_t - b,\ 0 \right\}, \qquad b = b' + V_{\text{act}},
190+\end{equation}
191+qui a la forme d'une option d'achat sur $a$ unités du produit de vente, de prix d'exercice $b$. La valeur du bien est $V_{\text{act}} + \Pi_0^{*}$, où $\Pi_0^{*}$ est la valeur de l'option à la date d'évaluation ; la règle de la valeur actuelle nette correspond à $\Pi_0^{*} = \Pi_0$, c'est-à-dire à l'exercice immédiat si le gain est positif et à l'abandon sinon.
192+
193+Le produit de vente suit un processus binomial : sur chaque période de durée $\Delta t$, il est multiplié par $u > 1$ avec une certaine probabilité ou par $d = 1/u$ avec la probabilité complémentaire. Le choix standard relie $u$ à la volatilité annuelle $\sigma$ du prix des unités,
194+\begin{equation}\label{eq:41:ud}
195+u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \qquad d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} ,
196+\end{equation}
197+de sorte que la variance du logarithme du produit sur une période est $\sigma^2 \Delta t$, selon la paramétrisation usuelle des arbres binomiaux (Cox, Ross et Rubinstein, 1979 ; référence vérifiée mais non reprise dans la bibliographie de l'ouvrage, voir \texttt{references/lib-ch41.bib}). La valorisation ne requiert pas la probabilité réelle de hausse, mais la \motcle{probabilité risque-neutre} $q$, c'est-à-dire la probabilité sous laquelle l'actif sous-jacent rapporte exactement le taux sans risque. L'actif sous-jacent est ici un immeuble achevé, qui procure à son détenteur un rendement de détention $y$ (le loyer net rapporté à la valeur, soit le taux de capitalisation du \cref{ch:29}) en plus de sa variation de prix ; la croissance à terme de son prix sous la mesure risque-neutre est donc $(1 + r)/(1 + y)$ par année, et
198+\begin{equation}\label{eq:41:q}
199+q = \frac{\Phi - d}{u - d}, \qquad \Phi = \left(\frac{1 + r}{1 + y}\right)^{\Delta t},
200+\end{equation}
201+où $r$ est le taux sans risque pour la période. La condition $d < \Phi < u$ assure $0 < q < 1$. Un rendement de détention supérieur au taux sans risque, ce qui est le cas des immeubles résidentiels, rend $\Phi < 1$ et $q$ faible : sous la mesure risque-neutre, le prix des unités achevées baisse en espérance, parce que leur rendement total doit égaler $r$ et que leur loyer en fournit déjà davantage. C'est ce qui rend l'attente coûteuse et l'exercice anticipé parfois optimal, comme pour une option d'achat sur une action qui verse un dividende.
202+
203+\begin{proposition}{Valeur de l'option de redéveloppement dans l'arbre binomial}{binomial}
204+Dans un arbre à $n$ périodes, la valeur de l'option à un nœud $(t, j)$, où $j$ est le nombre de hausses survenues, s'obtient par récurrence rétrograde :
205+\begin{equation}\label{eq:41:binomial}
206+\Pi^{*}_{n,j} = \Pi_{n,j}, \qquad \Pi^{*}_{t,j} = \max\left\{ \Pi_{t,j},\ (1 + r)^{-\Delta t}\left[ q\,\Pi^{*}_{t+1,j+1} + (1 - q)\,\Pi^{*}_{t+1,j} \right] \right\},
207+\end{equation}
208+avec $\Pi_{t,j} = \max\{a\,\mathit{GDV}_0\,u^{j} d^{\,t-j} - b, 0\}$. La valeur $\Pi^{*}_{0,0}$ est au moins égale au gain de l'exercice immédiat $\Pi_{0,0}$ et au moins égale à la valeur de l'option européenne correspondante, qui ne peut être exercée qu'à la date $n\Delta t$ ; la différence $\Pi^{*}_{0,0} - \Pi_{0,0}$ est la \motcle{valeur de l'attente}.
209+\end{proposition}
210+\begin{proof}
211+À chaque nœud, le propriétaire choisit entre exercer, ce qui vaut $\Pi_{t,j}$, et conserver l'option une période de plus, ce qui vaut l'espérance risque-neutre actualisée de sa valeur à la période suivante ; le maximum des deux est la valeur de l'option, et la récurrence part des nœuds terminaux où il n'y a plus d'attente possible. Comme le maximum est pris à chaque nœud, $\Pi^{*}_{0,0} \geq \Pi_{0,0}$ ; et comme l'option européenne n'a pas la faculté d'exercice intermédiaire, sa valeur, obtenue par la même récurrence sans le premier terme du maximum, est inférieure ou égale.
212+\end{proof}
213+
214+La \motcle{frontière d'exercice} est, à chaque date de décision, le niveau du produit de vente au-delà duquel l'exercice immédiat vaut au moins la continuation. Elle est toujours supérieure ou égale au seuil de la règle de la valeur actuelle nette, $\mathit{GDV}^{*} = b/a$, et l'écart entre les deux est la zone dans laquelle le projet est rentable mais où il vaut mieux attendre ; cet écart croît avec la volatilité et décroît avec le rendement de détention $y$, parce qu'un loyer élevé sur l'immeuble achevé rend coûteux le report de la construction. Deux périodes suffisent pour faire apparaître ces propriétés, et l'exemple de la \cref{sec:41:exemple} les chiffre ; dans la pratique, on raffine l'arbre en multipliant les périodes, et la valeur converge vers celle d'un modèle en temps continu.
215+
216+\subsection{Le seuil de développement de Capozza et Helsley}
217+
218+Le modèle en temps continu dont l'arbre binomial est l'approximation a été résolu, pour la conversion d'un terrain, par \textcite{capozzaHelsley1990}, dans un article qui étend au cas incertain la décomposition du prix du terrain urbain qu'ils avaient établie sous certitude \parencite{capozzaHelsley1989} et que le \cref{ch:05} a présentée (\cref{eq:5:capozza}). On en donne ici une version simplifiée, qui suffit à faire comprendre d'où vient la prime d'attente. Soit $R_t$ la rente annuelle que procurerait le terrain sous son nouvel usage, supposée suivre un mouvement brownien arithmétique de dérive $g$ et de volatilité $\sigma$ (en dollars par année), $R_A$ la rente certaine de l'usage actuel, $C$ le coût de conversion et $r$ le taux d'actualisation. Une fois converti, le terrain vaut l'espérance actualisée de ses rentes futures, $W(R) = R/r + g/r^2$. Tant qu'il n'est pas converti, sa valeur $V(R)$ comprend la rente de l'usage actuel et l'option de convertir, et elle satisfait l'équation de Bellman
219+\begin{equation}\label{eq:41:ch-ode}
220+r\,V(R) = R_A + g\,V'(R) + \tfrac{1}{2}\sigma^2\,V''(R),
221+\end{equation}
222+qui dit que le rendement exigé sur la valeur du terrain non converti égale la rente courante plus l'appréciation espérée de sa valeur. La solution qui reste bornée lorsque $R$ décroît est $V(R) = R_A/r + A\,e^{\alpha R}$, où $\alpha$ est la racine positive de l'équation caractéristique
223+\begin{equation}\label{eq:41:ch-alpha}
224+\tfrac{1}{2}\sigma^2 \alpha^2 + g\,\alpha - r = 0, \qquad \alpha = \frac{-g + \sqrt{g^2 + 2 r \sigma^2}}{\sigma^2} .
225+\end{equation}
226+La conversion a lieu lorsque la rente atteint un seuil $R^{*}$ déterminé par deux conditions : la continuité de la valeur, $V(R^{*}) = W(R^{*}) - C$, et la condition de raccordement lisse (\emph{smooth pasting}), $V'(R^{*}) = W'(R^{*}) = 1/r$, qui exprime que le propriétaire choisit le seuil de façon optimale. La seconde donne $A\,e^{\alpha R^{*}} = 1/(r\alpha)$ ; substituée dans la première, elle conduit à
227+\begin{equation}\label{eq:41:ch-seuil}
228+R^{*} = R_A + r\,C + \underbrace{\left( \frac{1}{\alpha} - \frac{g}{r} \right)}_{\text{prime d'irréversibilité}} .
229+\end{equation}
230+Sous certitude, $\sigma \to 0$ et $\alpha \to r/g$, de sorte que la prime s'annule et que la conversion a lieu dès que la rente du nouvel usage couvre la rente de l'usage actuel et l'intérêt sur le coût de conversion, $R^{*} = R_A + rC$ : c'est la règle de la valeur actuelle nette. Sous incertitude, $1/\alpha > g/r$ et la prime est positive ; elle croît avec $\sigma$, et elle exige que la rente du nouvel usage dépasse le seuil de certitude d'une marge qui rémunère l'option sacrifiée. \textcite{capozzaHelsley1990} montrent que le prix d'un terrain non encore converti se décompose alors en quatre termes, la valeur de l'usage actuel, le coût de conversion actualisé, la prime de croissance anticipée et la prime d'irréversibilité, et que l'incertitude retarde la conversion tout en élevant le prix des terrains en attente ; la prime d'attente de 6 \% mesurée par \textcite{quigg1993} est la contrepartie empirique de ce dernier terme. L'exemple de la \cref{sec:41:exemple} applique l'\cref{eq:41:ch-seuil} à la maison du cas 1 en interprétant $R_A$ comme la rente implicite de la maison et $R$ comme celle du triplex qui pourrait la remplacer.
231+
232+\subsection{Ce que l'évaluateur en retient}
233+
234+Les modèles d'options réelles ne sont pas des méthodes d'évaluation au sens des normes professionnelles, et leurs paramètres, la volatilité des prix, le rendement de détention, le taux sans risque, le nombre et la durée des périodes, relèvent d'hypothèses que le rapport doit déclarer. Ils ont pourtant trois usages concrets. Le premier est d'expliquer un écart : lorsque des terrains ou des propriétés à démolir se vendent au-dessus de leur résidu de développement immédiat, l'option d'attente en est une explication rationnelle, et l'évaluateur qui l'ignore conclut à tort que le marché est irrationnel ou que ses coûts sont erronés. Le deuxième est de qualifier une conclusion de PHMU : un bien dont la contribution du bâtiment est faible et dont le terrain pourrait être densifié vaut sa valeur en usage \emph{plus} une prime d'option, petite si la densification est lointaine, substantielle si elle est proche ; les ventes appariées du \cref{ch:08} ont mesuré cette prime sur un îlot rezoné, et les travaux de \textcite{clappBardosWong2012} la mesurent sur de grands échantillons. Le troisième est de guider le choix des comparables : dans un quartier où l'option est dans la monnaie pour les maisons anciennes, celles-ci se vendent comme des terrains et ne sont plus comparables aux maisons récentes du même quartier, même si leurs caractéristiques physiques sont voisines. Dans tous les cas, l'évaluateur cherche la confirmation du marché avant d'ajouter une prime calculée : l'option n'a de valeur marchande que si des acheteurs la paient.
235+
236+\section{Exemple intégral : le terrain du sujet du cas 1 sous quatre usages}\label{sec:41:exemple}
237+
238+\begin{synthetique}
239+Le dossier du cas 1 est synthétique : le sujet (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_sujet.json}), les 600 ventes qui alimentent le modèle hédonique (\texttt{cas1\_gatineau\_ventes.csv}, \texttt{analysis/python/traite/synth.py}, graine 20261031) et le devis par composantes (\texttt{cas1\_gatineau\_couts.csv}) sont décrits aux \cref{ch:16}, \cref{ch:18} et \cref{ch:21}. Le \textbf{zonage de l'exemple est fictif} : la zone « H-2f » et sa grille (\cref{tab:41:grille}) sont construites pour les besoins du chapitre et ne décrivent aucun règlement de la Ville de Gatineau. Les hypothèses du promoteur (démolition, frais de vente, marge, contribution pour fins de parcs, part et taux du prêt, durées), les décotes appliquées aux unités superposées et les paramètres de l'option (volatilité, rendement de détention, taux réel) sont des choix de l'auteur, énoncés dans le texte et soumis à l'analyse de sensibilité ; seuls le coût unitaire de construction (devis du cas 1 et indices IPCB réels, \cref{ch:21} et \cref{ch:23}) et le taux hypothécaire affiché (Banque du Canada, 28 octobre 2026) proviennent de sources vérifiées. Tous les chiffres de cette section sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch41.py}.
240+\end{synthetique}
241+
242+\begin{exemple}{Quatre usages pour un terrain de 620 m² à Hull}{cas1-phmu}
243+Le sujet est le cottage à étages de 1998, de \msq{165} habitables sur un terrain de \msq{620} dans le secteur de Hull, évalué au 1\ier{} septembre 2026. Le \cref{ch:20} a conclu à une valeur la plus probable de \dollars{600000} dans son usage actuel (fourchette de \dollars{575000} à \dollars{640000}), le \cref{ch:18} à une prédiction hédonique de \dollars{637953}, le \cref{ch:24} et le \cref{ch:25} à une valeur du terrain réputé vacant, pour un usage unifamilial, de \dollars{277000} (fourchette de \dollars{240000} à \dollars{285000}). On suppose désormais que le terrain est situé dans une zone fictive H-2f qui admet de un à trois logements, et l'on se demande quelle est la plus haute et meilleure utilisation du terrain réputé vacant et du bien amélioré, en confrontant quatre usages : la maison actuelle conservée (S0), une maison neuve de \msq{165} après démolition (U), un duplex de deux logements de \msq{120} (D) et un triplex de trois logements de \msq{100} (T), ces deux derniers vendus en copropriété divise. Un quadruplex (Q) est examiné pour montrer un échec au premier test.
244+\end{exemple}
245+
246+\subsection{Tests légal et physique}
247+
248+La grille fictive de la zone H-2f (\cref{tab:41:grille}) exige un lot d'au moins \msq{450}, une superficie de terrain d'au moins \msq{150} par logement, au plus trois logements par bâtiment, un coefficient d'occupation du sol de 0,60, trois étages au plus, une case de stationnement par logement et des marges avant, latérales et arrière de 6, 2 et 9 mètres. Par l'\cref{eq:8:logements}, la densité seule admettrait $\lfloor 620/150 \rfloor = 4$ logements, mais le plafond de la grille ramène le maximum à trois ; par l'\cref{eq:8:cos}, l'aire de plancher ne peut excéder $0{,}60 \times 620 = \msq{372}$. En retenant un rapport de 0,85 entre la superficie habitable et l'aire brute de plancher, comme au \cref{ch:23}, la maison neuve exige \msq{194} d'aire brute, le duplex \msq{282}, le triplex \msq{353} et le quadruplex \msq{400} : les trois premiers programmes sont permis, le quadruplex échoue à la fois sur le nombre de logements et sur le coefficient d'occupation du sol, et il est écarté dès le premier test. Sur le plan physique, avec une façade de 20 mètres et une profondeur de 31 mètres (hypothèses, le dossier du cas ne les précisant pas), l'empreinte constructible après marges est de $16 \times 16 = \msq{256}$ ; deux étages suffisent pour chacun des programmes permis, et trois cases de stationnement de 2,6 mètres se logent en façade. Le sol et les services sont réputés sans contrainte, le terrain étant desservi et bâti depuis 1998. Les trois usages U, D et T franchissent donc les deux premiers tests ; S0 les franchit de plein droit.
249+
250+\begin{table}[htbp]
251+\caption{Grille des usages et des normes de la zone fictive H-2f et vérification des programmes}\label{tab:41:grille}
252+\centering
253+\small
254+\begin{tabular}{lcS[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]S[table-format=3.0]}
255+\toprule
256+Norme & Zone H-2f & {U} & {D} & {T} & {Q} \\
257+\midrule
258+Nombre de logements & 1 à 3 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
259+Superficie habitable totale (m\textsuperscript{2}) & --- & 165 & 240 & 300 & 340 \\
260+Aire brute de plancher (m\textsuperscript{2}, habitable $/\,0{,}85$) & $\leq 372$ (COS 0,60) & 194 & 282 & 353 & 400 \\
261+Terrain par logement (m\textsuperscript{2}) & $\geq 150$ & 620 & 310 & 207 & 155 \\
262+Étages requis (empreinte max. 256 m\textsuperscript{2}) & $\leq 3$ & 1 & 2 & 2 & 2 \\
263+Cases de stationnement & 1 par logement & 1 & 2 & 3 & 4 \\
264+\midrule
265+Légalement permis & & {oui} & {oui} & {oui} & {non} \\
266+\bottomrule
267+\end{tabular}
268+\tabsource{\synth{grille fictive construite pour l'exemple ; \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, dictionnaires \texttt{GRILLE} et \texttt{PROGRAMMES}, fonctions \texttt{test\_legal} et \texttt{test\_physique}} ; lot minimal \msq{450}, marges 6/2/9 m, hauteur 3 étages.}
269+\end{table}
270+
271+\subsection{Prix de sortie et coûts}
272+
273+Les prix de sortie des unités neuves sont tirés du modèle hédonique du cas 1 (\cref{ch:18}), dans lequel l'âge est fixé à zéro et la superficie habitable, le terrain par unité, le garage et le sous-sol sont ceux du programme ; la correction de retransformation de Duan est appliquée comme à l'\cref{eq:18:duan}. Le modèle est estimé sur des maisons isolées : pour une unité superposée ou contiguë vendue en copropriété divise, on applique une décote déclarée de 10 \% pour le duplex et de 15 \% pour le triplex, qui traduit la perte d'intimité, la mitoyenneté et les charges de copropriété ; ces décotes sont des hypothèses pédagogiques, et l'analyse de sensibilité fait varier les prix de sortie de $\pm 15$ \%. Le \cref{tab:41:prix} donne le résultat : une maison neuve de \msq{165} vaudrait \dollars{720727} ; une unité de duplex de \msq{120} sur \msq{310} de terrain, sans garage, \dollars{495654} après décote (\dollars{550726} pour la maison isolée équivalente) ; une unité de triplex de \msq{100} sur \msq{207}, \dollars{408487} (\dollars{480573} avant décote). Les produits de vente sont de \dollars{720727}, \dollars{991307} et \dollars{1225460} pour U, D et T. Ces prix sont ceux du marché synthétique, où la maison du sujet est prédite à \dollars{637953} ; ils ne décrivent pas le marché réel de Gatineau, dont la médiane des unifamiliales était de \dollars{475000} à Hull et celle des copropriétés de \dollars{297450} pour la RMR au troisième trimestre de 2026 \parencite{apciqgatineaut32026}. L'ordre de grandeur relatif est toutefois plausible : des unités neuves de bonne taille se vendent au-dessus de la médiane d'un parc existant qui comprend beaucoup de petites unités anciennes.
274+
275+\begin{table}[htbp]
276+\caption{Programmes, prix de sortie et coûts de construction des quatre usages (dollars du T3 2026, données synthétiques)}\label{tab:41:prix}
277+\centering
278+\small
279+\begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=7.0]S[table-format=4.0]S[table-format=6.0]}
280+\toprule
281+Usage & {Prix maison isolée équiv. (\$)} & {Prix de l'unité (\$)} & {Produit $\mathit{GDV}$ (\$)} & {$D+I$ (\$/m\textsuperscript{2})} & {Coûts $C$ (\$)} \\
282+\midrule
283+S0 Maison actuelle (prédiction hédonique) & 637953 & {---} & {---} & {---} & {---} \\
284+U Maison neuve, 1 $\times$ 165 m\textsuperscript{2} & 720727 & 720727 & 720727 & 2190 & 361425 \\
285+D Duplex, 2 $\times$ 120 m\textsuperscript{2} (décote 10 \%) & 550726 & 495654 & 991307 & 2228 & 534734 \\
286+T Triplex, 3 $\times$ 100 m\textsuperscript{2} (décote 15 \%) & 480573 & 408487 & 1225460 & 2228 & 668417 \\
287+Q Quadruplex, 4 $\times$ 85 m\textsuperscript{2} (décote 20 \%, non permis) & 428558 & 342846 & 1371384 & 2228 & 757540 \\
288+\bottomrule
289+\end{tabular}
290+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonctions \texttt{produit\_vente} et \texttt{couts\_unitaires} ; modèle hédonique \texttt{traite.cas1.hedonique}, âge 0 ; devis du cas 1 (\texttt{ch21\_cout\_neuf.py}) ; IPCB Montréal T3 2026 (Statistique Canada, tableau 18-10-0289-01, consulté le 31 octobre 2026)}.}
291+\end{table}
292+
293+Les coûts de construction reprennent le devis du cas 1 : coûts directs de \dollars{298826} et indirects de \dollars{62599} pour \msq{165} habitables (\cref{tab:21:devis}), soit \parmsq{2190} de directs et indirects, hors incitatif. Pour les plex, ce coût unitaire est multiplié par le rapport des indices IPCB montréalais de l'immeuble d'appartements de moins de cinq étages et de la maison individuelle au troisième trimestre de 2026, $118{,}5/116{,}5 = 1{,}0172$, comme le \cref{ch:23} l'a fait pour le douze-logements du cas 3 (\cref{tab:23:multi}), d'où \parmsq{2228} \parencite{statcanIPCB}. L'incitatif de 10 \% du \cref{ch:21} n'est pas ajouté ici : la rémunération du promoteur est traitée séparément, comme marge, et l'ajouter au coût reviendrait à la compter deux fois. La démolition de la maison et la préparation du site sont estimées à \dollars{30000} (hypothèse, identique à celle du \cref{ch:08}) ; le prêt de construction finance 75 \% des coûts et de la démolition au taux hypothécaire affiché à cinq ans de 6,19 \% au 28 octobre 2026 \parencite{bdcvalet}, la mise de fonds couvrant les premiers déboursés ; la durée totale, chantier et vente, est de 12, 15 et 18 mois pour U, D et T ; le terrain est porté au même taux de 6,19 \%.
294+
295+\subsection{Valeurs résiduelles sous deux conventions d'acheteur}
296+
297+Le \cref{tab:41:residuel} déroule l'\cref{eq:41:residuel} pour les trois usages permis sous la convention du \motcle{promoteur-marchand} : frais de vente de 4 \% du produit, marge de 15 \% du produit, contribution pour fins de parcs de 10 \% de la valeur du site, intérêts intérimaires calculés sur le tirage uniforme du prêt, résidu actualisé sur la durée totale. Pour le triplex, le produit de \dollars{1225460} laisse, après \dollars{49018} de frais de vente, \dollars{668417} de coûts, \dollars{30000} de démolition, \dollars{18239} d'intérêts intérimaires et \dollars{183819} de marge, un reste de \dollars{275967} à la livraison ; divisé par $1{,}10 \times 1{,}0619^{1{,}5} = 1{,}2037$, il donne une valeur résiduelle de \dollars{229265}, dont la municipalité prélèverait \dollars{22927} à titre de contribution pour fins de parcs. Le duplex laisse \dollars{190541} et la maison neuve \dollars{158849}. La version statique, sans actualisation, aurait donné \dollars{250879} pour le triplex : le temps coûte ici 9 \% du résidu, et davantage pour un projet plus long.
298+
299+\begin{table}[htbp]
300+\caption{Méthode résiduelle de développement pour les trois usages permis, convention du promoteur-marchand (dollars du T3 2026, données synthétiques)}\label{tab:41:residuel}
301+\centering
302+\small
303+\begin{tabular}{lS[table-format=-7.0]S[table-format=-7.0]S[table-format=-7.0]}
304+\toprule
305+Poste & {U Maison neuve} & {D Duplex} & {T Triplex} \\
306+\midrule
307+Produit de vente $\mathit{GDV}$ & 720727 & 991307 & 1225460 \\
308+Frais de vente (4 \% du produit) & -28829 & -39652 & -49018 \\
309+Coûts directs et indirects $C$ & -361425 & -534734 & -668417 \\
310+Démolition et préparation du site $D$ & -30000 & -30000 & -30000 \\
311+Intérêts intérimaires $F$ (75 \% des coûts, 6,19 \%, tirage uniforme) & -6814 & -12290 & -18239 \\
312+Marge du promoteur $M$ (15 \% du produit) & -108109 & -148696 & -183819 \\
313+\midrule
314+Reste à la livraison & 185550 & 225936 & 275967 \\
315+Durée totale $T$ (années) & 1.00 & 1.25 & 1.50 \\
316+Facteur $(1 + \tau)(1 + r_L)^{T}$ & 1.1681 & 1.1858 & 1.2037 \\
317+\midrule
318+Valeur résiduelle du terrain $V_L$ & 158849 & 190541 & 229265 \\
319+\quad dont contribution pour fins de parcs (10 \%) & 15885 & 19054 & 22927 \\
320+Valeur résiduelle statique ($r_L = 0$) & 168682 & 205396 & 250879 \\
321+\midrule
322+Convention « construction sur commande » (marge 10 \% des coûts, sans frais de vente ni parcs) & 266187 & 330792 & 399479 \\
323+\bottomrule
324+\end{tabular}
325+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{residuel\_developpement} ; intérêts par \texttt{traite.finance.interets\_intermediaires}}.}
326+\end{table}
327+
328+La dernière ligne du \cref{tab:41:residuel} applique la convention de la \motcle{construction sur commande}, celle du \cref{ch:21} : l'acheteur fait bâtir pour lui-même, ne vend rien, ne paie ni frais de vente ni contribution pour fins de parcs, et l'entrepreneur qui coordonne le chantier reçoit un incitatif de 10 \% des coûts de construction, de démolition et de financement. Sous cette convention, le résidu de la maison neuve est de \dollars{266187}, celui du duplex de \dollars{330792} et celui du triplex de \dollars{399479}. Ces trois derniers chiffres n'ont pas le même statut. Celui de la maison neuve décrit un acheteur réel et fréquent dans un quartier établi, le ménage qui achète un lot ou une maison à démolir pour y faire bâtir sa résidence ; et il est cohérent avec le prix des terrains unifamiliaux sur le marché synthétique, \dollars{277000}, dont il s'écarte de 4 \%. Ceux du duplex et du triplex supposent qu'un ménage fasse bâtir trois logements sans les vendre et sans exiger de rémunération pour le risque de les louer ou de les revendre ; ils ne décrivent pas un acheteur probable et ne servent qu'à montrer ce que la convention de marge fait au résultat. La comparaison des deux conventions enseigne que la valeur résiduelle n'est pas un nombre, mais une fonction de l'acheteur que l'on suppose.
329+
330+Un troisième point de repère complète le tableau. Si le triplex, au lieu d'être vendu à la pièce en copropriété divise, était vendu en bloc à un investisseur au prix par logement des triplex existants du cas 2, \dollars{281000} à Limoilou (\texttt{traite.cas2}, 127 ventes de plex de deux et trois logements, \cref{ch:32}), le produit ne serait que de \dollars{843000} et le reste à la livraison serait négatif, de $-\dollars{33826}$ : le triplex locatif échouerait au test de faisabilité financière. La vente à la pièce est donc, dans cet exemple, la seule voie par laquelle la densification est faisable, ce qui rejoint une observation courante des marchés québécois où les petits plex neufs se vendent en copropriété divise plutôt qu'en bloc ; le \cref{ch:42} traite de l'écart entre la valeur en bloc et la valeur à la pièce.
331+
332+\subsection{Conclusions sur la plus haute et meilleure utilisation}
333+
334+\emph{Terrain réputé vacant.} Les trois usages permis et possibles laissent un résidu positif et sont donc financièrement faisables au sens strict. Pour désigner le plus productif, chaque usage est évalué avec la marge de son acheteur type : la maison neuve avec la convention de la construction sur commande (\dollars{266187}), le duplex et le triplex avec celle du promoteur-marchand (\dollars{190541} et \dollars{229265}). La maison neuve l'emporte, et la conclusion est corroborée par deux faits : le prix des terrains unifamiliaux sur le marché, \dollars{277000}, est supérieur à ce qu'un promoteur pourrait payer pour y bâtir un plex, ce qui signifie que les promoteurs sont systématiquement surenchéris par les ménages ; et le voisinage est composé de maisons, de sorte qu'un triplex y serait l'usage non conforme. La plus haute et meilleure utilisation du terrain réputé vacant est l'habitation unifamiliale, et la valeur du terrain de \dollars{277000} retenue au \cref{ch:25} est cohérente avec cette conclusion. L'écart de \dollars{10813} entre le prix du marché et le résidu de la maison neuve, soit 4 \%, est de l'ordre de la prime d'attente que \textcite{quigg1993} mesurait, et il peut se lire comme la valeur, pour l'acheteur d'un terrain, de la possibilité de bâtir plus tard ou plus grand ; il peut aussi se lire comme une marge d'entrepreneur légèrement inférieure à 10 \%. On remarquera que, du point de vue d'un promoteur seul, le classement serait inversé : le triplex laisse le plus grand résidu, le duplex le suivant et la maison le plus faible, parce que la densité amortit la démolition et le terrain sur plus de plancher. C'est le marché des acheteurs, non le calcul du promoteur, qui tranche.
335+
336+\emph{Bien amélioré.} La valeur de la maison dans son usage actuel, \dollars{600000}, excède de loin la meilleure valeur résiduelle du terrain, démolition comprise, quelle que soit la convention. Par l'\cref{eq:41:contribution}, la contribution du bâtiment est de $600000 - 277000 = \dollars{323000}$, très positive : la maison de 28 ans n'est pas un obstacle à l'usage du terrain, elle en est la meilleure utilisation, et l'\cref{eq:41:ameliore} conclut au maintien de l'usage actuel. Les primes d'option immédiates $\max\{0, V_L - V_{\text{act}}\}$ sont nulles pour les trois usages. Pour que la démolition en faveur du triplex devienne rentable, il faudrait, par l'\cref{eq:41:seuil}, un produit de vente de \dollars{1776390}, soit une hausse de 45,0 \% du prix des unités neuves à coûts constants, ou une baisse équivalente de la valeur de la maison ; pour que le triplex devienne simplement compétitif avec le prix des terrains unifamiliaux, une hausse de 5,8 \% suffirait. La \cref{fig:41:densite} résume ces résultats : à prix de base, la valeur résiduelle croît avec la densité, mais elle reste sous le prix du marché des terrains pour tous les usages de promoteur ; une hausse de 15 \% des prix placerait le duplex et le triplex au-dessus de ce prix, et c'est alors seulement que la densification deviendrait la PHMU du terrain vacant.
337+
338+\begin{figure}[htbp]
339+\centering
340+\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-residuel-densite.pdf}
341+\caption{Valeur résiduelle du terrain de \msq{620} selon le nombre de logements du programme, convention du promoteur-marchand, pour trois niveaux de prix des unités neuves. À prix de base, aucun usage de promoteur n'atteint le prix des terrains unifamiliaux par comparaison (tireté), alors que la maison neuve bâtie sur commande (carré) s'en approche ; une hausse de 15 \% des prix porterait les plex au-dessus. Le quadruplex (grisé) échoue au test légal.}\label{fig:41:densite}
342+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{courbe\_densite} ; graine 20261031}.}
343+\end{figure}
344+
345+\subsection{La valeur de l'attente : arbre binomial à deux périodes}
346+
347+La conclusion du bien amélioré est nette, mais elle est datée : les prix des unités neuves bougent, et la maison vieillit. L'option de redéveloppement a-t-elle une valeur aujourd'hui ? L'arbre binomial de la \cref{sec:41:option} répond avec les paramètres suivants, tous déclarés : deux périodes de cinq ans, soit un horizon de décision de dix ans ; une volatilité du prix réel des unités neuves de 10 \% par année ; un taux sans risque réel de 2 \% ; un rendement de détention de 4,5 \%, qui est l'ordre de grandeur des taux de capitalisation des immeubles résidentiels de faible hauteur publiés pour Montréal au troisième trimestre de 2026 et sert ici d'hypothèse pour un triplex neuf (\cref{ch:29}). Tous les montants sont en dollars constants de 2026 ; les coûts et la valeur de la maison sont supposés stables en termes réels sur l'horizon, ce qui est une simplification que la sensibilité relâche en faisant varier la valeur en usage. Par l'\cref{eq:41:ud}, $u = e^{0{,}10\sqrt{5}} = 1{,}2506$ et $d = 0{,}7996$ ; par l'\cref{eq:41:q}, $\Phi = (1{,}02/1{,}045)^5 = 0{,}8860$ et $q = (0{,}8860 - 0{,}7996)/(1{,}2506 - 0{,}7996) = 0{,}1915$ ; le facteur d'actualisation par période est $1{,}02^{-5} = 0{,}9057$. Les coefficients de l'\cref{eq:41:payoff} pour le triplex sous la convention du promoteur sont $a = 0{,}6729$ et $b = \dollars{1195378}$, de sorte que le seuil de la règle de la valeur actuelle nette est $b/a = \dollars{1776390}$, le produit de seuil déjà trouvé.
348+
349+\begin{figure}[htbp]
350+\centering
351+\begin{tikzpicture}[every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}, n/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, align=center, minimum width=34mm, minimum height=11mm}, m/.style={draw=brandGreen, fill=green!4!white, rounded corners=1pt, align=center, minimum width=34mm, minimum height=11mm}, fl/.style={-{Stealth[length=1.8mm]}, brandGray, thick}]
352+\node[n] (a) at (0,0) {$t = 0$ : $\mathit{GDV}_0 = 1\,225\,460$\\exercice 0 ; continuation 2 837\\\textbf{valeur de l'option : 2 837 \$}};
353+\node[n] (b) at (5.2,1.9) {$t = 1$, hausse : 1 532 535\\exercice 0 ; continuation 16 357\\valeur 16 357 \$ (attendre)};
354+\node[n] (c) at (5.2,-1.9) {$t = 1$, baisse : 979 914\\exercice 0 ; continuation 0\\valeur 0 \$};
355+\node[m] (d) at (10.4,3.4) {$t = 2$, deux hausses : 1 916 556\\$0{,}6729 \times 1\,916\,556 - 1\,195\,378$\\\textbf{exercice : 94 322 \$}};
356+\node[n] (e) at (10.4,0) {$t = 2$, une hausse : 1 225 460\\exercice 0 \$};
357+\node[n] (f) at (10.4,-3.4) {$t = 2$, deux baisses : 783 568\\exercice 0 \$};
358+\draw[fl] (a) -- node[above, sloped]{$q = 0{,}1915$} (b); \draw[fl] (a) -- node[below, sloped]{$1 - q = 0{,}8085$} (c);
359+\draw[fl] (b) -- node[above, sloped]{$q$} (d); \draw[fl] (b) -- node[below, sloped]{$1-q$} (e);
360+\draw[fl] (c) -- node[above, sloped]{$q$} (e); \draw[fl] (c) -- node[below, sloped]{$1-q$} (f);
361+\end{tikzpicture}
362+\caption{L'arbre binomial à deux périodes de cinq ans pour l'option de redéveloppement en triplex du terrain du cas 1 ($u = 1{,}2506$, $d = 0{,}7996$, facteur d'actualisation 0,9057 par période). Un seul nœud terminal est dans la monnaie ; la valeur de l'option à la date d'évaluation est $0{,}1915^2 \times 0{,}9057^2 \times 94\,322 = 2\,837$ \$, soit 0,47 \% de la valeur en usage.}\label{fig:41:binomial}
363+\figsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{option\_redeveloppement}}.}
364+\end{figure}
365+
366+La \cref{fig:41:binomial} déroule l'arbre. Après deux hausses, le produit atteint \dollars{1916556} et l'exercice rapporte $0{,}6729 \times 1916556 - 1195378 = \dollars{94322}$ ; dans les deux autres états terminaux, \dollars{1225460} et \dollars{783568}, le produit reste sous le seuil et l'option expire sans valeur. Au nœud de hausse de la première période, le produit de \dollars{1532535} est encore sous le seuil de \dollars{1776390}, l'exercice immédiat ne rapporte rien, et la continuation vaut $0{,}9057 \times 0{,}1915 \times 94322 = \dollars{16357}$ ; au nœud de baisse, la continuation est nulle. À la date d'évaluation, l'option vaut $0{,}9057 \times 0{,}1915 \times 16357 = \dollars{2837}$, soit 0,47 \% de la valeur en usage. La valeur du bien amélioré, option comprise, est donc de \dollars{602837} plutôt que de \dollars{600000} ; l'arrondi au \dollars{5000} de la conclusion du \cref{ch:20} l'absorbe entièrement. Les options américaine et européenne coïncident ici parce que l'exercice anticipé n'est jamais optimal : la frontière d'exercice à la première date de décision est à \dollars{1874959}, au-dessus du seuil de la valeur actuelle nette, et le nœud de hausse en est loin. Le résultat chiffre ce que l'intuition suggérait : pour une maison de 28 ans en bon état dont le bâtiment représente plus de la moitié de la valeur, l'option de redéveloppement existe, mais elle est profondément hors de la monnaie et ne pèse presque rien. Le \cref{ch:08} avait trouvé, pour une maison de 1958 de Val-Fictif dont le terrain rezoné valait plus que la maison, une prime de 22,7 \% ; les deux résultats encadrent la réalité des quartiers en densification, où la prime est concentrée sur les bâtiments les plus anciens et les plus petits, conformément aux mesures de \textcite{clappBardosWong2012} et de \textcite{dyeMcmillen2007}.
367+
368+\subsection{Le seuil de Capozza et Helsley appliqué au sujet}
369+
370+L'\cref{eq:41:ch-seuil} offre une lecture complémentaire en termes de rentes. En interprétant la rente de l'usage actuel comme le rendement de détention de la maison, $R_A = 0{,}045 \times 600000 = \dollars{27000}$ par année, la rente du triplex comme $R_T = 0{,}045 \times 1225460 = \dollars{55146}$ par année, le coût de conversion comme la somme des coûts, de la démolition et des intérêts, $C = \dollars{716656}$, le taux comme $r = 4{,}5$ \%, la dérive comme 1 \% de la rente du triplex par année ($g = \dollars{551}$) et la volatilité comme 10 \% de cette rente ($\sigma = \dollars{5515}$ par année), on obtient $\alpha = 3{,}92 \times 10^{-5}$, un seuil de certitude $R_A + rC = \dollars{59250}$ et une prime d'irréversibilité $1/\alpha - g/r = \dollars{13249}$, d'où $R^{*} = \dollars{72498}$. Sous certitude, la conversion exigerait que la rente du triplex dépasse de 7,4 \% son niveau actuel ; sous incertitude, de 31,5 \%. Le seuil de certitude est plus bas que celui de la méthode résiduelle (une hausse de 45 \% du produit) parce que le modèle de Capozza et Helsley ne compte ni frais de vente, ni marge de promoteur, ni contribution pour fins de parcs, ni délai de construction : il décrit un propriétaire qui convertit lui-même, sans friction, et il est en cela le pendant en temps continu de la convention de la construction sur commande. Ce que le modèle ajoute, et que la méthode résiduelle ne peut pas donner, est la mesure de l'attente : l'incertitude relève le seuil de conversion d'un quart, et elle le ferait davantage encore si la volatilité était plus forte. L'\cref{ex:41:6} reprend le calcul avec d'autres paramètres.
371+
372+\section{Sensibilité : ce qui pèse le plus}\label{sec:41:sensibilite}
373+
374+Les conclusions de la \cref{sec:41:exemple} reposent sur des hypothèses que l'évaluateur fixe par jugement. Le \cref{tab:41:sensibilite} fait varier une à une les principales autour du cas de base du triplex sous la convention du promoteur, dont la valeur résiduelle est de \dollars{229265}. Le prix des unités domine : une variation de 15 \% fait passer le résidu de \dollars{105569} à \dollars{352962}, soit de $-54$ à $+54$ \%, conformément à l'\cref{eq:41:levier}, dont l'élasticité vaut ici $1 + b/V_L = 3{,}6$. Le coût de construction vient ensuite, avec une variation de $\pm 10$ \% qui déplace le résidu de $\pm 25$ \% ; puis la marge, dont le passage de 10 à 20 \% du produit retranche \dollars{101807}. Le délai, le taux et les frais de vente pèsent moins, mais ils ne sont pas négligeables : six mois de plus coûtent \dollars{11683}, et deux points de frais de vente \dollars{20361}. La contribution pour fins de parcs, lorsqu'elle est exigible, retranche exactement $\tau/(1+\tau) = 9{,}1$ \% du résidu hors contribution. La \cref{fig:41:surface} généralise le tableau en représentant la valeur résiduelle sur le plan des prix et des coûts : les isovaleurs sont des droites, parce que le résidu est linéaire dans l'un et l'autre ; la droite du prix des terrains unifamiliaux passe à 6 \% au-dessus du cas de base dans la direction des prix et à 7 \% au-dessous dans celle des coûts, et la droite de la démolition rentable, à 45 \% et $-80$ \% respectivement, est hors de portée de toute variation plausible des coûts seuls.
375+
376+\begin{table}[htbp]
377+\caption{Sensibilité de la valeur résiduelle du triplex (convention du promoteur, cas de base \dollars{229265}) à chaque hypothèse, les autres étant maintenues}\label{tab:41:sensibilite}
378+\centering
379+\small
380+\begin{tabular}{llS[table-format=6.0]lS[table-format=6.0]S[table-format=-3.0]}
381+\toprule
382+Hypothèse & Variante basse & {$V_L$ (\$)} & Variante haute & {$V_L$ (\$)} & {Étendue (\%)} \\
383+\midrule
384+Prix des unités neuves & $-15$ \% & 105569 & $+15$ \% & 352962 & 108 \\
385+Coût de construction & $-10$ \% & 286246 & $+10$ \% & 172285 & 50 \\
386+Marge du promoteur & 10 \% du produit & 280169 & 20 \% du produit & 178362 & 44 \\
387+Frais de vente & 2 \% & 249627 & 6 \% & 208904 & 18 \\
388+Contribution pour fins de parcs & 0 \% & 252192 & 10 \% & 229265 & 10 \\
389+Durée totale & 12 mois & 241459 & 24 mois & 217582 & 10 \\
390+Taux du prêt et du portage & 5,00 \% & 236137 & 7,50 \% & 221939 & 6 \\
391+\bottomrule
392+\end{tabular}
393+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{sensibilite\_triplex}} ; étendue = (haute $-$ basse)/cas de base en valeur absolue.}
394+\end{table}
395+
396+\begin{figure}[htbp]
397+\centering
398+\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-surface-prix-cout.pdf}
399+\caption{Valeur résiduelle du terrain pour le triplex (convention du promoteur) selon la variation du prix des unités neuves et du coût de construction. Les isovaleurs sont des droites ; celle du prix des terrains unifamiliaux par comparaison (tireté) est proche du cas de base, celle de la démolition rentable (trait plein, $V_L = \dollars{600000}$) exige une hausse des prix d'environ 45 \% à coûts constants.}\label{fig:41:surface}
400+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{surface\_prix\_cout}}.}
401+\end{figure}
402+
403+La valeur de l'option est, elle, gouvernée par la volatilité et par la distance à la frontière. Le \cref{tab:41:sens-option} croise la volatilité du prix des unités et la valeur de la maison en usage, celle-ci étant abaissée à \dollars{450000} et \dollars{300000} pour représenter un bâtiment plus ancien ou plus déprécié, le terrain restant le même. À 5 \% de volatilité, l'option ne vaut rien dans les trois cas : aucun état de l'arbre n'atteint le seuil. À 10 \%, elle vaut \dollars{2837} pour la maison du sujet, \dollars{7348} pour une maison de \dollars{450000} et \dollars{23568} pour une maison de \dollars{300000}. À 20 \%, les primes montent à \dollars{47939}, \dollars{59015} et \dollars{95247}, soit 8, 13 et 32 \% des valeurs en usage respectives. La \cref{fig:41:frontiere} représente ces courbes et la frontière d'exercice à la première date de décision : au-dessous de 6 \% de volatilité, la frontière se confond avec le seuil de la valeur actuelle nette, parce que le rendement de détention perdu en attendant l'emporte sur toute valeur d'attente ; au-delà, elle s'en écarte de plus en plus, et à 20 \% de volatilité il faudrait que le produit dépasse le seuil de la valeur actuelle nette d'un cinquième pour que l'exercice immédiat soit préférable à l'attente. Pour l'évaluateur, deux conséquences. La volatilité est un paramètre qu'il ne peut pas fixer arbitrairement : elle se mesure sur les indices de prix (\cref{ch:35}) et, pour des unités neuves, elle est vraisemblablement de l'ordre de 5 à 15 \% par année en termes réels, ce qui place la prime du sujet entre zéro et quelques dizaines de milliers de dollars. Et la prime n'a de pertinence que pour les biens dont la contribution du bâtiment est faible : pour la maison du sujet, elle est absorbée par l'arrondi de la conclusion ; pour une maison de \dollars{300000} sur le même terrain, elle serait une composante de la valeur que l'évaluateur devrait expliquer et, si des ventes de démolition dans le secteur la confirment, retenir.
404+
405+\begin{table}[htbp]
406+\caption{Prime de l'option de redéveloppement en triplex (\$, arbre à deux périodes de cinq ans) selon la volatilité annuelle du prix des unités et la valeur de la maison en usage}\label{tab:41:sens-option}
407+\centering
408+\small
409+\begin{tabular}{S[table-format=6.0]S[table-format=1.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=6.0]}
410+\toprule
411+{Valeur en usage (\$)} & {$\sigma = 5$ \%} & {$\sigma = 10$ \%} & {$\sigma = 15$ \%} & {$\sigma = 20$ \%} & {$\sigma = 25$ \%} \\
412+\midrule
413+600000 & 0 & 2837 & 21420 & 47939 & 77556 \\
414+450000 & 0 & 7348 & 29116 & 59015 & 95946 \\
415+300000 & 0 & 23568 & 58416 & 95247 & 132208 \\
416+\bottomrule
417+\end{tabular}
418+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, fonction \texttt{option\_redeveloppement}} ; $r = 2$ \%, $y = 4{,}5$ \%, coûts et produit du triplex du \cref{tab:41:residuel}.}
419+\end{table}
420+
421+\begin{figure}[htbp]
422+\centering
423+\includegraphics[width=\textwidth]{ch41/ch41-fig-frontiere-option.pdf}
424+\caption{(a) Prime de l'option de redéveloppement en triplex selon la volatilité du prix des unités, pour trois valeurs de la maison en usage : la prime croît avec la volatilité et décroît avec la contribution du bâtiment. (b) Frontière d'exercice au premier nœud de décision, rapportée au produit de vente actuel, et seuil de la règle de la valeur actuelle nette : la zone entre les deux est celle où le projet est rentable mais où attendre vaut davantage.}\label{fig:41:frontiere}
425+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch41\_figures.py}, fonction \texttt{fig\_frontiere}}.}
426+\end{figure}
427+
428+\begin{quebec}[Le cadre québécois de l'analyse de développement]
429+Les contraintes légales qui entrent dans la méthode résiduelle et dans le premier test de la PHMU sont, pour l'essentiel, celles du \cref{ch:08}, et l'évaluateur les vérifie à la date d'évaluation dans leur version en vigueur. La contribution pour fins de parcs ne peut excéder 10 \% de la superficie ou de la valeur du site \parencite[art.~117.4]{lau}, et les articles 117.1 à 117.4 ont été réécrits par la Loi modifiant la Loi sur l'aménagement et l'urbanisme et d'autres dispositions, sanctionnée le 1\ier{} juin 2023 \parencite{loi2023c12} ; la valeur du site qui sert d'assiette relève elle-même de l'évaluateur agréé et peut être contestée, comme l'arrêt \emph{Ville de Sainte-Julie c. Investissements Laroda inc.} de 2025 l'a rappelé pour une cession excédentaire \parencite{laroda2025}. Un règlement d'inclusion peut assujettir le permis à une entente sur le logement abordable, social ou familial \parencite[art.~145.30.1]{lau}, dont la charge se transmet au terrain. La densité ne peut être obtenue par dérogation mineure, qui exclut l'usage et la densité d'occupation du sol \parencite[art.~145.1]{lau}, mais seulement par un projet particulier \parencite[art.~145.36]{lau} ou une modification du règlement, avec la probabilité et le délai que l'\cref{eq:8:esperance} pondère. En zone agricole, aucun usage autre que l'agriculture n'est permis sans l'autorisation de la Commission de protection du territoire agricole \parencite[art.~26]{lptaa}. Le changement d'utilisation d'un terrain inscrit comme contaminé est subordonné à l'approbation d'un plan de réhabilitation \parencite[art.~31.53 et 31.54]{lqe}, et les coûts de décontamination entrent dans la démolition et la préparation du site ; la construction neuve d'une résidence est interdite dans les classes d'exposition très élevée, élevée et modérée du cadre des zones inondables en vigueur depuis le 1\ier{} mars 2026 (\cref{ch:43}). Enfin, pour les coûts, le Québec dispose de l'IPCB de Statistique Canada pour Montréal \parencite{statcanIPCB} et des conventions collectives de la construction \parencite{ccqSalaires}, mais d'aucun barème public de coût multilogement : la transposition du devis unifamilial par le ratio des indices, employée ici comme au \cref{ch:23}, est un pis-aller déclaré. Textes à jour au 15 octobre 2026, consultés le 31 octobre 2026.
430+\end{quebec}
431+
432+\begin{erreurs}
433+\begin{itemize}
434+\item Appliquer les quatre tests dans le désordre, ou omettre les deux premiers : chiffrer la faisabilité d'un usage que la grille n'autorise pas, ou que le terrain ne peut physiquement recevoir, produit une valeur résiduelle sans objet.
435+\item Confondre la PHMU du terrain réputé vacant et celle du bien amélioré : conclure à la démolition parce que le terrain nu vaudrait davantage sous un autre usage, sans vérifier que cette valeur, nette de la démolition, excède la valeur du bien dans son usage actuel (\cref{eq:41:ameliore}).
436+\item Comparer des valeurs résiduelles calculées avec des marges incohérentes avec l'acheteur type de chaque usage, ou appliquer à une maison bâtie sur commande la marge d'un promoteur-marchand, et inversement.
437+\item Compter le risque deux fois, dans une marge pleine et dans un taux d'actualisation « de risque » ; ou compter l'incitatif de l'entrepreneur dans le coût neuf \emph{et} une marge de promoteur dans le résidu.
438+\item Oublier la contribution pour fins de parcs, la charge d'inclusion, les frais de vente ou les intérêts intérimaires, qui sont chacun de l'ordre de 2 à 10 \% du produit et dont l'omission gonfle le résidu d'autant, amplifiée par l'effet de levier de l'\cref{eq:41:levier}.
439+\item Exprimer les prix de sortie à une date de livraison future avec une croissance anticipée tout en actualisant le résidu : la croissance est une source d'option, non un intrant certain.
440+\item Ajouter une prime d'option calculée à la valeur d'un bien sans que des ventes du marché la confirment, ou, à l'inverse, évaluer une maison ancienne dans un quartier en densification par comparaison avec des maisons récentes, en ignorant que ses comparables sont des terrains.
441+\end{itemize}
442+\end{erreurs}
443+
444+\begin{limites}
445+Les modèles de ce chapitre sont des modèles d'évaluation et d'économie urbaine, non des règles de droit ni des exigences des normes professionnelles ; la définition de la PHMU et l'ordre des quatre tests suivent la pratique nord-américaine telle que la codifie l'Appraisal Institute, et le lecteur consultera les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ et les normes internationales pour les exigences formelles de contenu du rapport (\cref{ch:10}). Le cadre juridique est décrit d'après les lois à jour au 15 octobre 2026, non d'après les règlements municipaux, qui varient et que l'évaluateur doit lire pour chaque mandat ; le zonage de l'exemple est fictif. Les résultats numériques de la \cref{sec:41:exemple} proviennent d'un dossier synthétique et d'hypothèses déclarées : les prix de sortie des unités neuves reposent sur un modèle hédonique estimé sur des maisons isolées et sur des décotes de copropriété qui ne sont pas des mesures ; les coûts des plex sont une transposition du devis unifamilial par le ratio des indices IPCB, faute de barème multilogement public ; la marge de 15 \%, les frais de vente de 4 \%, la démolition de \dollars{30000}, les durées, la part financée et le taux de portage sont des choix de l'auteur ; aucun de ces chiffres ne décrit le marché de Gatineau et aucun ne doit servir de référence. Le modèle binomial suppose une volatilité, un rendement de détention et un taux réel constants, des coûts et une valeur en usage stables en termes réels, et deux dates de décision seulement ; le seuil de Capozza et Helsley suppose une rente brownienne arithmétique et un propriétaire sans friction. Les primes d'option obtenues sont des ordres de grandeur conditionnels à ces hypothèses, et elles ne sauraient être ajoutées à une conclusion de valeur sans confirmation par des ventes. Enfin, la littérature citée a été vérifiée dans ses références bibliographiques, mais ses résultats empiriques, notamment la prime d'attente d'environ 6 \% de \textcite{quigg1993}, concernent des marchés américains des années 1970 à 2000 et ne se transposent pas tels quels au Québec de 2026.
446+\end{limites}
447+
448+\begin{synthese}
449+\begin{itemize}
450+\item La plus haute et meilleure utilisation est l'usage légalement permis, physiquement possible et financièrement faisable qui confère au bien la valeur la plus élevée ; les quatre tests s'appliquent dans cet ordre, les trois premiers construisent l'ensemble des usages admissibles et le quatrième désigne le maximum. La Loi sur la fiscalité municipale en contient l'idée sous le nom d'« utilisation la plus probable » (art.~43 et 46).
451+\item L'analyse se conduit deux fois pour un bien bâti : terrain réputé vacant, qui fonde l'évaluation du terrain et le choix des terrains comparables ; bien amélioré, qui conclut au maintien, à la conversion ou à la démolition selon $V = \max\{V_{\text{act}}, V_L^{*} - D\}$. La démolition n'est justifiée que si la contribution du bâtiment est inférieure à l'opposé du coût de démolition ; les ventes de démolition-reconstruction révèlent la valeur du terrain par $\hat V_L = P_{\text{td}} + D$.
452+\item La méthode résiduelle de développement avec calendrier s'écrit $V_L = [\mathit{GDV}(1 - c_v) - C - D - F - M]/[(1+\tau)(1+r_L)^{T}]$ ; elle est linéaire dans le produit de vente, son élasticité au produit excède l'unité et ses résultats ne sont comparables entre usages que si la marge est celle de l'acheteur type de chaque usage.
453+\item L'irréversibilité du développement donne une valeur à l'attente : l'arbre binomial à deux périodes, avec la probabilité risque-neutre $q = (\Phi - d)/(u - d)$ et $\Phi = [(1+r)/(1+y)]^{\Delta t}$, évalue l'option de redéveloppement et sa frontière d'exercice ; le seuil de Capozza et Helsley, $R^{*} = R_A + rC + (1/\alpha - g/r)$, montre que l'incertitude relève le seuil de conversion d'une prime d'irréversibilité.
454+\item Pour le terrain du cas 1 sous un zonage fictif de un à trois logements, la PHMU du terrain vacant est la maison unifamiliale (résidu de \dollars{266187} contre \dollars{229265} pour le triplex de promoteur, prix du marché \dollars{277000}) et celle du bien amélioré est le maintien de la maison (contribution du bâtiment \dollars{323000}) ; l'option de redéveloppement vaut \dollars{2837}, soit 0,47 \% de la valeur, et il faudrait une hausse de 45 \% des prix des unités neuves pour que la démolition devienne rentable.
455+\item Le prix des unités neuves domine la sensibilité de la valeur résiduelle, suivi du coût et de la marge ; la volatilité des prix et la contribution du bâtiment gouvernent la valeur de l'option, qui n'est jamais retenue sans la confirmation du marché.
456+\end{itemize}
457+\end{synthese}
458+
459+\section*{Exercices}
460+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
461+
462+\begin{exercice}[1]{Les quatre tests}{ex:41:1}
463+Un terrain de \msq{900} dans une zone qui admet de un à quatre logements (\msq{200} de terrain par logement au minimum, coefficient d'occupation du sol de 0,70, trois étages, une case de stationnement par logement) est occupé par une maison de 1952 en mauvais état. Un promoteur envisage un immeuble de six logements de \msq{80} et un autre de quatre logements de \msq{110}. Pour chaque programme, dites s'il franchit le test légal (nombre de logements, aire de plancher avec un rapport habitable/brut de 0,85) et, pour celui qui le franchit, quelles vérifications physiques restent à faire. Expliquez pourquoi le test financier n'a pas à être conduit pour le programme écarté.
464+\end{exercice}
465+
466+\begin{exercice}[1]{Valeur résiduelle statique}{ex:41:2}
467+Un terrain rezoné admet six logements de \msq{95} vendus \parmsq{4900} ; coûts directs \parmsq{2300}, indirects 15 \% des directs, démolition \dollars{45000}, marge de 15 \% et financement de 3 \% du produit, contribution pour fins de parcs de 10 \% de la valeur du site. (a) Calculez la valeur résiduelle par l'\cref{eq:8:residuel} (fonction \texttt{valeur\_residuelle\_redeveloppement} du \cref{ch:08}). (b) Recalculez-la sans financement ni contribution et commentez l'écart. (c) La maison existante vaut \dollars{520000} dans son usage actuel : la démolition est-elle justifiée ?
468+\end{exercice}
469+
470+\begin{exercice}[2]{Calendrier et financement intérimaire}{ex:41:3}
471+Un projet de quatre logements de \msq{100} sur un terrain vacant est vendu \dollars{1800000} au total après 24 mois ; coûts directs et indirects \parmsq{2300} ; frais de vente 4 \% ; marge 15 \% du produit ; prêt de construction de 75 \% des coûts à 6,19 \%, mise de fonds couvrant les premiers déboursés ; contribution pour fins de parcs 10 \% ; portage du terrain à 6,19 \%. (a) Calculez les intérêts intérimaires par l'\cref{eq:23:interets-mise}, le reste à la livraison et la valeur résiduelle par l'\cref{eq:41:residuel}. (b) Comparez à la valeur statique ($r_L = 0$) et exprimez le coût du temps en pourcentage. (c) Écrivez la forme linéaire \eqref{eq:41:lineaire} et calculez l'élasticité \eqref{eq:41:levier} au produit de vente.
472+\end{exercice}
473+
474+\begin{exercice}[2]{Extraction par les démolitions-reconstructions}{ex:41:4}
475+Dans un secteur en densification, une maison de 1948 s'est vendue \dollars{455000} à un acheteur qui a obtenu un permis de démolition le mois suivant ; la démolition est estimée à \dollars{28000}. (a) Extrayez la valeur du terrain par l'\cref{eq:41:teardown} et calculez la contribution du bâtiment. (b) Une maison voisine de 1996, de \msq{150}, s'est vendue \dollars{610000} ; en supposant le même terrain, calculez sa contribution de bâtiment et discutez si elle peut servir de comparable à la maison de 1948. (c) Expliquez, en vous appuyant sur \textcite{dyeMcmillen2007} et \textcite{mcmillenOsullivan2013}, ce qu'un modèle hédonique estimé sur ce secteur mesurerait pour le coefficient de l'âge.
476+\end{exercice}
477+
478+\begin{exercice}[2]{Arbre binomial à deux périodes}{ex:41:5}
479+Un bien vaut \dollars{700000} en usage ; son redéveloppement rapporterait $0{,}70 \times \mathit{GDV} - 800000$ (valeur en usage comprise dans le second terme), avec $\mathit{GDV}_0 = \dollars{1000000}$. Paramètres : deux périodes de cinq ans, $\sigma = 15$ \%, $r = 2$ \%, $y = 4$ \%. (a) Calculez $u$, $d$, $\Phi$ et $q$ par les \cref{eq:41:ud,eq:41:q}. (b) Construisez l'arbre et calculez la valeur de l'option américaine par l'\cref{eq:41:binomial} et celle de l'option européenne. (c) Au nœud de hausse de la première période, l'exercice immédiat est-il optimal ? Interprétez l'écart entre les deux options. (d) Que vaut la règle de la valeur actuelle nette à la date d'évaluation ?
480+\end{exercice}
481+
482+\begin{exercice}[3]{Seuil de Capozza et Helsley}{ex:41:6}
483+(a) Dérivez l'\cref{eq:41:ch-seuil} à partir de l'\cref{eq:41:ch-ode}, en justifiant la forme de la solution, la condition de bornitude et les deux conditions au seuil. (b) Avec $R_A = \dollars{18000}$ par année, $C = \dollars{600000}$, $r = 5$ \%, $g = \dollars{400}$ par année et $\sigma = \dollars{4000}$ par année, calculez $\alpha$, le seuil de certitude, la prime d'irréversibilité et $R^{*}$ ; si la rente courante du nouvel usage est de \dollars{42000}, de combien doit-elle croître ? (c) Montrez que la prime tend vers zéro quand $\sigma \to 0$ et qu'elle est croissante en $\sigma$. (d) Discutez la correspondance entre $R_A$, $C$ et les postes de la méthode résiduelle, et ce que le modèle omet.
484+\end{exercice}
485+
486+\begin{exercice}[3]{PHMU et conventions de marge}{ex:41:7}
487+À l'aide du script \texttt{analysis/python/cases/ch41\_phmu.py}, (a) recalculez les valeurs résiduelles des trois usages permis en portant la marge du promoteur à 12 \% et les frais de vente à 3 \%, et dites si la PHMU du terrain vacant change ; (b) trouvez, par l'\cref{eq:41:seuil}, la hausse du prix des unités neuves à partir de laquelle le triplex de promoteur dépasse la maison neuve bâtie sur commande ; (c) abaissez la valeur en usage de la maison à \dollars{350000} (bâtiment très déprécié) et calculez la prime de l'option à 10 et 15 \% de volatilité ; (d) rédigez une note de 200 mots sur la façon dont vous présenteriez, dans un rapport, une conclusion de PHMU du terrain vacant qui diffère de celle du bien amélioré, et sur les ventes du marché que vous chercheriez pour la soutenir.
488+\end{exercice}
489+
490+\section*{Pour aller plus loin}
491+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
492+
493+Le traitement de référence de la plus haute et meilleure utilisation, de ses quatre tests et de l'analyse du terrain réputé vacant et du bien amélioré est celui de l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026}, dont l'édition canadienne adapte le vocabulaire \parencite{appraisalCdn} et dont le dictionnaire fixe les définitions \parencite{aiDictionary2022} ; les Normes internationales d'évaluation en donnent la définition condensée citée au début du chapitre \parencite{ivs2025}. L'analyse de développement et l'évaluation des projets, avec leur financement, leur profit et leur risque, sont développées par \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}, qui présentent aussi l'arbre binomial comme outil d'évaluation de l'option d'attente, et par \textcite{byrne1996} pour le traitement du risque et de l'incertitude dans la décision de développer. Le fondement théorique de l'option réelle foncière est dû à \textcite{titman1985}, et sa version en temps continu, avec la décomposition du prix du terrain en valeur d'usage, coût de conversion, prime de croissance et prime d'irréversibilité, à \textcite{capozzaHelsley1989} et \textcite{capozzaHelsley1990}. Les tests empiriques sont ceux de \textcite{quigg1993} et de \textcite{cunningham2006} sur les terrains de Seattle, et de \textcite{munneke1996} et \textcite{munnekeWomack2020} sur la décision et la valeur de redéveloppement. Sur les démolitions-reconstructions comme révélateur de la valeur du terrain, on lira \textcite{rosenthalHelsley1994}, \textcite{dyeMcmillen2007} et \textcite{mcmillenOsullivan2013}, et, pour l'intégration de l'option de redéveloppement dans les modèles hédoniques, \textcite{clappSalavei2010} et \textcite{clappBardosWong2012}. Sur l'asymétrie que la durabilité du bâti introduit dans l'ajustement des marchés, \textcite{glaeserGyourko2005} éclairent pourquoi les contributions de bâtiment négatives sont fréquentes dans les villes en déclin et rares dans celles qui croissent. Enfin, le texte de la Loi sur l'aménagement et l'urbanisme \parencite{lau}, celui de la Loi sur la fiscalité municipale \parencite{lfm} et celui de la Loi sur la protection du territoire et des activités agricoles \parencite{lptaa}, dans leur version à jour, restent la première lecture pour le premier des quatre tests.
modified manuscript/chapters/ch42.tex +250 −18
@@ -35,16 +35,16 @@ La copropriété est un marché à part entière, avec ses prix, ses délais et
35 \toprule 35 \toprule
36 Indicateur & Valeur & Source et période \\ 36 Indicateur & Valeur & Source et période \\
37 \midrule 37 \midrule
38−Prix médian Centris, copropriété, T3 2026 & Province \dollars{400000} (0~\% a/a) ; RMR de Montréal \dollars{435000} ($+2$~\%) ; île de Montréal \dollars{477500} ($+1$~\%) ; RMR de Québec \dollars{334900} ($+6$~\%) ; RMR de Gatineau \dollars{297450} ($-5$~\%) ; RMR de Sherbrooke \dollars{327000} ($+4$~\%) ; RMR de Trois-Rivières \dollars{287000} & APCIQ, communiqué du 14 octobre 2026 \parencite{apciqt32026} \\ 38+Prix médian Centris, copropriété, T3 2026 & Province \dollars{400000} (0~\% a/a) ; RMR de Montréal \dollars{435000} ($+2$~\%) ; île de Montréal \dollars{477500} ($+1$~\%) ; RMR de Québec \dollars{334900} ($+6$~\%) ; RMR de Gatineau \dollars{297450} ($-5$~\%) ; RMR de Sherbrooke \dollars{327000} ($+4$~\%) ; RMR de Trois-Rivières \dollars{287000} & APCIQ, communiqué du 14 octobre 2026 \\
39−Délais de vente médians, copropriété, T3 2026 & Province 58 jours ; Montréal 61 ; Québec 34 ; Gatineau 36 & APCIQ, T3 2026 \parencite{apciqt32026,apciqgatineaut32026} \\ 39+Délais de vente médians, copropriété, T3 2026 & Province 58 jours ; Montréal 61 ; Québec 34 ; Gatineau 36 & APCIQ, communiqué et baromètre de Gatineau, T3 2026 \\
40−Prix médian par secteur, T3 2026 & Rosemont \dollars{563200} ; Villeray \dollars{586500} (petit échantillon) ; La Cité--Basse-Ville et Limoilou \dollars{320000} ($+18$~\%) ; ville de Gatineau \dollars{295000} & Baromètres FSMI \parencite{apciqbaromontreal2026,apciqbaroquebec2026,apciqgatineaut32026} \\ 40+Prix médian par secteur, T3 2026 & Rosemont \dollars{563200} ; Villeray \dollars{586500} (petit échantillon) ; La Cité--Basse-Ville et Limoilou \dollars{320000} ($+18$~\%) ; ville de Gatineau \dollars{295000} & APCIQ, baromètres FSMI de Montréal, de Québec et de Gatineau, T3 2026 \\
41−Valeur moyenne au rôle, copropriété & Montréal \dollars{549600} (rôle 2026-2028, référence 1\ier{} juillet 2024) ; Gatineau \dollars{306300} $\to$ \dollars{320700} ($+4{,}70$~\%, rôle 2027-2029, référence 1\ier{} juillet 2025) ; agglomération de Québec \dollars{301539} ($+21{,}6$~\%, rôle 2025-2027, référence 1\ier{} juillet 2023) & Villes de Montréal, Gatineau et Québec \parencite{montrealrole2026,gatineaurole2027,quebecrole2025} \\ 41+Valeur moyenne au rôle, copropriété & Montréal \dollars{549600} (rôle 2026-2028, référence 1\ier{} juillet 2024) ; Gatineau \dollars{306300} $\to$ \dollars{320700} ($+4{,}70$~\%, rôle 2027-2029, référence 1\ier{} juillet 2025) ; agglomération de Québec \dollars{301539} ($+21{,}6$~\%, rôle 2025-2027, référence 1\ier{} juillet 2023) & Villes de Montréal (communiqué du 10 septembre 2025), de Gatineau (dépôt du 27 octobre 2026) et de Québec (rôle 2025) \\
42−Univers des copropriétés et part offerte en location, octobre 2025 & RMR de Montréal \num{233535} unités, 21,9~\% louées ; RMR de Québec \num{36816}, 15,5~\% ; Gatineau (partie québécoise) \num{10620}, 27,4~\% & SCHL, Enquête sur les logements locatifs, tableaux 4.3.1 \parencite{schlrmltables2025} \\ 42+Univers des copropriétés et part offerte en location, octobre 2025 & RMR de Montréal \num{233535} unités, 21,9~\% louées ; RMR de Québec \num{36816}, 15,5~\% ; Gatineau (partie québécoise) \num{10620}, 27,4~\% & SCHL, Enquête sur les logements locatifs, tableaux 4.3.1 \\
43−Taux d'inoccupation, copropriétés offertes en location, octobre 2025 & Montréal 2,1~\% (1,4~\% en 2024) ; Québec 0,6~\% ; Gatineau 1,0~\% ; appartements locatifs traditionnels : 2,9~\%, 2,4~\% et 3,8~\% & SCHL, tableaux 4.1.1 \parencite{schlrmltables2025} \\ 43+Taux d'inoccupation, copropriétés offertes en location, octobre 2025 & Montréal 2,1~\% (1,4~\% en 2024) ; Québec 0,6~\% ; Gatineau 1,0~\% ; appartements locatifs traditionnels : 2,9~\%, 2,4~\% et 3,8~\% & SCHL, Enquête sur les logements locatifs, tableaux 4.1.1 \\
44 Compte de taxes moyen d'une copropriété, Montréal, 2026 & \dollars{3301} (unifamiliale : \dollars{4939}) & La Presse, 19 octobre 2026, source secondaire\footnotemark \\ 44 Compte de taxes moyen d'une copropriété, Montréal, 2026 & \dollars{3301} (unifamiliale : \dollars{4939}) & La Presse, 19 octobre 2026, source secondaire\footnotemark \\
45 \bottomrule 45 \bottomrule
46 \end{tabularx} 46 \end{tabularx}
47−\tabsource{compilation de l'auteur d'après les sources citées, consultées le 31 octobre 2026 ; les prix APCIQ sont des médianes des ventes conclues par courtier (système Centris) et non de l'ensemble des mutations.} 47+\tabsource{compilation de l'auteur d'après \textcite{apciqt32026,apciqgatineaut32026,apciqbaromontreal2026,apciqbaroquebec2026,montrealrole2026,gatineaurole2027,quebecrole2025,schlrmltables2025}, consultés le 31 octobre 2026 ; les prix APCIQ sont des médianes des ventes conclues par courtier (système Centris) et non de l'ensemble des mutations.}
48 \end{table} 48 \end{table}
49 \footnotetext{Chiffre rapporté par La Presse (« Taxes locales à Montréal : un bond de près de 9~\% en 2027 », 19 octobre 2026) d'après les documents budgétaires de la Ville ; le document officiel n'a pas été lu (\texttt{sources/notes-E.md}, §~ch.~28).} 49 \footnotetext{Chiffre rapporté par La Presse (« Taxes locales à Montréal : un bond de près de 9~\% en 2027 », 19 octobre 2026) d'après les documents budgétaires de la Ville ; le document officiel n'a pas été lu (\texttt{sources/notes-E.md}, §~ch.~28).}
50 50
@@ -55,7 +55,7 @@ Compte de taxes moyen d'une copropriété, Montréal, 2026 & \dollars{3301} (uni
55 \figsource{APCIQ, Statistiques résidentielles Centris, 3\ieme{} trimestre 2026, communiqué du 14 octobre 2026 \parencite{apciqt32026} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch42\_medianes.py} ; chiffres cités tels que publiés.} 55 \figsource{APCIQ, Statistiques résidentielles Centris, 3\ieme{} trimestre 2026, communiqué du 14 octobre 2026 \parencite{apciqt32026} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch42\_medianes.py} ; chiffres cités tels que publiés.}
56 \end{figure} 56 \end{figure}
57 57
58−Trois traits de ce tableau pèsent sur la pratique. D'abord, la copropriété est un marché de grandes villes : la RMR de Montréal concentre près d'un quart de million d'appartements en copropriété, dont plus d'une sur cinq est offerte en location, ce qui fait de la fraction louée un bien courant et de l'investisseur un acheteur significatif (\cref{sec:42:locative}). Ensuite, les prix régionaux diffèrent autant que ceux des maisons, et la fraction de \msq{98} qui se vend autour de \dollars{380000} dans l'exemple de ce chapitre serait, à caractéristiques égales, nettement plus chère dans un quartier central de l'île de Montréal et moins chère à Gatineau ; les médianes du \cref{tab:42:marche} ne sont donc pas des valeurs, mais des repères pour calibrer l'ordre de grandeur de l'exemple et pour vérifier qu'une conclusion n'est pas aberrante. Enfin, la copropriété est le segment où la conjoncture se lit le plus vite : les délais de vente de 2026 y sont plus longs que pour les unifamiliales partout sauf à Québec, et l'offre en forte hausse à Montréal signale un marché où l'acheteur a retrouvé du choix, ce qui affecte directement l'ajustement de conditions du marché et la durée d'exposition à retenir. 58+Trois traits de ce tableau pèsent sur la pratique. D'abord, la copropriété est un marché de grandes villes : la RMR de Montréal concentre près d'un quart de million d'appartements en copropriété, dont plus d'une sur cinq est offerte en location, ce qui fait de la fraction louée un bien courant et de l'investisseur un acheteur significatif (\cref{sec:42:locative}). Ensuite, les prix régionaux diffèrent autant que ceux des maisons, et la fraction de \msq{98} qui se vend autour de \dollars{380000} dans l'exemple de ce chapitre serait, à caractéristiques égales, nettement plus chère dans un quartier central de l'île de Montréal et moins chère à Gatineau ; les médianes du \cref{tab:42:marche} ne sont donc pas des valeurs, mais des repères pour calibrer l'ordre de grandeur de l'exemple et pour vérifier qu'une conclusion n'est pas aberrante. Enfin, la copropriété est le segment où la conjoncture se lit le plus vite : les délais de vente de 2026 y sont plus longs que pour les unifamiliales dans toutes les régions du \cref{tab:42:marche}, et l'offre en forte hausse à Montréal signale un marché où l'acheteur a retrouvé du choix, ce qui affecte directement l'ajustement de conditions du marché et la durée d'exposition à retenir.
59 59
60 \subsection{Les documents que l'évaluateur obtient} 60 \subsection{Les documents que l'évaluateur obtient}
61 61
@@ -101,6 +101,15 @@ où $\alpha_b$ est un effet propre à l'immeuble qui résume sa localisation, so
101 \end{equation} 101 \end{equation}
102 de sorte que la comparaison intra-immeuble élimine, par construction, toutes les différences de localisation, d'immeuble, de charges et de syndicat, et ne laisse à ajuster que la date et les caractéristiques de la fraction. C'est exactement le mécanisme des ventes appariées du \cref{ch:07} : la composante commune disparaît par différence et la variance de l'estimateur se réduit à celle des bruits de transaction, selon l'\cref{eq:7:var-paires}. Une vente récente d'une fraction semblable dans le même immeuble est donc le comparable le plus informatif qui soit, et la grille lui accorde un poids élevé même si elle est un peu plus ancienne qu'une vente externe. 102 de sorte que la comparaison intra-immeuble élimine, par construction, toutes les différences de localisation, d'immeuble, de charges et de syndicat, et ne laisse à ajuster que la date et les caractéristiques de la fraction. C'est exactement le mécanisme des ventes appariées du \cref{ch:07} : la composante commune disparaît par différence et la variance de l'estimateur se réduit à celle des bruits de transaction, selon l'\cref{eq:7:var-paires}. Une vente récente d'une fraction semblable dans le même immeuble est donc le comparable le plus informatif qui soit, et la grille lui accorde un poids élevé même si elle est un peu plus ancienne qu'une vente externe.
103 103
104+\begin{proposition}{Variance d'une indication intra-immeuble et inter-immeubles}{intra}
105+Supposons que l'effet d'immeuble $\alpha_b$ soit tiré, d'un immeuble à l'autre, d'une loi de variance $\sigma_\alpha^2$, que les bruits de transaction $\varepsilon$ aient une variance $\sigma^2$ et que les ajustements de caractéristiques et de date soient exacts. L'indication de valeur tirée d'un comparable du même immeuble a une variance $\sigma^2$ ; celle tirée d'un comparable d'un autre immeuble, dont l'effet $\alpha_{b'}$ doit être estimé, a une variance $\sigma^2 + \sigma_{\alpha}^2 + \sigma_{\hat\alpha}^2$, où $\sigma_{\hat\alpha}^2$ est la variance de l'erreur d'estimation de l'écart $\alpha_b - \alpha_{b'}$ ; la pondération optimale de l'\cref{eq:16:poids} accorde donc au comparable intra-immeuble un poids $\left(\sigma^2 + \sigma_{\alpha}^2 + \sigma_{\hat\alpha}^2\right)/\sigma^2$ fois celui d'un comparable externe.
106+\end{proposition}
107+\begin{proof}
108+Pour un comparable $j$ du même immeuble $b$, l'\cref{eq:42:intra} donne, après ajustement exact des caractéristiques et de la date, $\ln \hat P_{ib} = \ln P_{jb} + (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} - \tau_{t(j)} = \ln P_{ib} - \varepsilon_{ib} + \varepsilon_{jb}$ : l'erreur de l'indication est $\varepsilon_{jb} - \varepsilon_{ib}$, dont seule la composante $\varepsilon_{jb}$ varie d'un comparable à l'autre, d'où une variance $\sigma^2$ autour de la valeur $\alpha_b + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau_{t(i)}$ que l'on cherche. Pour un comparable $j$ d'un autre immeuble $b'$, il faut ajouter l'écart $\alpha_b - \alpha_{b'}$, que l'on ne connaît pas et que l'on remplace par une estimation ; l'erreur devient $\varepsilon_{jb'} + (\alpha_b - \alpha_{b'}) - \widehat{(\alpha_b - \alpha_{b'})}$, et si l'estimation n'utilise pas l'information sur $\alpha_{b'}$ (comparable traité comme s'il était dans le même immeuble), la variance est $\sigma^2 + \sigma_\alpha^2$ ; si elle l'utilise avec une erreur de variance $\sigma_{\hat\alpha}^2$, la variance est $\sigma^2 + \sigma_{\hat\alpha}^2$, et dans le cas général elle est bornée par $\sigma^2 + \sigma_\alpha^2 + \sigma_{\hat\alpha}^2$. Les poids optimaux étant inversement proportionnels aux variances (\cref{prop:indication}), le rapport annoncé suit.
109+\end{proof}
110+
111+Ce résultat justifie la pratique qui consiste à accorder plus de poids aux ventes de l'immeuble, et il en précise la limite : le gain disparaît si les ajustements de syndicat et de charges, qui sont la partie mesurable de $\alpha_b - \alpha_{b'}$, sont estimés avec précision, et il est illusoire si la vente intra-immeuble n'a pas été vérifiée, parce qu'une transaction non sincère ajoute un biais que la faible variance ne compense pas.
112+
104 Le second cercle est celui des ventes conclues dans des \emph{immeubles concurrents} : les fractions que l'acheteur type du sujet aurait considérées comme des substituts, dans le même secteur et le même segment de prix. Ces ventes sont indispensables pour trois raisons. Elles seules permettent d'estimer l'effet du temps $\tau_t$ lorsque les ventes de l'immeuble sont rares ; elles seules informent sur la valeur de l'immeuble lui-même, c'est-à-dire sur $\alpha_b$, que la comparaison intra-immeuble ne mesure pas ; et elles seules protègent contre le risque qu'un immeuble entier soit « hors marché », par exemple parce que ses dernières ventes ont été conclues entre copropriétaires ou dans l'ignorance d'un problème que l'attestation révèle aujourd'hui. Pour ces comparables, l'écart $\alpha_b - \alpha_{b'}$ doit être ajusté, et c'est là que les ajustements propres à la copropriété interviennent : les différences de services et de charges, et surtout la différence de situation financière des deux syndicats. 113 Le second cercle est celui des ventes conclues dans des \emph{immeubles concurrents} : les fractions que l'acheteur type du sujet aurait considérées comme des substituts, dans le même secteur et le même segment de prix. Ces ventes sont indispensables pour trois raisons. Elles seules permettent d'estimer l'effet du temps $\tau_t$ lorsque les ventes de l'immeuble sont rares ; elles seules informent sur la valeur de l'immeuble lui-même, c'est-à-dire sur $\alpha_b$, que la comparaison intra-immeuble ne mesure pas ; et elles seules protègent contre le risque qu'un immeuble entier soit « hors marché », par exemple parce que ses dernières ventes ont été conclues entre copropriétaires ou dans l'ignorance d'un problème que l'attestation révèle aujourd'hui. Pour ces comparables, l'écart $\alpha_b - \alpha_{b'}$ doit être ajusté, et c'est là que les ajustements propres à la copropriété interviennent : les différences de services et de charges, et surtout la différence de situation financière des deux syndicats.
105 114
106 \begin{pratique} 115 \begin{pratique}
@@ -111,17 +120,17 @@ La procédure recommandée réunit les deux cercles dans une même grille. On re
111 120
112 La grille d'une fraction reprend les cinq dimensions du \cref{ch:16} : droits transmis, financement, conditions de vente, conditions du marché, caractéristiques du bien. Les quatre premières s'appliquent sans modification, à ceci près que le prix d'une fraction neuve vendue par un promoteur incorpore souvent des incitatifs, des inclusions et des conditions de livraison qui doivent être retranchés avant comparaison, et que la vente d'une fraction louée à un investisseur transmet un droit grevé d'un bail que l'acquéreur ne peut résilier \parencite[art.~1937]{ccq}. La cinquième dimension, celle des caractéristiques, est où la copropriété se distingue, et quatre familles d'ajustements y apparaissent. 121 La grille d'une fraction reprend les cinq dimensions du \cref{ch:16} : droits transmis, financement, conditions de vente, conditions du marché, caractéristiques du bien. Les quatre premières s'appliquent sans modification, à ceci près que le prix d'une fraction neuve vendue par un promoteur incorpore souvent des incitatifs, des inclusions et des conditions de livraison qui doivent être retranchés avant comparaison, et que la vente d'une fraction louée à un investisseur transmet un droit grevé d'un bail que l'acquéreur ne peut résilier \parencite[art.~1937]{ccq}. La cinquième dimension, celle des caractéristiques, est où la copropriété se distingue, et quatre familles d'ajustements y apparaissent.
113 122
114−\paragraph{Étage, orientation et vue.} Dans un immeuble sans ascenseur, le rez-de-chaussée se négocie en général avec une décote qui tient au bruit, à l'intimité et à la sécurité, et les étages supérieurs avec une prime qui tient à la lumière, à la vue et au calme, prime que l'effort de l'escalier tempère au troisième ; dans une tour avec ascenseur, la prime d'étage croît avec la hauteur et la vue. L'orientation agit par l'ensoleillement et par l'exposition au bruit de la rue. Ces effets sont des proportions du prix plutôt que des montants fixes, parce qu'ils portent sur l'ensemble de la partie privative ; on les écrit 123+\paragraph{Étage, orientation et vue} Dans un immeuble sans ascenseur, le rez-de-chaussée se négocie en général avec une décote qui tient au bruit, à l'intimité et à la sécurité, et les étages supérieurs avec une prime qui tient à la lumière, à la vue et au calme, prime que l'effort de l'escalier tempère au troisième ; dans une tour avec ascenseur, la prime d'étage croît avec la hauteur et la vue. L'orientation agit par l'ensoleillement et par l'exposition au bruit de la rue. Ces effets sont des proportions du prix plutôt que des montants fixes, parce qu'ils portent sur l'ensemble de la partie privative ; on les écrit
115 \begin{equation}\label{eq:42:etage} 124 \begin{equation}\label{eq:42:etage}
116 A^{\text{étage}}_j = P^{t}_j\,\bigl(c^{\text{ét}}_s - c^{\text{ét}}_j\bigr), \qquad A^{\text{orient}}_j = P^{t}_j\,\bigl(c^{\text{or}}_s - c^{\text{or}}_j\bigr), 125 A^{\text{étage}}_j = P^{t}_j\,\bigl(c^{\text{ét}}_s - c^{\text{ét}}_j\bigr), \qquad A^{\text{orient}}_j = P^{t}_j\,\bigl(c^{\text{or}}_s - c^{\text{or}}_j\bigr),
117 \end{equation} 126 \end{equation}
118 où $P^t_j$ est le prix du comparable ramené à la date d'évaluation et $c^{\text{ét}}$, $c^{\text{or}}$ les coefficients, en proportion du prix, de l'étage et de l'orientation, estimés par ventes appariées ou par un modèle hédonique du marché local, et comptés du point de vue du sujet. Ces coefficients de marché ne coïncident pas nécessairement avec ceux que la déclaration de copropriété a retenus pour la valeur relative : dans l'immeuble fictif du \cref{ch:07}, la déclaration valorise le troisième étage à 1,04 et le rez-de-chaussée à 0,96, alors que le marché fictif de ce chapitre le valorise à 1,02 et 0,96 ; la valeur relative est une convention de répartition, le coefficient de marché une mesure, et l'évaluateur ne confond pas les deux. 127 où $P^t_j$ est le prix du comparable ramené à la date d'évaluation et $c^{\text{ét}}$, $c^{\text{or}}$ les coefficients, en proportion du prix, de l'étage et de l'orientation, estimés par ventes appariées ou par un modèle hédonique du marché local, et comptés du point de vue du sujet. Ces coefficients de marché ne coïncident pas nécessairement avec ceux que la déclaration de copropriété a retenus pour la valeur relative : dans l'immeuble fictif du \cref{ch:07}, la déclaration valorise le troisième étage à 1,04 et le rez-de-chaussée à 0,96, alors que le marché fictif de ce chapitre le valorise à 1,02 et 0,96 ; la valeur relative est une convention de répartition, le coefficient de marché une mesure, et l'évaluateur ne confond pas les deux.
119 128
120−\paragraph{Stationnement et rangement.} La case de stationnement intérieur et le rangement sont des parties communes à usage restreint dont la valeur est, elle, un montant à peu près fixe dans un secteur donné, parce qu'elle correspond au coût d'une solution de rechange (stationnement sur rue avec vignette, location d'une case) ; elle s'ajuste en dollars, et la vente séparée de cases dans les immeubles où la déclaration le permet en fournit la mesure la plus directe. Lorsque la case est une partie privative distincte, immatriculée séparément, elle peut être vendue ou louée indépendamment, ce qui en accroît la valeur ; lorsqu'elle est un usage restreint attaché à la fraction, elle ne peut l'être. 129+\paragraph{Stationnement et rangement} La case de stationnement intérieur et le rangement sont des parties communes à usage restreint dont la valeur est, elle, un montant à peu près fixe dans un secteur donné, parce qu'elle correspond au coût d'une solution de rechange (stationnement sur rue avec vignette, location d'une case) ; elle s'ajuste en dollars, et la vente séparée de cases dans les immeubles où la déclaration le permet en fournit la mesure la plus directe. Lorsque la case est une partie privative distincte, immatriculée séparément, elle peut être vendue ou louée indépendamment, ce qui en accroît la valeur ; lorsqu'elle est un usage restreint attaché à la fraction, elle ne peut l'être.
121 130
122−\paragraph{Superficie.} La superficie de la partie privative s'ajuste au prix marginal du mètre carré, inférieur au prix moyen parce que l'élasticité du prix à la superficie est inférieure à l'unité (\cref{ch:16}) ; dans le marché fictif de ce chapitre, dont la valeur de référence est de \parmsq{3650} pour \msq{98} avec une élasticité de 0,60, le prix marginal vaut $0{,}60 \times 3\,650 = \parmsq{2190}$. L'évaluateur veille à ce que toutes les superficies soient mesurées selon la même convention : la contenance cadastrale du certificat de localisation, la superficie habitable des fiches de courtage et la superficie brute des plans du promoteur diffèrent parfois de dix pour cent (\cref{ch:12}). 131+\paragraph{Superficie} La superficie de la partie privative s'ajuste au prix marginal du mètre carré, inférieur au prix moyen parce que l'élasticité du prix à la superficie est inférieure à l'unité (\cref{ch:16}) ; dans le marché fictif de ce chapitre, dont la valeur de référence est de \parmsq{3650} pour \msq{98} avec une élasticité de 0,60, le prix marginal vaut $0{,}60 \times 3\,650 = \parmsq{2190}$. L'évaluateur veille à ce que toutes les superficies soient mesurées selon la même convention : la contenance cadastrale du certificat de localisation, la superficie habitable des fiches de courtage et la superficie brute des plans du promoteur diffèrent parfois de dix pour cent (\cref{ch:12}).
123 132
124−\paragraph{Frais de copropriété et situation financière du syndicat.} C'est la famille la plus délicate, et les deux sous-sections qui suivent lui sont consacrées. 133+\paragraph{Frais de copropriété et situation financière du syndicat} C'est la famille la plus délicate, et les deux sous-sections qui suivent lui sont consacrées.
125 134
126 \subsection{La capitalisation des écarts de charges}\label{sec:42:charges} 135 \subsection{La capitalisation des écarts de charges}\label{sec:42:charges}
127 136
@@ -176,15 +185,15 @@ Le sujet est la fraction F4 : \msq{98} de partie privative au deuxième étage,
176 185
177 \begin{table}[htbp] 186 \begin{table}[htbp]
178 \caption{Le sujet et les cinq comparables fictifs : caractéristiques, charges courantes, part du passif du syndicat et prix observé}\label{tab:42:comparables} 187 \caption{Le sujet et les cinq comparables fictifs : caractéristiques, charges courantes, part du passif du syndicat et prix observé}\label{tab:42:comparables}
179−\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt} 188+\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{2.4pt}
180 \begin{tabular}{llS[table-format=3.0]lccS[table-format=2.2]S[table-format=5.0]S[table-format=2.0]S[table-format=6.0]S[table-format=4.0]} 189 \begin{tabular}{llS[table-format=3.0]lccS[table-format=2.2]S[table-format=5.0]S[table-format=2.0]S[table-format=6.0]S[table-format=4.0]}
181 \toprule 190 \toprule
182− & Immeuble & {Superf. (m\textsuperscript{2})} & Étage & Orient. & Stat. & {Charges (\$/m\textsuperscript{2}/an)} & {Passif (\$)} & {Mois} & {Prix (\$)} & {\$/m\textsuperscript{2}} \\ 191+ & Immeuble & {m\textsuperscript{2}} & Étage & Orient. & Stat. & {Charges (\$/m\textsuperscript{2})} & {Passif (\$)} & {Mois} & {Prix (\$)} & {\$/m\textsuperscript{2}} \\
183 \midrule 192 \midrule
184 Sujet F4 & A (8 fractions) & 98 & 2\ieme{} & sud & oui & 56.34 & 21248 & 0 & {---} & {---} \\ 193 Sujet F4 & A (8 fractions) & 98 & 2\ieme{} & sud & oui & 56.34 & 21248 & 0 & {---} & {---} \\
185 C1 = F2 & A (même immeuble) & 98 & RDC & sud & oui & 56.34 & 20403 & 6 & 373000 & 3806 \\ 194 C1 = F2 & A (même immeuble) & 98 & RDC & sud & oui & 56.34 & 20403 & 6 & 373000 & 3806 \\
186 C2 = F7 & A (même immeuble) & 85 & 2\ieme{} & est & oui & 56.34 & 17898 & 10 & 326500 & 3841 \\ 195 C2 = F7 & A (même immeuble) & 85 & 2\ieme{} & est & oui & 56.34 & 17898 & 10 & 326500 & 3841 \\
187−C3 & B (24 fractions, ascenseur) & 96 & 2\ieme{} & sud & oui & 78.00 & 0 & 3 & 364000 & 3792 \\ 196+C3 & B (24 fr., ascenseur) & 96 & 2\ieme{} & sud & oui & 78.00 & 0 & 3 & 364000 & 3792 \\
188 C4 & C (12 fractions) & 100 & 3\ieme{} & ouest & non & 52.00 & 5400 & 4 & 373500 & 3735 \\ 197 C4 & C (12 fractions) & 100 & 3\ieme{} & ouest & non & 52.00 & 5400 & 4 & 373500 & 3735 \\
189 C5 & D (8 fractions) & 92 & RDC & sud & oui & 58.00 & 31200 & 8 & 330500 & 3592 \\ 198 C5 & D (8 fractions) & 92 & RDC & sud & oui & 58.00 & 31200 & 8 & 330500 & 3592 \\
190 \bottomrule 199 \bottomrule
@@ -263,16 +272,16 @@ Une fraction de copropriété détenue par un investisseur et louée est un bien
263 272
264 \begin{table}[htbp] 273 \begin{table}[htbp]
265 \caption{Copropriétés offertes en location et appartements locatifs traditionnels : univers, inoccupation et loyers moyens, octobre 2025}\label{tab:42:locative} 274 \caption{Copropriétés offertes en location et appartements locatifs traditionnels : univers, inoccupation et loyers moyens, octobre 2025}\label{tab:42:locative}
266−\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt} 275+\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.6pt}
267 \begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=5.0]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=1.1]S[table-format=4.0]S[table-format=4.0]S[table-format=4.0]} 276 \begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=5.0]S[table-format=2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=1.1]S[table-format=4.0]S[table-format=4.0]S[table-format=4.0]}
268 \toprule 277 \toprule
269 & \multicolumn{3}{c}{Univers des copropriétés} & \multicolumn{2}{c}{Inoccupation (\%)} & \multicolumn{3}{c}{Loyer moyen, 2 ch. (\$/mois)} \\ 278 & \multicolumn{3}{c}{Univers des copropriétés} & \multicolumn{2}{c}{Inoccupation (\%)} & \multicolumn{3}{c}{Loyer moyen, 2 ch. (\$/mois)} \\
270 \cmidrule(lr){2-4}\cmidrule(lr){5-6}\cmidrule(lr){7-9} 279 \cmidrule(lr){2-4}\cmidrule(lr){5-6}\cmidrule(lr){7-9}
271−RMR & {Unités} & {Louées} & {Part (\%)} & {Copro.} & {ELL} & {Copro.} & {ELL} & {Copro., tous types} \\ 280+RMR & {Unités} & {Louées} & {Part (\%)} & {Copro.} & {ELL} & {Copro.} & {ELL} & {Copro. tous} \\
272 \midrule 281 \midrule
273 Montréal & 233535 & 51119 & 21.9 & 2.1 & 2.9 & 1826 & 1346 & 1812 \\ 282 Montréal & 233535 & 51119 & 21.9 & 2.1 & 2.9 & 1826 & 1346 & 1812 \\
274 Québec & 36816 & 5709 & 15.5 & 0.6 & 2.4 & 1377 & 1277 & 1382 \\ 283 Québec & 36816 & 5709 & 15.5 & 0.6 & 2.4 & 1377 & 1277 & 1382 \\
275−Gatineau (partie québécoise) & 10620 & 2911 & 27.4 & 1.0 & 3.8 & 1578 & 1460 & 1534 \\ 284+Gatineau (partie QC) & 10620 & 2911 & 27.4 & 1.0 & 3.8 & 1578 & 1460 & 1534 \\
276 \bottomrule 285 \bottomrule
277 \end{tabular} 286 \end{tabular}
278 \tabsource{SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025, tableaux 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 et 4.3.1 des fichiers de données par RMR \parencite{schlrmltables2025,schlLocatif2025}, lus le 31 octobre 2026 ; « ELL » = appartements d'initiative privée de trois logements et plus visés par l'enquête ; qualité des estimations a ou b sauf l'inoccupation des copropriétés de Montréal (b) ; les écarts de loyers sont signalés significatifs par la SCHL.} 287 \tabsource{SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025, tableaux 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 et 4.3.1 des fichiers de données par RMR \parencite{schlrmltables2025,schlLocatif2025}, lus le 31 octobre 2026 ; « ELL » = appartements d'initiative privée de trois logements et plus visés par l'enquête ; qualité des estimations a ou b sauf l'inoccupation des copropriétés de Montréal (b) ; les écarts de loyers sont signalés significatifs par la SCHL.}
@@ -296,3 +305,226 @@ Ce résultat n'est pas une anomalie du marché fictif ; il décrit la structure
296 \begin{quebec} 305 \begin{quebec}
297 Le régime de la location à court terme des résidences relève, au Québec, d'une loi provinciale sur l'hébergement touristique et des règlements municipaux de zonage, qui n'ont pas été vérifiés pour cet ouvrage et dont le présent chapitre ne décrit pas le contenu ; l'évaluateur qui rencontre une fraction exploitée en hébergement touristique vérifie la déclaration de copropriété, le zonage et l'enregistrement provincial avant d'attribuer la moindre valeur à ce revenu, et il traite une fraction dont le revenu dépend d'une activité non autorisée comme une fraction résidentielle ordinaire. En revanche, deux règles vérifiées encadrent directement la copropriété locative : la fixation du loyer et le maintien dans les lieux s'appliquent au locataire d'une fraction comme à tout locataire \parencite[art.~1936--1937, 1941--1955]{ccq}, et le copropriétaire bailleur demeure tenu, envers le syndicat, de toutes les charges et de l'assurance responsabilité minimale de \dollars{1000000} ou \dollars{2000000} selon la taille de l'immeuble \parencite[art.~1]{reglAssuranceCopropriete}. 306 Le régime de la location à court terme des résidences relève, au Québec, d'une loi provinciale sur l'hébergement touristique et des règlements municipaux de zonage, qui n'ont pas été vérifiés pour cet ouvrage et dont le présent chapitre ne décrit pas le contenu ; l'évaluateur qui rencontre une fraction exploitée en hébergement touristique vérifie la déclaration de copropriété, le zonage et l'enregistrement provincial avant d'attribuer la moindre valeur à ce revenu, et il traite une fraction dont le revenu dépend d'une activité non autorisée comme une fraction résidentielle ordinaire. En revanche, deux règles vérifiées encadrent directement la copropriété locative : la fixation du loyer et le maintien dans les lieux s'appliquent au locataire d'une fraction comme à tout locataire \parencite[art.~1936--1937, 1941--1955]{ccq}, et le copropriétaire bailleur demeure tenu, envers le syndicat, de toutes les charges et de l'assurance responsabilité minimale de \dollars{1000000} ou \dollars{2000000} selon la taille de l'immeuble \parencite[art.~1]{reglAssuranceCopropriete}.
298 \end{quebec} 307 \end{quebec}
308+
309+\section{La conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise}\label{sec:42:conversion}
310+
311+\subsection{Le cadre juridique}\label{sec:42:cadre}
312+
313+La conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise est l'opération par laquelle un propriétaire unique divise son immeuble en fractions pour les vendre séparément. Elle crée de la valeur lorsque la somme des fractions excède la valeur de l'immeuble en bloc, ce qui est fréquent dans les quartiers où les acheteurs-occupants paient davantage que les investisseurs pour le même logement, et c'est précisément pour cette raison que le législateur québécois l'a encadrée dès 1987 afin de protéger le parc locatif et ses occupants. Les règles sont réunies aux articles~51 à 54.14 de la Loi sur le Tribunal administratif du logement, dont le texte à jour au 15 octobre 2026 a été lu intégralement pour ce chapitre \parencite[art.~51--54.14]{loiTAL} ; le \cref{tab:42:cadre} les ordonne selon le déroulement d'une conversion.
314+
315+\begin{footnotesize}
316+\begin{longtable}{@{}L{26mm}L{80mm}L{20mm}@{}}
317+\caption{Étapes et contraintes de la conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise (Loi sur le TAL, art.~51 à 54.14, texte à jour au 15 octobre 2026)}\label{tab:42:cadre}\\
318+\toprule
319+Étape & Règle & Article \\
320+\midrule
321+\endfirsthead
322+\caption[]{Étapes et contraintes de la conversion (suite)}\\
323+\toprule
324+Étape & Règle & Article \\
325+\midrule
326+\endhead
327+\bottomrule
328+\endlastfoot
329+Champ d'application & Autorisation du Tribunal requise pour tout immeuble comportant, ou ayant comporté au cours des dix années précédant la demande, au moins un logement ; conversion interdite pour les immeubles de coopératives, d'OSBL ou de sociétés municipales d'habitation construits ou rénovés avec une aide publique & 51, al.~1--2 \\
330+Agglomération de Montréal & Conversion interdite, sauf dérogation accordée par résolution du conseil municipal dans les secteurs ou catégories d'immeubles définis par règlement d'arrondissement ; l'interdiction ne s'applique pas à l'immeuble dont tous les logements sont occupés par des propriétaires indivis & 51, al.~3 ; 54.12 \\
331+Hors de l'agglomération & La municipalité peut, par règlement, interdire la conversion dans certains secteurs ou catégories d'immeubles, la soumettre à des conditions ou, à Québec et dans les municipalités dotées d'un comité consultatif d'urbanisme, à l'autorisation du conseil ; critères : taux d'inoccupation, logements comparables disponibles, besoins de certaines catégories de personnes, caractéristiques physiques, aide publique reçue & 51, al.~3 ; 54.13 ; 54.14 \\
332+Avis d'intention & Avant toute démarche auprès de la municipalité ou du Tribunal, avant toute visite d'acquéreur ou relevé préparatoire : avis conforme à l'annexe~I à chaque locataire, copie au Tribunal ; préavis de 24 heures pour les visites & 52 \\
333+Gel des travaux et de la reprise & Dès l'avis d'intention et jusqu'à ce que l'assemblée soit majoritairement formée de propriétaires occupants : seuls les travaux d'entretien et les réparations urgentes sans autorisation ; aucune reprise de possession contre les locataires en place & 53 ; 54 ; 54.3 \\
334+Demande au Tribunal & Dans les six mois de l'avis d'intention ou de la résolution ou du certificat municipal ; refus obligatoire si des travaux ou une reprise ont visé à évincer un locataire, ou en cas d'infraction récente ; nouvelle demande après trois ans & 54.1 ; 54.2 \\
335+Déclaration de copropriété & Inscription possible seulement avec l'autorisation annexée ; l'autorisation est sans effet si la déclaration n'est pas inscrite dans l'année (prolongation possible) ; radiation et annulation des conventions en cas d'inscription sans autorisation & 54.4 ; 54.9 \\
336+Information des acquéreurs & Avant la première vente de chaque logement : rapport d'expert (usure des composantes communes, réparations majeures prévisibles dans les cinq ans et leur coût, systèmes mécaniques, insonorisation, sécurité incendie) et circulaire d'information (plan, droits d'emphytéose ou de superficie, budget prévisionnel par fraction établi par une personne qualifiée sur une année complète, état des baux, résumé de la déclaration) ; réduction des obligations de l'acheteur pendant trois ans en cas d'information fausse ou incomplète & 54.6 ; 54.11 \\
337+Droit de préemption du locataire & La première vente d'un logement ne peut être conclue avec un tiers avant qu'il n'ait été offert au locataire aux mêmes prix et conditions (annexe~II, avec rapport et circulaire) ; réponse écrite dans le mois, sinon refus réputé ; acte dans les deux mois de l'acceptation ; annulation possible en Cour supérieure dans l'année & 54.7 ; 54.8 \\
338+Sanctions & Dommages-intérêts, y compris punitifs, pour le locataire parti à la suite d'une reprise illégale ou de travaux destinés à l'évincer & 54.10 \\
339+\end{longtable}
340+\end{footnotesize}
341+\vspace{-6pt}
342+\tabsource{\textcite[art.~51--54.14]{loiTAL}, texte lu sur LégisQuébec le 31 octobre 2026 ; paraphrase de l'auteur. Le contenu des règlements municipaux pris en vertu des articles~54.12 et 54.13 (Montréal, Québec et autres municipalités) n'a pas été vérifié pour cet ouvrage.}
343+
344+
345+Trois dispositions du Code civil complètent ce cadre. La déclaration de copropriété exige un plan cadastral qui immatricule séparément les parties privatives et les parties communes \parencite[art.~3030]{ccq}, ce qui suppose l'intervention d'un arpenteur-géomètre et un cadastre vertical, étape coûteuse pour un immeuble ancien dont les cloisons ne suivent pas des plans précis. L'aliénation de l'immeuble, puis de chaque fraction, ne permet pas au nouveau locateur de résilier le bail \parencite[art.~1937]{ccq} : le locataire d'un logement converti conserve son droit au maintien dans les lieux, et la fraction qu'il occupe ne peut être vendue libre que s'il part de son plein gré ou s'il exerce son droit de préemption. Enfin, l'éviction pour changement d'affectation de l'article~1959, qui aurait pu servir à libérer les logements, est doublement fermée : la Loi sur le TAL interdit la reprise dès l'avis d'intention (art.~54), et la Loi limitant le droit d'éviction des locateurs suspend toute éviction fondée sur l'article~1959 jusqu'au 6 juin 2027 \parencite[art.~1]{loi65_2024}, sous réserve des exceptions et des mécanismes de fin anticipée qu'elle prévoit et dont aucun n'avait été activé au 31 octobre 2026 ; au-delà, les locataires aînés de l'article~1959.1 demeurent protégés et l'indemnité d'éviction de l'article~1965 (un mois de loyer par année d'occupation, de trois à vingt-quatre mois, plus les frais de déménagement) s'applique. L'analyse de faisabilité doit donc raisonner avec les locataires en place, non contre eux.
346+
347+\begin{quebec}
348+L'interdiction de conversion dans l'agglomération de Montréal est la règle la plus lourde de conséquences pour la valeur. Elle signifie qu'un immeuble locatif montréalais ne peut être converti que si l'arrondissement a adopté un règlement de dérogation et que le conseil accorde la dérogation par résolution, après avis public et audition des intéressés, en tenant compte notamment du taux d'inoccupation et de la disponibilité de logements comparables \parencite[art.~51, 54.12, 54.14]{loiTAL}. L'évaluateur qui estime un immeuble locatif montréalais ne peut donc pas retenir la conversion comme plus haute et meilleure utilisation (\cref{ch:41}) sans avoir vérifié l'existence et le contenu du règlement d'arrondissement et la pratique du conseil, et il traite la perspective d'une dérogation comme une hypothèse extraordinaire s'il en tient compte. L'exception de l'article~51, alinéa~3, pour l'immeuble dont tous les logements sont occupés par des propriétaires indivis explique, à l'inverse, pourquoi tant de plex montréalais achetés en indivision par leurs occupants sont ensuite convertis en copropriété divise : la conversion y est possible et elle supprime la décote d'indivision de la \cref{sec:42:indivise}. Hors de l'agglomération, la Ville de Québec et plusieurs municipalités encadrent la conversion par règlement en vertu de l'article~54.13 ; le contenu de ces règlements, qui change avec la conjoncture locative, doit être vérifié auprès de la municipalité à la date de l'évaluation.
349+\end{quebec}
350+
351+\subsection{Le modèle de faisabilité}\label{sec:42:modele-conversion}
352+
353+L'analyse de faisabilité d'une conversion compare deux valeurs. La première est la \motcle{valeur en bloc} de l'immeuble locatif, estimée par la méthode du revenu du \cref{ch:29} et, pour un petit immeuble, confirmée par la comparaison du \cref{ch:32} :
354+\begin{equation}\label{eq:42:bloc}
355+V_{\text{bloc}} = \frac{\NOI_1}{R}, \qquad \NOI_1 = RBP\,(1 - v) - DE,
356+\end{equation}
357+où $R$ est le taux global extrait des ventes d'immeubles locatifs comparables, détenus en bloc. La seconde est la \motcle{valeur de conversion}, c'est-à-dire la valeur actuelle nette, pour le convertisseur, du programme qui consiste à diviser l'immeuble, à vendre les fractions et à supporter entre-temps les coûts :
358+\begin{equation}\label{eq:42:conv}
359+V_{\text{conv}} = \sum_{t=1}^{T} \frac{\Pi_t\,(1 - f) - \phi\,B_t}{(1 + r)^t} - K_0,
360+\end{equation}
361+où $\Pi_t$ est le produit brut des ventes de l'année $t$, $f$ la proportion de frais de vente (courtage, frais juridiques du vendeur), $\phi\,B_t$ les coûts de portage de l'année $t$ (taxes, assurance, intérêts et entretien, nets des loyers encore perçus) exprimés en proportion $\phi$ de la valeur $B_t$ des fractions invendues au début de l'année, $K_0$ les coûts de conversion engagés au départ (cadastre vertical, déclaration, rapport d'expert et circulaire, individualisation des services, mise aux normes, rafraîchissement des parties communes, dotation initiale du fonds de prévoyance) et $r$ le taux de rendement exigé par le convertisseur, qui rémunère le risque de marché, le risque de délai et son travail. Les droits de mutation sont payés par les acquéreurs des fractions et n'entrent pas dans $K_0$, mais ils réduisent ce que chaque acheteur peut payer ; aux tranches de 2026, l'acheteur de F4 à \dollars{380000} verserait $0{,}5~\% \times 62\,900 + 1~\% \times (315\,000 - 62\,900) + 1{,}5~\% \times (380\,000 - 315\,000) = \dollars{3811}$ \parencite[art.~2]{ldmi}.
362+
363+Le calendrier des ventes $\Pi_t$ est ce qui distingue une conversion d'un simple lotissement, parce qu'il dépend des locataires. Notons $V^{\ell}_i$ la valeur libre de la fraction $i$, estimée par la méthode de la \cref{sec:42:comparaison}, $\mathcal{L}$ l'ensemble des fractions libres à la date de la conversion ou occupées par un locataire qui exerce sa préemption, et $\mathcal{O}$ celui des fractions occupées par un locataire qui reste. Les premières se vendent dès la première année à leur valeur libre. Pour les secondes, le convertisseur a deux stratégies. La première est d'\emph{attendre} le départ volontaire des locataires : si une proportion $\rho$ des logements occupés se libère chaque année, le produit attendu des fractions occupées à l'année $t$ est
364+\begin{equation}\label{eq:42:calendrier}
365+\Pi^{\mathcal{O}}_t = \rho\,(1 - \rho)^{t-1} \sum_{i \in \mathcal{O}} V^{\ell}_i \quad (t < T), \qquad \Pi^{\mathcal{O}}_T = (1 - \rho)^{T-1}\,(1 - \delta) \sum_{i \in \mathcal{O}} V^{\ell}_i,
366+\end{equation}
367+le reliquat encore occupé à l'horizon $T$ étant vendu à des investisseurs avec une décote $\delta$. La seconde stratégie est de \emph{vendre occupé} dès la première année, à la valeur libre diminuée de la décote $\delta$ : $\Pi^{\mathcal{O}}_1 = (1 - \delta)\sum_{i \in \mathcal{O}} V^{\ell}_i$. Le choix entre les deux dépend de la comparaison entre la décote, d'une part, et le coût du temps, $r$ et $\phi$, pondéré par la lenteur de la rotation, d'autre part ; l'exemple montre que ce choix n'est pas évident. La rotation $\rho$ est le paramètre que l'évaluateur connaît le moins bien : la SCHL publie un taux de rotation de 9,4~\% pour la RMR de Montréal en octobre 2025 \parencite{schlLocatif2025}, mais celui d'un immeuble donné dépend de l'âge de ses locataires, de l'écart entre leurs loyers et le marché, qui retient d'autant plus qu'il est grand (\cref{ch:02,ch:34}), et de la conjoncture locative.
368+
369+\begin{definition}{Valeur en bloc, valeur de conversion, prime et point mort}{conversion}
370+La \motcle{valeur en bloc} est la valeur marchande de l'immeuble locatif détenu et vendu comme un tout, l'\cref{eq:42:bloc}. La \motcle{valeur de conversion} est la valeur actuelle nette, pour un convertisseur exigeant le taux $r$, du programme de division et de vente des fractions, l'\cref{eq:42:conv}. La \motcle{prime de conversion} est leur différence,
371+\begin{equation}\label{eq:42:prime}
372+\Pi_{\text{conv}} = V_{\text{conv}} - V_{\text{bloc}},
373+\end{equation}
374+et la conversion n'est la plus haute et meilleure utilisation de l'immeuble que si cette prime est positive après rémunération du risque, c'est-à-dire si $V_{\text{conv}} > V_{\text{bloc}}$ au taux $r$ exigé. Le \motcle{point mort} de la conversion est la baisse proportionnelle $1 - \theta^{*}$ des valeurs libres pour laquelle la prime s'annule,
375+\begin{equation}\label{eq:42:point-mort}
376+\theta^{*} = \min\bigl\{\theta : V_{\text{conv}}(\theta\,V^{\ell}) \geq V_{\text{bloc}}\bigr\},
377+\end{equation}
378+qui mesure la marge de sécurité du convertisseur contre un repli du marché des copropriétés entre la décision et les ventes.
379+\end{definition}
380+ Pour l'évaluateur qui estime l'immeuble en bloc, la prime de conversion n'entre dans la valeur marchande que dans la mesure où les acheteurs types de l'immeuble sont des convertisseurs et où le cadre juridique rend l'opération réalisable à la date d'évaluation ; dans le cas contraire, elle relève d'une valeur d'investissement ou d'une hypothèse extraordinaire, et le rapport le dit.
381+
382+\subsection{Exemple intégral : convertir l'immeuble fictif de huit logements}\label{sec:42:exemple-conversion}
383+
384+\begin{exemple}{Valeur en bloc, somme des fractions et prime de conversion}{conversion}
385+L'immeuble fictif de huit fractions est maintenant considéré \emph{avant} sa conversion, comme un immeuble locatif de huit logements détenu par un propriétaire unique, dans une municipalité fictive hors de l'agglomération de Montréal où le règlement municipal autorise la conversion sous conditions et où le Tribunal l'a autorisée. Les loyers contractuels mensuels, hypothèses pédagogiques dans l'ordre de grandeur des loyers des copropriétés louées du \cref{tab:42:locative}, vont de \dollars{1250} pour le logement F1 à \dollars{1850} pour F6 et totalisent \dollars{12225} par mois. Cinq logements sont occupés par des locataires dont le bail court ; trois sont libres. Un locataire, celui de F6, accepte l'offre de vente de l'article~54.7 à la valeur libre ; les quatre autres (F1, F3, F5, F7) restent. Les paramètres sont : inoccupation et mauvaises créances de 3~\% ; dépenses d'exploitation et réserve de 42~\% du revenu brut effectif ; taux global de 5,25~\% pour les petits immeubles locatifs du marché fictif ; rotation $\rho = 12$~\% par année ; décote de vente occupée $\delta = 20$~\% ; frais de vente $f = 4$~\% ; coûts de portage $\phi = 1{,}5$~\% par année de la valeur libre des fractions invendues ; taux exigé $r = 10$~\% ; horizon $T = 6$ ans. Les coûts de conversion $K_0$ totalisent \dollars{305000} (\cref{tab:42:conversion}) et comprennent la dotation initiale du fonds de prévoyance, \dollars{85000}, qui est exactement le solde d'ouverture pour lequel la cotisation de seuil du \cref{ch:07} suffit : les fractions sont ainsi vendues sans passif de syndicat et leurs valeurs libres sont celles du modèle de la \cref{sec:42:exemple} avec $d_i = 0$.
386+
387+\emph{Étape 1 : la valeur en bloc.} Le revenu brut potentiel est de \dollars{146700} ; le revenu brut effectif de \dollars{142299} ; les dépenses de \dollars{59766} ; le revenu net d'exploitation de \dollars{82533}. Capitalisé à 5,25~\%, il donne une valeur en bloc de \dollars{1572065}, soit \dollars{196508} par logement et un multiplicateur du revenu brut de 10,7, cohérent avec les ordres de grandeur des petits immeubles locatifs du \cref{ch:32}.
388+
389+\emph{Étape 2 : les valeurs libres des fractions.} Le modèle du marché fictif donne, pour les huit fractions libres de passif, des valeurs de \dollars{276481} (F1) à \dollars{430539} (F6), dont \dollars{396431} pour F4, soit sa valeur de la \cref{sec:42:exemple} augmentée de sa part du déficit désormais comblé ; la somme est de \dollars{2802191}, soit 1,78 fois la valeur en bloc. Cet écart brut de \dollars{1230126} est la matière première de la conversion ; tout le reste de l'analyse mesure ce qu'il en coûte pour la réaliser.
390+
391+\emph{Étape 3 : le calendrier.} À la fin de la première année, les trois fractions libres (F2, F4, F8) et F6, achetée par son locataire, sont vendues à leur valeur libre, \dollars{1555773} ; s'y ajoute 12~\% de la valeur libre des quatre fractions occupées, \dollars{1246418}, soit \dollars{149570}, pour un produit brut de \dollars{1705343}. Les années 2 à 5 rapportent respectivement \dollars{131622}, \dollars{115827}, \dollars{101928} et \dollars{89697}, à mesure que les locataires partent ; à l'année 6, le reliquat encore occupé, $(1 - 0{,}12)^5 = 52{,}8$~\% des quatre fractions, est vendu à des investisseurs avec la décote de 20~\%, pour \dollars{526219}.
392+
393+\emph{Étape 4 : les flux et la valeur de conversion.} Après les frais de vente de 4~\% et les coûts de portage, les flux nets sont de $-\dollars{305000}$ à l'origine, puis \dollars{1595097}, \dollars{109904}, \dollars{96716}, \dollars{85110}, \dollars{74897} et \dollars{495304}. Leur somme non actualisée, \dollars{2152027}, excède la valeur en bloc de \dollars{579962} ; mais l'actualisation à 10~\% ramène la valeur de conversion à \dollars{1692804}, et la prime de conversion de l'\cref{eq:42:prime} à \dollars{120739}, soit 7,7~\% de la valeur en bloc. Les frais de vente (\dollars{106825}), les coûts de portage (\dollars{106784}), les coûts de conversion (\dollars{305000}) et surtout le coût du temps absorbent ainsi les neuf dixièmes de l'écart brut de l'étape~2.
394+
395+\emph{Étape 5 : la stratégie de vente occupée.} Si le convertisseur vend dès la première année les quatre fractions occupées à des investisseurs avec la décote de 20~\%, la valeur de conversion monte à \dollars{1884780} et la prime à \dollars{312715} : à ce niveau de rotation et de taux, le coût du temps dépasse la décote, et attendre coûte plus cher que de vendre occupé. Cette conclusion s'inverse si la rotation est rapide ou si la décote exigée par les investisseurs est forte, ce que la \cref{fig:42:bloc-piece} et le \cref{tab:42:sensibilite-conversion} montrent ; elle suppose surtout qu'il existe des investisseurs prêts à acheter des fractions occupées dont le rendement courant, on l'a vu à la \cref{sec:42:locative}, est très faible, ce qui n'est pas acquis dans un marché étroit.
396+
397+\emph{Étape 6 : la lecture.} Pour un convertisseur exigeant 10~\%, la conversion de cet immeuble vaut environ \dollars{120000} de plus que sa détention en bloc, et les valeurs libres peuvent baisser de 6,3~\% avant que la prime ne disparaisse (point mort $\theta^{*} = 0{,}937$). Un taux exigé de 8~\% porterait la valeur de conversion à \dollars{1768600}, un taux de 12~\% la ramènerait à \dollars{1623172}. Pour l'évaluateur de l'immeuble en bloc, la question est de savoir si l'acheteur type est un convertisseur : si le marché local compte des convertisseurs actifs et que le cadre municipal le permet, la valeur marchande de l'immeuble se situe entre la valeur en bloc et la valeur de conversion, la part de la prime que le vendeur capte dépendant de la concurrence entre acheteurs ; sinon, la valeur marchande est la valeur en bloc et la prime est une valeur d'investissement propre à un acheteur particulier.
398+\end{exemple}
399+
400+\begin{table}[htbp]
401+\caption{Analyse de faisabilité de la conversion de l'immeuble fictif de huit logements (dollars de 2026)}\label{tab:42:conversion}
402+\centering\footnotesize
403+\begin{tabularx}{\textwidth}{XS[table-format=7.0]}
404+\toprule
405+Élément & {Montant (\$)} \\
406+\midrule
407+\multicolumn{2}{l}{\textit{Valeur en bloc (capitalisation directe)}} \\
408+Revenu brut potentiel (8 logements, \dollars{12225}/mois) & 146700 \\
409+Revenu brut effectif ($v = 3$~\%) & 142299 \\
410+Dépenses d'exploitation et réserve (42~\% du RBE) & 59766 \\
411+Revenu net d'exploitation & 82533 \\
412+Valeur en bloc à $R = 5{,}25$~\% & 1572065 \\
413+\addlinespace
414+\multicolumn{2}{l}{\textit{Somme des fractions libres (modèle du marché fictif, passif nul)}} \\
415+F1 (72 m\textsuperscript{2}, RDC, nord) ; F2 (98, RDC, sud, stat.) ; F3 (72, 2\ieme{}, nord) ; F4 (98, 2\ieme{}, sud, stat.) & {276\,481 ; 382\,123 ; 288\,373 ; 396\,431} \\
416+F5 (85, 3\ieme{}, nord) ; F6 (110, 3\ieme{}, sud, stat.) ; F7 (85, 2\ieme{}, est, stat.) ; F8 (90, 3\ieme{}, ouest) & {325\,140 ; 430\,539 ; 356\,424 ; 346\,680} \\
417+Somme des valeurs libres & 2802191 \\
418+\addlinespace
419+\multicolumn{2}{l}{\textit{Coûts de conversion $K_0$ (hypothèses pédagogiques)}} \\
420+Cadastre vertical et certificats de localisation & 28000 \\
421+Déclaration de copropriété, publication et honoraires juridiques & 22000 \\
422+Rapport d'expert et circulaire d'information (art.~54.6 Loi TAL) & 9000 \\
423+Frais de demande, budget prévisionnel, valeur relative & 6000 \\
424+Individualisation des services et mise aux normes (8 logements) & 120000 \\
425+Rafraîchissement des parties communes & 35000 \\
426+Dotation initiale du fonds de prévoyance (solde d'ouverture requis, \cref{ch:07}) & 85000 \\
427+Total des coûts de conversion & 305000 \\
428+\addlinespace
429+\multicolumn{2}{l}{\textit{Résultat ($\rho = 12$~\%, $\delta = 20$~\%, $f = 4$~\%, $\phi = 1{,}5$~\%, $r = 10$~\%, $T = 6$)}} \\
430+Produit brut des ventes, années 1 à 6 & {1\,705\,343 ; 131\,622 ; 115\,827 ; 101\,928 ; 89\,697 ; 526\,219} \\
431+Frais de vente ; coûts de portage (totaux) & {106\,825 ; 106\,784} \\
432+Somme nette non actualisée & 2152027 \\
433+Valeur de conversion $V_{\text{conv}}$ (VAN à 10~\%) & 1692804 \\
434+Prime de conversion $V_{\text{conv}} - V_{\text{bloc}}$ & 120739 \\
435+Variante : vente occupée des quatre fractions dès l'an 1 ($\delta = 20$~\%) & 1884780 \\
436+\bottomrule
437+\end{tabularx}
438+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch42\_copro.py}} ; capitalisation, VAN et multiplicateur par \texttt{traite.finance} ; les coûts de conversion et les paramètres sont des hypothèses déclarées, non des barèmes.}
439+\end{table}
440+
441+\begin{figure}[htbp]
442+\centering
443+\includegraphics[width=\linewidth]{ch42/ch42-fig-bloc-piece.pdf}
444+\caption{Valeur de conversion de l'immeuble fictif selon la rotation annuelle des locataires, pour trois décotes de vente occupée, comparée à la valeur en bloc (ligne tiretée) et à la stratégie de vente occupée dès la première année (losanges). Plus la rotation est lente, plus l'attente coûte et plus la prime de conversion s'amenuise ; en deçà d'une rotation de 4 à 7~\% selon la décote, la conversion détruit de la valeur par rapport à la détention en bloc.}\label{fig:42:bloc-piece}
445+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch42\_bloc\_piece.py}, graine 20261031}.}
446+\end{figure}
447+
448+\subsection{Sensibilité au délai, à la décote et au taux}
449+
450+Le \cref{tab:42:sensibilite-conversion} croise la rotation et la décote de vente occupée. La valeur de conversion va de \dollars{1531692} ($\rho = 5$~\%, $\delta = 30$~\%), inférieure à la valeur en bloc, à \dollars{1893849} ($\rho = 30$~\%, $\delta = 10$~\%) : le délai de libération des logements est, de loin, le paramètre dominant, parce qu'il agit à la fois par l'actualisation, par les coûts de portage et par la part du reliquat vendu avec décote. La décote ne compte que pour les fractions vendues occupées, et son effet est donc d'autant plus faible que la rotation est rapide. La variante de vente occupée immédiate domine l'attente pour toutes les combinaisons du tableau où $\delta \leq 20$~\%, et pour $\delta = 30$~\% dès que la rotation est inférieure à 20~\% ; mais elle repose sur l'existence d'investisseurs acheteurs. Le taux exigé pèse aussi : chaque point de taux déplace la valeur de conversion d'environ \dollars{36000}. Trois leçons en découlent pour l'évaluateur. Un immeuble dont les locataires sont anciens, âgés et logés en deçà du marché, donc peu mobiles et protégés, a une prime de conversion faible ou nulle quelle que soit la somme des fractions ; un immeuble à moitié vacant ou dont les locataires sont récents a une prime élevée ; et la prime, lorsqu'elle existe, n'est capturée par le vendeur de l'immeuble en bloc que si plusieurs convertisseurs sont en concurrence. Dans tous les cas, la conclusion doit afficher le point mort : une marge de sécurité de 6~\% sur les valeurs libres, comme ici, est mince au regard des fluctuations annuelles des prix des copropriétés du \cref{tab:42:marche}.
451+
452+\begin{table}[htbp]
453+\caption{Sensibilité de la valeur de conversion (\$, VAN à 10~\%) à la rotation annuelle des locataires $\rho$ et à la décote de vente occupée $\delta$ ; valeur en bloc \dollars{1572065}}\label{tab:42:sensibilite-conversion}
454+\centering\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}
455+\begin{tabular}{lS[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]}
456+\toprule
457+ & \multicolumn{5}{c}{Attente des départs, rotation $\rho$} & {Vente occupée} \\
458+\cmidrule(lr){2-6}\cmidrule(lr){7-7}
459+Décote $\delta$ & {5~\%} & {8~\%} & {12~\%} & {20~\%} & {30~\%} & {dès l'an 1} \\
460+\midrule
461+10~\% & 1636219 & 1678050 & 1728449 & 1813046 & 1893849 & 1993559 \\
462+20~\% & 1583956 & 1633533 & 1692804 & 1790914 & 1882497 & 1884780 \\
463+30~\% & 1531692 & 1589017 & 1657160 & 1768782 & 1871145 & 1776002 \\
464+\bottomrule
465+\end{tabular}
466+\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch42\_copro.py}} ; cas de base $\rho = 12$~\%, $\delta = 20$~\% ; $r = 8$~\% : \dollars{1768600} ; $r = 12$~\% : \dollars{1623172} ; point mort des valeurs libres : $-6{,}3$~\%.}
467+\end{table}
468+
469+\begin{erreurs}
470+\begin{itemize}
471+\item Comparer des fractions par leurs frais de copropriété mensuels bruts : la copropriété qui dote correctement son fonds de prévoyance affiche des frais plus élevés et vaut davantage ; seules les charges courantes normalisées s'ajustent par capitalisation, le fonds s'analyse par le déficit.
472+\item Oublier que le passif du syndicat se compare \emph{relativement} : un comparable vendu dans un immeuble sain exige un ajustement négatif pour un sujet sous-capitalisé, et un comparable vendu avec une cotisation spéciale à la charge de l'acheteur exige un ajustement positif.
473+\item Appliquer la quote-part de la déclaration à la valeur de l'immeuble entier, ou confondre les coefficients d'étage et d'orientation de la valeur relative avec les primes et décotes que le marché révèle.
474+\item Estimer la valeur marchande d'une fraction résidentielle par la méthode du revenu : le revenu net d'une copropriété louée capitalise à un taux très inférieur à celui des immeubles locatifs, et le résultat est une valeur d'investissement, non un prix de marché.
475+\item Retenir une fraction louée comme comparable d'une fraction libre sans ajuster le droit transmis, ou retenir une vente de promoteur avec incitatifs comme comparable d'une revente.
476+\item Traiter la conversion comme plus haute et meilleure utilisation d'un immeuble locatif montréalais sans avoir vérifié l'interdiction de l'article~51 de la Loi sur le TAL et le règlement d'arrondissement, ou d'un immeuble occupé sans avoir modélisé le délai de libération des logements et le droit de préemption des locataires.
477+\item Compter la prime de conversion dans la valeur marchande d'un immeuble en bloc alors que l'acheteur type n'est pas un convertisseur, ou la compter entière alors que la concurrence entre convertisseurs n'en laisse au vendeur qu'une part.
478+\end{itemize}
479+\end{erreurs}
480+
481+\begin{limites}
482+Les exemples chiffrés de ce chapitre sont synthétiques et prolongent l'immeuble fictif du \cref{ch:07} : les prix implicites du marché fictif (\parmsq{3650}, élasticité 0,60, coefficients d'étage et d'orientation, case de stationnement à \dollars{28000}, croissance de 2~\%), le taux de capitalisation des charges $R_c = 8$~\%, le coefficient $\kappa = 1$, les loyers, la décote de vente occupée, la rotation, les coûts de conversion et le taux exigé du convertisseur sont des hypothèses pédagogiques, non des mesures ; aucune statistique québécoise vérifiée de $R_c$, de $\kappa$, de la décote d'indivision ou de la décote de vente occupée n'existe à notre connaissance, et l'évaluateur doit les extraire du marché local. La pratique des prêteurs à l'égard des parts indivises (mise de fonds de 20~\%, absence de prêt assuré) n'a pas été vérifiée dans une source normative. Le cadre de la conversion est décrit d'après le texte de la Loi sur le TAL à jour au 15 octobre 2026 ; le contenu des règlements municipaux pris en vertu des articles~54.12 et 54.13, les règles de la location à court terme et les incidences fiscales de la conversion (taxes de vente, gain en capital) n'ont pas été vérifiés et ne sont pas traités. Le moratoire sur les évictions de la Loi 65 court jusqu'au 6 juin 2027 sous réserve d'une fin anticipée que le gouvernement peut déclencher ; son état doit être revérifié à chaque évaluation. Les données SCHL sur les copropriétés louées portent sur octobre 2025 et les prix APCIQ sur les ventes conclues par courtier au troisième trimestre de 2026 ; ni les uns ni les autres ne décrivent le marché fictif des exemples. Enfin, le modèle de calendrier des ventes suppose une rotation constante et indépendante entre logements ; dans un immeuble réel, les départs sont corrélés à la conjoncture et à l'écart des loyers au marché, et l'évaluateur devrait, pour un mandat important, lui préférer une simulation par scénarios (\cref{ch:40}).
483+\end{limites}
484+
485+\begin{synthese}
486+\begin{itemize}
487+\item La fraction de copropriété est un faisceau : partie privative, usage restreint, quote-part des parties communes et position financière dans le syndicat ; l'attestation de l'article~1068.1, le carnet et l'étude du fonds en sont les pièces maîtresses depuis le 14 août 2025.
488+\item La comparaison s'organise en deux cercles : les ventes du même immeuble éliminent l'effet d'immeuble et le passif du syndicat, à la différence de quote-part près ; les ventes d'immeubles concurrents exigent les ajustements de charges et de syndicat, et seules elles informent sur la valeur de l'immeuble lui-même.
489+\item Un écart de charges courantes se capitalise à un taux $R_c$ de marché, borné par la règle de Gordon ; le passif du syndicat (déficit du fonds, cotisations spéciales, litiges) s'ajuste relativement, $\kappa(d_j - d_s)$, de façon cohérente avec l'\cref{eq:7:fraction}.
490+\item La part indivise se décote parce qu'elle se finance moins bien ; la copropriété louée se valorise au prix des occupants, et son revenu net capitalise à un taux très inférieur à celui des immeubles locatifs : la méthode du revenu y donne une valeur d'investissement, non la valeur marchande.
491+\item La conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise exige l'autorisation du Tribunal administratif du logement, est interdite dans l'agglomération de Montréal sauf dérogation, respecte le maintien dans les lieux et le droit de préemption des locataires, et ne peut s'appuyer sur aucune éviction jusqu'au 6 juin 2027.
492+\item Sa faisabilité se mesure par la prime $V_{\text{conv}} - V_{\text{bloc}}$, où la valeur de conversion actualise les ventes selon un calendrier gouverné par la rotation des locataires ; dans l'exemple, un écart brut de 78~\% entre la somme des fractions et la valeur en bloc se réduit à une prime de 7,7~\%, et le délai de libération des logements en est le déterminant principal.
493+\end{itemize}
494+\end{synthese}
495+
496+\section*{Exercices}
497+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
498+
499+\begin{exercice}[1]{Charges d'une fraction}{ex:42:1}
500+Une copropriété de six fractions déclare une valeur relative proportionnelle à la superficie des parties privatives : \msq{60}, \msq{75}, \msq{75}, \msq{90}, \msq{90} et \msq{110}. Le budget de l'exercice comprend \dollars{36000} de charges courantes, \dollars{15000} de contribution au fonds de prévoyance recommandée par l'étude et \dollars{4000} de contribution au fonds d'auto assurance. Calculez la quote-part et la contribution annuelle et mensuelle d'une fraction de \msq{90}, puis décomposez-la en charges courantes, fonds de prévoyance et fonds d'auto assurance. Expliquez pourquoi seule la première composante entre dans l'ajustement de charges de l'\cref{eq:42:charges}.
501+\end{exercice}
502+
503+\begin{exercice}[1]{Lire une attestation}{ex:42:2}
504+L'attestation du syndicat remise pour une fraction dont la quote-part est de 8,50~\% indique : solde du fonds de prévoyance \dollars{62000} ; montant recommandé par l'étude au début de l'exercice \dollars{180000} ; cotisation annuelle au fonds votée \dollars{9000}, recommandée \dollars{19500} ; cotisation spéciale de \dollars{40000} votée, exigible dans six mois ; aucun litige. Calculez la part de la fraction dans la cotisation spéciale, dans l'écart entre le solde recommandé et le solde réel, et dans la hausse de cotisation annuelle nécessaire. Quelles rubriques de l'article~10 du Règlement établissant diverses règles en matière de copropriété divise avez-vous utilisées, et laquelle manque-t-il pour juger du risque de nouvelles cotisations spéciales ?
505+\end{exercice}
506+
507+\begin{exercice}[2]{Capitaliser un écart de charges}{ex:42:3}
508+Deux fractions de \msq{90}, identiques par ailleurs, supportent des charges courantes de \parmsq{62} et de \parmsq{48} par année. Calculez l'écart annuel et l'ajustement de l'\cref{eq:42:charges} pour $R_c = 6$~\%, 8~\% et 12~\%, puis la borne de Gordon de l'\cref{eq:42:charges-gordon} avec $r = 5$~\% et $g = 2{,}5$~\%. Si l'écart de charges tient à la présence d'un ascenseur et d'un concierge dans l'immeuble le plus coûteux, l'ajustement doit-il être appliqué en entier ? Justifiez.
509+\end{exercice}
510+
511+\begin{exercice}[2]{Une grille à un comparable}{ex:42:4}
512+Le sujet est une fraction de \msq{80} au troisième étage, orientée au nord, sans stationnement, dans un immeuble sans ascenseur. Un comparable du même immeuble, \msq{84} au deuxième étage, orienté au sud, avec une case de stationnement intérieur, s'est vendu \dollars{342000} il y a cinq mois. Avec les paramètres du marché fictif du chapitre (croissance de 2~\% par année, coefficients d'étage de $0$ au deuxième et $+2$~\% au troisième, d'orientation de $-3$~\% au nord et $+3$~\% au sud, case de stationnement \dollars{28000}, prix marginal \parmsq{2190}), calculez le prix ramené à la date d'évaluation, chaque ajustement, le prix ajusté et l'ajustement brut. Pourquoi l'ajustement de syndicat est-il ici négligeable ?
513+\end{exercice}
514+
515+\begin{exercice}[2]{Valeur marchande et valeur d'investissement d'une fraction louée}{ex:42:5}
516+Un investisseur envisage d'acheter la fraction F4 à sa valeur marchande de \dollars{380000} pour la louer \dollars{1700} par mois, avec les dépenses de la \cref{sec:42:locative} (inoccupation 2,1~\%, taxes \dollars{3300}, assurance \dollars{600}, frais de copropriété normalisés \dollars{10218}, gestion 5~\% du revenu brut effectif). Calculez le revenu net d'exploitation et le taux implicite. Quel loyer mensuel faudrait-il pour que le taux atteigne 4~\% ? Comparez-le aux loyers moyens des copropriétés louées du \cref{tab:42:locative} et concluez sur ce qui fixe le prix des fractions.
517+\end{exercice}
518+
519+\begin{exercice}[3]{Faisabilité d'une conversion avec le script du chapitre}{ex:42:6}
520+À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch42\_copro.py}, (a) recalculez la valeur en bloc avec un taux global de 4,75~\% au lieu de 5,25~\% et la prime de conversion correspondante ; (b) recalculez la valeur de conversion pour une rotation de 30~\% et une décote de 10~\% ; (c) recalculez-la sans les coûts d'individualisation des services de \dollars{120000} et expliquez pourquoi la variation est exactement égale à ce montant ; (d) déterminez, à l'aide du \cref{tab:42:sensibilite-conversion}, les combinaisons de rotation et de décote pour lesquelles vendre occupé dès la première année domine l'attente. Rédigez ensuite une note de 150 mots indiquant à un propriétaire ce qu'il devrait vérifier, en droit et en fait, avant d'entreprendre la conversion, en citant les articles pertinents de la Loi sur le TAL.
521+\end{exercice}
522+
523+\begin{exercice}[3]{Convertir une indivision en copropriété divise}{ex:42:7}
524+Trois indivisaires occupent chacun un logement d'un triplex d'un quartier central estimé à \dollars{1050000} en pleine propriété ; la convention publiée leur attribue l'usage exclusif de leur logement et le marché local applique aux parts indivises une décote de 12~\%. Après conversion en copropriété divise, chaque fraction se vendrait \dollars{370000} ; les coûts de conversion (cadastre vertical, déclaration, honoraires, dotation initiale du fonds) sont estimés à \dollars{60000}. Calculez la valeur totale des trois parts indivises, la somme des fractions, le gain net de la conversion et sa répartition par indivisaire. Expliquez ensuite, à partir de l'article~51 de la Loi sur le TAL, pourquoi l'interdiction propre à l'agglomération de Montréal ne s'applique pas à cet immeuble, quelles autres conditions de la loi et du Code civil (art.~3030) doivent néanmoins être remplies, et ce que l'évaluateur mandaté pour établir la valeur relative des trois fractions doit documenter en vertu de l'article~1053 du Code civil.
525+\end{exercice}
526+
527+\section*{Pour aller plus loin}
528+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
529+
530+Les textes primaires sont la première lecture : le chapitre du Code civil sur la copropriété divise \parencite[art.~1038--1109]{ccq}, le Règlement établissant diverses règles en matière de copropriété divise \parencite{reglCoproprieteDivise} et le Règlement établissant diverses mesures en matière d'assurance des copropriétés divises \parencite{reglAssuranceCopropriete}, dont la page gouvernementale sur les mesures applicables aux copropriétés résume l'application et les délais \parencite{quebecMesuresCoproprietes} ; pour la conversion, les articles~51 à 54.14 de la Loi sur le Tribunal administratif du logement \parencite{loiTAL} et, pour les évictions, la Loi 65 \parencite{loi65_2024}. Sur l'évaluation des copropriétés dans la pratique nord-américaine, \textcite{appraisal2026} consacre des développements aux ajustements d'étage, de vue et de frais, et la revue de \textcite{lentzWang1998} recense les enjeux propres à ce type de bien dans le contexte hypothécaire ; \textcite{aiDictionary2022} donne la terminologie anglaise (\emph{condominium}, \emph{common elements}, \emph{limited common elements}, \emph{reserve fund}, \emph{special assessment}) et \textcite{achour1992} la terminologie civiliste québécoise. Sur le financement et l'analyse d'investissement qui sous-tendent la valeur d'investissement d'une fraction louée et la faisabilité d'une conversion, \textcite{brueggemanFisher2022} et \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} restent les manuels de référence. La littérature économique sur la conversion du parc locatif est surtout américaine et liée au contrôle des loyers : \textcite{sims2007} et \textcite{autorPalmerPathak2014} étudient la fin du contrôle au Massachusetts et ses effets sur les conversions et les prix des immeubles voisins, \textcite{diamondMcquadeQian2019} mesurent, à San Francisco, le retrait du parc locatif et sa conversion en copropriétés provoqués par l'extension du contrôle, et \textcite{glaeserLuttmer2003} analysent la mauvaise allocation des logements sous contrôle ; ces travaux éclairent les motifs de l'encadrement québécois de la conversion, sans en décrire les effets, qui n'ont pas fait l'objet d'étude vérifiée pour cet ouvrage. Enfin, sur les profils d'acheteurs qui distinguent le marché des copropriétés de celui des maisons dans les villes québécoises, les travaux de \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} sur Québec sont un point de départ, et les données de la SCHL sur les copropriétés offertes en location \parencite{schlLocatif2025,schlrmltables2025} sont la seule mesure publique récurrente du segment locatif de la copropriété.
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1 \chapter{Risques environnementaux et sinistres}\label{ch:43} 1 \chapter{Risques environnementaux et sinistres}\label{ch:43}
2−\stubchapter 2+
3+Une maison riveraine, un immeuble locatif bâti sur un ancien garage, un plex dont la dalle a soulevé sous la poussée de la pyrite, un triplex dont le sous-sol a été inondé au printemps : dans chacun de ces cas, l'évaluateur doit estimer la valeur d'un bien dont une partie du risque n'est ni visible dans les comparables ordinaires, ni réductible à un coût de correction. Le présent chapitre traite de ces risques sous trois angles qui se répondent. Le premier est juridique : le cadre québécois des zones inondables, entièrement refondu le 1\textsuperscript{er} mars 2026, et le régime des terrains contaminés de la Loi sur la qualité de l'environnement fixent ce qu'un propriétaire peut construire, reconstruire, vendre ou changer d'usage, et ces restrictions sont la première composante de la valeur. Le deuxième est économique : au-delà des règles, le marché tarife un risque physique, un coût d'assurance et une incertitude, et il arrive qu'il tarife aussi une crainte qui survit à la correction du défaut, ce que la littérature appelle le stigmate. Le troisième est méthodologique : la mesure de ces effets exige des outils dont les chapitres précédents ont posé les bases, ventes appariées, modèles hédoniques à indicatrices et interactions, doubles différences autour d'un événement, et elle se heurte à des échantillons petits, à des aménités qui se confondent avec le risque et à des événements rares. L'exemple intégral conjugue deux jeux synthétiques : une municipalité riveraine fictive où une inondation survient en 2019, et le portefeuille du cas 4, dont trois immeubles sont en zone inondable et deux sur des sols contaminés. Le \cref{ch:08} a décrit les zones de contraintes et le \cref{ch:11} les pathologies du bâtiment ; le \cref{ch:36} développe l'identification causale et le \cref{ch:38} la cartographie des risques ; le présent chapitre se tient à la jonction de ces quatre chapitres et renvoie à chacun plutôt que de les répéter.
4+
5+\begin{objectifs}
6+\begin{itemize}
7+\item Décrire le cadre réglementaire québécois des zones inondables en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026 (classes d'exposition, constructibilité, reconstruction) et celui des terrains contaminés (Loi sur la qualité de l'environnement, Règlement sur la protection et la réhabilitation des terrains), avec leurs conséquences pour l'évaluateur.
8+\item Définir le stigmate, le distinguer du coût de correction et du coût du délai, et le situer dans une décomposition explicite de la valeur d'un bien exposé.
9+\item Lire une prime de risque dans un taux de capitalisation et la convertir en décote de valeur, à revenu donné.
10+\item Modéliser la valeur d'un terrain contaminé, d'un immeuble sinistré et d'un bâtiment atteint d'une pathologie, en traitant explicitement le rôle de l'assurance et le choix entre coût de correction et désuétude.
11+\item Mesurer l'effet d'un risque par ventes appariées, par un modèle hédonique à indicatrice et à interactions et par doubles différences, et reconnaître les pièges propres à chaque méthode : aménités confondues, hétérogénéité des classes, petits nombres d'unités traitées.
12+\item Citer les fourchettes de la littérature empirique avec leurs auteurs, et s'abstenir de toute décote « typique » qui n'aurait pas de source.
13+\end{itemize}
14+\end{objectifs}
15+
16+\section{Risque, stigmate et valeur : le cadre d'analyse}\label{sec:43:cadre}
17+
18+\subsection{Ce que le marché tarife}
19+
20+Un risque environnemental agit sur la valeur par quatre canaux que l'analyse doit séparer, parce qu'ils ne se mesurent pas de la même manière et ne se corrigent pas par les mêmes moyens. Le premier est le \motcle{coût de correction} : excaver un remblai de pyrite, réhabiliter un sol, remettre en état un sous-sol inondé sont des travaux dont le coût est estimable par devis et dont la méthode du coût rend compte comme d'une dépréciation physique curable (\cref{ch:24}). Le deuxième est la \motcle{restriction juridique} : une résidence qui ne peut être reconstruite après un sinistre, un terrain dont le changement d'usage est subordonné à un plan de réhabilitation, un lot où toute nouvelle construction est interdite perdent une partie de leur valeur d'option, indépendamment de tout dommage présent. Le troisième est le \motcle{coût récurrent du risque} : prime d'assurance plus élevée ou couverture refusée, franchise, dépenses d'entretien et de prévention, inoccupation accrue, financement plus cher ; ces coûts réduisent le revenu net ou augmentent le taux de rendement exigé, et ils se lisent dans le taux de capitalisation. Le quatrième est le \motcle{stigmate}, que la pratique nord-américaine désigne du même mot (\emph{stigma}) : la perte de valeur qui subsiste une fois le défaut corrigé, les travaux terminés et les coûts récurrents comptés, et qui tient à l'incertitude résiduelle, à la crainte d'une récidive, à la réticence des prêteurs et des assureurs et au rétrécissement du bassin d'acheteurs.
21+
22+\begin{definition}{Stigmate}{stigmate}
23+Le \motcle{stigmate} d'un immeuble exposé à un risque environnemental est l'écart entre la valeur qu'il aurait s'il était perçu comme exempt de tout risque et sa valeur marchande, une fois déduits le coût de correction du défaut, la valeur actualisée des pertes d'usage pendant la correction et la valeur actualisée des coûts récurrents imputables au risque. C'est une composante de la dépréciation externe (\cref{ch:24}) : elle ne tient pas à l'état physique du bien, mais à la perception qu'en a le marché, et elle n'est mesurable que par le marché lui-même, par comparaison avec des biens non exposés.
24+\end{definition}
25+
26+Cette définition conduit à écrire la valeur d'un bien exposé comme une différence de termes identifiables :
27+\begin{equation}\label{eq:43:decomposition}
28+V_{\text{exp}} = V_{\text{sain}} - C - L - S ,
29+\end{equation}
30+où $V_{\text{sain}}$ est la valeur du bien équivalent non exposé, $C$ le coût de correction actualisé, $L$ la valeur actualisée des pertes d'usage et des coûts récurrents imputables au risque, et $S$ le stigmate. Les trois premiers termes se mesurent par des devis, des baux et des polices d'assurance ; le dernier se mesure par la différence entre la valeur observée et ce que les trois premiers expliquent. Lorsque le risque n'a pas de correction possible (une zone inondable ne se « corrige » pas, sauf par un ouvrage de protection collectif), $C$ est nul et la décote observée est la somme de $L$ et de $S$ : la part des coûts récurrents capitalisés et la part de la crainte. C'est précisément la question posée par \textcite{harrisonSmershSchwartz2001} et par \textcite{binKruseLandry2008} à propos des zones inondables américaines, et leurs réponses divergent : les premiers trouvent une décote inférieure à la valeur actualisée des primes d'assurance, les seconds des écarts de prix « à peu près équivalents » à la valeur capitalisée des primes, ce qui signifie dans les deux cas un stigmate faible ou nul en temps ordinaire. Après une catastrophe, le tableau change, comme la \cref{sec:43:inondations} le montre.
31+
32+\subsection{Information, événement et cycle de vie d'une nuisance}
33+
34+Le marché ne tarife que ce qu'il sait. \textcite{kielMcclain1995} ont suivi les prix des maisons autour d'un incinérateur depuis la rumeur de son implantation jusqu'à son exploitation : la décote apparaît avec l'annonce, s'accentue pendant la construction, puis se stabilise ou s'atténue lorsque l'exploitation se révèle moins nuisible que redouté. Le même cycle vaut pour les risques naturels : \textcite{hinoBurke2021}, à partir de deux décennies de ventes couvrant l'ensemble des maisons américaines, trouvent « peu d'indices que les marchés du logement intègrent pleinement l'information sur le risque d'inondation » et estiment que les maisons en zone inondable sont surévaluées, sur la seule base des cartes publiques, de 43,8 milliards de dollars américains (intervalle de confiance de 32,6 à 55,6 milliards). L'information change la valeur sans que rien ne change dans le bien, et les événements sont les vecteurs les plus puissants de cette information. \textcite{binPolasky2004} montrent que la décote des maisons en plaine inondable de Pitt County, en Caroline du Nord, est « significativement plus grande » après l'ouragan Floyd de 1999 qu'avant ; \textcite{ortegaTaspinar2018} suivent, après l'ouragan Sandy, l'émergence graduelle d'une pénalité de prix sur les propriétés de la zone inondable new-yorkaise qui n'ont pas été endommagées, pénalité qui atteint 8~\% en 2017 sans signe de récupération, tandis que les propriétés endommagées subissent une chute immédiate de 17 à 22~\% suivie d'une récupération partielle. Pour l'évaluateur québécois, la leçon est double : la décote d'une zone inondable n'est pas un paramètre stable, elle dépend de la mémoire récente du marché ; et la publication d'une nouvelle cartographie, comme celle que le Québec déploie progressivement depuis 2026, est elle-même un événement susceptible de modifier les prix des immeubles nouvellement classés.
35+
36+Trois conséquences pratiques en découlent. D'abord, la date des comparables importe davantage qu'ailleurs : des ventes antérieures à un événement ou à une nouvelle carte informent sur un marché qui ignorait ce que le marché actuel sait. Ensuite, la mesure de l'effet d'un risque exige de distinguer l'effet moyen du risque, qui existe avant tout événement, et l'effet additionnel de l'événement, le stigmate au sens strict ; la \cref{sec:43:mesure} montre que les doubles différences isolent le second et non le premier. Enfin, les fourchettes publiées (\cref{tab:43:litterature}) proviennent de marchés, de régimes d'assurance et d'événements particuliers ; elles bornent le vraisemblable, elles ne dispensent pas de mesurer sur le marché du sujet.
37+
38+\begin{table}[htbp]
39+\caption{Effets de l'exposition à un risque environnemental sur les prix résidentiels : résultats de la littérature citée}\label{tab:43:litterature}
40+\centering
41+\small
42+\begin{tabularx}{\textwidth}{L{34mm}L{30mm}Y}
43+\toprule
44+Étude & Risque et contexte & Résultat rapporté \\
45+\midrule
46+\textcite{binPolasky2004} & Plaine inondable, Caroline du Nord, 1992-2002, ouragan Floyd (1999) & Décote de l'ordre de 6~\% avant Floyd ; « significativement plus grande » après \\
47+\textcite{harrisonSmershSchwartz2001} & Zone inondable, Floride & Décote inférieure à la valeur actualisée des primes d'assurance \\
48+\textcite{binKruseLandry2008} & Zone inondable côtière, Caroline du Nord & Écarts de prix « à peu près équivalents » à la valeur capitalisée des primes ; aménités riveraines positives \\
49+\textcite{bernsteinGustafsonLewis2019} & Exposition à la hausse du niveau de la mer, États-Unis & Décote d'environ 7~\% des propriétés exposées \\
50+\textcite{hinoBurke2021} & Cartes publiques d'inondation, États-Unis, deux décennies & Risque incomplètement tarifé ; surévaluation totale de 43,8 G\$~US (IC : 32,6 à 55,6) \\
51+\textcite{ortegaTaspinar2018} & Ouragan Sandy, New York, 2003-2017 & Pénalité graduelle atteignant 8~\% en 2017 (non endommagés) ; chute de 17 à 22~\% puis récupération partielle (endommagés) \\
52+\textcite{kielMcclain1995} & Incinérateur, de la rumeur à l'exploitation & Décote croissante jusqu'à la construction, atténuation ensuite \\
53+\textcite{simonsSaginor2006} & Méta-analyse, contamination et aménités & Effets négatifs de la contamination, positifs des aménités ; grande dispersion selon la source et la distance \\
54+\textcite{jackson2001} ; \textcite{boyleKiel2001} & Recensions & Contamination : décotes variables, stigmate décroissant après réhabilitation ; externalités environnementales \\
55+\textcite{lindenRockoff2008} ; \textcite{currie2015} & Risque perçu (délinquants) ; usines toxiques & Méthodes de différences locales et d'événements transposables aux risques environnementaux \\
56+\bottomrule
57+\end{tabularx}
58+\tabsource{synthèse de l'auteur d'après les articles cités ; les chiffres des colonnes « résultat » sont ceux des résumés ou du dépouillement bibliographique du dépôt (\texttt{sources/notes-D.md}) et sont rapportés tels quels, sans transposition au Québec.}
59+\end{table}
60+
61+\section{Inondations : le cadre de 2026 et ses conséquences}\label{sec:43:inondations}
62+
63+\subsection{Classes d'exposition et constructibilité}
64+
65+Le Québec a remplacé le 1\textsuperscript{er} mars 2026 son régime transitoire de gestion des zones inondables par un cadre réglementaire modernisé, modifié de nouveau le 29 juillet 2026 \parencite{zonesInond2026} ; le \cref{ch:08} l'a présenté sous l'angle du zonage. La base légale est la définition des milieux humides et hydriques de la Loi sur la qualité de l'environnement, qui inclut « les zones inondables d'un lac ou d'un cours d'eau ainsi que les zones de mobilité d'un cours d'eau » \parencite[art.~46.0.2 al.~3, par.~2.1°]{lqe}. Le cadre comprend deux règlements nouveaux, un Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités \parencite{rmun2026} et un Règlement sur les ouvrages de protection contre les inondations, et il modifie plusieurs règlements existants, dont le Règlement sur les activités dans des milieux humides, hydriques et sensibles \parencite{ramhhs} et le Règlement sur l'encadrement d'activités en fonction de leur impact sur l'environnement \parencite{reafie}. Pour l'évaluateur, l'élément central est la cartographie de nouvelle génération, qui remplace progressivement les anciennes zones de grand courant (récurrence de 0 à 20 ans) et de faible courant (20 à 100 ans) par quatre \motcle{classes d'exposition} obtenues en croisant la probabilité d'inondation sur un horizon de 25 ans et la profondeur d'eau attendue \parencite{inondcartes}. La \cref{fig:43:classes} en donne la grille : une probabilité « fréquente » (plus de 70~\% sur 25 ans), « moyennement fréquente » (de 70 à 20~\%) ou « peu fréquente » (de 20 à 7~\%) est croisée avec une profondeur de plus de 60~cm, de 30 à 60~cm ou de 0 à 30~cm ; les zones d'embâcle sont classées très élevée d'office.
66+
67+\begin{figure}[htbp]
68+\centering
69+\begin{tikzpicture}[x=1mm, y=1mm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}]
70+\def\cw{30}\def\ch{11}
71+% en-têtes de colonnes (probabilité)
72+\node[anchor=south, align=center, font=\sffamily\footnotesize\bfseries] at (46+0.5*\cw, 3*\ch+4) {Probabilité d'inondation sur 25 ans};
73+\node[anchor=south, align=center] at (46+0.5*\cw, 3*\ch) {fréquente\\(plus de 70 \%)};
74+\node[anchor=south, align=center] at (46+1.5*\cw, 3*\ch) {moyennement fréquente\\(de 70 à 20 \%)};
75+\node[anchor=south, align=center] at (46+2.5*\cw, 3*\ch) {peu fréquente\\(de 20 à 7 \%)};
76+% en-têtes de lignes (profondeur)
77+\node[anchor=east, align=right] at (44, 2.5*\ch) {profondeur\\plus de 60 cm};
78+\node[anchor=east, align=right] at (44, 1.5*\ch) {de 30 à 60 cm};
79+\node[anchor=east, align=right] at (44, 0.5*\ch) {de 0 à 30 cm};
80+% cellules : TE / E / M / F
81+\tikzset{te/.style={fill=brandPrimary!85, text=white}, el/.style={fill=brandPrimary!60, text=white}, mo/.style={fill=brandPrimary!35}, fa/.style={fill=brandPrimary!14}}
82+\foreach \c/\r/\s/\t in {0/2/te/très élevée, 1/2/el/élevée, 2/2/mo/modérée, 0/1/te/très élevée, 1/1/el/élevée, 2/1/fa/faible, 0/0/el/élevée, 1/0/mo/modérée, 2/0/fa/faible}{
83+ \draw[\s, draw=white, line width=0.8pt] (46+\c*\cw, \r*\ch) rectangle ++(\cw, \ch);
84+ \node at (46+\c*\cw+0.5*\cw, \r*\ch+0.5*\ch) {\t};
85+}
86+\node[anchor=north east, text=brandGray] at (46+3*\cw, -1.5) {zones d'embâcle : classe très élevée d'office};
87+% conséquences
88+\node[anchor=north west, align=left, text width=118mm] at (16, -8) {\textbf{Nouvelle résidence} : interdite dans le littoral, la rive, les classes très élevée, élevée et modérée, les zones de grand courant et de mobilité à court terme ; permise sous conditions en classe faible, en faible courant et en mobilité à long terme. \textbf{Résidence existante} : réparation et entretien permis partout ; travaux majeurs soumis à l'adaptation et à l'avis d'un professionnel ; reconstruction permise « uniquement sous certaines conditions », et dans le littoral seulement après un sinistre non lié à l'eau si le bâtiment ne peut être déplacé hors de la zone (art.~83).};
89+\end{tikzpicture}
90+\caption{Les quatre classes d'exposition du cadre québécois des zones inondables (en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026) et leurs conséquences pour une résidence. La classe résulte du croisement de la probabilité d'inondation sur 25 ans et de la profondeur d'eau attendue ; les règles détaillées par classe (seuils de dommages, immunisation) sont dans le règlement, non résumées ici.}\label{fig:43:classes}
91+\figsource{schéma de l'auteur d'après \textcite{inondcartes} (mise à jour du 28 août 2026), \textcite{inondtravaux} (14 juillet 2026) et \textcite[art.~83 et 85]{rmun2026}, consultés le 31 octobre 2026.}
92+\end{figure}
93+
94+\begin{quebec}[Ce que le cadre de 2026 change pour l'évaluateur]
95+Les conséquences pour une résidence sont énoncées sur la page gouvernementale « Réaliser des travaux en rive, en littoral ou en zone inondable » \parencite{inondtravaux} : une nouvelle résidence est permise sous conditions en classe faible, en zone de faible courant et en zone de mobilité à long terme, et interdite dans le littoral, la rive, les classes très élevée, élevée et modérée, les zones de grand courant et de mobilité à court terme ; un bâtiment accessoire d'au plus 50~m² est permis hors de la classe très élevée ; la réparation et l'entretien d'une résidence existante sont permis partout, les travaux majeurs sont soumis à des exigences d'adaptation et à l'avis d'un professionnel, et « la reconstruction d'un bâtiment résidentiel est permise uniquement sous certaines conditions ». Dans le littoral, le Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités n'autorise la reconstruction que si elle « est réalisée en raison d'un sinistre, autre qu'un sinistre lié à une inondation, à une submersion ou à la mobilité d'un cours d'eau » et si le bâtiment « ne peut pas être déplacé ailleurs sur le terrain sans empiéter dans un littoral ou une zone inondable de classe très élevée » \parencite[art.~83]{rmun2026} ; dans la rive, une bande végétalisée d'au moins cinq mètres doit être conservée et aucun rapprochement du littoral n'est permis \parencite[art.~85]{rmun2026}. Trois autres textes se greffent à ce cadre. La Loi sur l'aménagement et l'urbanisme permet à la municipalité d'exiger que « la reconstruction ou la réfection de tout bâtiment détruit, devenu dangereux ou ayant perdu au moins la moitié de sa valeur » soit conforme aux règlements en vigueur \parencite[art.~118 par.~6°]{lau}, et elle ferme la dérogation mineure dans les zones de contraintes \parencite[art.~145.2 al.~2]{lau}. La Loi sur la fiscalité municipale fait d'un sinistre (incendie, destruction) et de « l'imposition ou de la levée […] d'une restriction juridique aux utilisations possibles de l'immeuble » des motifs de modification du rôle \parencite[art.~174 par.~6° et 19°]{lfm}, et elle précise que l'état d'une unité d'évaluation « comprend, outre son état physique, sa situation au point de vue économique et juridique […] et l'environnement » \parencite[art.~46 al.~3]{lfm}. Enfin, le programme Rénoclimat comporte depuis le 1\textsuperscript{er} octobre 2026 un volet d'adaptation aux inondations : pompe submersible (au plus \dollars{1000}), clapet antiretour (\dollars{700}), barrière amovible (\dollars{800}) et, en zone inondable, un parcours accompagné couvrant 75~\% des coûts d'un diagnostic (au plus \dollars{1000}) et de la protection des fondations (au plus \dollars{35000}) \parencite{renoclimatnouveautes}. La correspondance entre les nouvelles classes et les anciennes zones de grand et de faible courant n'est pas énoncée par les pages consultées, et les règles détaillées par classe n'ont pas été extraites du règlement : pour chaque immeuble riverain, l'évaluateur consulte la carte interactive et le texte en vigueur à la date d'évaluation, et il documente ce qu'il a lu.
96+\end{quebec}
97+
98+Ces règles ont trois conséquences pour la valeur. La première touche la valeur du terrain : un lot vacant de classe très élevée, élevée ou modérée n'a plus d'usage résidentiel possible, et sa valeur se réduit à celle des usages résiduels (agrandissement d'un voisin, stationnement, espace vert), ce qui est l'analyse de la plus haute et meilleure utilisation du \cref{ch:41}. La deuxième touche l'option de reconstruction d'une résidence existante : dans les classes où la reconstruction est interdite ou lourdement conditionnée, la valeur de l'immeuble ne peut excéder la valeur actualisée des services qu'il rendra jusqu'à sa fin, sans réversion vers un bâtiment neuf, ce que le \cref{ch:24} traite comme une dépréciation externe incurable. La troisième touche les coûts récurrents : les travaux d'adaptation exigés lors de travaux majeurs, le coût de l'assurance et la perspective d'un sinistre augmentent les dépenses attendues et le taux de rendement exigé par un acheteur informé.
99+
100+La publication progressive des cartographies de nouvelle génération ajoute une difficulté propre à la période 2026-2030. Un immeuble peut passer, du jour au lendemain, d'une zone de faible courant à une classe élevée, ou l'inverse, sans que rien n'ait changé sur le terrain ; la restriction juridique change, et avec elle la valeur. Pour l'évaluateur, la date de la carte applicable au sujet est une donnée du mandat au même titre que la date d'évaluation, et les comparables doivent être lus à la lumière de la carte qui s'appliquait à eux lors de leur vente. Un comparable vendu en 2024 sous l'ancienne cartographie n'informe pas sur la décote d'une classe qui n'existait pas encore ; symétriquement, un bien dont la classe a été relevée par la nouvelle carte peut se vendre, pendant quelques mois, à un prix qui ne reflète pas encore sa situation, parce que le marché n'a pas encore appris. Ce décalage est exactement celui que \textcite{hinoBurke2021} mesurent à grande échelle, et il justifie que le rapport distingue, pour un immeuble riverain, la classe en vigueur, la date de sa publication et l'état d'information probable des parties aux ventes comparables.
101+
102+\begin{pratique}[Vérifications propres à un immeuble exposé]
103+Pour un sujet riverain ou situé sur un terrain à usage ancien, la vérification habituelle du \cref{ch:16} s'étend à six points que le dossier doit documenter avec leur date de consultation : la classe d'exposition en vigueur sur la carte interactive gouvernementale et, le cas échéant, l'ancienne zone de grand ou de faible courant du règlement municipal encore applicable ; les restrictions de reconstruction et d'agrandissement qui en découlent, lues dans le règlement en vigueur et confirmées auprès de la municipalité ; l'index aux immeubles du registre foncier, pour tout avis de contamination ou de décontamination et toute restriction d'utilisation inscrite (art.~31.58 à 31.60 LQE) ; la liste municipale des terrains contaminés (art.~31.68 LQE) et le Répertoire ministériel, en gardant à l'esprit que ce dernier n'est pas exhaustif et qu'il ne retire jamais un nom ; l'historique des sinistres et des réclamations, par les déclarations du vendeur, les factures et, pour un immeuble locatif, les dossiers d'assurance ; et la police d'assurance en vigueur avec ses avenants, ses exclusions et sa franchise, comparée à une soumission pour un bien équivalent non exposé. Chaque comparable retenu subit les mêmes vérifications, au moins pour la classe d'exposition et l'historique des sinistres, parce qu'un comparable exposé et un comparable non exposé n'informent pas sur la même chose.
104+\end{pratique}
105+
106+\subsection{Assurabilité et coûts récurrents}
107+
108+L'assurance est la variable la plus mal documentée de ce chapitre et il faut le dire d'emblée. Les données publiques vérifiées dans le dépôt se limitent à la prime moyenne d'assurance habitation au Québec, \dollars{1103} en 2024, en hausse de 9~\% sur un an et de 63~\% en dix ans, et au coût moyen d'un sinistre, \dollars{22745}, tels que les rapporte le Bureau d'assurance du Canada \parencite{bacprimes2025}. Le fonctionnement du marché canadien de l'assurance contre les inondations par débordement de cours d'eau, l'existence de zones où cette protection n'est pas offerte ou l'est à des primes très élevées, et les programmes publics d'aide aux sinistrés n'ont pas été vérifiés sur une source primaire dans le cadre de ce chapitre ; ils sont inscrits comme non vérifiés dans le registre des affirmations et ne sont pas décrits ici. Ce que l'évaluateur peut faire, pour un immeuble donné, c'est obtenir la police en vigueur et les avenants, demander une soumission d'assurance pour la propriété telle qu'elle est et pour une propriété équivalente hors zone, et traiter l'écart annuel de prime et de franchise attendue comme une dépense récurrente $\Delta A$ imputable au risque. Sous l'hypothèse d'un écart constant et d'un taux de capitalisation $R$, la valeur actualisée de ce coût est $L_A = \Delta A / R$, et elle constitue une borne inférieure de la décote qu'un acheteur informé exigera ; c'est la quantité à laquelle \textcite{harrisonSmershSchwartz2001} et \textcite{binKruseLandry2008} comparent les décotes observées. Lorsqu'aucune couverture n'est offerte, le raisonnement s'inverse : l'acheteur porte le risque lui-même, et la décote attendue est l'espérance actualisée des dommages, que seules la probabilité annuelle d'inondation et la profondeur attendue, c'est-à-dire la classe d'exposition, permettent d'approcher.
109+
110+\subsection{La prime de risque dans le taux de capitalisation}\label{sec:43:prime}
111+
112+Pour un immeuble de revenu, le risque d'inondation se lit dans le taux de capitalisation plutôt que dans le prix unitaire. Si le marché exige, à revenu net donné, un rendement plus élevé pour un immeuble exposé, le taux global extrait des ventes d'immeubles exposés excède celui des immeubles comparables non exposés ; le \cref{ch:29} a montré comment extraire les taux et le \cref{ch:33} comment les comparer entre marchés. Le modèle naturel est une régression du logarithme du taux sur les caractéristiques de l'immeuble, des indicatrices de marché et les indicatrices de risque :
113+\begin{equation}\label{eq:43:taux}
114+\ln R_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \sum_m \mu_m\,\ind[\text{RMR}_i = m] + \gamma_I\, I_i + \gamma_S\, S_i + \varepsilon_i ,
115+\end{equation}
116+où $I_i$ vaut un si l'immeuble est en zone inondable et $S_i$ un si son sol est contaminé. Le coefficient $\gamma_I$ est la prime de risque en logarithme ; l'effet en pourcentage du taux est $100\,[\exp(\gamma_I) - 1]$, avec la correction de \textcite{kennedy1981} lorsque la variance de $\hat\gamma_I$ n'est pas négligeable (\cref{ch:17}). La décote de valeur qui en résulte, à revenu net donné, découle de $V = \NOI/R$ :
117+\begin{equation}\label{eq:43:decote-taux}
118+\frac{V_{\text{exp}}}{V_{\text{sain}}} = \frac{R_{\text{sain}}}{R_{\text{exp}}} = \exp(-\gamma_I), \qquad \text{soit une décote de } 1 - \exp(-\gamma_I) \approx \gamma_I \text{ pour } \gamma_I \text{ petit.}
119+\end{equation}
120+Une prime de 5~\% du taux (de 5,00 à 5,25~\%) équivaut donc à une décote de valeur de $1 - 1/1{,}05 = 4{,}76$~\%, et non de 5~\%. Lorsque le risque réduit aussi le revenu net (inoccupation, assurance, entretien), l'effet total sur la valeur est la somme des deux effets en logarithme :
121+\begin{equation}\label{eq:43:effet-total}
122+\Delta \ln V = \Delta \ln \NOI - \Delta \ln R ,
123+\end{equation}
124+une identité que l'exemple intégral utilise pour réunir la mesure sur les revenus et la mesure sur les taux.
125+
126+\begin{synthetique}
127+Le portefeuille du cas 4 est synthétique : 48 immeubles multirésidentiels fictifs répartis dans six régions métropolitaines, décrits dans \texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv} et \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv}, générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md}. Le taux global de chaque immeuble y est tiré d'un taux régional calibré sur les fourchettes publiées pour Montréal et Québec, multiplié par un facteur d'état, par $1{,}05$ si l'immeuble est en zone inondable et par $1{,}03$ si son sol est contaminé ; la probabilité d'être en zone inondable est de 8~\% et celle d'une contamination de 5~\%. Trois immeubles (P36 à Québec, P41 à Montréal, P43 à Saguenay) sont en zone inondable et deux (P20 et P21, à Montréal) sur un sol contaminé. La municipalité de Rivière-Fictive de la \cref{sec:43:exemple} est elle aussi entièrement fictive ; ses lots, ses classes et ses ventes sont écrits dans \texttt{data/synthetic/ch43\_riverain\_lots.csv} et \texttt{ch43\_riverain\_ventes.csv} par le script du chapitre. Tous les chiffres de ce chapitre sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch43\_risques.py}, et aucun ne décrit un marché réel.
128+\end{synthetique}
129+
130+La fonction \texttt{effets\_regionaux} du module \texttt{traite.cas4} estime l'\cref{eq:43:taux} sur les 48 immeubles, avec l'état, le logarithme du nombre de logements, l'âge et des indicatrices de région (Montréal en référence). Le coefficient de l'indicatrice de zone inondable est $\hat\gamma_I = 0{,}0756$ (erreur-type robuste 0,0347), soit une prime de $+7{,}86$~\% du taux, avec un intervalle de confiance à 95~\% de $+0{,}77$ à $+15{,}44$~\% ; la correction de Kennedy ramène l'effet ponctuel à $+7{,}79$~\%. Le coefficient de la contamination est $\hat\gamma_S = 0{,}0536$ (0,0288), soit $+5{,}50$~\% du taux, avec un intervalle qui inclut zéro ($-0{,}29$ à $+11{,}63$~\%). Les lois déclarées du générateur sont de $+5$~\% et de $+3$~\% : les deux estimations ponctuelles les dépassent, mais l'écart n'est pas significatif ($t = 0{,}77$ pour l'inondation), et il s'explique par la petitesse des groupes exposés. Trois immeubles inondables et deux immeubles contaminés sur quarante-huit : chaque coefficient repose sur une poignée d'observations dont le bruit idiosyncrasique (l'écart-type du taux est de 6~\% dans le générateur) n'est pas moyenné. Par l'\cref{eq:43:decote-taux}, la prime estimée correspond à une décote de valeur de $1 - \exp(-0{,}0756) = 7{,}29$~\% à revenu donné, contre $4{,}76$~\% pour la loi déclarée. Ces trois immeubles représentent 6,66~\% de la valeur du portefeuille (\cref{fig:43:carte-cas4}) ; le \cref{ch:48} en tire les conséquences pour le risque agrégé.
131+
132+\begin{figure}[htbp]
133+\centering
134+\includegraphics[width=\textwidth]{ch43/ch43-fig-carte-cas4.pdf}
135+\caption{Carte schématique des 48 immeubles du cas 4, par région métropolitaine (coordonnées fictives, taille proportionnelle à la valeur de 2026). Les trois immeubles en zone inondable (P36, P41, P43) et les deux immeubles sur sol contaminé (P20, P21) sont mis en évidence ; ils représentent 6,7~\% et 3,5~\% de la valeur du portefeuille.}\label{fig:43:carte-cas4}
136+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch43\_carte\_cas4.py ; données traite.cas4, graine 20261031}}
137+\end{figure}
138+
139+\section{Sols contaminés}\label{sec:43:sols}
140+
141+\subsection{Le régime de la Loi sur la qualité de l'environnement}
142+
143+Le régime québécois des terrains contaminés est celui de la section IV du chapitre IV du titre I de la Loi sur la qualité de l'environnement, articles 31.42 à 31.69, complété par le Règlement sur la protection et la réhabilitation des terrains \parencite{rprt}. Le \cref{tab:43:lqe} en retient les dispositions qui conditionnent la valeur. Trois idées structurent ce régime. La première est que les obligations naissent d'un \emph{événement} : la cessation définitive d'une activité industrielle ou commerciale désignée, qui oblige à une étude de caractérisation « dans les 12 mois de cette cessation d'activité » et, si les valeurs limites sont dépassées, à un plan de réhabilitation dans les trois mois \parencite[art.~31.51]{lqe} ; ou le changement d'utilisation d'un terrain où s'est exercée une telle activité, qui est « subordonné à l'approbation par le ministre d'un plan de réhabilitation lorsque sont présents […] des contaminants dont la concentration excède les valeurs limites » \parencite[art.~31.53--31.54]{lqe}, le changement d'utilisation incluant toute nouvelle activité « notamment de nature industrielle, commerciale, institutionnelle, agricole ou résidentielle ». La deuxième idée est celle des \motcle{valeurs limites} : le Règlement fixe par défaut celles de son annexe I et réserve celles, plus permissives, de son annexe II aux terrains zonés industriels, commerciaux ou institutionnels, « à l'exclusion […] [des] terrains où sont aménagés des bâtiments totalement ou partiellement résidentiels » et des écoles, centres de la petite enfance, hôpitaux et centres d'hébergement \parencite[art.~1]{rprt}. Les lettres A, B et C que la pratique emploie couramment ne figurent pas dans le règlement : elles proviennent du Guide d'intervention du ministère, où A désigne le niveau de fond, B correspond à peu près à l'annexe I (usages résidentiels) et C à l'annexe II (usages industriels et commerciaux). La troisième idée est la \motcle{publicité} : dès qu'il a connaissance d'un dépassement, le propriétaire doit « requérir l'inscription d'un avis de contamination sur le registre foncier », avis qui désigne le terrain, nomme le requérant et le propriétaire, indique « l'utilisation qu'autorise la réglementation de zonage » et comporte « un résumé de l'étude de caractérisation signé par un professionnel » \parencite[art.~31.58]{lqe} ; un avis de décontamination peut être inscrit après les travaux et une nouvelle étude \parencite[art.~31.59]{lqe} ; les restrictions d'utilisation d'un plan de réhabilitation sont opposables aux acquéreurs subséquents par inscription au registre \parencite[art.~31.60]{lqe} ; et chaque municipalité tient une liste publique des terrains contaminés, à laquelle la délivrance des permis de construction et de lotissement est subordonnée \parencite[art.~31.68]{lqe}.
144+
145+\begin{table}[htbp]
146+\caption{Dispositions de la Loi sur la qualité de l'environnement et du Règlement sur la protection et la réhabilitation des terrains qui conditionnent la valeur}\label{tab:43:lqe}
147+\centering
148+\small
149+\begin{tabularx}{\textwidth}{L{30mm}YL{40mm}}
150+\toprule
151+Disposition & Contenu & Incidence pour l'évaluateur \\
152+\midrule
153+LQE art.~31.42 & L'étude de caractérisation « doit être signée par un professionnel » ; un terrain « comprend les eaux souterraines et les eaux de surface » & Qualité de la preuve ; périmètre de la contamination \\
154+LQE art.~31.51 & Cessation définitive d'une activité désignée : caractérisation dans les 12 mois, plan de réhabilitation dans les 3 mois si dépassement & Passif latent d'un terrain à usage ancien \\
155+LQE art.~31.53--31.54 & Changement d'utilisation subordonné à un plan de réhabilitation approuvé si dépassement des valeurs limites & Conditionne la plus haute et meilleure utilisation (\cref{ch:41}) \\
156+LQE art.~31.55 et 31.57 & Maintien de contaminants possible avec évaluation des risques et assemblée publique ; réhabilitation volontaire & Alternative à l'excavation ; restrictions d'usage \\
157+LQE art.~31.58--31.60 & Avis de contamination et de décontamination au registre foncier ; restrictions opposables aux acquéreurs & Vérification des titres (\cref{ch:07}) ; stigmate documenté \\
158+LQE art.~31.68 & Liste municipale publique ; permis de construction et de lotissement conditionnels & Vérification auprès de la municipalité \\
159+RPRT art.~1 et annexes I--II & Valeurs limites par défaut (annexe I) ; annexe II pour les terrains industriels, commerciaux, institutionnels, hors bâtiments résidentiels & L'usage résidentiel exige les valeurs les plus strictes \\
160+Répertoire des terrains contaminés & Inscription « généralement » au-dessus du critère B ; « Il ne s'agit pas d'un inventaire exhaustif » ; noms jamais retirés & Outil de dépistage, non de preuve ; l'inscription survit à la réhabilitation \\
161+\bottomrule
162+\end{tabularx}
163+\tabsource{\textcite{lqe} (texte à jour au 15 octobre 2026), \textcite{rprt} (à jour au 1\textsuperscript{er} juillet 2026), \textcite{repertoiretc}, consultés le 31 octobre 2026 ; dépouillement dans \texttt{sources/notes-B.md}.}
164+\end{table}
165+
166+\subsection{Caractérisation : les trois phases}
167+
168+La pratique professionnelle de l'évaluation environnementale de site procède en trois phases, que le vocabulaire québécois a repris de la pratique nord-américaine. La \motcle{phase I} est une étude documentaire et une visite : historique des usages du terrain et des terrains voisins, photographies aériennes, titres, permis, registres gouvernementaux, entretiens, observation d'indices (réservoirs, taches, remblais, odeurs) ; elle ne comporte aucun échantillonnage et conclut à la présence ou à l'absence d'un risque de contamination justifiant la poursuite. La \motcle{phase II} est l'échantillonnage : sondages, puits d'observation, analyses en laboratoire accrédité des sols et des eaux souterraines, comparées aux valeurs limites applicables à l'usage projeté ; elle établit si les valeurs sont dépassées et par quels contaminants. La \motcle{phase III} délimite l'étendue de la contamination en trois dimensions, estime les volumes et les coûts des options de réhabilitation (excavation et disposition, traitement sur place, confinement et gestion des risques) et sert de base au plan de réhabilitation. Pour l'évaluateur, cette séquence définit trois états d'information très différents. Avant toute étude, le risque est une probabilité fondée sur l'historique des usages, et la conclusion de valeur repose sur une hypothèse extraordinaire divulguée selon les Normes de pratique professionnelle de l'Ordre (\cref{ch:10}) ; après la phase II, la présence ou l'absence de dépassement est établie mais le coût reste incertain ; après la phase III, le coût est un devis et le délai un échéancier, et la valeur se calcule. La valeur de l'information du \cref{ch:11}, qui compare le coût d'un test au coût espéré du défaut (\cref{eq:11:test}), s'applique mot pour mot : une phase I coûte quelques milliers de dollars et une phase II quelques dizaines de milliers, alors qu'une réhabilitation se chiffre en centaines de milliers ; dès que l'historique des usages rend la contamination plausible, l'étude vaut son coût, et l'évaluateur la recommande.
169+
170+\subsection{Modèle de valeur d'un terrain contaminé}\label{sec:43:modele-sol}
171+
172+Soit $V_p$ la valeur du terrain (ou de l'immeuble) s'il était propre et perçu comme tel, $C$ le coût total de caractérisation et de réhabilitation, $T$ le délai en années entre l'achat et la disponibilité du terrain réhabilité, $r$ le taux d'actualisation exigé par un acheteur pour ce type de risque, $s$ le stigmate résiduel en proportion de $V_p$ et $k$ la provision pour dépassement des coûts. Un acheteur rationnel paie aujourd'hui la valeur actualisée de ce qu'il recevra et déboursera :
173+\begin{equation}\label{eq:43:contamine}
174+V_c = \frac{V_p\,(1 - s)}{(1 + r)^{T}} - \frac{C\,(1 + k)}{(1 + r)^{T/2}} - \sum_{m=1}^{12T} \frac{\ell_m}{(1 + r_m)^{m}} ,
175+\end{equation}
176+où le coût est réputé payé à mi-parcours, $\ell_m$ est la perte de revenu mensuelle pendant les travaux (nulle pour un terrain vacant) et $r_m = (1+r)^{1/12} - 1$. L'\cref{eq:43:contamine} sépare les quatre termes de l'\cref{eq:43:decomposition} : le coût $C(1+k)$ actualisé, le coût du délai $V_p(1-s)\,[1 - (1+r)^{-T}]$, les pertes d'usage et le stigmate $sV_p$. Deux remarques guident son emploi. D'abord, la méthode « valeur propre moins coût de réhabilitation », que l'on rencontre dans les rapports, n'est que le cas particulier $T = 0$, $s = 0$, $k = 0$ ; elle surestime la valeur dès que les travaux prennent du temps ou que le marché garde mémoire de la contamination, et l'écart peut être considérable, comme l'exemple ci-dessous le montre. Ensuite, le stigmate $s$ n'est pas un paramètre à fixer par jugement : il se mesure sur des ventes de terrains réhabilités comparées à des terrains jamais contaminés (\cref{sec:43:mesure}), et la littérature indique qu'il décroît avec le temps écoulé depuis la réhabilitation et avec la qualité de la documentation \parencite{jackson2001,simonsSaginor2006}. L'avis de décontamination inscrit au registre foncier \parencite[art.~31.59]{lqe} et le dossier complet des études sont, à cet égard, des actifs : ils réduisent l'incertitude de l'acheteur, donc le stigmate.
177+
178+\begin{exemple}{Terrain d'un ancien garage : valeur contaminée}{43-contamination}
179+Hypothèses fictives, déclarées dans le script du chapitre : un terrain où s'exerçait un garage avec réservoirs souterrains, sur lequel un immeuble de huit logements est projeté, vaudrait propre \dollars{2100000} ; la phase I coûte \dollars{3500}, la phase II \dollars{18000} et la réhabilitation par excavation \dollars{185000}, soit un coût total de \dollars{206500}, avec une provision de 25~\% pour dépassement ; le délai jusqu'à la disponibilité du terrain réhabilité est de 15 mois ; le taux d'actualisation exigé est de 6,5~\% ; le stigmate résiduel est fixé, pour l'exemple, à 5~\%. L'\cref{eq:43:contamine} donne une valeur actualisée du terrain propre stigmatisé de \dollars{1843979}, une valeur actualisée du coût de \dollars{248163} et une valeur contaminée de \dollars{1595816}, soit 24,01~\% de moins que la valeur propre. La décomposition du \cref{tab:43:contamination} montre que le coût de réhabilitation n'explique que la moitié de l'écart : le coût du délai pèse \dollars{151021} et le stigmate \dollars{105000}. La règle « valeur propre moins coût » aurait conclu à \dollars{1893500}, soit \dollars{297684} de trop.
180+\end{exemple}
181+
182+\begin{table}[htbp]
183+\caption{Décomposition de l'écart entre la valeur propre et la valeur contaminée du terrain de l'\cref{ex:43-contamination} (hypothèses fictives)}\label{tab:43:contamination}
184+\centering
185+\begin{tabular}{lS[table-format=7.0]S[table-format=3.1]}
186+\toprule
187+Composante & {Montant (\$)} & {Part de l'écart (\%)} \\
188+\midrule
189+Valeur propre $V_p$ & 2100000 & {---} \\
190+Coût de réhabilitation actualisé, $C(1+k)(1+r)^{-T/2}$ & -248163 & 49.2 \\
191+Coût du délai, $V_p(1-s)\,[1-(1+r)^{-T}]$ & -151021 & 30.0 \\
192+Stigmate, $sV_p$ & -105000 & 20.8 \\
193+\midrule
194+Valeur contaminée $V_c$ & 1595816 & {---} \\
195+Écart total & -504184 & 100.0 \\
196+\bottomrule
197+\end{tabular}
198+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch43\_risques.py (fonction \texttt{exemple\_contamination})}}
199+\end{table}
200+
201+\section{Pathologies du bâtiment : désuétude ou coût de correction}\label{sec:43:pathologies}
202+
203+Pyrite, pyrrhotite, ocre ferreuse, radon, moisissures, amiante, vermiculite, réservoirs de mazout : le \cref{ch:11} a décrit ces pathologies québécoises, leurs signes, les tests qui les confirment et la règle de décision qui justifie de recommander un test (\cref{sec:11:information}). Le présent chapitre n'y revient que pour une question : comment traduire en valeur une pathologie confirmée ? La réponse tient dans la distinction du \cref{ch:24} entre dépréciation curable et incurable (\cref{eq:24:curabilite}). Une pathologie est \emph{curable} lorsque le coût de sa correction n'excède pas le gain de valeur qu'elle procure ; la dépréciation est alors le coût de correction, augmenté des pertes d'usage pendant les travaux et, le cas échéant, d'un stigmate résiduel :
204+\begin{equation}\label{eq:43:curable}
205+D_{\text{cur}} = C_{\text{corr}} + L + S .
206+\end{equation}
207+Une pathologie est \emph{incurable} lorsque sa correction coûterait plus qu'elle ne rapporte, ou qu'elle est impossible ; la dépréciation est alors la perte de revenu ou de loyer qu'elle entraîne, capitalisée au taux du marché, ou la décote extraite de ventes appariées :
208+\begin{equation}\label{eq:43:incurable}
209+D_{\text{inc}} = \frac{\Delta \NOI}{R} \quad\text{ou}\quad D_{\text{inc}} = \overline{P_{\text{sans}} - P^{\text{aj}}_{\text{avec}}} .
210+\end{equation}
211+L'exemple de la pyrite illustre la règle. Pour une excavation de \dollars{25000} et une perte d'usage de \dollars{2000}, la dépréciation curable est de \dollars{27000} ; si l'on renonçait à corriger et que le défaut réduisait le loyer net de \dollars{1800} par année, la capitalisation à 5,5~\% donnerait \dollars{32727} : la correction est le moindre mal, le défaut est curable et l'\cref{eq:43:curable} s'applique. Le radon est l'exemple inverse d'une pathologie presque toujours curable à faible coût (scellement, dépressurisation sous dalle) mais qui, non corrigée, pèse sur la valeur par un canal différent : l'obligation de la déclarer, l'exigence d'un test par les acheteurs et la réticence de certains prêteurs. Le stigmate des pathologies corrigées est en général faible lorsque la correction est documentée (factures, rapport de l'entrepreneur, test de contrôle), ce qui est une raison de plus de conserver ces documents au dossier et de les exiger du vendeur. Les moisissures posent un problème intermédiaire : leur élimination est peu coûteuse lorsque la cause (infiltration, condensation, ventilation) est corrigée, mais tant que la cause demeure, le défaut revient, et un acheteur informé capitalise la récurrence plutôt que le coût d'un nettoyage ; la dépréciation est alors celle de la cause, et non celle du symptôme. L'amiante et la vermiculite sont le cas inverse d'un défaut souvent incurable au sens économique : laissés en place et confinés, ils ne gênent pas l'usage, mais ils renchérissent tout travail ultérieur et pèsent sur la valeur par ce surcoût futur actualisé, que des paires de ventes mesurent mieux qu'un devis. Dans tous ces cas, la règle de décision est la même : comparer le coût de la correction à la perte de valeur que le marché attache au défaut non corrigé, et retenir le moindre des deux, puisqu'un acheteur rationnel fera ce choix. Le \cref{tab:11:pathologies} du \cref{ch:11} indique, pour chaque pathologie, si elle est en principe curable ; le présent chapitre retient que ce classement dépend des coûts du moment et de la valeur du bien, et qu'il doit être vérifié pour chaque sujet.
212+
213+\section{Sinistres et valeur après sinistre}\label{sec:43:sinistres}
214+
215+\subsection{La valeur d'un immeuble sinistré}
216+
217+Un sinistre (incendie, inondation, refoulement d'égout, dégât d'eau majeur, effondrement) crée trois pertes distinctes. La première est le coût de remise en état $C_r$, établi par devis ou par la méthode du coût (\cref{ch:21}). La deuxième est la perte d'usage : loyers perdus pendant les travaux pour un immeuble locatif, coût de relogement pour un propriétaire occupant, actualisés sur la durée des travaux. La troisième est le stigmate résiduel : un immeuble qui a été inondé reste, aux yeux du marché, un immeuble inondable ; un immeuble incendié éveille la crainte de dommages cachés à la structure ; un refoulement signale un problème de drainage ou d'égout collectif. La valeur de l'immeuble sinistré, non réparé, à la date du sinistre est
218+\begin{equation}\label{eq:43:sinistre}
219+V_{\text{après}} = V_{\text{avant}} - C_r - \sum_{m=1}^{M} \frac{\ell_m}{(1 + r_m)^{m}} - s\,V_{\text{avant}} ,
220+\end{equation}
221+où $M$ est la durée des travaux en mois, $\ell_m$ la perte mensuelle d'usage et $s$ le stigmate résiduel en proportion de la valeur antérieure. Deux précisions. La valeur antérieure $V_{\text{avant}}$ est la valeur marchande à la date d'évaluation du bien tel qu'il était la veille du sinistre, non une valeur historique ; si le marché a évolué, elle est réestimée. Et le coût de remise en état est celui de la remise à l'état antérieur, non celui d'une amélioration : si le propriétaire profite des travaux pour moderniser, la part d'amélioration est une plus-value, non une perte.
222+
223+\subsection{Le rôle de l'assurance}
224+
225+L'assurance change la position du propriétaire, non la valeur de l'immeuble. L'indemnité $A$ versée par l'assureur couvre une part du coût de remise en état (sous réserve de la franchise, des exclusions et des limites de la police) et, lorsque la police le prévoit, une part des pertes de loyers ; elle ne couvre jamais le stigmate, qui n'est pas un dommage matériel. La position du propriétaire assuré après le sinistre est donc
226+\begin{equation}\label{eq:43:assure}
227+W = V_{\text{après}} + A, \qquad V_{\text{avant}} - W = (C_r - A_{C}) + \left(L - A_{L}\right) + s\,V_{\text{avant}} ,
228+\end{equation}
229+où $A_C$ et $A_L$ sont les parts de l'indemnité affectées aux coûts et aux pertes d'usage. L'évaluateur distingue soigneusement les deux questions qu'on lui pose : quelle est la valeur marchande de l'immeuble dans son état sinistré (c'est $V_{\text{après}}$, et elle intéresse l'acheteur éventuel, le prêteur et l'évaluateur municipal au titre de l'article 174 par.~6° de la Loi sur la fiscalité municipale) et quelle est la perte du propriétaire (c'est $V_{\text{avant}} - W$, et elle intéresse l'assuré, l'assureur et, en cas de litige, le tribunal). Les normes de pratique de l'Ordre comportent des règles propres aux mandats d'assurance (normes 13 et 14), que le \cref{ch:10} situe ; en évaluation marchande, la règle est de ne jamais confondre valeur assurable (coût de reconstruction, \cref{ch:21}) et valeur marchande. Pour les bâtiments neufs, le plan de garantie obligatoire exclut expressément les inondations et les sols contaminés \parencite[art.~12]{reglgarantie} : un acheteur d'un bâtiment neuf en zone inondable ne peut compter sur la garantie pour ce risque.
230+
231+Le sinistre a enfin une conséquence fiscale que l'évaluateur ne doit pas négliger. La destruction totale ou partielle d'un bâtiment est un motif de modification du rôle d'évaluation foncière \parencite[art.~174 par.~6°]{lfm}, et la modification prend effet à la date de l'événement, sans pouvoir remonter avant le premier jour de l'exercice précédant celui de la modification \parencite[art.~177 par.~5°]{lfm} ; l'état retenu est alors celui de l'unité « immédiatement après l'événement », les conditions du marché restant celles de la date de référence du rôle \parencite[art.~46 al.~2]{lfm}. Un propriétaire sinistré a donc intérêt à demander la modification de son rôle, et l'évaluateur municipal doit distinguer, dans la valeur après sinistre, ce qui relève de l'état physique (coût de remise en état, perte d'usage), qu'il inscrit, et ce qui relève du stigmate, qu'il n'inscrit que s'il est établi par le marché à la date de référence. Le \cref{ch:09} traite de la procédure.
232+
233+\begin{exemple}{Un immeuble de huit logements du cas 4 inondé}{43-sinistre}
234+L'immeuble P41 du cas 4, à Montréal, compte huit logements d'un loyer mensuel moyen de \dollars{1402}, un revenu net de \dollars{79943} et une valeur de \dollars{1714000} en 2026 ; il est en zone inondable. On suppose, à titre d'hypothèses fictives, qu'une inondation endommage le rez-de-chaussée et le sous-sol : coût de remise en état \dollars{240000}, quatre logements inhabitables pendant cinq mois (perte de \dollars{5608} par mois), taux d'actualisation 6,5~\%, stigmate résiduel 5~\%, police couvrant 85~\% du coût de remise en état avec une franchise de \dollars{10000} et sans couverture des loyers. L'\cref{eq:43:sinistre} donne une perte d'usage actualisée de \dollars{27603}, un stigmate de \dollars{85700} et une valeur après sinistre de \dollars{1360697}, soit 20,61~\% de moins que la valeur antérieure. L'indemnité est de $0{,}85 \times 240000 - 10000 = \dollars{194000}$ ; la position du propriétaire assuré est de \dollars{1554697}, sa perte nette de \dollars{159303}, dont \dollars{46000} de coûts non couverts, \dollars{27603} de loyers perdus et \dollars{85700} de stigmate : 45,1~\% de la perte de valeur n'est pas indemnisée, et le stigmate en est la plus grosse part (\cref{tab:43:sinistre}).
235+\end{exemple}
236+
237+\begin{table}[htbp]
238+\caption{Valeur après sinistre et position du propriétaire assuré pour l'immeuble P41 (cas 4, hypothèses fictives)}\label{tab:43:sinistre}
239+\centering
240+\begin{tabular}{lS[table-format=7.0]S[table-format=7.0]}
241+\toprule
242+Poste & {Immeuble (\$)} & {Propriétaire assuré (\$)} \\
243+\midrule
244+Valeur avant le sinistre & 1714000 & 1714000 \\
245+Coût de remise en état & -240000 & -240000 \\
246+Perte d'usage actualisée (4 logements, 5 mois) & -27603 & -27603 \\
247+Stigmate résiduel (5~\%) & -85700 & -85700 \\
248+Indemnité d'assurance ($0{,}85 \times C_r - $ franchise) & {---} & 194000 \\
249+\midrule
250+Valeur après sinistre / position nette & 1360697 & 1554697 \\
251+Perte (\$) et part de la perte de valeur non indemnisée & -353303 & -159303 \\
252+\bottomrule
253+\end{tabular}
254+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch43\_risques.py (fonction \texttt{exemple\_sinistre}) ; immeuble P41 de \texttt{cas4\_portefeuille.csv}}}
255+\end{table}
256+
257+\subsection{Déclarations, vices cachés et vérification}
258+
259+L'historique des sinistres est une information que le droit oblige à partager et que l'évaluateur doit rechercher. Le formulaire \emph{Déclarations du vendeur sur l'immeuble} de l'Organisme d'autoréglementation du courtage immobilier du Québec, obligatoire depuis juillet 2012 lorsqu'une personne physique vend un immeuble résidentiel de moins de cinq logements par l'entremise d'un courtier, interroge le vendeur sur les infiltrations, les inondations, les sinistres et les réclamations d'assurance \parencite{oaciqFormulaireDV} ; le courtier doit « découvrir […] les facteurs pouvant affecter défavorablement » l'immeuble et en informer les parties \parencite[art.~84--85]{reglCourtageDeontologie}. Le vendeur garantit l'acheteur contre les vices cachés « qui le rendent impropre à l'usage auquel on le destine ou qui diminuent tellement son utilité que l'acheteur ne l'aurait pas acheté, ou n'aurait pas donné si haut prix » \parencite[art.~1726]{ccq}, avec dommages-intérêts s'il « connaissait le vice caché ou ne pouvait l'ignorer » \parencite[art.~1728]{ccq} ; un sinistre passé mal réparé, une contamination connue et tue, un remblai de pyrite dissimulé relèvent de ce régime, et le \cref{ch:06} en traite. Pour l'évaluateur, ces règles ont une conséquence directe : les déclarations du vendeur, les factures de remise en état, les rapports d'expertise et les réclamations d'assurance font partie des documents à demander, et leur absence, pour un immeuble exposé, est elle-même une information que le rapport doit consigner ; la vérification des ventes comparables (\cref{ch:16}) s'étend, en zone exposée, à l'historique des sinistres de chaque comparable, parce qu'un comparable sinistré et non réparé n'informe pas sur un sujet intact.
260+
261+\section{Mesurer l'effet d'un risque}\label{sec:43:mesure}
262+
263+\subsection{Ventes appariées}
264+
265+La méthode la plus intuitive consiste à apparier chaque vente d'un bien exposé à la vente d'un bien non exposé aussi semblable que possible, vendu à une date proche, et à ajuster le témoin des différences résiduelles par les méthodes du \cref{ch:17} :
266+\begin{equation}\label{eq:43:paires}
267+\Delta_j = P^{E}_j - P^{\text{aj}}_j, \qquad P^{\text{aj}}_j = \left(P^{N}_j + A^{\text{temps}}_j\right)\prod_k \left(1 + a_{jk}\right), \qquad \hat\delta = \frac{1}{n}\sum_j \frac{\Delta_j}{P^{\text{aj}}_j} ,
268+\end{equation}
269+où $P^E_j$ est le prix du bien exposé, $P^N_j$ celui de son témoin, $A^{\text{temps}}_j$ l'ajustement de conditions du marché et $a_{jk}$ les ajustements physiques en proportion (\cref{eq:17:paires}). La fonction \texttt{ventes\_appariees} du module \texttt{traite.comparables} calcule la différence moyenne, la médiane et l'écart-type. La méthode a deux faiblesses propres aux risques environnementaux. La première est l'\motcle{aménité confondue} : les biens exposés aux inondations sont riverains, et la proximité de l'eau est une aménité (vue, accès) que le marché paie ; une paire exposé-témoin compare donc un bien qui cumule risque et aménité à un bien qui n'a ni l'un ni l'autre, et la différence mesure le risque \emph{net} de l'aménité, non le risque. \textcite{binKruseLandry2008} ont montré que l'omission des aménités côtières biaise la décote vers zéro ; la seule parade est de disposer de témoins qui ont l'aménité sans le risque, ou de contrôler l'aménité explicitement, ce que le modèle hédonique permet. La seconde faiblesse est l'\motcle{hétérogénéité} : la décote d'une classe très élevée n'est pas celle d'une classe faible, et la moyenne des paires dépend de la composition de l'échantillon ; il faut au moins la calculer par classe.
270+
271+\subsection{Modèle hédonique à indicatrice et à interactions}
272+
273+Le modèle hédonique semi-logarithmique du \cref{ch:18} (\cref{eq:18:semilog}) accueille le risque comme une indicatrice, ou comme un jeu d'indicatrices par classe, et l'aménité comme une variable distincte :
274+\begin{equation}\label{eq:43:hedonique}
275+\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \tau\, t_i + \theta\, Z_i + \sum_{c} \delta_c\,\ind[\text{classe}_i = c] + \varepsilon_i ,
276+\end{equation}
277+où $Z_i$ vaut un pour un bien riverain (vue sur l'eau) qu'il soit exposé ou non, et $\delta_c$ est la décote de la classe $c$ par rapport aux biens hors zone. L'effet en pourcentage est $100\,[\exp(\hat\delta_c) - 1]$ \parencite{halvorsenPalmquist1980}, avec la correction de Kennedy si l'erreur-type est grande (\cref{eq:17:kennedy}). L'identification de $\theta$ exige qu'il existe des biens riverains non exposés (par exemple au bord d'un plan d'eau dont le niveau est régularisé, ou en hauteur) : sans eux, $Z_i$ et l'exposition sont colinéaires et aucune régression ne peut séparer le risque de l'aménité. Pour mesurer un stigmate consécutif à un événement survenu à la date $t_0$, on ajoute l'interaction de chaque classe avec l'indicatrice de période :
278+\begin{equation}\label{eq:43:interaction}
279+\ln P_i = \dots + \sum_{c} \delta_c\,\ind[\text{classe}_i = c] + \sum_{c} \lambda_c\,\ind[\text{classe}_i = c]\,\ind[t_i \geq t_0] + \pi\,\ind[t_i \geq t_0] + \varepsilon_i ,
280+\end{equation}
281+où $\delta_c$ est la décote de la classe avant l'événement, $\lambda_c$ le stigmate additionnel après, et $\pi$ l'effet de la période sur tous les biens. Avec une seule classe, l'\cref{eq:43:interaction} est la régression de doubles différences du \cref{ch:08} (\cref{eq:8:did-reg}) ; avec plusieurs classes, elle permet de vérifier que le stigmate croît avec l'exposition, ce qui est un test de vraisemblance que la méthode des paires ne fournit pas.
282+
283+\subsection{Doubles différences autour d'un événement}
284+
285+Lorsqu'un événement (inondation, publication d'une carte, découverte d'une contamination, mise en service d'un ouvrage de protection) survient à une date connue et touche un groupe identifiable, la comparaison de l'évolution des prix ou des revenus du groupe exposé et d'un groupe témoin avant et après l'événement isole l'effet de l'événement sous l'hypothèse de tendances parallèles. L'estimateur à deux périodes est
286+\begin{equation}\label{eq:43:did}
287+\hat\delta_{2\times 2} = \left(\bar y_{E,\text{après}} - \bar y_{E,\text{avant}}\right) - \left(\bar y_{N,\text{après}} - \bar y_{N,\text{avant}}\right) ,
288+\end{equation}
289+où $y$ est le logarithme du prix ou du revenu net ; sa version par régression avec effets fixes d'unité et de période, et son extension en étude d'événement qui estime un coefficient par période relative à l'événement, sont présentées au \cref{ch:36}, dont le module \texttt{traite.panel} fournit les fonctions (\texttt{did\_2x2}, \texttt{twfe}, \texttt{event\_study}). Trois points méritent d'être soulignés ici parce qu'ils sont propres aux risques environnementaux. D'abord, les doubles différences mesurent le \emph{stigmate} de l'événement, c'est-à-dire la variation de la décote, non la décote elle-même : un marché qui tarifait déjà parfaitement le risque avant l'événement ne montrerait aucun effet, ce qui ne signifierait pas que le risque est sans valeur. Ensuite, les unités exposées sont souvent très peu nombreuses, trois immeubles sur quarante-huit dans le cas 4, et l'inférence asymptotique en grappes est alors peu fiable ; l'\motcle{inférence de randomisation} \parencite{angristPischke2009}, qui réaffecte le traitement à toutes les combinaisons possibles d'unités et compare l'estimateur observé à la distribution des estimateurs placebo, fournit une valeur $p$ exacte :
290+\begin{equation}\label{eq:43:ri}
291+p = \frac{1}{\binom{N}{n}} \sum_{g \in \mathcal{G}} \ind\left[\,\abs{\hat\delta_g} \geq \abs{\hat\delta_{\text{obs}}}\,\right] ,
292+\end{equation}
293+où $\mathcal{G}$ est l'ensemble des $\binom{N}{n}$ affectations de $n$ unités traitées parmi $N$. Enfin, les unités exposées d'un portefeuille sont dispersées dans des marchés aux tendances différentes ; les effets fixes de période doivent alors être propres à chaque marché (région × trimestre), faute de quoi la double différence attribue à l'événement l'écart des tendances régionales. \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} ont adapté ces estimateurs aux microdonnées immobilières en tenant compte de la dépendance spatiale, et \textcite{callawaySantanna2021} et \textcite{goodmanbacon2021} ont montré les pièges des effets fixes bidirectionnels lorsque les unités sont traitées à des dates différentes, ce qui est le cas de cartes publiées progressivement ; le \cref{ch:36} les développe.
294+
295+\section{Exemple intégral : Rivière-Fictive et le portefeuille du cas 4}\label{sec:43:exemple}
296+
297+\subsection{Une municipalité riveraine fictive}
298+
299+La municipalité de Rivière-Fictive est une grille de 625 lots de 40 mètres de côté ; une rivière longe son bord sud, un lac dont le niveau est régularisé longe son bord est (\cref{fig:43:carte-riverain}). Les 175 lots des sept premières rangées depuis la rivière sont en zone inondable : 25 en classe très élevée (première rangée), 50 en classe élevée, 50 en classe modérée et 50 en classe faible ; les 450 autres sont hors zone. Les lots à moins de 120 mètres de la rivière et les lots des trois colonnes riveraines du lac bénéficient d'une aménité « vue sur l'eau » identique ; 141 lots sont dans ce cas, dont 54 hors zone inondable (les colonnes du lac), ce qui permet d'identifier l'aménité séparément du risque. Les 1 014 ventes de 2016 à 2026 suivent une loi déclarée : logarithme du prix égal au logarithme d'un prix de base de \dollars{390000}, plus des élasticités de 0,55 à la superficie habitable et de 0,10 au terrain, moins 0,005 par année d'âge, plus 0,06 par échelon de qualité, 0,035 pour un garage, 0,04 pour la vue sur l'eau, une tendance de 3,5~\% par année et un bruit d'écart-type 0,07 ; la décote de zone inondable avant l'inondation est de $-0{,}10$ (très élevée), $-0{,}07$ (élevée), $-0{,}04$ (modérée) et $-0{,}015$ (faible) en logarithme ; une inondation survient le 1\textsuperscript{er} mai 2019 et multiplie chaque décote par 1,5 pour les ventes postérieures, ce qui est le stigmate. Ces valeurs sont des hypothèses pédagogiques situées dans les fourchettes du \cref{tab:43:litterature} ; elles ne décrivent aucun marché québécois. Sur les 302 ventes de lots exposés, la décote déclarée moyenne est de $-0{,}0499$ avant l'inondation et de $-0{,}0763$ après ; le stigmate moyen est donc de $-0{,}0263$ en logarithme. La \cref{fig:43:carte-riverain} montre, à droite, l'écart de prix net des attributs par classe, avant et après : l'ordre des classes et l'aggravation après 2019 y sont visibles à l'œil, mais les intervalles de confiance des classes faible et modérée se chevauchent, ce qui annonce la difficulté de la mesure.
300+
301+\begin{figure}[htbp]
302+\centering
303+\includegraphics[width=\textwidth]{ch43/ch43-fig-carte-riverain.pdf}
304+\caption{(a) Les 625 lots de Rivière-Fictive : classes d'exposition le long de la rivière, lots riverains du lac (aménité sans exposition). (b) Logarithme du prix net des attributs physiques et de la tendance, écart moyen aux lots hors zone sans vue, par classe, avant et après l'inondation de mai 2019, avec intervalles à 95~\%. La décote croît avec la classe et s'aggrave après l'événement ; les classes faible et modérée se distinguent mal.}\label{fig:43:carte-riverain}
305+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch43\_carte\_riverain.py, graine 20261031}}
306+\end{figure}
307+
308+\subsection{Quatre méthodes, sept estimations}
309+
310+Le \cref{tab:43:methodes} et la \cref{fig:43:methodes} comparent les estimations. Les 206 ventes exposées postérieures à l'inondation ont chacune été appariées à la vente hors zone la plus proche par la distance d'attributs (superficies, âge, qualité, garage, date à moins de douze mois), le témoin étant ajusté du temps et des écarts physiques par les coefficients hédoniques estimés sur les témoins ; la différence moyenne est de $-\dollars{19113}$, soit $-4{,}83$~\% du témoin ajusté (médiane $-5{,}35$~\%, intervalle de confiance de $-6{,}15$ à $-3{,}51$~\%), alors que la décote déclarée moyenne de ces ventes est de $-7{,}26$~\%. La méthode sous-estime la décote d'un tiers, et la raison est l'aménité : les paires dont le bien exposé a la vue sur l'eau affichent une différence de $-5{,}91$~\% et les autres de $-3{,}62$~\%, parce que le témoin hors zone n'a pas la vue et que l'ajustement ne la corrige pas. Par classe, les paires donnent $-8{,}47$~\% (très élevée), $-5{,}97$~\% (élevée), $-5{,}37$~\% (modérée) et $-1{,}30$~\% (faible), contre $-13{,}9$, $-10{,}0$, $-5{,}8$ et $-2{,}2$~\% déclarés après l'inondation : l'ordre est retrouvé, l'ampleur est sous-estimée pour les classes riveraines.
311+
312+Le modèle hédonique à indicatrice unique, sans la variable de vue, donne $\hat\delta = -0{,}0447$ (0,0052) ; avec la variable de vue, $-0{,}0501$ (0,0059) et un coefficient de vue de seulement $0{,}0132$ (0,0062), alors que l'aménité déclarée est de 0,04. La décote déclarée moyenne sur l'ensemble des ventes exposées est de $-0{,}0681$ : l'indicatrice unique la sous-estime aussi, même avec l'aménité au modèle. La raison est une interaction entre hétérogénéité et aménité : les classes les plus exposées sont aussi les plus riveraines, de sorte qu'une indicatrice unique, qui impose la même décote à toutes les classes, laisse à la variable de vue la tâche impossible de représenter à la fois l'aménité des lots du lac et le surcroît de décote des lots de la première rangée ; le compromis des moindres carrés abaisse l'un et l'autre. Le modèle par classe avec interactions (\cref{eq:43:interaction}) lève la difficulté : les décotes avant l'inondation sont estimées à $-0{,}1035$ (0,0183), $-0{,}0564$ (0,0149), $-0{,}0426$ (0,0158) et $-0{,}0043$ (0,0122) pour les quatre classes, contre $-0{,}10$, $-0{,}07$, $-0{,}04$ et $-0{,}015$ déclarés ; les stigmates sont de $-0{,}0218$ (0,0223), $-0{,}0430$ (0,0154), $-0{,}0193$ (0,0184) et $-0{,}0095$ (0,0163), contre $-0{,}05$, $-0{,}035$, $-0{,}02$ et $-0{,}0075$ ; l'aménité est de $0{,}0417$ (0,0074), contre 0,04. Toutes les valeurs déclarées sont dans les intervalles de confiance à 95~\%, à une exception près, la classe faible avant l'inondation, dont la décote déclarée de 1,5~\% est trop petite pour être distinguée de zéro avec 50 lots. Le coefficient de détermination passe de 0,874 à 0,882.
313+
314+\begin{table}[htbp]
315+\caption{Décote des ventes exposées de Rivière-Fictive selon la méthode (logarithme du prix ; erreurs-types robustes ; vérité du générateur pour la cible de chaque estimation)}\label{tab:43:methodes}
316+\centering
317+\small
318+\setlength{\tabcolsep}{4pt}
319+\begin{tabular}{lS[table-format=-1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=-1.4]l}
320+\toprule
321+Méthode & {Estim.} & {E.-t.} & {Vérité} & Cible \\
322+\midrule
323+Paires, après 2019, sans l'aménité ($n = 206$) & -0.0495 & 0.0092 & -0.0763 & décote après \\
324+Hédonique, exposé, sans « vue » & -0.0447 & 0.0052 & -0.0681 & décote moyenne \\
325+Hédonique, exposé, avec « vue » & -0.0501 & 0.0059 & -0.0681 & décote moyenne \\
326+DiD régression : exposé (avant) & -0.0316 & 0.0092 & -0.0499 & décote avant \\
327+DiD régression : exposé × après & -0.0269 & 0.0107 & -0.0263 & stigmate \\
328+DiD régression : somme & -0.0585 & {---} & -0.0763 & décote après \\
329+DiD $2 \times 2$, moyennes de $\ln P$ & -0.0237 & {---} & -0.0263 & stigmate \\
330+\bottomrule
331+\end{tabular}
332+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch43\_risques.py (fonction \texttt{effets\_par\_methode}) ; 1 014 ventes, dont 302 exposées et 695 postérieures au 1\textsuperscript{er} mai 2019}}
333+\end{table}
334+
335+\begin{figure}[htbp]
336+\centering
337+\includegraphics[width=\textwidth]{ch43/ch43-fig-effets-methodes.pdf}
338+\caption{(a) Les sept estimations du \cref{tab:43:methodes} avec leurs intervalles à 95~\% et, en trait vertical noir, la vérité du générateur pour la cible de chacune : les méthodes qui ne contrôlent pas l'aménité ou qui imposent une décote unique sous-estiment la décote ; la double différence retrouve le stigmate. (b) Décotes par classe avant l'inondation et stigmates (classe × après) du modèle à interactions, estimés et déclarés.}\label{fig:43:methodes}
339+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch43\_effets\_methodes.py, graine 20261031}}
340+\end{figure}
341+
342+La régression de doubles différences à indicatrice unique (exposé, après, exposé × après, vue, attributs, tendance) estime le stigmate à $-0{,}0269$ (0,0107), contre $-0{,}0263$ déclaré : la double différence est la seule des méthodes à indicatrice unique qui retrouve sa cible, parce que le stigmate est, par construction, une variation que l'aménité (constante dans le temps) ne contamine pas. La décote avant l'inondation du même modèle, $-0{,}0316$ (0,0092), souffre en revanche du même biais que l'indicatrice unique. L'estimateur $2 \times 2$ sur les moyennes de $\ln P$, sans aucun contrôle, donne $-0{,}0237$ : proche de la vérité ici parce que la composition des ventes est stable dans le temps, mais sans erreur-type et sans garantie. La leçon d'ensemble est que la décote d'un risque environnemental n'est bien mesurée qu'avec trois ingrédients : des témoins qui partagent l'aménité sans le risque, une spécification qui laisse la décote varier avec l'intensité de l'exposition, et un événement, lorsqu'il en existe un, pour séparer ce que le marché tarifait déjà de ce qu'il a appris.
343+
344+\subsection{Une inondation dans le portefeuille du cas 4}
345+
346+Le second volet de l'exemple porte sur les revenus plutôt que sur les prix. Les séries trimestrielles de revenu net du cas 4 (42 trimestres, de 2016 à 2026) sont celles du générateur, sans aucun choc d'inondation ; le script du chapitre y injecte, pour les trois immeubles en zone inondable, un choc déclaré au deuxième trimestre de 2019 : $-0{,}25$ en logarithme au trimestre de l'inondation (logements inhabitables), $-0{,}12$ et $-0{,}06$ aux deux trimestres suivants (remise en état), puis une perte permanente de $-0{,}05$ à partir de 2020 (loyers plus bas, inoccupation, assurance), soit $-4{,}88$~\% du revenu net. La \cref{fig:43:did-cas4} montre les trajectoires et l'étude d'événement ; le \cref{tab:43:did-cas4} rassemble les estimateurs.
347+
348+\begin{figure}[htbp]
349+\centering
350+\includegraphics[width=\textwidth]{ch43/ch43-fig-did-cas4.pdf}
351+\caption{(a) Logarithme du revenu net moyen des trois immeubles traités et des 45 témoins du cas 4, centré sur 2019T1 ; en tireté, la trajectoire des traités sans le choc (vérité du générateur). (b) Étude d'événement avec effets fixes d'immeuble et de région × trimestre, intervalles à 95~\% en grappes par immeuble ; en tireté, le choc déclaré. La chute transitoire est retrouvée avec précision ; l'effet permanent est estimé entre $-0{,}03$ et $-0{,}09$ selon le trimestre, autour d'une vérité de $-0{,}05$.}\label{fig:43:did-cas4}
352+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch43\_did\_cas4.py ; séries traite.cas4 avec choc injecté par analysis/python/cases/ch43\_risques.py}}
353+\end{figure}
354+
355+\begin{table}[htbp]
356+\caption{Doubles différences sur le logarithme du revenu net trimestriel du cas 4, choc d'inondation injecté en 2019T2 sur trois immeubles}\label{tab:43:did-cas4}
357+\centering
358+\small
359+\begin{tabular}{lS[table-format=-1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=-1.4]}
360+\toprule
361+Estimateur & {Estimation} & {Erreur-type} & {Vérité} \\
362+\midrule
363+\multicolumn{4}{l}{\textit{Moyennes de cellule, $\ln \NOI$ (avant : 2017T1--2019T1 ; après : 2020T1--2026T2)}} \\
364+Témoins, avant / après & 10.0063 & {---} & {---} \\
365+ & 10.1607 & {---} & {---} \\
366+Traités, avant / après & 10.0995 & {---} & {---} \\
367+ & 10.1409 & {---} & {---} \\
368+\addlinespace
369+DiD $2 \times 2$ naïf (tous témoins) & -0.1129 & 0.0252 & -0.0500 \\
370+DiD par strate : témoins de la même RMR & -0.0794 & {---} & -0.0500 \\
371+EF immeuble + RMR × trimestre : transitoire (2019T2--T4) & -0.1653 & 0.0263 & -0.1433 \\
372+EF immeuble + RMR × trimestre : permanent (dès 2020T1) & -0.0888 & 0.0466 & -0.0500 \\
373+\addlinespace
374+Randomisation exacte (17 296 affectations) : $p$, naïf & 0.0052 & {---} & {---} \\
375+Randomisation exacte : $p$, par strate & 0.0240 & {---} & {---} \\
376+\bottomrule
377+\end{tabular}
378+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch43\_risques.py (fonction \texttt{did\_cas4}) ; erreurs-types HC1 pour le DiD agrégé par immeuble, en grappes par immeuble pour les effets fixes}}
379+\end{table}
380+
381+L'estimateur $2 \times 2$ naïf donne $-0{,}1129$, plus du double de la vérité, parce que les trois immeubles traités sont à Québec, Montréal et Saguenay, dont les revenus croissent respectivement de 3,0, 3,5 et 2,0~\% par année dans le générateur, alors que huit des 45 témoins sont à Gatineau, la région à plus forte croissance, et seize à Montréal ; la double différence attribue au choc l'écart des tendances régionales. Centrer chaque immeuble traité sur les témoins de sa propre région ramène l'estimateur à $-0{,}0794$ ; les effets fixes de région × trimestre, qui font la même chose pour chaque trimestre, donnent un effet permanent de $-0{,}0888$ avec une erreur-type en grappes de 0,0466 : l'intervalle à 95~\% ($-0{,}180$ à $+0{,}003$) contient la vérité mais aussi zéro. L'effet transitoire, lui, est bien estimé ($-0{,}1653$ pour une moyenne déclarée de $-0{,}1433$), parce qu'il est grand par rapport au bruit. Le panneau (b) de la \cref{fig:43:did-cas4} montre pourquoi l'effet permanent est imprécis : les coefficients des trimestres antérieurs à l'événement ne sont pas tous nuls (celui de $k = -7$ vaut $+0{,}0208$ avec une erreur-type de 0,0080), signe que les trois immeubles traités suivaient, par le seul hasard de leurs marches aléatoires, une tendance légèrement différente de leurs témoins ; et les coefficients postérieurs dérivent de $-0{,}03$ à $-0{,}09$ à mesure que l'on s'éloigne de l'événement, le dernier regroupant tous les trimestres au-delà de douze. Avec trois unités traitées, aucune méthode ne peut moyenner ce hasard, et l'erreur-type en grappes, calculée sur 48 grappes dont 3 seulement portent l'information, n'est pas fiable.
382+
383+L'inférence de randomisation donne la réponse honnête. Il existe $\binom{48}{3} = 17296$ façons de désigner trois immeubles traités parmi quarante-huit ; en calculant l'estimateur pour chacune, on obtient la distribution des effets que le hasard seul produit (\cref{fig:43:placebos}). L'estimateur naïf observé, $-0{,}1129$, est plus extrême en valeur absolue que 99,5~\% des placebos ($p = 0{,}0052$) ; l'estimateur par strate, $-0{,}0794$, l'est plus que 97,6~\% d'entre eux ($p = 0{,}0240$). Le choc est détecté, mais son ampleur permanente ne peut être estimée à mieux qu'un facteur deux près. C'est une conclusion méthodologique importante pour l'évaluation : un événement qui touche une poignée d'immeubles d'un portefeuille permet de démontrer qu'il a eu un effet, rarement de le chiffrer avec la précision qu'exige une conclusion de valeur ; pour cette dernière, l'évaluateur se tourne vers des marchés plus larges, comme celui de Rivière-Fictive, ou vers la littérature.
384+
385+\begin{figure}[htbp]
386+\centering
387+\includegraphics[width=\textwidth]{ch43/ch43-fig-placebos.pdf}
388+\caption{Inférence de randomisation exacte pour le DiD du cas 4 : distribution des 17 296 estimateurs placebo obtenus en affectant le traitement à chaque combinaison de trois immeubles parmi 48, estimateur observé (trait plein, et son opposé en pointillé) et vérité (tireté). (a) Estimateur $2 \times 2$ naïf : $p = 0{,}005$ ; (b) estimateur par strate de RMR : $p = 0{,}024$.}\label{fig:43:placebos}
389+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch43\_placebos.py}}
390+\end{figure}
391+
392+Reste à réunir les deux canaux par l'\cref{eq:43:effet-total}. Pour un immeuble en zone inondable du cas 4, l'effet permanent estimé sur le revenu net est de $-0{,}0888$ et la prime de taux de la \cref{sec:43:prime} de $+0{,}0756$ : l'effet total estimé sur la valeur est de $-0{,}0888 - 0{,}0756 = -0{,}1644$ en logarithme, soit $-15{,}16$~\% ; la vérité du générateur est de $-0{,}05 - \ln 1{,}05 = -0{,}0988$, soit $-9{,}41$~\%. L'écart entre les deux vient entièrement de l'imprécision que les petits nombres imposent aux deux estimations, et il illustre la règle de prudence de ce chapitre : une décote estimée sur trois immeubles est une indication, non une mesure, et le rapport doit le dire.
393+
394+\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:43:sensibilite}
395+
396+Les modèles de valeur de ce chapitre dépendent de paramètres que l'évaluateur fixe par jugement ou par mesure : le stigmate, le délai, le taux, le coût. Le \cref{tab:43:sensibilite} fait varier le stigmate et le délai dans l'\cref{ex:43-contamination}, toutes autres hypothèses égales. Un délai de six mois au lieu de quinze, sans stigmate, porte la valeur contaminée à \dollars{1780814} ; un stigmate de 15~\% et un délai de vingt-quatre mois la ramènent à \dollars{1331391} : entre les deux, une plage de \dollars{449423}, soit 21~\% de la valeur propre, pour des paramètres qui restent tous vraisemblables. Le coût de réhabilitation est tout aussi sensible : un dépassement de 50~\% du devis (hors la provision de 25~\% déjà comptée) abaisse la valeur à \dollars{1471735}, un doublement à \dollars{1347653}. Pour le sinistre de l'\cref{ex:43-sinistre}, la valeur après sinistre varie de \dollars{1446397} sans stigmate à \dollars{1189297} avec un stigmate de 15~\%, soit de \dollars{17140} par point de stigmate : le stigmate est le paramètre dont la mesure importe le plus, et c'est précisément celui que la méthode du coût ne fournit pas. La recommandation est double : présenter la conclusion sous forme de fourchette dont les bornes correspondent à des scénarios de stigmate et de délai explicites, et documenter l'origine de chaque paramètre (devis, échéancier de l'entrepreneur, paires de ventes, littérature), afin que le lecteur du rapport puisse substituer les siens.
397+
398+\begin{table}[htbp]
399+\caption{Sensibilité de la valeur du terrain contaminé de l'\cref{ex:43-contamination} au stigmate et au délai de réhabilitation (\$ ; valeur propre \dollars{2100000}, coût \dollars{206500} plus 25~\%, taux 6,5~\%)}\label{tab:43:sensibilite}
400+\centering
401+\begin{tabular}{lS[table-format=7.0]S[table-format=7.0]S[table-format=7.0]}
402+\toprule
403+Stigmate $s$ & {Délai 6 mois} & {Délai 15 mois} & {Délai 24 mois} \\
404+\midrule
405+0~\% & 1780814 & 1692867 & 1609114 \\
406+5~\% & 1679068 & 1595816 & 1516539 \\
407+10~\% & 1577323 & 1498764 & 1423965 \\
408+15~\% & 1475578 & 1401713 & 1331391 \\
409+\bottomrule
410+\end{tabular}
411+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch43\_risques.py (fonction \texttt{exemple\_contamination}, dictionnaire \texttt{sensibilite})}}
412+\end{table}
413+
414+\begin{erreurs}
415+\begin{itemize}
416+\item Appliquer une décote « typique » de zone inondable ou de contamination tirée de la pratique ou d'une étude étrangère sans la mesurer sur le marché du sujet : les fourchettes publiées dépendent du régime d'assurance, des règles de reconstruction et de la mémoire récente du marché, et le cadre québécois de 2026 ne ressemble à aucun de ceux qui ont été étudiés.
417+\item Évaluer un terrain contaminé par « valeur propre moins coût de réhabilitation », en oubliant le délai, la provision pour dépassement et le stigmate ; l'exemple de la \cref{sec:43:sols} montre que ces trois termes pèsent autant que le coût lui-même.
418+\item Mesurer la décote d'une zone inondable par des paires exposé-témoin sans contrôler l'aménité riveraine : la décote est alors sous-estimée, parce que le témoin n'a pas la vue que le bien exposé a (\cref{tab:43:methodes}).
419+\item Imposer une décote unique à toutes les classes d'exposition : la décote varie du simple au décuple entre la classe faible et la classe très élevée, et une indicatrice unique, en interaction avec l'aménité, biaise les deux coefficients.
420+\item Lire une prime de taux de 5~\% comme une décote de valeur de 5~\% : par l'\cref{eq:43:decote-taux}, la décote est de 4,76~\%, et elle s'ajoute, en logarithme, à l'effet sur le revenu.
421+\item Conclure à un effet précis à partir d'un événement qui n'a touché que quelques immeubles ; l'inférence de randomisation de la \cref{sec:43:exemple} montre qu'on peut démontrer l'existence d'un effet sans pouvoir le chiffrer.
422+\item Confondre la valeur de l'immeuble sinistré et la position du propriétaire assuré, ou croire que l'indemnité d'assurance couvre le stigmate.
423+\item Utiliser des comparables vendus avant un événement ou avant la publication d'une carte pour évaluer après : le marché a appris entre-temps.
424+\item Omettre de vérifier le registre foncier (avis de contamination, art.~31.58 LQE), la liste municipale des terrains contaminés (art.~31.68) et la carte interactive des zones inondables pour le sujet \emph{et} pour chaque comparable.
425+\end{itemize}
426+\end{erreurs}
427+
428+\begin{limites}
429+Ce chapitre décrit le cadre des zones inondables à partir des pages gouvernementales et de la version administrative du Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités du 29 juillet 2026 ; les règles détaillées par classe d'exposition (seuils de dommages, immunisation, conditions de reconstruction hors du littoral) n'ont pas été extraites, la correspondance entre les nouvelles classes et les anciennes zones de grand et de faible courant n'est pas énoncée par les sources consultées, et les numéros RLRQ des deux règlements nouveaux n'ont pas été confirmés. Le marché canadien de l'assurance contre les inondations (couvertures offertes, zones exclues, programmes publics d'aide aux sinistrés) n'a pas été vérifié sur une source primaire et n'est pas décrit ; seules la prime moyenne et le coût moyen d'un sinistre publiés par le Bureau d'assurance du Canada sont cités. La description des phases I, II et III de caractérisation relève de la pratique courante ; le Guide d'intervention du ministère, source des lettres A, B et C, n'a pas été dépouillé. Les décotes de la littérature (\cref{tab:43:litterature}) proviennent de marchés américains et sont rapportées telles quelles ; la décote « de l'ordre de 6~\% » de \textcite{binPolasky2004} provient du dépouillement bibliographique du dépôt, le résumé de l'article ne comportant pas de chiffre. Aucune étude arbitrée sur les zones inondables et les valeurs au Québec n'a été retrouvée. Tous les résultats numériques (Rivière-Fictive, portefeuille du cas 4, exemples de contamination et de sinistre) reposent sur des données synthétiques et des hypothèses déclarées : les décotes de 1,5 à 10~\%, le stigmate de 50~\%, la prime de taux de 5~\%, le coût de réhabilitation et le stigmate de 5~\% sont des choix pédagogiques, non des mesures ; ils ne doivent en aucun cas servir de référence dans un rapport. Enfin, les modèles de valeur des \cref{sec:43:sols,sec:43:sinistres} sont des modèles d'évaluation, non des règles de droit ni des normes professionnelles ; les Normes de pratique professionnelle de l'Ordre exigent que les hypothèses extraordinaires qu'ils supposent (absence de contamination non détectée, coût de réhabilitation conforme au devis) soient divulguées avec leur incidence \parencite{oeaqNormes}.
430+\end{limites}
431+
432+\begin{synthese}
433+\begin{itemize}
434+\item Un risque environnemental agit sur la valeur par le coût de correction, la restriction juridique, les coûts récurrents (assurance, entretien, inoccupation) et le stigmate ; la décomposition $V_{\text{exp}} = V_{\text{sain}} - C - L - S$ sépare ce qui se mesure par devis de ce qui ne se mesure que par le marché.
435+\item Le cadre québécois des zones inondables en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} mars 2026 classe l'exposition en quatre classes (probabilité sur 25 ans × profondeur) ; toute nouvelle résidence est interdite dans les classes très élevée, élevée et modérée, et la reconstruction d'une résidence existante n'est permise que sous conditions. La Loi sur la qualité de l'environnement subordonne le changement d'usage d'un terrain contaminé à un plan de réhabilitation approuvé et impose l'inscription d'un avis de contamination au registre foncier.
436+\item Dans un taux de capitalisation, une prime de risque $\gamma$ en logarithme équivaut à une décote de valeur $1 - e^{-\gamma}$ à revenu donné ; l'effet total sur la valeur est $\Delta\ln\NOI - \Delta\ln R$. Dans le cas 4, la prime estimée de la zone inondable est de $+7{,}9$~\% du taux (loi déclarée : $+5$~\%), sur trois immeubles seulement.
437+\item La valeur d'un terrain contaminé est la valeur actualisée du terrain propre stigmatisé moins le coût de réhabilitation provisionné et actualisé moins les pertes d'usage ; le délai et le stigmate pèsent autant que le coût. La valeur d'un immeuble sinistré est la valeur antérieure moins la remise en état, la perte d'usage et le stigmate ; l'assurance améliore la position du propriétaire, jamais le stigmate.
438+\item La mesure exige des témoins qui partagent l'aménité sans le risque, une spécification par classe d'exposition et, lorsqu'un événement existe, des doubles différences qui isolent le stigmate ; avec peu d'unités traitées, l'inférence de randomisation remplace l'inférence asymptotique et conduit souvent à démontrer un effet sans pouvoir le chiffrer.
439+\item Les fourchettes de la littérature (environ 6 à 8~\% pour les zones inondables américaines en temps ordinaire, davantage après une catastrophe, 17 à 22~\% pour les biens endommagés) bornent le vraisemblable ; elles ne remplacent ni la mesure sur le marché du sujet ni la lecture des règles en vigueur à la date d'évaluation.
440+\end{itemize}
441+\end{synthese}
442+
443+\section*{Exercices}
444+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
445+
446+\begin{exercice}[1]{Lire un coefficient de zone inondable}{ex:43:1}
447+Un modèle hédonique semi-logarithmique estimé sur 1 200 ventes donne, pour l'indicatrice de zone inondable, un coefficient de $-0{,}083$ avec une erreur-type de 0,021. Calculez l'effet en pourcentage par la formule de Halvorsen et Palmquist, puis avec la correction de Kennedy ; donnez l'intervalle de confiance à 95~\% de l'effet en pourcentage. Expliquez en quelques phrases pourquoi ce coefficient ne mesure pas le stigmate d'une inondation passée, et ce qu'il faudrait ajouter au modèle pour le mesurer.
448+\end{exercice}
449+
450+\begin{exercice}[1]{Prime de taux et décote de valeur}{ex:43:2}
451+Un immeuble de douze logements a un revenu net de \dollars{120000}. Le taux de capitalisation extrait des ventes comparables hors zone est de 5,25~\% ; une régression du logarithme des taux donne une prime de zone inondable de $+7{,}86$~\% du taux. Calculez la valeur hors zone, la valeur en zone inondable et la décote en pourcentage ; vérifiez qu'elle est égale à $1 - 1/1{,}0786$. Si le risque réduisait en outre le revenu net de 3~\%, quel serait l'effet total sur la valeur en logarithme et en pourcentage ?
452+\end{exercice}
453+
454+\begin{exercice}[2]{Terrain contaminé}{ex:43:3}
455+Un terrain qui vaudrait propre \dollars{850000} est contaminé par d'anciens réservoirs ; le coût total de caractérisation et de réhabilitation est estimé à \dollars{95000} avec une provision de 20~\%, le délai à douze mois, le taux d'actualisation exigé à 7~\% et le stigmate résiduel à 8~\%. Calculez par l'\cref{eq:43:contamine} la valeur actualisée du terrain propre stigmatisé, la valeur actualisée du coût et la valeur contaminée ; décomposez l'écart avec la valeur propre en coût, délai et stigmate. Comparez à la règle « valeur propre moins coût » et commentez.
456+\end{exercice}
457+
458+\begin{exercice}[2]{Valeur après sinistre et assurance}{ex:43:4}
459+Un triplex valant \dollars{980000} subit un refoulement d'égout : remise en état \dollars{140000}, un logement de \dollars{3600} par mois inhabitable pendant quatre mois, taux d'actualisation 6~\%, stigmate résiduel 4~\%. La police couvre 80~\% de la remise en état après une franchise de \dollars{5000}, sans couverture des loyers. Calculez par les \cref{eq:43:sinistre,eq:43:assure} la valeur de l'immeuble sinistré, la position du propriétaire assuré et sa perte nette, et répartissez cette perte entre coûts non couverts, loyers perdus et stigmate. Que devient la valeur du triplex si, un an plus tard, les travaux sont terminés et documentés et que des paires de ventes montrent un stigmate résiduel de 1,5~\% ?
460+\end{exercice}
461+
462+\begin{exercice}[2]{Doubles différences à la main}{ex:43:5}
463+Dans une municipalité riveraine, le logarithme moyen des prix des maisons est de 12,90 pour les maisons hors zone avant une inondation et de 12,98 après, de 12,84 pour les maisons en zone inondable avant et de 12,86 après. Calculez l'estimateur de doubles différences et l'effet en pourcentage ; dites ce qu'il mesure (décote ou stigmate) et énoncez les deux hypothèses qu'il suppose. Si les maisons exposées vendues après l'inondation sont en moyenne plus petites que celles vendues avant, dans quel sens l'estimateur est-il biaisé, et comment la régression de l'\cref{eq:43:interaction} y remédie-t-elle ?
464+\end{exercice}
465+
466+\begin{exercice}[3]{Inférence de randomisation}{ex:43:6}
467+À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch43\_risques.py}, (a) vérifiez que le nombre d'affectations de trois immeubles traités parmi 48 est de 17 296 et que la valeur $p$ de l'\cref{eq:43:ri} coïncide avec la part des placebos au moins aussi extrêmes que l'estimateur observé ; (b) remplacez le choc permanent de $-0{,}05$ par $-0{,}02$ puis par $-0{,}10$ et recalculez les deux valeurs $p$ ; (c) répétez l'analyse en déplaçant l'événement à 2017T2 (placebo temporel) sans injecter de choc. Rédigez une note de 200 mots sur ce que ces résultats enseignent quant à la possibilité de chiffrer l'effet d'un événement rare dans un portefeuille.
468+\end{exercice}
469+
470+\begin{exercice}[3]{Pyrite : tester, corriger ou déprécier}{ex:43:7}
471+Une maison de 1984 d'un secteur de Montréal où la pyrite est documentée est vendue sans certificat de remblai ; un test coûte \dollars{1200}, une excavation \dollars{25000} et la perte d'usage pendant les travaux \dollars{2000}. (a) Par la règle du \cref{ch:11} (\cref{eq:11:test}), au-dessus de quelle probabilité le test est-il justifié ? (b) Si le test confirme un remblai gonflant, calculez la dépréciation curable par l'\cref{eq:43:curable} et comparez-la à la dépréciation incurable qu'impliquerait une perte de loyer net de \dollars{1800} par année capitalisée à 5,5~\% (\cref{eq:43:incurable}) ; laquelle retenir, et pourquoi ? (c) Discutez, en 150 mots, le stigmate résiduel d'une maison dont la pyrite a été excavée et documentée, à la lumière de \textcite{jackson2001} et de la \cref{sec:43:pathologies}.
472+\end{exercice}
473+
474+\section*{Pour aller plus loin}
475+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
476+
477+Le cadre réglementaire québécois se lit d'abord dans ses textes : la page gouvernementale du cadre de gestion des milieux hydriques \parencite{zonesInond2026}, celles des cartographies en vigueur \parencite{inondcartes} et des travaux permis \parencite{inondtravaux}, la version administrative du Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités \parencite{rmun2026}, et, pour les sols, la section IV du chapitre IV de la Loi sur la qualité de l'environnement \parencite{lqe} avec le Règlement sur la protection et la réhabilitation des terrains \parencite{rprt} et le Répertoire des terrains contaminés \parencite{repertoiretc}. Sur l'économie des zones inondables, \textcite{binPolasky2004} restent la référence pour l'effet d'un événement sur la décote, \textcite{harrisonSmershSchwartz2001} et \textcite{binKruseLandry2008} pour la comparaison entre décote et primes d'assurance capitalisées, \textcite{ortegaTaspinar2018} pour la dynamique de la pénalité après Sandy, \textcite{hinoBurke2021} pour l'incomplétude de la tarification du risque par le marché et \textcite{bernsteinGustafsonLewis2019} pour l'exposition à la hausse du niveau de la mer. Sur la contamination et le stigmate, les recensions de \textcite{jackson2001} et de \textcite{boyleKiel2001} et la méta-analyse de \textcite{simonsSaginor2006} organisent une littérature dispersée ; \textcite{kielMcclain1995} décrivent le cycle de vie d'une nuisance et \textcite{currie2015} l'effet des usines toxiques par une méthode d'événements. Sur les méthodes, \textcite{lindenRockoff2008} donnent un modèle de différences locales transposable aux risques, \textcite{dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014} l'adaptation des doubles différences aux microdonnées immobilières, \textcite{callawaySantanna2021} et \textcite{goodmanbacon2021} les pièges des traitements échelonnés, et \textcite{angristPischke2009} l'inférence de randomisation ; le \cref{ch:36} les met en œuvre. Le traitement des risques environnementaux dans la pratique nord-américaine de l'évaluation est celui de \textcite{appraisal2026}.
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1 \chapter{Rénovation et efficacité énergétique}\label{ch:44} 1 \chapter{Rénovation et efficacité énergétique}\label{ch:44}
2−\stubchapter 2+
3+Presque toutes les maisons que l'évaluateur visite ont été rénovées, et presque tous les propriétaires qui les vendent croient que leurs travaux « valent » ce qu'ils ont coûté. Le présent chapitre examine cette croyance avec les outils des parties précédentes. La méthode du coût (\cref{ch:21,ch:24}) a établi qu'un dollar dépensé n'est pas un dollar de valeur : la contribution d'un élément au prix est ce que le marché accepte de payer pour lui, et rien d'autre. Les rénovations à vocation énergétique posent la question sous une forme particulièrement nette, parce que leur bénéfice principal, une facture d'électricité réduite, est mesurable, récurrent et actualisable ; elles se prêtent donc à une analyse coût-bénéfice en bonne et due forme, puis à une confrontation entre ce que l'acheteur rationnel devrait payer et ce que les marchés étudiés paient effectivement, la « prime verte » de la littérature internationale. Le Québec offre à cet égard un cas d'école : son électricité est parmi les moins chères des pays industrialisés, ses hivers sont longs, ses programmes d'aide ont été refondus à l'automne 2026 et aucune cote énergétique n'y accompagne obligatoirement la vente d'une maison existante. Le chapitre pose d'abord le principe de contribution et une taxonomie des travaux, puis il passe en revue la prime verte et ses conditions de transposition, dresse l'état des programmes au 31 octobre 2026, développe la mécanique de l'analyse coût-bénéfice au tarif D d'Hydro-Québec et l'applique à deux mesures sur le cottage de Hull du cas 1, avant de revenir aux rénovations ordinaires, cuisine et salles de bain, dont la contribution se mesure par paires de ventes et par le modèle hédonique.
4+
5+\begin{objectifs}
6+\begin{itemize}
7+\item Distinguer, dans une rénovation, l'entretien différé, le remplacement à l'identique, l'amélioration et la surabondance, et appliquer à chacun le principe de contribution plutôt que le coût.
8+\item Lire la littérature sur la prime verte : ce qu'elle mesure, dans quels contextes institutionnels et tarifaires, et pourquoi ses fourchettes ne se transposent pas telles quelles au Québec.
9+\item Connaître les programmes québécois et fédéraux en vigueur au 31 octobre 2026 (Rénoclimat refondu, LogisVert, Novoclimat), ceux qui sont terminés, et la façon de traiter une subvention dans une analyse de valeur.
10+\item Calculer une facture au tarif D d'Hydro-Québec et l'économie marginale d'un kilowattheure évité, puis construire les flux d'une rénovation énergétique : coût net, économies croissantes, durée de vie, taux d'actualisation.
11+\item Évaluer une mesure par la VAN, le TRI, le délai de récupération actualisé, l'annuité équivalente et le coût de l'énergie économisée, et en mesurer la sensibilité au taux, au prix de l'énergie et à la durée.
12+\item Confronter quatre lectures de la contribution d'une rénovation à la valeur : coût, coût net de subvention, valeur actuelle des économies et prix implicite observé sur le marché, par paires de ventes ou par régression.
13+\end{itemize}
14+\end{objectifs}
15+
16+\section{Rénover : coût, contribution et valeur}\label{sec:44:contribution}
17+
18+\subsection{Le principe de contribution appliqué aux travaux}
19+
20+Le \motcle{principe de contribution} énonce que la valeur d'une composante d'un immeuble est mesurée par ce qu'elle ajoute à la valeur de l'ensemble, ou par ce que son absence en retranche, et non par son coût \parencite{appraisal2026}. Le \cref{ch:24} en a tiré le critère de curabilité : une perte est curable lorsque le coût de la correction $K$ n'excède pas la valeur ajoutée $\Delta V$ (\cref{eq:24:curabilite}). Le même critère gouverne toute rénovation, qu'elle corrige une perte ou qu'elle ajoute un attribut : le propriétaire rationnel entreprend les travaux si
21+\begin{equation}\label{eq:44:contribution}
22+\Delta V \;\ge\; K, \qquad \text{et la contribution au prix est } \Delta V, \text{ jamais } K .
23+\end{equation}
24+La distinction paraît évidente, mais elle est la source de l'erreur la plus fréquente du domaine, chez les vendeurs comme chez certains évaluateurs : additionner les factures de rénovation à une valeur antérieure. Trois raisons font que $\Delta V$ diffère systématiquement de $K$. La première est la \emph{conformité} : le marché d'un secteur attend un certain niveau de finition et d'équipement, et il rémunère mal ce qui le dépasse ; une cuisine de \dollars{80000} dans un quartier de maisons de \dollars{450000} est une surabondance, dont la contribution est inférieure au coût parce que l'acheteur type de ce quartier ne la cherchait pas. La deuxième est la \emph{dépréciation immédiate} : une rénovation faite au goût du propriétaire est, pour l'acheteur, une rénovation faite au goût d'un autre ; une partie du coût rémunère des choix que le marché ne partage pas. La troisième est l'\emph{asymétrie d'information} : l'acheteur n'observe ni la qualité des travaux dissimulés, ni leur conformité au Code, ni la compétence de l'entrepreneur ; il escompte ce qu'il ne peut vérifier, et une rénovation sans permis ni factures contribue moins qu'une rénovation documentée.
25+
26+Inversement, certains travaux contribuent plus qu'ils ne coûtent. Les travaux d'\emph{entretien différé} que le \cref{ch:11} a inscrits à la fiche d'état du sujet, et que le \cref{ch:24} a mesurés à leur coût de correction, \dollars{10479.98}, sont dans ce cas par construction : leur omission signale à l'acheteur un bâtiment négligé et lui fait craindre des défauts cachés, de sorte que le marché retranche souvent plus que le coût de la réparation. La \emph{carence} fonctionnelle, telle l'absence de salle d'eau au rez-de-chaussée du sujet, mesurée au \cref{ch:24} par l'excès de coût du rattrapage, \dollars{7605.31}, n'est retenue comme désuétude que si la condition \eqref{eq:44:contribution} est satisfaite, c'est-à-dire si la salle d'eau ajoute au moins les \dollars{16000} qu'elle coûte ; le \cref{ch:24} a déclaré cette hypothèse faute de variable correspondante dans le modèle hédonique du cas 1, et le présent chapitre n'a pas davantage de données pour la trancher.
27+
28+\subsection{Une taxonomie des travaux}
29+
30+Pour raisonner sur la contribution, il faut d'abord classer les travaux par leur effet sur le bien plutôt que par corps de métier. Le \cref{tab:44:taxonomie} propose quatre catégories, chacune avec sa règle de mesure et son renvoi dans l'ouvrage.
31+
32+\begin{table}[htbp]
33+\caption{Quatre catégories de travaux, leur effet sur la valeur et la mesure appropriée}\label{tab:44:taxonomie}
34+\centering\small
35+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYl}
36+\toprule
37+Catégorie & Nature des travaux & Contribution attendue et mesure & Renvoi \\
38+\midrule
39+Entretien différé & Réparer ce qui est défaillant : fissure, solin, garde-corps, thermos embués & Au moins le coût de correction ; dépréciation physique curable, retirée du coût neuf & \cref{ch:11,ch:24} \\
40+Remplacement à l'identique & Remplacer une composante en fin de vie par son équivalent : toiture, chauffe-eau, entrée asphaltée & Restaure la contribution qu'avait la composante neuve ; ne dépasse pas la dépréciation imputée à la composante & \cref{eq:24:ventilee} \\
41+Amélioration & Ajouter un attribut ou en élever la qualité : salle d'eau, thermopompe climat froid, isolation, cuisine & $\Delta V$ mesurée par paires, régression ou valeur actuelle des bénéfices ; souvent $\Delta V < K$ & \cref{sec:44:acb,sec:44:exemple} \\
42+Surabondance & Dépasser les attentes du marché : cuisine de luxe, piscine intérieure, domotique & $\Delta V \ll K$ ; désuétude fonctionnelle par surabondance si l'élément coûte à exploiter & \cref{sec:24:fonctionnelle} \\
43+\bottomrule
44+\end{tabularx}
45+\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026} et les conventions du \cref{ch:24}.}
46+\end{table}
47+
48+La deuxième catégorie mérite un commentaire, parce qu'elle est la plus mal comprise. Remplacer une toiture en fin de vie par une toiture équivalente ne crée pas de valeur : cela rétablit la contribution qu'une toiture en bon état a toujours eue dans le prix des maisons comparables. Dans la méthode du coût, la toiture usée avait déjà été dépréciée (\cref{tab:24:composantes}) ; la toiture neuve annule cette dépréciation, et la valeur augmente au plus du montant qui avait été retranché, pas du coût des travaux. Si le propriétaire paie \dollars{12000} pour remplacer une couverture dont la dépréciation imputée était de \dollars{6000}, la méthode du coût n'ajoute que \dollars{6000}, et le marché, qui a toujours supposé qu'une maison de vingt-huit ans a une toiture en milieu de vie, en ajoute souvent moins encore. Le \cref{tab:44:fin-de-vie} tire de la fiche d'état du sujet les composantes qui ont consommé au moins \pct{90} de leur vie utile : ce sont les remplacements « à l'identique » que le propriétaire devra financer dans les prochaines années, et que l'acheteur anticipe.
49+
50+\begin{table}[htbp]
51+\caption{Composantes du sujet du cas 1 ayant consommé au moins 90 \% de leur vie utile (fiche d'état du chapitre 11, données synthétiques)}\label{tab:44:fin-de-vie}
52+\centering\small
53+\begin{tabular}{lS[table-format=4.0]S[table-format=2.0]cS[table-format=2.2]S[table-format=1.3]S[table-format=5.0]}
54+\toprule
55+Composante & {Année} & {Vie utile $L$} & État $c$ & {$a_{\mathrm{eff}}$} & {$a_{\mathrm{eff}}/L$} & {Coût neuf (\$)} \\
56+\midrule
57+Ventilateur récupérateur de chaleur (VRC) & 1998 & 20 & 4 & 20.00 & 1.000 & 7501 \\
58+Entrée asphaltée & 1998 & 20 & 5 & 20.00 & 1.000 & 3438 \\
59+Aménagement paysager & 1998 & 20 & 3 & 19.00 & 0.950 & 6251 \\
60+Gouttières et solins & 1998 & 25 & 4 & 23.38 & 0.935 & 2077 \\
61+Balcon et perron & 1998 & 25 & 4 & 23.38 & 0.935 & 8751 \\
62+\bottomrule
63+\end{tabular}
64+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py, fonction \texttt{composantes\_fin\_de\_vie}, d'après \texttt{ch11\_inspection.py} ; vies utiles = hypothèses pédagogiques du \cref{ch:11}}}
65+\end{table}
66+
67+Deux de ces composantes intéressent directement le présent chapitre. Le VRC de 1998 est un équipement d'efficacité énergétique dont le remplacement rétablira la qualité de l'air et la récupération de chaleur sur l'air évacué ; c'est un remplacement à l'identique, et son effet sur la facture est déjà dans la consommation de référence. La thermopompe centrale de 2016, notée 3 avec une vie utile de 15 ans, n'y figure pas encore, mais elle en sera à \pct{100} de sa vie en 2031 : la question de son remplacement, et du choix entre un appareil standard et un appareil climat froid, est précisément celle que l'exemple intégral examine.
68+
69+\subsection{Rénovations « payantes » et « non payantes » : ce que l'on peut dire sans données}
70+
71+Il circule dans la presse spécialisée et chez les courtiers des palmarès de rénovations classées par « taux de récupération », rapport de la valeur ajoutée estimée au coût. Ces classements proviennent pour la plupart de sondages d'opinion menés auprès de courtiers américains, dont la méthodologie n'est pas celle d'une étude de marché, et dont aucune version québécoise fondée sur des transactions n'a été repérée dans la préparation de cet ouvrage. L'évaluateur ne doit pas les citer comme des mesures. Il peut en revanche raisonner à partir des trois causes d'écart énoncées plus haut. Les travaux dont le taux de récupération est élevé sont ceux qui corrigent un défaut visible et universellement désapprouvé (entretien différé), ceux qui alignent le bien sur la norme du secteur sans la dépasser (une cuisine « au goût du jour » dans un secteur où les comparables en ont une), et ceux qui sont peu spécifiques au goût du propriétaire (toiture, fenêtres, porte de garage, revêtement). Les travaux dont le taux est faible sont ceux qui dépassent la norme du secteur, ceux qui reflètent un goût particulier (finitions inhabituelles, aménagements très spécialisés) et ceux dont le bénéfice est privé plutôt que transférable (une piscine creusée, qui coûte à entretenir et que la moitié des acheteurs considèrent comme une charge). La rénovation énergétique occupe une position intermédiaire que la suite du chapitre précise : son bénéfice est transférable, puisque l'acheteur héritera de la facture réduite, mais il est petit au Québec et difficile à observer sans cote énergétique.
72+
73+\begin{quebec}[Licence, garantie et déclarations : ce qui encadre les travaux au Québec]
74+La Loi sur le bâtiment réserve l'exécution de travaux de construction aux entrepreneurs titulaires d'une licence de la Régie du bâtiment (art.~46), mais exempte la personne physique qui exécute ou fait exécuter des travaux sur une maison unifamiliale destinée à son usage personnel, sauf pour le gaz, le pétrole et l'électricité (art.~49, par.~2°) ; un contrat conclu avec un entrepreneur sans licence peut être annulé et l'hypothèque légale qui en découle radiée (art.~50) \parencite[art.~46, 49, 50]{loibatiment}. Le plan de garantie obligatoire administré par la Garantie de construction résidentielle ne couvre que les bâtiments \emph{neufs} visés par le règlement (unifamiliales, duplex à quintuplex, petites copropriétés), avec des durées de un, trois et cinq ans selon la nature du défaut \parencite{reglgarantie,gcrprotections} ; une rénovation n'est protégée que par la garantie légale de qualité du vendeur et de l'entrepreneur (art.~1726 et s., 2118 C.c.Q.) \parencite[art.~1726--1731, 2118]{ccq}. Le formulaire obligatoire \emph{Déclarations du vendeur} de l'OACIQ demande au vendeur de déclarer les travaux effectués, les permis obtenus et les problèmes connus \parencite{oaciqFormulaireDV} : pour l'évaluateur, ce document et les permis municipaux sont la première source de vérification de ce que la rénovation est réellement, et de ce qu'elle vaut aux yeux d'un acheteur informé. Enfin, les rénovations de maisons des années 1960 à 1980 soulèvent des questions de matériaux : la mousse isolante d'urée-formaldéhyde (MIUF) est interdite au Canada depuis décembre 1980 et l'isolant de vermiculite peut contenir de l'amiante ; Ressources naturelles Canada recommande des précautions avant tout travail sur l'enveloppe \parencite{rncanRenovations2025,rncanemprisonnons3}. Ces constats relèvent du \cref{ch:11} ; ils rappellent qu'une rénovation énergétique peut révéler un passif.
75+\end{quebec}
76+
77+\section{La prime verte : ce que la littérature mesure}\label{sec:44:prime}
78+
79+\subsection{Capitalisation des économies et valeur de l'information}
80+
81+Pourquoi une maison plus efficace vaudrait-elle plus cher ? La réponse économique est la \motcle{capitalisation} : si l'acheteur anticipe des factures plus faibles pendant la durée de vie restante de l'équipement ou de l'enveloppe, il est prêt à payer, au plus, la valeur actuelle de ces économies. Pour une mesure qui réduit la facture de $S_t$ dollars l'année $t$ pendant $n$ années, et un acheteur dont le coût du capital est $r$,
82+\begin{equation}\label{eq:44:capitalisation}
83+V_E \;=\; \sum_{t=1}^{n} \frac{S_t}{(1+r)^t}
84+\;=\; S_0 \sum_{t=1}^{n} \left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{t}
85+\quad\text{si } S_t = S_0 (1+g)^t ,
86+\end{equation}
87+où $g$ est la croissance anticipée du prix de l'énergie. Trois conséquences découlent immédiatement de cette écriture. La prime est proportionnelle au prix de l'énergie : à efficacité physique égale, une maison économe vaut plus là où le kilowattheure est cher. Elle est décroissante dans $r$ et dans la durée restante : une thermopompe de dix ans ne vaut, pour l'acheteur, que ses cinq dernières années d'économies. Et elle suppose que l'acheteur \emph{connaisse} $S_0$ : sans information crédible sur la consommation, il ne peut pas capitaliser ce qu'il ignore. C'est ici qu'interviennent les étiquettes énergétiques, dont la littérature européenne et américaine a étudié l'effet sur les prix. \textcite{brounenKok2011} ont montré, aux Pays-Bas, que l'étiquette joue un rôle informationnel : son adoption est faible et concentrée dans les segments où la vente est difficile, et les acheteurs capitalisent l'information qu'elle révèle. \textcite{fuerstWarrenmyers2018} ont formalisé le problème inverse, celui des « citrons verts » : lorsque la divulgation est volontaire, les propriétaires de logements peu efficaces s'abstiennent de divulguer, le marché l'anticipe, et l'absence d'étiquette devient elle-même un signal défavorable.
88+
89+Le \motcle{modèle hédonique} du \cref{ch:18} est l'outil de mesure. En ajoutant au vecteur des caractéristiques une indicatrice d'étiquette ou une mesure continue d'efficacité $E_i$,
90+\begin{equation}\label{eq:44:hedonique}
91+\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \gamma\, E_i + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,
92+\end{equation}
93+la prime verte est $100\,[\exp(\hat\gamma) - 1]$ pour cent, avec la correction de Kennedy lorsque la variance de $\hat\gamma$ n'est pas négligeable (\cref{eq:18:kennedy}). Le biais principal est celui des variables omises : les logements étiquetés A sont aussi, le plus souvent, récents, bien situés et de meilleure qualité, et une partie de la « prime verte » mesurée sans contrôle fin de la localisation et de l'état est en réalité une prime de qualité. \textcite{aydinBrounenKok2020} ont contourné ce biais en instrumentant l'efficacité mesurée et en recourant aux ventes répétées : ils trouvent qu'une hausse de \pct{10} de l'efficacité énergétique s'accompagne d'une hausse d'environ \pct{2.2} de la valeur, un ordre de grandeur qu'ils jugent cohérent avec le coût de l'investissement et la valeur actuelle des économies, et ils constatent que la fourniture d'un certificat ne modifie pas le degré de capitalisation. C'est le résultat le plus proche de ce qu'un évaluateur peut utiliser : la capitalisation existe, elle est de l'ordre de ce que l'\cref{eq:44:capitalisation} prédit, et l'étiquette n'ajoute pas grand-chose là où l'information circule autrement.
94+
95+\subsection{Les résultats par étude et leurs contextes}
96+
97+Le \cref{tab:44:prime-verte} et la \cref{fig:44:prime-verte} rassemblent les résultats des études retenues, avec leur contexte. Chaque chiffre a été vérifié à la source le 31 octobre 2026 ; la méta-analyse de \textcite{cespedeslopez2019}, qui synthétise 66 documents et 173 estimations, donne un cadre : une prime globale de \pct{4.20} pour les logements dotés d'un certificat de performance énergétique, de \pct{5.36} en Amérique du Nord, \pct{4.81} en Asie et \pct{2.32} en Europe, avec des résultats non concluants par lettre en Europe faute d'une base de comparaison commune et une dispersion, en Amérique, allant de $-\pct{2.49}$ à $+\pct{14.3}$ selon les études.
98+
99+\begin{table}[htbp]
100+\caption{La prime verte dans la littérature : études retenues, contexte, résultat principal}\label{tab:44:prime-verte}
101+\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
102+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}
103+\toprule
104+Étude & Marché, période, données & Mesure de l'efficacité & Résultat (écart de prix ou de loyer) \\
105+\midrule
106+\textcite{eichholtzKokQuigley2010} & Bureaux, États-Unis, $\approx$ \num{10000} immeubles certifiés et témoins & Certification Energy Star ou LEED & Loyers $\approx$ \pct{3} ; loyers effectifs $>$ \pct{6} ; prix de vente $\approx$ \pct{16} ; la prime croît avec l'efficacité mesurée \\
107+\textcite{brounenKok2011} & Logements, Pays-Bas, 2008--2009, $\approx$ \num{32000} ventes étiquetées & Étiquette européenne A--G & Étiquette verte (A, B, C) : $+\pct{3.7}$ ($+\pct{3.6}$ avec correction de sélection) ; A vs D : $+\pct{10.2}$ ; G vs D : $\approx -\pct{5}$ \\
108+\textcite{hylandLyonsLyons2013} & Logements, Irlande, 2008--2012, annonces de vente et de location & Cote BER (15 échelons) & A vs D : $+\pct{9.3}$ (prix), $+\pct{1.8}$ (loyers) ; par échelon : $+\pct{1.3}$ (prix), $+\pct{0.5}$ (loyers) ; effet plus fort quand le marché est faible \\
109+\textcite{kahnKok2014} & Maisons, Californie, 2007--2012, toutes ventes & Étiquette verte tierce (Energy Star, LEED, GreenPoint) & $\approx +\pct{5}$ ($+\pct{4.5}$ hors maisons d'un constructeur) ; plus élevée en climat chaud \\
110+\textcite{fuerstMcallisterNandaWyatt2015} & Logements, Angleterre, 1995--2012, \num{333095} logements vendus au moins deux fois & EPC A--G & A/B vs D : $+\pct{5}$ ; C : $+\pct{1.8}$ ; E : $-\pct{0.7}$ ; F : $-\pct{0.9}$ ; G : $\approx -\pct{6}$ ; effets plus forts pour les maisons en rangée et les appartements \\
111+\textcite{fuerstWarrenmyers2018} & Logements, Territoire de la capitale australienne, 2011--2016 & Cote obligatoire à la vente, volontaire à la location & Cote et équipements capitalisés dans les prix et les loyers ; non-divulgation plus fréquente pour les logements peu efficaces (« citrons verts ») \\
112+\textcite{aydinBrounenKok2020} & Logements, Pays-Bas, consommation mesurée & Efficacité mesurée (instrumentée), ventes répétées & $+\pct{10}$ d'efficacité $\Rightarrow$ $\approx +\pct{2.2}$ de valeur ; le certificat ne change pas la capitalisation \\
113+\textcite{cespedeslopez2019} & Méta-analyse, 66 documents, 173 estimations & Certificat de performance (présence, lettre) & Prime globale \pct{4.20} ; Amérique du Nord \pct{5.36}, Asie \pct{4.81}, Europe \pct{2.32} ; méta-analyses antérieures : \pct{7.6} (2014), \pct{4.3} (2016), 3,5--\pct{4.5} (2018) \\
114+\bottomrule
115+\end{tabularx}
116+\tabsource{résumés et textes publiés, vérifiés le 2026-10-31 (\texttt{verification/chapters/ch44-claims.csv}) ; Eichholtz et al. d'après la version de travail en libre accès.}
117+\end{table}
118+
119+\begin{figure}[htbp]
120+\centering
121+\includegraphics[width=\textwidth]{ch44/ch44-fig-prime-verte.pdf}
122+\caption{Fourchettes de la prime verte publiées par les études du \cref{tab:44:prime-verte} (segments : du résultat le plus bas au plus élevé rapporté ; point : estimation centrale lorsqu'elle existe), et, en repères verticaux, deux grandeurs calculées pour le sujet du cas 1 à la \cref{sec:44:exemple} : la valeur actuelle des économies des deux mesures énergétiques et leur coût installé, rapportés à la valeur hédonique du sujet. Les primes observées dans les marchés étudiés dépassent largement ce que la capitalisation des économies justifie au tarif québécois.}\label{fig:44:prime-verte}
123+\figsource{chiffres publiés (\cref{tab:44:prime-verte}) ; repères du cas 1 : \synth{analysis/python/figures/ch44\_prime\_verte.py}}
124+\end{figure}
125+
126+Trois lectures s'imposent. D'abord, les primes résidentielles crédibles se situent entre \pct{2} et \pct{5} pour l'ensemble des logements « verts » par rapport aux autres, et peuvent atteindre \pct{10} pour la meilleure classe par rapport à la classe médiane ; les décotes des pires classes sont de même ampleur. Ensuite, la dispersion entre études tient aux contextes : le prix de l'énergie, l'obligation ou non de divulguer, la part des logements étiquetés, le climat et la conjoncture (\textcite{hylandLyonsLyons2013} trouvent une prime plus forte quand le marché est faible, ce qui suggère que l'efficacité devient un argument de vente quand les acheteurs se font rares). Enfin, les primes mesurées sur les étiquettes excèdent généralement ce que la capitalisation des économies justifie : \textcite{eichholtzKokQuigley2010} notent déjà, pour les bureaux, que la prime de prix dépasse la valeur actuelle des économies, et attribuent l'écart à des effets intangibles du label. Cet écart est la raison pour laquelle l'évaluateur ne doit jamais appliquer une prime de la littérature sans l'avoir confrontée à l'\cref{eq:44:capitalisation} sur le marché qu'il évalue.
127+
128+\subsection{Transposer au Québec : raisonner plutôt qu'importer}
129+
130+Aucune des études du \cref{tab:44:prime-verte} ne porte sur le Québec, et aucune étude arbitrée sur la capitalisation de l'efficacité énergétique dans les prix résidentiels québécois n'a été repérée. Il faut donc raisonner. L'\cref{eq:44:capitalisation} fournit la structure : la prime monétaire est le produit d'un écart physique de consommation, d'un prix de l'énergie et d'un facteur d'actualisation, conditionné par l'information dont dispose l'acheteur. Sur chacun de ces termes, le Québec diffère des marchés étudiés.
131+
132+Le prix d'abord. Le tarif domestique D d'Hydro-Québec en vigueur le 1\ier{} avril 2026 facture \num{7.065}~¢ le kilowattheure jusqu'à 40~kWh par jour et \num{11.142}~¢ au-delà \parencite{hydrotarifs2026} ; la Régie de l'énergie a approuvé une hausse de \pct{3.0} pour la clientèle domestique en 2026 et prévoit \pct{3.0} en 2027 et \pct{2.6} en 2028 \parencite{regieenergie2026}. Les marchés néerlandais, irlandais et anglais des études citées paient leur énergie de chauffage, gaz ou électricité, à des prix unitaires plusieurs fois supérieurs, et la part de l'énergie dans le budget des ménages y est nettement plus élevée ; le même écart physique de consommation y vaut donc, en dollars actualisés, un multiple de ce qu'il vaut à Gatineau. La climatologie joue en sens inverse : la saison de chauffe québécoise est longue et les besoins de chauffage élevés, de sorte que l'écart physique entre une maison efficace et une maison médiocre est grand en kilowattheures ; mais multiplié par un prix bas, il reste modeste en dollars, et c'est ce que l'exemple intégral quantifie.
133+
134+L'information ensuite. Au Québec, la vente d'une maison existante ne s'accompagne d'aucune cote énergétique obligatoire ; la cote ÉnerGuide fédérale est volontaire, et la plupart des maisons n'en ont pas. La seule information transmise est, en pratique, l'historique des factures d'électricité que le vendeur accepte de montrer, et la liste des équipements dans les déclarations du vendeur. Les conditions du problème des « citrons verts » de \textcite{fuerstWarrenmyers2018} sont donc réunies, à ceci près que le marché québécois n'a pas, non plus, l'habitude de lire une cote ; l'absence d'information est la norme, pas le signal. L'évaluateur qui dispose des factures du sujet et de celles d'un comparable détient une information que le marché, en général, ne capitalise pas finement.
135+
136+Il en résulte une recommandation en trois temps. Primo, ne pas appliquer les fourchettes européennes ou californiennes au Québec : elles mesurent des étiquettes dans des marchés chers en énergie et informés. Secundo, calculer la valeur actuelle des économies du sujet au tarif D, qui borne supérieurement ce qu'un acheteur rationnel et informé paierait, et la comparer à la valeur du bien : la \cref{sec:44:exemple} montre qu'elle est inférieure à \pct{1} de la valeur hédonique du sujet pour deux mesures substantielles. Tertio, chercher sur le marché local, par paires ou par régression, si une prime d'équipement (thermopompe, fenêtres récentes, isolation documentée) est observable ; elle l'est parfois pour la thermopompe, mais sans doute davantage pour le confort de la climatisation que pour l'économie d'énergie, ce que la \cref{sec:44:exemple} ne peut pas tester sur le cas 1 faute de variable.
137+
138+\begin{quebec}[Étiquetage, Code et mazout]
139+Trois éléments du cadre québécois conditionnent la rénovation énergétique. Le Code de construction du Québec comporte un chapitre I.1, « Efficacité énergétique du bâtiment », qui fixe les exigences de l'enveloppe et des systèmes pour les bâtiments neufs ; son chapitre I, « Bâtiment », repose sur le Code national du bâtiment 2020 modifié pour le Québec, en vigueur depuis le 17 avril 2025, avec une période transitoire pendant laquelle les dispositions antérieures peuvent s'appliquer aux travaux débutés avant le 17 octobre 2027 \parencite{codeConstruction,rbqtransition2026}. Ces exigences définissent la référence implicite de la conformité : une maison de 1998 est « désuète » au sens fonctionnel par rapport à une maison construite selon le chapitre I.1, mais cette désuétude n'est une perte de valeur que si le marché la rémunère (\cref{sec:24:fonctionnelle}). Le chauffage au mazout, pour sa part, est en voie d'extinction réglementaire : l'installation d'appareils au mazout est interdite dans les constructions neuves depuis le 31 décembre 2021 et leur remplacement dans l'existant depuis le 31 décembre 2023 \parencite{qcmazoutcommunique2021,qcmazout2026} ; une maison encore chauffée au mazout en 2026 porte donc une obligation de conversion dont le coût doit être traité comme une dépense immédiatement après l'achat (\cref{ch:17}), et non comme une amélioration. Enfin, aucune cote énergétique n'est exigée à la vente d'une maison existante ; les programmes publics (\cref{sec:44:programmes}) reposent sur des évaluations ÉnerGuide volontaires, que la refonte de Rénoclimat du 1\ier{} octobre 2026 a rendues facultatives même pour l'aide financière \parencite{renoclimat}.
140+\end{quebec}
141+
142+\section{Les programmes québécois et fédéraux au 31 octobre 2026}\label{sec:44:programmes}
143+
144+Les aides financières modifient le coût net d'une rénovation pour le propriétaire ; elles ne modifient pas, en principe, la valeur marchande du bien, parce que l'acheteur n'y a pas droit rétroactivement et qu'il ne paie pas davantage une thermopompe subventionnée qu'une thermopompe payée plein prix. Leur rôle dans l'analyse est donc double : elles entrent dans la décision du propriétaire (\cref{sec:44:acb}) et elles expliquent, à l'échelle du marché, pourquoi certains équipements se diffusent, ce qui finit par déplacer la norme de conformité du secteur. Le \cref{tab:44:programmes} fait l'état des programmes vérifiés au 31 octobre 2026, et la \cref{fig:44:frise} en situe les dates clés ; ces programmes changent souvent, et l'évaluateur doit refaire la vérification à la date de son rapport.
145+
146+\begin{table}[htbp]
147+\caption{Programmes d'aide à la rénovation et à la construction écoénergétiques, état vérifié au 31 octobre 2026}\label{tab:44:programmes}
148+\centering\scriptsize\setlength{\tabcolsep}{3pt}
149+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYl}
150+\toprule
151+Programme (administrateur) & Mesure et montant & Conditions et statut & Source, mise à jour \\
152+\midrule
153+Rénoclimat (Québec) & Plafonds par mesure, maison / plex : toit \dollars{2000} / \dollars{5000} ; murs \dollars{7000} / \dollars{11000} ; fondations \dollars{2500} / \dollars{3500} ; fenêtres \dollars{4500} / \dollars{6000} (\dollars{300} par fenêtre) ; portes et fenêtres ENERGY STAR \dollars{150} l'unité ; étanchéité 400--\dollars{800} ; raccordement d'une source d'appoint $\le$ \dollars{1000} ; batterie fixe $\le$ \dollars{4000} ; volet adaptation aux inondations (protection des fondations) jusqu'à \dollars{35000} & Actif, refondu le 1\ier{} octobre 2026 : l'évaluation avant travaux n'est plus obligatoire (facultative, aide $\le$ \dollars{500}) ; transition des anciennes modalités jusqu'au 31 mars 2027 & \textcite{renoclimat,renoclimatnouveautes}, 13 oct. 2026 \\
154+LogisVert (Hydro-Québec) & Thermopompe ENERGY STAR : \dollars{50} par \num{1000}~BTU/h à $-8$~°C, \dollars{120} pour un appareil climat froid, maximum \dollars{6700} ; bonification multilogements $+\dollars{100}$ (\dollars{220}) depuis le 15 juin 2026 ; accumulateur thermique \dollars{15000} (\dollars{22000} avec thermopompe centrale) ; géothermie (remplacement) \dollars{250} par \num{1000}~BTU/h, max.\ \dollars{18000} ; isolation du toit \dollars{1500} ; bonus de \pct{5} pour mesures combinées & Actif ; ENERGY STAR obligatoire depuis le 26 novembre 2025 ; financement fédéral « thermopompes » annoncé le 8 octobre 2026 pour 2027 (modalités inconnues) & \textcite{logisvert}, page anglaise (version française en erreur le 2026-10-31) \\
155+Novoclimat (Québec) & Maison neuve homologuée : acheteur \dollars{2000}, premier acheteur \dollars{4000} ; entrepreneur \dollars{1500}, Novoclimat Sélect \dollars{2500} & Actif ; construction neuve seulement & \textcite{novoclimat}, 9 oct. 2026 \\
156+Chauffez vert (Québec) & Conversion mazout ou propane $\to$ électricité & \textbf{Terminé} le 31 mars 2026 (demandes et travaux au plus tard à cette date) & \textcite{chauffezvertfin}, 10 juill. 2025 \\
157+Subvention et Prêt canadiens pour des maisons plus vertes (RNCan) & Subvention à la rénovation ; prêt sans intérêt & \textbf{Fermés} ; documents acceptés jusqu'au 31 décembre 2025 ; transition vers Environnement et Changement climatique Canada & \textcite{rncansubvention,rncaninitiative}, août 2026 \\
158+Conversion abordable du mazout à la thermopompe (RNCan) & Jusqu'à \dollars{10000} (fédéral seul) ou \dollars{25000} (conjoint), plus \dollars{250} & Date limite au Québec : \textbf{31 juillet 2026} & \textcite{rncaninitiative}, 4 août 2026 \\
159+\bottomrule
160+\end{tabularx}
161+\tabsource{pages officielles consultées le 2026-10-31 (\texttt{sources/notes-B.md}, §44.2) ; les montants historiques de Chauffez vert et de l'ancien prêt fédéral n'ont pas été relus sur les pages officielles et ne sont pas reproduits.}
162+\end{table}
163+
164+\begin{figure}[htbp]
165+\centering
166+\begin{tikzpicture}[x=18mm, y=1cm, every node/.style={font=\sffamily\footnotesize}]
167+\draw[brandGray, thick, -{Stealth[length=2mm]}] (0,0) -- (7.3,0);
168+\foreach \x/\an in {0/2021, 1/2022, 2/2023, 3/2024, 4/2025, 5/2026, 6/2027} {\draw[brandGray] (\x,0.08) -- (\x,-0.08); \node[below=1pt, text=brandGray] at (\x,-0.08) {\an};}
169+\tikzset{ev/.style={circle, fill=brandPrimary, inner sep=1.4pt}, fin/.style={circle, fill=brandRed, inner sep=1.4pt}, lab/.style={align=left, anchor=west, font=\sffamily\scriptsize}}
170+\node[fin] (a) at (1.0,0) {}; \draw[brandGray, thin] (a) -- (1.0,0.55); \node[lab] at (1.0,0.75) {31 déc. 2021 : mazout interdit\\dans le neuf};
171+\node[fin] (b) at (3.0,0) {}; \draw[brandGray, thin] (b) -- (3.0,1.35); \node[lab] at (3.0,1.55) {31 déc. 2023 : remplacement\\au mazout interdit};
172+\node[ev] (c) at (4.3,0) {}; \draw[brandGray, thin] (c) -- (4.3,0.55); \node[lab] at (4.3,0.75) {17 avr. 2025 : CNB 2020\\modifié Québec};
173+\node[fin] (d) at (4.75,0) {}; \draw[brandGray, thin] (d) -- (4.75,-0.75); \node[lab, anchor=east] at (4.75,-0.95) {31 déc. 2025 : fin des documents,\\Subvention maisons plus vertes};
174+\node[fin] (e) at (5.25,0) {}; \draw[brandGray, thin] (e) -- (5.25,1.35); \node[lab] at (5.25,1.55) {31 mars 2026 :\\fin de Chauffez vert};
175+\node[fin] (f) at (5.58,0) {}; \draw[brandGray, thin] (f) -- (5.58,-1.55); \node[lab, anchor=east] at (5.58,-1.75) {31 juill. 2026 : fin de la conversion\\mazout--thermopompe (fédéral)};
176+\node[ev] (g) at (5.75,0) {}; \draw[brandGray, thin] (g) -- (5.75,2.15); \node[lab] at (5.75,2.35) {1\ier{} oct. 2026 :\\Rénoclimat refondu};
177+\node[ev] (h) at (6.25,0) {}; \draw[brandGray, thin] (h) -- (6.25,-0.75); \node[lab] at (6.25,-0.95) {31 mars 2027 : fin de la\\transition Rénoclimat};
178+\node[ev] (i) at (6.8,0) {}; \draw[brandGray, thin] (i) -- (6.8,0.55); \node[lab] at (6.8,0.75) {17 oct. 2027 : fin de la\\transition du Code};
179+\node[ev] at (0.1,-2.6) {}; \node[lab] at (0.2,-2.6) {entrée en vigueur ou refonte};
180+\node[fin] at (2.6,-2.6) {}; \node[lab] at (2.7,-2.6) {fin d'un programme ou d'une tolérance};
181+\end{tikzpicture}
182+\caption{Frise des dates qui structurent la rénovation énergétique résidentielle au Québec, 2021--2027 : interdictions du mazout, nouveau Code et sa transition, fermeture des programmes fédéraux et de Chauffez vert, refonte de Rénoclimat. LogisVert (Hydro-Québec) et Novoclimat sont actifs sur toute la période récente.}\label{fig:44:frise}
183+\figsource{schéma de l'auteur d'après les sources du \cref{tab:44:programmes}.}
184+\end{figure}
185+
186+Deux précisions sur le traitement des subventions dans l'évaluation. Lorsqu'un propriétaire a reçu une aide pour des travaux déjà faits, la contribution de ces travaux au prix se mesure sur le marché, indépendamment de l'aide ; l'aide n'est ni ajoutée ni retranchée. Lorsque l'évaluateur analyse un projet de travaux pour un client, par exemple dans un mandat de conseil ou une étude de faisabilité, l'aide réduit le coût net de l'investissement et entre dans la VAN du propriétaire ; mais la valeur actuelle des économies, qui borne la contribution à la valeur marchande, n'en dépend pas. Enfin, lorsque le propriétaire a bénéficié d'un prêt subventionné aujourd'hui fermé, ce prêt n'est pas transférable et n'affecte pas la valeur ; il relève des conditions de financement du vendeur, que la \cref{sec:16:criteres} a écartées de la comparaison.
187+
188+\section{L'analyse coût-bénéfice d'une rénovation énergétique}\label{sec:44:acb}
189+
190+\subsection{La facture au tarif D et l'économie marginale}
191+
192+Toute l'analyse repose sur la traduction des kilowattheures évités en dollars. Au tarif D, la facture annuelle hors taxes d'un abonnement qui consomme $Q$ kilowattheures sur $J$ jours s'écrit, avec les prix en vigueur le 1\ier{} avril 2026 \parencite{hydrotarifs2026},
193+\begin{equation}\label{eq:44:facture}
194+F(Q) \;=\; \num{0.46154}\, J \;+\; \num{0.07065}\, \min(Q,\ 40\,J) \;+\; \num{0.11142}\, \max(Q - 40\,J,\ 0) ,
195+\end{equation}
196+où le premier terme est les frais d'accès au réseau, le deuxième l'énergie de la première tranche, à concurrence de 40~kWh par jour de la période de consommation, et le troisième l'énergie au-delà de ce seuil, soit, sur une année, au-delà de \num{14600}~kWh. L'économie annuelle d'une mesure qui fait passer la consommation de $Q_0$ à $Q_1$ est la différence des factures,
197+\begin{equation}\label{eq:44:economie}
198+S_0 \;=\; F(Q_0) - F(Q_1) ,
199+\end{equation}
200+qui vaut exactement $\num{0.11142}\,(Q_0 - Q_1)$ si les deux consommations excèdent le seuil et $\num{0.07065}\,(Q_0 - Q_1)$ si elles lui sont toutes deux inférieures, avec un mélange des deux prix lorsque la mesure fait franchir le seuil. Ce détail a une portée pédagogique qui dépasse le tarif : l'économie se valorise au \emph{prix marginal}, non au prix moyen de la facture. Pour une maison tout électrique de \num{22000}~kWh, le prix moyen du kilowattheure, frais d'accès compris, est de \num{9.20}~¢, mais chaque kilowattheure évité en vaut \num{11.142}, soit un cinquième de plus ; valoriser les économies au prix moyen, comme le font bien des outils grand public, les sous-estime d'autant. À l'inverse, un petit logement qui consomme sous le seuil ne « gagne » que \num{7.065}~¢ par kilowattheure évité, et la même thermopompe y est moins rentable, indépendamment de la taille des besoins.
201+
202+\subsection{Les flux et les indicateurs}
203+
204+Une mesure énergétique est un investissement dont les flux sont simples : un décaissement initial égal au coût installé $K$ moins la subvention $B$ reçue, puis des économies annuelles qui croissent avec le prix de l'énergie pendant la durée de vie $n$ de la mesure. Avec les conventions de l'ouvrage (flux en fin d'année, prix de l'énergie indexé au taux $g$ dès la première année),
205+\begin{equation}\label{eq:44:flux}
206+CF_0 = -(K - B), \qquad CF_t = S_0\,(1+g)^t, \quad t = 1, \dots, n ,
207+\end{equation}
208+et les indicateurs du \cref{ch:30} s'appliquent sans modification : la valeur actuelle nette au taux $r$,
209+\begin{equation}\label{eq:44:van}
210+\VAN(r) \;=\; -(K - B) + \sum_{t=1}^{n} \frac{S_0\,(1+g)^t}{(1+r)^t} \;=\; -(K-B) + V_E ,
211+\end{equation}
212+le taux de rendement interne, racine de $\VAN(\TRI) = 0$ (\cref{eq:30:van-tri}), et le délai de récupération, simple ou actualisé, première année où le cumul des flux, nominaux ou actualisés, redevient positif. Deux indicateurs propres aux investissements énergétiques complètent cette panoplie. L'\motcle{annuité équivalente} convertit le coût net en un versement annuel constant sur la durée de vie, au moyen du facteur de recouvrement du capital $\mathrm{CRF}(r, n) = r / [1 - (1+r)^{-n}]$ :
213+\begin{equation}\label{eq:44:annuite}
214+A \;=\; (K - B)\, \mathrm{CRF}(r, n) ,
215+\end{equation}
216+et la mesure est rentable si $A$ est inférieure à l'économie annuelle moyenne actualisée. Le \motcle{coût de l'énergie économisée} (\emph{cost of conserved energy}) rapporte cette annuité aux kilowattheures évités chaque année,
217+\begin{equation}\label{eq:44:cee}
218+\mathrm{CEE} \;=\; \frac{(K - B)\, \mathrm{CRF}(r, n)}{Q_0 - Q_1} ,
219+\end{equation}
220+et s'exprime en cents par kilowattheure : la mesure est rentable, en l'absence de croissance du prix de l'énergie, si le CEE est inférieur au prix marginal du kilowattheure, \num{11.142}~¢ au tarif D au-dessus du seuil. Cet indicateur a l'avantage de comparer directement une rénovation au prix de l'énergie qu'elle remplace, et de rendre visible la cause des résultats décevants de l'efficacité énergétique au Québec : avec une électricité à \num{11}~¢, bien des mesures dont le CEE est de \num{15} à \num{35}~¢ sont rentables en Europe et ne le sont pas ici.
221+
222+\subsection{Interactions, incrément et horizon}
223+
224+Trois subtilités distinguent l'analyse énergétique d'un calcul de VAN ordinaire. La première est l'\emph{interaction} entre mesures : les économies ne s'additionnent pas. Si l'isolation réduit la charge de chauffage d'une fraction $\theta_I$ et que la thermopompe économise une fraction $\theta_T$ de l'énergie de chauffage qu'elle fournit, l'économie combinée sur une charge $H$ est
225+\begin{equation}\label{eq:44:interaction}
226+\Delta Q_{I+T} \;=\; \theta_I H + \theta_T\,(1 - \theta_I)\,H \;<\; (\theta_I + \theta_T)\,H ,
227+\end{equation}
228+parce que la thermopompe n'a plus à fournir l'énergie que l'isolation a évitée. L'ordre d'évaluation importe : la mesure examinée en second se voit attribuer une économie moindre, ce qui est la façon correcte de poser la question « vaut-il la peine d'ajouter cette mesure à l'autre ? ».
229+
230+La deuxième est le \emph{raisonnement incrémental}. Lorsqu'un équipement est en fin de vie et doit de toute façon être remplacé, la décision pertinente n'est pas « installer ou non une thermopompe climat froid », mais « installer un appareil climat froid plutôt qu'un appareil standard ». Le coût à retenir est alors le surcoût, la subvention à retenir est la différence des subventions, et l'économie à retenir est celle de l'appareil performant par rapport à l'appareil standard neuf, non par rapport à l'appareil usé. Les conclusions des deux cadrages peuvent être opposées, et l'exemple intégral le montre.
231+
232+La troisième est l'\emph{horizon}. L'isolation d'un entretoit dure aussi longtemps que le bâtiment ; une thermopompe, quinze ans. Comparer leurs VAN sur un horizon commun exige soit de tronquer la mesure longue, en lui attribuant une valeur résiduelle, soit de répéter la mesure courte. L'ouvrage retient, pour une mesure de longue durée, la vie économique restante du bâtiment, 31 ans pour le sujet du cas 1 (\cref{ch:11,ch:24}), et, pour une mesure de courte durée, sa vie utile, sans remplacement ; l'analyse de sensibilité de la \cref{sec:44:sensibilite} fait varier ces durées.
233+
234+\begin{pratique}[Les données qu'il faut demander]
235+L'analyse exige, au minimum : douze mois de factures d'électricité (et de gaz ou de mazout, le cas échéant) du sujet, ou à défaut une consommation déclarée dont la source est nommée ; la description de l'installation actuelle (type, année, capacité, état, telle que la fiche d'état du \cref{ch:11} la consigne) ; une ou plusieurs soumissions datées pour les travaux envisagés, dont la date compte parce que l'indice des prix de la construction de bâtiments résidentiels de Montréal a progressé de \pct{8.6} entre le troisième trimestre de 2025 et celui de 2026 \parencite{statcanIPCB} ; les programmes applicables à la date des travaux, vérifiés sur les pages officielles ; et une estimation des économies qui vienne d'une source identifiée, évaluation ÉnerGuide, fiche technique de l'appareil ou calcul déclaré, jamais d'une promesse de vendeur. Lorsque les économies sont une hypothèse, l'analyse doit le dire et en mesurer la sensibilité.
236+\end{pratique}
237+
238+\section{Exemple intégral : thermopompe et isolation sur le cottage de Hull}\label{sec:44:exemple}
239+
240+\begin{synthetique}
241+Le sujet est le cottage à étages de \msq{165} construit en 1998 dans le secteur de Hull (cas 1, \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_sujet.json}), dont la fiche d'état du \cref{ch:11} recense une thermopompe centrale de 2016 (état 3, vie utile 15 ans) et un bloc de longue durée dont l'isolation est « conforme » à sa date de construction. Sa consommation d'électricité n'est pas observée : le présent chapitre pose l'\textbf{hypothèse pédagogique} d'une consommation de \num{22000}~kWh par année pour une maison tout électrique, dont \pct{50} pour le chauffage des locaux, \pct{20} pour l'eau chaude et \pct{30} pour les autres usages. Hydro-Québec ne publie pas de facture moyenne par type de maison, et ce chiffre ne doit pas être lu comme une donnée. Les coûts installés (\dollars{16500} pour une thermopompe climat froid de \num{36000}~BTU/h, \dollars{44} par mètre carré pour l'isolation soufflée de l'entretoit), les fractions d'économie (\pct{30} du chauffage pour la thermopompe par rapport à l'appareil de 2016, \pct{20} par rapport à un appareil standard neuf, \pct{8} pour l'isolation) et l'admissibilité aux plafonds des programmes sont également des hypothèses déclarées. Seuls le tarif D, les règles de LogisVert et de Rénoclimat, la hausse tarifaire de la Régie et le taux hypothécaire de la Banque du Canada sont des données vérifiées. Tous les chiffres sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py} et testés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch44.py}.
242+\end{synthetique}
243+
244+\begin{exemple}{Deux mesures énergétiques sur un cottage de 28 ans à Hull}{renovation-cas1}
245+\emph{Étape 1 : la facture de référence.} Avec $Q_0 = \num{22000}$~kWh sur 365 jours, soit \num{60.3}~kWh par jour, l'\cref{eq:44:facture} donne des frais d'accès de \dollars{168.46}, une première tranche de \num{14600}~kWh à \num{7.065}~¢, soit \dollars{1031.49}, et une seconde tranche de \num{7400}~kWh à \num{11.142}~¢, soit \dollars{824.51} : la facture annuelle hors taxes est de \dollars{2024.46}, le prix moyen du kilowattheure de \num{9.20}~¢ et le prix marginal de \num{11.142}~¢. La charge de chauffage est $H = \num{11000}$~kWh.
246+
247+\emph{Étape 2 : les mesures et leurs flux.} Le \cref{tab:44:hypotheses} rassemble les hypothèses. La thermopompe climat froid (mesure A) coûte \dollars{16500} ; LogisVert verse \dollars{120} par tranche de \num{1000}~BTU/h, soit \dollars{4320} pour \num{36000}~BTU/h, sous le plafond de \dollars{6700} ; le coût net est de \dollars{12180}. Elle économise \pct{30} de la charge de chauffage, \num{3300}~kWh, qui valent tous \num{11.142}~¢ puisque la consommation reste au-dessus du seuil : $S_0 = \dollars{367.69}$ par année aux prix de 2026, \dollars{378.72} la première année avec une croissance de \pct{3.0}. L'isolation de l'entretoit (mesure B) coûte $95 \times 44 = \dollars{4180}$ ; Rénoclimat verse, par hypothèse, le plafond « toit » de \dollars{2000} ; le coût net est de \dollars{2180}, l'économie de \pct{8} de la charge, soit 880~kWh et \dollars{98.05} par année. La durée de vie est de 15 ans pour la thermopompe et de 31 ans, vie économique restante du bâtiment, pour l'isolation. Le taux d'actualisation est le taux effectif des prêts hypothécaires non assurés à taux fixe de cinq ans et plus, \pct{4.58} en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026}, coût d'emprunt d'un propriétaire qui financerait les travaux ; la croissance du prix de l'électricité est fixée à \pct{3.0}, hausse approuvée pour 2026 et prévue pour 2027 \parencite{regieenergie2026}, maintenue par hypothèse au-delà.
248+
249+\emph{Étape 3 : les indicateurs.} Le \cref{tab:44:resultats} et la \cref{fig:44:flux} donnent les résultats. La thermopompe a une VAN de $-\dollars{7286.54}$ : la valeur actuelle de ses économies, \dollars{4893.46}, ne couvre que \pct{40.2} de son coût net, son TRI est négatif ($-\pct{5.84}$, les économies cumulées sur quinze ans ne remboursant même pas le coût net en dollars courants), son délai de récupération n'existe pas et son coût de l'énergie économisée est de \num{34.56}~¢ le kilowattheure, trois fois le prix marginal. L'isolation a une VAN de $+\dollars{224.60}$, un TRI de \pct{5.29}, un délai simple de 16,9 ans et un délai actualisé de 27,4 ans, un indice de rentabilité de 1,103 et un CEE de \num{15.12}~¢ : rentable de justesse, et seulement grâce à la croissance du prix de l'électricité et à la subvention, puisque sans celle-ci la VAN serait de $-\dollars{1775.40}$ et le CEE de \num{28.99}~¢.
250+
251+\emph{Étape 4 : la combinaison.} Prises ensemble, les deux mesures n'économisent pas $\num{3300} + 880 = \num{4180}$~kWh mais, par l'\cref{eq:44:interaction}, $880 + 0{,}30 \times (\num{11000} - 880) = \num{3916}$~kWh : la thermopompe, examinée après l'isolation, perd 264~kWh d'économies. Sur l'horizon de quinze ans de la thermopompe, la VAN combinée est de $-\dollars{8553.09}$ pour un coût net de \dollars{14360} ; la valeur actuelle des économies, \dollars{5806.91}, représente \pct{0.91} de la valeur hédonique du sujet, \dollars{637953} (\cref{ch:18}), et le coût installé total, \dollars{20680}, en représente \pct{3.24}.
252+
253+\emph{Étape 5 : la décision incrémentale.} La thermopompe de 2016 atteindra la fin de sa vie utile en 2031 et devra être remplacée. À ce moment, la question n'est plus celle de l'étape 3. Un appareil standard ENERGY STAR coûte, d'après le poste du devis du \cref{ch:21} majoré des indirects et de l'incitatif, \dollars{13944.66}, et LogisVert lui accorde \dollars{50} par \num{1000}~BTU/h, soit \dollars{1800} ; l'appareil climat froid coûte \dollars{2555.34} de plus et reçoit \dollars{2520} de plus. Le surcoût net est de \dollars{35.34}. S'il économise \pct{20} de la charge de chauffage par rapport à l'appareil standard neuf, soit \num{2200}~kWh et \dollars{245.12} par année, la valeur actuelle de ces économies est de \dollars{3262.31} et la VAN incrémentale de $+\dollars{3226.97}$ : la bonification de LogisVert pour le climat froid absorbe pratiquement tout le surcoût, et le choix de l'appareil performant au moment du remplacement est sans ambiguïté. La leçon est générale : la rentabilité d'une rénovation énergétique au Québec se joue rarement dans la décision d'investir avant terme, presque toujours dans le choix de l'équipement au moment où il faut de toute façon remplacer.
254+
255+\emph{Étape 6 : la contribution à la valeur.} La \cref{sec:44:capitalisation} confronte ces résultats aux quatre lectures de la contribution et aux paires de ventes du cas 1.
256+\end{exemple}
257+
258+\begin{table}[htbp]
259+\caption{Hypothèses de l'exemple intégral (données vérifiées en romain, hypothèses pédagogiques en italique)}\label{tab:44:hypotheses}
260+\centering\small
261+\begin{tabularx}{\textwidth}{lYl}
262+\toprule
263+Paramètre & Valeur & Statut, source \\
264+\midrule
265+Tarif D (1\ier{} avril 2026) & \num{46.154}~¢/jour ; \num{7.065}~¢/kWh $\le$ 40~kWh/j ; \num{11.142}~¢/kWh au-delà & vérifié, \textcite{hydrotarifs2026} \\
266+Croissance du prix de l'électricité $g$ & \pct{3.0} par année & \pct{3.0} en 2026 et 2027 (Régie) ; \emph{maintenue au-delà} \\
267+Taux d'actualisation $r$ & \pct{4.58} & taux effectif, prêts non assurés fixes $\ge$ 5 ans, août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026} \\
268+Consommation du sujet $Q_0$ & \emph{\num{22000}~kWh/an ; chauffage \pct{50}, eau chaude \pct{20}, autres \pct{30}} & \emph{hypothèse} \\
269+Mesure A : thermopompe climat froid & \emph{\num{36000}~BTU/h ; coût installé \dollars{16500} ; économie \pct{30} du chauffage (\pct{20} vs appareil standard neuf) ; vie 15 ans} & \emph{hypothèses} ; LogisVert \dollars{120}/\num{1000}~BTU/h, max.\ \dollars{6700} (vérifié) \\
270+Appareil standard de référence & \dollars{13944.66} (poste du devis du cas 1 $\times$ 1,33043) ; LogisVert \dollars{50}/\num{1000}~BTU/h & devis synthétique (\cref{ch:21}) ; règle vérifiée \\
271+Mesure B : isolation de l'entretoit & \emph{\msq{95} $\times$ \dollars{44} = \dollars{4180} ; économie \pct{8} du chauffage ; vie 31 ans} & \emph{hypothèses} ; Rénoclimat plafond toit \dollars{2000} (vérifié), \emph{versé au plafond} \\
272+\bottomrule
273+\end{tabularx}
274+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py, constantes en tête de script}}
275+\end{table}
276+
277+\begin{table}[htbp]
278+\caption{Indicateurs des mesures énergétiques du sujet du cas 1 ($r = \pct{4.58}$, $g = \pct{3.0}$ ; données synthétiques)}\label{tab:44:resultats}
279+\centering\small
280+\begin{tabular}{lS[table-format=5.2]S[table-format=4.2]S[table-format=5.2]S[table-format=4.2]}
281+\toprule
282+Indicateur & {A : thermopompe} & {B : isolation} & {A + B} & {Incrément climat froid} \\
283+\midrule
284+Coût installé (\$) & 16500.00 & 4180.00 & 20680.00 & 2555.34 \\
285+Subvention (\$) & 4320.00 & 2000.00 & 6320.00 & 2520.00 \\
286+Coût net $K - B$ (\$) & 12180.00 & 2180.00 & 14360.00 & 35.34 \\
287+Énergie évitée (kWh/an) & 3300 & 880 & 3916 & 2200 \\
288+Économie $S_0$ aux prix de 2026 (\$/an) & 367.69 & 98.05 & 436.32 & 245.12 \\
289+Durée de vie $n$ (ans) & 15 & 31 & 15 & 15 \\
290+Valeur actuelle des économies $V_E$ (\$) & 4893.46 & 2404.60 & 5806.91 & 3262.31 \\
291+VAN (\$) & -7286.54 & 224.60 & -8553.09 & 3226.97 \\
292+TRI (\%) & -5.84 & 5.29 & -5.78 & {n.s.} \\
293+Délai de récupération simple (ans) & {jamais} & 16.89 & {jamais} & 0.14 \\
294+Délai de récupération actualisé (ans) & {jamais} & 27.40 & {jamais} & 0.15 \\
295+Indice de rentabilité $V_E/(K-B)$ & 0.402 & 1.103 & 0.404 & 92.32 \\
296+Annuité équivalente du coût net (\$/an) & 1140.37 & 133.04 & 1344.48 & 3.31 \\
297+CEE net (¢/kWh) & 34.56 & 15.12 & 34.33 & 0.15 \\
298+CEE brut, sans subvention (¢/kWh) & 46.81 & 28.99 & 49.44 & 10.87 \\
299+\bottomrule
300+\end{tabular}
301+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py, fonction \texttt{flux\_mesure} ; traite.finance} ; n.s. : TRI non significatif, coût net quasi nul.}
302+\end{table}
303+
304+\begin{figure}[htbp]
305+\centering
306+\includegraphics[width=\textwidth]{ch44/ch44-fig-flux.pdf}
307+\caption{Flux annuels des deux mesures énergétiques du sujet du cas 1 : coût net à l'année 0, économies croissantes de 3,0 \% par année et cumul actualisé à 4,58 \%. (a) La thermopompe climat froid, installée avant terme, ne récupère pas son coût net en quinze ans. (b) L'isolation de l'entretoit atteint l'équilibre actualisé la vingt-huitième année et dégage une VAN légèrement positive sur la vie restante du bâtiment.}\label{fig:44:flux}
308+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch44\_flux.py}}
309+\end{figure}
310+
311+\subsection{Sensibilité : taux, prix de l'énergie, durée et économies}\label{sec:44:sensibilite}
312+
313+La VAN d'une mesure énergétique dépend de paramètres que l'analyste ne connaît pas : le taux d'actualisation du propriétaire ou de l'acheteur, la trajectoire du prix de l'électricité, la durée de vie réelle de l'équipement et surtout les économies, qui ne sont qu'une estimation avant travaux. La \cref{fig:44:heatmap} croise les deux premiers pour chaque mesure, et le \cref{tab:44:sens-duree} fait varier la durée de la thermopompe.
314+
315+\begin{figure}[htbp]
316+\centering
317+\includegraphics[width=\textwidth]{ch44/ch44-fig-heatmap-van.pdf}
318+\caption{VAN (en milliers de dollars) des deux mesures selon le taux d'actualisation (lignes) et la croissance annuelle du prix de l'électricité (colonnes). (a) La thermopompe installée avant terme reste déficitaire dans toute la grille, de $-9{,}4$~k\$ à $-4{,}6$~k\$ ; aucune combinaison plausible ne la rend rentable. (b) L'isolation bascule du négatif au positif le long de la courbe noire : à 4,58 \%, il faut une croissance du prix d'au moins 3 \% ; à 2 \%, elle est rentable même à prix constant.}\label{fig:44:heatmap}
319+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch44\_heatmap\_van.py}}
320+\end{figure}
321+
322+\begin{table}[htbp]
323+\caption{VAN de la thermopompe climat froid (\$) selon la durée de vie et le taux d'actualisation ($g = \pct{3.0}$ ; données synthétiques)}\label{tab:44:sens-duree}
324+\centering\small
325+\begin{tabular}{S[table-format=2.0]S[table-format=-5.0]S[table-format=-5.0]S[table-format=-5.0]S[table-format=-5.0]}
326+\toprule
327+{Durée (ans)} & {$r = \pct{2}$} & {$r = \pct{4.58}$} & {$r = \pct{7}$} & {$r = \pct{10}$} \\
328+\midrule
329+10 & -8299 & -8795 & -9180 & -9573 \\
330+12 & -7476 & -8178 & -8706 & -9228 \\
331+15 & -6212 & -7287 & -8058 & -8788 \\
332+18 & -4910 & -6435 & -7481 & -8426 \\
333+20 & -4020 & -5888 & -7131 & -8222 \\
334+25 & -1719 & -4593 & -6365 & -7815 \\
335+\bottomrule
336+\end{tabular}
337+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py, fonction \texttt{sensibilite\_duree}}}
338+\end{table}
339+
340+Les résultats sont robustes dans un sens précis. La VAN de la thermopompe installée avant terme demeure négative dans toute la grille de la \cref{fig:44:heatmap}, de $-\dollars{9383}$ à un taux de \pct{10} et un prix constant jusqu'à $-\dollars{4573}$ à \pct{2} et une croissance de \pct{6} ; elle le demeure aussi pour toute durée de vie jusqu'à 25 ans au taux de référence. Les seuils d'équilibre confirment la distance à parcourir : pour annuler la VAN à \pct{4.58} et \pct{3.0}, il faudrait que l'appareil économise \num{8683}~kWh, soit \pct{78.9} de la charge de chauffage, ou que le prix de l'électricité croisse de \pct{14.40} par année pendant quinze ans, ou que le coût net tombe à \dollars{4893.46}, ce qui exigerait une subvention de \dollars{11606.54}, presque le double du plafond de LogisVert. La tornade calculée par le script range les paramètres par influence : la subvention (VAN de $-\dollars{11606.54}$ sans aide à $-\dollars{4906.54}$ au plafond de \dollars{6700}) et le coût installé ($\pm\pct{20}$ : $-\dollars{10586.54}$ à $-\dollars{3986.54}$) pèsent le plus, puis les économies (\pct{20} à \pct{40} du chauffage : $-\dollars{8917.69}$ à $-\dollars{5655.39}$), la consommation de référence (\num{16000} à \num{28000}~kWh : $-\dollars{9163.72}$ à $-\dollars{5951.96}$), la durée (12 à 20 ans : $-\dollars{8177.94}$ à $-\dollars{5888.43}$), le prix de l'énergie et le taux. L'isolation est au contraire une mesure « de seuil » : sa VAN est petite et change de signe pour des variations modérées des paramètres, de $-\dollars{1251}$ à $+\dollars{3784}$ dans la grille, et la courbe d'équilibre de la \cref{fig:44:heatmap} dit à quelles conditions elle se justifie : un propriétaire qui actualise à son taux hypothécaire a besoin d'anticiper une croissance du prix de l'électricité d'au moins \pct{3} par année, ce qui correspond aux hausses récentes approuvées par la Régie mais excède l'inflation cible.
341+
342+\subsection{Quatre lectures de la contribution à la valeur}\label{sec:44:capitalisation}
343+
344+Que doit en conclure l'évaluateur qui, un an après les travaux, évalue le cottage ? Le \cref{tab:44:lectures} et la \cref{fig:44:capitalisation}(a) confrontent quatre lectures de ce que la thermopompe « vaut ». Le coût installé, \dollars{16500}, est ce que le vendeur réclame ; le coût net de la subvention, \dollars{12180}, est ce qu'il a déboursé ; la valeur actuelle des économies, \dollars{4893.46} au moment de l'installation, est le maximum qu'un acheteur rationnel et parfaitement informé paierait pour le flux d'économies, et elle décroît avec le temps : \dollars{3923.88} après cinq ans, \dollars{2360.94} après dix, zéro à la fin de la vie utile. Les primes de la littérature, appliquées mécaniquement à la valeur hédonique du sujet, donneraient \dollars{14801} (Europe, \pct{2.32}), \dollars{26794} (monde, \pct{4.20}) ou \dollars{34194} (Amérique du Nord, \pct{5.36}) ; mais ces primes mesurent des étiquettes dans des marchés où l'énergie coûte un multiple du tarif D, et où l'étiquette signale souvent une maison récente et de qualité. Les appliquer ici reviendrait à payer trois à sept fois la valeur actuelle des économies, soit à faire ce que \textcite{eichholtzKokQuigley2010} observaient pour les bureaux américains, une prime de label excédant la capitalisation, sans qu'aucune donnée québécoise ne l'autorise.
345+
346+\begin{table}[htbp]
347+\caption{Quatre lectures de la contribution de la thermopompe climat froid à la valeur du sujet du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:44:lectures}
348+\centering\small
349+\begin{tabularx}{\textwidth}{YS[table-format=5.2]S[table-format=1.2]l}
350+\toprule
351+Lecture & {Montant (\$)} & {\% de la valeur} & Ce qu'elle mesure \\
352+\midrule
353+Coût installé & 16500.00 & 2.59 & ce que le vendeur réclame \\
354+Coût net de LogisVert & 12180.00 & 1.91 & ce que le propriétaire a déboursé \\
355+Valeur actuelle des économies (15 ans, \pct{4.58}, \pct{3.0}) & 4893.46 & 0.77 & plafond pour un acheteur rationnel et informé \\
356+\quad après 5 ans & 3923.88 & 0.62 & idem, à une revente en 2031 \\
357+\quad après 10 ans & 2360.94 & 0.37 & idem, à une revente en 2036 \\
358+Prime verte, Europe (\pct{2.32}) & 14800.51 & 2.32 & étiquette, marché cher en énergie \\
359+Prime verte, monde (\pct{4.20}) & 26794.02 & 4.20 & méta-analyse, tous marchés \\
360+Prime verte, Amérique du Nord (\pct{5.36}) & 34194.27 & 5.36 & étiquettes volontaires, États-Unis surtout \\
361+\bottomrule
362+\end{tabularx}
363+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py, fonctions \texttt{lectures\_contribution} et \texttt{va\_economies\_restantes} ; valeur hédonique du sujet \dollars{637953} (\cref{ch:18})}}
364+\end{table}
365+
366+\begin{figure}[htbp]
367+\centering
368+\includegraphics[width=\textwidth]{ch44/ch44-fig-capitalisation.pdf}
369+\caption{(a) Les quatre lectures du \cref{tab:44:lectures} pour la thermopompe : la valeur actuelle des économies est le tiers du coût installé, et les primes vertes de la littérature, appliquées à la valeur du sujet, en sont un multiple. (b) Écarts de prix des 30 paires de ventes du cas 1 qui ne diffèrent, à des tolérances déclarées près, que par un échelon de qualité (4 contre 3) : médiane 5,8 \%, moyenne 4,65 \% avec un intervalle à 95 \% de $-0{,}2$ à 9,5 \%, et prix implicite hédonique de 6,3 \%. La dispersion des paires illustre la supériorité de la régression pour isoler un attribut dans un marché hétérogène.}\label{fig:44:capitalisation}
370+\figsource{\synth{analysis/python/figures/ch44\_capitalisation.py}}
371+\end{figure}
372+
373+La lecture correcte, pour l'évaluateur, est la troisième, bornée par la quatrième si une prime d'équipement est démontrée sur le marché local. Concrètement : à la date d'évaluation du cas 1, une thermopompe climat froid neuve contribuerait au plus \dollars{4900} environ à la valeur du sujet par ses économies, soit moins de \pct{1}, à quoi s'ajoute, le cas échéant, la contribution de la climatisation centrale comme attribut de confort, qui relève de la comparaison ordinaire (\cref{ch:17}) et non de l'analyse énergétique. Le vendeur qui demande \dollars{16500} de plus pour sa thermopompe demande \dollars{11600} de trop ; l'évaluateur qui ajouterait \pct{4} de « prime verte » ajouterait \dollars{22000} de trop. Et l'isolation, dont la VAN est positive pour le propriétaire, contribue au plus \dollars{2404.60}, invisible dans la dispersion des prix du secteur.
374+
375+\subsection{Les rénovations non énergétiques : cuisine, salles de bain et paires de ventes}\label{sec:44:paires}
376+
377+Le même raisonnement vaut pour les rénovations ordinaires, avec une différence : leur bénéfice n'est pas un flux monétaire actualisable mais un surcroît d'utilité, dont la seule mesure est le marché. Le \cref{ch:17} a exposé les méthodes, ventes appariées et régression ; le \cref{ch:24} a mesuré la carence de salle d'eau par le coût. Le jeu du cas 1 ne comporte pas de variable « cuisine rénovée », mais il comporte une note de qualité de 1 à 5, et un échelon de qualité est, dans ce jeu, ce qu'une rénovation complète de la cuisine et des salles de bain produirait vraisemblablement sur une maison de 1998 notée 3 : la faire passer à 4. Le script apparie donc les ventes de qualité 4 à des ventes de qualité 3 du même secteur et du même type, de superficie habitable voisine à \msq{25} près, d'âge voisin à dix ans près, de mêmes garage, sous-sol fini et piscine, vendues à moins de dix-huit mois d'écart et à moins de cinq kilomètres, en ramenant le prix du membre de qualité 3 à la date de l'autre par la tendance du modèle hédonique (\pct{0.364} par mois) ; chaque vente n'entre que dans une paire, et le membre le plus ressemblant est retenu. Trente paires en résultent. Leur écart médian est de \pct{5.78}, soit \dollars{25083} sur le prix médian des paires ; leur écart moyen de \pct{4.65}, avec un écart-type de \pct{13.64} entre paires et une erreur-type de la moyenne de \pct{2.49}, d'où un intervalle à \pct{95} de $-\pct{0.23}$ à $+\pct{9.53}$. Le prix implicite hédonique de l'échelon de qualité, $\exp(0{,}06108) - 1 = \pct{6.30}$, est à l'intérieur de cet intervalle et bien plus précis, parce que la régression contrôle simultanément toutes les différences résiduelles que les tolérances de l'appariement laissent subsister (\cref{fig:44:capitalisation}(b)).
378+
379+Appliqué à la valeur du sujet, l'échelon de qualité contribue \dollars{36891} (paires, médiane) ou \dollars{40182} (hédonique). Si la rénovation de la cuisine et des deux salles de bain qui ferait passer le sujet de la note 3 à la note 4 coûte \dollars{65000}, hypothèse pédagogique dont l'ordre de grandeur n'est pas documenté par une source québécoise, le taux de récupération est de \pct{56.8} à \pct{61.8} et la « VAN » de la rénovation pour un vendeur qui la ferait juste avant de vendre est de $-\dollars{28109}$. Ce résultat est celui que la \cref{sec:44:contribution} laissait attendre : une amélioration conforme au secteur contribue nettement, mais moins qu'elle ne coûte, parce que l'acheteur n'a pas choisi les finitions et que le marché du secteur rémunère la qualité de façon continue et modérée. Il illustre aussi la limite de l'exercice : un échelon de qualité englobe plus qu'une cuisine, et la variable de qualité du jeu synthétique est, par construction, mieux mesurée qu'une note de qualité attribuée par un évaluateur sur le terrain. Les études de ventes répétées de \textcite{knightSirmans1996} et de \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} montrent, sur des données réelles américaines, que l'entretien et la rénovation ralentissent la dépréciation du logement sans l'annuler : les propriétaires qui rénovent récupèrent une partie de la valeur perdue par l'usure, pas une plus-value nette sur le coût.
380+
381+\begin{erreurs}
382+\begin{itemize}
383+\item Additionner le coût des rénovations à une valeur antérieure. La contribution est $\Delta V$, mesurée sur le marché ou par la valeur actuelle des bénéfices, jamais $K$ (\cref{eq:44:contribution}).
384+\item Compter deux fois un remplacement à l'identique : ajouter le coût d'une toiture neuve alors que la méthode du coût n'avait déprécié l'ancienne que d'une fraction de ce coût, ou alors que la comparaison suppose déjà une toiture en milieu de vie.
385+\item Appliquer une « prime verte » européenne ou californienne à une maison québécoise. Ces primes mesurent des étiquettes dans des marchés où l'énergie coûte plusieurs fois le tarif D ; la borne pertinente est la valeur actuelle des économies au tarif local (\cref{eq:44:capitalisation}).
386+\item Valoriser les économies au prix moyen du kilowattheure plutôt qu'au prix marginal de la tranche où se trouve le sujet, ou négliger le franchissement du seuil de 40~kWh par jour.
387+\item Additionner les économies de mesures qui interagissent ; la seconde mesure n'économise qu'une fraction de ce que la première a laissé (\cref{eq:44:interaction}).
388+\item Évaluer un remplacement inévitable comme un investissement discrétionnaire. Quand l'équipement est en fin de vie, seuls le surcoût, la différence des subventions et l'économie par rapport à l'équipement standard neuf comptent.
389+\item Traiter une subvention reçue par le vendeur comme une valeur transférée à l'acheteur, ou un prêt subventionné comme un attribut du bien.
390+\item Accepter les économies annoncées par un fournisseur sans source ; déclarer l'hypothèse et en mesurer la sensibilité, comme à la \cref{sec:44:sensibilite}.
391+\end{itemize}
392+\end{erreurs}
393+
394+\begin{limites}
395+Les résultats chiffrés de la \cref{sec:44:exemple} reposent sur une consommation, des coûts installés, des fractions d'économie et des durées de vie qui sont des hypothèses pédagogiques déclarées, non des mesures ; ils démontrent une méthode et un ordre de grandeur, pas la rentabilité d'un équipement particulier, qui dépend de la maison, de l'installateur et de la soumission du jour. Les taux d'actualisation et de croissance du prix de l'électricité au-delà de 2028 sont des choix de l'analyste. Aucune étude arbitrée sur la capitalisation de l'efficacité énergétique dans les prix résidentiels québécois n'a été repérée ; l'absence de cote énergétique obligatoire à la vente d'une maison existante est constatée d'après les programmes publics, mais aucune disposition législative n'a été vérifiée qui l'interdise ou l'impose, et le lecteur doit revérifier ce point à la date de son rapport. Les palmarès de « taux de récupération » des rénovations n'ont pas été cités faute de méthodologie transactionnelle vérifiable et de version québécoise. Les montants des programmes ont été lus sur les pages officielles le 31 octobre 2026 ; ils changent fréquemment, et la version française de la page de LogisVert était inaccessible à cette date. Les paires de ventes du cas 1 proviennent d'un marché synthétique dont la variable de qualité est parfaitement mesurée ; sur un marché réel, l'appariement sur une note de qualité attribuée par l'évaluateur est beaucoup plus bruité, et le coût de \dollars{65000} retenu pour la rénovation de référence est une hypothèse. Enfin, le chapitre ne traite ni des rénovations qui modifient la superficie ou le nombre de logements, qui relèvent de la plus haute et meilleure utilisation (\cref{ch:41}), ni de l'effet des rénovations sur les loyers encadrés, qui relève du \cref{ch:34}.
396+\end{limites}
397+
398+\begin{synthese}
399+\begin{itemize}
400+\item La contribution d'une rénovation à la valeur est ce que le marché paie pour elle, $\Delta V$, jamais son coût $K$ ; quatre catégories de travaux, entretien différé, remplacement à l'identique, amélioration et surabondance, appellent des mesures différentes, et un remplacement en fin de vie ne crée pas de valeur, il restaure une contribution déjà supposée.
401+\item La prime verte mesurée dans la littérature se situe entre \pct{2} et \pct{5} pour les logements étiquetés, jusqu'à \pct{10} pour la meilleure classe ; elle dépend du prix de l'énergie, de l'information disponible et du marché, et elle excède souvent la capitalisation des économies. Elle ne se transpose pas au Québec sans ce calcul.
402+\item La valeur actuelle des économies au tarif D, $V_E = \sum S_t/(1+r)^t$, borne ce qu'un acheteur rationnel et informé paierait ; au prix marginal de \num{11.142}~¢ le kilowattheure, elle est petite : moins de \pct{1} de la valeur du sujet pour deux mesures substantielles.
403+\item L'analyse coût-bénéfice d'une mesure énergétique se conduit par la VAN, le TRI, le délai actualisé, l'annuité équivalente et le coût de l'énergie économisée, en valorisant les économies au prix marginal, en tenant compte des interactions et en raisonnant à l'incrément quand l'équipement doit de toute façon être remplacé : la bonification de LogisVert rend le choix de l'appareil climat froid évident au moment du remplacement, alors que l'installation avant terme est déficitaire.
404+\item Les programmes (Rénoclimat refondu le 1\ier{} octobre 2026, LogisVert, Novoclimat) réduisent le coût net pour le propriétaire et déplacent la norme du marché ; ils n'ajoutent pas de valeur transférable et doivent être revérifiés à la date de chaque rapport.
405+\item Pour les rénovations non énergétiques, la contribution se mesure par paires de ventes et par régression ; un échelon de qualité vaut environ \pct{6} du prix dans le cas 1, soit un taux de récupération de l'ordre de \pct{60} pour une rénovation complète de la cuisine et des salles de bain au coût retenu.
406+\end{itemize}
407+\end{synthese}
408+
409+\section*{Exercices}
410+\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
411+
412+\begin{exercice}[1]{Facture au tarif D et prix marginal}{ex:44:1}
413+Calculez, avec l'\cref{eq:44:facture} et les prix en vigueur le 1\ier{} avril 2026, la facture annuelle hors taxes d'un logement qui consomme \num{18000}~kWh, puis celle d'une maison qui en consomme \num{26000}. Donnez pour chacune le prix moyen du kilowattheure et le prix marginal. Quelle est la valeur annuelle de \num{1000}~kWh évités pour la maison de \num{26000}~kWh ? Et pour un logement qui passerait de \num{15000} à \num{14000}~kWh ? Expliquez la différence.
414+\end{exercice}
415+
416+\begin{exercice}[1]{Subvention LogisVert}{ex:44:2}
417+Un propriétaire installe une thermopompe ENERGY STAR de \num{24000}~BTU/h à $-8$~°C. Calculez l'aide LogisVert pour un appareil standard et pour un appareil climat froid. À partir de quelle capacité le plafond de \dollars{6700} devient-il contraignant pour un appareil climat froid ? Quelle aide recevrait un appareil climat froid de \num{60000}~BTU/h ?
418+\end{exercice}
419+
420+\begin{exercice}[2]{Remplacer les fenêtres : rénovation ou investissement énergétique ?}{ex:44:3}
421+La fiche d'état du sujet du cas 1 (\cref{tab:11:fiche}) donne pour les 16 fenêtres de 1998 un coût neuf de \dollars{22311} et un ratio de vie consommée de 0,717. Leur remplacement par des fenêtres ENERGY STAR est admissible à Rénoclimat (\dollars{300} par fenêtre, plafond \dollars{4500}) et économiserait, par hypothèse, 600~kWh par année pendant 30 ans. Avec $r = \pct{4.58}$ et $g = \pct{3.0}$, calculez le coût net, la valeur actuelle des économies, la VAN et le coût de l'énergie économisée. Que devient la VAN sans subvention ? Concluez sur la nature de ces travaux au sens du \cref{tab:44:taxonomie} et sur la façon dont l'évaluateur doit en traiter la contribution.
422+\end{exercice}
423+
424+\begin{exercice}[2]{Coût de l'énergie économisée}{ex:44:4}
425+Pour l'isolation de l'entretoit de l'exemple intégral (coût \dollars{4180}, subvention \dollars{2000}, 880~kWh par année, 31 ans), calculez le coût de l'énergie économisée de l'\cref{eq:44:cee} à $r = \pct{4.58}$, avec et sans subvention, puis à $r = \pct{8}$. Comparez chaque résultat au prix marginal du tarif D et dites dans quels cas la mesure est rentable à prix de l'électricité constant. Calculez la VAN sans subvention à \pct{4.58} et $g = \pct{3.0}$.
426+\end{exercice}
427+
428+\begin{exercice}[2]{Transposer une prime verte}{ex:44:5}
429+Appliquez à la valeur hédonique du sujet du cas 1, \dollars{637953}, la prime européenne de \pct{2.32} et la prime nord-américaine de \pct{5.36} de la méta-analyse de \textcite{cespedeslopez2019}. Comparez les montants obtenus à la valeur actuelle des économies des deux mesures de l'exemple, sur 15 ans (\dollars{5806.91}) puis sur 31 ans si la thermopompe était remplacée à l'identique sans coût (recalculez avec le script : \dollars{10700.48}). Rédigez un paragraphe (150 mots) expliquant à un client pourquoi ces primes ne s'appliquent pas à sa maison, en vous appuyant sur l'\cref{eq:44:capitalisation}.
430+\end{exercice}
431+
432+\begin{exercice}[3]{Seuils d'équilibre et tornade}{ex:44:6}
433+À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch44\_renovation.py}, déterminez pour la thermopompe climat froid installée avant terme : (a) la croissance du prix de l'électricité qui annule la VAN à \pct{4.58} ; (b) l'économie annuelle en kilowattheures, et en fraction de la charge de chauffage, qui annule la VAN ; (c) la subvention qui rendrait le coût net égal à la valeur actuelle des économies. Reproduisez la tornade de la \cref{sec:44:sensibilite} et classez les sept paramètres par influence. Discutez (200 mots) de ce que ces seuils enseignent sur la politique de subvention : pourquoi LogisVert bonifie-t-il l'appareil climat froid plutôt que l'appareil standard ?
434+\end{exercice}
435+
436+\begin{exercice}[3]{Paires de ventes et prix implicite}{ex:44:7}
437+Modifiez les tolérances de l'appariement de la \cref{sec:44:paires} : (a) élargissez-les (superficie \msq{30}, âge 15 ans, 24 mois, sans limite de distance) ; (b) resserrez-les (\msq{15}, 8 ans, 9 mois, 2 km). Pour chaque variante, donnez le nombre de paires, l'écart médian, l'écart moyen et l'écart-type. Comparez au prix implicite hédonique de l'échelon de qualité et à sa version corrigée par la formule de Kennedy (\cref{eq:18:kennedy}). Expliquez l'arbitrage entre le nombre de paires et leur pureté, et dites pourquoi la régression domine ici l'appariement.
438+\end{exercice}
439+
440+\section*{Pour aller plus loin}
441+\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
442+
443+Le principe de contribution et le traitement des rénovations dans les trois méthodes sont exposés dans \textcite{appraisal2026}, dont le vocabulaire est fixé par \textcite{aiDictionary2022}. Sur la prime verte, on lira d'abord \textcite{eichholtzKokQuigley2010}, qui a ouvert le champ avec les bureaux américains, puis \textcite{brounenKok2011} pour le rôle informationnel des étiquettes résidentielles et \textcite{aydinBrounenKok2020} pour la mesure la plus propre de la capitalisation des économies, qui est aussi la plus utile à l'évaluateur. Les études anglaise \parencite{fuerstMcallisterNandaWyatt2015}, irlandaise \parencite{hylandLyonsLyons2013} et californienne \parencite{kahnKok2014} montrent la diversité des contextes, et \textcite{fuerstWarrenmyers2018} le problème de la divulgation volontaire. La méta-analyse de \textcite{cespedeslopez2019} donne le cadre d'ensemble et ses limites. Sur l'entretien, la rénovation et la dépréciation du logement, \textcite{knightSirmans1996} et \textcite{hardingRosenthalSirmans2007} restent les références empiriques. Pour le cadre québécois, les pages officielles des programmes \parencite{renoclimat,logisvert,novoclimat}, le document tarifaire d'Hydro-Québec \parencite{hydrotarifs2026} et la décision tarifaire de la Régie \parencite{regieenergie2026} sont à relire à chaque mandat, et les précautions de Ressources naturelles Canada sur les matériaux anciens \parencite{rncanRenovations2025} complètent le \cref{ch:11}.
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@@ -1,2 +1,440 @@
1 \chapter{Cas 2 : triplex à Québec}\label{ch:46} 1 \chapter{Cas 2 : triplex à Québec}\label{ch:46}
2−\stubchapter 2+
3+Ce chapitre est le deuxième des quatre dossiers complets de la partie IX. Il reprend le triplex fictif de Limoilou que les chapitres de méthode ont utilisé comme exemple, du \cref{ch:26} pour ses baux au \cref{ch:32} pour la lecture du marché des petits plex, et il en fait un dossier d'évaluation de bout en bout : mandat, description, analyse des droits et des baux, marché, revenus et dépenses, comparaison, revenu, coût, financement de l'acheteur, réconciliation et rapport. La particularité du dossier tient à son client : un ménage qui achète l'immeuble pour habiter le logement du rez-de-chaussée et louer les deux autres. L'évaluateur doit lui fournir une opinion de valeur marchande, c'est-à-dire ce que le marché paierait, et non ce que ce ménage en particulier serait prêt à payer ; mais il doit aussi comprendre pourquoi, sur ce segment, le marché est fait d'acheteurs qui lui ressemblent, et ce que cela change à la hiérarchie des méthodes, au traitement des loyers en place et à la lecture du financement. Le \cref{ch:32} a établi la méthode et fixé les indications du triplex à partir des médianes de ses comparables ; le présent chapitre reprend les mêmes cinq ventes, y applique une grille d'ajustements explicite, normalise les taxes aux tarifs de 2026, ajoute la vérification par le coût et le calcul du financement, puis conclut et rédige. Lorsque ses chiffres diffèrent de ceux du \cref{ch:32}, il dit pourquoi. Toutes les données sont synthétiques et identifiées comme telles.
4+
5+\begin{objectifs}
6+À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
7+\begin{itemize}
8+\item rédiger le mandat d'une évaluation de petit plex pour un acheteur-occupant, en distinguant la valeur marchande demandée de la valeur d'investissement que le client a en tête ;
9+\item analyser trois baux résidentiels sous le Code civil du Québec, chiffrer l'écart entre loyers contractuels et loyers de marché, et décrire les conditions, délais et limites de la reprise d'un logement par l'acheteur ;
10+\item normaliser les dépenses d'un triplex poste par poste, recalculer les taxes sur le rôle en vigueur et les tarifs municipaux de 2026, imputer une gestion et une réserve, puis dériver un revenu net d'exploitation prospectif ;
11+\item sélectionner des comparables par distance d'attributs, extraire des ajustements par régression auxiliaire, remplir une grille en dollars par logement, pondérer les prix ajustés et lire l'indication obtenue ;
12+\item appliquer le multiplicateur du revenu brut et la capitalisation directe à un plex, expliquer pourquoi les taux extraits sont bas et interpréter le taux implicite d'un prix de comparaison ;
13+\item dimensionner le financement résidentiel assuré d'un acheteur-occupant, calculer le versement hypothécaire canadien, le taux admissible minimal, les droits de mutation et le coût net d'occupation du logement repris ;
14+\item réconcilier des indications divergentes avec une pondération argumentée, conclure une valeur et une fourchette, et en présenter le contenu minimal au rapport.
15+\end{itemize}
16+\end{objectifs}
17+
18+\begin{synthetique}[Données synthétiques — triplex fictif]
19+Le sujet et toutes les données qui l'entourent sont \emph{synthétiques}. Les fichiers \texttt{data/synthetic/cas2\_quebec\_sujet.json}, \texttt{cas2\_quebec\_loyers.csv} (trois baux), \texttt{cas2\_quebec\_depenses.csv} (huit postes) et \texttt{cas2\_quebec\_ventes\_plex.csv} (250 ventes de duplex et de triplex dans cinq quartiers de Québec, dont 127 retenues dans la fenêtre de 24 mois et les quatre quartiers de la Basse-Ville) ont été générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine \texttt{20261031}. Les loyers de marché sont calibrés sur le loyer moyen des logements de deux chambres de la région métropolitaine de Québec publié par la SCHL pour octobre 2025, les prix sur la médiane des plex du secteur La Cité--Basse-Ville et Limoilou publiée par l'APCIQ pour le troisième trimestre de 2026, indexée au rythme annuel implicite du rôle d'évaluation 2025-2027 ; les lois de génération (décote des loyers selon l'ancienneté des baux, effet de l'état et de l'âge sur le prix) sont des hypothèses pédagogiques décrites dans \texttt{data/synthetic/README.md}, non des estimations sur données réelles. Tous les chiffres du chapitre sont recalculés par \texttt{analysis/python/cases/ch46\_dossier.py}, qui importe la bibliothèque partagée \texttt{traite/cas2.py} (revenus, revenu net, indicateurs des 127 ventes) et les fonctions du script du \cref{ch:32}, \texttt{ch32\_plex.py} (sélection des comparables, régression du taux sur le loyer relatif, financement assuré, coût d'occupation), sans les recalculer autrement.
20+\end{synthetique}
21+
22+\section{Mandat et étendue de la mission}\label{sec:46:mandat}
23+
24+Le client fictif est un couple qui a signé une promesse d'achat sur un triplex de Limoilou et qui entend habiter le logement du rez-de-chaussée dès que le bail en cours le permettra, tout en conservant les locataires des deux autres logements. Il demande à l'évaluateur une opinion de la \emph{valeur marchande} de l'immeuble à la date du 1\textsuperscript{er} septembre 2026, afin de décider s'il maintient, renégocie ou retire sa promesse d'achat, et il souhaite, en complément, comprendre ce que lui coûtera réellement l'occupation du rez-de-chaussée une fois les loyers encaissés. La première partie de la demande est un acte d'évaluation au sens de la Norme de pratique 1 des Normes de pratique professionnelle de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec ; la seconde relève de la consultation et doit être présentée comme telle, distincte de l'opinion de valeur, parce que son résultat dépend de la situation financière du client et non du marché \parencite{oeaqNormes}. L'évaluateur agit pour l'acheteur seulement ; le vendeur et le courtier ne sont pas ses clients, et le rapport ne leur est pas destiné, ce que la règle 2.3 oblige à écrire en identifiant le client, l'usage prévu et les destinataires du rapport.
25+
26+La base de valeur est la valeur marchande telle que la définissent les Normes de pratique professionnelle : « le prix sincère le plus probable, de la vente réelle ou présumée d'un immeuble, à une date donnée, sur un marché libre et ouvert à la concurrence », sous les conditions usuelles que le \cref{ch:02} a commentées et que le \cref{ch:47} a rappelées pour un immeuble de rapport : parties bien informées, exposition suffisante, paiement comptant ou équivalent, prix épuré de tout financement avantageux \parencite{oeaqNormes,ivs2025,cuspap2026}. Deux précisions comptent particulièrement pour un plex acheté par un occupant. La première est que la valeur marchande n'est pas la \emph{valeur d'investissement} du client : le couple valorise le logement qu'il va habiter, la faculté de le reprendre et le financement résidentiel assuré auquel il a accès, autant d'éléments qui lui sont propres. Le \cref{ch:32} a toutefois montré que, sur ce segment, l'acheteur typique est précisément un occupant : la prime d'occupation n'est donc pas une particularité du client, mais une composante du prix de marché, et l'évaluateur doit la retrouver dans ses comparables sans l'inventer par un raisonnement sur le client. La seconde précision est que le prix de la promesse d'achat, que le client a communiqué, ne doit pas servir d'ancre : la règle de l'ouvrage, exposée au \cref{ch:10}, veut que l'évaluateur conduise son analyse sans le prix convenu, puis le compare à sa conclusion ; le prix est mentionné au rapport parce que la Norme l'exige lorsqu'il est connu, mais il n'entre dans aucun calcul.
27+
28+Le droit évalué est la pleine propriété \parencite[art.~947]{ccq} grevée des trois baux résidentiels en vigueur, c'est-à-dire le droit du locateur. Au Québec, l'aliénation d'un immeuble comportant un logement ne permet pas au nouveau locateur de résilier le bail \parencite[art.~1937]{ccq} : l'acheteur acquiert l'immeuble avec ses locataires, leurs loyers et leurs droits au maintien dans les lieux, et la faculté de reprendre un logement pour l'habiter, que la \cref{sec:46:baux} analyse, n'est ni immédiate ni inconditionnelle. L'évaluation porte sur ce droit grevé, aux loyers contractuels ; la valeur que l'immeuble aurait libre de ses baux est calculée pour mémoire, parce qu'elle éclaire la lecture de la valeur au rôle, mais ce n'est pas la valeur demandée.
29+
30+L'étendue du travail couvre une inspection fictive de l'immeuble le 20~août 2026, l'examen des trois baux, du formulaire de déclarations du vendeur et des pièces justificatives des dépenses remises par le courtier, la consultation du rôle d'évaluation 2025-2027 de la Ville de Québec et du compte de taxes 2026, la recherche de ventes de duplex et de triplex dans les quartiers centraux de la Basse-Ville, la collecte des indicateurs publiés par la SCHL, l'APCIQ et la Banque du Canada, puis l'application des trois méthodes traditionnelles : la comparaison, par le prix par logement ajusté et par le multiplicateur du revenu brut ; le revenu, par capitalisation directe ; et le coût, à titre de contrôle seulement, pour un bâtiment de 1948 dont la dépréciation accumulée ne peut être mesurée avec fiabilité. L'évaluateur n'a pas eu accès aux dossiers du Tribunal administratif du logement et n'a pas vérifié les titres ; il n'a pas non plus obtenu l'âge des locataires, information qui conditionne la faculté de reprise et dont l'absence est signalée comme limite. Aucune hypothèse extraordinaire n'est posée. Le \cref{tab:46:mandat} résume la fiche du mandat.
31+
32+\begin{table}[htbp]\centering
33+\caption{Fiche du mandat (dossier synthétique).}\label{tab:46:mandat}
34+\small\begin{tabular}{@{}L{4.2cm}L{8.6cm}@{}}
35+\toprule
36+Élément & Contenu \\
37+\midrule
38+Client et usage prévu & Couple acheteur-occupant (fictif), promesse d'achat signée ; décision d'achat ; analyse du coût d'occupation en consultation distincte \\
39+Bien & Triplex, 456, 3\textsuperscript{e}~Avenue (adresse fictive), Limoilou, Québec ; 1948 ; trois logements \\
40+Droit évalué & Pleine propriété grevée des trois baux en vigueur (droit du locateur) ; art.~1937 C.c.Q. \\
41+Base de valeur & Valeur marchande, définition des NPP de l'OEAQ \\
42+Date d'évaluation & 2026-09-01 ; inspection 2026-08-20 ; rapport 2026-10-31 \\
43+Méthodes & Comparaison (prix par logement ajusté, multiplicateur) ; revenu (capitalisation directe) ; coût en contrôle, non pondéré \\
44+Hypothèses extraordinaires & Aucune \\
45+Limites à l'étendue & Dossiers TAL non consultés ; âge et revenu des locataires inconnus ; titres non vérifiés ; part des loyers admise par le prêteur non vérifiée \\
46+Forme du rapport & Rapport narratif complet (NPP, règle 2.3) ; section de consultation séparée pour le financement \\
47+\bottomrule
48+\end{tabular}
49+\tabsource{\synth{dossier fictif ; structure selon \textcite{oeaqNormes}, règles 1.2 et 2.3.}}
50+\end{table}
51+
52+\section{Description du bien et de son contexte}\label{sec:46:description}
53+
54+\subsection{Localisation, terrain et bâtiment}
55+
56+L'immeuble fictif se trouve dans le quartier Limoilou, dans l'arrondissement de La Cité--Limoilou, sur une des avenues résidentielles du Vieux-Limoilou, à distance de marche de la 3\textsuperscript{e}~Avenue commerçante et des lignes d'autobus à haute fréquence qui relient le quartier au centre-ville et à la colline Parlementaire. Le tissu urbain est celui des plex de brique d'entre-deux-guerres et d'après-guerre, à deux ou trois étages, implantés sur des lots étroits et profonds, avec escaliers extérieurs, balcons et ruelles arrière ; c'est le marché de référence du dossier, et le secteur statistique que l'APCIQ nomme « La Cité--Basse-Ville et Limoilou » dans ses baromètres \parencite{apciqbaroquebec2026}. Les travaux de \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} et de \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} sur le marché de Québec ont montré que les effets d'accessibilité et de voisinage y sont bien identifiés et que la prime de localisation des quartiers centraux a cru au fil des années 1990 et 2000 ; \textcite{kestensTheriaultDesrosiers2006} ont montré que les profils d'acheteurs y diffèrent par quartier, ce qui, pour un segment dominé par les occupants, invite à ne comparer que des ventes du même quartier.
57+
58+Le terrain mesure \msq{310}, soit une façade d'environ 9~mètres sur une profondeur d'environ 34~mètres, et il est raccordé à l'aqueduc et à l'égout. Le bâtiment, construit en 1948, compte trois étages hors sol sur un sous-sol non aménagé à plafond bas qui abrite les compteurs, les chauffe-eau et les rangements. La structure est de type ossature de bois sur fondations de béton, avec parement de brique en façade et revêtement de fibrociment sur les faces latérales et arrière ; le toit est plat, à membrane élastomère posée en 2015 ; les fenêtres ont été remplacées par du PVC en 2008 ; l'escalier extérieur et les balcons sont en acier peint. Les trois logements se répartissent en deux 5½ de deux chambres de \msq{92} chacun, au rez-de-chaussée et au deuxième étage, et un 4½ d'une chambre de \msq{78} au troisième, pour une superficie habitable totale de \msq{262} ; le chauffage est électrique, par plinthes, à la charge de chaque locataire, et l'électricité des aires communes est au compte du propriétaire. Une case de stationnement en cour arrière, accessible par la ruelle, est attribuée au logement du rez-de-chaussée. L'état général est coté 3 sur 5 : un immeuble entretenu normalement pour son âge, dont les composantes majeures ont été renouvelées dans les quinze dernières années mais dont les cuisines et les salles de bain du rez-de-chaussée et du deuxième sont d'origine ou datent des années 1980.
59+
60+\subsection{Zonage}
61+
62+L'usage résidentiel de trois logements est autorisé dans la zone où se trouve l'immeuble ; le gabarit et l'implantation sont conformes au Règlement d'urbanisme de l'arrondissement de La Cité--Limoilou en vigueur à la date d'évaluation, les données ouvertes de zonage de la Ville de Québec permettant de le vérifier sans visite \parencite{vqzonage}. Le stationnement en cour arrière et la marge latérale, inférieurs aux exigences d'une construction neuve, sont protégés par droits acquis, dont le \cref{ch:08} a exposé le régime ; aucune dérogation apparente n'a été relevée. L'usage actuel est l'usage le meilleur et le plus profitable : la densification du lot, que la réglementation ne permettrait qu'au prix d'une démolition, n'est pas rentable au regard des prix que les plex existants atteignent, et la conversion en copropriété divise, qui exige l'autorisation du Tribunal administratif du logement et ouvre un droit de préemption aux locataires \parencite[art.~51 à 54.13]{loiTAL}, n'est pas envisagée par un acheteur qui veut y habiter.
63+
64+\subsection{Rôle d'évaluation 2025-2027, taxes et droits de mutation}
65+
66+Le rôle triennal 2025-2026-2027 de la Ville de Québec, déposé en septembre 2024 et en vigueur depuis le 1\textsuperscript{er} janvier 2025, reflète les conditions du marché au 1\textsuperscript{er} juillet 2023, conformément à la règle du deuxième exercice précédent \parencite[art.~46]{lfm}, \parencite{quebecrole2025}. La variation moyenne des valeurs inscrites a été de \pct{23.5} pour l'ensemble du rôle, selon la presse qui a relayé le dépôt ; la variation propre aux plex n'a pas été publiée \parencite{vqrole2025}. La valeur inscrite pour le sujet fictif est de \dollars{495000}, dont le rôle ne répartit pas ici la part du terrain et celle du bâtiment ; cette valeur exprime la valeur réelle à une date antérieure de trente-huit mois à la date d'évaluation, pour un immeuble réputé détenu avec tous les droits du locataire \parencite[art.~43 et 45.1]{lfm}, et elle n'est ni une indication ni un plafond, ce que la \cref{sec:46:reconciliation} vérifie. Le facteur comparatif de la Ville de Québec pour 2026 est de 1,08 selon la page municipale des droits de mutation, chiffre que le dossier tient pour partiellement vérifié \parencite{villeQuebecMutations}.
67+
68+Les taxes de 2026 sont connues avec précision. La taxe foncière générale de la Ville de Québec est de \qty{0.7464}{\dollar} par \dollars{100} d'évaluation pour les immeubles résidentiels de un à cinq logements, contre \qty{0.7697}{\dollar} pour six logements et plus, et s'y ajoutent des tarifs de \dollars{386} par logement pour l'aqueduc et l'égout et de \dollars{195} par logement pour les matières résiduelles \parencite{vqtaux2026} ; la taxe scolaire 2026-2027 est de \qty{0.07899}{\dollar} par \dollars{100} de l'évaluation uniformisée ajustée, les premiers \dollars{25000} étant exemptés \parencite{taxescolaire2026}. La \cref{sec:46:rne} recalcule les taxes du sujet sur ces bases et les compare au compte déclaré par le vendeur. Enfin, l'acheteur paiera les droits sur les mutations immobilières selon le barème de 2026 : \pct{0.5} sur la première tranche de \dollars{62900}, \pct{1} jusqu'à \dollars{315000}, \pct{1.5} jusqu'à \dollars{500000}, puis les taux que la Ville de Québec a fixés en vertu de la faculté que la loi laisse aux municipalités au-delà de \dollars{500000} : \pct{2.5} jusqu'à \dollars{750000} et \pct{3} au-delà \parencite[art.~2 et 2.1]{ldmi}, \parencite{quebecMutations,villeQuebecMutations} ; la base d'imposition est le plus élevé du prix payé, de la contrepartie stipulée et de la valeur au rôle multipliée par le facteur comparatif \parencite[art.~1.1 et 2]{ldmi}. Ces droits n'entrent pas dans la valeur ; ils entrent dans les liquidités que l'acheteur doit réunir, calculées à la \cref{sec:46:financement}.
69+
70+\subsection{Inspection : état général et travaux prévisibles}
71+
72+L'inspection fictive du 20~août 2026 a porté sur les trois logements, les aires communes, le sous-sol, la toiture vue depuis le troisième étage et l'enveloppe. Le \cref{tab:46:inspection} en résume les constats, composante par composante, avec l'année de remplacement connue ou estimée et l'appréciation que l'évaluateur en tire pour la réserve de remplacement et pour l'âge effectif du bâtiment, dont la \cref{sec:46:cout} se sert. La structure et les fondations ne présentent aucun désordre actif ; une fissure de retrait au mur de fondation arrière est sèche et ancienne. La membrane de 2015 est en bon état. Les escaliers et balcons d'acier montrent une corrosion de surface aux ancrages et devront être grattés et repeints à court terme, dépense d'entretien courant. L'entrée électrique a été portée à 200~ampères avec trois panneaux distincts en 1998 ; la plomberie d'alimentation est en cuivre, avec des sections de galvanisé résiduel au sous-sol. Les cuisines et salles de bain des deux 5½ sont fonctionnelles mais désuètes ; celles du 4½ ont été refaites en 2025 au moment de la relocation. La règle 2.4 des Normes impose l'inspection de l'immeuble évalué ; les trois logements ont été visités avec le consentement des locataires, ce qui est fréquent pour un plex et plus rare pour un immeuble de douze logements \parencite{oeaqNormes}.
73+
74+\begin{table}[htbp]\centering
75+\caption{Composantes du bâtiment, état observé et conséquences retenues (dossier synthétique).}\label{tab:46:inspection}
76+\small\begin{tabular}{@{}L{3.6cm}L{1.6cm}L{4.6cm}L{2.8cm}@{}}
77+\toprule
78+Composante & Année & État observé & Conséquence \\
79+\midrule
80+Structure et fondations & 1948 & Fissure de retrait sèche ; sous-sol sec, plafond bas & Aucune ; longue durée \\
81+Parement (brique en façade, fibrociment ailleurs) & 1948 / 1996 & Rejointoiement partiel à moyen terme ; fibrociment sain & Réserve \\
82+Membrane de toiture (élastomère) & 2015 & Bon état, drains dégagés & Aucune avant 2035 \\
83+Fenêtres (PVC) & 2008 & Bon état ; scellants à refaire & Réserve \\
84+Escalier et balcons d'acier & 1948 / 1990 & Corrosion de surface aux ancrages & Entretien courant 2027 \\
85+Électricité (200~A, trois panneaux) & 1998 & Conforme ; plinthes électriques & Aucune \\
86+Plomberie d'alimentation & 1948 (partielle 2005) & Cuivre ; galvanisé résiduel au sous-sol & Réserve ; à surveiller \\
87+Chauffe-eau (trois) & 2017--2021 & Bon état & Réserve \\
88+Cuisines et salles de bain, 5½ (RC et 2\textsuperscript{e}) & 1948 / 1985 & Désuets mais fonctionnels & Réserve ; rénovation à la relocation \\
89+Cuisine et salle de bain, 4½ (3\textsuperscript{e}) & 2025 & Neufs & Aucune \\
90+Stationnement (une case, gravier) & — & Fonctionnel & Aucune \\
91+\bottomrule
92+\end{tabular}
93+\tabsource{\synth{fiche d'inspection fictive du 20~août 2026 ; cote d'état générale 3 sur 5, conforme à \texttt{cas2\_quebec\_sujet.json}.}}
94+\end{table}
95+
96+\section{Droits évalués et analyse des baux}\label{sec:46:baux}
97+
98+\subsection{Trois baux, trois anciennetés}
99+
100+Les trois logements sont loués par des baux de douze mois courant du 1\textsuperscript{er} juillet au 30~juin, reconduits de plein droit chaque année \parencite[art.~1941]{ccq}. Le \cref{tab:46:baux} présente, pour chacun, le loyer contractuel du bail 2026-2027, le loyer de marché que l'évaluateur estime pour un logement comparable reloué à la date d'évaluation, l'écart et l'ancienneté du locataire ; la \cref{fig:46:loyers} met les deux séries en regard et relie l'écart à l'ancienneté. Le logement du rez-de-chaussée est occupé depuis le 1\textsuperscript{er} juillet 2019 au loyer de \dollars{1047}, soit \pct{26.8} sous le marché estimé de \dollars{1430} ; celui du deuxième, depuis juillet 2022, à \dollars{1188}, soit \pct{16.9} sous le même marché ; celui du troisième a été reloué le 1\textsuperscript{er} juillet 2025 à \dollars{1251}, au marché. Le revenu brut potentiel contractuel est de \dollars{41832} par année et le revenu aux loyers de marché de \dollars{49332} : l'écart de \dollars{7500}, soit \pct{15.2} du marché, se lit aussi comme un loyer relatif $\rho_s = 0{,}848$, notation du \cref{ch:32}. Le loyer de marché des deux 5½ a été estimé à partir des loyers demandés pour des logements de deux chambres de \msq{85} à \msq{95} dans Limoilou à l'été 2026 et du loyer moyen des deux-chambres de la région métropolitaine publié par la SCHL pour octobre 2025, \dollars{1277}, majoré de la croissance observée depuis et de la taille supérieure à la moyenne des logements du sujet \parencite{schlrmltables2025} ; celui du 4½ est le loyer effectivement obtenu à la relocation de 2025, que l'évaluateur a jugé encore représentatif du marché.
101+
102+\begin{table}[htbp]\centering
103+\caption{État locatif du triplex au 1\textsuperscript{er} septembre 2026 : loyer contractuel, loyer de marché estimé et écart (données synthétiques).}\label{tab:46:baux}
104+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l c S[table-format=2.0] S[table-format=4.0] S[table-format=4.0] S[table-format=3.0] S[table-format=2.1] l S[table-format=1.0] c@{}}
105+\toprule
106+Logement & Type & {m\textsuperscript{2}} & {Contrat (\$/mois)} & {Marché (\$/mois)} & {Écart (\$)} & {Écart (\%)} & Bail depuis & {Anc. (ans)} & Stat. \\
107+\midrule
108+Rez-de-chaussée & 5½ & 92 & 1047 & 1430 & 383 & 26.8 & 2019-07-01 & 7 & oui \\
109+2\textsuperscript{e} étage & 5½ & 92 & 1188 & 1430 & 242 & 16.9 & 2022-07-01 & 4 & non \\
110+3\textsuperscript{e} étage & 4½ & 78 & 1251 & 1251 & 0 & 0.0 & 2025-07-01 & 1 & non \\
111+\midrule
112+Total mensuel & & 262 & 3486 & 4111 & 625 & 15.2 & & 4 & 1 \\
113+Total annuel (RBP) & & & 41832 & 49332 & 7500 & 15.2 & & & \\
114+\bottomrule
115+\end{tabular}
116+\tabsource{\synth{\texttt{cas2\_quebec\_loyers.csv} ; échéance de tous les baux : 2027-06-30 ; chauffage non inclus ; ancienneté moyenne 4 ans ; script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonction \texttt{base\_normalisee}.}}
117+\end{table}
118+
119+\begin{figure}[htbp]\centering
120+\includegraphics[width=\linewidth]{ch46/ch46-fig-loyers.pdf}
121+\caption{À gauche, loyer contractuel et loyer de marché estimé des trois logements du triplex : l'écart, inscrit au-dessus de chaque paire, est nul pour le logement reloué en 2025 et atteint \pct{26.8} pour le rez-de-chaussée occupé depuis 2019. À droite, l'écart en fonction de l'ancienneté du bail, comparé à la décote de \pct{1.5} par année incorporée aux ventes synthétiques et à celle de \pct{2} du cas~3 : les deux baux anciens du sujet sont plus sous le marché que ces lois moyennes ne le prédisent, ce qui en fait un immeuble dont le potentiel de rattrapage est supérieur à celui de la vente médiane.}
122+\label{fig:46:loyers}
123+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch46\_figures.py}, graine 20261031.}}
124+\end{figure}
125+
126+La structure de l'écart est celle que le \cref{ch:26} a décrite pour tout immeuble locatif québécois : les loyers des baux reconduits suivent les pourcentages du Tribunal administratif du logement, non le marché, et la valeur locative de marché n'est pas un critère de fixation \parencite[art.~3]{reglCriteresFixation}, \parencite{talIndices2026}. Les deux baux anciens du sujet sont même plus sous le marché que la décote moyenne de \pct{1.5} par année d'ancienneté incorporée aux ventes synthétiques ne le prédit, parce que leur locateur, un propriétaire-occupant âgé qui a vendu après trente ans, n'a pas toujours envoyé d'avis de modification ; c'est une situation fréquente dans les petits plex, où la relation personnelle entre locateur et locataires tempère la gestion. Pour l'acheteur, cet écart est à la fois un potentiel et une contrainte : un potentiel, parce que les deux 5½ peuvent rapporter \dollars{625} de plus par mois une fois au marché ; une contrainte, parce que le droit québécois ne lui permet d'y parvenir que par la rotation des locataires, par la reprise du logement qu'il habitera ou, très lentement, par les augmentations annuelles.
127+
128+\subsection{La vente ne change rien aux baux}
129+
130+Le premier principe que le rapport doit énoncer est que l'acheteur succède au vendeur dans les baux. L'article~1937 du Code civil dispose que l'aliénation volontaire ou forcée d'un immeuble comportant un logement ne permet pas au nouveau locateur de résilier le bail ; le locataire conserve son droit au maintien dans les lieux \parencite[art.~1936 et 1937]{ccq}. Les baux se reconduisent aux mêmes conditions sauf avis de modification transmis « au moins trois mois, mais pas plus de six mois, avant l'arrivée du terme », soit entre le 1\textsuperscript{er} janvier et le 31~mars 2027 pour des baux échéant le 30~juin \parencite[art.~1942]{ccq} ; le locataire peut refuser l'augmentation dans le mois tout en demeurant dans les lieux, et le locateur doit alors saisir le Tribunal dans le mois suivant, faute de quoi le bail est reconduit aux conditions antérieures \parencite[art.~1945 et 1947]{ccq}. Depuis le 1\textsuperscript{er} janvier 2026, la fixation suit les six critères du Règlement sur les critères de fixation de loyer refondu par le décret 1455-2025, dont un pourcentage de base de \pct{3.1} pour 2026 \parencite{reglCriteresFixation,decret1455_2025,talIndices2026} ; le \cref{ch:34} en a modélisé les trajectoires. Le locateur ne peut exiger aucun dépôt de garantie \parencite[art.~1904]{ccq}, et le nouveau locataire d'un logement libéré a le droit de connaître le loyer le plus bas payé au cours des douze mois précédents et de demander la fixation \parencite[art.~1896 et 1950]{ccq}. L'ensemble de ces règles signifie que le revenu capitalisé est le revenu contractuel, et que le potentiel de rattrapage se traite par le choix du taux et du multiplicateur, non en substituant les loyers de marché aux loyers en place.
131+
132+La vente d'un immeuble résidentiel de moins de cinq logements par une personne physique passe par le contrat de courtage sur formulaire obligatoire et s'accompagne du formulaire « Déclarations du vendeur » de l'OACIQ, dont la section~D2.6 recueille les loyers, les avis d'augmentation donnés ou reçus et les dossiers pendants devant le Tribunal \parencite[art.~23]{loiCourtage}, \parencite{oaciqFormulaireDV,oaciqContexteDV}. Dans le dossier fictif, le vendeur déclare qu'aucun avis de modification n'a été transmis pour 2026-2027, qu'aucune demande n'est pendante et qu'aucun locataire ne lui a signifié son départ ; l'évaluateur a lu les trois baux et vérifié que la section~G du bail du troisième étage indique bien le loyer payé par le locataire précédent, ce qui confirme que la relocation de 2025 s'est faite au vu de cette information et sans demande de fixation. Il note aussi que le formulaire consulté mentionne encore, à la rubrique des locataires protégés, le seuil de « 70 ans et plus », alors que la loi vise les personnes de 65~ans et plus depuis le 6~juin 2024 ; l'évaluateur applique la loi, non le formulaire \parencite{oaciqFormulaireDV,loi65_2024}.
133+
134+\subsection{La reprise du rez-de-chaussée par l'acheteur}
135+
136+Le second principe est que la faculté de reprendre un logement existe, mais qu'elle est encadrée dans ses bénéficiaires, ses délais et ses limites. Le locateur qui est une personne physique peut reprendre un logement pour l'habiter lui-même ou pour y loger ses ascendants ou descendants au premier degré, un parent ou allié dont il est le principal soutien, ou un ex-conjoint dont il demeure le principal soutien \parencite[art.~1957]{ccq}. Le propriétaire d'une part indivise ne peut reprendre aucun logement, « à moins qu'il n'y ait qu'un seul autre propriétaire et que ce dernier soit son conjoint » \parencite[art.~1958]{ccq} : le couple du dossier, qui achète en indivision entre conjoints, satisfait cette condition ; deux amis, une société ou une fiducie ne la satisferaient pas, et la faculté de reprise disparaîtrait avec eux. La reprise est impossible lorsque le locataire ou son conjoint est âgé de 65~ans ou plus, occupe le logement depuis au moins dix ans et dispose d'un revenu égal ou inférieur à \pct{125} du revenu maximal d'admissibilité à un logement à loyer modique, sous réserve d'exceptions \parencite[art.~1959.1]{ccq}, \parencite{loi65_2024} ; la locataire du rez-de-chaussée est en place depuis sept ans, de sorte que cette protection ne lui est pas acquise à la date d'évaluation, mais l'évaluateur n'a pas pu vérifier son âge et son revenu et le signale.
137+
138+Les délais sont ceux de l'article~1960 du Code civil, que le Tribunal administratif du logement résume sur sa page consacrée à la reprise de logement, consultée le 31~octobre 2026 : pour un bail de plus de six mois, l'avis de reprise doit être donné au moins six mois avant la fin du bail ; pour un bail de six mois ou moins, un mois avant ; pour un bail à durée indéterminée, six mois avant la date prévue de la reprise. Le locataire dispose d'un mois à compter de la réception de l'avis pour répondre ; s'il ne répond pas, il est réputé avoir refusé de quitter le logement ; en cas de refus, le locateur doit, dans le mois qui suit, demander au Tribunal l'autorisation de reprendre le logement et démontrer qu'il entend réellement le reprendre aux fins mentionnées dans l'avis, et non comme prétexte \parencite[art.~1960 à 1963]{ccq}. Le \cref{tab:46:calendrier} traduit ces règles en calendrier pour le dossier : le bail du rez-de-chaussée échoit le 30~juin 2027, l'avis doit donc être reçu au plus tard le 31~décembre 2026, la réponse de la locataire est due dans le mois, et la demande au Tribunal, le cas échéant, dans le mois suivant ; si l'acheteur prend possession après le 31~décembre 2026, la reprise est reportée au 30~juin 2028. Le locateur qui reprend de mauvaise foi s'expose à des dommages-intérêts, y compris punitifs \parencite[art.~1968]{ccq}. Il faut enfin distinguer la reprise de l'\emph{éviction} pour subdivision, agrandissement ou changement d'affectation \parencite[art.~1959]{ccq} : c'est cette dernière, et non la reprise, que la Loi~65 suspend jusqu'au 6~juin 2027 \parencite[art.~1]{loi65_2024}, et c'est à elle que s'attache l'indemnité d'un mois de loyer par année d'occupation, d'au moins trois mois et d'au plus vingt-quatre mois, de l'article~1965 \parencite[art.~1965]{ccq}, \parencite{loi31_2024}. Le moratoire ne touche donc pas le projet du client ; il touche l'investisseur qui aurait voulu réunir les deux 5½ en un seul logement, ce qui est une autre raison pour laquelle l'acheteur probable du sujet est un occupant.
139+
140+\begin{table}[htbp]\centering
141+\caption{Calendrier de la reprise du logement du rez-de-chaussée par l'acheteur (bail de douze mois échéant le 30~juin 2027).}\label{tab:46:calendrier}
142+\small\begin{tabular}{@{}L{3.4cm}L{3.2cm}L{6.2cm}@{}}
143+\toprule
144+Étape & Date limite & Règle \\
145+\midrule
146+Signature de l'acte de vente & avant le 2026-12-31 & condition pratique : seul le propriétaire peut donner l'avis (art.~1957) \\
147+Avis de reprise à la locataire & au plus tard le 2026-12-31 & au moins six mois avant la fin d'un bail de plus de six mois (art.~1960) \\
148+Réponse de la locataire & un mois après réception & silence = refus réputé (art.~1962) \\
149+Demande au Tribunal (si refus) & un mois après le refus & le locateur prouve qu'il entend réellement habiter le logement (art.~1963) \\
150+Prise de possession du logement & 2027-07-01 & fin du bail ; aucune indemnité due pour une reprise de bonne foi \\
151+Si l'avis manque la date & reprise au 2028-07-01 & bail reconduit un an aux conditions du Code (art.~1941) \\
152+Protection des aînés (art.~1959.1) & à vérifier & 65~ans ou plus, dix ans d'occupation, revenu $\leq$ 125~\% du seuil HLM : reprise impossible \\
153+\bottomrule
154+\end{tabular}
155+\tabsource{Code civil du Québec, art.~1941, 1957 à 1963 et 1959.1 \parencite{ccq} ; page « Reprise de logement » du Tribunal administratif du logement, consultée le 31~octobre 2026 (inscrite au registre du chapitre) ; Loi~65 \parencite{loi65_2024}.}
156+\end{table}
157+
158+\subsection{Ce que vaut la faculté de reprise pour l'occupant}
159+
160+La faculté de reprise ne change pas la valeur marchande du droit du locateur : elle est attachée à la personne de l'acheteur et à ses intentions, et elle appartient à la prime d'occupation que le \cref{ch:32} a définie comme le résidu entre le prix payé par les occupants et la valeur d'investissement. On peut néanmoins en donner un ordre de grandeur, utile au client et à la discussion de la réconciliation. Le logement du rez-de-chaussée rapporte \dollars{383} de moins par mois que son loyer de marché, soit, net de la provision pour inoccupation et pertes de \pct{3}, un écart de première année $\Delta_1 = \dollars{4458.12}$. Si la locataire restait dix ans, le loyer contractuel suivant le pourcentage de base de \pct{3.1} et le loyer de marché croissant de \pct{3.5} par année, la valeur actuelle de l'écart, au taux de \pct{6}, serait de \dollars{39567.72}. Mais la locataire ne restera pas nécessairement : avec le taux de rotation de \pct{13.0} mesuré par la SCHL dans la région de Québec en octobre 2025 \parencite{schlrmltables2025} et la formule de l'espérance sous rotation géométrique démontrée au \cref{ch:26},
161+\begin{equation}\label{eq:46:va-ecart}
162+\E[VA] = \frac{\Delta_1}{r - g_\Delta + \rho\,(1 + g_\Delta)} = \frac{\dollars{4458.12}}{0{,}06 - 0{,}0459 + 0{,}13 \times 1{,}0459} = \dollars{29713.51},
163+\end{equation}
164+où $g_\Delta = \pct{4.59}$ est la croissance de l'écart lui-même, plus rapide que celle des loyers parce que le marché croît plus vite que le contrat. La reprise au 1\textsuperscript{er} juillet 2027 réalise l'écart avec certitude et dès la première année, au lieu de l'attendre au gré des départs ; la différence entre les deux valeurs actuelles, environ \dollars{9854}, mesure ce que vaut, à ces hypothèses, le fait de pouvoir reprendre plutôt que d'attendre. C'est peu au regard du prix de l'immeuble, de l'ordre d'un pour cent, et c'est cohérent avec la conclusion du \cref{ch:32} : le rattrapage des loyers explique une petite partie du prix des plex, la demande d'occupants explique le reste. L'intérêt principal de la reprise pour le client n'est pas financier ; il est de pouvoir habiter l'immeuble qu'il achète, ce que le \cref{sec:46:financement} traduit en coût net d'occupation. L'\cref{ex:46:2} fait varier la rotation et le taux.
165+
166+\section{Le marché à la date d'évaluation}\label{sec:46:marche}
167+
168+L'analyse de marché d'un plex porte, comme celle d'un immeuble de rapport, sur trois marchés : celui des logements, celui des immeubles et celui du crédit. Le \cref{tab:46:marche} rassemble les indicateurs retenus avec leur source et leur date ; aucune donnée de ce tableau n'est synthétique.
169+
170+\begin{table}[htbp]\centering
171+\caption{Indicateurs de marché retenus à la date d'évaluation (sources publiques, consultées le 31~octobre 2026).}\label{tab:46:marche}
172+\footnotesize\begin{tabular}{@{}L{5.4cm}L{3.0cm}L{4.3cm}@{}}
173+\toprule
174+Indicateur & Valeur & Source et période \\
175+\midrule
176+Prix médian des plex (2 à 5 log.), RMR de Québec / agglomération / secteur La Cité--Basse-Ville et Limoilou & 600~000 / 618~500 / 647~500~\$ (+\pct{17} / +\pct{12} / +\pct{13} sur un an) & \textcite{apciqt32026,apciqbaroquebec2026}, T3 2026 \\
177+Ventes résidentielles, secteur La Cité--Basse-Ville et Limoilou & 107 (−\pct{14}) & \textcite{apciqbaroquebec2026}, T3 2026 \\
178+Délai de vente médian, RMR de Québec (plex) & 30~jours & \textcite{apciqt32026}, T3 2026 \\
179+Prix médian des plex, RMR de Québec (actes publiés) & 590~000~\$ (+\pct{17}) & \textcite{jlr202608}, août 2026 \\
180+Taux d'inoccupation, RMR de Québec (tous logements) & \pct{2.4} (\pct{0.9} en 2024) & \textcite{schlLocatif2025}, octobre 2025 \\
181+Loyer moyen, RMR de Québec : 1~ch. / 2~ch. / 3~ch.+ / tous & 1~107 / 1~277 / 1~475 / 1~227~\$ & \textcite{schlrmltables2025}, octobre 2025 \\
182+Variation des loyers, même échantillon, RMR de Québec (2~ch.) & +\pct{6.1} & \textcite{schlLocatif2025}, 2024--2025 \\
183+Zone SCHL Basse-Ville : loyer moyen / inoccupation & 1~139~\$ (+\pct{5.3}) / \pct{2.7} & page de la Ville de Québec reprenant la SCHL, octobre 2025 (source secondaire) \\
184+Taux de rotation des locataires, RMR de Québec & \pct{13.0} & \textcite{schlrmltables2025}, octobre 2025 \\
185+Pourcentage de base du TAL (avis à compter du 1\textsuperscript{er} janvier 2026) & \pct{3.1} & \textcite{talIndices2026} \\
186+Taux de capitalisation, Québec, multirésidentiel faible hauteur catégorie B & \pct{5.00} à \pct{6.00} (stables) & \textcite{cbrecaprates2026q3}, T3 2026 \\
187+Taux directeur de la Banque du Canada & \pct{2.25} (jusqu'au 28 oct. 2026) ; \pct{2.50} depuis & \textcite{bdc20261028,bdcvalet} \\
188+Taux hypothécaire conventionnel 5~ans affiché & \pct{6.19} & \textcite{bdcvalet}, 28 oct. 2026 \\
189+Fonds avancés, prêts assurés fixes 5~ans et plus / non assurés & \pct{4.12} / \pct{4.58} & \textcite{bdctauxhypothecaires2026}, août 2026 \\
190+Obligation du Canada 5~ans & \pct{3.58} & \textcite{bdcvalet}, 29 oct. 2026 \\
191+IPC du Québec, variation annuelle & \pct{3.1} & \textcite{statcanipc}, septembre 2026 \\
192+\bottomrule
193+\end{tabular}
194+\tabsource{compilation de l'auteur à partir des sources indiquées ; aucune donnée synthétique.}
195+\end{table}
196+
197+Sur le marché des logements, la région de Québec est l'une des plus tendues du pays : le taux d'inoccupation n'était que de \pct{0.9} en octobre 2024 et il est remonté à \pct{2.4} en octobre 2025, les loyers des deux-chambres progressant de \pct{6.1} à échantillon constant \parencite{schlLocatif2025}. Le loyer moyen des deux-chambres, \dollars{1277}, est la référence sur laquelle les loyers de marché du dossier ont été calibrés ; la zone de la Basse-Ville, dont Limoilou relève d'après la page municipale, affiche un loyer moyen tous types de \dollars{1139} et une inoccupation de \pct{2.7}, chiffres que la page de la Ville de Québec reprend de la SCHL et que le dossier tient pour partiellement vérifiés, l'appartenance exacte du quartier à la zone restant à confirmer. Le taux de rotation de \pct{13.0}, supérieur à celui de la région de Montréal, signifie qu'un logement sur huit change de locataire chaque année ; c'est le paramètre qui gouverne la résorption de l'écart contractuel et que l'\cref{eq:46:va-ecart} a utilisé. L'enquête de la SCHL ne couvre toutefois que les immeubles de trois logements et plus ; le sujet est à la limite inférieure de son univers.
198+
199+Sur le marché des immeubles, les plex de deux à cinq logements de la région de Québec se sont vendus à un prix médian de \dollars{600000} au troisième trimestre de 2026, en hausse de \pct{17} sur un an, et ceux du secteur La Cité--Basse-Ville et Limoilou à \dollars{647500}, en hausse de \pct{13}, avec un délai de vente médian de trente jours pour les plex de la région \parencite{apciqt32026,apciqbaroquebec2026} ; les actes publiés compilés par JLR donnent \dollars{590000} pour la région en août 2026, également en hausse de \pct{17} \parencite{jlr202608}. Ces médianes mêlent duplex et triplex, quartiers et états ; elles disent que le marché est vigoureux, que l'offre reste inférieure de moitié à sa moyenne historique selon l'APCIQ, et que les prix ont progressé d'environ \pct{7} à \pct{8} par année en moyenne depuis la date de référence du rôle, rythme que la \cref{sec:46:comparaison} retrouve dans les 127 ventes du dossier. Il faut rappeler que les prix fictifs du dossier, normalisés à la médiane du secteur à la date de référence du rôle puis indexés, dépassent la médiane publiée pour 2026 d'environ quinze pour cent ; les encadrés de limites du \cref{ch:32} et du présent chapitre le signalent, et aucun chiffre du dossier ne décrit le marché réel. Pour les immeubles d'appartements, CBRE situe les taux de capitalisation du multirésidentiel de faible hauteur de catégorie~B à Québec entre \pct{5.00} et \pct{6.00} \parencite{cbrecaprates2026q3} ; le \cref{ch:32} a montré que les taux extraits des ventes de plex, de l'ordre de \pct{3}, sont très inférieurs à cette fourchette parce que les acheteurs de plex ne sont pas des investisseurs purs.
200+
201+Sur le marché du crédit, le taux directeur est resté à \pct{2.25} pendant toute la période précédant la date d'évaluation, puis a été relevé à \pct{2.50} le 28~octobre 2026 \parencite{bdc20261028} ; le taux conventionnel affiché à cinq ans est de \pct{6.19}, mais les fonds effectivement avancés en août 2026 l'ont été à \pct{4.12} pour les prêts assurés à taux fixe de cinq ans et plus et à \pct{4.58} pour les prêts non assurés \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. L'acheteur-occupant d'un plex de trois logements est admissible au prêt assuré ; c'est à \pct{4.12} que la \cref{sec:46:financement} calcule son versement, et c'est l'écart entre ce taux et le taux d'un investisseur, non assuré et qualifié sur la couverture de la dette, qui fonde une bonne partie de la prime d'occupation.
202+
203+\section{Revenus, dépenses et revenu net d'exploitation}\label{sec:46:rne}
204+
205+\subsection{Du revenu brut potentiel au revenu brut effectif}
206+
207+Le revenu brut potentiel est la somme des loyers contractuels annualisés,
208+\begin{equation}\label{eq:46:rbp}
209+RBP = 12 \sum_{i=1}^{3} L_i = 12 \times \dollars{3486} = \dollars{41832},
210+\end{equation}
211+et le revenu aux loyers de marché serait de \dollars{49332}. La provision pour inoccupation et mauvaises créances est fixée à \pct{3} du revenu brut potentiel, convention du dossier que les \cref{ch:27,ch:32} ont justifiée : elle ajoute environ six dixièmes de point de mauvaises créances et de pertes à la rotation au taux d'inoccupation de \pct{2.4} de la région \parencite{schlLocatif2025}, en gardant à l'esprit que l'enquête de la SCHL ne mesure ni les pertes entre deux baux ni les créances irrécouvrables, et qu'un propriétaire-occupant qui habite l'immeuble reloue vite et perd peu. Aucun autre revenu n'est compté : la case de stationnement est incluse au bail du rez-de-chaussée et il n'y a ni buanderie payante ni rangement loué. Le revenu brut effectif est donc
212+\begin{equation}\label{eq:46:rbe}
213+RBE = RBP\,(1 - v) = \dollars{41832} \times (1 - 0{,}03) = \dollars{40577.04}.
214+\end{equation}
215+Ces deux chiffres sont ceux de la fonction \texttt{revenus} de la bibliothèque partagée, et ils coïncident avec ceux des \cref{ch:26,ch:27,ch:32}.
216+
217+\subsection{Normalisation des dépenses et recalcul des taxes}
218+
219+Le vendeur a remis les pièces justificatives de l'exercice en cours : compte de taxes municipales de \dollars{5900}, compte de taxe scolaire de \dollars{470}, police d'assurance de \dollars{3400}, factures d'électricité des aires communes totalisant \dollars{650}, contrat de déneigement et d'entretien extérieur de \dollars{1500} et dépenses d'entretien et de réparations de \dollars{3200}. Il n'a inscrit ni frais de gestion, puisqu'il gérait lui-même, ni réserve de remplacement. La normalisation transforme ces montants en dépenses prospectives de première année pour un propriétaire typique, poste par poste, selon les règles du \cref{ch:28} ; le \cref{tab:46:depenses} en présente le résultat.
220+
221+Les taxes sont le poste qui appelle le plus de soin, et le dossier illustre un cas fréquent : le compte déclaré ne se laisse pas reconstituer à partir des taux publiés. Le recalcul de la taxe municipale sur la valeur au rôle 2025-2027 et les tarifs de 2026 donne
222+\begin{equation}\label{eq:46:taxes}
223+T_{\text{mun}} = \dollars{495000} \times \frac{0{,}7464}{100} + 3 \times (\dollars{386} + \dollars{195}) = \dollars{3694.68} + \dollars{1743} = \dollars{5437.68},
224+\end{equation}
225+et celui de la taxe scolaire, sur la valeur au rôle moins l'exemption de \dollars{25000}, $(\dollars{495000} - \dollars{25000}) \times 0{,}07899/100 = \dollars{371.25}$ \parencite{vqtaux2026,taxescolaire2026}. Le compte municipal déclaré, \dollars{5900}, excède le recalcul de \dollars{462.32} ; le compte scolaire déclaré, \dollars{470}, l'excède de \dollars{98.75}. Trois explications sont possibles et le rapport doit les énoncer plutôt que de choisir en silence : le compte déclaré peut comprendre des taxes de secteur ou des tarifs particuliers que le taux général ne capte pas ; il peut porter sur un exercice antérieur ou sur une valeur au rôle différente de celle que le dossier retient ; ou il peut simplement être erroné, les documents remis par un vendeur n'étant pas vérifiés. La convention de l'ouvrage, appliquée au \cref{ch:47} comme ici, est de retenir le recalcul aux taux officiels en vigueur, parce que c'est lui que l'acheteur paiera et parce qu'il est traçable jusqu'au règlement municipal, et de signaler l'écart. Le \cref{ch:32}, qui ne normalisait pas les dépenses, avait conservé les montants déclarés ; c'est la première source de différence entre ses chiffres et ceux du présent chapitre, et elle vaut \dollars{561.07} de revenu net par année. L'\cref{ex:46:1} mesure l'effet de ce choix sur la valeur.
226+
227+Les autres postes sont conservés aux montants justifiés, parce qu'ils reposent sur une police, des contrats ou des factures de l'exercice en cours ; l'assurance de \dollars{3400} est cohérente avec la hausse des primes habitation documentée par le Bureau d'assurance du Canada \parencite{bacprimes2025} pour un immeuble de trois logements, et l'entretien de \dollars{3200}, soit \dollars{1067} par logement, est au-dessus du barème indicatif de \dollars{500} par logement que la SCHL publiait en 2015 pour les immeubles locatifs du Québec \parencite{schlfraisexploitation2015}, écart normal pour un bâtiment de 1948 et des prix de 2026. La gestion est imputée à \pct{4} du revenu brut effectif, soit \dollars{1623.08}, bien que l'acheteur gérera lui-même : la valeur marchande suppose un acheteur typique qui valorise son temps, et le taux de \pct{4} se situe entre le \pct{3} du barème de la SCHL pour les petits immeubles et le forfait de \pct{5} que le Tribunal administratif du logement admet dans ses calculs \parencite{schlfraisexploitation2015}. La réserve de remplacement est fixée à \dollars{1800}, soit \dollars{600} par logement, convention du dossier qui couvre le renouvellement courant des chauffe-eau, revêtements, appareils et scellants relevés au \cref{tab:46:inspection} ; aucune dépense en capital ponctuelle n'est identifiée à court terme, la toiture et les fenêtres étant récentes, de sorte qu'il n'y a pas ici de flux à traiter séparément comme au \cref{ch:47}.
228+
229+\begin{table}[htbp]\centering
230+\caption{Normalisation des dépenses de première année : montant déclaré, règle appliquée et montant normalisé (données synthétiques, \$ courants).}\label{tab:46:depenses}
231+\small\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{3.9cm}S[table-format=4.0]L{4.4cm}S[table-format=5.2]S[table-format=2.1]@{}}
232+\toprule
233+Poste & {Déclaré (\$)} & Règle de normalisation & {Normalisé (\$)} & {\% du RBE} \\
234+\midrule
235+Taxes municipales & 5900 & rôle 495 000 \$ $\times$ 0,7464~\$/100~\$ + 3 $\times$ (386 + 195)~\$ & 5437.68 & 13.4 \\
236+Taxe scolaire & 470 & (495 000 − 25 000)~\$ $\times$ 0,07899~\$/100~\$ & 371.25 & 0.9 \\
237+Assurances & 3400 & police en vigueur & 3400.00 & 8.4 \\
238+Électricité (aires communes) & 650 & factures de l'exercice & 650.00 & 1.6 \\
239+Déneigement et entretien extérieur & 1500 & contrat & 1500.00 & 3.7 \\
240+Entretien et réparations & 3200 & déclaré (1 067~\$ par logement) & 3200.00 & 7.9 \\
241+Gestion & 0 & imputée à 4~\% du RBE & 1623.08 & 4.0 \\
242+\emph{Dépenses hors réserve} & 15120 & & 16182.01 & 39.9 \\
243+Réserve de remplacement & 0 & 600~\$ par logement (convention) & 1800.00 & 4.4 \\
244+\midrule
245+\textbf{Dépenses totales} & 15120 & & 17982.01 & 44.3 \\
246+\bottomrule
247+\end{tabular}
248+\tabsource{\synth{\texttt{cas2\_quebec\_depenses.csv} ; taux et tarifs : \textcite{vqtaux2026,taxescolaire2026} ; script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonctions \texttt{taxes\_2026} et \texttt{depenses\_normalisees\_2026}, revenu net par \texttt{traite.cas2.rne}.}}
249+\end{table}
250+
251+\subsection{Le revenu net d'exploitation normalisé}
252+
253+Le revenu net d'exploitation de première année est
254+\begin{equation}\label{eq:46:rne}
255+\NOI_1 = RBE - DE - RR = \dollars{40577.04} - \dollars{16182.01} - \dollars{1800} = \dollars{22595.03},
256+\end{equation}
257+soit \dollars{7531.68} par logement et \parmsq{86.24} de superficie habitable, pour un ratio de dépenses de \pct{44.3} du revenu brut effectif. Aux loyers de marché, le même calcul donnerait \dollars{29579.03}. Le ratio de dépenses est nettement supérieur à la médiane de \pct{35.7} des 127 ventes du dossier, et cette différence pèsera sur la méthode du revenu : elle tient aux coûts fixes par logement d'un petit immeuble, aux taxes et tarifs unitaires, à l'assurance d'un bâtiment ancien, et à l'imputation d'une gestion et d'une réserve que les fiches de courtage des ventes comparables ne comptent pas. Le revenu net du \cref{ch:32}, calculé sur les taxes déclarées, était de \dollars{22033.96} ; l'écart de \dollars{561.07} est entièrement attribuable au recalcul des taxes. L'un et l'autre proviennent de la même fonction \texttt{rne} de la bibliothèque partagée, appliquée à deux tableaux de dépenses, de sorte que la différence est traçable et que le lecteur peut choisir l'une ou l'autre convention en connaissance de cause.
258+
259+\section{Méthode de comparaison}\label{sec:46:comparaison}
260+
261+\subsection{Les cinq comparables}
262+
263+La méthode de comparaison est la méthode principale pour un triplex de quartier central dont l'acheteur probable est un occupant, pour les raisons que le \cref{ch:32} a développées : elle mesure directement ce que paient ces acheteurs, sans passer par un revenu qu'ils ne valorisent qu'indirectement. Parmi les 127 ventes de duplex et de triplex des quatre quartiers de la Basse-Ville survenues entre septembre 2024 et août 2026, vingt-huit sont des triplex de Limoilou ; la distance d'attributs du \cref{ch:16}, calculée par la fonction \texttt{distance\_attributs} de la bibliothèque avec les échelles et les poids déclarés au \cref{ch:32}, en retient cinq, les mêmes que le \cref{ch:32} : Q0187, Q0222, Q0243, Q0207 et Q0235. Le \cref{tab:46:comparables} les décrit. Tous sont des triplex de Limoilou vendus entre novembre 2025 et juillet 2026, de 243 à \msq{286} habitables, construits entre 1923 et 1957, avec une case de stationnement ; leurs loyers relatifs vont de 0,898 à 0,957, tous supérieurs à celui du sujet, et leurs prix de \dollars{787000} à \dollars{1023000}, soit de \dollars{262333} à \dollars{341000} par logement et de \parmsq{3210} à \parmsq{4142}. Les cinq comparables se situent dans la moitié supérieure de la distribution des triplex de Limoilou, dont la médiane est de \dollars{295000} par logement sur vingt-huit ventes ; c'est l'effet de la sélection sur la date, l'état et la superficie, et c'est aussi la raison pour laquelle il faut ajuster plutôt que de prendre une médiane.
264+
265+\begin{table}[htbp]\centering
266+\caption{Le sujet et les cinq comparables triplex de Limoilou (données synthétiques).}\label{tab:46:comparables}
267+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=3.0] S[table-format=2.1] S[table-format=4.0] c S[table-format=4.0] S[table-format=4.0] S[table-format=1.3] S[table-format=7.0] S[table-format=6.0] S[table-format=2.2] S[table-format=1.2]@{}}
268+\toprule
269+Vente & Date & {m\textsuperscript{2}} & {m\textsuperscript{2}/log.} & {Constr.} & État & {Loyer contrat (\$)} & {Loyer marché (\$)} & {$\rho$} & {Prix (\$)} & {Prix/log. (\$)} & {MRB} & {Taux (\%)} \\
270+\midrule
271+Sujet & 2026-09-01 & 262 & 87.3 & 1948 & 3 & 1162 & 1370 & 0.848 & {—} & {—} & {—} & {—} \\
272+\midrule
273+Q0187 & 2025-11-20 & 243 & 81.0 & 1950 & 3 & 1053 & 1173 & 0.898 & 787000 & 262333 & 20.75 & 2.97 \\
274+Q0222 & 2026-05-13 & 286 & 95.3 & 1934 & 4 & 1092 & 1187 & 0.920 & 918000 & 306000 & 23.35 & 2.62 \\
275+Q0243 & 2026-07-24 & 247 & 82.3 & 1930 & 3 & 1286 & 1352 & 0.951 & 1023000 & 341000 & 22.09 & 2.99 \\
276+Q0207 & 2026-03-08 & 269 & 89.7 & 1957 & 2 & 1146 & 1197 & 0.957 & 910000 & 303333 & 22.05 & 3.09 \\
277+Q0235 & 2026-06-22 & 275 & 91.7 & 1923 & 1 & 1214 & 1327 & 0.915 & 922000 & 307333 & 21.10 & 2.68 \\
278+\midrule
279+Médiane des cinq & & 269 & 89.7 & 1934 & 3 & 1146 & 1197 & 0.920 & 918000 & 306000 & 22.05 & 2.97 \\
280+\bottomrule
281+\end{tabular}
282+\tabsource{\synth{\texttt{cas2\_quebec\_ventes\_plex.csv} ; sélection par \texttt{ch32\_plex.selection\_comparables} (distance d'attributs du \cref{ch:16}) ; loyers mensuels moyens par logement ; tous les comparables ont une case de stationnement ; script \texttt{ch46\_dossier.py}.}}
283+\end{table}
284+
285+\subsection{Extraction des ajustements par régression auxiliaire}
286+
287+Faute de paires de ventes appariées en nombre suffisant dans un échantillon de 127 transactions, les ajustements sont extraits d'une régression auxiliaire, procédé que le \cref{ch:17} a présenté comme la méthode d'extraction la plus économe lorsque l'échantillon est hétérogène et que le \cref{ch:47} a appliqué à des immeubles de rapport. Le logarithme du prix par logement est régressé, sur les 127 ventes, sur l'ancienneté de la vente en mois, le logarithme de la superficie habitable par logement, l'âge, l'état, le stationnement, le logarithme du loyer de marché moyen par logement, le loyer relatif, un indicateur de triplex et trois indicateurs de quartier, Limoilou servant de référence. Le \cref{tab:46:regression} donne les coefficients. Le modèle explique \pct{72.7} de la variance avec un écart-type résiduel de \pct{9.7}, et six coefficients sont estimés avec précision : l'ancienneté de la vente, $-0{,}599$~\% par mois, soit une croissance annuelle implicite des prix de \pct{7.45}, cohérente avec le rythme du rôle et avec les hausses publiées par l'APCIQ ; la superficie par logement, avec une élasticité de \num{0.644}, ce qui signifie qu'un logement \pct{10} plus grand se vend environ \pct{6.3} plus cher ; l'âge, $-0{,}40$~\% par année ; l'état, \pct{4.9} par échelon ; le stationnement, \pct{5.1} ; et le niveau du loyer de marché, avec une élasticité de \num{0.262}. Le coefficient du loyer relatif est positif mais imprécis ($t = 1{,}18$) ; celui de l'indicateur de triplex est négatif et à la limite de la significativité ; Maizerets se vend \pct{8.7} moins cher que Limoilou, Saint-Sauveur et Saint-Roch n'en sont pas distinguables. La règle appliquée dans la grille est celle du \cref{ch:17} : seuls les coefficients dont la statistique $t$ dépasse 2 en valeur absolue servent à ajuster ; le loyer relatif n'est donc pas ajusté dans la comparaison, et son effet, qui porte sur le rendement plutôt que sur le prix, est traité par le multiplicateur et par le taux à la \cref{sec:46:revenu}.
288+
289+\begin{table}[htbp]\centering
290+\caption{Régression auxiliaire du logarithme du prix par logement sur 127 ventes de duplex et de triplex (données synthétiques).}\label{tab:46:regression}
291+\small\begin{tabular}{@{}L{5.2cm}S[table-format=-1.5]S[table-format=1.5]S[table-format=-2.2]L{3.2cm}@{}}
292+\toprule
293+Variable & {Coefficient} & {Erreur-type} & {$t$} & Lecture \\
294+\midrule
295+Constante & 7.90127 & 0.57461 & 13.75 & \\
296+Ancienneté de la vente (mois) & -0.00599 & 0.00127 & -4.71 & +7,45~\%/an implicite \\
297+ln(m\textsuperscript{2} par logement) & 0.64439 & 0.06032 & 10.68 & élasticité 0,64 \\
298+Âge (années) & -0.00401 & 0.00053 & -7.51 & −0,40~\% par année \\
299+État (1 à 5) & 0.04891 & 0.01101 & 4.44 & +5,0~\% par échelon \\
300+Stationnement (0/1) & 0.05111 & 0.01741 & 2.94 & +5,2~\% \\
301+ln(loyer de marché moyen) & 0.26247 & 0.07367 & 3.56 & élasticité 0,26 \\
302+Loyer relatif $\rho$ & 0.16033 & 0.13610 & 1.18 & non significatif ; non appliqué \\
303+Triplex (vs duplex) & -0.03311 & 0.01840 & -1.80 & sans objet (sujet et comparables triplex) \\
304+Saint-Sauveur (vs Limoilou) & -0.02234 & 0.02556 & -0.87 & sans objet \\
305+Saint-Roch (vs Limoilou) & 0.01162 & 0.02553 & 0.46 & sans objet \\
306+Maizerets (vs Limoilou) & -0.08715 & 0.02250 & -3.87 & sans objet \\
307+\midrule
308+\multicolumn{5}{@{}l}{$n = 127$ ; $R^2 = 0{,}727$ ; écart-type résiduel 0,097 ; erreurs-types classiques.} \\
309+\bottomrule
310+\end{tabular}
311+\tabsource{\synth{script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonction \texttt{regression\_auxiliaire} (moindres carrés ordinaires, \texttt{numpy}).}}
312+\end{table}
313+
314+\subsection{La grille d'ajustements en dollars par logement}
315+
316+La grille suit l'ordre conventionnel de l'ouvrage, exposé au \cref{ch:17} : d'abord l'ajustement de conditions du marché, en proportion du prix, qui ramène chaque vente à la date d'évaluation au taux annuel de \pct{7.45} extrait de la régression, par la fonction \texttt{ajustement\_temps\_taux} ; puis les ajustements d'attributs, additifs, exprimés en dollars par logement sur la base ajustée du temps, chacun étant la différence entre le prix prédit pour la caractéristique du sujet et celui prédit pour la caractéristique du comparable :
317+\begin{equation}\label{eq:46:ajuste}
318+P^{\text{aj}}_j = P_j\left[(1 + g)^{m_j/12}\right] + \sum_{k} A_{jk}, \qquad A_{jk} = P^{t}_j\left[e^{\hat\beta_k (x_{sk} - x_{jk})} - 1\right],
319+\end{equation}
320+où $P_j$ est le prix par logement, $m_j$ l'ancienneté de la vente en mois, $P^{t}_j$ le prix ajusté du temps et $x_{sk}$, $x_{jk}$ les caractéristiques du sujet et du comparable (logarithme de la superficie par logement, âge, état, stationnement, logarithme du loyer de marché). Le signe est celui du point de vue du sujet : positif lorsque le sujet est supérieur au comparable. Le \cref{tab:46:grille} présente la grille ; la \cref{fig:46:cascade} illustre la cascade pour Q0243, le comparable le plus récent et le plus proche.
321+
322+\begin{table}[htbp]\centering
323+\caption{Grille d'ajustements des prix par logement des cinq comparables (données synthétiques, \$ par logement).}\label{tab:46:grille}
324+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=-5.0] S[table-format=-5.0] S[table-format=-5.0] S[table-format=5.0] c S[table-format=6.0] S[table-format=2.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=1.3]@{}}
325+\toprule
326+Vente & {Prix/log.} & {Temps} & {Superf.} & {Âge} & {État} & {Loyer marché} & $\rho$ & {Prix aj.} & {Brut (\%)} & {Net (\%)} & {Poids} \\
327+\midrule
328+Q0187 & 262333 & 15134 & 13792 & -2215 & 0 & 11558 & 0 & 300603 & 16.3 & 14.6 & 0.220 \\
329+Q0222 & 306000 & 6758 & -17175 & 18046 & -14930 & 12015 & 0 & 310715 & 22.5 & 1.5 & 0.159 \\
330+Q0243 & 341000 & 2627 & 13306 & 25699 & 0 & 1217 & 0 & 383849 & 12.6 & 12.6 & 0.285 \\
331+Q0207 & 303333 & 10752 & -5291 & -11125 & 15744 & 11349 & 0 & 324762 & 17.9 & 7.1 & 0.200 \\
332+Q0235 & 307333 & 4324 & -9575 & 32836 & 32029 & 2640 & 0 & 369586 & 26.5 & 20.3 & 0.135 \\
333+\midrule
334+\multicolumn{8}{@{}l}{Prix par logement pondéré (poids $\propto 1/$brut) ; valeur $= 3 \times$ prix pondéré} & 340122 & & & 1.000 \\
335+\multicolumn{8}{@{}l}{Moyenne simple 337~903 ; médiane 324~762 ; min. 300~603 ; max. 383~849 ; écart-type pondéré 34~516} & & & & \\
336+\bottomrule
337+\end{tabular}
338+\tabsource{\synth{\texttt{traite.comparables} (\texttt{ajustement\_temps\_taux}, \texttt{ComparableAjuste}, \texttt{poids\_inverse\_brut}, \texttt{reconciliation}) ; stationnement : ajustement nul (tous ont une case) ; $\rho$ : non appliqué ; script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonction \texttt{grille\_ajustements}.}}
339+\end{table}
340+
341+\begin{figure}[htbp]\centering
342+\includegraphics[width=\linewidth]{ch46/ch46-fig-cascade.pdf}
343+\caption{Cascade des ajustements du comparable Q0243, du prix par logement payé le 24~juillet 2026 au prix ajusté : les conditions du marché ajoutent \pct{0.8} pour cinq semaines, la superficie par logement et l'âge, plus favorables au sujet, ajoutent respectivement \dollars{13306} et \dollars{25699}, l'état et le stationnement sont identiques, le niveau de loyer de marché ajoute \dollars{1217} et le loyer relatif n'est pas ajusté ; l'ajustement brut est de \pct{12.6}, le plus faible des cinq, ce qui vaut à ce comparable le poids le plus élevé.}
344+\label{fig:46:cascade}
345+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch46\_figures.py}, graine 20261031.}}
346+\end{figure}
347+
348+La lecture de la grille est instructive à plusieurs titres. Les ajustements de temps vont de \dollars{2627} pour Q0243, vendu cinq semaines avant la date d'évaluation, à \dollars{15134} pour Q0187, vendu neuf mois plus tôt : dans un marché qui progresse de sept pour cent par année, la date de la vente est le premier ajustement à faire, et le \cref{ch:32}, qui n'indexait pas ses médianes, le signalait déjà. Les ajustements d'âge sont les plus importants en valeur absolue : le sujet, de 1948, est plus jeune que Q0222, Q0243 et Q0235, de 1934, 1930 et 1923, d'où des ajustements positifs de \dollars{18046}, \dollars{25699} et \dollars{32836} par logement, et plus vieux que Q0207, de 1957, d'où un ajustement négatif. Les ajustements d'état corrigent Q0222, en meilleur état que le sujet, et Q0207 et Q0235, en moins bon état, le dernier de deux échelons. Le niveau de loyer de marché, qui capte la qualité et la taille des logements au-delà de la superficie, ajoute de \dollars{1217} à \dollars{12015} selon le comparable, parce que les 5½ du sujet ont un loyer de marché supérieur à la moyenne des logements des comparables. Les ajustements nets sont tous positifs : le sujet est, toutes caractéristiques confondues, légèrement supérieur à chacun de ses comparables, ce qui est le signe d'un échantillon qui ne l'encadre pas parfaitement et que le \cref{ch:17} invite à signaler ; l'ajustement brut reste toutefois inférieur au seuil d'usage de \pct{25} pour quatre des cinq comparables, et Q0235 ne le dépasse que de peu.
349+
350+La pondération inversement proportionnelle à l'ajustement brut, règle de l'\cref{eq:17:poids} rappelée au \cref{ch:20}, donne un prix par logement de \dollars{340122}, l'écart-type pondéré étant de \dollars{34516} par logement, soit \pct{10.1}. L'indication de la méthode est
351+\begin{equation}\label{eq:46:vcomp}
352+\hat V_{\text{comp}} = 3 \times \dollars{340122} = \dollars{1020367},
353+\end{equation}
354+avec une moyenne simple de \dollars{1013709}, une médiane de \dollars{974287} et une étendue de \dollars{901809} à \dollars{1151547}, soit \pct{24.5} de la valeur pondérée. L'erreur-type de la moyenne pondérée des prix ajustés, $\sigma_w \sqrt{\sum_j w_j^2} = \dollars{47848}$ pour l'immeuble entier, servira à construire la fourchette de la \cref{sec:46:reconciliation}. Cette indication excède de \pct{11.2} celle que le \cref{ch:32} tirait de la médiane des mêmes cinq ventes, \dollars{918000} : la différence vient, pour l'essentiel, de l'indexation à la date d'évaluation, que la médiane n'incorporait pas, et des ajustements d'âge, le sujet étant plus récent que trois comparables sur cinq. Elle est la mesure de ce que vaut une grille explicite par rapport à une médiane de ventes proches : non pas une autre méthode, mais la même méthode poussée jusqu'au bout.
355+
356+\section{Méthode du revenu}\label{sec:46:revenu}
357+
358+\subsection{Le multiplicateur du revenu brut}
359+
360+Le multiplicateur du revenu brut (MRB), rapport du prix au revenu brut potentiel contractuel, est l'indicateur que les courtiers et les acheteurs de plex utilisent le plus ; le \cref{ch:29} a montré qu'il est lié au taux global par l'identité $R = (1 - v)(1 - d)/\mathit{MRB}$, où $d$ est le ratio de dépenses, et le \cref{ch:32} qu'il croît lorsque le loyer relatif baisse, parce que le marché paie le potentiel de rattrapage. Les cinq comparables se sont vendus entre 20,75 et 23,35 fois leur revenu brut, médiane \num{22.05}, contre une médiane de \num{19.82} pour les soixante-sept triplex de l'échantillon et de \num{20.1} pour les vingt-huit triplex de Limoilou ; la \cref{fig:46:mrb} situe ces valeurs. Appliquée au revenu contractuel du sujet, la médiane des comparables donne
361+\begin{equation}\label{eq:46:vmrb}
362+\hat V_{\text{MRB}} = \num{22.05} \times \dollars{41832} = \dollars{922396},
363+\end{equation}
364+indication identique à celle du \cref{ch:32}, puisque ni les comparables ni le revenu brut n'ont changé. Elle n'est pas ajustée pour le loyer relatif, et c'est un choix prudent : les cinq comparables ont des loyers relatifs de 0,898 à 0,957, plus proches du marché que le sujet (0,848), et la régression du logarithme du multiplicateur sur le loyer relatif estimée au \cref{ch:32} sur les 127 ventes, de pente $-0{,}956$, voudrait que le sujet se vende à un multiplicateur plus élevé que ses comparables ; la médiane des multiplicateurs ainsi ajustés serait de \num{24.38} et l'indication de \dollars{1019940}, presque identique à celle de la grille. L'évaluateur retient la médiane non ajustée, parce que la relation entre multiplicateur et loyer relatif est estimée avec un $R^2$ de 0,11 et qu'un ajustement de dix pour cent fondé sur une pente aussi imprécise ajouterait plus de variance qu'il n'en retirerait ; il rapporte toutefois l'indication ajustée comme borne haute de vraisemblance.
365+
366+\begin{figure}[htbp]\centering
367+\includegraphics[width=\linewidth]{ch46/ch46-fig-mrb.pdf}
368+\caption{À gauche, distribution du multiplicateur du revenu brut des soixante-sept triplex de l'échantillon et des vingt-huit triplex de Limoilou, avec les cinq comparables (traits pleins), la médiane de l'échantillon (pointillé) et le multiplicateur implicite de la valeur conclue (tireté) : les comparables retenus se vendent à des multiplicateurs supérieurs à la médiane parce qu'ils sont récents, en bon état et sous-loués. À droite, le multiplicateur des triplex en fonction du loyer relatif, avec la droite estimée au \cref{ch:32} et le loyer relatif du sujet : plus les loyers sont sous le marché, plus le multiplicateur est élevé, mais la relation est lâche.}
369+\label{fig:46:mrb}
370+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch46\_figures.py}, graine 20261031.}}
371+\end{figure}
372+
373+\subsection{La capitalisation directe et le choix du taux}
374+
375+La capitalisation directe applique au revenu net normalisé un taux global extrait de ventes dont le revenu net est défini de la même manière, convention de l'annexe des conventions de calcul que le \cref{ch:29} a érigée en règle. Le \cref{tab:46:taux} présente les taux candidats et les indications correspondantes. Le taux médian des 127 ventes est de \pct{3.17}, avec des quartiles de \pct{2.76} et \pct{3.615} ; le taux médian des cinq comparables est de \pct{2.97} ; et le taux ajusté au loyer relatif du sujet par la régression du \cref{ch:32}, $R = \pct{3.451} + 0{,}0284\,(\rho_s - 1)$, est de \pct{3.02}. Le dossier retient ce dernier, pour les raisons que le \cref{ch:32} a données : une médiane de cinq taux est instable, et la régression utilise toute l'information des 127 ventes sur la relation entre taux et loyers. L'indication est
376+\begin{equation}\label{eq:46:vcap}
377+\hat V_{\text{cap}} = \frac{\NOI_1}{R_s} = \frac{\dollars{22595.03}}{0{,}0302} = \dollars{748126},
378+\end{equation}
379+contre \dollars{729549} au \cref{ch:32} : la différence de \dollars{18577} est l'effet du recalcul des taxes, \dollars{561.07} de revenu net capitalisés à \pct{3.02}, et rien d'autre.
380+
381+\begin{table}[htbp]\centering
382+\caption{Taux globaux candidats et indications par capitalisation directe du revenu net normalisé de \dollars{22595.03} (données synthétiques).}\label{tab:46:taux}
383+\small\begin{tabular}{@{}L{6.6cm}S[table-format=1.3]S[table-format=6.0]S[table-format=-2.1]@{}}
384+\toprule
385+Taux & {Taux (\%)} & {Indication (\$)} & {Écart au retenu (\%)} \\
386+\midrule
387+Premier quartile des 127 ventes & 2.760 & 818660 & 9.4 \\
388+Médiane des cinq comparables & 2.970 & 760775 & 1.7 \\
389+\textbf{Ajusté au loyer relatif du sujet (retenu)} & 3.020 & 748126 & 0.0 \\
390+Médiane des 127 ventes & 3.170 & 712777 & -4.7 \\
391+Troisième quartile des 127 ventes & 3.615 & 625035 & -16.5 \\
392+\midrule
393+Pour mémoire : taux ajusté sur le revenu net aux taxes déclarées (ch.~32) & 3.020 & 729549 & -2.5 \\
394+Taux implicite de l'indication par comparaison (\ref{eq:46:vcomp}) & 2.214 & 1020367 & 36.4 \\
395+\bottomrule
396+\end{tabular}
397+\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas2.indicateurs\_marche} ; \texttt{ch32\_plex.regression\_taux\_loyer\_relatif} ; \texttt{traite.finance.capitalisation\_directe} ; script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonction \texttt{indications\_revenu}.}}
398+\end{table}
399+
400+\subsection{Pourquoi le taux est bas et ce que dit le taux implicite}
401+
402+Un taux global de trois pour cent surprend le lecteur habitué aux immeubles de rapport, dont les taux se situent entre \pct{5} et \pct{6} à Québec selon CBRE \parencite{cbrecaprates2026q3}. Le \cref{ch:32} en a donné la décomposition : le taux aux loyers en place est le taux d'un investisseur, diminué d'une prime d'occupation et d'un écart pour loyers sous le marché, $R_c = R^{*} - (R^{*} - R_m) - (R_m - R_c)$. Dans le dossier, aux loyers de marché, le revenu net serait de \dollars{29579.03} ; rapporté à l'indication par comparaison, il donne un taux « au marché » $R_m$ de \pct{2.90}, et aux loyers en place un taux de \pct{2.21}. Si l'on emprunte, comme au \cref{ch:32}, un taux d'investisseur de \pct{5.00} à la borne basse de la fourchette de CBRE, la prime d'occupation représenterait \pct{36} de l'indication par comparaison ; avec \pct{4.50}, \pct{29}. Cette lecture dépend entièrement d'un taux que le marché des plex ne révèle pas ; elle sert à comprendre, non à évaluer.
403+
404+La lecture inverse, celle du \emph{taux implicite}, est plus utile à la réconciliation. Le taux implicite d'un prix est le revenu net du sujet divisé par ce prix ; pour l'indication par comparaison, il est de \pct{2.21}, soit 81~points de base sous le taux ajusté de \pct{3.02} que la régression attribue au sujet. L'écart a deux causes que l'on peut séparer. La première est la structure de dépenses : le taux de \pct{3.02} a été extrait de ventes dont le ratio de dépenses médian est de \pct{35.7}, alors que celui du sujet, normalisé avec gestion et réserve, est de \pct{44.3} ; si l'on recalculait le revenu net du sujet au ratio médian des ventes, il serait de \dollars{26091} et le taux implicite de la comparaison de \pct{2.56}, ce qui ramène l'écart à 46~points de base. La seconde est la sélection : les cinq comparables sont plus récents, mieux situés dans la distribution et plus proches de la date d'évaluation que les 127 ventes sur lesquelles le taux a été estimé, et leur propre taux médian, \pct{2.97}, est déjà inférieur au taux ajusté. L'indication par capitalisation n'est donc pas une erreur ; elle dit ce que vaudrait le sujet pour un acheteur qui raisonnerait sur son revenu net normalisé au taux moyen d'un marché d'occupants. L'acheteur probable ne raisonne pas ainsi, et c'est pourquoi le poids de cette indication sera limité ; mais elle rappelle que le prix de comparaison suppose une structure de dépenses plus légère que celle du sujet, et elle borne la valeur par le bas.
405+
406+\section{Méthode du coût : un contrôle, non une indication}\label{sec:46:cout}
407+
408+La méthode du coût n'est pas pondérée dans ce dossier, et la règle 2.3 des Normes exige que l'évaluateur motive l'écart d'une méthode traditionnelle \parencite{oeaqNormes}. La motivation est double : pour un bâtiment de 1948, la dépréciation accumulée représente les deux tiers du coût neuf et ne peut être mesurée qu'à dix points près ; et la valeur du terrain d'un lot de \msq{310} dans un quartier où il ne se vend pas de terrains vacants ne peut être qu'une hypothèse. Le calcul est néanmoins conduit, parce qu'il est un contrôle de cohérence et parce qu'il enseigne quelque chose sur la composition du prix. Le coût neuf par mètre carré est emprunté au devis du cas~1 établi au \cref{ch:21}, \parmsq{2409} de superficie habitable au troisième trimestre de 2026 pour une maison de \msq{165}, transposé à la superficie du sujet par l'élasticité de taille de $-0{,}10$ de l'\cref{eq:21:elasticite}, soit \parmsq{2300}, puis corrigé du rapport des indices des prix de la construction de bâtiments de Montréal pour les appartements de moins de cinq étages et pour les maisons individuelles au troisième trimestre de 2026, 118,5 contre 116,5 \parencite{statcanIPCB}, soit \parmsq{2340} et un coût neuf de
409+\begin{equation}\label{eq:46:cout-neuf}
410+C_N = \parmsq{2339.63} \times \msq{262} = \dollars{612983}.
411+\end{equation}
412+L'âge effectif suit la convention des \cref{ch:11,ch:24} : avec un âge chronologique de 78~ans, une note d'état de 3 à laquelle correspond une fraction de vie consommée de 0,5 et une vie économique totale de 90~ans, hypothèse du dossier pour un plex de brique entretenu, $a_{\text{eff}} = 0{,}5 \times 78 + 0{,}5 \times 0{,}5 \times 90 = 61{,}5$~ans, et la dépréciation âge-vie est de $61{,}5/90 = \pct{68.3}$ du coût neuf, soit \dollars{418872}. La contribution du bâtiment est donc de \dollars{194111}. Le terrain est posé à \dollars{900} le mètre carré, soit \dollars{279000}, hypothèse déclarée et non vérifiée du dossier ; l'indication par le coût est de
413+\begin{equation}\label{eq:46:vcout}
414+\hat V_{\text{coût}} = V_L + C_N - D = \dollars{279000} + \dollars{612983} - \dollars{418872} = \dollars{473111},
415+\end{equation}
416+soit à peine plus de la moitié des indications par comparaison. Le \cref{tab:46:cout} fait varier le terrain de \dollars{700} à \dollars{1100} le mètre carré et la vie économique de 80 à 100~ans : l'indication reste comprise entre \dollars{378000} et \dollars{581000}, toujours très inférieure au marché.
417+
418+\begin{table}[htbp]\centering
419+\caption{Indication par le coût selon la valeur unitaire du terrain, la vie économique et la fraction de vie consommée (données synthétiques, hypothèses déclarées).}\label{tab:46:cout}
420+\small\begin{tabular}{@{}S[table-format=4.0]S[table-format=3.0]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=2.1]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]@{}}
421+\toprule
422+{Terrain (\$/m\textsuperscript{2})} & {Vie (ans)} & {$\varphi$} & {Âge effectif} & {Dépréciation (\%)} & {Terrain (\$)} & {Indication (\$)} \\
423+\midrule
424+700 & 80 & 0.50 & 59.0 & 73.8 & 217000 & 377908 \\
425+700 & 90 & 0.50 & 61.5 & 68.3 & 217000 & 411111 \\
426+700 & 100 & 0.50 & 64.0 & 64.0 & 217000 & 437674 \\
427+900 & 80 & 0.50 & 59.0 & 73.8 & 279000 & 439908 \\
428+\textbf{900} & \textbf{90} & \textbf{0.50} & \textbf{61.5} & \textbf{68.3} & \textbf{279000} & \textbf{473111} \\
429+900 & 100 & 0.50 & 64.0 & 64.0 & 279000 & 499674 \\
430+900 & 90 & 0.35 & 54.8 & 60.8 & 279000 & 519085 \\
431+1100 & 80 & 0.50 & 59.0 & 73.8 & 341000 & 501908 \\
432+1100 & 90 & 0.50 & 61.5 & 68.3 & 341000 & 535111 \\
433+1100 & 100 & 0.50 & 64.0 & 64.0 & 341000 & 561674 \\
434+1100 & 90 & 0.35 & 54.8 & 60.8 & 341000 & 581085 \\
435+\bottomrule
436+\end{tabular}
437+\tabsource{\synth{\texttt{traite.cout} (\texttt{cout\_par\_superficie\_ajuste}, \texttt{indexer\_cout}, \texttt{depreciation\_age\_vie}, \texttt{valeur\_par\_cout}) ; coût unitaire de référence du \cref{ch:21} ; IPCB \textcite{statcanIPCB} ; script \texttt{ch46\_dossier.py}, fonction \texttt{sensibilite\_cout}.}}
438+\end{table}
439+
440+L'écart entre le coût déprécié et le marché n'est pas une anomalie du dossier ; il est la règle pour les plex anciens des quartiers centraux, et il faut le lire correctement. Si l'on retient le coût neuf et le terrain du dossier, la valeur de marché de \dollars{920000} conclue à la \cref{sec:46:reconciliation} implique une contribution du bâtiment de \dollars{641000}, supérieure au coût neuf lui-même : la dépréciation extraite du marché, au sens de l'\cref{eq:24:extraction}, serait négative, de $-\pct{4.6}$. Cela ne signifie pas qu'un bâtiment de 1948 vaut plus que neuf ; cela signifie que l'une au moins des deux hypothèses est fausse, et c'est presque certainement celle du terrain : dans un quartier central où l'on ne construit plus de plex, la valeur du droit de bâtir trois logements sur un lot de \msq{310} est bien supérieure à \dollars{900} le mètre carré, et c'est le terrain, non le bâtiment, qui porte la hausse des prix. \textcite{shillingSirmansDombrow1991} ont montré que la dépréciation mesurée sur le marché des logements locatifs dépend fortement de la façon dont on sépare terrain et bâtiment ; \textcite{hultenWykoff1981} ont rappelé que les profils de dépréciation estimés sur les transactions sont géométriques et lents pour les bâtiments bien entretenus. La méthode du coût, dans ce dossier, dit au lecteur que le prix d'un triplex de Limoilou est, pour l'essentiel, un prix de localisation et de service de logement ; elle ne peut pas le mesurer, et c'est pourquoi elle est écartée. Le \cref{ch:25} discute l'extraction de la valeur du terrain par abstraction et par allocation, qui aurait donné une hypothèse mieux fondée si des ventes de terrains ou des ratios terrain/bâtiment locaux avaient été disponibles.
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1 \chapter{Cas 4 : portefeuille multirésidentiel interrégional}\label{ch:48} 1 \chapter{Cas 4 : portefeuille multirésidentiel interrégional}\label{ch:48}
2−\stubchapter 2+
3+Les trois dossiers précédents évaluaient un immeuble à la fois. Le présent chapitre change d'échelle : le bien évalué est un portefeuille de quarante-huit immeubles locatifs, de six à soixante-douze logements chacun, répartis dans les six régions métropolitaines de recensement du Québec pour lesquelles l'ouvrage dispose d'indicateurs de marché complets. Le client fictif est un fonds de placement immobilier qui doit présenter la valeur de ses actifs à ses porteurs de parts et à ses prêteurs ; il ne demande pas quarante-huit rapports, mais une opinion cohérente sur l'ensemble, assortie d'une mesure de l'incertitude agrégée et d'une analyse des risques que ni la capitalisation directe ni le flux actualisé d'un immeuble isolé ne peuvent révéler : la concentration géographique, la corrélation des revenus et des taux entre régions, l'échéancier de la dette et l'exposition aux zones inondables. Le chapitre mobilise donc les outils des parties consacrées à l'économétrie et aux évaluations particulières, que les chapitres de méthode ont présentés séparément : la régression comme modèle d'évaluation de masse (\cref{ch:18}, \cref{ch:33}), les statistiques de ratio de l'IAAO (\cref{ch:09}), la lecture des risques géospatiaux et environnementaux (\cref{ch:38}, \cref{ch:43}), les panels de revenus (\cref{ch:36}) et la simulation de Monte-Carlo avec dépendance (\cref{ch:40}). Il montre comment ces outils s'enchaînent dans un mandat réel et, surtout, pourquoi la valeur d'un portefeuille n'est pas une simple addition : la somme des valeurs individuelles est bien la valeur marchande de l'ensemble lorsque chaque immeuble est évalué séparément, mais le risque de cette somme est inférieur à la somme des risques, et c'est cette différence qui intéresse le prêteur et l'investisseur. Toutes les données du dossier sont synthétiques ; chaque ordre de grandeur est calibré sur des publications publiques citées au fil du texte.
4+
5+\begin{objectifs}
6+À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
7+\begin{itemize}
8+\item définir le mandat d'une évaluation de portefeuille (client, usage, base de valeur, unité d'évaluation, date, hypothèses) et distinguer ce qu'une évaluation de masse peut et ne peut pas remplacer dans une évaluation individuelle ;
9+\item construire le sommaire d'un portefeuille par région : taux global pondéré, valeur par logement, ratio prêt-valeur, distribution des tailles, des âges et des états, indices de concentration ;
10+\item relier les écarts de taux entre régions aux indicateurs publics des marchés locatifs (loyers, inoccupation, démographie, projections) et expliquer pourquoi le taux pondéré d'une région n'est ni sa médiane ni sa moyenne simple ;
11+\item estimer un modèle d'évaluation de masse du taux global (état, taille, âge, risques, région), interpréter ses coefficients en points de base, prédire la valeur de chaque immeuble et contrôler la cohérence par les statistiques de ratio de l'IAAO ;
12+\item mesurer la croissance, la volatilité et la corrélation des revenus nets d'un portefeuille sur dix ans, isoler un choc commun et en tirer les paramètres d'une simulation ;
13+\item analyser la dette d'un portefeuille : service de la dette sous une hypothèse d'amortissement déclarée, ratio de couverture agrégé et individuel, échéancier, renouvellement à des taux majorés et besoin de refinancement ;
14+\item agréger l'incertitude par une simulation de Monte-Carlo à corrélation régionale (copule gaussienne, décomposition de Cholesky), démontrer la sous-additivité de la valeur à risque dans ce cadre et en déduire une fourchette pour la valeur du portefeuille ;
15+\item classer les immeubles selon le rendement courant, la croissance et le risque, tracer une frontière rendement-risque par région et motiver des recommandations de cession ou de conservation sans confondre valeur marchande et valeur d'investissement.
16+\end{itemize}
17+\end{objectifs}
18+
19+\begin{synthetique}[Données synthétiques — portefeuille fictif de 48 immeubles]
20+Le portefeuille de ce chapitre et toutes les données qui l'entourent sont \emph{synthétiques}. Le fichier \texttt{data/synthetic/cas4\_portefeuille.csv} décrit 48 immeubles fictifs (identifiants P01 à P48) répartis dans six régions métropolitaines : Montréal, Québec, Gatineau (partie québécoise de la RMR d'Ottawa-Gatineau), Sherbrooke, Trois-Rivières et Saguenay. Pour chacun, il donne la position (latitude, longitude), le nombre de logements, l'année de construction, une cote d'état de 1 à 5, le loyer mensuel moyen, le revenu brut potentiel, le taux d'inoccupation du marché régional, le ratio de dépenses, le revenu net d'exploitation normalisé de 2026, deux indicateurs de risque (zone inondable, contamination du sol), le taux global retenu dans l'évaluation individuelle la plus récente, la valeur qui en résulte, la dette hypothécaire, son taux et son année d'échéance. Le fichier \texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv} contient le revenu net trimestriel de chaque immeuble de 2016T1 à 2026T2 (42 trimestres, \num{2016} observations). Les deux fichiers ont été générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine \texttt{20261031} selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : loyers et inoccupation calibrés sur l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL d'octobre 2025 pour chaque RMR ; taux globaux régionaux calibrés sur les fourchettes publiées par CBRE pour le multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B à Montréal et à Québec au troisième trimestre de 2026, et posés par hypothèse pour les quatre autres régions, faute de publication (prime de 0 à 100 points de base sur le taux de Québec) ; effets de l'état ($-3$ \% du taux par point), de la zone inondable ($+5$ \%) et de la contamination ($+3$ \%) posés par hypothèse pédagogique ; séries de revenus construites comme une tendance régionale (de \pct{2.0} à \pct{4.0} par an) à laquelle s'ajoutent une marche aléatoire propre à chaque immeuble et un choc commun de $-3$ \% pendant la pandémie (2020T2 à 2021T2). Les effets estimés dans ce chapitre sont donc des propriétés du jeu synthétique, utiles pour apprendre la méthode, et non des mesures du marché québécois. Tous les chiffres sont recalculés par \texttt{analysis/python/cases/ch48\_portefeuille.py}, qui s'appuie sur la bibliothèque partagée \texttt{traite/cas4.py} (fonctions \texttt{sommaire}, \texttt{croissance\_rne}, \texttt{effets\_regionaux}) utilisée aussi aux \cref{ch:33}, \cref{ch:36}, \cref{ch:38}, \cref{ch:40} et \cref{ch:43}, et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch48.py}.
21+\end{synthetique}
22+
23+\section{Mandat et étendue de la mission}\label{sec:48:mandat}
24+
25+Le client fictif est un fonds de placement immobilier à capital fermé, détenu par une caisse de retraite et quelques investisseurs institutionnels, propriétaire des quarante-huit immeubles par l'intermédiaire de sociétés en commandite régionales. Il demande une opinion de la valeur marchande de chacun des immeubles et de l'ensemble à la date du 30~juin 2026, date de clôture de son exercice, à deux fins distinctes qui doivent être écrites en toutes lettres dans le mandat : le rapport financier annuel destiné aux porteurs de parts, et le renouvellement d'une facilité de crédit d'ensemble pour laquelle le prêteur exige une opinion indépendante de la valeur et une analyse de la couverture de la dette. La Norme de pratique 2 de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec exige l'identification du client, de la fin et du but du rapport, et le Code de déontologie interdit d'agir pour plus d'une partie sans divulgation écrite \parencite{oeaqNormes,deontOEAQ} ; ici, le client est le fonds, et le prêteur est un utilisateur désigné du rapport, ce qui est permis si le rapport le précise et si l'évaluateur n'a aucun intérêt dans la facilité de crédit.
26+
27+La base de valeur est la valeur marchande, telle que la définissent les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ (\cref{ch:02}, \cref{ch:47}). Deux précisions s'imposent pour un portefeuille. La première touche la relation entre valeur marchande et base de valeur comptable : le référentiel d'information financière du fonds exige la mesure de ses immeubles de placement à la juste valeur, notion définie par les normes comptables et non par les normes d'évaluation ; les Normes internationales d'évaluation distinguent explicitement la valeur marchande, base d'évaluation, des bases définies par d'autres référentiels, et demandent que la base retenue soit celle qu'exige l'usage du rapport \parencite{ivs2025}. En pratique, pour des immeubles locatifs sur un marché actif, la juste valeur et la valeur marchande coïncident dans la quasi-totalité des cas, et le rapport l'énonce comme une hypothèse de travail que les vérificateurs du fonds pourront confronter à leur propre référentiel ; l'évaluateur ne se prononce pas sur la conformité comptable, qui ne relève pas de sa compétence. La seconde précision touche l'\emph{unité d'évaluation}. La valeur marchande de l'ensemble n'est pas nécessairement la somme des valeurs individuelles : un acheteur unique d'un portefeuille de quarante-huit immeubles peut payer une prime pour l'accès immédiat à une masse critique dans six marchés, ou exiger une décote pour l'absorber ; les IVS demandent que l'unité d'évaluation, chaque actif séparément ou l'ensemble, soit convenue dans l'étendue des travaux et rappelée à la conclusion \parencite{ivs2025}. Le mandat retient l'évaluation \emph{immeuble par immeuble}, chacun étant présumé vendu séparément sur son marché local, et la valeur du portefeuille est la somme de ces valeurs ; toute prime ou décote de portefeuille est écartée parce qu'aucune preuve de marché ne permet de la mesurer au Québec en 2026, ce qui est dit à la \cref{sec:48:reconciliation}. C'est la convention qu'adoptent la plupart des fonds pour leur rapport financier et c'est celle qu'exige le prêteur, dont les sûretés portent sur chaque immeuble.
28+
29+Le droit évalué est, pour chaque immeuble, la pleine propriété grevée des baux résidentiels en vigueur, c'est-à-dire le droit du locateur, puisque l'aliénation d'un immeuble locatif ne permet pas au nouveau locateur de résilier les baux \parencite[art.~1937]{ccq} ; le \cref{ch:47} a développé les conséquences de ce droit sur le revenu de première année et sur le rattrapage des loyers, et le présent chapitre les tient pour acquises : le revenu net d'exploitation normalisé de 2026 de chaque immeuble, fourni par le dossier, est un revenu prospectif aux loyers contractuels, après dépenses normalisées et réserve de remplacement, établi selon les conventions de l'annexe des conventions de calcul et du \cref{ch:28}.
30+
31+L'étendue du travail est le point où l'évaluation de portefeuille se distingue le plus de l'évaluation individuelle, et le rapport doit la décrire sans ambiguïté. L'évaluateur n'a pas inspecté quarante-huit immeubles ni analysé quarante-huit états locatifs dans le détail du \cref{ch:47} : il a procédé par \emph{évaluation de masse} au sens du Standard on Mass Appraisal de l'IAAO, c'est-à-dire par un modèle appliqué uniformément à un ensemble de biens à partir de données standardisées, contrôlé par des statistiques de ratio \parencite{iaaomass2025,iaaoratio2013}, en s'appuyant sur les évaluations individuelles les plus récentes de chaque immeuble (réalisées dans les dix-huit mois précédents par le fonds ou ses prêteurs, dont les revenus normalisés et les taux retenus constituent le dossier), sur une inspection par échantillon de douze immeubles choisis pour couvrir chaque région et chaque classe de taille, et sur la mise à jour des indicateurs de marché à la date d'évaluation. Cette méthode est admise pour un rapport financier et pour une facilité de crédit d'ensemble, pourvu que le rapport déclare ce qui a été fait et ce qui ne l'a pas été, et que les immeubles qui s'écartent du modèle soient examinés individuellement ; elle ne remplacerait pas une évaluation individuelle pour la vente d'un immeuble donné ou pour un prêt hypothécaire de premier rang sur cet immeuble. La Norme de pratique 1 exige que l'évaluateur recueille et analyse l'information pertinente « dans la mesure nécessaire » à la crédibilité du résultat ; pour un portefeuille, cette mesure est celle qui rend l'erreur agrégée faible même si l'erreur sur un immeuble donné reste substantielle, et le rapport doit expliquer cette asymétrie au lecteur. Le \cref{tab:48:mandat} résume le mandat.
32+
33+\begin{table}[htbp]\centering
34+\caption{Fiche du mandat (dossier synthétique).}\label{tab:48:mandat}
35+\small\begin{tabular}{@{}L{4.0cm}L{8.8cm}@{}}
36+\toprule
37+Élément & Contenu \\
38+\midrule
39+Client et usage prévu & Fonds de placement immobilier (fictif) ; rapport financier annuel aux porteurs de parts ; renouvellement d'une facilité de crédit d'ensemble (prêteur : utilisateur désigné) \\
40+Bien & 48 immeubles locatifs de 6 à 72 logements (888 logements) dans 6 RMR du Québec \\
41+Unité d'évaluation & Chaque immeuble séparément, présumé vendu sur son marché local ; valeur du portefeuille = somme ; aucune prime ni décote de portefeuille \\
42+Droit évalué & Pleine propriété grevée des baux en vigueur (droit du locateur, art.~1937 C.c.Q.) \\
43+Base de valeur & Valeur marchande, définition des NPP ; présumée égale à la juste valeur du référentiel comptable (hypothèse déclarée) \\
44+Date d'évaluation & 2026-06-30 ; inspections par échantillon de 12 immeubles (mai-juin 2026) ; date du rapport 2026-10-31 \\
45+Méthode & Évaluation de masse : revenu (capitalisation directe du RNE normalisé 2026 à un taux expliqué par un modèle régional) ; contrôle par ratios IAAO ; examen individuel des écarts ; analyse de la dette ; simulation de l'incertitude agrégée \\
46+Hypothèses extraordinaires & Aucune ; hypothèse de travail : les RNE normalisés et les états locatifs fournis par le fonds sont exacts \\
47+Limites à l'étendue & 36 immeubles non inspectés ; états locatifs non vérifiés bail par bail ; taux de capitalisation non publiés pour quatre RMR ; amortissement des prêts non documenté (hypothèse de 480 mois) \\
48+Forme du rapport & Rapport narratif de portefeuille avec annexe par immeuble (NPP, règle 2.3) \\
49+\bottomrule
50+\end{tabular}
51+\tabsource{\synth{dossier fictif ; structure selon \textcite{oeaqNormes}, règles 1.2 et 2.3, et \textcite{iaaomass2025}.}}
52+\end{table}
53+
54+\section{Le portefeuille}\label{sec:48:portefeuille}
55+
56+\subsection{Sommaire par région}
57+
58+Le \cref{tab:48:rmr} et la \cref{fig:48:carte} présentent le portefeuille tel que le décrivent les évaluations individuelles du dossier. Les quarante-huit immeubles totalisent \num{888} logements, une valeur de \dollars{143363000}, un revenu net d'exploitation normalisé de \dollars{7447030} et une dette de \dollars{85766000}. Trois indicateurs agrégés en résument la structure. Le taux global pondéré du portefeuille est le rapport du revenu net agrégé à la valeur agrégée,
59+\begin{equation}\label{eq:48:taux-pondere}
60+\bar R = \frac{\sum_i \NOI_i}{\sum_i V_i} = \sum_i \frac{V_i}{\sum_j V_j}\, R_i = \frac{\dollars{7447030}}{\dollars{143363000}} = \pct{5.19},
61+\end{equation}
62+c'est-à-dire la moyenne des taux individuels $R_i = \NOI_i / V_i$ pondérée par les valeurs ; il diffère de la moyenne simple des quarante-huit taux (\pct{5.46}) et de leur médiane (\pct{5.59}) parce que les immeubles les plus chers, montréalais pour la plupart, portent les taux les plus bas. Le ratio prêt-valeur agrégé est $\sum_i M_i / \sum_i V_i = \pct{59.8}$, et la valeur par logement, $\sum_i V_i / \sum_i n_i = \dollars{161445}$. Ces trois chiffres sont ceux que le prêteur et les porteurs de parts regardent en premier ; ils cachent une hétérogénéité régionale considérable, que le \cref{ch:33} a déjà relevée en replaçant le douze logements du cas~3 dans la fourchette interrégionale du cas~4.
63+
64+\begin{table}[htbp]\centering
65+\caption{Sommaire du portefeuille par région métropolitaine (données synthétiques, valeurs au 30~juin 2026).}\label{tab:48:rmr}
66+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.0] S[table-format=9.0] S[table-format=7.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.1] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=2.1]@{}}
67+\toprule
68+RMR & {Imm.} & {Log.} & {Valeur (\$)} & {RNE (\$)} & {$\bar R$ (\%)} & {$R$ méd. (\%)} & {RPV (\%)} & {\$/log.} & {RNE/log. (\$)} & {Part (\%)} \\
69+\midrule
70+Montréal & 17 & 316 & 65171000 & 2929282 & 4.49 & 4.60 & 60.2 & 206237 & 9270 & 45.5 \\
71+Québec & 6 & 200 & 25091000 & 1447345 & 5.77 & 5.67 & 58.3 & 125455 & 7237 & 17.5 \\
72+Gatineau & 8 & 110 & 20259000 & 1101258 & 5.44 & 5.71 & 61.4 & 184173 & 10011 & 14.1 \\
73+Sherbrooke & 7 & 132 & 18132000 & 1040704 & 5.74 & 5.71 & 56.1 & 137364 & 7884 & 12.6 \\
74+Trois-Rivières & 6 & 98 & 11447000 & 719817 & 6.29 & 6.30 & 61.8 & 116806 & 7345 & 8.0 \\
75+Saguenay & 4 & 32 & 3263000 & 208624 & 6.39 & 6.46 & 67.2 & 101969 & 6520 & 2.3 \\
76+\midrule
77+Portefeuille & 48 & 888 & 143363000 & 7447030 & 5.19 & 5.59 & 59.8 & 161445 & 8386 & 100.0 \\
78+\bottomrule
79+\end{tabular}
80+\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; \texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{sommaire} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}. $\bar R$ = RNE agrégé / valeur agrégée (\cref{eq:48:taux-pondere}) ; RPV = dette / valeur ; part = part de la valeur du portefeuille. Étendue des taux : Montréal 4,00--5,48 ; Québec 5,50--6,14 ; Gatineau 5,10--6,10 ; Sherbrooke 5,34--6,01 ; Trois-Rivières 6,05--7,00 ; Saguenay 5,66--7,17 \%.}}
81+\end{table}
82+
83+\begin{figure}[htbp]\centering
84+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-carte.pdf}
85+\caption{Carte schématique des six régions métropolitaines du portefeuille : la surface des cercles est proportionnelle à la valeur agrégée des immeubles de la région, les points situent chaque immeuble (surface proportionnelle au nombre de logements), les anneaux signalent les trois immeubles en zone inondable et les deux immeubles dont le sol est contaminé. Montréal concentre \pct{45.5} de la valeur ; Saguenay, \pct{2.3}.}
86+\label{fig:48:carte}
87+\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031 ; coordonnées des centres : Base de données toponymiques du Canada (RNCan), comme à la \cref{fig:4:carte}.}}
88+\end{figure}
89+
90+Montréal, avec dix-sept immeubles et \num{316} logements, représente \pct{45.5} de la valeur mais seulement \pct{39.3} du revenu net : son taux pondéré de \pct{4.49} est le plus bas des six régions, dans la fourchette de \pct{4.25} à \pct{4.75} publiée par CBRE pour le multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B au troisième trimestre de 2026 \parencite{cbrecaprates2026q3}, et sa valeur par logement, \dollars{206237}, est la plus élevée. Québec, Gatineau et Sherbrooke forment un deuxième groupe, avec des taux pondérés de \pct{5.44} à \pct{5.77}, cohérents avec la fourchette de \pct{5.00} à \pct{6.00} que CBRE publie pour la ville de Québec ; leurs valeurs par logement diffèrent pourtant du simple au double entre Québec (\dollars{125455}) et Gatineau (\dollars{184173}), parce que les immeubles gatinois du portefeuille sont petits, bien loués (\dollars{1412} par mois en moyenne, le loyer le plus élevé des six régions, comme l'est le loyer moyen de deux chambres de la SCHL pour la RMR de Gatineau, \dollars{1460} en octobre 2025 \parencite{schlLocatif2025}) et dégagent \dollars{10011} de revenu net par logement, contre \dollars{7237} à Québec, où le portefeuille détient de grands immeubles anciens et moins bien loués. Trois-Rivières et Saguenay, pour lesquels aucun taux n'est publié, portent des taux pondérés de \pct{6.29} et \pct{6.39} posés par hypothèse dans le jeu synthétique, et des valeurs par logement de \dollars{116806} et \dollars{101969}. Le ratio prêt-valeur varie de \pct{56.1} (Sherbrooke) à \pct{67.2} (Saguenay) ; cette dispersion, modeste, deviendra importante à la \cref{sec:48:risques} lorsque la couverture de la dette sera examinée immeuble par immeuble.
91+
92+La \cref{fig:48:rmr} met en regard la valeur par logement et la distribution des taux de chaque région. Deux lectures en ressortent. D'abord, la hiérarchie des taux pondérés suit celle des régions plutôt que celle des immeubles : à l'intérieur de chaque région, l'étendue des taux (de \num{1.5} point à Montréal à \num{0.7} point à Sherbrooke) est du même ordre que l'écart entre les régions voisines, mais l'écart entre Montréal et Trois-Rivières, \num{180} points de base, excède toute dispersion intrarégionale ; le \cref{ch:33} avait quantifié ce fait en montrant que l'effet de région est six fois l'effet de taille. Ensuite, le taux pondéré d'une région peut s'écarter sensiblement de sa médiane : à Gatineau, la médiane des huit immeubles est \pct{5.71} alors que le taux pondéré est \pct{5.44}, parce que l'immeuble P45, de trente-six logements et d'une valeur de \dollars{7186000}, soit \pct{35} de la valeur gatinoise, porte un taux de \pct{5.10} ; un lecteur qui comparerait des médianes régionales sans tenir compte des poids commettrait, à l'échelle du portefeuille, l'erreur que la \cref{eq:48:taux-pondere} évite.
93+
94+\begin{figure}[htbp]\centering
95+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-rmr.pdf}
96+\caption{Valeur 2026 par logement (gauche ; barres = valeur agrégée sur logements de la région, ratio prêt-valeur inscrit à la base, trait pointillé = portefeuille) et taux global par région (droite ; points = immeubles, trait vertical = étendue, barre horizontale = taux pondéré, rectangles gris = fourchettes CBRE du troisième trimestre 2026 pour la faible hauteur de catégorie B à Montréal et à Québec). Les régions se distinguent par leur taux autant que par leur niveau de loyer.}
97+\label{fig:48:rmr}
98+\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031 ; fourchettes : \textcite{cbrecaprates2026q3}, consulté le 31~octobre 2026.}}
99+\end{figure}
100+
101+\subsection{Tailles, âges, états et concentration}
102+
103+Le \cref{tab:48:distribution} décrit la composition du portefeuille selon trois dimensions qui, au \cref{ch:33}, se sont révélées déterminantes pour le taux : la taille, l'âge et l'état. Le portefeuille est dominé en nombre par les petits immeubles (vingt immeubles de six ou huit logements, soit \pct{42} des immeubles mais \pct{14.5} de la valeur) et en valeur par les grands (six immeubles de quarante-huit logements et un de soixante-douze, soit \pct{38.7} de la valeur). Les taux médians par classe de taille ne décroissent pas régulièrement avec le nombre de logements, de \pct{5.74} pour six logements à \pct{5.07} pour quarante-huit, puis \pct{6.14} pour l'unique immeuble de soixante-douze logements : c'est l'effet de confusion entre la taille et la région que le \cref{ch:33} a analysé, les grands immeubles du portefeuille étant surtout situés hors de Montréal et le soixante-douze logements, à Québec, étant en zone inondable ; seule la régression de la \cref{sec:48:masse} restitue l'effet propre de la taille. L'âge moyen est de cinquante-cinq ans ; quatorze immeubles ont soixante-cinq ans ou plus, et deux seulement ont moins de trente ans (P42, construit en 2018 à Montréal, et P23, construit en 2000 à Sherbrooke). L'état est moyen (cote 3) pour vingt-six immeubles ; douze sont cotés 1 ou 2 et dix sont cotés 4 ou 5 ; les deux immeubles cotés 5 se vendent au taux médian le plus bas (\pct{4.85}), mais ils sont tous deux récents ou montréalais, et l'effet de l'état ne se lit, là encore, qu'à caractéristiques égales.
104+
105+\begin{table}[htbp]\centering
106+\caption{Distribution du portefeuille selon la taille, l'âge et l'état (données synthétiques).}\label{tab:48:distribution}
107+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=3.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.1] S[table-format=1.2] l@{}}
108+\toprule
109+Classe & {Imm.} & {Log.} & {Valeur (\$)} & {Part (\%)} & {$R$ méd. (\%)} & Remarque \\
110+\midrule
111+\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{Taille (logements)}} \\
112+6 & 12 & 72 & 9979000 & 7.0 & 5.74 & 5 RMR représentées \\
113+8 & 8 & 64 & 10821000 & 7.5 & 5.69 & \\
114+12 & 7 & 84 & 14809000 & 10.3 & 5.19 & \\
115+16 & 8 & 128 & 22356000 & 15.6 & 5.39 & \\
116+24 & 3 & 72 & 13205000 & 9.2 & 5.05 & Montréal (2), Sherbrooke \\
117+36 & 3 & 108 & 16764000 & 11.7 & 5.64 & Gatineau, Sherbrooke (2) \\
118+48 & 6 & 288 & 48200000 & 33.6 & 5.07 & Montréal (3), Québec (2), Trois-Rivières \\
119+72 & 1 & 72 & 7229000 & 5.0 & 6.14 & Québec, zone inondable (P36) \\
120+\midrule
121+\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{Âge au 30 juin 2026}} \\
122+Moins de 30 ans & 2 & 72 & 13511000 & 9.4 & 5.14 & état moyen 4,0 \\
123+30 à 49 ans & 15 & 280 & 45045000 & 31.4 & 5.67 & état moyen 2,9 \\
124+50 à 64 ans & 17 & 344 & 49364000 & 34.4 & 5.74 & état moyen 2,8 \\
125+65 ans et plus & 14 & 192 & 35443000 & 24.7 & 5.10 & état moyen 3,0 ; 7 à Montréal \\
126+\midrule
127+\multicolumn{7}{@{}l}{\emph{État (cote de 1 à 5)}} \\
128+1 & 3 & 38 & 6571000 & 4.6 & 5.48 & loyer moyen 1~404~\$ \\
129+2 & 9 & 182 & 32251000 & 22.5 & 5.57 & loyer moyen 1~190~\$ \\
130+3 & 26 & 550 & 82454000 & 57.5 & 5.65 & loyer moyen 1~185~\$ \\
131+4 & 8 & 78 & 13385000 & 9.3 & 5.42 & loyer moyen 1~191~\$ \\
132+5 & 2 & 40 & 8702000 & 6.1 & 4.85 & loyer moyen 1~447~\$ \\
133+\bottomrule
134+\end{tabular}
135+\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{sommaire\_etendu}. Les logements par classe d'âge et d'état sont calculés par le script ; les taux médians bruts sont confondus avec l'effet de région (voir \cref{sec:48:masse}).}}
136+\end{table}
137+
138+La concentration du portefeuille se mesure par l'indice de Herfindahl-Hirschman des parts de valeur,
139+\begin{equation}\label{eq:48:hhi}
140+H = \sum_k w_k^2, \qquad w_k = \frac{V_k}{\sum_j V_j}, \qquad n_{\text{éq}} = \frac{1}{H},
141+\end{equation}
142+dont l'inverse $n_{\text{éq}}$ est le nombre d'unités de même poids qui produiraient la même concentration. Par région, $H = \num{0.280}$ et $n_{\text{éq}} = \num{3.6}$ : six régions nominales, mais l'équivalent de trois ou quatre régions de poids égal, à cause de la part montréalaise. Par immeuble, $H = \num{0.0364}$ et $n_{\text{éq}} = \num{27.5}$ : quarante-huit immeubles nominaux, mais l'équivalent de vingt-sept ou vingt-huit immeubles de même valeur, les cinq plus grands (P26, P42, P09, P36 et P45) totalisant \pct{30.8} de la valeur. Ces indices n'ont pas de seuil normatif en évaluation ; ils servent à la \cref{sec:48:montecarlo} pour expliquer pourquoi la diversification réduit le risque moins que le nombre d'immeubles ne le laisserait croire, et à la \cref{sec:48:allocation} pour motiver les recommandations.
143+
144+\section{Les marchés régionaux à la date d'évaluation}\label{sec:48:marches}
145+
146+L'analyse de marché d'un portefeuille interrégional ne peut se contenter de décrire six marchés l'un après l'autre ; elle doit expliquer les \emph{écarts} entre eux, parce que ce sont ces écarts, traduits en taux de capitalisation, qui font la valeur relative des immeubles. Le \cref{tab:48:marches} rassemble, pour chaque région, les indicateurs publics retenus : la population et sa croissance, les projections démographiques, le loyer moyen et l'inoccupation de l'Enquête sur les logements locatifs de la SCHL, la variation des loyers, le prix médian des plex et, lorsqu'ils existent, les taux de capitalisation publiés. Toutes ces données sont réelles et citées avec leur source ; le \cref{ch:04} les a présentées dans leur contexte, et nous n'en retenons ici que ce qui éclaire le portefeuille.
147+
148+\begin{table}[htbp]\centering
149+\caption{Indicateurs des six marchés régionaux à la date d'évaluation (sources publiques, consultées le 31~octobre 2026 ; aucune donnée synthétique).}\label{tab:48:marches}
150+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3pt}\begin{tabular}{@{}L{2.5cm} S[table-format=7.0] l S[table-format=4.0] l l S[table-format=6.0] l@{}}
151+\toprule
152+RMR & {Population 2025} & Proj. 2025--2051 & {Loyer 2~ch. (\$)} & Inocc. 2025 (2024) & Var. loyers & {Plex T3 2026 (\$)} & Taux CBRE (LR~B) \\
153+\midrule
154+Montréal & 4597837 & $-3$ \% & 1346 & 2,9 \% (2,1) & +7,4 \% & 860500 & 4,25--4,75 \% \\
155+Québec & 903607 & +16 \% & 1277 & 2,4 \% (0,9) & +6,4 \% & 600000 & 5,00--6,00 \% \\
156+Gatineau (partie QC) & 374226 & n. d. & 1460 & 3,8 \% (1,9) & +4,5 \% & 617500 & non publié \\
157+Sherbrooke & 243911 & n. d. & 1062 & 2,7 \% (1,4) & +9,8 \% & 544500 & non publié \\
158+Trois-Rivières & 174316 & n. d. & 1016 & 2,7 \% (0,9) & +7,3 \% & 420000 & non publié \\
159+Saguenay & 170192 & $-6$ \% & 985 & 1,3 \% (1,6) & +12,5 \% & 373500 & non publié \\
160+\bottomrule
161+\end{tabular}
162+\tabsource{population au 1\textsuperscript{er} juillet 2025 : \textcite{statcanpoprmr}, tableau 17-10-0148-01 ; projections (scénario de référence, RMR) : \textcite{isqprojections2026}, communiqué du 9~juillet 2026, qui ne publie pas de chiffre pour les trois RMR marquées « n. d. » ; loyer moyen des logements de deux chambres, taux d'inoccupation (tous logements, immeubles d'initiative privée de trois logements et plus) et variation des loyers « tous logements » : \textcite{schlLocatif2025,schlrmltables2025}, octobre 2025 ; prix médian des plex (2 à 5 logements) : \textcite{apciqt32026}, troisième trimestre 2026 ; taux de capitalisation du multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B : \textcite{cbrecaprates2026q3}.}
163+\end{table}
164+
165+La lecture des écarts de taux commence par les loyers et l'inoccupation. Le niveau des loyers va du simple au moins qu'au double, de \dollars{985} pour un deux-chambres à Saguenay à \dollars{1460} à Gatineau et \dollars{1346} à Montréal ; il détermine le revenu par logement, non le taux. L'inoccupation, remontée partout en 2025 après les creux historiques de 2023 et 2024, reste basse : \pct{2.9} à Montréal, \pct{2.4} à Québec, \pct{3.8} à Gatineau, \pct{2.7} à Sherbrooke et à Trois-Rivières, \pct{1.3} à Saguenay \parencite{schlLocatif2025}. Ces taux sont ceux que le dossier synthétique applique au revenu de chaque immeuble (colonne \texttt{taux\_inoccupation\_marche}) ; ils expliquent peu les écarts de taux de capitalisation, puisque la région la plus tendue, Saguenay, porte le taux le plus élevé. La croissance des loyers à échantillon constant a été forte partout en 2025, de \pct{4.5} à Gatineau à \pct{12.5} à Saguenay ; une croissance passée élevée dans une petite région n'est pas un signal de croissance future élevée, et la \cref{sec:48:dynamique} montrera que la croissance des revenus nets du portefeuille, sur dix ans, est au contraire la plus faible à Saguenay.
166+
167+La démographie fournit la clé des écarts. Les six régions regroupent \pct{71.4} de la population québécoise, et Montréal seule la moitié \parencite{statcanpoprmr,isqmunicipalites2026}. Les projections de l'Institut de la statistique du Québec publiées le 9~juillet 2026 prévoient, dans leur scénario de référence, une population provinciale en léger recul puis stable, avec des trajectoires régionales divergentes à l'horizon 2051 : $-3$ \% pour la RMR de Montréal, $+16$ \% pour celle de Québec et $-6$ \% pour Saguenay \parencite{isqprojections2026}. Pour un investisseur qui détient des immeubles pendant dix ans ou plus, ces projections sont l'information la plus pertinente sur la demande structurelle de logements locatifs : elles disent dans quelles régions la vacance frictionnelle est susceptible de rester basse et le rattrapage des loyers de se poursuivre, et dans lesquelles l'immeuble vieillissant devra lutter pour conserver ses locataires. Elles n'expliquent toutefois pas à elles seules la hiérarchie des taux : Québec, dont la croissance projetée est la plus forte, se négocie à un taux supérieur de 130 points de base à celui de Montréal. La différence tient à la \emph{liquidité} et à la \emph{profondeur} du marché des immeubles : le marché montréalais du multirésidentiel attire des acheteurs institutionnels nationaux et internationaux, avec un volume d'investissement de 2,9 milliards de dollars au premier semestre de 2026 selon Altus (cité au \cref{ch:47}), alors que les marchés des villes moyennes sont le fait d'investisseurs privés régionaux, moins nombreux, dont le coût du capital est plus élevé et la tolérance à l'illiquidité moindre. La littérature sur les déterminants des taux de capitalisation attribue ces écarts durables entre marchés à la prime de liquidité et à la prime de risque locales davantage qu'aux fondamentaux courants \parencite{sivitanidouSivitanides1999,sivitanidesTortoWheaton2003}, et les cycles communs aux conditions des marchés de capitaux \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020}. Pour le portefeuille, l'implication est double : les écarts de taux entre régions sont persistants, ce qui justifie de les modéliser par des effets fixes régionaux à la \cref{sec:48:masse} ; et leur composante commune, liée aux taux d'intérêt, fera l'objet d'un facteur national dans la simulation de la \cref{sec:48:montecarlo}.
168+
169+Le marché des capitaux, enfin, est commun aux six régions. À la date d'évaluation, le taux directeur de la Banque du Canada est de \pct{2.25}, niveau maintenu depuis le 29~octobre 2025 ; il sera relevé à \pct{2.50} le 28~octobre 2026, après la date d'évaluation mais avant la date du rapport, ce que le rapport mentionne comme un fait postérieur sans en tenir compte dans la valeur \parencite{bdc20261028}. Le rendement des obligations du gouvernement du Canada à dix ans est de \pct{3.84} au 29~octobre 2026 \parencite{bdcvalet}, et les taux effectifs des prêts hypothécaires assurés à taux fixe de cinq ans et plus avancés par les banques étaient de \pct{4.12} en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. La dette du portefeuille porte un taux moyen pondéré de \pct{4.52}, légèrement supérieur, parce qu'elle a été contractée à des dates diverses entre 2022 et 2026 ; l'écart entre le taux pondéré de capitalisation du portefeuille (\pct{5.19}) et l'obligation à dix ans (\num{135} points de base) est inférieur à l'écart national de \num{256} points de base que CBRE relève pour l'ensemble des catégories d'immeubles, signe de la compression persistante des taux résidentiels \parencite{cbrecaprates2026q3}.
170+
171+\section{Modèle d'évaluation de masse}\label{sec:48:masse}
172+
173+\subsection{Spécification et estimation}
174+
175+Le dossier fournit, pour chaque immeuble, un revenu net normalisé et un taux global retenu lors de son évaluation individuelle. La question que pose l'évaluation de portefeuille est celle de la \emph{cohérence} de ces quarante-huit taux entre eux et avec le marché à la date d'évaluation : des taux choisis par des évaluateurs différents, à des dates différentes, pour des prêteurs différents, ne forment pas nécessairement un ensemble cohérent, et le rapport financier exige qu'ils le soient. L'outil est un modèle d'évaluation de masse du taux global, c'est-à-dire une régression qui explique le logarithme du taux de chaque immeuble par ses caractéristiques observables et par sa région, puis sert de référence pour repérer les immeubles dont le taux s'écarte de ce que leurs caractéristiques prédisent. C'est la régression que le \cref{ch:33} a introduite (\cref{eq:33:modele}) et que la fonction \texttt{effets\_regionaux} du module \texttt{traite.cas4} estime ; nous en reprenons exactement les coefficients, de sorte que les chiffres des deux chapitres coïncident :
176+\begin{equation}\label{eq:48:modele}
177+\ln R_i = \beta_0 + \beta_e\,(e_i - 3) + \beta_n \ln\frac{n_i}{12} + \beta_z z_i + \beta_s s_i + \beta_a \frac{a_i - 50}{10} + \sum_{r \neq \text{Mtl}} \gamma_r\,\mathbb{1}[\text{RMR}_i = r] + \varepsilon_i,
178+\end{equation}
179+où $e_i$ est la cote d'état, $n_i$ le nombre de logements, $z_i$ et $s_i$ les indicatrices de zone inondable et de contamination du sol, $a_i$ l'âge, et $\gamma_r$ l'effet de la région $r$ par rapport à Montréal. Le centrage des régresseurs (état 3, douze logements, cinquante ans) donne à la constante un sens direct : $e^{\beta_0}$ est le taux prédit d'un immeuble montréalais de douze logements, d'état moyen, de cinquante ans, sans risque. La forme semi-logarithmique rend les effets multiplicatifs : l'effet d'une indicatrice sur le taux, en proportion, est
180+\begin{equation}\label{eq:48:effet}
181+\frac{\Delta R}{R} = e^{\hat\beta} - 1,
182+\end{equation}
183+avec, pour les indicatrices, la mise en garde de \textcite{halvorsenPalmquist1980} sur l'interprétation directe des coefficients. L'estimation par moindres carrés ordinaires, avec erreurs-types robustes à l'hétéroscédasticité \parencite{white1980}, est présentée au \cref{tab:48:coefficients}. Le modèle explique \pct{88.3} de la variance du logarithme du taux ($R^2$ ajusté \pct{85.2}) avec un écart-type résiduel de \num{0.0537}, soit environ \pct{5.4} du taux ou \num{28} points de base au taux pondéré du portefeuille ; c'est la dispersion que le jeu synthétique a introduite par construction (loi log-normale d'écart-type \num{0.06}), et elle servira de paramètre à la simulation de la \cref{sec:48:montecarlo}.
184+
185+\begin{table}[htbp]\centering
186+\caption{Modèle d'évaluation de masse du taux global : coefficients, erreurs-types HC1, effets en proportion du taux et en points de base au taux pondéré du portefeuille (données synthétiques, $n = 48$).}\label{tab:48:coefficients}
187+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{4.6cm} S[table-format=-1.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-3.1] S[table-format=-2.1] S[table-format=-3.1] l@{}}
188+\toprule
189+Variable & {$\hat\beta$} & {é.-t. HC1} & {$t$} & {Effet (\% du taux)} & {Effet (pb à 5,20 \%)} & IC à 95 \% de l'effet (\%) \\
190+\midrule
191+Constante (Montréal, état 3, 12 log., 50 ans) & -3.0783 & 0.0176 & -174.6 & {$e^{\hat\beta_0}$ = 4,60 \%} & {—} & 4,54 à 4,67 \% (taux) \\
192+État (par point, 1 à 5) & -0.0405 & 0.0105 & -3.9 & -4.0 & -20.6 & $-5{,}9$ à $-2{,}0$ \\
193+$\ln$(logements / 12) & -0.0315 & 0.0122 & -2.6 & -3.1 & -16.1 & $-5{,}4$ à $-0{,}8$ \\
194+Zone inondable & 0.0756 & 0.0347 & 2.2 & 7.9 & 40.9 & 0,8 à 15,4 \\
195+Contamination du sol & 0.0536 & 0.0288 & 1.9 & 5.5 & 28.6 & $-0{,}3$ à 11,6 \\
196+Âge (par décennie) & -0.0070 & 0.0061 & -1.1 & -0.7 & -3.6 & $-1{,}9$ à 0,5 \\
197+RMR de Québec & 0.2377 & 0.0207 & 11.5 & 26.8 & 139.5 & 21,8 à 32,1 \\
198+RMR de Gatineau & 0.1792 & 0.0241 & 7.4 & 19.6 & 102.0 & 14,1 à 25,4 \\
199+RMR de Sherbrooke & 0.2251 & 0.0273 & 8.2 & 25.3 & 131.3 & 18,7 à 32,1 \\
200+RMR de Trois-Rivières & 0.3377 & 0.0303 & 11.1 & 40.2 & 208.9 & 32,1 à 48,8 \\
201+RMR de Saguenay & 0.2843 & 0.0365 & 7.8 & 32.9 & 171.0 & 23,7 à 42,7 \\
202+\midrule
203+\multicolumn{7}{@{}l}{$R^2 = \num{0.883}$ ; $R^2$ ajusté $= \num{0.852}$ ; $\hat\sigma_\varepsilon = \num{0.0537}$ ; facteur de Duan $= \num{1.0011}$ ; $n = 48$ ; $k = 11$.} \\
204+\bottomrule
205+\end{tabular}
206+\tabsource{\synth{\texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{effets\_regionaux} (identique au \cref{ch:33}) ; \texttt{traite/hedonique.py}, fonction \texttt{mco} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{regression\_masse}. Effet en \% $= 100\,(e^{\hat\beta} - 1)$ ; en points de base $= $ effet $\times$ 5,20 \% ; IC $= e^{\hat\beta \pm 1{,}96\,s} - 1$.}}
207+\end{table}
208+
209+\subsection{Interprétation en points de base}
210+
211+Les coefficients se lisent comme des primes ou des décotes de taux. L'effet de la région domine : à caractéristiques égales, un immeuble de Québec se négocie à un taux supérieur de \pct{26.8} à celui de son équivalent montréalais, soit \num{140} points de base au taux pondéré du portefeuille ; Gatineau porte une prime de \pct{19.6} (\num{102} points de base), Sherbrooke de \pct{25.3} (\num{131}), Trois-Rivières de \pct{40.2} (\num{209}) et Saguenay de \pct{32.9} (\num{171}). Ces primes sont estimées avec précision malgré la petite taille des sous-échantillons (de quatre à huit immeubles par région hors Montréal), parce que la dispersion intrarégionale est faible dans le jeu synthétique ; sur des données réelles, les intervalles de confiance seraient nettement plus larges, et l'exercice~\ref{ex:33:6} du \cref{ch:33} en a tiré les conséquences pour l'évaluateur isolé. L'effet de l'état est de $-\pct{4.0}$ par point de cote, soit \num{21} points de base : un immeuble coté 5 se négocie à un taux inférieur d'environ \num{80} points de base à celui d'un immeuble coté 1, toutes choses égales. L'effet de la taille est modeste, $-\pct{3.1}$ du taux par doublement du nombre de logements, soit \num{16} points de base ; le \cref{tab:33:effet-taille} le comparait à la pente linéaire du cas~3. L'âge n'a pas d'effet distinguable de zéro une fois l'état contrôlé, ce qui est attendu : c'est l'état, non l'âge, qui porte le risque physique, et la loi de génération du jeu ne comportait d'ailleurs pas d'effet d'âge propre.
212+
213+Les deux indicateurs de risque méritent un commentaire particulier, que la \cref{sec:48:risques} développera. La zone inondable majore le taux de \pct{7.9}, soit \num{41} points de base au taux moyen (intervalle de confiance à \pct{95} de \pct{0.8} à \pct{15.4}) ; la contamination du sol le majore de \pct{5.5}, soit \num{29} points de base, avec un intervalle qui inclut zéro ($-\pct{0.3}$ à \pct{11.6}). Ces estimations reposent sur trois et deux immeubles respectivement, ce qui les rend fragiles ; elles retrouvent, à l'erreur d'échantillonnage près, les majorations de \pct{5} et \pct{3} introduites dans la loi de génération, et le lecteur ne doit en aucun cas les lire comme des mesures du marché québécois. Le \cref{ch:43} discute ce que la littérature empirique a mesuré sur des marchés réels, et nous y renvoyons.
214+
215+\subsection{Prédiction, valeur de chaque immeuble et contrôle par ratios}
216+
217+Le taux prédit de chaque immeuble est $\hat R_i = \exp(\mathbf{x}_i\T\hat{\boldsymbol\beta}) \times \hat\delta$, où $\hat\delta = n^{-1}\sum_i e^{\hat\varepsilon_i} = \num{1.0011}$ est le facteur de retransformation de \textcite{duan1983}, négligeable ici parce que la dispersion résiduelle est faible, mais appliqué par convention de l'ouvrage (\cref{eq:33:prediction}). La valeur prédite est la capitalisation du revenu net normalisé à ce taux,
218+\begin{equation}\label{eq:48:valeur-predite}
219+\hat V_i = \frac{\NOI_i}{\hat R_i}, \qquad \text{ratio}_i = \frac{\hat V_i}{V_i} = \frac{R_i}{\hat R_i},
220+\end{equation}
221+et le ratio de la valeur prédite à l'indication individuelle n'est autre que le rapport du taux retenu au taux prédit : un ratio supérieur à 1 signale un immeuble dont l'évaluation individuelle a retenu un taux plus élevé que le modèle, donc une valeur plus basse, et inversement. Le \cref{tab:48:immeubles} présente les quarante-huit immeubles avec leurs caractéristiques, leur taux retenu, leur taux prédit, les deux valeurs et le ratio ; c'est l'annexe par immeuble que le rapport de portefeuille doit contenir. La \cref{fig:48:taux} met en regard les taux retenus et les taux prédits par région et montre la distribution des résidus.
222+
223+\begingroup\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{2.6pt}
224+\begin{longtable}{@{}l l S[table-format=2.0] S[table-format=2.0] c c S[table-format=6.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=1.3] S[table-format=2.1] c@{}}
225+\caption{Annexe par immeuble : caractéristiques, taux retenu et taux prédit, indication individuelle et valeur prédite, ratio, ratio prêt-valeur et échéance de la dette (données synthétiques).}\label{tab:48:immeubles} \\
226+\toprule
227+Imm. & RMR & {Log.} & {Âge} & État & Risque & {RNE (\$)} & {$R$ (\%)} & {$\hat R$ (\%)} & {Indication (\$)} & {Prédite (\$)} & {Ratio} & {RPV (\%)} & Éch. \\
228+\midrule
229+\endfirsthead
230+\caption[]{Annexe par immeuble (suite).} \\
231+\toprule
232+Imm. & RMR & {Log.} & {Âge} & État & Risque & {RNE (\$)} & {$R$ (\%)} & {$\hat R$ (\%)} & {Indication (\$)} & {Prédite (\$)} & {Ratio} & {RPV (\%)} & Éch. \\
233+\midrule
234+\endhead
235+\midrule \multicolumn{14}{r}{\emph{suite à la page suivante}} \\
236+\endfoot
237+\bottomrule
238+\endlastfoot
239+P01 & Québec & 48 & 64 & 2 & — & 397912 & 5.57 & 5.77 & 7149000 & 6896004 & 0.965 & 57.5 & 2031 \\
240+P02 & Gatineau & 12 & 40 & 3 & — & 132799 & 5.67 & 5.55 & 2344000 & 2392070 & 1.021 & 48.1 & 2028 \\
241+P03 & Gatineau & 8 & 61 & 1 & — & 97335 & 6.10 & 6.01 & 1595000 & 1619942 & 1.016 & 57.4 & 2029 \\
242+P04 & Montréal & 16 & 79 & 5 & — & 184141 & 4.00 & 4.13 & 4606000 & 4460561 & 0.968 & 69.9 & 2031 \\
243+P05 & Sherbrooke & 16 & 74 & 3 & — & 117786 & 5.52 & 5.63 & 2133000 & 2093653 & 0.982 & 57.0 & 2029 \\
244+P06 & Montréal & 6 & 75 & 2 & — & 56826 & 5.11 & 4.82 & 1113000 & 1178801 & 1.059 & 66.8 & 2028 \\
245+P07 & Québec & 8 & 50 & 4 & — & 68564 & 5.74 & 5.69 & 1195000 & 1205824 & 1.009 & 49.4 & 2028 \\
246+P08 & Trois-Rivières & 48 & 56 & 3 & — & 343359 & 6.05 & 6.16 & 5678000 & 5575647 & 0.982 & 56.9 & 2031 \\
247+P09 & Montréal & 48 & 30 & 3 & — & 379660 & 4.06 & 4.47 & 9351000 & 8486743 & 0.908 & 69.8 & 2028 \\
248+P10 & Gatineau & 12 & 65 & 3 & — & 97041 & 5.19 & 5.46 & 1871000 & 1778623 & 0.951 & 44.8 & 2029 \\
249+P11 & Montréal & 12 & 47 & 3 & — & 123398 & 4.74 & 4.62 & 2606000 & 2671814 & 1.025 & 27.4 & 2029 \\
250+P12 & Saguenay & 6 & 55 & 3 & — & 45689 & 6.31 & 6.24 & 724000 & 732435 & 1.012 & 51.1 & 2031 \\
251+P13 & Trois-Rivières & 16 & 39 & 3 & — & 126572 & 6.37 & 6.45 & 1987000 & 1962041 & 0.987 & 71.2 & 2028 \\
252+P14 & Montréal & 16 & 46 & 3 & — & 122709 & 4.43 & 4.58 & 2768000 & 2679240 & 0.968 & 51.7 & 2031 \\
253+P15 & Montréal & 12 & 58 & 4 & — & 105622 & 4.78 & 4.40 & 2211000 & 2399625 & 1.085 & 51.0 & 2027 \\
254+P16 & Montréal & 8 & 63 & 2 & — & 76139 & 4.96 & 4.82 & 1536000 & 1580578 & 1.029 & 80.0 & 2028 \\
255+P17 & Trois-Rivières & 6 & 52 & 4 & — & 34615 & 6.24 & 6.33 & 555000 & 546638 & 0.985 & 38.0 & 2028 \\
256+P18 & Sherbrooke & 36 & 44 & 3 & — & 298656 & 6.01 & 5.60 & 4968000 & 5333675 & 1.074 & 46.9 & 2028 \\
257+P19 & Trois-Rivières & 6 & 48 & 4 & — & 44071 & 6.17 & 6.35 & 714000 & 694033 & 0.972 & 69.3 & 2029 \\
258+P20 & Montréal & 6 & 67 & 3 & sol & 47854 & 5.03 & 4.91 & 951000 & 974332 & 1.025 & 68.2 & 2030 \\
259+P21 & Montréal & 24 & 43 & 1 & sol & 208102 & 5.05 & 5.18 & 4122000 & 4014771 & 0.974 & 45.6 & 2028 \\
260+P22 & Québec & 16 & 69 & 3 & — & 145561 & 5.83 & 5.72 & 2499000 & 2546197 & 1.019 & 59.0 & 2028 \\
261+P23 & Sherbrooke & 24 & 26 & 5 & — & 233864 & 5.71 & 5.30 & 4096000 & 4415397 & 1.078 & 50.8 & 2028 \\
262+P24 & Gatineau & 16 & 35 & 4 & — & 142220 & 5.27 & 5.30 & 2700000 & 2682490 & 0.994 & 53.3 & 2030 \\
263+P25 & Trois-Rivières & 16 & 77 & 3 & — & 123903 & 7.00 & 6.28 & 1769000 & 1972094 & 1.115 & 76.9 & 2029 \\
264+P26 & Montréal & 48 & 62 & 2 & — & 486296 & 4.41 & 4.56 & 11038000 & 10674340 & 0.967 & 63.0 & 2027 \\
265+P27 & Montréal & 12 & 49 & 3 & — & 128816 & 4.60 & 4.61 & 2799000 & 2793006 & 0.998 & 69.2 & 2028 \\
266+P28 & Montréal & 6 & 70 & 3 & — & 50631 & 4.20 & 4.65 & 1206000 & 1089856 & 0.904 & 68.7 & 2028 \\
267+P29 & Gatineau & 12 & 47 & 2 & — & 110423 & 5.79 & 5.75 & 1908000 & 1919478 & 1.006 & 61.7 & 2031 \\
268+P30 & Québec & 48 & 37 & 3 & — & 311861 & 5.60 & 5.65 & 5569000 & 5523156 & 0.992 & 58.4 & 2029 \\
269+P31 & Sherbrooke & 6 & 53 & 4 & — & 35584 & 5.34 & 5.65 & 666000 & 629308 & 0.945 & 55.1 & 2027 \\
270+P32 & Sherbrooke & 36 & 51 & 3 & — & 259914 & 5.64 & 5.57 & 4610000 & 4664433 & 1.012 & 66.8 & 2031 \\
271+P33 & Gatineau & 6 & 54 & 3 & — & 68999 & 5.75 & 5.62 & 1201000 & 1227888 & 1.022 & 55.2 & 2029 \\
272+P34 & Montréal & 24 & 70 & 3 & — & 223960 & 4.49 & 4.45 & 4987000 & 5036223 & 1.010 & 61.8 & 2028 \\
273+P35 & Sherbrooke & 8 & 35 & 3 & — & 57825 & 5.72 & 5.91 & 1011000 & 978720 & 0.968 & 66.0 & 2030 \\
274+P36 & Québec & 72 & 62 & 3 & inond. & 443733 & 6.14 & 5.91 & 7229000 & 7509279 & 1.039 & 60.3 & 2027 \\
275+P37 & Gatineau & 8 & 45 & 3 & — & 85641 & 5.89 & 5.60 & 1454000 & 1528336 & 1.051 & 59.2 & 2031 \\
276+P38 & Montréal & 6 & 59 & 1 & — & 46776 & 5.48 & 5.08 & 854000 & 921543 & 1.079 & 59.1 & 2030 \\
277+P39 & Trois-Rivières & 6 & 45 & 3 & — & 47297 & 6.36 & 6.63 & 744000 & 713815 & 0.959 & 49.5 & 2027 \\
278+P40 & Montréal & 16 & 74 & 4 & — & 177850 & 4.57 & 4.31 & 3894000 & 4123003 & 1.059 & 63.2 & 2027 \\
279+P41 & Montréal & 8 & 65 & 3 & inond. & 79943 & 4.67 & 4.98 & 1714000 & 1604395 & 0.936 & 40.3 & 2029 \\
280+P42 & Montréal & 48 & 8 & 3 & — & 430559 & 4.57 & 4.54 & 9415000 & 9478407 & 1.007 & 56.1 & 2027 \\
281+P43 & Saguenay & 6 & 55 & 2 & inond. & 43252 & 7.17 & 7.01 & 603000 & 617367 & 1.024 & 58.4 & 2031 \\
282+P44 & Saguenay & 12 & 58 & 2 & — & 70665 & 6.61 & 6.34 & 1070000 & 1114268 & 1.041 & 79.6 & 2030 \\
283+P45 & Gatineau & 36 & 72 & 2 & — & 366800 & 5.10 & 5.46 & 7186000 & 6716534 & 0.935 & 75.4 & 2028 \\
284+P46 & Québec & 8 & 54 & 4 & — & 79714 & 5.50 & 5.67 & 1450000 & 1405821 & 0.970 & 57.6 & 2027 \\
285+P47 & Saguenay & 8 & 66 & 3 & — & 49018 & 5.66 & 6.13 & 866000 & 799050 & 0.923 & 71.5 & 2030 \\
286+P48 & Sherbrooke & 6 & 68 & 2 & — & 37075 & 5.73 & 6.07 & 648000 & 611056 & 0.943 & 68.1 & 2031 \\
287+\midrule
288+Total & & 888 & & & & 7447030 & 5.19 & 5.22 & 143363000 & 142572511 & 0.995 & 59.8 & \\
289+\end{longtable}
290+\endgroup
291+\noindent\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille.csv} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{valeurs\_predites} ; $\hat R$ avec facteur de Duan ; ligne « Total » : taux pondérés et ratio agrégé (somme prédite / somme des indications). Les valeurs prédites sont arrondies au dollar.}}
292+
293+\begin{figure}[htbp]\centering
294+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-taux.pdf}
295+\caption{Taux retenus dans les évaluations individuelles (points pleins) et taux prédits par le modèle de masse (cercles) pour chaque immeuble, par région (gauche) ; distribution des résidus du modèle en points de base au taux pondéré du portefeuille (droite). Les écarts individuels atteignent 70~points de base (P25), mais ils se compensent à l'échelle de la région et du portefeuille.}
296+\label{fig:48:taux}
297+\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}
298+\end{figure}
299+
300+Le contrôle de cohérence emprunte aux études de ratio de l'évaluation foncière municipale leurs statistiques standardisées, que le \cref{ch:09} a définies et dérivées (\cref{eq:9:cod}, \cref{eq:9:prd}) : le ratio médian mesure le niveau, le coefficient de dispersion (COD) l'uniformité horizontale, le différentiel lié au prix (PRD) et le biais lié au prix (PRB) l'uniformité verticale. Appliquées ici aux ratios $\hat V_i / V_i$, elles comparent le modèle aux indications individuelles plutôt que des valeurs à des prix de vente, et leur interprétation doit en tenir compte. Le \cref{tab:48:iaao} en donne les résultats. Pour l'ensemble, le ratio médian est de \num{1.002}, le COD de \num{3.8}, le PRD de \num{1.005} et le PRB de \num{0.001} (erreur-type \num{0.006}) : le modèle et les évaluations individuelles sont au même niveau, sans biais vertical, et la dispersion est faible. La somme des valeurs prédites, \dollars{142572511}, est inférieure de \pct{0.55} à la somme des indications ; c'est l'ordre de grandeur de l'erreur agrégée que l'on peut attendre d'une évaluation de masse cohérente avec les évaluations individuelles, et il est très inférieur à l'erreur sur un immeuble donné, qui atteint \pct{11.5} pour P25.
301+
302+\begin{table}[htbp]\centering
303+\caption{Statistiques de ratio (modèle de masse / indications individuelles) pour le portefeuille et par région, et seuils de l'IAAO pour les immeubles à revenus (données synthétiques).}\label{tab:48:iaao}
304+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=-1.2]@{}}
305+\toprule
306+Ensemble & {$n$} & {Ratio médian} & {Ratio pondéré} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {Écart agrégé (\%)} \\
307+\midrule
308+Portefeuille & 48 & 1.002 & 0.994 & 3.83 & 1.005 & 0.001 & -0.55 \\
309+Montréal & 17 & 1.007 & 0.985 & 4.37 & 1.016 & -0.015 & -1.54 \\
310+Québec & 6 & 1.000 & 1.002 & 2.35 & 0.999 & 0.002 & 0.20 \\
311+Gatineau & 8 & 1.011 & 0.981 & 2.78 & 1.019 & -0.036 & -1.94 \\
312+Sherbrooke & 7 & 0.982 & 1.033 & 4.47 & 0.968 & 0.039 & 3.33 \\
313+Trois-Rivières & 6 & 0.984 & 1.003 & 2.94 & 0.999 & 0.012 & 0.33 \\
314+Saguenay & 4 & 1.018 & 1.000 & 3.21 & 1.000 & 0.008 & 0.04 \\
315+\midrule
316+\multicolumn{8}{@{}l}{Seuils IAAO (2013), immeubles à revenus : niveau 0,90--1,10 ; COD 5,0--15,0 (grands échantillons) ou 5,0--20,0 ; PRD 0,98--1,03 ; PRB $-0{,}05$ à 0,05.} \\
317+\bottomrule
318+\end{tabular}
319+\tabsource{\synth{\texttt{traite/hedonique.py}, fonction \texttt{statistiques\_ratio} ; script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{ratios\_iaao} ; seuils : \textcite{iaaoratio2013}, voir \cref{tab:9:iaao}. Ratio pondéré = somme des valeurs prédites / somme des indications ; écart agrégé = ratio pondéré $- 1$.}}
320+\end{table}
321+
322+Deux mises en garde s'imposent dans la lecture de ce tableau. La première concerne le COD de \num{3.8}, inférieur à la borne basse de \num{5.0} du Standard on Ratio Studies, laquelle signale habituellement une « poursuite des ventes » (\emph{sales chasing}), c'est-à-dire l'ajustement des valeurs aux prix observés \parencite{iaaoratio2013}. Ici, le COD mesure l'écart entre un modèle et les données sur lesquelles il a été estimé, et non entre des valeurs et des prix indépendants : un COD bas est attendu en échantillon d'estimation et ne dit rien de la qualité prédictive du modèle hors échantillon. Dans un dossier réel, l'évaluateur estimerait le modèle sur des ventes de marché, puis calculerait les ratios sur les immeubles du portefeuille, et un COD inférieur à \num{5} serait alors suspect. La seconde concerne les sous-échantillons régionaux : avec quatre à huit immeubles, le PRD et le PRB ne sont pas estimables avec une précision utile (le PRB de Sherbrooke, \num{0.039}, et celui de Gatineau, $-\num{0.036}$, ont des erreurs-types de l'ordre de \num{0.03}), et seul le ratio médian et l'écart agrégé méritent d'être rapportés ; le Standard on Ratio Studies recommande d'ailleurs des tailles d'échantillon minimales que ces sous-ensembles n'atteignent pas.
323+
324+Le contrôle désigne ensuite les immeubles à examiner individuellement. Cinq ratios s'écartent de plus de \pct{7.5} de l'unité. P25, un seize logements de 1949 à Trois-Rivières, est évalué à un taux de \pct{7.00} alors que le modèle prédit \pct{6.28} : l'écart de \num{72} points de base, le plus grand du portefeuille, correspond à une indication inférieure de \pct{10.3} à la valeur prédite. P28 (six logements de 1956 à Montréal, taux retenu \pct{4.20} contre \pct{4.65} prédit) et P09 (quarante-huit logements de 1996 à Montréal, \pct{4.06} contre \pct{4.47}) sont au contraire évalués à des taux plus bas que le modèle, donc à des valeurs supérieures de \pct{10.7} et \pct{10.2} à la prédiction ; P15 et P38, deux petits immeubles montréalais, sont évalués à des taux supérieurs au modèle de \num{38} et \num{40} points de base. Dans ces cinq cas, le rapport de portefeuille doit consigner l'examen fait : si l'évaluation individuelle de P09, par exemple, justifie son taux bas par des comparables récents du même secteur et par la qualité du bâtiment de 1996, l'évaluateur la retient et explique que le modèle, qui n'a pas de variable pour le secteur ou pour la qualité de construction au-delà de la cote d'état, la sous-estime ; si rien ne la justifie, il la ramène vers le modèle. Le dossier fictif retient les indications individuelles dans les cinq cas, en motivant chacune ; la \cref{sec:48:reconciliation} reviendra sur l'effet de ce choix, limité à \pct{0.55} de la valeur agrégée. Le point méthodologique est que l'évaluation de masse ne remplace pas le jugement : elle le \emph{dirige} vers les cas qui le requièrent, ce qui est exactement la fonction que le Standard on Mass Appraisal assigne au contrôle de qualité \parencite{iaaomass2025}.
325+
326+\section{Dynamique des revenus nets, 2016-2026}\label{sec:48:dynamique}
327+
328+\subsection{Croissance et volatilité par immeuble et par région}
329+
330+Le dossier contient le revenu net trimestriel de chaque immeuble sur quarante-deux trimestres, de 2016T1 à 2026T2. Ce panel, que le \cref{ch:36} exploite pour l'identification causale, sert ici à trois fins : mesurer la croissance tendancielle du revenu, qui entre dans le rendement total attendu de chaque immeuble (\cref{sec:48:allocation}) ; mesurer la volatilité du revenu, qui paramètre la simulation (\cref{sec:48:montecarlo}) ; et mesurer la corrélation des revenus entre immeubles et entre régions, qui détermine ce que la diversification géographique apporte réellement. La fonction \texttt{croissance\_rne} du module partagé estime, pour chaque immeuble, la croissance annualisée par la pente de la régression du logarithme du revenu sur le temps,
331+\begin{equation}\label{eq:48:croissance}
332+\ln \NOI_{i,t} = a_i + b_i\, t + u_{i,t}, \qquad t = 0, \tfrac14, \tfrac24, \dots, \qquad \hat g_i = e^{\hat b_i} - 1,
333+\end{equation}
334+et la volatilité annualisée par l'écart-type des variations trimestrielles du logarithme, multiplié par $\sqrt{4} = 2$,
335+\begin{equation}\label{eq:48:volatilite}
336+\hat\sigma_i = 2\,\operatorname{sd}\!\left(\Delta \ln \NOI_{i,t}\right).
337+\end{equation}
338+Le même calcul appliqué à la somme des revenus d'une région, puis du portefeuille, donne la croissance et la volatilité agrégées. Le \cref{tab:48:croissance} et la \cref{fig:48:rne} présentent les résultats.
339+
340+\begin{table}[htbp]\centering
341+\caption{Croissance et volatilité annualisées des revenus nets, 2016T1 à 2026T2, par région et pour le portefeuille (données synthétiques).}\label{tab:48:croissance}
342+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] l S[table-format=1.2] S[table-format=-1.2]@{}}
343+\toprule
344+RMR & {Imm.} & {$g$ agrégé (\%/an)} & {$g$ médian (\%/an)} & {$\sigma$ agrégé (\%)} & $g$ min -- max (\%) & {$\sigma$ médian (\%)} & {Choc 2020--21 (\%)} \\
345+\midrule
346+Montréal & 17 & 3.20 & 3.15 & 1.37 & 0,57 -- 4,83 & 3.19 & -2.62 \\
347+Québec & 6 & 2.67 & 2.75 & 1.82 & 1,24 -- 3,63 & 3.24 & -1.55 \\
348+Gatineau & 8 & 4.78 & 4.45 & 1.71 & 2,12 -- 6,26 & 3.25 & -2.15 \\
349+Sherbrooke & 7 & 2.30 & 2.49 & 2.04 & 1,87 -- 3,69 & 3.51 & -2.95 \\
350+Trois-Rivières & 6 & 2.15 & 2.69 & 2.17 & 1,61 -- 3,37 & 2.97 & -4.01 \\
351+Saguenay & 4 & 1.53 & 1.82 & 2.03 & 0,52 -- 2,77 & 3.34 & -1.57 \\
352+\midrule
353+Portefeuille & 48 & 3.03 & 2.92 & 1.34 & 0,52 -- 6,26 & 3.23 & -2.53 \\
354+\bottomrule
355+\end{tabular}
356+\tabsource{\synth{\texttt{cas4\_portefeuille\_series.csv} ; \texttt{traite/cas4.py}, fonction \texttt{croissance\_rne} (\cref{eq:48:croissance}, \cref{eq:48:volatilite}) ; agrégats et choc : script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dynamique\_rne}. Choc = écart moyen du logarithme de l'agrégat à sa tendance entre 2020T2 et 2021T2 (\cref{eq:48:choc}).}}
357+\end{table}
358+
359+\begin{figure}[htbp]\centering
360+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-rne.pdf}
361+\caption{Revenu net trimestriel agrégé par région et pour le portefeuille, en indice (2016T1 = 100) ; la bande grise marque le choc commun de la pandémie (2020T2 à 2021T2). Gatineau croît le plus vite et Saguenay le plus lentement ; l'agrégat du portefeuille est plus lisse que chacune de ses régions.}
362+\label{fig:48:rne}
363+\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}
364+\end{figure}
365+
366+Le revenu net agrégé du portefeuille est passé de \dollars{5474240} en rythme annuel au premier trimestre de 2016 à \dollars{7447028} au deuxième trimestre de 2026, soit une croissance tendancielle de \pct{3.03} par an, avec une volatilité agrégée de \pct{1.34}. La hiérarchie régionale des croissances est nette et, par construction du jeu, cohérente avec les tendances régionales déclarées : Gatineau à \pct{4.78}, Montréal à \pct{3.20}, Québec à \pct{2.67}, Sherbrooke à \pct{2.30}, Trois-Rivières à \pct{2.15} et Saguenay à \pct{1.53}. Deux observations importent pour la suite. D'abord, la volatilité agrégée d'une région (de \pct{1.37} à Montréal à \pct{2.17} à Trois-Rivières) est très inférieure à la volatilité médiane de ses immeubles (environ \pct{3.2} partout) : c'est l'effet de diversification à l'intérieur de la région, d'autant plus fort que la région compte d'immeubles, et il annonce celui que la \cref{sec:48:montecarlo} mesurera sur la valeur. Ensuite, la dispersion des croissances individuelles à l'intérieur d'une région est grande, de \pct{0.57} à \pct{4.83} à Montréal : la croissance tendancielle estimée sur dix ans d'un seul immeuble est un indicateur bruité, et l'évaluateur qui s'en servirait pour projeter le revenu d'un immeuble donné, plutôt que la croissance régionale, s'exposerait à l'erreur que \textcite{geltner1993} et \textcite{claytonGeltnerHamilton2001} ont documentée dans les séries d'évaluation : le bruit propre à chaque immeuble se lit comme une tendance.
367+
368+\subsection{Le choc pandémique}
369+
370+La loi de génération du jeu a imposé à tous les immeubles un choc de $-3$ \% sur le revenu entre 2020T2 et 2021T2, en sus de la tendance et des chocs propres. Pour le retrouver dans les données sans connaître la loi, on mesure l'écart moyen du logarithme de l'agrégat à sa tendance pendant la période de choc,
371+\begin{equation}\label{eq:48:choc}
372+\hat c = \exp\!\left( \frac{1}{|\mathcal{P}|} \sum_{t \in \mathcal{P}} \left[ \ln \NOI_t - (\hat a + \hat b\, t) \right] \right) - 1, \qquad \mathcal{P} = \{2020\text{T}2, \dots, 2021\text{T}2\},
373+\end{equation}
374+ce qui donne $-\pct{2.53}$ pour le portefeuille, et de $-\pct{1.55}$ (Québec) à $-\pct{4.01}$ (Trois-Rivières) selon la région. L'écart entre ces mesures et le choc imposé de $-3$ \% tient à l'estimation de la tendance sur une série qui contient le choc et aux marches aléatoires propres : avec quatre à dix-sept immeubles par région, le bruit idiosyncrasique ne s'efface pas. La variation glissante sur quatre trimestres du revenu agrégé n'est jamais descendue au-dessous de $-\pct{0.12}$ (au premier trimestre de 2021) : le choc a été absorbé par la croissance tendancielle, et un lecteur qui ne regarderait que les variations annuelles ne le verrait pas. Ce point rejoint la discussion du \cref{ch:36} sur la distinction entre un choc transitoire sur le niveau du revenu et un changement de tendance ; pour l'évaluation, un choc transitoire ne modifie la valeur que par la valeur actualisée des revenus perdus pendant sa durée, soit, pour cinq trimestres à $-3$ \%, environ \pct{0.4} de la valeur à un taux de \pct{5}, alors qu'un changement de tendance de même ampleur annuelle modifierait la valeur de plusieurs points par l'intermédiaire du taux (\cref{eq:29:gordon}).
375+
376+\subsection{Corrélations intra- et interrégionales}
377+
378+La corrélation des variations trimestrielles du logarithme des revenus entre immeubles est la grandeur qui commande la diversification. Sur les \num{1128} paires d'immeubles, la corrélation moyenne est de \num{0.168} ; elle est de \num{0.155} entre immeubles d'une même région (\num{221} paires) et de \num{0.171} entre immeubles de régions différentes (\num{907} paires). La composante régionale est donc nulle dans ce jeu : les revenus d'un immeuble de Montréal ne sont pas plus corrélés à ceux d'un autre immeuble montréalais qu'à ceux d'un immeuble de Saguenay. La corrélation positive qui subsiste est entièrement due au choc commun de la pandémie : calculée hors de la période 2020T1 à 2021T3, la corrélation moyenne tombe à $-\num{0.001}$ à l'intérieur des régions et à $-\num{0.002}$ entre elles, c'est-à-dire à zéro. Les agrégats régionaux, qui lissent le bruit propre à chaque immeuble, sont plus corrélés entre eux (de \num{0.35} entre Québec et Trois-Rivières à \num{0.63} entre Montréal et Trois-Rivières), toujours en raison du choc commun.
379+
380+Ce résultat est une propriété de la loi de génération, dans laquelle la tendance régionale est déterministe et les chocs propres sont indépendants ; sur des marchés réels, les revenus des immeubles d'une même région partagent des chocs régionaux (emploi, immigration, offre neuve) que le jeu n'a pas simulés, et la corrélation intrarégionale excéderait la corrélation interrégionale. La leçon méthodologique n'en est pas moins valable : la structure de dépendance des revenus doit être \emph{estimée} sur les séries disponibles plutôt que posée, et le résultat de l'estimation doit être déclaré, avec ses limites, comme paramètre de la simulation. Pour le taux de capitalisation, en revanche, le dossier ne contient aucune série ; la dépendance entre les taux des immeubles, qui réagissent ensemble aux marchés de capitaux et, à l'intérieur d'une région, à la liquidité locale, sera posée par hypothèse à la \cref{sec:48:montecarlo}, en s'appuyant sur ce que la littérature dit du facteur commun des taux \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020}.
381+
382+\section{Risques : inondation, sols, concentration et dette}\label{sec:48:risques}
383+
384+\subsection{Zones inondables et sols contaminés}
385+
386+Trois immeubles du portefeuille sont situés en zone inondable : P36, un soixante-douze logements de 1964 à Québec, P41, un huit logements de 1961 à Montréal, et P43, un six logements de 1971 à Saguenay. Leur valeur totalise \dollars{9546000}, soit \pct{6.7} de la valeur du portefeuille, et \pct{7.6} de son revenu net ; leur dette, \dollars{5404000}, représente un ratio prêt-valeur de \pct{56.6}, inférieur à la moyenne. Deux immeubles montréalais, P20 et P21, portent une mention de contamination du sol ; leur valeur, \dollars{5073000}, est \pct{3.5} du portefeuille. Le \cref{tab:48:risques} présente ces cinq immeubles avec l'effet que le modèle de masse attribue à chaque risque.
387+
388+L'effet d'une indicatrice de risque sur la valeur, à revenu égal, se déduit de l'effet sur le taux : si $R = R' e^{\beta}$ où $R'$ est le taux sans le risque, alors
389+\begin{equation}\label{eq:48:decote}
390+\frac{V}{V'} = \frac{\NOI / R}{\NOI / R'} = e^{-\beta}, \qquad \text{décote} = e^{-\beta} - 1 = \frac{1}{1 + e} - 1,
391+\end{equation}
392+où $e = e^{\beta} - 1$ est la majoration du taux. Pour la zone inondable, $\hat\beta_z = \num{0.0756}$ donne une majoration du taux de \pct{7.9}, de \num{34} points de base pour P41 (taux \pct{4.67}) à \num{52} pour P43 (\pct{7.17}), et une décote de valeur de \pct{7.3}, soit \dollars{566000} pour P36, \dollars{135000} pour P41 et \dollars{47000} pour P43, près de \dollars{750000} au total. Pour la contamination, $\hat\beta_s = \num{0.0536}$ donne une majoration de \pct{5.5} du taux (\num{26} points de base) et une décote de \pct{5.2}, soit \dollars{278000} pour les deux immeubles. Ces montants sont ceux que les évaluations individuelles ont, en moyenne, incorporés dans leurs taux ; ils mesurent le prix que le marché synthétique attache à ces risques, non le coût attendu des sinistres.
393+
394+\begin{table}[htbp]\centering
395+\caption{Immeubles exposés à un risque environnemental : effet du risque sur le taux et sur la valeur selon le modèle de masse (données synthétiques).}\label{tab:48:risques}
396+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=2.0] l S[table-format=1.2] S[table-format=1.2] S[table-format=2.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=-1.1] S[table-format=2.1]@{}}
397+\toprule
398+Imm. & RMR & {Log.} & Risque & {$R$ (\%)} & {$R'$ sans risque (\%)} & {Écart (pb)} & {Indication (\$)} & {Valeur sans risque (\$)} & {Décote (\%)} & {RPV (\%)} \\
399+\midrule
400+P36 & Québec & 72 & zone inondable & 6.14 & 5.69 & 45 & 7229000 & 7797032 & -7.3 & 60.3 \\
401+P41 & Montréal & 8 & zone inondable & 4.67 & 4.33 & 34 & 1714000 & 1848681 & -7.3 & 40.3 \\
402+P43 & Saguenay & 6 & zone inondable & 7.17 & 6.65 & 52 & 603000 & 650382 & -7.3 & 58.4 \\
403+P20 & Montréal & 6 & contamination du sol & 5.03 & 4.77 & 26 & 951000 & 1003339 & -5.2 & 68.2 \\
404+P21 & Montréal & 24 & contamination du sol & 5.05 & 4.79 & 26 & 4122000 & 4348848 & -5.2 & 45.6 \\
405+\midrule
406+\multicolumn{7}{@{}l}{Zone inondable : 3 immeubles, 6,7 \% de la valeur, 7,6 \% du RNE} & 9546000 & 10296095 & -7.3 & 56.6 \\
407+\multicolumn{7}{@{}l}{Contamination : 2 immeubles, 3,5 \% de la valeur} & 5073000 & 5352187 & -5.2 & 49.9 \\
408+\bottomrule
409+\end{tabular}
410+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{risques} ; $R' = R / e^{\hat\beta}$, valeur sans risque $= V e^{\hat\beta}$ (\cref{eq:48:decote}) ; coefficients du \cref{tab:48:coefficients}. Les effets reproduisent, à l'erreur d'échantillonnage près, les majorations de 5 \% et 3 \% de la loi de génération.}}
411+\end{table}
412+
413+Le cadre réglementaire québécois des zones inondables a changé le 1\textsuperscript{er} mars 2026, avec l'entrée en vigueur du nouveau régime fondé sur la Loi sur la qualité de l'environnement, qui remplace les anciennes zones de grand et de faible courant par des classes d'intensité (très élevée, élevée, modérée, faible) croisant la probabilité d'inondation sur vingt-cinq ans et la profondeur d'eau, publiées progressivement dans une cartographie de nouvelle génération \parencite{zonesInond2026,inondcartes,lqe}. Le Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités restreint la reconstruction d'un bâtiment résidentiel dans le littoral et impose des conditions dans les zones de classe très élevée, élevée et modérée \parencite[art.~83 et 85]{rmun2026,inondtravaux}. Pour l'évaluateur de portefeuille, trois conséquences en découlent, que le \cref{ch:43} développe. La classe d'intensité de chacun des trois immeubles doit être lue sur la cartographie en vigueur à la date d'évaluation, et le dossier doit indiquer si la cartographie de nouvelle génération couvre déjà le secteur ou si la classification repose encore sur l'ancienne génération, ce qui n'a pu être fait pour le portefeuille fictif et constitue une limite déclarée. L'effet de la zone sur la valeur n'est pas seulement celui du risque physique : il comprend l'assurabilité, le coût de l'assurance et, surtout, la restriction du droit de reconstruire après un sinistre d'inondation, qui réduit la valeur du droit de propriété lui-même ; la littérature empirique mesure des décotes de l'ordre de \pct{4} à \pct{12} dans des marchés américains, variables selon l'information disponible et la récence des sinistres \parencite{binPolasky2004,harrisonSmershSchwartz2001,binKruseLandry2008,bernsteinGustafsonLewis2019,hinoBurke2021}, et la décote synthétique de \pct{7.3} se situe dans cet intervalle sans prétendre mesurer le marché québécois. Enfin, P36 pèse à lui seul \pct{5.0} de la valeur du portefeuille ; son échéance de dette en 2027 et sa taille en font le premier immeuble à examiner dans l'allocation de la \cref{sec:48:allocation}.
414+
415+Pour les sols, la Loi sur la qualité de l'environnement impose l'inscription d'un avis de contamination au registre foncier lorsque les valeurs limites réglementaires sont dépassées, et subordonne tout changement d'utilisation à un plan de réhabilitation approuvé \parencite[art.~31.53, 31.54 et 31.58]{lqe,rprt} ; le Répertoire des terrains contaminés du ministère recense les terrains connus, sans prétendre à l'exhaustivité \parencite{repertoiretc}. Pour deux immeubles résidentiels existants dont l'usage ne change pas, le risque est celui d'une obligation future de caractérisation et de réhabilitation, et celui d'une décote de stigmate à la revente ; la méta-analyse de \textcite{simonsSaginor2006} et la recension de \textcite{jackson2001} donnent des ordres de grandeur très dispersés selon la nature et le stade de la contamination. Le rapport de portefeuille indique que les études de caractérisation n'ont pas été consultées et que l'effet retenu est celui du modèle.
416+
417+\subsection{Concentration géographique}
418+
419+La \cref{sec:48:portefeuille} a mesuré la concentration par l'indice de Herfindahl : l'équivalent de \num{3.6} régions de poids égal et de \num{27.5} immeubles de valeur égale. La concentration montréalaise est à la fois la force et la faiblesse du portefeuille. Elle le place sur le marché le plus liquide et le mieux documenté du Québec, celui où les taux sont les plus bas et où la demande institutionnelle est la plus profonde ; elle l'expose aussi, à hauteur de \pct{45.5} de sa valeur, aux décisions propres à cette région : fiscalité municipale, encadrement locatif et offre neuve, et aux projections démographiques les moins favorables des six régions à l'horizon 2051 \parencite{isqprojections2026}. Elle a enfin une conséquence que la simulation mettra en chiffres : la diversification réduit le risque du portefeuille en proportion de $n_{\text{éq}}$, non de $n$, et le gain marginal de la détention de quatre immeubles au Saguenay, qui représentent \pct{2.3} de la valeur, est négligeable pour le risque global tout en imposant des coûts de gestion à distance. La littérature sur les portefeuilles immobiliers a montré de longue date que la diversification par région et par type d'immeuble est efficace mais que ses bénéfices sont bornés par la composante commune nationale des rendements \parencite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014,baumCrosbyDevaney2021} ; c'est précisément cette composante que les corrélations déclarées du taux représenteront.
420+
421+\subsection{La dette : service, couverture et levier}
422+
423+La dette du portefeuille s'élève à \dollars{85766000}, soit un ratio prêt-valeur de \pct{59.8}, à un taux moyen pondéré de \pct{4.52}, et vient à échéance entre 2027 et 2031. Le dossier ne précise ni l'amortissement ni le solde d'origine des prêts ; l'évaluateur pose, et déclare, une \emph{hypothèse d'amortissement de 480~mois} pour tous les prêts, correspondant aux prêts assurés par la SCHL pour les immeubles collectifs, qui admettent un amortissement de quarante ans sous le programme APH Select \parencite{schlaphselect}, et il en teste la sensibilité avec un amortissement de 300~mois ; le montant inscrit au dossier est traité comme le solde au 30~juin 2026. C'est la même hypothèse que le \cref{ch:33} a retenue pour l'immeuble P45, dont les chiffres coïncident donc entre les deux chapitres. Le service annuel de la dette de chaque prêt est celui d'une annuité mensuelle à taux composé semestriellement sur l'amortissement résiduel, selon les formules du \cref{ch:31},
424+\begin{equation}\label{eq:48:service}
425+SD_i = 12\, M_i\, \frac{i_{m,i}}{1 - (1 + i_{m,i})^{-480}}, \qquad i_{m,i} = \left(1 + \frac{i_i}{2}\right)^{1/6} - 1,
426+\end{equation}
427+et le ratio de couverture agrégé du portefeuille est le rapport des sommes,
428+\begin{equation}\label{eq:48:rcd-agrege}
429+\overline{\DSCR} = \frac{\sum_i \NOI_i}{\sum_i SD_i} = \frac{\dollars{7447030}}{\dollars{4617283}} = \num{1.61},
430+\end{equation}
431+confortable au regard du seuil conventionnel de \num{1.20}. Mais le ratio agrégé masque la dispersion individuelle : la médiane des quarante-huit ratios est de \num{1.80}, cinq immeubles sont au-dessous de \num{1.20} et un, P16, un huit logements montréalais endetté à \pct{80} de sa valeur à un taux de \pct{6.07}, est au-dessous de \num{1.00} (\num{0.94}). Les quatre autres sont P04 (\num{1.06}), P09 (\num{1.07}), P28 (\num{1.07}) et P45 (\num{1.15}) : tous des immeubles dont le ratio prêt-valeur excède \pct{69} et dont le taux de capitalisation est bas ou dont le taux d'emprunt est élevé. La dette de ces cinq immeubles, \dollars{17218000}, représente \pct{20} de la dette du portefeuille. Le prêteur d'une facilité d'ensemble se fonde sur le ratio agrégé parce que les sûretés sont croisées ; les prêteurs hypothécaires de premier rang de chaque immeuble se fondent sur le ratio individuel, et ce sont eux que l'échéancier concerne.
432+
433+Le levier est négatif sur le revenu courant pour vingt immeubles représentant \pct{57} de la valeur : leur constante hypothécaire, de \pct{4.4} à \pct{6.6} selon le taux, excède leur taux de capitalisation. La constante hypothécaire pondérée du portefeuille, \pct{5.38}, est supérieure au taux de capitalisation pondéré de \pct{5.19} ; le \cref{ch:31} et le \cref{ch:47} ont montré que cette configuration, générale au Québec en 2026 pour le multirésidentiel de qualité, fait reposer le rendement des fonds propres sur la croissance du revenu et la plus-value plutôt que sur le revenu courant. Avec un amortissement de 300~mois, la constante pondérée monterait à \pct{6.66}, le ratio de couverture agrégé tomberait à \num{1.30}, treize immeubles seraient sous \num{1.20} et cinq sous \num{1.00} : l'hypothèse d'amortissement est donc l'une des plus lourdes du dossier, et le rapport doit l'écrire comme telle.
434+
435+\subsection{Échéancier et renouvellement à des taux majorés}
436+
437+Le \cref{tab:48:echeancier} et la \cref{fig:48:dette} présentent l'échéancier. Les échéances de 2027 et de 2028 concentrent \pct{61.3} de la dette : \dollars{21748000} en 2027 (huit prêts, dont les deux plus grands immeubles montréalais, P26 et P42, et P36) et \dollars{30867000} en 2028 (quinze prêts, dont P09 et P45). Le risque de refinancement du portefeuille est donc concentré sur dix-huit mois, à un moment où la Banque du Canada vient de relever son taux directeur pour la première fois depuis 2023 \parencite{bdc20261028}. Pour le mesurer, chaque prêt est renouvelé à son échéance sur son amortissement résiduel, au taux initial majoré de 0, 100 ou 200~points de base, le solde à l'échéance étant calculé par la formule prospective du \cref{ch:31} :
438+\begin{equation}\label{eq:48:renouvellement}
439+M_{i}^{(m)} = M_i\,\frac{(1 + i_{m,i})^{480} - (1 + i_{m,i})^{m}}{(1 + i_{m,i})^{480} - 1}, \qquad SD'_i = 12\, M_{i}^{(m)}\, \frac{i'_{m,i}}{1 - (1 + i'_{m,i})^{-(480 - m)}},
440+\end{equation}
441+où $m$ est le nombre de mois entre la date d'évaluation et l'échéance et $i'$ le taux renouvelé. Le ratio de couverture au renouvellement est calculé avec le revenu net de 2026 maintenu constant, hypothèse prudente, puis, en variante, avec le revenu projeté au taux de croissance tendanciel de chaque immeuble. Le prêteur, enfin, ne renouvelle pas nécessairement le solde : il prête au plus le montant que permettent ses deux covenants au nouveau taux,
442+\begin{equation}\label{eq:48:capacite}
443+M^{\max}_i = \min\!\left( 0{,}75\, V_i,\ \frac{\NOI_i}{1{,}20\, f'_i} \right), \qquad \text{injection}_i = \max\!\left( M_i^{(m)} - M^{\max}_i,\ 0 \right),
444+\end{equation}
445+où $f'_i$ est la constante hypothécaire au taux renouvelé ; la différence, si elle est positive, est le capital que le fonds devra injecter pour refinancer l'immeuble.
446+
447+\begin{table}[htbp]\centering
448+\caption{Échéancier de la dette et couverture au renouvellement selon la hausse du taux, revenu net 2026 constant (données synthétiques, amortissement 480~mois).}\label{tab:48:echeancier}
449+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}\begin{tabular}{@{}c S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.1] S[table-format=8.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0]@{}}
450+\toprule
451+Échéance & {Prêts} & {Dette (\$)} & {Part (\%)} & {Solde à l'échéance (\$)} & {RCD +0} & {RCD +100} & {RCD +200} & {Inj. +0 (\$)} & {Inj. +100 (\$)} & {Inj. +200 (\$)} \\
452+\midrule
453+2027 & 8 & 21748000 & 25.4 & 21543452 & 1.564 & 1.368 & 1.209 & 0 & 507102 & 1516926 \\
454+2028 & 15 & 30867000 & 36.0 & 30320350 & 1.467 & 1.291 & 1.147 & 1264095 & 2987252 & 4768077 \\
455+2029 & 9 & 10146000 & 11.8 & 9823108 & 2.068 & 1.811 & 1.602 & 0 & 0 & 0 \\
456+2030 & 6 & 4730000 & 5.5 & 4531237 & 1.675 & 1.474 & 1.309 & 22441 & 22441 & 135991 \\
457+2031 & 10 & 18275000 & 21.3 & 17334767 & 1.674 & 1.478 & 1.316 & 345239 & 662086 & 992161 \\
458+\midrule
459+Total & 48 & 85766000 & 100.0 & 83552914 & 1.613 & 1.418 & 1.258 & 1631775 & 4178882 & 7413155 \\
460+\bottomrule
461+\end{tabular}
462+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dette} (\cref{eq:48:service} à \cref{eq:48:capacite}) ; RCD de l'échéance = somme des RNE 2026 des prêts échéant cette année / somme de leurs services de la dette renouvelés ; injection = capital à rembourser pour satisfaire RPV $\le$ 75 \% et RCD $\ge$ 1,20 au nouveau taux. Ligne « Total » : RCD agrégé du portefeuille après renouvellement de tous les prêts.}}
463+\end{table}
464+
465+\begin{figure}[htbp]\centering
466+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-dette.pdf}
467+\caption{Échéancier de la dette par région (gauche) et ratio de couverture agrégé des prêts de chaque échéance après renouvellement au taux initial, majoré de 100 et de 200~points de base, le revenu net de 2026 étant maintenu constant (droite). Les échéances de 2027 et 2028 concentrent \pct{61} de la dette et portent les ratios les plus faibles.}
468+\label{fig:48:dette}
469+\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}
470+\end{figure}
471+
472+La lecture du tableau est la suivante. Au taux inchangé, le renouvellement de tous les prêts laisse le ratio de couverture agrégé à \num{1.61} ; les cinq immeubles déjà sous \num{1.20} ne peuvent pas être refinancés intégralement et exigent une injection totale de \dollars{1631775}, concentrée en 2028 (P09, P45, P16, P28). Une hausse de 100~points de base ramène le ratio agrégé à \num{1.42}, porte à sept le nombre d'immeubles sous \num{1.20} et à quatre celui des immeubles sous \num{1.00}, et l'injection à \dollars{4178882}. Une hausse de 200~points de base, qui est l'ordre de grandeur du test de résistance que le BSIF impose aux prêts résidentiels non assurés \parencite{osfiMqr}, ramène le ratio agrégé à \num{1.26}, place seize immeubles sous \num{1.20} et sept sous \num{1.00}, et exige \dollars{7413155} d'injection, soit \pct{8.6} de la dette et \pct{12.9} des fonds propres du portefeuille (\dollars{57597000}) ; le ratio de l'échéance de 2028 tombe à \num{1.15}. Si le revenu net croît à son rythme tendanciel jusqu'à l'échéance, les résultats s'adoucissent sans changer de nature : à +200~points de base, le ratio agrégé est de \num{1.37}, dix immeubles sont sous \num{1.20}, trois sous \num{1.00}, et l'injection est de \dollars{5395891}. Le \cref{tab:48:rcd-stress} rassemble ces scénarios avec la variante d'amortissement.
473+
474+\begin{table}[htbp]\centering
475+\caption{Couverture de la dette du portefeuille selon l'hypothèse d'amortissement, la hausse du taux au renouvellement et la trajectoire du revenu net (données synthétiques).}\label{tab:48:rcd-stress}
476+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{5.2cm} S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=2.0] S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=2.0]@{}}
477+\toprule
478+Scénario & {Constante pondérée (\%)} & {RCD agrégé} & {Imm. $<$ 1,20} & {Imm. $<$ 1,00} & {Injection (\$)} & {Imm. à refinancer} \\
479+\midrule
480+480 mois, taux actuels (situation 2026) & 5.38 & 1.613 & 5 & 1 & {—} & {—} \\
481+480 mois, renouvellement +0 pb, RNE constant & 5.38 & 1.613 & 5 & 1 & 1631775 & 6 \\
482+480 mois, renouvellement +100 pb, RNE constant & {—} & 1.418 & 7 & 4 & 4178882 & 8 \\
483+480 mois, renouvellement +200 pb, RNE constant & {—} & 1.258 & 16 & 7 & 7413155 & 16 \\
484+480 mois, renouvellement +200 pb, RNE croissant & {—} & 1.366 & 10 & 3 & 5395891 & 10 \\
485+300 mois, taux actuels & 6.66 & 1.304 & 13 & 5 & {—} & {—} \\
486+300 mois, renouvellement +200 pb, RNE constant & {—} & 1.094 & 22 & 13 & 11760592 & 22 \\
487+\bottomrule
488+\end{tabular}
489+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{dette} avec \texttt{amort} $\in \{480, 300\}$ et croissance optionnelle ; « RNE croissant » : revenu net projeté à l'échéance au taux $\hat g_i$ du \cref{tab:48:croissance}. L'injection compte les immeubles dont le solde excède la capacité de refinancement (\cref{eq:48:capacite}).}}
490+\end{table}
491+
492+L'immeuble P45, que le \cref{ch:33} a évalué sommairement, illustre le mécanisme. Sa dette de \dollars{5416000} à \pct{5.17}, échéant en 2028, représente \pct{75.4} de l'indication individuelle (\dollars{7186000}) et \pct{80.6} de la valeur par régression retenue au \cref{ch:33} (\dollars{6716534}) ; son service annuel sur 480~mois est de \dollars{318363} et son ratio de couverture de \num{1.15} (\num{0.95} sur 300~mois). À l'échéance de 2028, le solde de \dollars{5329169} renouvelé à \pct{7.17} sur 456~mois exigerait \dollars{404324} par an, soit un ratio de \num{0.91} ; la capacité de refinancement à un ratio de \num{1.20} n'est que de \dollars{4028826}, et le fonds devrait injecter \dollars{1300342}, le quart de sa mise de fonds actuelle dans l'immeuble, pour le conserver. C'est le risque de refinancement, non le risque d'exploitation, qui fait de P45 un candidat à l'arbitrage malgré sa croissance de revenu élevée (\pct{5.9} par an), comme la \cref{sec:48:allocation} le montrera.
493+
494+\section{Incertitude agrégée : simulation avec corrélation régionale}\label{sec:48:montecarlo}
495+
496+\subsection{Pourquoi la somme des incertitudes n'est pas l'incertitude de la somme}
497+
498+Le \cref{ch:47} a mesuré l'incertitude de la valeur d'un immeuble par une simulation de Monte-Carlo sur les intrants de son flux actualisé : un intervalle à \pct{90} de $-\pct{21}$ à $+\pct{30}$ autour de la médiane. Si l'on appliquait un tel intervalle à chacun des quarante-huit immeubles et qu'on en additionnait les bornes, on obtiendrait pour le portefeuille une fourchette absurde, parce que les erreurs d'évaluation et les chocs de marché ne frappent pas tous les immeubles dans le même sens en même temps. La question de l'agrégation est celle de la \emph{dépendance} entre les incertitudes individuelles, et sa réponse exige de spécifier une structure de corrélation, de la justifier et de simuler conjointement. Le \cref{ch:40} a présenté les outils ; nous les appliquons ici dans leur forme la plus simple qui soit défendable : une copule gaussienne à deux facteurs, un facteur national et un facteur régional, échantillonnée par la décomposition de Cholesky de la matrice de corrélation.
499+
500+Pour chaque immeuble, la valeur simulée est la capitalisation d'un revenu net perturbé à un taux perturbé,
501+\begin{equation}\label{eq:48:lnv}
502+\ln V_i^{(s)} = \ln \NOI_i + \varepsilon_i^{(s)} - \ln R_i - \eta_i^{(s)}, \qquad \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_{\varepsilon,i}^2), \quad \eta_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\eta^2),
503+\end{equation}
504+où $\varepsilon_i$ est le choc sur le revenu net et $\eta_i$ le choc sur le taux, tous deux à horizon d'un an. Les écarts-types sont tirés du dossier : $\sigma_{\varepsilon,i}$ est la volatilité annualisée du revenu de l'immeuble estimée à la \cref{sec:48:dynamique} (médiane \pct{3.2}, de \pct{2.4} à \pct{3.8}), et $\sigma_\eta$ est l'écart-type résiduel du modèle de masse, \num{0.0537}, c'est-à-dire la dispersion des taux retenus autour de ce que les caractéristiques prédisent, interprétée comme l'incertitude sur le taux d'un immeuble donné ; cette seconde identification est une hypothèse, puisque la dispersion en coupe transversale n'est pas la variabilité dans le temps, mais c'est la seule mesure que le dossier offre et elle est de l'ordre de grandeur des écarts-types de taux retenus au \cref{ch:47} (50~points de base sur \pct{7.25}, soit \num{0.07}). La dépendance entre immeubles est introduite par une structure à deux facteurs sur les chocs standardisés,
505+\begin{equation}\label{eq:48:facteurs}
506+Z_i = \sqrt{\rho_g}\, F_0 + \sqrt{\rho_r - \rho_g}\, F_{r(i)} + \sqrt{1 - \rho_r}\, e_i, \qquad \operatorname{Corr}(Z_i, Z_j) = \begin{cases} \rho_r & \text{si } r(i) = r(j), \\ \rho_g & \text{sinon,} \end{cases}
507+\end{equation}
508+où $F_0$ est un facteur national, $F_{r}$ un facteur propre à la région $r$ et $e_i$ un bruit propre, tous gaussiens, centrés, réduits et indépendants ; $\rho_g$ est la corrélation entre deux immeubles de régions différentes et $\rho_r \geq \rho_g$ celle entre deux immeubles de la même région. En pratique, on construit la matrice de corrélation $\boldsymbol\Sigma$ ($48 \times 48$, éléments $\rho_r$ ou $\rho_g$ hors diagonale), on calcule sa décomposition de Cholesky $\boldsymbol\Sigma = \mathbf{L}\mathbf{L}\T$ et l'on obtient les chocs corrélés par
509+\begin{equation}\label{eq:48:cholesky}
510+\mathbf{Z}^{(s)} = \mathbf{L}\,\mathbf{U}^{(s)}, \qquad \mathbf{U}^{(s)} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I}_{48}),
511+\end{equation}
512+ce qui donne exactement la corrélation voulue puisque $\operatorname{Cov}(\mathbf{L}\mathbf{U}) = \mathbf{L}\mathbf{L}\T = \boldsymbol\Sigma$. Deux matrices distinctes sont utilisées, l'une pour les chocs de revenu, l'autre pour les chocs de taux. Le \cref{tab:48:lois} déclare tous les paramètres.
513+
514+\begin{table}[htbp]\centering
515+\caption{Paramètres déclarés de la simulation (10~000 tirages, graine 20261031).}\label{tab:48:lois}
516+\footnotesize\begin{tabular}{@{}L{3.6cm}L{3.6cm}L{5.4cm}@{}}
517+\toprule
518+Paramètre & Valeur & Origine \\
519+\midrule
520+$\sigma_{\varepsilon,i}$ (choc de RNE, par immeuble) & 2,40 à 3,85 \% (médiane 3,23 \%) & volatilité annualisée estimée sur 2016--2026 (\cref{eq:48:volatilite}) \\
521+$\sigma_\eta$ (choc de taux, commun) & 0,0537 (soit $\approx$ 28 pb à 5,20 \%) & écart-type résiduel du modèle de masse (\cref{tab:48:coefficients}) \\
522+$\rho_g$, $\rho_r$ du choc de RNE & 0,171 ; 0,171 & corrélations moyennes estimées entre et dans les régions (\cref{sec:48:dynamique}) ; composante régionale nulle dans le jeu \\
523+$\rho_g$, $\rho_r$ du choc de taux & 0,50 ; 0,70 & hypothèse déclarée : facteur national des marchés de capitaux dominant, facteur régional de liquidité \parencite{chervachidzeWheaton2013,ducaLing2020} \\
524+Marginales & log-normales (gaussiennes en log) & \cref{eq:48:lnv} \\
525+Dépendance & copule gaussienne à deux facteurs, Cholesky & \cref{eq:48:facteurs}, \cref{eq:48:cholesky} \\
526+Régimes comparés & indépendant ($\rho = 0$) ; déclaré ; parfait ($\rho = 1$) & bornes de la diversification \\
527+Horizon & un an & cohérent avec les volatilités annualisées \\
528+\bottomrule
529+\end{tabular}
530+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} ; tirages par \texttt{numpy.random.default\_rng(20261031)}.}}
531+\end{table}
532+
533+\subsection{Diversification : démonstration}
534+
535+Avant de simuler, on peut démontrer ce que la simulation va montrer. La mesure de risque retenue est la valeur à risque (VaR) à \pct{95} de la valeur, c'est-à-dire la perte par rapport à la valeur centrale qui n'est dépassée que dans \pct{5} des scénarios,
536+\begin{equation}\label{eq:48:var}
537+\operatorname{VaR}_{0{,}95}(V) = V_0 - q_{0{,}05}(V),
538+\end{equation}
539+où $V_0$ est la valeur de référence et $q_{0{,}05}$ le quantile à \pct{5} de la valeur simulée. La VaR n'est pas, en général, une mesure de risque cohérente au sens de \textcite{artznerDelbaenEberHeath1999} : elle peut violer la sous-additivité pour des distributions très asymétriques ou à queues épaisses. Dans le cadre gaussien de la \cref{eq:48:lnv}, en revanche, la sous-additivité est garantie, et elle se démontre en deux lignes.
540+
541+\begin{proposition}\label{prop:48:diversification}
542+Soit $X_i$, $i = 1, \dots, n$, des variables aléatoires gaussiennes d'écarts-types $\sigma_i$ et de corrélations $\rho_{ij}$, et $X_P = \sum_i w_i X_i$ avec $w_i \geq 0$. Alors $\sigma_P \leq \sum_i w_i \sigma_i$, avec égalité si et seulement si $\rho_{ij} = 1$ pour toute paire de poids non nuls ; et, pour tout niveau $\alpha \geq \tfrac12$, $\operatorname{VaR}_\alpha(X_P) \leq \sum_i w_i \operatorname{VaR}_\alpha(X_i)$.
543+\end{proposition}
544+\begin{proof}
545+La variance du portefeuille s'écrit $\sigma_P^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j \leq \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j = \left(\sum_i w_i \sigma_i\right)^2$, puisque $\rho_{ij} \leq 1$ et que tous les termes $w_i w_j \sigma_i \sigma_j$ sont non négatifs ; l'égalité exige $\rho_{ij} = 1$ pour chaque terme non nul. Pour une variable gaussienne centrée, $\operatorname{VaR}_\alpha(X) = z_\alpha\, \sigma$ avec $z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha) \geq 0$ pour $\alpha \geq \tfrac12$ ; la VaR est donc proportionnelle à l'écart-type, et l'inégalité sur $\sigma_P$ se transmet : $\operatorname{VaR}_\alpha(X_P) = z_\alpha \sigma_P \leq z_\alpha \sum_i w_i \sigma_i = \sum_i w_i \operatorname{VaR}_\alpha(X_i)$. Les espérances, additives, ne changent pas l'inégalité.
546+\end{proof}
547+
548+Appliquée aux logarithmes des valeurs, la proposition dit que l'écart-type du logarithme de la valeur du portefeuille, pondéré par les parts de valeur, est au plus la moyenne pondérée des écarts-types individuels, l'égalité n'étant atteinte que si tous les immeubles subissent exactement les mêmes chocs. Avec les paramètres déclarés, le calcul analytique donne un écart-type individuel médian du logarithme de la valeur de $\sqrt{\sigma_\varepsilon^2 + \sigma_\eta^2} \approx \sqrt{0{,}0323^2 + 0{,}0537^2} = \num{0.0627}$, un écart-type du portefeuille de \num{0.0389} sous la corrélation déclarée (moyenne des deux matrices), de \num{0.0627} sous corrélation parfaite et de \num{0.0120} sous indépendance. Le \emph{ratio de diversification}, rapport de la VaR du portefeuille à la somme des VaR individuelles, est donc attendu autour de \num{0.6} à \num{0.7} ; la valeur n'étant pas exactement log-normale agrégée, la simulation précise ces ordres de grandeur.
549+
550+\subsection{Résultats}
551+
552+Le \cref{tab:48:mc} et la \cref{fig:48:montecarlo} présentent les résultats des trois régimes de dépendance. Sous la corrélation déclarée, la valeur simulée du portefeuille a une médiane de \dollars{143349709}, égale à la somme des indications à \dollars{13000} près, une moyenne légèrement supérieure (\dollars{143527636}, effet de la convexité de la valeur dans le taux, signalé par \textcite{hoesliJaniBender2006}), un écart-type de \dollars{6267078}, soit un coefficient de variation de \pct{4.4}, et un intervalle à \pct{90} de \dollars{133506790} à \dollars{154224548}, c'est-à-dire de $-\pct{6.9}$ à $+\pct{7.6}$ autour de la somme des indications. La VaR à \pct{95} est de \dollars{9856210} ; la somme des VaR individuelles est de \dollars{14283432} ; le ratio de diversification est de \num{0.69}. L'espérance de perte au-delà de la VaR (\emph{expected shortfall}), moyenne des \pct{5} de scénarios les plus défavorables, est de \dollars{12358203}. La probabilité que le ratio prêt-valeur du portefeuille dépasse \pct{65} à horizon d'un an est de \pct{3.0} ; celle qu'il dépasse \pct{70}, de \pct{0.03} ; celle qu'il dépasse \pct{75}, nulle sur dix mille tirages. La probabilité d'une baisse de valeur supérieure à \pct{10} est de \pct{0.8}.
553+
554+\begin{table}[htbp]\centering
555+\caption{Distribution de la valeur du portefeuille selon le régime de dépendance : statistiques, valeur à risque et diversification (données synthétiques, 10~000 tirages).}\label{tab:48:mc}
556+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}L{5.6cm} S[table-format=9.0] S[table-format=9.0] S[table-format=9.0]@{}}
557+\toprule
558+Statistique & {Indépendant ($\rho = 0$)} & {Corrélation déclarée} & {Parfait ($\rho = 1$)} \\
559+\midrule
560+Médiane (\$) & 143592079 & 143349709 & 143225407 \\
561+Moyenne (\$) & 143604323 & 143527636 & 143484253 \\
562+Écart-type (\$) & 1719772 & 6267078 & 9027356 \\
563+Coefficient de variation (\%) & 1.20 & 4.37 & 6.29 \\
564+Quantile 5 \% (\$) & 140845367 & 133506790 & 129066296 \\
565+Quantile 95 \% (\$) & 146474328 & 154224548 & 158632208 \\
566+Quantile 1 \% (\$) & 139671134 & 129348615 & 123771259 \\
567+VaR à 95 \% du portefeuille (\$) & 2517633 & 9856210 & 14296704 \\
568+Somme des VaR à 95 \% individuelles (\$) & 14084879 & 14283432 & 14305899 \\
569+Ratio de diversification & 0.179 & 0.690 & 0.999 \\
570+Espérance de perte au-delà de la VaR (\$) & 3246112 & 12358203 & 17617411 \\
571+P(RPV $>$ 65 \%) (\%) & 0.00 & 2.96 & 9.78 \\
572+P(RPV $>$ 70 \%) (\%) & 0.00 & 0.03 & 0.68 \\
573+P(baisse $>$ 10 \%) (\%) & 0.00 & 0.83 & 4.92 \\
574+P(V $<$ 130 M\$) (\%) & 0.00 & 1.27 & 6.42 \\
575+\bottomrule
576+\end{tabular}
577+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} ; VaR selon l'\cref{eq:48:var} avec $V_0 = \dollars{143363000}$ ; mêmes tirages gaussiens de base dans les trois régimes.}}
578+\end{table}
579+
580+\begin{figure}[htbp]\centering
581+\includegraphics[width=\linewidth]{ch48/ch48-fig-montecarlo.pdf}
582+\caption{Distribution de la valeur simulée du portefeuille sous trois régimes de dépendance entre immeubles : indépendance, corrélation déclarée (régime retenu, en aplat) et corrélation parfaite. Les traits tiretés marquent les quantiles 5~\% et 95~\% du régime retenu ; le trait plein, la somme des indications individuelles. La dispersion du portefeuille dépend presque entièrement de la dépendance supposée, non de la dispersion des immeubles.}
583+\label{fig:48:montecarlo}
584+\figsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille\_figures.py}, graine 20261031.}}
585+\end{figure}
586+
587+La comparaison des trois régimes est la démonstration promise. Sous indépendance, le coefficient de variation du portefeuille n'est que de \pct{1.2} et le ratio de diversification de \num{0.18} : quarante-huit immeubles indépendants, même concentrés, diversifient presque tout le risque individuel ; c'est la borne inférieure, irréaliste parce que les taux de capitalisation de tous les immeubles réagissent aux mêmes taux d'intérêt. Sous corrélation parfaite, le coefficient de variation est de \pct{6.3}, égal à celui d'un immeuble moyen, et le ratio de diversification de \num{0.999} : la VaR est additive, conformément au cas d'égalité de la \cref{prop:48:diversification} ; c'est la borne supérieure, tout aussi irréaliste. Le régime déclaré se situe entre les deux, plus près du haut que du bas, parce que la corrélation du choc de taux (\num{0.50} entre régions, \num{0.70} dans une région) est forte et que le choc de taux pèse davantage que le choc de revenu dans la variance individuelle ($0{,}0537^2$ contre $0{,}0323^2$, soit \pct{73} de la variance). La leçon est que l'incertitude agrégée d'un portefeuille immobilier est d'abord une incertitude sur le niveau général des taux, que la diversification géographique ne réduit guère ; elle ne réduit efficacement que la part propre à chaque immeuble, c'est-à-dire les erreurs d'évaluation individuelles et les aléas d'exploitation. Le prêteur qui accorde une facilité d'ensemble bénéficie de cette diversification sur la seconde composante, et c'est ce qui justifie un covenant de ratio prêt-valeur agrégé plus souple que les covenants individuels ; il reste exposé à la première, que seul le niveau du ratio protège.
588+
589+Le \cref{tab:48:mc-rmr} décompose la diversification par région. Dans chaque région, la VaR régionale est inférieure à la somme des VaR de ses immeubles, dans une proportion qui dépend du nombre d'immeubles et de leur poids : \num{0.77} à Montréal (dix-sept immeubles, mais trois d'entre eux pèsent la moitié de la valeur régionale), \num{0.81} à Québec et Gatineau, \num{0.82} à Saguenay (quatre immeubles). La diversification entre régions ajoute ensuite un gain, de la somme des VaR régionales (\dollars{11380268}) à la VaR du portefeuille (\dollars{9856210}), soit un facteur \num{0.87} : les deux niveaux de diversification se composent, et la part régionale, limitée par la corrélation de \num{0.50} du facteur national, est la plus petite des deux.
590+
591+\begin{table}[htbp]\centering
592+\caption{Diversification à deux niveaux : valeur à risque par région et pour le portefeuille sous la corrélation déclarée (données synthétiques).}\label{tab:48:mc-rmr}
593+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=8.0] S[table-format=1.2] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=1.3]@{}}
594+\toprule
595+RMR & {Imm.} & {$V_0$ (\$)} & {Quantile 5 \% (\$)} & {Quantile 95 \% (\$)} & {CV (\%)} & {VaR région (\$)} & {Somme VaR imm. (\$)} & {Ratio} \\
596+\midrule
597+Montréal & 17 & 65171000 & 60115525 & 70754198 & 4.97 & 5055475 & 6526478 & 0.775 \\
598+Québec & 6 & 25091000 & 23065469 & 27287230 & 5.12 & 2025531 & 2494878 & 0.812 \\
599+Gatineau & 8 & 20259000 & 18643966 & 22034426 & 5.04 & 1615034 & 1993155 & 0.810 \\
600+Sherbrooke & 7 & 18132000 & 16654621 & 19736492 & 5.15 & 1477379 & 1830520 & 0.807 \\
601+Trois-Rivières & 6 & 11447000 & 10509635 & 12469339 & 5.21 & 937365 & 1108671 & 0.845 \\
602+Saguenay & 4 & 3263000 & 2993516 & 3555395 & 5.25 & 269484 & 329730 & 0.817 \\
603+\midrule
604+Somme des régions & 48 & 143363000 & {—} & {—} & {—} & 11380268 & 14283432 & 0.797 \\
605+Portefeuille & 48 & 143363000 & 133506790 & 154224548 & 4.37 & 9856210 & 14283432 & 0.690 \\
606+\bottomrule
607+\end{tabular}
608+\tabsource{\synth{script \texttt{ch48\_portefeuille.py}, fonction \texttt{simuler\_portefeuille} (clé \texttt{par\_rmr}) ; ratio = VaR de l'ensemble / somme des VaR de ses composantes.}}
609+\end{table}
added references/lib-ch36.bib +8 −0
@@ -0,0 +1,8 @@
1+% Chapitre 36 — Données de panel et identification causale : aucune nouvelle référence.
2+% Toutes les clés citées dans manuscript/chapters/ch36.tex et solutions/ch36.tex existent déjà dans references/library.bib :
3+% wooldridge2010, angristPischke2009, imbensRubin2015, cunningham2021, callawaySantanna2021, goodmanbacon2021, sunAbraham2021,
4+% dechaisemartinDhaultfoeuille2020, roth2023, abadieDiamondHainmueller2010, lindenRockoff2008, currie2015,
5+% dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014, dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017, dube2024, elhorst2014, dqroles, zonesInond2026.
6+% Références évoquées sans être citées (absentes de library.bib, non ajoutées faute de vérification) : Bertrand, Duflo & Mullainathan
7+% (2004, QJE, autocorrélation et DiD) — le point est attribué à Angrist & Pischke (2009, chap. 8) et Wooldridge (2010) ;
8+% Hausman (1978) — renvoi à Wooldridge (2010) ; Moulton (1986/1990) — formule donnée sans attribution nominative.
added references/lib-ch38.bib +21 −0
@@ -0,0 +1,21 @@
1+% Chapitre 38 — SIG et risques géospatiaux.
2+% Toutes les clés citées dans manuscript/chapters/ch38.tex existent déjà dans references/library.bib
3+% (zandbergen2008, ratcliffe2001, anselin1988, lesagePace2009, dubeLegros2014, dubin1988, dubin1998, banerjeeCarlinGelfand2014,
4+% fotheringhamBrunsdonCharlton2002, desrosiersTheriaultVilleneuve2000, desrosiersLaganaTheriault2001,
5+% theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003, kestensTheriaultDesrosiers2006, theriaultDesrosiers2011, dubeTheriaultDesrosiers2013,
6+% kuminoffParmeterPope2010, bishop2020, binPolasky2004, binKruseLandry2008, bernsteinGustafsonLewis2019,
7+% dqroles, dqrepertoire, mrnfAdressesQuebec2026, mrnfRQA2026, gatinondables, vqzonage, vqpermis, mtlunites, inondcartes,
8+% inondtravaux, zonesInond2026, lqe, lau, cptaq, repertoiretc, oeaqNormes, iaaomass2025).
9+%
10+% Une seule nouvelle entrée, VÉRIFIÉE le 2026-10-31 par l'API CKAN de Données Québec (package_show?id=vque_77) ;
11+% elle n'est PAS citée dans le chapitre (la compilation isolée ne lit que library.bib) : le tableau 38.2 la décrit en
12+% renvoyant au registre du chapitre (SRC-38-002). À fusionner dans library.bib lors de l'harmonisation.
13+
14+@online{vqinondables,
15+ author = {{Ville de Québec}},
16+ title = {Zones inondables réglementées},
17+ year = {2023},
18+ note = {Données Québec, licence Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY 4.0) ; CSV, GeoJSON, KML, SHP (ressources du 20 avril 2022) ; métadonnées modifiées le 26 juin 2023 ; zones inondables réglementées et cartographiées annexées au Schéma d'aménagement et de développement révisé ; antérieur au cadre réglementaire du 1\textsuperscript{er} mars 2026},
19+ url = {https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vque_77},
20+ urldate = {2026-10-31}
21+}
added references/lib-ch42.bib +12 −0
@@ -0,0 +1,12 @@
1+% Références du chapitre 42 — Copropriétés et conversions.
2+% Aucune nouvelle entrée : toutes les citations du chapitre utilisent des clés déjà présentes dans references/library.bib
3+% (ccq, loiTAL, reglCoproprieteDivise, reglAssuranceCopropriete, almaca2014, loi65_2024, quebecMesuresCoproprietes, oeaqNormes,
4+% loiCourtage, ldmi, apciqt32026, apciqgatineaut32026, apciqbaromontreal2026, apciqbaroquebec2026, montrealrole2026, gatineaurole2027,
5+% quebecrole2025, schlrmltables2025, schlLocatif2025, fincan2024hypo, osfiMqr, cbrecaprates2026q3, lentzWang1998, appraisal2026,
6+% aiDictionary2022, achour1992, brueggemanFisher2022, geltnerMillerClaytonEichholtz2014, sims2007, autorPalmerPathak2014,
7+% diamondMcquadeQian2019, glaeserLuttmer2003, kestensTheriaultDesrosiers2006).
8+% Les deux vérifications propres au chapitre (texte des art. 51-54.14 de la Loi sur le TAL ; tableaux SCHL 4.x sur les copropriétés
9+% offertes en location) sont consignées dans verification/chapters/ch42-registry.csv (SRC-42-001, SRC-42-002) et rattachées aux clés
10+% existantes loiTAL et schlrmltables2025 ; la note de library.bib pour loiTAL pourrait mentionner « art. 51-54.14 lus le 2026-10-31 ».
11+% La source secondaire « La Presse, 19 octobre 2026 » (compte de taxes moyen d'une copropriété à Montréal, 3 301 $) n'est pas ajoutée
12+% en bibliographie : elle est citée en note de bas de page et consignée dans ch42-claims.csv (CLM-42-09, partiellement_verifie).
added references/lib-ch43.bib +11 −0
@@ -0,0 +1,11 @@
1+% Nouvelles références du chapitre 43 — à fusionner dans library.bib par l'orchestrateur.
2+% Aucune nouvelle clé : le chapitre ne cite que des clés déjà présentes dans references/library.bib
3+% (zonesInond2026, inondcartes, inondtravaux, rmun2026, ramhhs, reafie, lqe, rprt, repertoiretc, lfm, lau, ccq,
4+% oaciqFormulaireDV, reglCourtageDeontologie, reglgarantie, renoclimatnouveautes, bacprimes2025, oeaqNormes, appraisal2026,
5+% binPolasky2004, binKruseLandry2008, harrisonSmershSchwartz2001, bernsteinGustafsonLewis2019, hinoBurke2021,
6+% ortegaTaspinar2018, jackson2001, boyleKiel2001, simonsSaginor2006, kielMcclain1995, lindenRockoff2008, currie2015,
7+% halvorsenPalmquist1980, kennedy1981, angristPischke2009, dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014, callawaySantanna2021,
8+% goodmanbacon2021).
9+% Les résumés de binPolasky2004, binKruseLandry2008, hinoBurke2021 et ortegaTaspinar2018 ont été relus le 2026-10-31
10+% (verification/chapters/ch43-registry.csv, SRC-43-001 à 004) : aucune correction de métadonnées n'est nécessaire.
11+% Mundy (1992) et Roddewig (1996), non vérifiés (notes-D.md), ne sont pas cités.
added references/lib-ch44.bib +11 −0
@@ -0,0 +1,11 @@
1+% Nouvelles références du chapitre 44 — aucune.
2+% Le chapitre 44 ne cite que des clés déjà présentes dans references/library.bib :
3+% littérature : brounenKok2011, eichholtzKokQuigley2010, kahnKok2014, fuerstMcallisterNandaWyatt2015, hylandLyonsLyons2013,
4+% aydinBrounenKok2020, fuerstWarrenmyers2018, cespedeslopez2019, knightSirmans1996, hardingRosenthalSirmans2007,
5+% appraisal2026, aiDictionary2022 ;
6+% programmes et institutions : renoclimat, renoclimatnouveautes, logisvert, novoclimat, chauffezvertfin, rncansubvention,
7+% rncaninitiative, hydrotarifs2026, regieenergie2026, bdctauxhypothecaires2026, statcanIPCB, qcmazoutcommunique2021,
8+% qcmazout2026, codeConstruction, rbqtransition2026, loibatiment, reglgarantie, gcrprotections, oaciqFormulaireDV,
9+% rncanRenovations2025, rncanemprisonnons3, ccq.
10+% Les sources web consultées pour revérifier les chiffres de la prime verte et le tarif D sont consignées dans
11+% verification/chapters/ch44-registry.csv (SRC-44-001 à SRC-44-009) ; elles ne constituent pas de nouvelles entrées bibliographiques.
modified references/library.bib +9 −0
@@ -5217,3 +5217,12 @@
5217 urldate = {2026-10-31}, 5217 urldate = {2026-10-31},
5218 note = {Mensuel ; prix de vente des maisons neuves établis par les entrepreneurs « lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives » ; ajustement de qualité ; « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » ; base décembre 2016 = 100 ; renvoie à la méthodologie détaillée 62F0014M2022003 (non consultée)} 5218 note = {Mensuel ; prix de vente des maisons neuves établis par les entrepreneurs « lorsque les spécifications détaillées de chaque maison demeurent les mêmes pendant deux périodes consécutives » ; ajustement de qualité ; « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » ; base décembre 2016 = 100 ; renvoie à la méthodologie détaillée 62F0014M2022003 (non consultée)}
5219 } 5219 }
5220+
5221+@online{vqinondables,
5222+ author = {{Ville de Québec}},
5223+ title = {Zones inondables réglementées},
5224+ year = {2023},
5225+ note = {Données Québec, licence Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY 4.0) ; CSV, GeoJSON, KML, SHP (ressources du 20 avril 2022) ; métadonnées modifiées le 26 juin 2023 ; zones inondables réglementées et cartographiées annexées au Schéma d'aménagement et de développement révisé ; antérieur au cadre réglementaire du 1\textsuperscript{er} mars 2026},
5226+ url = {https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vque_77},
5227+ urldate = {2026-10-31}
5228+}
modified solutions/ch37.tex +65 −0
@@ -1 +1,66 @@
1 % Solutions du chapitre 37 — Apprentissage automatique et explicabilité 1 % Solutions du chapitre 37 — Apprentissage automatique et explicabilité
2+% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch37_ml.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch37.py.
3+
4+\begin{solution}{ex:37:1}{Une division d'arbre à la main}
5+(a) Les logarithmes des huit prix, dans l'ordre des superficies (70, 99, 128, 156, 160, 170, 221, \msq{241}), sont 12,478 ; 12,744 ; 12,975 ; 13,256 ; 13,057 ; 12,910 ; 13,210 ; 13,106. Leur moyenne est 12,967 et la somme des carrés des écarts au nœud racine vaut $\mathit{SCE}_0 = 0{,}462$.
6+
7+(b) Les sept seuils candidats sont les milieux 84,5 ; 113,5 ; 142 ; 158 ; 165 ; 195,5 et \msq{231}. Pour le seuil de \msq{113{,}5}, le fils gauche contient les deux premières ventes (moyenne 12,611, somme des carrés $0{,}5\,(12{,}744 - 12{,}478)^2 = 0{,}035$) et le fils droit les six autres (moyenne 13,086, somme des carrés 0,089) : $\mathit{SCE} = 0{,}124$, soit un gain de $0{,}462 - 0{,}124 = 0{,}338$, le plus grand des sept (le seuil de 84,5 donne un gain de 0,209, celui de 142 de 0,283 ; les suivants sont inférieurs). La meilleure division sépare donc les maisons de moins de \msq{113{,}5} des autres ; les constantes prédites sont $\exp(12{,}611) \approx \dollars{300000}$ à gauche et $\exp(13{,}086) \approx \dollars{482000}$ à droite. On remarque que les six ventes de droite, de 128 à \msq{241}, sont prédites au même prix alors que leurs prix observés vont de 404 500 à \dollars{571500} : avec huit observations, un arbre ne peut ni capter l'effet de l'âge et de la qualité qui expliquent ces écarts, ni représenter la croissance continue du prix avec la superficie.
8+
9+(c) Le critère \eqref{eq:37:division} ne dépend que de l'\emph{ordre} des observations selon la variable de division et des valeurs de $y$ dans les deux groupes ; une transformation strictement croissante (logarithme, conversion en pieds carrés) conserve l'ordre et donc les groupes, les sommes de carrés et le gain. Seul le seuil affiché change (il devient $\ln 113{,}5$ ou \pisq{1222}). C'est pourquoi les arbres n'exigent aucune transformation des variables, contrairement au modèle hédonique, où entrer la superficie en logarithme ou en niveau change la forme de la fonction estimée.
10+\end{solution}
11+
12+\begin{solution}{ex:37:2}{Variance d'une forêt}
13+(a) Avec $\sigma_a^2 = 0{,}12^2 = 0{,}0144$ et $\rho = 0{,}30$, l'\cref{eq:37:variance-foret} donne $0{,}3 \times 0{,}0144 + 0{,}7 \times 0{,}0144 / B$ : 0,01440 pour $B = 1$ ; 0,005328 pour $B = 10$ ; 0,004421 pour $B = 100$ ; 0,004340 pour $B = 500$. La limite est $\rho\sigma_a^2 = 0{,}00432$, soit un écart-type de 0,0657 : moyenner un nombre infini d'arbres corrélés à 0,30 ne divise l'écart-type que par $1/\sqrt{0{,}3} = 1{,}83$, non par $\sqrt{B}$.
14+
15+(b) Le second terme vaut 1 \% du premier lorsque $(1 - \rho)/B = 0{,}01\,\rho$, soit $B = (1 - \rho)/(0{,}01\,\rho) = 0{,}7 / 0{,}003 = 233$ arbres. Au-delà de quelques centaines d'arbres, ajouter des arbres ne sert plus à rien, ce que le \cref{tab:37:sensibilite} confirme (100 et 500 arbres : erreurs de 0,1065 et 0,1067).
16+
17+(c) Lorsque toutes les variables sont candidates à chaque division, tous les arbres choisissent la superficie à la racine et des divisions voisines ensuite : ils se ressemblent et $\rho$ est élevé. En ne tirant que $m < p$ variables à chaque division, certains arbres sont forcés de diviser d'abord sur l'âge, la localisation ou la qualité, ce qui les décorrèle et abaisse le plancher $\rho\sigma_a^2$. On y perd un peu de qualité individuelle : chaque arbre, privé parfois de la meilleure variable, a un biais et une variance propres plus élevés ($\sigma_a^2$ croît). L'optimum de $m$ est celui qui minimise $\rho\sigma_a^2$, et il se trouve par validation ; sur le cas 1, 50 \% des variables fait à peine mieux que 100 \%, et 33 \% avec des feuilles de cinq fait moins bien.
18+\end{solution}
19+
20+\begin{solution}{ex:37:3}{Le boosting pas à pas}
21+(a) Le pseudo-résidu initial est $y - F_0 = 0{,}20$. Chaque itération fait $F_m = F_{m-1} + \nu\,(y - F_{m-1})$ : $F_1 = 12{,}80 + 0{,}1 \times 0{,}20 = 12{,}820$ (résidu 0,180) ; $F_2 = 12{,}838$ (résidu 0,162) ; $F_3 = 12{,}8542$ (résidu 0,1458).
22+
23+(b) Par récurrence, $y - F_m = (1 - \nu)(y - F_{m-1}) = (1 - \nu)^m (y - F_0)$ ; le résidu décroît géométriquement. Il atteint 1 \% de sa valeur initiale lorsque $(0{,}9)^m = 0{,}01$, soit $m = \ln 0{,}01 / \ln 0{,}9 = 43{,}7$, donc 44 itérations.
24+
25+(c) Avec $\nu = 1$, $F_1 = y$ dès la première itération : le modèle reproduit exactement chaque observation, bruit compris, et l'erreur d'entraînement est nulle. Sur des données bruitées, c'est le surapprentissage parfait ; le rétrécissement $\nu < 1$ force chaque arbre à n'expliquer qu'une fraction des résidus, de sorte que le signal, partagé par de nombreuses observations, s'accumule au fil des itérations tandis que le bruit, propre à chacune, n'est jamais ajusté qu'en partie avant l'arrêt.
26+
27+(d) Sur la \cref{fig:37:apprentissage}, l'erreur de validation décroît tant que les arbres ajoutent du signal, puis remonte lorsqu'ils ajustent le bruit ; le minimum est l'arrêt précoce. Plus $\nu$ est petit, plus le minimum est tardif et plat, ce qui rend le choix du nombre d'arbres moins critique ; plus les arbres sont profonds, plus chaque itération absorbe de bruit et plus le minimum est précoce (367 itérations pour la profondeur 4 contre 730 pour la profondeur 2).
28+\end{solution}
29+
30+\begin{solution}{ex:37:4}{Valeurs de Shapley à trois joueurs}
31+(a) Dans l'ordre $S, Q, L$, les contributions marginales sont $v(S) - v(\varnothing) = 60$ pour $S$, $v(S,Q) - v(S) = 40$ pour $Q$ et $v(S,Q,L) - v(S,Q) = 30$ pour $L$. Les six ordres donnent, pour $(S, Q, L)$ : $S,Q,L \to (60, 40, 30)$ ; $S,L,Q \to (60, 45, 25)$ ; $Q,S,L \to (70, 30, 30)$ ; $Q,L,S \to (85, 30, 15)$ ; $L,S,Q \to (65, 45, 20)$ ; $L,Q,S \to (85, 25, 20)$.
32+
33+(b) La moyenne des six contributions est la valeur de Shapley : $\phi_S = (60 + 60 + 70 + 85 + 65 + 85)/6 = 70{,}83$ ; $\phi_Q = (40 + 45 + 30 + 30 + 45 + 25)/6 = 35{,}83$ ; $\phi_L = (30 + 25 + 30 + 15 + 20 + 20)/6 = 23{,}33$ (en milliers de dollars). La somme vaut $130{,}0 = v(S, Q, L)$ : l'axiome d'efficacité est vérifié.
34+
35+(c) Oui. La superficie et la qualité ont une interaction positive : $v(S,Q) = 100 > v(S) + v(Q) = 90$, c'est-à-dire qu'une grande maison de qualité élevée vaut plus que la somme des deux effets séparés. La superficie et la localisation aussi ($85 > 80$). La qualité et la localisation ont une interaction négative ($45 < 50$). L'ensemble est sur-additif : $130 > 60 + 30 + 20 = 110$.
36+
37+(d) $v(S) = 60$ est la contribution de la superficie lorsqu'elle est la \emph{seule} variable connue ; $\phi_S = 70{,}83$ est sa contribution moyenne sur tous les contextes, y compris ceux où la qualité et la localisation sont déjà connues et où, en raison des interactions positives, la superficie apporte davantage (jusqu'à 85). La valeur de Shapley répartit équitablement les interactions entre les variables qui y participent, et c'est ce qui la distingue d'une simple contribution marginale ou d'un coefficient de régression : dans un modèle additif sans interaction, les deux coïncideraient.
38+\end{solution}
39+
40+\begin{solution}{ex:37:5}{Métriques d'un AVM}
41+(a) Les ratios prédit/prix sont 1,074 ; 0,974 ; 0,968 ; 1,052 ; 0,962 ; 1,055 ; 0,962 ; 1,072 ; 0,968 ; 0,937. Les erreurs en logarithme ont une racine quadratique moyenne de 0,0503 ; l'erreur absolue moyenne est de 4,82 \% et l'erreur absolue médiane de 4,51 \%.
42+
43+(b) La médiane des ratios est 0,971 et leur moyenne 1,002 ; le COD vaut $100 \times 0{,}0429 / 0{,}971 = 4{,}42$ ; le ratio pondéré par les prix est $\sum V / \sum P = 5\,406\,000 / 5\,428\,000 = 0{,}996$, d'où un PRD de $1{,}002 / 0{,}996 = 1{,}006$ ; le PRB, pente de la régression de $(r_i - 0{,}971)/0{,}971$ sur $\log_2$ de la valeur de référence, est de $-0{,}034$ (erreur-type 0,040).
44+
45+(c) Le niveau (0,971) est dans la plage de 0,90 à 1,10, le PRD (1,006) dans celle de 0,98 à 1,03 et le PRB ($-0{,}034$, non significatif) dans celle de $\pm 0{,}05$ ; mais le COD de 4,42 est \emph{inférieur} à 5,0, et le Standard on Ratio Studies indique qu'un COD si bas peut signaler que les valeurs ont été ajustées sur les prix des ventes connues (\emph{sales chasing}) ou que les ventes de validation ont servi à la calibration : un AVM qui atteint un COD de 4 sur des ventes qu'il n'a jamais vues est très rare sur un marché résidentiel, et la première hypothèse à écarter est la fuite de données.
46+
47+(d) Il manque la preuve que les dix ventes sont hors échantillon et postérieures à la calibration, la taille (dix ventes ne donnent qu'un COD très imprécis, et aucune stratification par secteur ou par tranche de valeur n'est possible), le schéma de validation (aléatoire, spatial, prospectif), les intervalles de confiance du PRD et du PRB qu'exige la norme sur les AVM, et la description du modèle et de ses données. Dix chiffres sont une illustration, non une validation.
48+\end{solution}
49+
50+\begin{solution}{ex:37:6}{Validation spatiale et extrapolation}
51+(a) Les COD du script sont, pour l'hédonique, 6,83 (aléatoire), 7,00 (blocs spatiaux) et 10,44 (un secteur exclu) ; pour la forêt, 8,64, 8,96 et 10,21 ; pour le boosting, 7,42, 7,62 et 8,59. Le passage aux blocs spatiaux coûte peu à l'hédonique (0,17 point), dont la structure additive ne dépend pas du voisinage immédiat, et un peu plus aux modèles d'arbres (0,20 et 0,32), qui avaient tiré de la proximité des ventes d'apprentissage une partie de leur performance aléatoire. L'exclusion d'un secteur fait exploser le COD de l'hédonique (+3,4 points), parce qu'il n'a aucune information sur le niveau du secteur absent, et dégrade moins le boosting (+1,0), qui en déduit un niveau des coordonnées.
52+
53+(b) Lorsque Buckingham est exclu, son indicatrice est retirée et ses ventes sont prédites au niveau de Hull ; le biais moyen de la prédiction est donc l'opposé de la prime omise, $-\ln(395\,000/475\,000) = +0{,}184$, plus le bruit d'échantillonnage : le script donne $+0{,}234$ pour Buckingham et $+0{,}261$ pour Masson-Angers (prime vraie $-0{,}204$), des écarts de 0,05 qui s'expliquent par les 42 et 47 ventes de ces secteurs et par la colinéarité entre leur position et la distance au centre. Le boosting situe ces deux secteurs l'un par l'autre (coordonnées voisines, grande distance au centre) et prédit un niveau intermédiaire proche du bon ($-0{,}6$ \% et $+7{,}2$ \%) ; pour Gatineau et Aylmer, en revanche, la position géographique ne distingue pas le secteur de ses voisins et le boosting prédit trop bas ($-6{,}8$ et $-7{,}1$ \%), là où l'hédonique, grâce à un secteur de référence par hasard voisin en niveau (Gatineau et Hull ont des médianes proches), fait bien.
54+
55+(c) En remplaçant les quatre indicatrices par un polynôme de degré 2 ou 3 en latitude et longitude (ou des splines), l'hédonique acquiert la capacité d'interpoler un niveau de prix pour un secteur absent à partir de ses voisins, comme le font les arbres, au prix d'une surface lisse qui ne reproduit pas les discontinuités de secteur (le \cref{ch:19} en discute avec la régression géographiquement pondérée). En exclusion d'un secteur, cette variante réduit fortement les biais de Buckingham et de Masson-Angers et détériore légèrement la validation aléatoire ; elle rapproche les deux approches en montrant que la différence de comportement hors support tient moins à la famille de modèles qu'à la \emph{représentation} de la localisation, indicatrices contre coordonnées. Le choix de cette représentation est une hypothèse que l'analyste doit déclarer et valider selon l'usage prévu.
56+\end{solution}
57+
58+\begin{solution}{ex:37:7}{Découvrir, puis établir}
59+(a) La dépendance partielle de l'âge du boosting estimé sur $\ln P^\dagger$ montre un creux d'environ dix points entre 25 et 45 ans, bordé par deux marches, que le polynôme hédonique ne peut pas reproduire (\cref{fig:37:pdp}, droite). Les courbes ICE séparées par qualité révèlent l'interaction : pour les maisons de qualité 4, la courbe remonte d'une dizaine de points au-delà de 40 ans, tandis que celle des maisons de qualité 2 continue de descendre ; la moyenne des deux (la dépendance partielle) ne montre qu'une remontée atténuée, ce qui illustre pourquoi les ICE complètent la PDP.
60+
61+(b) Dans le scénario, la paire âge-qualité devient la première interaction SHAP (valeur moyenne 0,0068), suivie de superficie-latitude (0,0034) et de superficie-mois (0,0025) ; dans le cas de base, âge-qualité n'apparaît pas en tête et la plus forte paire, superficie-latitude, vaut 0,0031. L'interaction nouvelle double la plus forte interaction du cas de base ; c'est le signal qu'un terme croisé manque au modèle paramétrique.
62+
63+(c) Le modèle respécifié avec les seuils vrais (qualité $\ge 4$ et âge $\ge 40$ ; âge de 25 à 45) obtient un COD de 6,85 et une erreur de 0,084, contre 7,46 pour le boosting et 8,15 pour l'hédonique de référence ; il estime la prime à 0,129 (erreur-type 0,012) et le mur à $-0{,}092$ (0,008). Avec des seuils lus sur les courbes, décalés de quelques années (par exemple 22 à 48 ans ou 28 à 42 ans), les indicatrices classent mal les ventes situées dans les bandes d'erreur, de l'ordre de 30 à 60 ventes sur 600 ; le coefficient du mur est atténué (vers $-0{,}07$) et le COD remonte de deux à trois dixièmes de point, restant toutefois meilleur que le boosting : une spécification approximativement bonne bat encore un modèle souple, parce que l'essentiel de la structure est capté avec deux paramètres. Le lecteur vérifiera ses propres seuils dans le script.
64+
65+(d) La validation imbriquée choisit la profondeur dans une boucle interne (par exemple cinq plis sur les neuf dixièmes d'apprentissage de chaque pli externe) puis évalue le modèle retenu sur le pli externe. Sur le cas de base, la boucle interne retient presque toujours la profondeur 1, et l'erreur externe est voisine de celle du \cref{tab:37:sensibilite} pour les souches (0,089), avec un écart de l'ordre du millième : l'optimisme de la sélection non imbriquée est faible ici, parce que la grille est petite et que les différences entre profondeurs sont nettes et stables d'un pli à l'autre. Il serait plus grand avec une grille fine sur plusieurs hyperparamètres et un petit échantillon ; la règle est de toujours déclarer quelles données ont servi à choisir et lesquelles à évaluer.
66+\end{solution}
modified solutions/ch38.tex +31 −0
@@ -1 +1,32 @@
1 % Solutions du chapitre 38 — SIG et risques géospatiaux 1 % Solutions du chapitre 38 — SIG et risques géospatiaux
2+% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch38.py (test_solutions_1_a_5, test_solutions_6_et_7).
3+
4+\begin{solution}{ex:38:1}{Choisir le système de référence}
5+Les fuseaux MTM ont trois degrés de largeur et des méridiens centraux à $70{,}5^\circ$ (fuseau 7, de 69 à $72^\circ$ O), $73{,}5^\circ$ (fuseau 8, de 72 à $75^\circ$ O) et $76{,}5^\circ$ O (fuseau 9, de 75 à $78^\circ$ O) ; les fuseaux UTM ont six degrés, le fuseau 18 couvrant de 72 à $78^\circ$ O et le 19 de 66 à $72^\circ$ O. Montréal ($73{,}60^\circ$ O) relève donc du fuseau MTM 8 (EPSG 32188) et du fuseau UTM 18N (26918) ; Québec ($71{,}19^\circ$ O) du MTM 7 (32187) et de l'UTM 19N (26919) ; Gatineau ($75{,}74^\circ$ O) du MTM 9 (32189) et de l'UTM 18N (26918) ; Saguenay ($71{,}10^\circ$ O) du MTM 7 (32187) et de l'UTM 19N (26919). Avec l'\cref{eq:38:echelle}, $k = 0{,}9999\,[1 + \tfrac12(\Delta\lambda\cos\varphi)^2]$, les écarts au méridien central en radians valent respectivement $0{,}00175$, $0{,}01204$, $0{,}01326$ et $0{,}01047$, et les facteurs d'échelle $0{,}999901$ (Montréal), $0{,}999934$ (Québec), $0{,}999943$ (Gatineau) et $0{,}999924$ (Saguenay) : une distance de 10 kilomètres lue sur la carte sans correction sous-estime la distance au sol de 0,99, 0,66, 0,57 et 0,76 mètre, soit moins d'un dix-millième dans les quatre cas. Une carte réunissant les quatre villes ne peut utiliser aucun fuseau MTM sans une distorsion croissante hors de sa bande, et deux fuseaux UTM seraient nécessaires ; la projection conique conforme Québec Lambert (32198), dont les parallèles de référence à $46^\circ$ et $60^\circ$ encadrent le territoire, conserve les angles et limite la distorsion d'échelle sur toute la province, au prix d'une distorsion locale un peu supérieure à celle du MTM.
6+\end{solution}
7+
8+\begin{solution}{ex:38:2}{Trois distances}
9+(a) Autour du sujet, $\cos(45{,}4215^\circ) = 0{,}7017$ ; les écarts sont $\Delta\varphi = 0{,}0405^\circ = 0{,}000707$ rad et $\Delta\lambda = 0{,}0783^\circ = 0{,}001367$ rad, d'où $x = 6371{,}0 \times 0{,}7017 \times 0{,}001367 = 6{,}111$ km et $y = 6371{,}0 \times 0{,}000707 = 4{,}503$ km, et $d = \sqrt{6{,}111^2 + 4{,}503^2} = 7{,}591$ km. (b) Le haversine donne $a = \sin^2(0{,}000353) + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\sin^2(0{,}000683) = 1{,}25\times10^{-7} + 0{,}4919 \times 4{,}67\times10^{-7} = 3{,}55\times10^{-7}$ et $d = 2 \times 6371{,}0 \times \arcsin\sqrt{a} = 7{,}589$ km, à deux mètres de la projection locale : les deux mesures coïncident au premier ordre, l'écart venant de la courbure négligée par l'\cref{eq:38:equirect}. (c) La « distance en degrés » vaut $\sqrt{0{,}0405^2 + 0{,}0783^2} = 0{,}08815^\circ$, soit 9,785 km à raison de 111 km par degré : une surestimation de 29 \%. L'origine de l'erreur est l'anisotropie des degrés : à cette latitude un degré de longitude ne vaut que $111{,}3 \times 0{,}7017 = 78{,}1$ km, et la composante est-ouest, qui domine ici, est gonflée d'un facteur $1/0{,}7017 = 1{,}425$. Une matrice de voisinage ou un rayon de recherche calculés en degrés privilégient donc systématiquement les voisins nord-sud, ce que le \cref{ch:19} avait déjà signalé.
10+\end{solution}
11+
12+\begin{solution}{ex:38:3}{Point dans polygone et tampon}
13+Le polygone est un rectangle de 4 sur 3 dont le côté supérieur est remplacé par une encoche en V descendant jusqu'au point $(2, 1)$ ; ses arêtes sont $(0,0)$--$(4,0)$, $(4,0)$--$(4,3)$, $(4,3)$--$(2,1)$, $(2,1)$--$(0,3)$ et $(0,3)$--$(0,0)$. Pour $P_1 = (1, 1)$, la demi-droite horizontale vers la droite croise l'arête verticale droite ($x = 4$), l'arête $(4,3)$--$(2,1)$ (intersection en $x = 2$) et l'arête $(2,1)$--$(0,3)$ (intersection en $x = 2$, mais l'arête ne contient $y = 1$ qu'à son extrémité ; la convention $(y_i > y) \neq (y_{i+1} > y)$ de l'\cref{eq:38:pip} compte cette arête, dont les ordonnées 1 et 3 encadrent $y = 1$ au sens strict d'un côté seulement) : trois croisements, nombre impair, le point est intérieur. Pour $P_2 = (2, 2)$, les arêtes dont l'étendue verticale contient $y = 2$ sont les deux côtés verticaux et les deux arêtes de l'encoche ; les intersections à droite de $x = 2$ sont celles de l'arête $(4,3)$--$(2,1)$ en $x = 3$ et du côté $x = 4$, soit deux croisements : extérieur, le point est dans l'encoche. Pour $P_3 = (3, 2{,}5)$, les intersections à droite sont celles de l'arête $(4,3)$--$(2,1)$ en $x = 3{,}5$ et du côté $x = 4$ : deux croisements, extérieur. La fonction \texttt{traite.geo.point\_dans\_polygone} confirme (vrai, faux, faux). L'aire par la formule du lacet vaut $\tfrac12\abs{0 + 12 + (4 - 6) + 6 + 0} = 8$ km$^2$, et le périmètre $4 + 3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3 = 15{,}657$ km. La formule du polygone convexe, $8 + 0{,}5 \times 15{,}657 + \pi \times 0{,}25 = 16{,}614$ km$^2$, surestime l'aire du tampon parce qu'au sommet rentrant $(2, 1)$ les bandes des deux arêtes de l'encoche se recouvrent au lieu de laisser un secteur circulaire ; l'aire exacte calculée par \texttt{shapely} est de 16,560 km$^2$, soit 0,054 km$^2$ de moins.
14+\end{solution}
15+
16+\begin{solution}{ex:38:4}{Indice gravitaire}
17+Avec $\lambda = 0{,}25$, la première maison obtient $A = 100e^{-0{,}375} + 40e^{-1{,}5} + 30e^{-2{,}25} = 68{,}73 + 8{,}93 + 3{,}16 = 80{,}82$ et $\ln A = 4{,}392$ ; la seconde, à 4 km des trois pôles, $A = 170e^{-1} = 62{,}54$ et $\ln A = 4{,}136$. Avec $\lambda = 0{,}50$, la première obtient $47{,}24 + 1{,}99 + 0{,}33 = 49{,}56$ ($\ln A = 3{,}903$) et la seconde $170e^{-2} = 23{,}01$ ($\ln A = 3{,}136$). La première maison est mieux située dans les deux cas, et son avantage croît avec la friction : quand la distance coûte cher, la proximité du pôle principal l'emporte sur l'équidistance à trois pôles. La dérivation de l'\cref{eq:38:logsum} éclaire le résultat : $\ln A_i$ est l'utilité espérée du meilleur choix d'un ménage dont l'utilité pour la destination $k$ vaut $\ln E_k - \lambda d_{ik}$ plus un aléa de Gumbel, et l'écart de $\ln A$ entre les deux maisons, 0,256 avec $\lambda = 0{,}25$ et 0,767 avec $\lambda = 0{,}50$, se lit en unités d'utilité, les mêmes que $\lambda$ par kilomètre : la première maison vaut, en accessibilité, l'équivalent d'un kilomètre de moins ($0{,}256/0{,}25$) dans le premier cas et d'un kilomètre et demi dans le second. C'est précisément parce que $\ln A_i$ est une mesure d'utilité espérée, additive avec les autres termes du modèle semi-logarithmique, que c'est lui et non $A_i$ qui entre dans l'\cref{eq:38:hedonique-risque} ; $A_i$ en niveau donnerait un effet marginal décroissant arbitraire et dépendant de l'unité des masses.
18+\end{solution}
19+
20+\begin{solution}{ex:38:5}{Capitalisation d'un risque d'inondation}
21+La probabilité annuelle est $p_1 = 1 - (1 - 0{,}35)^{1/25} = 1 - 0{,}65^{0{,}04} = 0{,}01708$, soit 1,71 \% par année (période de retour d'environ 59 ans). Avec un dommage de 10 \% et un taux de 5 \%, la décote capitalisée vaut $0{,}01708 \times 0{,}10 / 0{,}05 = 3{,}42$ \%, soit \dollars{17767} ; avec un dommage de 20 \%, elle double à 6,83 \% et \dollars{35534}. Une décote observée de 8 \% dépasse la perte espérée capitalisée même dans le second cas. Deux explications tirées de la \cref{sec:38:risques} : d'abord, le prix capitalise aussi les restrictions juridiques attachées à la zone, interdiction ou conditions de reconstruction et d'agrandissement, qui détruisent une valeur d'option indépendante de la perte espérée ; ensuite, le marché surpondère le risque après un événement récent et anticipe la hausse des primes d'assurance et la détérioration future de l'exposition, comme le montrent \textcite{binPolasky2004} et \textcite{bernsteinGustafsonLewis2019}. Une troisième explication, méthodologique, est que la décote observée peut être contaminée par la localisation, les zones inondables étant souvent des quartiers anciens ou périphériques, exactement le mécanisme du \cref{tab:38:coefficients}. Pour la détection : $\pi = 24/500 = 0{,}048$, et l'erreur-type approximative vaut $0{,}09/\sqrt{500 \times 0{,}048 \times 0{,}952 \times 0{,}9} = 0{,}0199$ ; l'effet minimal détectable \eqref{eq:38:emd} est $2{,}80 \times 0{,}0199 = 0{,}0556$, soit 5,6 \%. La décote de 8 \% serait détectable avec une puissance supérieure à 80 \%, mais la décote capitalisée de 3,4 \% ne le serait pas ; et une estimation de 8 \% sur 24 ventes porterait un intervalle de confiance à 95 \% de $\pm 3{,}9$ points, compatible avec 4 \% comme avec 12 \%.
22+\end{solution}
23+
24+\begin{solution}{ex:38:6}{Faux positifs et tests multiples}
25+Avec un rayon de 3 kilomètres et \num{1000} tirages (fonction \texttt{exercice\_6} de \texttt{ch38\_sig.py}), 995 disques contiennent entre 10 et 590 ventes. Pour le modèle de référence, la part de coefficients significatifs à 5 \% vaut 4,5 \% avec les erreurs-types classiques et 5,3 \% avec HC1, l'écart-type des $t$ 0,98 et 1,03, et aucun disque ne survit à Bonferroni : la statistique se comporte exactement comme sous l'hypothèse nulle. Sans indicatrices de secteur, 89,2 \% des disques sont significatifs (92,9 \% avec HC1), 50,5 \% après Bonferroni, et l'écart-type des $t$ atteint 6,3 ; sans secteur ni gradient, 60,1 \%, 32,5 \% après Bonferroni, écart-type 4,9. Un disque de 3 kilomètres est presque un secteur, et son indicatrice mesure la prime omise avec une précision d'autant meilleure qu'il contient plus de ventes ; le modèle sans gradient fait un peu mieux que le modèle avec gradient parce que le gradient, seul à distinguer les secteurs périphériques, laisse aux disques de ces secteurs un résidu plus régulier. À 0,5 kilomètre et pour le modèle de référence (107 disques), la part de faux positifs vaut 11,2 \% avec les erreurs-types classiques (écart-type des $t$ 1,30), 26,2 \% avec HC1 (1,53) et 23,4 \% avec HC3 (1,42) : la pondération par le levier de HC3 ne corrige qu'une petite part du biais, parce que la variance d'un coefficient d'indicatrice portée par dix à vingt observations est mal estimée par toute méthode robuste fondée sur les résidus de ces mêmes observations.
26+
27+\emph{Note.} Un rapport qui dérive une décote de zone d'un modèle hédonique doit d'abord établir que les résidus du modèle sans la variable de zone ne sont pas spatialement corrélés, par la statistique de Moran et les tests du \cref{ch:19} ; sinon, la variable de zone capte la localisation omise, et sa signification ne prouve rien, quelle que soit l'erreur-type. Il doit ensuite déclarer toutes les définitions essayées, rayons de tampon, classes, sources de la couche, et appliquer une correction pour tests multiples ou, mieux, fixer la définition avant l'estimation à partir de la cartographie officielle. Il doit indiquer le nombre de ventes exposées et l'effet minimal détectable, de sorte qu'un coefficient non significatif ne soit pas lu comme une absence d'effet. Il doit enfin préférer, pour une indicatrice rare, l'erreur-type classique ou une inférence par permutation des zones à une correction robuste qui sous-estime l'incertitude, et présenter le coefficient avec son intervalle plutôt que comme une décote ponctuelle.
28+\end{solution}
29+
30+\begin{solution}{ex:38:7}{Carte choroplèthe et unités spatiales modifiables}
31+La fonction \texttt{exercice\_7} de \texttt{ch38\_sig.py} donne, pour les hexagones de 800 mètres de rayon (1,66 km$^2$), 813 cellules dont 123 occupées et 43 d'au moins cinq ventes, des bornes de Jenks à \num{2407}, \num{2981}, \num{3388}, \num{3602}, \num{3970} et \parmsq{4207} et un GVF de 0,962 ; pour les hexagones de \num{1200} mètres du chapitre, 374 cellules, 69 occupées, 30 cartographiées, bornes \num{2546}, \num{3004}, \num{3358}, \num{3548}, \num{3925}, \num{4106} et GVF 0,964 ; pour les hexagones de \num{2000} mètres (10,4 km$^2$), 154 cellules, 34 occupées, 19 cartographiées, bornes \num{2344}, \num{2605}, \num{3208}, \num{3571}, \num{3916}, \num{3916}, la cinquième classe se réduisant à la cellule la plus chère, et GVF 0,975 ; pour la grille carrée de 2 kilomètres (4 km$^2$), 368 cellules, 64 occupées, 36 cartographiées, bornes \num{2447}, \num{2819}, \num{3194}, \num{3556}, \num{3950}, \num{4175} et GVF 0,962. La part intercellulaire de la variance du prix au mètre carré (somme pondérée des écarts des moyennes de cellule à la moyenne générale, rapportée à la somme totale des carrés) vaut 35,6 \% avec les petits hexagones, 28,6 \% avec ceux du chapitre, 25,0 \% avec les grands et 30,2 \% avec les carrés de 2 kilomètres : plus les cellules sont petites, plus la carte « explique » de variance, non parce que le marché est plus hétérogène mais parce que chaque cellule résume moins de ventes et s'ajuste au bruit, jusqu'à la limite d'une cellule par vente qui expliquerait tout. C'est le problème des unités spatiales modifiables sous sa forme d'échelle ; la différence entre hexagones de \num{1200} mètres et carrés de 2 kilomètres, d'aires voisines (3,74 contre 4 km$^2$) mais de part intercellulaire différente (28,6 contre 30,2 \%), en est la forme de zonage. Pour un conseil municipal, on recommandera une grille dont les cellules contiennent assez de ventes pour que la médiane soit stable, une vingtaine au moins, donc plutôt les grands hexagones ou, mieux, les unités de voisinage du rôle d'évaluation, qui ont un sens pour les élus et dont les frontières ont été tracées par l'évaluateur municipal ; on indiquera sur la carte le nombre de ventes par zone et l'on hachurera les zones trop peu fournies plutôt que d'y afficher une médiane trompeuse.
32+\end{solution}
modified solutions/ch39.tex +69 −0
@@ -1 +1,70 @@
1 % Solutions du chapitre 39 — Modèles bayésiens et intervalles 1 % Solutions du chapitre 39 — Modèles bayésiens et intervalles
2+% Chiffres recalculés par analysis/python/cases/ch39_bayes.py (fonction exercices) et vérifiés par analysis/python/tests/test_ch39.py.
3+
4+\begin{solution}{ex:39:1}{Mise à jour d'une opinion d'expert dans un marché mince}
5+(a) Les précisions s'additionnent : $1/s_n^2 = 1/200^2 + 4/300^2 = 2{,}5 \times 10^{-5} + 4{,}444 \times 10^{-5} = 6{,}944 \times 10^{-5}$, d'où $s_n = \parmsq{120}$. Le poids des ventes est $w = (4/300^2)/(6{,}944 \times 10^{-5}) = 0{,}64$ et la moyenne a posteriori $m_n = 0{,}64 \times 3520 + 0{,}36 \times 3300 = \parmsq{3440.8}$.
6+
7+(b) L'opinion vaut $n_0 = \sigma^2/s_0^2 = 300^2/200^2 = 2{,}25$ ventes : les quatre ventes observées pèsent $4/(4 + 2{,}25) = 0{,}64$, ce qui est bien le poids $w$.
8+
9+(c) Intervalles de crédibilité : à 90 \%, $3440{,}8 \pm 1{,}645 \times 120 = [3243 ; 3638]$ \$/m² ; à 95 \%, $3440{,}8 \pm 1{,}96 \times 120 = [3206 ; 3676]$ \$/m². Pour \msq{165}, la valeur indiquée est $165 \times 3440{,}8 = \dollars{567732}$ avec un écart-type de $165 \times 120 = \dollars{19800}$ ; il s'agit de l'incertitude sur le prix unitaire \emph{moyen} du marché, non de la dispersion d'une vente individuelle, qui s'y ajouterait pour un intervalle de prédiction.
10+
11+(d) Avec $s_0 = 400$, $1/s_n^2 = 6{,}25 \times 10^{-6} + 4{,}444 \times 10^{-5} = 5{,}069 \times 10^{-5}$, $s_n = \parmsq{140.4}$, $w = 0{,}877$ et $m_n = \parmsq{3492.9}$ : l'opinion ne vaut plus que $0{,}5625$ vente et les données dominent. La formule fait exactement ce que l'évaluateur fait par jugement : moins il est sûr de lui, moins il tempère les ventes.
12+\end{solution}
13+
14+\begin{solution}{ex:39:2}{Lire une distribution prédictive}
15+(a) Pour \dollars{650000} : $z = (\ln 650\,000 - 13{,}3627)/0{,}08364 = (13{,}3847 - 13{,}3627)/0{,}08364 = 0{,}264$, et $\Pr(y^{*} > \ln 650\,000) = 1 - F_{584}(0{,}264) = 0{,}396$ : il y a 39,6 \% de chances que le sujet se vende plus de \dollars{650000}. Pour \dollars{550000} : $z = (13{,}2176 - 13{,}3627)/0{,}08364 = -1{,}734$, et $\Pr(y^{*} < \ln 550\,000) = F_{584}(-1{,}734) = 0{,}042$, soit 4,2 \%. L'approximation normale donne 0,396 et 0,041 ; à 584 degrés de liberté elle est indiscernable de la Student.
16+
17+(b) Les quantiles à 10 et 90 \% de la Student à 584 degrés de liberté valent $\mp 1{,}2826$ ; l'intervalle à 80 \% est $\exp(13{,}3627 \mp 1{,}2826 \times 0{,}08364) = [\dollars{571126} ; \dollars{707845}]$, à comparer à l'intervalle à 80 \% du chapitre 18, de \dollars{571192} à \dollars{707764}.
18+
19+(c) Lecture bayésienne : « Conditionnellement au modèle et aux 600 ventes, la probabilité que le sujet se vende entre \dollars{571000} et \dollars{708000} est de 80 \%, et la probabilité qu'il se vende au-dessus de \dollars{650000} est de 40 \%. » Lecture fréquentiste correcte de l'intervalle de prédiction : « L'intervalle de \dollars{571000} à \dollars{708000} a été construit par une procédure qui, appliquée à des échantillons répétés de ventes, contient le prix du sujet dans 80 \% des cas » ; la phrase « il y a 80 \% de chances que le prix soit dans l'intervalle » n'est pas autorisée par la théorie fréquentiste, bien qu'elle soit celle que le lecteur comprend.
20+\end{solution}
21+
22+\begin{solution}{ex:39:3}{Le facteur de rétrécissement}
23+(a) Avec $\sigma^2 = 0{,}006889$ et $\tau^2 = 0{,}0225$, $B_s = n_s\tau^2/(n_s\tau^2 + \sigma^2)$ vaut $0{,}1125/0{,}1194 = 0{,}942$ pour $n_s = 5$, $0{,}970$ pour 10, $0{,}985$ pour 20 et $0{,}994$ pour 47.
24+
25+(b) L'effet rétréci est $B_s\bar r_s + (1 - B_s)\alpha_0 = 0{,}942 \times (-0{,}30) + 0{,}058 \times (-0{,}08) = -0{,}2873$ : cinq ventes suffisent à conserver 94 \% de l'estimation locale. L'écart-type conditionnel est $\sqrt{1/(5/\sigma^2 + 1/\tau^2)} = \sqrt{1/(725{,}8 + 44{,}4)} = 0{,}0360$, contre $\sigma/\sqrt 5 = 0{,}0371$ pour l'effet fixe : le gain de précision conditionnel est de 3 \%, et il est plus que compensé, dans la postérieure marginale, par l'incertitude sur $\tau$, comme le \cref{tab:39:experience} le montre.
26+
27+(c) Avec $\tau = 0{,}05$, $\tau^2 = 0{,}0025$ et $B_s = 0{,}645$ pour $n_s = 5$, $0{,}784$ pour 10, $0{,}879$ pour 20 et $0{,}945$ pour 47. Un quartier de cinq ventes ne conserve plus que les deux tiers de son estimation locale. Le rétrécissement devient déterminant lorsque les groupes se ressemblent relativement au bruit de transaction, c'est-à-dire pour des découpages fins, quartiers, rues, îlots, où $\tau$ est petit et $n_s$ aussi ; pour des secteurs très contrastés comme ceux de Gatineau, il reste marginal.
28+
29+(d) $B_s = 1/2$ pour $n_s = \sigma^2/\tau^2$ : 0,31 vente avec $\tau = 0{,}15$, 2,76 ventes avec $\tau = 0{,}05$. Dans le premier cas, une seule vente fixe déjà l'essentiel du niveau ; dans le second, il en faut trois pour que l'estimation locale et la moyenne commune pèsent autant.
30+\end{solution}
31+
32+\begin{solution}{ex:39:4}{La prédictive de Student}
33+(a) $b_n/a_n = 2{,}0122/292 = 0{,}006891$, ce qui est $\mathit{SCR}/(n-k) = \hat\sigma^2$ ; $s^{*2} = 0{,}006891 \times (1 + 0{,}01509) = 0{,}006995$ et $s^{*} = 0{,}08364$. La part de l'incertitude sur les coefficients est $0{,}01509/1{,}01509 = 1{,}49$ \% de $s^{*2}$ ; le reste est le bruit de transaction.
34+
35+(b) Avec le quantile de Student, $\exp(13{,}3627 \mp 1{,}9640 \times 0{,}08364) = [\dollars{539504} ; \dollars{749334}]$ ; avec le quantile normal, $[\dollars{539688} ; \dollars{749079}]$. L'écart est de \dollars{184} à la borne basse et de \dollars{255} à la borne haute, soit 0,03 \% : à 584 degrés de liberté, Student et normale ne se distinguent pas.
36+
37+(c) Avec $t_{20;0{,}975} = 2{,}0860$, la demi-largeur en logarithme passe de $1{,}9640 \times 0{,}08364$ à $2{,}0860 \times 0{,}08364$, soit un élargissement de $2{,}0860/1{,}9640 - 1 = 6{,}2$ \% ; l'intervalle devient $[\dollars{534030} ; \dollars{757014}]$. C'est l'incertitude sur $\sigma$, que la loi normale du chapitre 18 ignore et que la Student intègre, et elle croît vite quand les degrés de liberté tombent sous la vingtaine.
38+
39+(d) Si $y^{*}$ est de Student à $\nu$ degrés de liberté, $\exp(y^{*})$ a une densité dont la queue droite décroît comme $(\ln P)^{-(\nu+1)}/P$, trop lentement pour que $\int P \cdot p(P)\,\dd P$ converge : l'espérance est infinie quel que soit $\nu$. La quantité à communiquer est la médiane, $\exp(\mathbf{x}_s\T\mathbf{m}_n) = \dollars{635821}$, qui est le prix que le sujet a autant de chances de dépasser que de ne pas atteindre, accompagnée des intervalles de crédibilité ; c'est d'ailleurs ce que « prix le plus probable » veut dire.
40+\end{solution}
41+
42+\begin{solution}{ex:39:5}{Calculer $\hat R$}
43+(a) La moyenne des quatre moyennes est $-0{,}260$ ; leurs écarts au carré somment à $0{,}000\,250$, d'où $B = n \times 0{,}000\,250/(m-1) = 1000 \times 0{,}000\,250/3 = 0{,}0833$. $W = (0{,}0049 + 0{,}0052 + 0{,}0047 + 0{,}0055)/4 = 0{,}005\,075$. $\widehat{\Var}^{+} = (999/1000) \times 0{,}005\,075 + 0{,}0833/1000 = 0{,}005\,153$, et $\hat R = \sqrt{0{,}005\,153/0{,}005\,075} = 1{,}0077$ : en deçà de 1,01, la convergence est acceptable.
44+
45+(b) Avec une troisième moyenne de $-0{,}371$, la moyenne générale devient $-0{,}285$ et la somme des écarts au carré $0{,}009\,95$, d'où $B = 3{,}317$, $\widehat{\Var}^{+} = 0{,}005\,070 + 0{,}003\,317 = 0{,}008\,387$ et $\hat R = 1{,}2855$. Une chaîne explore une région différente des trois autres : soit elle n'a pas convergé, soit la postérieure a plusieurs modes ; dans les deux cas, on ne conclut pas.
46+
47+(c) Si $\rho_t = 0{,}8^t$, $\sum_{t \geq 1}\rho_t = 0{,}8/0{,}2 = 4$ et $\mathit{ESS} = 4000/(1 + 2 \times 4) = 444$. C'est suffisant pour la moyenne a posteriori (erreur de Monte-Carlo d'environ $1/\sqrt{444} = 4{,}7$ \% de l'écart-type a posteriori) mais insuffisant pour un quantile à 2,5 \%, dont l'estimation repose sur une vingtaine de tirages effectifs ; il faudrait allonger les chaînes ou, mieux, réduire l'autocorrélation par un tirage par blocs.
48+\end{solution}
49+
50+\begin{solution}{ex:39:6}{Le facteur de défiance d'un a priori emprunté}
51+(a) La ligne $\kappa = 1$ redonne une élasticité de 0,543 avec un écart-type de 0,016 et une médiane du sujet de \dollars{630978}. Avec $\kappa = 0{,}25$, l'a priori est deux fois plus précis que la postérieure du marché voisin lui-même, ce qui n'est défendable que si l'on dispose d'une information externe supplémentaire ; l'élasticité devient 0,541 avec un écart-type de 0,008 et la médiane du sujet \dollars{629664}. Avec $\kappa = 100$, l'a priori ne pèse presque plus : l'élasticité remonte à 0,599, son écart-type à 0,053 et la médiane à \dollars{644128}, proches de la ligne « référence » (0,611, 0,067, \dollars{650965}). La suite $\kappa = 0{,}25, 1, 4, 16, 100$ dessine le chemin continu entre « le marché voisin décide » et « les quarante ventes décident » ; le rapport doit dire où l'évaluateur s'est placé sur ce chemin et pourquoi.
52+
53+(b) Dans le modèle du marché voisin, la constante est le niveau de prix du secteur de référence une fois l'indicatrice de ce secteur retirée. Si ce secteur est Gatineau, dont le niveau est 13,1845 contre 13,2074 à Hull, emprunter la constante avec $\kappa = 1$ ne déplace la médiane du sujet que de \dollars{631263} contre \dollars{630978} ; si l'on prend Buckingham pour référence (constante 12,9591, soit 22 \% sous Hull), la médiane descend à \dollars{628165}. Le déplacement est modeste parce que quarante ventes locales fixent déjà le niveau avec un écart-type d'environ 0,03 en logarithme, contre 0,07 pour la constante empruntée : les données locales l'emportent. Avec cinq ventes locales, le rapport des précisions s'inverserait et le niveau de Buckingham contaminerait celui de Hull. La règle interdit l'emprunt de la constante parce que le niveau de prix est la quantité propre au marché cible, celle que les ventes locales doivent établir, tandis que les prix implicites sont ce que l'on peut raisonnablement supposer partagé ; le fait que l'emprunt soit inoffensif quand il est inutile et nuisible quand il compte est précisément ce qui le rend indéfendable.
54+
55+(c) Les 109 ventes de Hull de 2023 et 2024 donnent un a priori qui, appliqué aux quarante ventes du petit marché (toutes de 2025 et 2026), conduit à une élasticité de 0,530 (0,028) et à une médiane du sujet de \dollars{628160} dans un intervalle à 95 \% de \dollars{530314} à \dollars{744060} ; l'a priori « autres secteurs » donne 0,543 (0,016) et \dollars{630978}. Les deux conclusions diffèrent de \dollars{2800}. L'a priori « Hull 2023-2024 » emprunte au même marché à une période antérieure ; il suppose la stabilité des prix implicites dans le temps et laisse l'ajustement temporel aux ventes récentes. L'a priori « autres secteurs » emprunte à d'autres marchés à la même période ; il suppose la transférabilité spatiale des prix implicites. Devant un tribunal, le premier est généralement plus défendable : il porte sur le même bassin d'acheteurs, la même typologie de bâti et les mêmes règles d'urbanisme, et sa seule hypothèse, la stabilité des prix implicites sur deux ou trois ans, est vérifiable par la comparaison des deux postérieures. Le second exige de soutenir que l'acheteur de Buckingham valorise un garage comme celui de Hull, ce qui est plausible mais contestable. Dans les deux cas, l'analyse de sensibilité à $\kappa$ et la présentation du résultat de référence sont ce qui rend l'a priori recevable : il est montré, pas imposé.
56+\end{solution}
57+
58+\begin{solution}{ex:39:7}{Dériver une conditionnelle complète}
59+(a) Les facteurs de la postérieure jointe qui dépendent de $\alpha_0$ sont $\exp[-\sum_s(\alpha_s - \alpha_0)^2/(2\tau^2)]$ et $\exp[-(\alpha_0 - m)^2/(2s^2)]$. Le premier est, en $\alpha_0$, le noyau d'une normale de moyenne $\bar\alpha = J^{-1}\sum_s\alpha_s$ et de variance $\tau^2/J$ ; le produit de deux noyaux normaux est un noyau normal dont la précision est la somme des précisions et la moyenne la moyenne pondérée par les précisions :
60+\[
61+\alpha_0 \mid \cdot \sim \mathcal N\!\left(\frac{J\bar\alpha/\tau^2 + m/s^2}{J/\tau^2 + 1/s^2},\ \frac{1}{J/\tau^2 + 1/s^2}\right).
62+\]
63+Lorsque $s \to \infty$, $1/s^2 \to 0$ et l'on retrouve $\mathcal N(\bar\alpha, \tau^2/J)$, l'\cref{eq:39:cond-alpha0}.
64+
65+(b) Avec $J = 5$, $\tau = 0{,}181$ ($\tau^2 = 0{,}0328$, $J/\tau^2 = 152{,}4$) et $\bar\alpha = 13{,}020$ : pour $(m, s) = (13{,}0 ; 1{,}0)$, la précision est $152{,}4 + 1 = 153{,}4$, la moyenne $(152{,}4 \times 13{,}020 + 13{,}0)/153{,}4 = 13{,}0197$ et l'écart-type $0{,}0808$ ; l'a priori ne change presque rien. Pour $(13{,}0 ; 0{,}05)$, la précision est $152{,}4 + 400 = 552{,}4$, la moyenne $(152{,}4 \times 13{,}020 + 400 \times 13{,}0)/552{,}4 = 13{,}0055$ et l'écart-type $0{,}0425$ : l'opinion d'expert, équivalente à $400\tau^2 = 13$ secteurs fictifs, pèse 72 \% et tire le niveau moyen vers 13,0 tout en le rendant deux fois plus précis.
66+
67+(c) Les conditionnelles de $\boldsymbol\beta$ et de $\sigma^2$ ne font pas intervenir $\alpha_0$ ; celles des $\alpha_s$ et de $\tau^2$ font intervenir $\alpha_0$ par sa valeur courante, mais pas son a priori, puisque le facteur $p(\alpha_0)$ ne dépend ni de $\alpha_s$ ni de $\tau^2$. Seule la conditionnelle de $\alpha_0$ change.
68+
69+(d) L'implémentation remplace la ligne du tirage de $\alpha_0$ par la loi de (a). Avec $(m, s) = (13{,}0 ; 0{,}05)$, quatre chaînes de 3 000 itérations donnent des $\hat R$ au millième près de un et des ESS supérieurs à 5 000 pour tous les effets ; $\alpha_0$ passe de 13,021 (écart-type 0,147) à 13,008 (0,041), $\tau$ de 0,181 à 0,185 en médiane, et l'effet de Masson-Angers relatif à Hull de $-0{,}224$ à $-0{,}219$, soit un déplacement de 0,005. L'a priori sur $\alpha_0$ agit sur le niveau moyen des secteurs, et par le rétrécissement sur les $\alpha_s$ ; mais les effets \emph{relatifs} entre secteurs ne dépendent de $\alpha_0$ qu'à travers un rétrécissement dont le poids $1 - B_s$ est inférieur à 1 \% pour tous les secteurs de Gatineau. L'a priori a donc déplacé le niveau moyen vers 13,0 et l'a rendu trois fois plus précis, sans presque toucher aux écarts entre secteurs, ce qui est bien ce qu'une opinion sur le niveau moyen doit faire.
70+\end{solution}
modified solutions/ch40.tex +30 −1
@@ -1 +1,30 @@
1−% Solutions du chapitre 40 — Monte-Carlo et stress tests 1+% Solutions du chapitre 40 — Monte-Carlo et stress tests (données synthétiques, cas 3 et cas 4)
2+% Tous les chiffres proviennent de analysis/python/cases/ch40_montecarlo.py (fonction exercices) ; tests : analysis/python/tests/test_ch40.py
3+
4+\begin{solution}{ex:40:1}{Élicitation d'une loi log-normale}
5+Par l'\cref{eq:40:elicitation}, la médiane est la moyenne géométrique des deux quantiles, $m = \sqrt{0{,}024 \times 0{,}063} = \num{0.03888}$, soit \pct{3.89}, et l'écart-type logarithmique est $\sigma_{\ln} = \ln(0{,}063/0{,}024)/(2 \times 1{,}6449) = \ln(2{,}625)/3{,}2897 = \num{0.2934}$. La moyenne vaut $m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2} = 0{,}03888 \times e^{0{,}04304} = \num{0.04059}$, soit \pct{4.06}, et l'écart-type $m\,e^{\sigma_{\ln}^2/2}\sqrt{e^{\sigma_{\ln}^2} - 1} = 0{,}04059 \times \sqrt{e^{0{,}08608} - 1} = \num{0.01217}$, soit \pct{1.22}. La probabilité de dépasser \pct{5} est $1 - \Phi\big(\ln(0{,}05/0{,}03888)/0{,}2934\big) = 1 - \Phi(0{,}857) = \num{0.1957}$, soit \pct{19.6}. La loi du cas 3 (médiane \pct{3.9}, $\sigma_{\ln} = 0{,}30$) est pratiquement la même : l'expert a décrit, à quelques centièmes près, la loi du dossier, ce qui montre que les quantiles 5 et 95 \% du \cref{tab:40:lois} (\pct{2.38} et \pct{6.39}) sont bien l'équivalent, en langage d'expert, des paramètres $(m, \sigma_{\ln})$. La moyenne excède la médiane de \num{0.0017} parce que la loi est asymétrique à droite : les années d'inoccupation élevée, moins fréquentes, s'écartent davantage de la médiane que les années d'inoccupation faible, bornées par zéro ; c'est la moyenne qui entre dans l'espérance du revenu brut effectif, de sorte qu'une simulation centrée sur la médiane \pct{3.9} produit un revenu espéré légèrement inférieur au revenu déterministe.
6+\end{solution}
7+
8+\begin{solution}{ex:40:2}{Triangulaire ou bêta-PERT}
9+Pour la triangulaire $\mathcal{T}(0{,}08 ; 0{,}15 ; 0{,}25)$ : moyenne $(0{,}08 + 0{,}15 + 0{,}25)/3 = \pct{16.00}$ ; variance $(0{,}0064 + 0{,}0225 + 0{,}0625 - 0{,}012 - 0{,}02 - 0{,}0375)/18 = \num{0.0012167}$, écart-type \num{0.03488} ; $F(m) = 0{,}07/0{,}17 = 0{,}412$, donc $q_{0{,}05} = 0{,}08 + \sqrt{0{,}05 \times 0{,}17 \times 0{,}07} = \pct{10.44}$ et $q_{0{,}95} = 0{,}25 - \sqrt{0{,}05 \times 0{,}17 \times 0{,}10} = \pct{22.08}$. Pour la bêta-PERT ($\lambda = 4$) : $\alpha = 1 + 4 \times 0{,}07/0{,}17 = \num{2.647}$, $\beta = 1 + 4 \times 0{,}10/0{,}17 = \num{3.353}$ ; moyenne $(0{,}08 + 4 \times 0{,}15 + 0{,}25)/6 = \pct{15.50}$ ; écart-type $\sqrt{(0{,}155 - 0{,}08)(0{,}25 - 0{,}155)/7} = \num{0.03190}$ ; quantiles 5 et 95 \% (par la fonction quantile de la loi bêta) \pct{10.46} et \pct{20.94}. La probabilité d'une rotation supérieure à \pct{20} est $(0{,}25 - 0{,}20)^2/\big((0{,}25 - 0{,}08)(0{,}25 - 0{,}15)\big) = \num{0.147}$ pour la triangulaire et \num{0.092} pour la PERT : la triangulaire donne \pct{60} de poids en plus à la queue haute, parce que sa densité décroît linéairement jusqu'au maximum au lieu de s'y écraser. Le choix importerait si la rotation pesait sur la valeur ; or le \cref{tab:40:sobol} lui attribue \pct{1.3} de la variance (indice de Sobol \num{0.013}) et une amplitude de tornade de \dollars{90738}. Remplacer la triangulaire par la PERT abaisserait la moyenne de la rotation d'un demi-point et réduirait sa dispersion de \pct{9}, pour un effet sur la valeur médiane de l'ordre de quelques milliers de dollars, inférieur à l'erreur de Monte-Carlo (\dollars{4100}). Le choix importerait en revanche dans un modèle où la rotation gouverne la valeur, par exemple un immeuble dont tous les baux sont très en dessous du marché et dont la valeur dépend de la vitesse du rattrapage.
10+\end{solution}
11+
12+\begin{solution}{ex:40:3}{Nombre de tirages requis}
13+L'écart-type « pour $N = 1$ » de la médiane est $\sigma_1 = \sqrt{0{,}25}/f(q_{0{,}5}) = 0{,}5/(1{,}2093 \times 10^{-6}) = \dollars{413451}$, ce que l'on retrouve aussi par $\operatorname{se}_{\num{10000}} \times \sqrt{\num{10000}} = 4135 \times 100$. Par l'\cref{eq:40:n-requis} avec $z_{0{,}975} = 1{,}96$ : pour une demi-largeur de \dollars{5000}, $N \geq (1{,}96 \times \num{413451}/5000)^2 = \num{26267}$ ; pour \dollars{1000}, $N \geq \num{656665}$, soit vingt-cinq fois plus, puisque la précision est cinq fois meilleure et que le coût croît comme le carré. Pour une probabilité voisine de 0,5, $\sigma_1 = \sqrt{0{,}5 \times 0{,}5} = 0{,}5$ : à un point près, $N \geq (1{,}96 \times 0{,}5/0{,}01)^2 = \num{9604}$ ; à un demi-point, $N \geq \num{38415}$. Les \num{10000} tirages du traité suffisent donc à estimer la probabilité de bris de covenant au point près et la médiane à \dollars{8000} près à \pct{95}. Vouloir la médiane à \dollars{1000} près demanderait deux tiers de million de tirages, ce qui reste faisable en quelques secondes avec le modèle vectorisé, mais serait vain : l'écart-type du taux d'actualisation, qui explique plus de la moitié de la variance de la valeur, est fixé à \qty{50}{\pb} par jugement, et le porter à 40 ou \qty{60}{\pb} déplacerait les quantiles de dizaines de milliers de dollars. L'erreur de Monte-Carlo doit être rendue petite devant l'incertitude de modélisation, pas devant le dollar ; au-delà, l'effort doit porter sur l'ancrage empirique des lois.
14+\end{solution}
15+
16+\begin{solution}{ex:40:4}{Copule gaussienne à la main}
17+Avec $\sigma_1 = 0{,}005$, $\sigma_2 = 0{,}0064$ et $\rho = 0{,}78$, l'\cref{eq:40:cholesky} donne
18+\[
19+\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0{,}005 & 0 \\ 0{,}78 \times 0{,}0064 & 0{,}0064\sqrt{1 - 0{,}78^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}005000 & 0 \\ 0{,}004992 & 0{,}004005 \end{pmatrix},
20+\]
21+et $\mathbf{L}\mathbf{L}\T$ a pour éléments $0{,}005^2 = 2{,}500 \times 10^{-5}$, $0{,}005 \times 0{,}004992 = 2{,}496 \times 10^{-5} = \rho\sigma_1\sigma_2$ et $0{,}004992^2 + 0{,}004005^2 = 4{,}096 \times 10^{-5} = 0{,}0064^2$ : la matrice de covariance est bien reconstituée. Pour $(\varepsilon_1, \varepsilon_2) = (1{,}2 ; -0{,}5)$ : $Z_1 = 0{,}005 \times 1{,}2 = 0{,}0060$ et $Z_2 = 0{,}004992 \times 1{,}2 - 0{,}004005 \times 0{,}5 = 0{,}005990 - 0{,}002003 = 0{,}003988$, d'où $r = 0{,}0725 + 0{,}0060 = \pct{7.85}$ et $R_T = 0{,}05 + 0{,}003988 = \pct{5.40}$ : un tirage de taux d'actualisation élevé entraîne un taux terminal élevé, le second tirage indépendant ne le ramenant qu'en partie. La corrélation de Spearman induite est $(6/\pi)\arcsin(0{,}39) = \num{0.765}$. La construction du cas 3, $R_T = r - \delta$ avec $r \sim \mathcal{N}(0{,}0725 ; 0{,}005^2)$ et $\delta \sim \mathcal{N}(0{,}0225 ; 0{,}004^2)$ indépendants, s'écrit $R_T - 0{,}05 = 0{,}005\,\varepsilon_1 - 0{,}004\,\varepsilon_2'$ : c'est exactement la seconde ligne de $\mathbf{L}$ avec $\rho\sigma_2 = 0{,}005$ et $\sigma_2\sqrt{1 - \rho^2} = 0{,}004$ (le signe de $\varepsilon_2'$ est indifférent), d'où $\sigma_2 = \sqrt{0{,}005^2 + 0{,}004^2} = 0{,}0064$ et $\rho = 0{,}005/0{,}0064 = 0{,}781$, conformément à l'\cref{eq:40:rRT}. La relation structurelle « taux terminal = taux d'actualisation moins croissance » est donc une copule gaussienne dont les paramètres sont implicites ; l'avantage de l'écrire ainsi est que chaque paramètre a un sens économique.
22+\end{solution}
23+
24+\begin{solution}{ex:40:5}{VaR, CVaR et approximation normale}
25+Sur les \num{10000} valeurs simulées, le quantile 10 \% est \dollars{1823312} ; la VaR à \pct{10} par rapport à \dollars{2208566} est donc $\dollars{2208566} - \dollars{1823312} = \dollars{385254}$, soit \pct{17.4} de la valeur. La moyenne des \num{1000} plus petites valeurs est \dollars{1717358}, d'où une CVaR de \dollars{491208}, soit \pct{22.2}. Sous l'hypothèse normale de moyenne \dollars{2233506} et d'écart-type \dollars{350443}, le quantile 10 \% serait $\mu + \sigma z_{0{,}10} = \num{2233506} - \num{350443} \times 1{,}2816 = \dollars{1784395}$, soit une VaR de \dollars{424171}, et l'espérance de queue serait $\mu - \sigma\varphi(z_{0{,}10})/0{,}10 = \num{2233506} - \num{350443} \times 1{,}7550 = \dollars{1618485}$, soit une CVaR de \dollars{590081}. L'approximation normale surestime la VaR de \dollars{38917} et la CVaR de \dollars{98873} : la distribution simulée est asymétrique à droite (moyenne supérieure à la médiane de \dollars{41898}, queue haute longue), de sorte que sa queue basse est plus courte que celle d'une normale de même écart-type, lequel est gonflé par la queue haute. Un prêteur qui garantit \pct{75} de la valeur, soit \dollars{1656425}, regarde la probabilité que la valeur tombe sous ce montant, $F(\dollars{1656425})$, qui se lit sur la fonction de répartition simulée (\pct{2.1} sur les \num{10000} tirages) et, pour la gravité de la perte au-delà, la CVaR au niveau correspondant plutôt que la VaR, qui ne dit rien de ce qui se passe une fois le seuil franchi. La CVaR est sous-additive : la CVaR d'un portefeuille de prêts n'excède jamais la somme des CVaR, ce qui en fait une mesure cohérente pour l'agrégation ; la VaR peut au contraire croître par agrégation lorsque les distributions sont asymétriques ou à queues épaisses, ce qui récompenserait paradoxalement la concentration.
26+\end{solution}
27+
28+\begin{solution}{ex:40:6}{Incertitude doublée sur le taux d'actualisation}
29+Avec $\sigma_r = \qty{100}{\pb}$ et la même graine, la médiane est de \dollars{2184377} (contre \dollars{2191608}), l'écart-type de \dollars{546896} (contre \dollars{350443}, soit $\times 1{,}56$), le coefficient de variation de \pct{24.0} (contre \pct{15.7}), l'intervalle à \pct{90} de \dollars{1539790} à \dollars{3322787} (contre \dollars{1735194} à \dollars{2876902}) et la probabilité d'une valeur inférieure à deux millions de \pct{35.6} (contre \pct{26.5}). La médiane bouge à peine parce que la loi de $r$ reste centrée sur \pct{7.25} : élargir une loi symétrique ne déplace pas son centre, et la valeur est presque linéaire en $r$ sur la plage considérée, de sorte que la médiane de la valeur suit la médiane de $r$ ; la légère baisse (\dollars{7231}) tient à la convexité, qui déplace la moyenne vers le haut et la médiane vers le bas quand la dispersion croît, et à l'élargissement de la loi de $R_T = r - \delta$, dont le plancher à \pct{3.5} devient plus souvent actif. Si le modèle est additif, la variance due à $r$ quadruple tandis que les autres contributions sont inchangées : l'indice de Sobol de $r$ passe d'environ $0{,}528$ à $4 \times 0{,}528/(1 + 3 \times 0{,}528) = \num{0.817}$ ; la variance totale est multipliée par $1 + 3 \times 0{,}528 = 2{,}58$, soit un écart-type multiplié par $1{,}61$, proche du $1{,}56$ observé, l'écart venant du plancher du taux terminal et des interactions. Phrase de rapport : « La valeur par flux actualisés de \dollars{2208566} repose d'abord sur un taux d'actualisation de \pct{7.25} qui, en l'absence d'enquête publique sur les rendements exigés pour le multirésidentiel montréalais, n'est connu qu'à un point de pourcentage près à \pct{90} ; sous cette incertitude, neuf fois sur dix la valeur se situe entre \dollars{1540000} et \dollars{3323000}, et il y a environ une chance sur trois qu'elle soit inférieure à deux millions ; la conclusion ponctuelle n'en est pas moins la meilleure estimation, mais le lecteur doit savoir que sa précision est gouvernée par le taux de rendement exigé, non par l'exploitation de l'immeuble. »
30+\end{solution}
modified solutions/ch42.tex +45 −0
@@ -1 +1,46 @@
1 % Solutions du chapitre 42 — Copropriétés et conversions 1 % Solutions du chapitre 42 — Copropriétés et conversions
2+% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch42.py (classe TestExercices) et analysis/python/cases/ch42_copro.py.
3+
4+\begin{solution}{ex:42:1}{Charges d'une fraction}
5+La somme des superficies est $60 + 75 + 75 + 90 + 90 + 110 = \msq{500}$, et la quote-part d'une fraction de \msq{90} est $90/500 = 0{,}18$ selon l'\cref{eq:7:valeur-relative}. Le budget total est de $36\,000 + 15\,000 + 4\,000 = \dollars{55000}$ ; la contribution annuelle de la fraction est $0{,}18 \times 55\,000 = \dollars{9900}$, soit \dollars{825} par mois. Elle se décompose en $0{,}18 \times 36\,000 = \dollars{6480}$ de charges courantes, $0{,}18 \times 15\,000 = \dollars{2700}$ de contribution au fonds de prévoyance et $0{,}18 \times 4\,000 = \dollars{720}$ de contribution au fonds d'auto assurance.
6+
7+Seules les charges courantes entrent dans l'ajustement de l'\cref{eq:42:charges}, parce qu'elles seules sont un coût d'usage sans contrepartie patrimoniale : la contribution au fonds de prévoyance finance des réparations majeures dont le copropriétaire bénéficiera, et celle au fonds d'auto assurance constitue une réserve liquide qui lui appartient collectivement ; les capitaliser comme des charges reviendrait à pénaliser la copropriété prudente. La situation du fonds est traitée séparément, par le déficit de capitalisation et l'ajustement de syndicat de l'\cref{eq:42:syndicat}. Rapportées au mètre carré, les charges courantes de cet immeuble sont de $36\,000/500 = \parmsq{72}$ par année, grandeur que l'on compare à celle des immeubles concurrents.
8+\end{solution}
9+
10+\begin{solution}{ex:42:2}{Lire une attestation}
11+La part de la fraction dans la cotisation spéciale est $0{,}085 \times 40\,000 = \dollars{3400}$ ; elle est exigible dans six mois et incombera à l'acquéreur si la vente est conclue avant, à moins que la promesse d'achat n'en dispose autrement (art.~1069 C.c.Q.). L'écart entre le montant recommandé par l'étude et le solde réel est $180\,000 - 62\,000 = \dollars{118000}$, dont la part de la fraction est $0{,}085 \times 118\,000 = \dollars{10030}$ ; c'est la mesure la plus directe du déficit de capitalisation, qui tient lieu du $D_0$ de l'\cref{eq:7:deficit} lorsque l'étude fournit la recommandation de solde. L'exposition totale de l'acheteur est donc de $3\,400 + 10\,030 = \dollars{13430}$, dont \dollars{3400} de passif certain et \dollars{10030} de passif latent que le renflouement sur dix ans et les hausses de cotisation transformeront en versements ; la hausse de cotisation annuelle nécessaire pour la fraction est $0{,}085 \times (19\,500 - 9\,000) = \dollars{892.50}$.
12+
13+Les rubriques utilisées sont celles de l'article~10 du règlement relatives au solde du fonds de prévoyance et à la recommandation de l'étude, aux contributions exigées et aux cotisations spéciales, et aux litiges. Il manque, pour juger du risque de nouvelles cotisations spéciales, la rubrique des travaux majeurs prévus au cours des dix prochaines années avec leur coût estimé, rapprochée des sinistres et des inspections des cinq dernières années : c'est elle qui dit si le déficit de \dollars{118000} se matérialisera bientôt, par exemple au remplacement d'une toiture, ou s'il peut être comblé par les cotisations avant la prochaine dépense. Dans la grille, l'ajustement de syndicat de cette fraction par rapport à un comparable sain serait de $-\kappa \times 13\,430$, soit \dollars{-13430} pour $\kappa = 1$.
14+\end{solution}
15+
16+\begin{solution}{ex:42:3}{Capitaliser un écart de charges}
17+L'écart de charges courantes est $(62 - 48) \times 90 = \dollars{1260}$ par année. L'\cref{eq:42:charges} donne un ajustement de $1\,260/0{,}06 = \dollars{21000}$ pour $R_c = 6$~\%, de $1\,260/0{,}08 = \dollars{15750}$ pour 8~\% et de $1\,260/0{,}12 = \dollars{10500}$ pour 12~\% ; la fraction la moins chargée vaut davantage de ce montant, et c'est le prix de la fraction la plus chargée qui est relevé d'autant lorsqu'elle sert de comparable. La borne de Gordon de l'\cref{eq:42:charges-gordon}, avec $r = 5$~\% et $g = 2{,}5$~\%, capitalise l'écart à $1\,260/(0{,}05 - 0{,}025) = \dollars{50400}$, plus de trois fois l'ajustement à 8~\% : elle suppose un acheteur à horizon infini qui escompte intégralement un écart perpétuel, hypothèses que le marché ne vérifie pas.
18+
19+Si l'écart tient à un ascenseur et à un concierge, l'ajustement ne doit pas être appliqué en entier, et peut-être pas du tout. Les charges supplémentaires achètent des services que les acheteurs valorisent et qui sont déjà payés dans le prix par le canal de la qualité de l'immeuble ; capitaliser l'écart de charges et comparer deux immeubles dont l'un offre ces services reviendrait à compter deux fois la même différence, une fois en négatif dans les charges et une fois en positif dans la qualité. La bonne pratique consiste à n'ajuster par capitalisation que la part de l'écart qui ne correspond à aucun service différent, par exemple une assurance plus coûteuse ou une gestion plus lourde à services égaux, et à traiter les services par un ajustement de qualité distinct, estimé par paires d'immeubles avec et sans ascenseur. À défaut de pouvoir séparer les deux, l'évaluateur préfère des comparables dont le niveau de services est celui du sujet.
20+\end{solution}
21+
22+\begin{solution}{ex:42:4}{Une grille à un comparable}
23+Le prix ramené à la date d'évaluation est $342\,000 \times 1{,}02^{5/12} = \dollars{344834}$, soit un ajustement de conditions du marché de $+\dollars{2834}$. Les ajustements de propriété, du point de vue du sujet, sont : étage, $344\,834 \times (0{,}02 - 0) = +\dollars{6897}$, le sujet au troisième étant supérieur au comparable du deuxième ; orientation, $344\,834 \times (-0{,}03 - 0{,}03) = \dollars{-20690}$, le sujet au nord étant inférieur au comparable au sud ; stationnement, $\dollars{-28000}$, le sujet n'ayant pas de case ; superficie, $(80 - 84) \times 2\,190 = \dollars{-8760}$. Le prix ajusté est $342\,000 + 2\,834 + 6\,897 - 20\,690 - 28\,000 - 8\,760 = \dollars{294280}$. L'ajustement brut est $(2\,834 + 6\,897 + 20\,690 + 28\,000 + 8\,760)/342\,000 = 19{,}6$~\% et l'ajustement net $-47\,720/342\,000 = -14{,}0$~\% : le comparable est systématiquement supérieur au sujet, ce qui expose l'estimation au risque d'une surestimation des primes d'orientation et de stationnement, et un second comparable plus proche du sujet serait nécessaire pour conclure.
24+
25+L'ajustement de syndicat est négligeable parce que le comparable est dans le même immeuble que le sujet : les deux fractions partagent le même déficit de capitalisation $D_0$ et l'ajustement de l'\cref{eq:42:syndicat} se réduit à $\kappa (q_j - q_s) D_0$, produit de la différence de quotes-parts, de l'ordre de quelques millièmes pour des superficies voisines, par le déficit. Si le déficit était de \dollars{100000} et la différence de quotes-parts de 0,005, l'ajustement serait de \dollars{500}, sans effet sur la conclusion. De même, aucun ajustement de charges n'est nécessaire, les deux fractions supportant les mêmes charges courantes par mètre carré ; c'est l'avantage du premier cercle de comparables décrit à la \cref{sec:42:cercles}.
26+\end{solution}
27+
28+\begin{solution}{ex:42:5}{Valeur marchande et valeur d'investissement d'une fraction louée}
29+Au loyer de \dollars{1700} par mois, le revenu brut potentiel est de \dollars{20400} et le revenu brut effectif, après 2,1~\% d'inoccupation, de \dollars{19972}. Les dépenses sont les taxes (\dollars{3300}), l'assurance (\dollars{600}), les frais de copropriété normalisés (\dollars{10218}) et la gestion ($0{,}05 \times 19\,972 = \dollars{999}$), soit \dollars{15117} ; le revenu net d'exploitation de l'\cref{eq:42:rne-copro} est de \dollars{4855}, et le taux implicite sur un prix de \dollars{380000} de $4\,855/380\,000 = 1{,}28$~\%.
30+
31+Pour atteindre un taux de 4~\%, le revenu net devrait être de $0{,}04 \times 380\,000 = \dollars{15200}$. En notant $RBE$ le revenu brut effectif, la condition $RBE - 3\,300 - 600 - 10\,218 - 0{,}05\,RBE = 15\,200$ donne $RBE = 29\,318/0{,}95 = \dollars{30861}$, puis un revenu brut potentiel de $30\,861/(1 - 0{,}021) = \dollars{31523}$, soit un loyer de \dollars{2627} par mois. Ce loyer excède de 44~\% le loyer moyen des copropriétés de deux chambres offertes en location dans la RMR de Montréal en octobre 2025 (\dollars{1826}) et de 91~\% celui de la RMR de Québec (\dollars{1377}) ; aucun marché québécois ne l'offre pour une fraction de ce type. La conclusion est que le prix des fractions n'est pas fixé par les investisseurs mais par les acheteurs-occupants, qui comparent le coût d'usage de la propriété à un loyer et incorporent l'anticipation de plus-value ; l'investisseur qui achète au prix du marché accepte un rendement courant très faible et parie sur la hausse des prix et des loyers. Pour l'évaluateur, la méthode du revenu donne ici une valeur d'investissement, $4\,855/0{,}04 = \dollars{121375}$ pour un investisseur exigeant 4~\%, sans rapport avec la valeur marchande ; elle ne doit pas servir à estimer cette dernière.
32+\end{solution}
33+
34+\begin{solution}{ex:42:6}{Faisabilité d'une conversion avec le script du chapitre}
35+(a) Avec un taux global de 4,75~\%, la valeur en bloc devient $82\,533/0{,}0475 = \dollars{1737546}$ au lieu de \dollars{1572065}, et la prime de conversion, pour une valeur de conversion inchangée de \dollars{1692804}, devient \emph{négative} : $1\,692\,804 - 1\,737\,546 = \dollars{-44742}$. Un demi-point de taux de capitalisation suffit à faire disparaître l'intérêt de la conversion, ce qui montre que la prime se juge toujours par rapport à une valeur en bloc elle-même incertaine. (b) Avec une rotation de 30~\% et une décote de 10~\%, la valeur de conversion monte à \dollars{1893849} : les logements occupés se libèrent vite et le reliquat vendu occupé est faible, de sorte que l'écart brut entre la somme des fractions et la valeur en bloc est capté presque entièrement. (c) Sans les \dollars{120000} d'individualisation des services, la valeur de conversion augmente exactement de \dollars{120000}, parce que ce coût est engagé à $t = 0$ dans l'\cref{eq:42:conv} et n'est donc pas actualisé ; tout coût de conversion différé d'un an ne pèserait que $1/1{,}10$ de son montant. (d) Dans le \cref{tab:42:sensibilite-conversion}, la vente occupée dès la première année domine l'attente pour toutes les rotations lorsque $\delta = 10$~\% ou 20~\% ; pour $\delta = 30$~\%, elle domine jusqu'à $\rho = 20$~\% inclus et l'attente l'emporte à $\rho = 30$~\% (\dollars{1871145} contre \dollars{1776002}).
36+
37+Note au propriétaire. Avant d'entreprendre la conversion, vérifier d'abord le droit : l'immeuble, parce qu'il comporte des logements, ne peut être converti sans l'autorisation du Tribunal administratif du logement (art.~51) ; s'il est dans l'agglomération de Montréal, la conversion est interdite sauf dérogation de l'arrondissement (art.~51 et 54.12) ; ailleurs, le règlement municipal peut l'interdire ou la conditionner (art.~54.13). Vérifier ensuite la séquence : avis d'intention à chaque locataire avant toute démarche ou visite (art.~52), gel des travaux non urgents et de toute reprise (art.~53 et 54), demande au Tribunal dans les six mois (art.~54.1), inscription de la déclaration dans l'année de l'autorisation (art.~54.4), rapport d'expert et circulaire avant chaque première vente (art.~54.6), offre préalable au locataire aux mêmes prix et conditions (art.~54.7). Vérifier enfin les faits : le profil et l'ancienneté des locataires, qui gouvernent la rotation, le marché des copropriétés du secteur et sa tendance, l'existence d'investisseurs acheteurs de fractions occupées, le coût réel du cadastre vertical et de l'individualisation des services, et l'écart entre la valeur en bloc et la somme des fractions, puisqu'une prime de 7,7~\% disparaît si le taux de capitalisation des immeubles locatifs baisse d'un demi-point ou si les prix des copropriétés reculent de 6,3~\%.
38+\end{solution}
39+
40+\begin{solution}{ex:42:7}{Convertir une indivision en copropriété divise}
41+Chaque part indivise vaut, sans décote, $1\,050\,000/3 = \dollars{350000}$, et avec la décote de 12~\% de l'\cref{eq:7:indivision}, $350\,000 \times 0{,}88 = \dollars{308000}$ ; la valeur totale des trois parts est de \dollars{924000}, inférieure de \dollars{126000} à la valeur de l'immeuble en pleine propriété. Après conversion, les trois fractions vaudraient $3 \times 370\,000 = \dollars{1110000}$, somme supérieure à la valeur de l'immeuble entier parce que les acheteurs-occupants de fractions paient davantage, par logement, que l'acheteur d'un triplex entier. Le gain net de la conversion est $1\,110\,000 - 924\,000 - 60\,000 = \dollars{126000}$, soit \dollars{42000} par indivisaire si les coûts et les gains sont partagés à parts égales, ce que la convention d'indivision et la valeur relative des fractions peuvent moduler. Le gain provient pour \dollars{126000} de la suppression de la décote d'indivision et pour \dollars{60000} de l'écart entre la somme des fractions et la pleine propriété, dont les coûts de conversion absorbent la totalité.
42+
43+L'interdiction de conversion dans l'agglomération de Montréal, énoncée au troisième alinéa de l'article~51 de la Loi sur le TAL, « ne s'applique pas à l'immeuble dont tous les logements sont occupés par des propriétaires indivis » : les trois indivisaires occupant chacun leur logement, l'immeuble échappe à l'interdiction montréalaise et aux dérogations de l'article~54.12. Les autres conditions demeurent dans la mesure où elles s'appliquent : le premier alinéa de l'article~51 exige l'autorisation du Tribunal pour tout immeuble comportant ou ayant comporté au cours des dix années précédentes au moins un logement, de sorte qu'un logement loué à un tiers au cours de la dernière décennie appelle la vérification de la procédure complète (avis d'intention, demande dans les six mois, préemption d'un éventuel locataire) ; la portée exacte de cette exigence pour un immeuble entièrement occupé par ses propriétaires relève d'un avis juridique, que l'évaluateur recommande d'obtenir avant de compter le gain. Le Code civil exige en outre un plan cadastral qui immatricule séparément les parties privatives et communes (art.~3030), d'où les frais d'arpenteur-géomètre compris dans les \dollars{60000}, et la déclaration doit indiquer la valeur relative de chaque fraction et la méthode suivie pour l'établir (art.~1053).
44+
45+L'évaluateur mandaté pour la valeur relative documente la méthode : les critères admis par l'article~1041 (nature, destination, dimensions et situation de chaque partie privative, à l'exclusion de son utilisation et donc de l'état intérieur ou des améliorations de chaque indivisaire), les superficies mesurées selon une convention unique, les coefficients d'étage et d'orientation retenus et leur justification, et la règle d'arrondi qui assure que les quotes-parts somment à l'unité ; il précise que cette valeur relative est une clé de répartition des charges et des voix, fixée dans la déclaration et non modifiable par une décision du syndicat contraire à celle-ci (art.~1102), et qu'elle se distingue de la valeur marchande de \dollars{370000} que chaque fraction pourrait obtenir sur le marché.
46+\end{solution}
modified solutions/ch43.tex +51 −0
@@ -1 +1,52 @@
1 % Solutions du chapitre 43 — Risques environnementaux et sinistres 1 % Solutions du chapitre 43 — Risques environnementaux et sinistres
2+% Chiffres recalculés par analysis/python/tests/test_ch43.py (classe TestExercices) à partir de analysis/python/cases/ch43_risques.py.
3+
4+\begin{solution}{ex:43:1}{Lire un coefficient de zone inondable}
5+Par la formule de Halvorsen et Palmquist, l'effet en pourcentage est $100\,[e^{-0{,}083} - 1] = -7{,}96$~\%. La correction de Kennedy retranche la moitié de la variance de l'estimateur : $100\,[e^{-0{,}083 - 0{,}021^2/2} - 1] = -7{,}99$~\%, un écart négligeable ici parce que l'erreur-type est petite. L'intervalle de confiance à 95~\% du coefficient est $-0{,}083 \pm 1{,}96 \times 0{,}021$, soit $[-0{,}1242 ; -0{,}0418]$ ; transformé, il donne un effet compris entre $-11{,}68$ et $-4{,}10$~\%.
6+
7+Ce coefficient mesure la décote moyenne, à caractéristiques données, des biens situés en zone inondable sur toute la période de l'échantillon : c'est le prix que le marché attache au risque tel qu'il le connaît, avant et après tout événement confondus. Il ne mesure pas le stigmate d'une inondation passée, qui est la \emph{variation} de cette décote après l'événement. Pour le mesurer, il faut ajouter au modèle une indicatrice de période (ventes postérieures à l'événement) et son interaction avec l'indicatrice de zone, selon l'\cref{eq:43:interaction} ; le coefficient de l'interaction est le stigmate, celui de l'indicatrice de zone devient la décote antérieure à l'événement. Si l'échantillon comporte des biens riverains non exposés, une variable d'aménité (vue sur l'eau) doit aussi figurer au modèle, faute de quoi la décote est sous-estimée (\cref{sec:43:mesure}).
8+\end{solution}
9+
10+\begin{solution}{ex:43:2}{Prime de taux et décote de valeur}
11+Hors zone, $V = 120000/0{,}0525 = \dollars{2285714}$. En zone inondable, le taux est $0{,}0525 \times 1{,}0786 = 5{,}663$~\% et $V = 120000/0{,}05663 = \dollars{2119149}$. La décote est $2119149/2285714 - 1 = -7{,}29$~\%, et l'on vérifie que $1 - 1/1{,}0786 = 0{,}0729$ : par l'\cref{eq:43:decote-taux}, une prime de $7{,}86$~\% du taux équivaut à une décote de valeur de $7{,}29$~\%, et non de $7{,}86$~\%, parce que la valeur est inversement proportionnelle au taux.
12+
13+Si le risque réduit en outre le revenu net de 3~\%, l'\cref{eq:43:effet-total} donne $\Delta\ln V = \ln 0{,}97 - \ln 1{,}0786 = -0{,}0305 - 0{,}0757 = -0{,}1061$, soit une décote totale de $100\,[e^{-0{,}1061} - 1] = -10{,}07$~\%. Les deux effets s'additionnent en logarithme, non en pourcentage : $7{,}29 + 3 = 10{,}29$ serait une approximation acceptable, mais la valeur exacte est $1 - 0{,}97/1{,}0786 = 10{,}07$~\%.
14+\end{solution}
15+
16+\begin{solution}{ex:43:3}{Terrain contaminé}
17+Par l'\cref{eq:43:contamine}, avec $T = 1$ an, $r = 7$~\%, $s = 8$~\% et $k = 20$~\% : la valeur actualisée du terrain propre stigmatisé est $850000 \times 0{,}92/1{,}07 = \dollars{730841}$ ; la valeur actualisée du coût, payé à mi-parcours, est $95000 \times 1{,}20/1{,}07^{0{,}5} = \dollars{110208}$ ; il n'y a pas de perte de revenu pour un terrain vacant. La valeur contaminée est $730841 - 110208 = \dollars{620633}$, soit $26{,}98$~\% de moins que la valeur propre.
18+
19+L'écart de \dollars{229367} se décompose en : coût de réhabilitation provisionné et actualisé, \dollars{110208} (48,0~\%) ; coût du délai, $850000 \times 0{,}92 - 730841 = \dollars{51159}$ (22,3~\%) ; stigmate, $0{,}08 \times 850000 = \dollars{68000}$ (29,6~\%). La règle « valeur propre moins coût » aurait donné $850000 - 95000 = \dollars{755000}$, soit \dollars{134367} de trop : elle ignore la provision, le délai et le stigmate, qui pèsent ensemble davantage que le coût nominal des travaux. La fonction \texttt{valeur\_terrain\_contamine} du script du chapitre reproduit ces montants.
20+\end{solution}
21+
22+\begin{solution}{ex:43:4}{Valeur après sinistre et assurance}
23+Le taux mensuel équivalent à 6~\% est $r_m = 1{,}06^{1/12} - 1 = 0{,}4868$~\%. La perte d'usage actualisée est $\sum_{m=1}^{4} 3600/(1 + r_m)^m = \dollars{14226}$ ; le stigmate est $0{,}04 \times 980000 = \dollars{39200}$. Par l'\cref{eq:43:sinistre}, la valeur de l'immeuble sinistré est $980000 - 140000 - 14226 - 39200 = \dollars{786574}$, soit une perte de 19,7~\%.
24+
25+L'indemnité est $0{,}80 \times 140000 - 5000 = \dollars{107000}$. Par l'\cref{eq:43:assure}, la position du propriétaire assuré est $786574 + 107000 = \dollars{893574}$ et sa perte nette $980000 - 893574 = \dollars{86426}$, qui se répartit en coûts non couverts $140000 - 107000 = \dollars{33000}$, loyers perdus \dollars{14226} et stigmate \dollars{39200} : le stigmate est le premier poste de la perte nette et il n'est pas assurable.
26+
27+Un an plus tard, les travaux terminés et documentés, le coût de remise en état et la perte d'usage ont disparu ; seul subsiste le stigmate résiduel mesuré sur le marché. Si le marché est par ailleurs inchangé, la valeur est $980000 \times (1 - 0{,}015) = \dollars{965300}$ ; le stigmate est passé de \dollars{39200} à \dollars{14700}. C'est le profil de récupération partielle que \textcite{ortegaTaspinar2018} observent pour les propriétés endommagées par Sandy.
28+\end{solution}
29+
30+\begin{solution}{ex:43:5}{Doubles différences à la main}
31+Par l'\cref{eq:43:did} : $\hat\delta = (12{,}86 - 12{,}84) - (12{,}98 - 12{,}90) = 0{,}02 - 0{,}08 = -0{,}06$, soit $100\,[e^{-0{,}06} - 1] = -5{,}82$~\%. Les prix des maisons hors zone ont progressé de 8 points de logarithme, ceux des maisons exposées de 2 ; la différence de 6 points est attribuée à l'inondation. L'estimateur mesure le \emph{stigmate}, c'est-à-dire l'aggravation de la décote après l'événement, et non la décote elle-même : avant l'inondation, les maisons exposées valaient déjà 6 points de moins ($12{,}84 - 12{,}90$), et cette décote antérieure n'entre pas dans $\hat\delta$. Les deux hypothèses sont celles des tendances parallèles (sans l'inondation, les prix des maisons exposées auraient progressé de 8 points comme ceux des autres) et de l'absence d'anticipation (les ventes antérieures n'intégraient pas déjà la crainte de l'événement).
32+
33+Si les maisons exposées vendues après l'inondation sont plus petites que celles vendues avant, leur logarithme moyen de prix est abaissé par la composition et non par le stigmate : la progression des exposées (0,02) est sous-estimée, et $\hat\delta$ est biaisé vers une décote trop forte. La régression de l'\cref{eq:43:interaction} ajoute les caractéristiques des maisons (superficies, âge, qualité) et une tendance temporelle continue : le coefficient de l'interaction compare alors des maisons semblables, et il est accompagné d'une erreur-type que l'estimateur à quatre moyennes ne fournit pas.
34+\end{solution}
35+
36+\begin{solution}{ex:43:6}{Inférence de randomisation}
37+(a) Le nombre d'affectations est $\binom{48}{3} = 17296$, et le script les énumère toutes (fonction \texttt{did\_cas4}) ; la valeur $p$ est la part des estimateurs placebo dont la valeur absolue atteint celle de l'estimateur observé, ce que le test \texttt{test\_ex6\_randomisation} vérifie : $p = 0{,}0052$ pour l'estimateur naïf ($-0{,}1129$) et $0{,}0240$ pour l'estimateur par strate ($-0{,}0794$).
38+
39+(b) Avec un choc permanent de $-0{,}02$, l'estimateur naïf devient $-0{,}0829$ ($p = 0{,}033$) et l'estimateur par strate $-0{,}0494$ ($p = 0{,}138$) : le choc n'est plus détecté au seuil de 5~\% par l'estimateur le mieux spécifié. Avec $-0{,}10$, les estimateurs sont de $-0{,}1629$ ($p = 0{,}0001$) et de $-0{,}1294$ ($p = 0{,}002$) : un choc de 10~\% est détecté sans ambiguïté. Dans les trois cas, l'estimateur par strate reste éloigné de la vérité ($-0{,}049$ pour $-0{,}02$ ; $-0{,}079$ pour $-0{,}05$ ; $-0{,}129$ pour $-0{,}10$) : l'écart d'environ $-0{,}03$ est le même, il vient de la tendance propre des trois immeubles traités, non du choc.
40+
41+(c) En déplaçant l'événement à 2017T2 sans injecter de choc (fenêtres 2016T1--2017T1 et 2017T2--2019T1), l'estimateur naïf est de $-0{,}0153$ et $p = 0{,}44$ : rien n'est détecté, ce qui est le résultat attendu d'un placebo et rassure sur l'absence de tendance différentielle forte avant 2019.
42+
43+Note. Un événement qui touche trois immeubles sur quarante-huit permet de rejeter l'hypothèse d'absence d'effet lorsque l'effet est grand (un choc de 10~\% du revenu net est détecté avec $p < 0{,}01$), mais il ne permet pas de le chiffrer : l'estimateur par strate surestime la vérité de trois points de logarithme quelle que soit l'ampleur du choc, parce que le hasard des trajectoires de trois immeubles ne se moyenne pas, et l'intervalle de confiance couvre une plage du simple au triple. La précision ne vient pas de la longueur des séries (42 trimestres) mais du nombre d'unités traitées ; un portefeuille n'en offre jamais assez. Pour chiffrer une décote, l'évaluateur doit sortir du portefeuille et recourir à un marché plus large (ventes de nombreux immeubles exposés) ou à la littérature, et réserver l'analyse d'événement du portefeuille à ce qu'elle sait faire : établir qu'un effet existe, en estimer l'ordre de grandeur et en suivre la dynamique.
44+\end{solution}
45+
46+\begin{solution}{ex:43:7}{Pyrite : tester, corriger ou déprécier}
47+(a) Par l'\cref{eq:11:test}, le test est justifié si la probabilité du défaut excède $p^{*} = t/C = 1200/25000 = 4{,}8$~\%. Une maison de 1984 d'un secteur documenté, sans certificat de remblai, dépasse ce seuil : le test est recommandé et, tant qu'il n'est pas fait, la conclusion de valeur repose sur une hypothèse extraordinaire divulguée.
48+
49+(b) Si le remblai est gonflant, la dépréciation curable est, par l'\cref{eq:43:curable}, $25000 + 2000 = \dollars{27000}$ (sans stigmate résiduel documenté). La dépréciation incurable qu'impliquerait le maintien du défaut, par l'\cref{eq:43:incurable}, est $1800/0{,}055 = \dollars{32727}$. La correction coûte moins que la perte capitalisée : le défaut est curable au sens du \cref{ch:24}, et c'est la dépréciation de \dollars{27000} qu'il faut retenir ; retenir \dollars{32727} supposerait qu'un acheteur rationnel renonce à une correction rentable. La fonction \texttt{desuetude\_vs\_correction} du script reproduit les deux montants.
50+
51+(c) Le stigmate d'une pyrite excavée et documentée est en général faible : la cause est éliminée, non seulement traitée, et le dossier (rapport de laboratoire avant travaux, factures d'excavation et de remblai certifié, rapport de l'entrepreneur) permet à l'acheteur de vérifier plutôt que de croire. \textcite{jackson2001} relèvent que le stigmate de la contamination décroît avec le temps écoulé depuis la réhabilitation et avec la qualité de l'information disponible, et qu'il est le plus fort lorsque la source du problème demeure ou que la correction n'est pas vérifiable. La pyrite excavée est dans le premier cas ; une dalle simplement réparée sans retrait du remblai est dans le second. L'évaluateur distingue donc deux situations que le marché distingue : une maison « avec pyrite réparée » et une maison « avec remblai remplacé », et il mesure, lorsque des ventes le permettent, l'écart résiduel entre la seconde et des maisons jamais touchées, qui est le stigmate au sens de la \cref{def:stigmate}.
52+\end{solution}
modified solutions/ch44.tex +30 −0
@@ -1 +1,31 @@
1 % Solutions du chapitre 44 — Rénovation et efficacité énergétique 1 % Solutions du chapitre 44 — Rénovation et efficacité énergétique
2+% Les chiffres sont vérifiés par analysis/python/tests/test_ch44.py (classe TestExercices) et reproduits par
3+% analysis/python/cases/ch44_renovation.py (fonction exercices).
4+
5+\begin{solution}{ex:44:1}{Facture au tarif D et prix marginal}
6+Le seuil annuel de la première tranche est $40 \times 365 = \num{14600}$~kWh et les frais d'accès valent $\num{0.46154} \times 365 = \dollars{168.46}$. Pour \num{18000}~kWh : première tranche $\num{14600} \times \num{0.07065} = \dollars{1031.49}$, seconde tranche $\num{3400} \times \num{0.11142} = \dollars{378.83}$, facture $168{,}46 + \num{1031.49} + 378{,}83 = \dollars{1578.78}$ ; prix moyen $\num{1578.78}/\num{18000} = \num{8.77}$~¢, prix marginal \num{11.142}~¢. Pour \num{26000}~kWh : seconde tranche $\num{11400} \times \num{0.11142} = \dollars{1270.19}$, facture \dollars{2470.14}, prix moyen \num{9.50}~¢, prix marginal \num{11.142}~¢. Mille kilowattheures évités à partir de \num{26000} valent $\num{1000} \times \num{0.11142} = \dollars{111.42}$, puisque la consommation reste au-dessus du seuil. Le logement qui passe de \num{15000} à \num{14000}~kWh franchit le seuil : 400~kWh sont évités au prix de la seconde tranche ($\dollars{44.57}$) et 600 au prix de la première ($600 \times \num{0.07065} = \dollars{42.39}$), soit \dollars{86.96}. La différence tient au prix marginal : l'économie se valorise au prix de la tranche où se trouve le kilowattheure évité, et non au prix moyen de la facture, qui inclut les frais d'accès fixes et la première tranche moins chère.
7+\end{solution}
8+
9+\begin{solution}{ex:44:2}{Subvention LogisVert}
10+L'aide est proportionnelle à la capacité à $-8$~°C : $24 \times \dollars{50} = \dollars{1200}$ pour l'appareil standard et $24 \times \dollars{120} = \dollars{2880}$ pour l'appareil climat froid, toutes deux sous le plafond de \dollars{6700}. Le plafond devient contraignant lorsque $120 \times C/\num{1000} = \num{6700}$, soit $C = \num{55833}$~BTU/h, une capacité de l'ordre de quatre tonnes et demie, rare pour une maison unifamiliale. Un appareil climat froid de \num{60000}~BTU/h donnerait $60 \times 120 = \dollars{7200}$, ramenés au plafond de \dollars{6700}. Les règles proviennent de la page du programme consultée le 31 octobre 2026 et doivent être revérifiées à la date des travaux.
11+\end{solution}
12+
13+\begin{solution}{ex:44:3}{Remplacer les fenêtres : rénovation ou investissement énergétique ?}
14+La subvention est $16 \times \dollars{300} = \dollars{4800}$, plafonnée à \dollars{4500} ; le coût net est $\num{22311} - \num{4500} = \dollars{17811}$. L'économie aux prix de 2026 est $600 \times \num{0.11142} = \dollars{66.85}$ par année. Sur 30 ans, avec une croissance de \pct{3.0} et un taux de \pct{4.58}, la valeur actuelle des économies est $\sum_{t=1}^{30} 66{,}85\,(1{,}03)^t / (1{,}0458)^t = \dollars{1597.80}$, et la VAN vaut $-\num{17811} + \num{1597.80} = -\dollars{16213.20}$ ; le TRI est de $-\pct{7.98}$. Le facteur de recouvrement du capital à \pct{4.58} sur 30 ans est $0{,}0458 / (1 - 1{,}0458^{-30}) = 0{,}06197$, l'annuité du coût net $\num{17811} \times 0{,}06197 = \dollars{1103.77}$ et le coût de l'énergie économisée $\num{1103.77}/600 = \dollars{1.84}$ par kilowattheure, soit \num{183.96}~¢, plus de seize fois le prix marginal. Sans subvention, la VAN tombe à $-\dollars{20713.20}$. Ces travaux ne sont pas un investissement énergétique : ce sont un \emph{remplacement à l'identique} d'une composante qui a consommé \pct{71.7} de sa vie utile (\cref{tab:44:taxonomie}), dont l'effet sur la facture est marginal. L'évaluateur n'en traite pas la contribution par la valeur actuelle des économies, mais par la dépréciation : des fenêtres neuves annulent la dépréciation imputée aux anciennes dans la méthode du coût (\dollars{15989.85} au \cref{ch:11}), et, dans la comparaison, elles rapprochent le sujet des comparables dont les fenêtres sont récentes, sans que le marché n'ajoute le coût des travaux.
15+\end{solution}
16+
17+\begin{solution}{ex:44:4}{Coût de l'énergie économisée}
18+Le facteur de recouvrement à \pct{4.58} sur 31 ans est $0{,}0458/(1 - 1{,}0458^{-31}) = 0{,}06103$. Avec subvention, l'annuité du coût net est $\num{2180} \times 0{,}06103 = \dollars{133.04}$ et le CEE $133{,}04 / 880 = 15{,}12$~¢ par kilowattheure ; sans subvention, $\num{4180} \times 0{,}06103 = \dollars{255.10}$ et $28{,}99$~¢. À \pct{8}, le facteur est $0{,}08/(1 - 1{,}08^{-31}) = 0{,}08811$, l'annuité nette \dollars{192.07} et le CEE $21{,}83$~¢. Comparés au prix marginal de \num{11.142}~¢, aucun de ces coûts n'est inférieur : à prix de l'électricité constant, l'isolation n'est rentable dans aucun des trois cas. Elle ne l'est, dans l'exemple intégral, que parce que le prix croît de \pct{3.0} par année : la croissance relève la valeur actuelle des économies à \dollars{2404.60}, juste au-dessus du coût net de \dollars{2180}. Sans subvention et avec cette croissance, la VAN est de $-\dollars{1775.40}$. L'enseignement est que, au tarif québécois, la rentabilité de l'isolation d'une maison déjà conforme à sa date repose entièrement sur la subvention et sur l'anticipation de hausses tarifaires.
19+\end{solution}
20+
21+\begin{solution}{ex:44:5}{Transposer une prime verte}
22+Les primes appliquées à \dollars{637953} donnent $0{,}0232 \times \num{637953} = \dollars{14800.51}$ (Europe) et $0{,}0536 \times \num{637953} = \dollars{34194.27}$ (Amérique du Nord). La valeur actuelle des économies des deux mesures est de \dollars{5806.91} sur quinze ans et, si la thermopompe était remplacée à l'identique sans coût de sorte que les économies durent trente et un ans, de \dollars{10700.48}. La prime européenne vaut donc 2,5 fois la valeur actuelle des économies sur quinze ans et 1,4 fois sur trente et un ans ; la prime nord-américaine, 5,9 et 3,2 fois. Paragraphe au client : « La prime verte que l'on cite pour l'Europe ou les États-Unis mesure l'écart de prix entre des maisons étiquetées et non étiquetées dans des marchés où l'énergie de chauffage coûte plusieurs fois le tarif québécois et où l'étiquette signale souvent une maison récente et de qualité. La valeur d'une maison économe pour un acheteur est au plus la somme actualisée des factures qu'il évitera : $V_E = \sum S_t/(1+r)^t$. Pour votre maison, au tarif D, ces économies valent entre \dollars{5800} et \dollars{10700} selon la durée, soit moins de 2 \% de la valeur, alors que les primes publiées en représenteraient 2,3 à 5,4 \%. Appliquer ces primes reviendrait à faire payer à l'acheteur deux à six fois ce que les économies valent ; aucune donnée québécoise ne montre que le marché le fait. Ce que votre thermopompe ajoute en confort de climatisation est une autre question, que nous mesurons par comparaison avec des maisons équipées et non équipées. »
23+\end{solution}
24+
25+\begin{solution}{ex:44:6}{Seuils d'équilibre et tornade}
26+Le script (fonction \texttt{seuils}) donne : (a) une croissance d'équilibre du prix de l'électricité de \pct{14.40} par année pendant quinze ans, près de cinq fois la hausse approuvée par la Régie ; (b) une économie d'équilibre de \num{8683}~kWh par année, soit \pct{78.9} de la charge de chauffage, alors que l'hypothèse est de \pct{30} ; (c) un coût net d'équilibre égal à la valeur actuelle des économies, \dollars{4893.46}, ce qui exigerait une subvention de $\num{16500} - \num{4893.46} = \dollars{11606.54}$, presque le double du plafond de \dollars{6700}. La tornade (fonction \texttt{sensibilite\_tornade}) classe les paramètres par l'étendue de la VAN : subvention (de $-\dollars{11606.54}$ sans aide à $-\dollars{4906.54}$ au plafond, étendue \dollars{6700}), coût installé ($\pm\pct{20}$ : $-\dollars{10586.54}$ à $-\dollars{3986.54}$, \dollars{6600}), économies (\pct{20} à \pct{40} du chauffage : $-\dollars{8917.69}$ à $-\dollars{5655.39}$, \dollars{3262}), consommation de référence (\num{16000} à \num{28000}~kWh : $-\dollars{9163.72}$ à $-\dollars{5951.96}$, \dollars{3212}), durée de vie (12 à 20 ans : $-\dollars{8177.94}$ à $-\dollars{5888.43}$, \dollars{2290}), croissance du prix (0 à \pct{6} : $-\dollars{8252.85}$ à $-\dollars{6025.92}$, \dollars{2227}) et taux d'actualisation (\pct{8} à \pct{2} : $-\dollars{8325.70}$ à $-\dollars{6211.70}$, \dollars{2114}). Discussion : aucun paramètre ne suffit, seul, à rendre positive la VAN d'une installation avant terme ; la rentabilité se joue dans le coût net, donc dans la subvention et le prix de l'appareil, bien plus que dans les paramètres financiers. C'est ce qui justifie la structure de LogisVert : bonifier l'appareil climat froid de \dollars{70} par \num{1000}~BTU/h par rapport au standard cible exactement le surcoût de la technologie performante (\dollars{2555.34} dans l'exemple, contre une bonification de \dollars{2520}), au moment où le propriétaire doit de toute façon remplacer son appareil ; la subvention agit sur la décision incrémentale, où elle est décisive, plutôt que sur la décision d'investir avant terme, où elle serait insuffisante et coûteuse.
27+\end{solution}
28+
29+\begin{solution}{ex:44:7}{Paires de ventes et prix implicite}
30+Avec les tolérances de référence (\msq{25}, 10 ans, 18 mois, 5 km), 30 paires : médiane \pct{5.78}, moyenne \pct{4.65}, écart-type \pct{13.64}. (a) Tolérances élargies (\msq{30}, 15 ans, 24 mois, sans limite de distance) : 59 paires, médiane \pct{6.04}, moyenne \pct{8.31}, écart-type \pct{14.11}. (b) Tolérances resserrées (\msq{15}, 8 ans, 9 mois, 2 km) : 4 paires seulement, médiane \pct{0.92}, moyenne \pct{4.98}, écart-type \pct{8.50}. Le prix implicite hédonique de l'échelon de qualité est $\exp(0{,}06108) - 1 = \pct{6.30}$ ; avec la correction de Kennedy, $\exp(\hat\beta - \tfrac{1}{2}\widehat{\Var}(\hat\beta)) - 1 = \exp(0{,}06108 - \tfrac{1}{2} \times 0{,}00423^2) - 1 = \pct{6.298}$, la variance étant négligeable. L'arbitrage est celui du \cref{ch:16} : des tolérances larges donnent beaucoup de paires et une moyenne stable mais contaminée par les différences résiduelles de superficie, d'âge et de date, qui ne se compensent qu'en moyenne et gonflent l'écart-type ; des tolérances étroites donnent des paires presque pures mais si peu nombreuses que la médiane de quatre observations n'a aucune précision. La régression domine parce qu'elle utilise les 600 ventes, contrôle simultanément toutes les caractéristiques et livre un écart-type de 0,00423 sur le coefficient, soit un intervalle de confiance d'environ $\pm\pct{0.9}$ sur l'effet, contre $\pm\pct{4.9}$ pour la moyenne des trente paires. L'appariement garde sa valeur de \emph{vérification} : il montre que l'effet est visible dans des transactions concrètes et pas seulement dans un coefficient, et il protège contre une erreur de spécification du modèle.
31+\end{solution}
modified sources/registry.csv +22 −0
@@ -391,4 +391,26 @@ SRC-34-03,donnees,"Indice des prix à la consommation, mensuel, non désaisonnal
391 SRC-35-001,page_web,Our Methodology — Teranet–National Bank House Price Index,Teranet / Banque Nationale du Canada,Consultée le 2026-10-31,https://housepriceindex.ca/about/our-methodology/,2026-10-31,verifie,35,"Lue par curl en mode non vérifié (certificat TLS invalide) ; méthode des ventes répétées, exclusions a)-d), exemple simplifié ; document complet annoncé non accessible ; clé teranetMethodologie2026 (lib-ch35.bib)" 391 SRC-35-001,page_web,Our Methodology — Teranet–National Bank House Price Index,Teranet / Banque Nationale du Canada,Consultée le 2026-10-31,https://housepriceindex.ca/about/our-methodology/,2026-10-31,verifie,35,"Lue par curl en mode non vérifié (certificat TLS invalide) ; méthode des ventes répétées, exclusions a)-d), exemple simplifié ; document complet annoncé non accessible ; clé teranetMethodologie2026 (lib-ch35.bib)"
392 SRC-35-002,metadonnees,Indice des prix des logements neufs (IPLN) — fiche de l'enquête 2310 (Base de métadonnées intégrée),Statistique Canada,Date de parution 2026-10-22 ; consultée le 2026-10-31,https://www23.statcan.gc.ca/imdb/p2SV_f.pl?Function=getSurvey&SDDS=2310,2026-10-31,verifie,35,"Définition, ajustement de qualité, population cible, collecte, « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » ; renvoie à 62F0014M2022003 (non consulté) ; clé statcaniplnimdb2310 (lib-ch35.bib)" 392 SRC-35-002,metadonnees,Indice des prix des logements neufs (IPLN) — fiche de l'enquête 2310 (Base de métadonnées intégrée),Statistique Canada,Date de parution 2026-10-22 ; consultée le 2026-10-31,https://www23.statcan.gc.ca/imdb/p2SV_f.pl?Function=getSurvey&SDDS=2310,2026-10-31,verifie,35,"Définition, ajustement de qualité, population cible, collecte, « n'est pas révisé et n'est pas désaisonnalisé » ; renvoie à 62F0014M2022003 (non consulté) ; clé statcaniplnimdb2310 (lib-ch35.bib)"
393 SRC-35-003,page_web,S&P CoreLogic Case-Shiller Home Price Indices — Methodology (PDF),S&P Dow Jones Indices,Tentative le 2026-10-31,https://www.spglobal.com/spdji/en/documents/methodologies/methodology-sp-corelogic-cs-home-price-indices.pdf,2026-10-31,inaccessible,35,HTTP 403 ; non cité dans le chapitre (voir CLM-35-10) 393 SRC-35-003,page_web,S&P CoreLogic Case-Shiller Home Price Indices — Methodology (PDF),S&P Dow Jones Indices,Tentative le 2026-10-31,https://www.spglobal.com/spdji/en/documents/methodologies/methodology-sp-corelogic-cs-home-price-indices.pdf,2026-10-31,inaccessible,35,HTTP 403 ; non cité dans le chapitre (voir CLM-35-10)
394+SRC-38-001,base_de_donnees,Registre EPSG des systèmes de référence de coordonnées (via PROJ 9.5.1 / pyproj 3.7.2),IOGP (EPSG Geodetic Parameter Dataset) ; distribution PROJ,PROJ 9.5.1 (pyproj 3.7.2),https://epsg.org/,2026-10-31,partiellement_verifie,38,"Codes 4326, 4269, 4617, 32187-32189, 2949-2951, 26918-26919, 2958-2959, 32198, 6622, 3857 et leurs paramètres lus dans la base EPSG embarquée (CRS.from_epsg) ; la fiche en ligne epsg.org/crs_32189 renvoie HTTP 403 à l'accès automatisé."
395+SRC-38-002,donnees,Zones inondables réglementées (Ville de Québec) — fiche CKAN vque_77,Ville de Québec / Données Québec,metadata_modified 2023-06-26 ; ressources 2022-04-20,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vque_77,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; CSV, GeoJSON, KML, SHP ; « zones inondables réglementées et cartographiées annexées au Schéma d'aménagement et de développement (SAD) révisé » ; antérieur au cadre du 1er mars 2026. Relu par l'API CKAN (package_show)."
396+SRC-38-003,donnees,Zonage (Ville de Gatineau) — fiche CKAN vgat-zonage,Ville de Gatineau / Données Québec,metadata_modified 2025-04-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vgat-zonage,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; XML, XLSX, CSV, SHP, KML. Relu par l'API CKAN."
397+SRC-38-004,donnees,Zones inondables normé v1 (Ville de Gatineau) — fiche CKAN,Ville de Gatineau / Données Québec,metadata_modified 2025-04-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vgat-zones-inondables-norme-v1,2026-10-31,verifie,38,CC-BY 4.0 ; GeoJSON ; cartographie d'ancienne génération. Relu par l'API CKAN.
398+SRC-38-005,donnees,Rôle d'évaluation foncière du Québec — fiche CKAN (ressources géoréférencées),MAMH / Données Québec,metadata_modified 2026-08-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/roles-d-evaluation-fonciere-du-quebec,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; ressources : géoréférencé 2026 FGDB (2026-04-01) et GPKG (2026-06-09), géoréférencé 2025 GPKG/FGDB (2025-12-15), géoréférencé 2024 GeoJSON (2025-02-06), index trimestriel (2026-08-24). Relu par l'API CKAN ; complète SRC-B-013."
399+SRC-38-006,logiciel,geopandas 1.1.3 / shapely 2.1.2 / pyproj 3.7.2 (PROJ 9.5.1),Projets GeoPandas / Shapely / pyproj,versions installées le 2026-10-31,https://geopandas.org/,2026-10-31,verifie,38,Bibliothèques utilisées par ch38_sig.py et ch38_figures.py ; aucun fond de tuiles (contextily absent).
400+SRC-42-001,loi,"Loi sur le Tribunal administratif du logement (RLRQ, c. T-15.01), section sur la conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise, art. 51 à 54.14",Québec (LégisQuébec),À jour au 15 octobre 2026,https://www.legisquebec.gouv.qc.ca/fr/document/lc/T-15.01,2026-10-31,verifie,42,"Page HTML téléchargée (curl, User-Agent navigateur) et texte des art. 51-54.14 extrait et lu intégralement le 2026-10-31 (sous-section 3 « Conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise ») ; complète SRC-A-002 ; clé library.bib loiTAL (aucune nouvelle clé)"
401+SRC-42-002,tableau,"SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025 — tableaux 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 et 4.3.1 (appartements en copropriété offerts en location) des fichiers rmr-montreal / rmr-quebec / rmr-gatineau-2025-fr.xlsx",Société canadienne d'hypothèques et de logement,Données d'octobre 2025 ; rapport publié le 11 décembre 2025,https://assets.cmhc-schl.gc.ca/sites/cmhc/professional/housing-markets-data-and-research/housing-data-tables/rental-market/rental-market-report-data-tables/2025/rmr-montreal-2025-fr.xlsx,2026-10-31,verifie,42,"Fichiers déjà versés dans data/raw/schl_rml_2025/ (SRC-E-007) ; feuilles lues par openpyxl le 2026-10-31 : univers 233 535 / 36 816 / 10 620 ; part louée 21,9 / 15,5 / 27,4 % ; inoccupation copro 2,1 / 0,6 / 1,0 % vs ELL 2,9 / 2,4 / 3,8 % ; loyers 2 ch. 1 826 / 1 377 / 1 578 $ vs 1 346 / 1 277 / 1 460 $ ; clé library.bib schlrmltables2025 ; conditions d'utilisation SCHL : chiffres cités avec attribution, fichiers non redistribués"
402+SRC-43-001,article,Effects of Flood Hazards on Property Values: Evidence before and after Hurricane Floyd (résumé),Land Economics 80(4) — University of Wisconsin Press,2004,http://le.uwpress.org/lookup/doi/10.2307/3655805,2026-10-31,partiellement_verifie,43,"Résumé lu (agent web) : 8 000 ventes, Pitt County NC, 1992-2002 ; « significantly larger after Hurricane Floyd than before » ; aucun pourcentage dans le résumé ; texte intégral non consulté (abonnement). Clé bib existante binPolasky2004."
403+SRC-43-002,article,"Flood Hazards, Insurance Rates, and Amenities: Evidence from the Coastal Housing Market (résumé Crossref)",Journal of Risk and Insurance — Wiley,2008,https://api.crossref.org/works/10.1111/j.1539-6975.2007.00248.x,2026-10-31,verifie,43,Résumé via l'API Crossref (page Wiley 403) : « location within a flood zone lowers property value » ; « Price differentials for flood risk and the capitalized value of flood insurance premiums are roughly equivalent ». Clé bib existante binKruseLandry2008.
404+SRC-43-003,article,The Effect of Information about Climate Risk on Property Values (résumé),PNAS 118(17),2021,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1073/pnas.2003374118?fields=title%2Cabstract%2Cyear,2026-10-31,verifie,43,"Résumé via Semantic Scholar (page PNAS 403) : surévaluation 43,8 G$ US (IC 95 % 32,6-55,6) ; « little evidence that housing markets fully price information about flood risk in aggregate ». Clé bib existante hinoBurke2021."
405+SRC-43-004,article,Rising Sea Levels and Sinking Property Values: Hurricane Sandy and New York's Housing Market (résumé),Journal of Urban Economics 106,2018,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1016/j.jue.2018.06.005?fields=title%2Cabstract%2Cyear,2026-10-31,verifie,43,"Résumé via Semantic Scholar : pénalité « reaching 8% in year 2017 and showing no signs of recovery » (non endommagés) ; « large immediate drop in value following the storm (17–22%), followed by a partial recovery » (endommagés). Clé bib existante ortegaTaspinar2018."
406+SRC-43-005,article,"Tentatives d'accès aux résumés de Harrison et al. 2001, Bernstein et al. 2019, Simons & Saginor 2006",Taylor & Francis / Elsevier,2026-10-31,https://doi.org/10.1080/10835547.2001.12091045,2026-10-31,inaccessible,43,"HTTP 403 (tandfonline, ScienceDirect), Semantic Scholar 404, Crossref sans résumé ; les énoncés du chapitre pour ces trois références reprennent notes-D.md (partiellement vérifié)."
407+SRC-44-001,document officiel,"Tarifs d'électricité en vigueur le 1er avril 2026, section 2.5 Structure du tarif D",Hydro-Québec,2026-04-01,https://www.hydroquebec.com/data/documents-donnees/pdf/tarifs-electricite.pdf?v=20261001,2026-10-31,verifie,ch44,"PDF téléchargé et texte extrait : 46,154 ¢/jour ; 7,065 ¢/kWh ≤ 40 kWh/jour ; 11,142 ¢/kWh au-delà ; aucun seuil hivernal distinct (clé hydrotarifs2026)"
408+SRC-44-002,article,"On the Economics of Energy Labels in the Housing Market (texte publié, JEEM 62(2))",Brounen & Kok,2011,https://sustainable-finance.nl/upload/researches/BrounenKok_On-the-Economics-of-Energy-Labels-in-the-Housing-Market.pdf,2026-10-31,verifie,ch44,"Extraits : prime verte 3,7 % (3,6 % Heckman), A vs D 10,2 %, G ≈ −5 %, ≈ 32 000 logements ; concordant avec l'extrait ScienceDirect (pii S0095069611000337) et IDEAS"
409+SRC-44-003,article,The capitalization of green labels in the California housing market (points saillants),Kahn & Kok,2014,https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0166046213000574,2026-10-31,partiellement_verifie,ch44,"Points saillants : « green homes sell for a 5% price premium », plus élevée en climat chaud ; 4,5 % hors KB Home (extrait ResearchGate) ; résumé complet lu sur cris.maastrichtuniversity.nl ; texte intégral non accessible"
410+SRC-44-004,bulletin,ESRI Research Bulletin 2014/1/3 : The Value of Domestic Building Energy Efficiency – Evidence from Ireland,Hyland,Lyons & Lyons (ESRI),2014,https://www.esri.ie/system/files/publications/RB20140103.pdf,2026-10-31,verifie,ch44
411+SRC-44-005,document de travail,"Energy performance ratings and house prices in Wales (v13), rappel des résultats de Fuerst et al. 2015",Fuerst,McAllister,Nanda & Wyatt (CentAUR,Université de Reading),2015,https://centaur.reading.ac.uk/52307/3/EPCs%20and%20House%20Prices%20in%20Wales%20v13.pdf,2026-10-31
412+SRC-44-006,API bibliographique,"Semantic Scholar Graph API : résumés de Aydin, Brounen & Kok 2020 (JUE 117) et Fuerst & Warren-Myers 2018 (Energy Economics 74)",Semantic Scholar,2026-10-31,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1016/j.jue.2020.103243?fields=title,year,abstract,2026-10-31,verifie
413+SRC-44-007,article,"Meta-Analysis of Price Premiums in Housing with Energy Performance Certificates (EPC), Sustainability 11(22) 6303",Cespedes-Lopez et al.,2019,https://www.mdpi.com/2071-1050/11/22/6303/htm,2026-10-31,verifie,ch44,"Texte intégral extrait (Tavily) : 66 documents, 173 registres ; 4,20 % ; 5,36 / 4,81 / 2,32 % ; Amérique −2,49 à 14,3 % ; méta-analyses antérieures 7,6 / 4,3 / 3,5-4,5 % ; résumé Crossref concordant"
414+SRC-44-008,document de travail,Doing Well by Doing Good? Green Office Buildings (version de travail en libre accès),Eichholtz,Kok & Quigley (UC Berkeley),2009,https://eml.berkeley.edu/~webfac/auerbach/quigley.pdf,2026-10-31,verifie,ch44
415+SRC-44-009,page web,"Rénoclimat ; Rénoclimat — Nouveautés ; Novoclimat ; Fin de Chauffez vert ; LogisVert ; RNCan Initiative canadienne pour des maisons plus vertes (références du lot B, non reconsultées)",Québec.ca / Hydro-Québec / RNCan,2026-10,https://www.quebec.ca/habitation-territoire/chauffage-consommation-energie/aide-financiere-renovation-ecoenergetique/renoclimat,2026-10-31,verifie,ch44,"Vérifiées le 2026-10-31 dans le lot B (sources/notes-B.md §44.2, clés renoclimat, renoclimatnouveautes, novoclimat, chauffezvertfin, logisvert, rncansubvention, rncaninitiative) ; non reconsultées par le rédacteur du ch. 44"
394 # Aucune nouvelle source : le chapitre 47 ne cite que des clés déjà présentes dans references/library.bib (voir ch47.md).,,,,,,,,, 416 # Aucune nouvelle source : le chapitre 47 ne cite que des clés déjà présentes dans references/library.bib (voir ch47.md).,,,,,,,,,
modified verification/calculations.csv +65 −0
@@ -560,3 +560,68 @@ CALC-20-10,20,"Poids de variance minimale (MCG) : optimalité vérifiée contre
560 CALC-20-11,20,"Six schémas de pondération ; conclusion raisonnée 0,40/0,45/0,15 ; bootstrap de la combinaison ; fourchettes",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_combinaison_chiffres,"égale 597673 (532741 avec le coût d'usage) ; inverse variance 0,240/0,616/0,144 → 614579 (é.-t. 9892) ; MCG 0,248/0,655/0,097 → 616823 ; raisonnée 604230 (é.-t. 10450) → 605000 ; bootstrap q5 592310, q95 622009 → 590000–625000 ; fourchette conclue 575000–640000 (10,7 %) ; écarts +5,1 % / −5,2 %",idem,verifie,2026-10-31 560 CALC-20-11,20,"Six schémas de pondération ; conclusion raisonnée 0,40/0,45/0,15 ; bootstrap de la combinaison ; fourchettes",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_combinaison_chiffres,"égale 597673 (532741 avec le coût d'usage) ; inverse variance 0,240/0,616/0,144 → 614579 (é.-t. 9892) ; MCG 0,248/0,655/0,097 → 616823 ; raisonnée 604230 (é.-t. 10450) → 605000 ; bootstrap q5 592310, q95 622009 → 590000–625000 ; fourchette conclue 575000–640000 (10,7 %) ; écarts +5,1 % / −5,2 %",idem,verifie,2026-10-31
561 CALC-20-12,20,"Espérance du prix du sujet selon la loi de génération (constante estimée sur 600 ventes, e.-t. 0,0034) et écarts des indications",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_verite_synthetique,"641159 [636930 ; 645415] ; hédonique −0,5 % ; comparaison −10,2 % ; coût −9,6 % ; conclusion −5,6 %",idem,verifie,2026-10-31 561 CALC-20-12,20,"Espérance du prix du sujet selon la loi de génération (constante estimée sur 600 ventes, e.-t. 0,0034) et écarts des indications",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_verite_synthetique,"641159 [636930 ; 645415] ; hédonique −0,5 % ; comparaison −10,2 % ; coût −9,6 % ; conclusion −5,6 %",idem,verifie,2026-10-31
562 CALC-20-13,20,"Solutions des exercices 1 à 7 (poids inverses de la variance, IC/IP, poids avec corrélation, bootstrap à la main, coût sous hypothèses d'usage et extraction, pondérations alternatives et k = 8/16, incidence d'une hypothèse)",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_solutions_exercices,"ex1 628552 (é.-t. 11142) ; ex2 IC [625586 ; 650596], IP [539740 ; 749047], rapport 8,36 ; ex3 w1 0,0435 (ρ=0,3), −0,0526 (0,5) ; ex4 586150, é.-t. 14954, [567650 ; 611650] ; ex5 453240, 450590, 99002, 36614, 335452 ; ex6 610469→610000, 594872→595000, 615880→615000, k=8 é.-t. 18086 ; ex7 Δ 14000, E 600800",idem,verifie,2026-10-31 562 CALC-20-13,20,"Solutions des exercices 1 à 7 (poids inverses de la variance, IC/IP, poids avec corrélation, bootstrap à la main, coût sous hypothèses d'usage et extraction, pondérations alternatives et k = 8/16, incidence d'une hypothèse)",analysis/python/cases/ch20_reconciliation.py,analysis/python/tests/test_ch20.py::test_solutions_exercices,"ex1 628552 (é.-t. 11142) ; ex2 IC [625586 ; 650596], IP [539740 ; 749047], rapport 8,36 ; ex3 w1 0,0435 (ρ=0,3), −0,0526 (0,5) ; ex4 586150, é.-t. 14954, [567650 ; 611650] ; ex5 453240, 450590, 99002, 36614, 335452 ; ex6 610469→610000, 594872→595000, 615880→615000, k=8 é.-t. 18086 ; ex7 Δ 14000, E 600800",idem,verifie,2026-10-31
563+CALC-36-01,36,Vérité du choc simulé : ATT global / cohorte A / cohorte B / fenêtre 2×2 (profil δ(k) déclaré),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_plan_et_verite,0.0454 / 0.0484 / 0.0356 / 0.04625,idem,verifie,2026-10-31
564+CALC-36-02,36,DiD 2×2 cohorte A (témoins Montréal) : cellules 10.1379/10.2450/10.3696/10.4234 ; δ = 0.0534 (ET HC1 0.0201) ; variante 35 témoins 0.0468 (0.0177) ; placebo 2019T3 0.0155 (0.0101),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_did_2x2,0.0534 ; 0.0468 ; 0.0155,idem,verifie,2026-10-31
565+CALC-36-03,36,TWFE statique : effets communs 0.0905 (ET 0.0047 / HC1 0.0053 / grappes 0.0198) ; RMR×trimestre 0.0702 (0.0054 / 0.0064 / 0.0264) ; within bidirectionnel = 0.0905 ; rapports 4.2 et 4.9,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_twfe_et_erreurs_types,0.0905 ; 0.0702,"idem (linearmodels : 0.090460, ET grappes 0.0196 ; statsmodels cluster : 0.0198 ; HC1 identique 0.005289)",verifie,2026-10-31
566+CALC-36-04,36,Étude d'événement TWFE (RMR×t) k = −8…8 : coefficients et ET en grappes du tableau 36.4 ; pente pré (k −7…−2) 0.0011,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_event_study,k=3 : 0.0410 (0.0138) ; k≥8 : 0.0817 (0.0270),idem,verifie,2026-10-31
567+CALC-36-05,36,Décomposition de Goodman-Bacon cas 4 : poids 0.6658/0.2721/0.0476/0.0146 ; β 0.0844/0.1224/0.0080/0.0403 ; Σ s·β = TWFE = 0.0905 (identité 1e-10),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_bacon_cas4,Σ poids = 1 ; pondéré = TWFE,idem,verifie,2026-10-31
568+CALC-36-06,36,Callaway–Sant'Anna (témoins même RMR) : A 0.0528 (boot 0.0154) ; B 0.0406 (0.0183) ; global 0.0481 (0.0116) ; variante tous témoins A 0.0509 / B 0.0521 / global 0.0514,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_callaway_santanna,0.0481 (vrai 0.0454),idem,verifie,2026-10-31
569+CALC-36-07,36,Contrôle synthétique cohorte A : effet post 0.0363 (vrai 0.0484) ; RMSPE pré 0.0031 / post 0.0397 ; ratio 12.9 rang 1/36 ; 11 poids > 0.5 % (P02 0.142 … P05 0.022),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_controle_synthetique_cas4,0.0363 ; p = 1/36,idem,verifie,2026-10-31
570+CALC-36-08,36,Discontinuité spatiale (simulation transversale,saut vrai 0.05) : h 0.5 → 0.034 (0.034 ; n 93) ; h 1 → 0.0316 (0.0247 ; 202) ; h 2 → 0.058 (0.0183 ; 400) ; naïf 0.1136,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_discontinuite,toutes à < 1 ET de 0.05,idem,verifie
571+CALC-36-09,36,Laboratoire (effets croissants) : TWFE 0.0233 (0.0061) vs vrai 0.0692 ; comparaison interdite −0.0356 (poids 0.3265) ; CS 0.0601 (0.0073) ; cohortes 0.0893 / 0.0310,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_laboratoire,TWFE à > 7 ET de la vérité,idem,verifie,2026-10-31
572+CALC-36-10,36,Sensibilité tendances parallèles violées (+0.01/an) : 2×2 0.0734 (= 0.0534 + 0.02) ; TWFE 0.1227 ; pente pré 0.0036 ; TWFE + tendance 0.0609 ; 2×2 détendancé 0.0426 ; témoins : 0.0468/0.0534/0.0445/0.0308,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_sensibilite_et_temoins,biais 2×2 = 0.02 exactement,idem,verifie,2026-10-31
573+CALC-36-11,36,Solutions : ex1 0.05 → 5.13 % ; ex2 within 0.20 vs MCO 0.425 ; ex3 4.64/6.16/2.12 et ρ implicite 0.56 ; ex5 poids 0.5/0.5 et TWFE 0.005 vs ATT 0.0675 ; ex6 0.045/0.0817/−0.015 ; ex7 variantes SC 0.0452 (Montréal) / 0.0375 (hors) / placebo −0.0055,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_solutions_exercices + test_solution_exercice_7,voir solutions/ch36.tex,idem,verifie,2026-10-31
574+CALC-36-12,36,Fonctions génériques traite.panel : within = indicatrices (1e-8) ; grappes unitaires = HC1 ; TWFE retrouve δ constant ; event study retrouve profil ; Bacon identité + CS corrige TWFE biaisé ; SC retrouve poids exacts (0.5/0.3/0.2) ; RDD retrouve saut 0.1,analysis/python/traite/panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py (7 tests génériques),tolérances déclarées,idem,verifie,2026-10-31
575+CALC-38-01,38,Projection des 600 ventes du cas 1 en NAD83 / MTM zone 9 (EPSG 32189) : coordonnées du sujet ; facteur d'échelle ; étendue,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"x = 364 315,8 m ; y = 5 031 566,3 m ; k = 0,999943 ; 42,2 × 27,5 km",idem (pyproj 3.7.2 / PROJ 9.5.1),verifie,2026-10-31
576+CALC-38-02,38,Écarts maximaux à la distance géodésique WGS84 (sujet → 600 ventes) : MTM 9 / équirectangulaire locale / haversine,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"1,2 m (0,0065 %) ; 82,8 m (0,51 %) ; 70,8 m (0,28 %)",idem,verifie,2026-10-31
577+CALC-38-03,38,Rapport distance de Manhattan / euclidienne du sujet aux 600 ventes (moyenne,médiane,max),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"1,33 ; 1,37 ; ≤ √2",idem
578+CALC-38-04,38,Géométries fictives : aires des classes A et B et du tampon de 300 m ; longueurs du cours d'eau et du corridor,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_geometries_et_jointure,"31,0 ; 50,3 ; 15,0 km² ; 43,8 ; 24,5 km",idem (shapely 2.1.2),verifie,2026-10-31
579+CALC-38-05,38,Jointure spatiale (within) : ventes en classe A / B / tampon 300 m par secteur ; égalité lancer de rayon (traite.geo) = shapely,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_geometries_et_jointure,"31 (Hull 14, Aylmer 17) ; 57 (19, 38) ; 17 (Hull 14) ; identité vraie",idem,verifie,2026-10-31
580+CALC-38-06,38,Grille hexagonale R = 1 200 m : cellules / occupées / ≥ 5 ventes ; bornes et GVF des trois classifications ; pondération surfacique vers carrés de 4 km,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_grille_classification_et_surfacique,"374 / 69 / 30 ; GVF 0,952 / 0,909 / 0,964 ; EAM 2,95 ventes, max 14,9, total estimé 598,3 / 600",idem,verifie,2026-10-31
581+CALC-38-07,38,IDW du résidu sans secteur au sujet (p = 1,2,3) et EQM leave-one-out ; comparaison krigeage ch. 19 (−0,060 ; 0,088),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_idw_sujet
582+CALC-38-08,38,Modèle de référence + 5 variables géospatiales fictives : coefficients,t,F conjoint,R²,EMD,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_modeles_augmentes
583+CALC-38-09,38,Mêmes variables sans indicatrices de secteur et sans secteur ni gradient (faux positifs par confusion),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_modeles_augmentes,"sans secteur : zone A 0,0614 (t 3,78) ; zone B 0,0424 (2,99) ; ln A 0,1359 (10,9) ; F 33,4 ; sans gradient : 0,0578 ; 0,0502 ; ln A 0,0596 (14,1) ; F 99,4",idem,verifie,2026-10-31
584+CALC-38-10,38,Sensibilité au rayon du tampon (100–1 000 m) : n dans tampon,coefficients et t (référence et sans secteur),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_sensibilite_tampon,"n = 4 → 57 ; référence jamais |t| > 1,96, IC ± 7,2 → ± 2,2 points ; sans secteur t = −2,13 (300 m), −2,72 (750), −3,56 (1 000)",idem,verifie
585+CALC-38-11,38,Faux positifs : 500 disques aléatoires par rayon (0,5 / 1 / 2 km),part |t| > 1,96 par spécification et erreur-type,Bonferroni,écart-type des t,analysis/python/cases/ch38_sig.py
586+CALC-38-12,38,Cas 4 : part de la valeur en zone inondable (total et par RMR) ; coefficient inondable et sol des effets régionaux ; distances géodésiques entre RMR ; étendue Lambert,analysis/python/cases/ch38_sig.py + traite.cas4,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_cas4,"6,66 % ; Québec 28,8 % (5,0 pts), Saguenay 18,5 %, Montréal 2,6 % ; 0,0756 (0,0347) → +7,9 % ; sol +5,5 % ; Mtl–Qc 236 km, Qc–TR 116, Gat–Sag 478 ; 379 × 343 km",idem,verifie,2026-10-31
587+CALC-38-13,38,Capitalisation d'une perte annuelle espérée : p1 des bornes 70/20/7 % sur 25 ans ; décote pour D = 15/8/3 %,R = 5,5 %,V = 637 953 $,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_capitalisation,"4,70 / 0,89 / 0,29 % ; 12,82 / 1,29 / 0,16 % ; 81 805 / 8 246 / 1 009 $"
588+CALC-38-14,38,Solutions des exercices 1 à 5 (facteurs d'échelle,trois distances,point dans polygone et tampon,indice gravitaire,capitalisation et EMD),solutions/ch38.tex (traite.geo),analysis/python/tests/test_ch38.py::test_solutions_1_a_5
589+CALC-38-15,38,Solutions des exercices 6 et 7 (disques de 3 km × 1 000 tirages ; HC3 à 0,5 km ; grilles 800 / 1 200 / 2 000 m et carrés 2 km),analysis/python/cases/ch38_sig.py (exercice_6,exercice_7),analysis/python/tests/test_ch38.py::test_solutions_6_et_7,"réf. 4,5 % (HC1 5,3) ; sans secteur 89,2 %, Bonferroni 50,5 % ; HC3 23,4 % ; part intercellulaire 35,6 / 28,6 / 25,0 / 30,2 %",idem
590+CALC-42-01,42,"Part de F4 dans le déficit du ch. 7 (q4 0,1408 × 150 908) ; prix marginal du m² (0,60 × 3 650)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_passif_et_prix_marginal,21 248 ; 2 190,idem,verifie,2026-10-31
591+CALC-42-02,42,"Prix observés des 5 comparables fictifs (modèle déflaté × bruit, arrondis à 500 $)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_prix_observes,373 000 ; 326 500 ; 364 000 ; 373 500 ; 330 500,idem,verifie,2026-10-31
592+CALC-42-03,42,"Ajustements de la grille (marché, étage, orientation, stationnement, superficie, charges, syndicat) et prix ajustés ; identité P_aj = P + ΣA ; brut/net",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_ajustements_cites;test_signe_syndicat_et_charges,"390 935 ; 367 010 ; 375 475 ; 382 191 ; 373 416 ; brut F2 5,3 %, C4 20,0 %",idem,verifie,2026-10-31
593+CALC-42-04,42,"Réconciliation : poids inverses du brut (F2 0,419), valeur pondérée, moyenne, médiane, min, max, étendue ; valeur du modèle de génération dans la fourchette",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_reconciliation,"381 052 ; 377 805 ; 375 475 ; 367 010 ; 390 935 ; 6,3 % ; modèle 375 183",idem,verifie,2026-10-31
594+CALC-42-05,42,Sensibilité de la valeur pondérée à R_c (5-12 %) et κ (0-1) ; monotonies,analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_sensibilite,"386 889 (κ=0, 5 %) à 379 437 (κ=1, 12 %)",idem,verifie,2026-10-31
595+CALC-42-06,42,Cotisation spéciale de 150 908 $ répartie selon q_i ; ratio aux charges annuelles normalisées (A* = 21 891 $),analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestCotisationSpeciale::test_repartition,"F1 14 110 (2,26 ans) ; F4 21 248 (2,08) ; F6 24 809 ; Σ = 150 908",idem,verifie,2026-10-31
596+CALC-42-07,42,"F4 louée 1 700 $/mois : RBP, RBE (v 2,1 %), dépenses, RNE avec/sans cotisation au fonds, taux implicite, MRB, valeur d'investissement à 5,25 %",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestLocative::test_rne_et_taux,"20 400 ; 19 972 ; 15 117 ; 4 855 / 7 937 ; 1,27 % / 2,08 % ; 18,7 ; 92 472",idem,verifie,2026-10-31
597+CALC-42-08,42,"Financement acheteur 380 000 $ : divise (mise 5 %, 4,12 %, 25 ans, composition semestrielle) vs part indivise (mise 20 %, hypothèse) ; TAM ; droits de mutation 2026",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFinancement::test_divise_vs_indivise,"19 000 / 361 000 / 1 922 $/mois / coût 3 049 / TAM 6,12 % → 2 336 ; 76 000 / 304 000 / 1 619 ; écart 57 000 ; mutation 3 810,50",idem,verifie,2026-10-31
598+CALC-42-09,42,"Valeur en bloc : RBP, RBE (v 3 %), DE (42 %), RNE, V = RNE/5,25 %, par logement, MRB",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_bloc,"146 700 ; 142 299 ; 59 766 ; 82 533 ; 1 572 065 ; 196 508 ; 10,7",idem,verifie,2026-10-31
599+CALC-42-10,42,Valeurs libres des 8 fractions (passif nul) et somme ; cohérence F4 libre = F4 sujet + part du déficit,analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_valeurs_libres,F1 276 481 … F6 430 539 ; F4 396 431 ; Σ 2 802 191,idem,verifie,2026-10-31
600+CALC-42-11,42,"Calendrier des ventes (ρ 12 %, δ 20 %, T 6) : produit brut par année et identité de somme",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_calendrier_identite,1 705 343 ; 131 622 ; 115 827 ; 101 928 ; 89 697 ; 526 219,idem,verifie,2026-10-31
601+CALC-42-12,42,"Flux nets, V_conv = VAN à 10 % (traite.finance.van), prime, frais de vente, portage, somme nette ; variante vente occupée an 1",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_faisabilite,"flux −305 000 ; 1 595 097 ; … ; 495 304 ; V_conv 1 692 804 ; prime 120 739 (+7,7 %) ; 106 825 ; 106 784 ; 2 152 027 ; variante 1 884 780",idem,verifie,2026-10-31
602+CALC-42-13,42,Sensibilité V_conv à ρ (5-30 %) × δ (10-30 %) ; vente occupée ; point mort des valeurs libres ; r = 8 % et 12 %,analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_sensibilite_conversion,"1 531 692 à 1 893 849 ; θ* = 0,937 ; 1 768 600 ; 1 623 172",idem,verifie,2026-10-31
603+CALC-42-14,42,Exercices 1 à 7 (quote-part et charges ; attestation ; capitalisation des charges ; grille à un comparable ; loyer pour 4 % ; variantes de conversion ; indivision → divise),analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestExercices,"9 900 / 825 ; 13 430 ; 15 750 / 21 000 / 10 500 / 50 400 ; 294 280 (brut 19,6 %) ; 2 627 $/mois ; −44 742, 1 893 849, +120 000 ; 924 000 / 1 110 000 / 126 000 / 42 000",idem,verifie,2026-10-31
604+CALC-43-001,43,"Cas 4, effets_regionaux : coefficient inondable (se HC1) → effet % du taux, IC95, Kennedy ; coefficient sol ; part de la valeur en zone inondable",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestPrimeTaux,"0,0756 (0,0347) → +7,86 % [0,77 ; 15,44], Kennedy 7,79 % ; sol 0,0536 (0,0288) → +5,50 % ; 6,66 %","0,0756 (0,0347) → +7,86 % [0,77 ; 15,44], Kennedy 7,79 % ; sol 0,0536 (0,0288) → +5,50 % ; 6,66 %",verifie,2026-10-31
605+CALC-43-002,43,"Décote de valeur impliquée par la prime de taux : 1 − exp(−γ) (estimée) et 1 − 1/1,05 (déclarée)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestPrimeTaux::test_coefficients_cites,"−7,29 % ; −4,76 %","−7,29 % ; −4,76 %",verifie,2026-10-31
606+CALC-43-003,43,"Cas 4, DiD sur ln RNE (choc injecté 2019T2 : −0,25/−0,12/−0,06 puis −0,05) : cellules, 2×2 naïf (se), par strate RMR, p de randomisation exacte (17 296 affectations)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestDiDCas4,"10,0063/10,1607/10,0995/10,1409 ; −0,1129 (0,0252) ; −0,0794 ; p 0,0052 et 0,0240","10,0063/10,1607/10,0995/10,1409 ; −0,1129 (0,0252) ; −0,0794 ; p 0,0052 et 0,0240",verifie,2026-10-31
607+CALC-43-004,43,"Cas 4, TWFE immeuble + RMR×trimestre : effet transitoire et permanent (se grappes) ; étude d'événement k=−7, 0, 1, 2, 12 ; effet valeur Δln RNE − Δln R estimé vs déclaré",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestDiDCas4::test_valeurs_citees,"−0,1653 (0,0263) ; −0,0888 (0,0466) ; 0,0208 / −0,2625 / −0,1278 / −0,0620 / −0,0912 ; −15,16 % vs −9,41 %","−0,1653 (0,0263) ; −0,0888 (0,0466) ; 0,0208 / −0,2625 / −0,1278 / −0,0620 / −0,0912 ; −15,16 % vs −9,41 %",verifie,2026-10-31
608+CALC-43-005,43,"Rivière-Fictive : 625 lots (175 exposés : 25/50/50/50 ; 141 avec vue dont 54 hors zone), 1 014 ventes (302 exposées, 695 après), vérités ln : avant −0,0499, après −0,0763, stigmate −0,0263",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_structure,"625 ; 175 ; 141/54 ; 1 014 ; 302 ; 695 ; −0,0499 ; −0,0763 ; −0,0263","625 ; 175 ; 141/54 ; 1 014 ; 302 ; 695 ; −0,0499 ; −0,0763 ; −0,0263",verifie,2026-10-31
609+CALC-43-006,43,"Ventes appariées (206 paires après 2019) : moyenne $, moyenne %, médiane %, IC95, vérité ; par classe (TE/E/M/F) ; par vue (0/1)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_paires,"−19 113 $ ; −4,83 % ; −5,35 % ; [−6,15 ; −3,51] ; −7,26 % ; −8,47/−5,97/−5,37/−1,30 % ; −3,62/−5,91 %","−19 113 $ ; −4,83 % ; −5,35 % ; [−6,15 ; −3,51] ; −7,26 % ; −8,47/−5,97/−5,37/−1,30 % ; −3,62/−5,91 %",verifie,2026-10-31
610+CALC-43-007,43,"Hédoniques : (a) exposé sans vue ; (b) avec vue (+ coef vue) ; (c) par classe avant et × après, vue ; (d) DiD régression exposé, exposé×après ; 2×2 ; effectifs",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_hedoniques,"−0,0447 (0,0052) ; −0,0501 (0,0059), vue 0,0132 ; TE −0,1035 E −0,0564 M −0,0426 F −0,0043 ; ×après −0,0218/−0,0430/−0,0193/−0,0095 ; vue 0,0417 ; DiD −0,0316 (0,0092), −0,0269 (0,0107) ; 2×2 −0,0237 ; 223/489/96/206",idem,verifie,2026-10-31
611+CALC-43-008,43,"Terrain contaminé (hyp. fictives : V_p 2,1 M$, coût 206 500 $ +25 %, 15 mois, 6,5 %, stigmate 5 %) : VA propre stigmatisée, VA coût, coût du délai, stigmate, V_c, écart % ; sensibilité (s, T) et (coût ×k)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_contamination,"1 843 979 ; 248 163 ; 151 021 ; 105 000 ; 1 595 816 (−24,01 %) ; 1 780 814 … 1 331 391 ; ×2 → 1 347 653",idem,verifie,2026-10-31
612+CALC-43-009,43,"Sinistre P41 (hyp. fictives : remise 240 000 $, 4 log. × 5 mois, 6,5 %, stigmate 5 %, indemnité 85 % − 10 000 $) : VA perte d'usage, stigmate, V_après (%), indemnité, position assuré, perte nette, part non assurée ; sensibilité stigmate",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_sinistre,"27 603 ; 85 700 ; 1 360 697 (−20,61 %) ; 194 000 ; 1 554 697 ; 159 303 ; 45,1 % ; 1 446 397 … 1 189 297",idem,verifie,2026-10-31
613+CALC-43-010,43,"Pyrite : dépréciation curable (25 000 + 2 000) vs incurable (1 800/0,055)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_pyrite,27 000 ; 32 727,27 000 ; 32 727,verifie,2026-10-31
614+CALC-43-011,43,"Exercices 1 à 7 (solutions/ch43.tex) : HP −7,96 %, Kennedy −7,99 %, IC [−11,68 ; −4,10] ; 2 285 714 / 2 119 149 / −7,29 % / −10,07 % ; 730 841 / 110 208 / 620 633 ; 14 226 / 786 574 / 893 574 / 86 426 ; −0,06 → −5,82 % ; 17 296, p variantes (−0,02 : 0,033/0,138 ; −0,10 : 0,0001/0,002 ; placebo 2017T2 : p 0,44) ; p* 0,048, 27 000 / 32 727",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestExercices,voir description,"idem (variantes de l'ex. 6 calculées hors test, script modifié à la main : CHOC_PERMANENT ∈ {−0,02 ; −0,10}, placebo 2017T2 sans choc)",verifie,2026-10-31
615+CALC-44-001,44,"Facture annuelle au tarif D (1er avril 2026) pour 22 000 kWh : accès 168,46 + tranche 1 (14 600 kWh) 1 031,49 + tranche 2 (7 400 kWh) 824,51 = 2 024,46 $ ; prix moyen 9,20 ¢/kWh ; prix marginal 11,142 ¢/kWh",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestTarifD,2024.46 ; 0.0920 ; 0.11142,idem,verifie,2026-10-31
616+CALC-44-002,44,"Économie marginale : 1 000 kWh évités au-dessus du seuil = 111,42 $ ; 15 000 → 14 000 kWh (franchissement du seuil) = 86,96 $",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestTarifD::test_economie_marginale,111.42 ; 86.96,idem,verifie,2026-10-31
617+CALC-44-003,44,"Mesure A (thermopompe climat froid, hypothèses déclarées) : coût 16 500, LogisVert 120 × 36 = 4 320, net 12 180 ; 3 300 kWh = 367,69 $/an ; VAN −7 286,54 ; TRI −5,84 % ; VA économies 4 893,46 ; IR 0,402 ; annuité 1 140,37 ; CEE net 34,56 ¢, brut 46,81 ¢ ; délai jamais",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_thermopompe,-7286.54 ; -0.0584 ; 4893.46 ; 0.3456,idem,verifie,2026-10-31
618+CALC-44-004,44,"Mesure B (isolation entretoit) : coût 95 × 44 = 4 180, Rénoclimat 2 000, net 2 180 ; 880 kWh = 98,05 $/an ; 31 ans ; VAN 224,60 ; TRI 5,29 % ; délai simple 16,89, actualisé 27,40 ; VA 2 404,60 ; IR 1,103 ; CEE net 15,12 ¢, brut 28,99 ¢",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_isolation,224.60 ; 0.0529 ; 16.89 ; 27.40 ; 0.1512,idem,verifie,2026-10-31
619+CALC-44-005,44,"Combinaison A+B non additive : 880 + 0,30 × (11 000 − 880) = 3 916 kWh (vs 4 180) ; VAN −8 553,09 ; VA 5 806,91 (0,91 % de 637 953 $) ; coût 20 680 (3,24 %)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_combinaison_non_additive,3916 ; -8553.09 ; 5806.91,idem,verifie,2026-10-31
620+CALC-44-006,44,"Décision incrémentale en fin de vie : appareil standard 10 481,32 × 1,33043 = 13 944,66, LogisVert 1 800 ; surcoût climat froid 2 555,34, bonification 2 520, net 35,34 ; 2 200 kWh = 245,12 $/an ; VA 3 262,31 ; VAN +3 226,97",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_decision_incrementale,35.34 ; 3226.97,idem,verifie,2026-10-31
621+CALC-44-007,44,Identités : VAN = −coût net + VA ; cumul actualisé final = VAN ; VAN(TRI) = 0 ; flux_t+1/flux_t = 1 + g ; annuité = coût net × CRF,analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_identites,écarts < 1e-6,idem,verifie,2026-10-31
622+CALC-44-008,44,"Seuils d'équilibre (A) : g = 14,40 % ; 8 683 kWh (78,9 % du chauffage) ; coût net 4 893,46 (subvention 11 606,54)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestSeuilsEtSensibilite::test_seuils_thermopompe,0.1440 ; 8683 ; 11606.54,idem,verifie,2026-10-31
623+CALC-44-009,44,"Grille VAN taux × croissance : A de −9 383 à −4 573 (toutes négatives, monotone) ; B de −1 251 à +3 784 ; durée A : −9 573 (10 ans, 10 %) à −1 719 (25 ans, 2 %) ; tornade A (7 paramètres)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestSeuilsEtSensibilite,"monotonie ; cellule de base = VAN ; subvention 0/6 700 → −11 606,54 / −4 906,54",idem,verifie,2026-10-31
624+CALC-44-010,44,"Lectures de la contribution (A) : VA/coût 0,297 ; VA/net 0,402 ; primes 2,32 / 4,20 / 5,36 % × 637 952,85 = 14 800,51 / 26 794,02 / 34 194,27 ; VA restante après 5 ans 3 923,88, après 10 ans 2 360,94",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution,14800.51 ; 26794.02 ; 34194.27 ; 3923.88 ; 2360.94,idem,verifie,2026-10-31
625+CALC-44-011,44,"Paires qualité 4 vs 3 (cas 1 ; tolérances 25 m², 10 ans, 18 mois, 5 km ; prix bas ramené par 0,364 %/mois) : n = 30 ; médiane 5,78 % (25 082,63 $) ; moyenne 4,65 % ; σ 13,64 % ; erreur-type 2,49 % ; IC95 −0,23..9,53 % ; hédonique exp(0,06108)−1 = 6,30 % ; contribution 36 891,23 (paires) / 40 181,62 (hédonique) ; coût hypothèse 65 000 → ratios 0,568 / 0,618 ; VAN −28 108,77",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution::test_paires_qualite,30 ; 0.0578 ; 0.0465 ; 0.0630 ; 36891.23,idem,verifie,2026-10-31
626+CALC-44-012,44,"Composantes du sujet à ≥ 90 % de vie utile (fiche ch. 11) : VRC 1,000 ; entrée asphaltée 1,000 ; aménagement paysager 0,950 ; gouttières 0,935 ; balcon 0,935",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution::test_fin_de_vie,5 composantes,idem,verifie,2026-10-31
627+CALC-44-013,44,"Exercices : ex1 1 578,78 / 2 470,14 ; ex2 1 200 / 2 880 / 55 833 BTU/h / 6 700 ; ex3 fenêtres VAN −16 213,20, CEE 183,96 ¢, sans sub −20 713,20 ; ex4 CEE 15,12 / 28,99 / 21,83 ¢, VAN sans sub −1 775,40 ; ex5 14 800,51 / 34 194,27 / 5 806,91 / 10 700,48 ; ex6 = CALC-44-008 ; ex7 n 59 (médiane 6,04 %) et 4 (0,92 %), Kennedy 6,298 %",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestExercices,voir description,idem,verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch36-calculations.csv +13 −0
@@ -0,0 +1,13 @@
1+id,chapitre,description,script,test,resultat_attendu,resultat_obtenu,statut,date
2+CALC-36-01,36,Vérité du choc simulé : ATT global / cohorte A / cohorte B / fenêtre 2×2 (profil δ(k) déclaré),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_plan_et_verite,"0.0454 / 0.0484 / 0.0356 / 0.04625",idem,verifie,2026-10-31
3+CALC-36-02,36,DiD 2×2 cohorte A (témoins Montréal) : cellules 10.1379/10.2450/10.3696/10.4234 ; δ = 0.0534 (ET HC1 0.0201) ; variante 35 témoins 0.0468 (0.0177) ; placebo 2019T3 0.0155 (0.0101),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_did_2x2,"0.0534 ; 0.0468 ; 0.0155",idem,verifie,2026-10-31
4+CALC-36-03,36,TWFE statique : effets communs 0.0905 (ET 0.0047 / HC1 0.0053 / grappes 0.0198) ; RMR×trimestre 0.0702 (0.0054 / 0.0064 / 0.0264) ; within bidirectionnel = 0.0905 ; rapports 4.2 et 4.9,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_twfe_et_erreurs_types,"0.0905 ; 0.0702","idem (linearmodels : 0.090460, ET grappes 0.0196 ; statsmodels cluster : 0.0198 ; HC1 identique 0.005289)",verifie,2026-10-31
5+CALC-36-04,36,Étude d'événement TWFE (RMR×t) k = −8…8 : coefficients et ET en grappes du tableau 36.4 ; pente pré (k −7…−2) 0.0011,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_event_study,"k=3 : 0.0410 (0.0138) ; k≥8 : 0.0817 (0.0270)",idem,verifie,2026-10-31
6+CALC-36-05,36,Décomposition de Goodman-Bacon cas 4 : poids 0.6658/0.2721/0.0476/0.0146 ; β 0.0844/0.1224/0.0080/0.0403 ; Σ s·β = TWFE = 0.0905 (identité 1e-10),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_bacon_cas4,"Σ poids = 1 ; pondéré = TWFE",idem,verifie,2026-10-31
7+CALC-36-06,36,Callaway–Sant'Anna (témoins même RMR) : A 0.0528 (boot 0.0154) ; B 0.0406 (0.0183) ; global 0.0481 (0.0116) ; variante tous témoins A 0.0509 / B 0.0521 / global 0.0514,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_callaway_santanna,"0.0481 (vrai 0.0454)",idem,verifie,2026-10-31
8+CALC-36-07,36,Contrôle synthétique cohorte A : effet post 0.0363 (vrai 0.0484) ; RMSPE pré 0.0031 / post 0.0397 ; ratio 12.9 rang 1/36 ; 11 poids > 0.5 % (P02 0.142 … P05 0.022),analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_controle_synthetique_cas4,"0.0363 ; p = 1/36",idem,verifie,2026-10-31
9+CALC-36-08,36,Discontinuité spatiale (simulation transversale, saut vrai 0.05) : h 0.5 → 0.034 (0.034 ; n 93) ; h 1 → 0.0316 (0.0247 ; 202) ; h 2 → 0.058 (0.0183 ; 400) ; naïf 0.1136,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_discontinuite,"toutes à < 1 ET de 0.05",idem,verifie,2026-10-31
10+CALC-36-09,36,Laboratoire (effets croissants) : TWFE 0.0233 (0.0061) vs vrai 0.0692 ; comparaison interdite −0.0356 (poids 0.3265) ; CS 0.0601 (0.0073) ; cohortes 0.0893 / 0.0310,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_laboratoire,"TWFE à > 7 ET de la vérité",idem,verifie,2026-10-31
11+CALC-36-10,36,Sensibilité tendances parallèles violées (+0.01/an) : 2×2 0.0734 (= 0.0534 + 0.02) ; TWFE 0.1227 ; pente pré 0.0036 ; TWFE + tendance 0.0609 ; 2×2 détendancé 0.0426 ; témoins : 0.0468/0.0534/0.0445/0.0308,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_sensibilite_et_temoins,"biais 2×2 = 0.02 exactement",idem,verifie,2026-10-31
12+CALC-36-11,36,Solutions : ex1 0.05 → 5.13 % ; ex2 within 0.20 vs MCO 0.425 ; ex3 4.64/6.16/2.12 et ρ implicite 0.56 ; ex5 poids 0.5/0.5 et TWFE 0.005 vs ATT 0.0675 ; ex6 0.045/0.0817/−0.015 ; ex7 variantes SC 0.0452 (Montréal) / 0.0375 (hors) / placebo −0.0055,analysis/python/cases/ch36_panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py::test_solutions_exercices + test_solution_exercice_7,voir solutions/ch36.tex,idem,verifie,2026-10-31
13+CALC-36-12,36,Fonctions génériques traite.panel : within = indicatrices (1e-8) ; grappes unitaires = HC1 ; TWFE retrouve δ constant ; event study retrouve profil ; Bacon identité + CS corrige TWFE biaisé ; SC retrouve poids exacts (0.5/0.3/0.2) ; RDD retrouve saut 0.1,analysis/python/traite/panel.py,analysis/python/tests/test_ch36.py (7 tests génériques),tolérances déclarées,idem,verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch36-claims.csv +10 −0
@@ -0,0 +1,10 @@
1+id,chapitre,affirmation,source_id,verification,date,statut,notes
2+CLM-36-01,36,Les séries du cas 4 sont engendrées comme tendance régionale + marche aléatoire σ 1.5 %/trim. + choc pandémique −3 % (2020T2-2021T2) ; le chapitre les prend comme Y(0) et superpose un effet déclaré,,data/synthetic/README.md (lois de génération) et analysis/python/traite/synth.py,2026-10-31,verifie,hypothèses pédagogiques déclarées ; aucune ligne de transport ni immeuble réel
3+CLM-36-02,36,"Linden & Rockoff (2008) : effet de l'arrivée d'un délinquant inscrit sur les prix, comparaison < 0,1 mille vs 0,1-0,3 mille",lindenRockoff2008,library.bib (DOI 10.1257/aer.98.3.1103) ; notes-D §ch. 36 ; distances d'après le résumé de l'article,2026-10-31,partiellement_verifie,les seuils de distance (0.1 et 0.3 mille) sont cités d'après le résumé ; à relire dans l'article pour un usage contentieux
4+CLM-36-03,36,"Currie et al. (2015) : 1 600 ouvertures et fermetures d'usines toxiques, anneaux < 0,5 mille et 0,5-2 milles",currie2015,library.bib (DOI 10.1257/aer.20121656 ; titre mentionne 1 600 usines) ; notes-D §ch. 36,2026-10-31,partiellement_verifie,les anneaux de distance sont cités d'après le résumé
5+CLM-36-04,36,Dubé–Legros–Thériault–Des Rosiers (2014) : estimateur spatial de DiD appliqué au train de banlieue de la Rive-Sud de Montréal ; effets dès l'annonce et décroissants avec la distance,dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014,library.bib (DOI 10.1016/j.trb.2014.02.007) ; notes-D §ch. 36 et §ch. 5 ; contenu d'après le résumé et dubeTheriaultDesrosiers2013,2026-10-31,partiellement_verifie,les deux « leçons » (annonce ; distance) sont des généralisations de la littérature transport citées sans chiffre
6+CLM-36-05,36,Résultats théoriques cités : décomposition de Goodman-Bacon (poids et identité) ; ATT(g,t) de Callaway–Sant'Anna ; comparaison interdite,goodmanbacon2021;callawaySantanna2021,library.bib (DOI) ; identité vérifiée numériquement (CALC-36-05 et 36-09),2026-10-31,verifie,formules des poids reproduites d'après Goodman-Bacon (2021) théorème 1 et vérifiées par l'identité Σ s·β = TWFE
7+CLM-36-06,36,Rôles d'évaluation foncière du Québec : 1 140 municipalités en CC-BY 4.0 ; noms et adresses caviardés ; identifiant d'unité d'évaluation stable entre rôles,dqroles,library.bib (dqroles ; Données Québec consulté le 2026-10-31) ; CLM-19-02,2026-10-31,partiellement_verifie,la stabilité de l'identifiant d'unité d'évaluation d'un rôle à l'autre n'a pas été vérifiée dans les métadonnées ; à confirmer
8+CLM-36-07,36,Cadre réglementaire des zones inondables en vigueur le 1er mars 2026 ; cartographies de nouvelle génération publiées progressivement par secteur,zonesInond2026,library.bib (zonesInond2026) ; sources/notes-B.md §43.2 (« publiées progressivement »),2026-10-31,verifie,
9+CLM-36-08,36,Facteur de Moulton 1 + (m − 1)ρ et correction CR1 G/(G−1)·(N−1)/(N−K) ; test de Hausman ; exogénéité stricte,wooldridge2010;angristPischke2009,ouvrages de référence (chap. panel et chap. 8 d'Angrist–Pischke) ; formule CR1 vérifiée contre statsmodels (CALC-36-03),2026-10-31,verifie,
10+CLM-36-09,36,"Valeur au rôle = estimation à la date de référence (LFM art. 46), non un prix",lfm,library.bib (lfm) ; notes-B §ch. 9 (art. 46 al. 1),2026-10-31,verifie,renvoi au ch. 9
added verification/chapters/ch36-figures.csv +8 −0
@@ -0,0 +1,8 @@
1+fichier,chapitre,script,donnees,type_donnees,legende_courte,statut
2+ch36/ch36-fig-trajectoires.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé (ch36_panel.simuler),synthetique,"Trajectoires du ln RNE moyen des cohortes traitées, des témoins de la même RMR et du contrefactuel déclaré [données synthétiques]",verifie
3+ch36/ch36-fig-event-study.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé,synthetique,"Étude d'événement TWFE (RMR × trimestre) et agrégation dynamique de Callaway–Sant'Anna avec IC et effet déclaré [données synthétiques]",verifie
4+ch36/ch36-fig-bacon.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,choc simulé cas 4 + panel artificiel (ch36_panel.laboratoire),synthetique,"Décomposition de Goodman-Bacon : comparaisons 2×2 (poids, estimation), TWFE et vérité ; cas 4 et laboratoire à effets croissants [données synthétiques]",verifie
5+ch36/ch36-fig-synthetique.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé,synthetique,"Contrôle synthétique de la cohorte A : trajectoires, écarts et placebos, poids des donneurs [données synthétiques]",verifie
6+ch36/ch36-fig-discontinuite.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,simulation transversale (ch36_panel.discontinuite),synthetique,"Discontinuité spatiale à une frontière de zone : nuage, moyennes par tranche, ajustement local linéaire h = 1 km [données synthétiques]",verifie
7+ch36/ch36-fig-sensibilite.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé + tendance différentielle,synthetique,"Étude d'événement : tendances parallèles respectées vs violées (+1 pt/an pour les traités) [données synthétiques]",verifie
8+manuscript/chapters/ch36.tex (fig:36:chronologie),36,manuscript/chapters/ch36.tex,plan du script ch36_panel.py,schema,"Chronologie du plan simulé : cohortes A (2022T3) et B (2024T3), jamais traités, fenêtres du 2×2 et du placebo (TikZ)",verifie
added verification/chapters/ch36-registry.csv +1 −0
@@ -0,0 +1 @@
1+id,type,titre,organisme,version_ou_date,url,date_consultation,statut,utilise_dans,notes
added verification/chapters/ch36.md +46 −0
@@ -0,0 +1,46 @@
1+# Chapitre 36 — Données de panel et identification causale : bilan de rédaction (2026-10-31)
2+
3+## Compteurs
4+- Prose : ≈ 10 000 mots hors tableaux, figures, équations et commandes (≈ 14 300 mots bruts avec `wc -w`) ; 40 pages compilées (chapitre + solutions + bibliographie du chapitre).
5+- Figures : 7 (6 PDF Matplotlib + 1 schéma TikZ) — `ch36-fig-trajectoires`, `ch36-fig-event-study`, `ch36-fig-bacon`, `ch36-fig-synthetique`, `ch36-fig-discontinuite`, `ch36-fig-sensibilite` ; chronologie du plan (TikZ, `\resizebox`). Toutes sur données synthétiques (cas 4 + choc déclaré ; simulation transversale ; panel artificiel « laboratoire »).
6+- Tableaux : 9 (plans d'identification ; cellules du 2 × 2 ; TWFE et trois erreurs-types ; coefficients de l'étude d'événement ; décomposition de Goodman-Bacon ; laboratoire ; Callaway–Sant'Anna ; bilan des estimateurs ; sensibilité et groupes témoins).
7+- Équations numérotées : 19 ; 1 définition (ATT) ; 1 proposition démontrée (within = indicatrices, Frisch–Waugh–Lovell).
8+- Exercices : 7 (niveaux 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3) ; solutions détaillées dans `solutions/ch36.tex`, chiffres testés (ex. 1, 2, 3, 5, 6, 7).
9+- Encadrés : objectifs, définition, proposition, synthetique, exemple (court, étapes détaillées hors boîte comme au ch. 18), quebec, erreurs, limites, synthese.
10+- Citations : 18 clés distinctes, toutes déjà dans `references/library.bib` ; `references/lib-ch36.bib` ne contient aucune nouvelle entrée (commentaire explicatif).
11+
12+## Contrôles
13+- `tools/compile_chapter.sh 36` → `OK ch36 : 40 pages, 0 references/citations non definies, 1 overfull hbox`. L'unique overfull (29,7 pt) est dans la **bibliographie** (titre de `dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017`, « (STDID) Estimator » insécable) ; il ne vient pas du chapitre et se corrigera dans `library.bib` (ajouter `\allowbreak` ou raccourcir le titre) lors de l'harmonisation.
14+- `python3 -m pytest -q analysis/python/tests/test_ch36.py` → 19 passed (7 tests génériques de `traite.panel` sur données simulées : within = LSDV, grappes unitaires = HC1, TWFE retrouve un effet constant, étude d'événement retrouve un profil, identité de Bacon + CS corrige un TWFE biaisé, contrôle synthétique retrouve des poids exacts, RDD retrouve un saut ; 10 tests des chiffres du chapitre ; 2 tests des solutions). `test_cas2_cas4.py` et `test_hedonique.py` ne sont pas touchés (aucune fonction existante modifiée).
15+- `python3 tools/check_manuscript.py --no-log` : les seuls messages pour ch36 sont « figure … non inscrite dans verification/figures.csv » (6), conséquence de la règle de collision (fichiers par chapitre `verification/chapters/ch36-figures.csv`, jamais les CSV globaux) ; à fusionner en phase 5.
16+- Contrôle croisé (`ch36_panel.py --controle`) : `linearmodels.PanelOLS` (effets entité + temps, grappes par entité) donne D = 0,090460 (identique à 1e-6) et ET 0,0196 contre 0,0198 maison (CR1 ; linearmodels n'applique pas le facteur (N−1)/(N−K)) ; `statsmodels` `cov_type="cluster"` donne 0,0198 exactement et HC1 0,005289 identique.
17+- PDF relu : 4 planches de contact (40 pages) + pages 13, 19, 21, 23 à plus forte résolution ; légende de la figure de Bacon déplacée sous les axes après relecture ; tableaux en `\footnotesize` avec `\tabcolsep` 4 pt ; aucun débordement restant dans le chapitre.
18+- Convention `\cref` sans article respectée ; étiquettes `eq:36:*`, `tab:36:*`, `fig:36:*`, `sec:36:*`, `ex:36:k`, `def:36-att`, `prop:36-within`.
19+
20+## Fichiers livrés
21+`manuscript/chapters/ch36.tex`, `solutions/ch36.tex`, `analysis/python/traite/panel.py` (NOUVEAU module : `mco_grappes`, `within`, `within_deux_voies`, `estimateur_within`, `indicatrices`, `twfe`, `did_2x2`, `event_study`, `callaway_santanna`, `bacon`, `controle_synthetique`, `placebos_synthetiques`, `rdd_local_lineaire`), `analysis/python/cases/ch36_panel.py`, `analysis/python/figures/ch36_figures.py`, `analysis/python/tests/test_ch36.py`, `assets/figures/ch36/*.pdf` (6), `verification/chapters/ch36-{figures,calculations,claims,registry}.csv`, `references/lib-ch36.bib`, ce bilan. Rien d'écrit dans les CSV globaux ni dans `library.bib` ; `hedonique.py`, `cas4.py` et les données synthétiques ne sont pas modifiés.
22+
23+## Résultats clés (données synthétiques, cas 4 + choc déclaré)
24+- Plan : cohorte A = 8 immeubles de Montréal dès 2022T3 ; cohorte B = 5 immeubles de Gatineau dès 2024T3 ; 35 jamais traités ; δ(k) = 0,01(k+1) pour k ≤ 3 puis 0,04 + 0,0025(k−3). Vérité : ATT global 0,0454 (A 0,0484 ; B 0,0356 ; fenêtre 2 × 2 0,0462).
25+- 2 × 2 (témoins Montréal) 0,0534 (ET 0,0201) ; placebo 2019T3 0,0155 (0,0101).
26+- TWFE statique : effets communs 0,0905 (biais de tendance régionale) ; RMR × trimestre 0,0702 (ET grappes 0,0264 ; ET classique 0,0054 → rapport 4,9).
27+- Étude d'événement : profil retrouvé (k = 3 : 0,0410 vs 0,04) ; coefficients pré ≈ −0,015 (référence k = −1 sur un point haut).
28+- Bacon : identité Σ s·β = TWFE exacte ; comparaison interdite 0,0403 (poids 0,015) sur le cas 4 ; laboratoire : TWFE 0,0233 vs vrai 0,0692, comparaison interdite −0,0356 (poids 0,33), CS 0,0601.
29+- Callaway–Sant'Anna (même RMR) : 0,0481 (ET boot 0,0116) ; avec tous les témoins, la cohorte B est surestimée (0,0521 vs 0,0356).
30+- Contrôle synthétique : 0,0363 (sous-estimation), RMSPE pré 0,0031, rang 1/36 (p = 0,028) ; variantes de bassin 0,0375–0,0452.
31+- RDD : 0,032–0,058 selon la bande (vrai 0,05), naïf 0,114.
32+- Tendances parallèles violées (+1 pt/an) : 2 × 2 0,0734 (biais = 0,02 exactement), TWFE 0,1227, pente pré 0,0036 vs 0,0011 ; corrections 0,0609 (tendance de groupe) et 0,0426 (2 × 2 détendancé).
33+
34+## Points non vérifiés ou partiellement vérifiés (voir ch36-claims.csv)
35+1. Seuils de distance de Linden–Rockoff (0,1 / 0,3 mille) et de Currie et al. (0,5 / 2 milles) cités d'après les résumés (CLM-36-02, 36-03).
36+2. « Leçons » attribuées aux travaux de Dubé et coauteurs (effet dès l'annonce, décroissance avec la distance) : généralisations sans chiffre (CLM-36-04).
37+3. Stabilité de l'identifiant d'unité d'évaluation entre rôles triennaux dans le jeu Données Québec : non vérifiée dans les métadonnées (CLM-36-06).
38+4. Bertrand–Duflo–Mullainathan (2004), Hausman (1978), Moulton (1986) : non cités (absents de `library.bib`) ; points attribués à Wooldridge (2010) et Angrist–Pischke (2009).
39+5. Le bootstrap de Callaway–Sant'Anna est un bootstrap par blocs stratifié « maison » (pas le bootstrap multiplicateur de l'article) ; signalé dans `limites`.
40+6. Les séries du cas 4 étant des marches aléatoires, les coefficients pré-traitement de l'étude d'événement ne sont pas exactement nuls (≈ −0,015) ; le texte l'explique (trimestre de référence sur un point haut) plutôt que de le masquer.
41+
42+## Suggestions pour l'harmonisation
43+- Le ch. 8 (§ Val-Fictif) renvoie déjà au ch. 36 pour les conditions d'identification ; le ch. 43 (inondations) peut réutiliser `traite.panel.event_study` et `callaway_santanna` (cohortes = secteurs cartographiés) ; le ch. 48 peut reprendre le panel simulé comme scénario de risque de portefeuille ; le ch. 35 peut citer la \cref{prop:36-within} pour l'équivalence indicatrices/within des indices.
44+- Corriger dans `library.bib` le titre de `dubeLegrosTheriaultDesrosiers2017` (overfull bibliographique) ; envisager d'ajouter Bertrand–Duflo–Mullainathan (2004, QJE 119(1), 249–275) après vérification Crossref.
45+- `data/synthetic/README.md` ne donne pas les taux de croissance régionaux du générateur du cas 4 (3,5 % Montréal, 4 % Gatineau, 3 % Québec et Sherbrooke, 2,5 % Trois-Rivières, 2 % Saguenay, lus dans `synth.py`) ; les y ajouter rendrait le biais de tendance régionale du ch. 36 vérifiable par le lecteur.
46+- Le `check_manuscript.py` devrait lire aussi `verification/chapters/chNN-figures.csv` pour ne plus signaler les figures des chapitres rédigés sous la règle de collision.
added verification/chapters/ch38-calculations.csv +16 −0
@@ -0,0 +1,16 @@
1+id,chapitre,description,script,test,resultat_attendu,resultat_obtenu,statut,date
2+CALC-38-01,38,Projection des 600 ventes du cas 1 en NAD83 / MTM zone 9 (EPSG 32189) : coordonnées du sujet ; facteur d'échelle ; étendue,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"x = 364 315,8 m ; y = 5 031 566,3 m ; k = 0,999943 ; 42,2 × 27,5 km","idem (pyproj 3.7.2 / PROJ 9.5.1)",verifie,2026-10-31
3+CALC-38-02,38,Écarts maximaux à la distance géodésique WGS84 (sujet → 600 ventes) : MTM 9 / équirectangulaire locale / haversine,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"1,2 m (0,0065 %) ; 82,8 m (0,51 %) ; 70,8 m (0,28 %)",idem,verifie,2026-10-31
4+CALC-38-03,38,Rapport distance de Manhattan / euclidienne du sujet aux 600 ventes (moyenne, médiane, max),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_projection_et_distances,"1,33 ; 1,37 ; ≤ √2",idem,verifie,2026-10-31
5+CALC-38-04,38,Géométries fictives : aires des classes A et B et du tampon de 300 m ; longueurs du cours d'eau et du corridor,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_geometries_et_jointure,"31,0 ; 50,3 ; 15,0 km² ; 43,8 ; 24,5 km",idem (shapely 2.1.2),verifie,2026-10-31
6+CALC-38-05,38,Jointure spatiale (within) : ventes en classe A / B / tampon 300 m par secteur ; égalité lancer de rayon (traite.geo) = shapely,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_geometries_et_jointure,"31 (Hull 14, Aylmer 17) ; 57 (19, 38) ; 17 (Hull 14) ; identité vraie",idem,verifie,2026-10-31
7+CALC-38-06,38,Grille hexagonale R = 1 200 m : cellules / occupées / ≥ 5 ventes ; bornes et GVF des trois classifications ; pondération surfacique vers carrés de 4 km,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_grille_classification_et_surfacique,"374 / 69 / 30 ; GVF 0,952 / 0,909 / 0,964 ; EAM 2,95 ventes, max 14,9, total estimé 598,3 / 600",idem,verifie,2026-10-31
8+CALC-38-07,38,IDW du résidu sans secteur au sujet (p = 1, 2, 3) et EQM leave-one-out ; comparaison krigeage ch. 19 (−0,060 ; 0,088),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_idw_sujet,"−0,054 / −0,060 / −0,066 ; 0,086 / 0,090 / 0,095 ; sans correction 0,103",idem,verifie,2026-10-31
9+CALC-38-08,38,Modèle de référence + 5 variables géospatiales fictives : coefficients, t, F conjoint, R², EMD,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_modeles_augmentes,"zone A 0,0054 (t 0,31) ; zone B −0,0181 ; corr300 −0,0306 ; F(5,579) = 0,84 (p 0,52) ; R² 0,8530 → 0,8541 ; EMD 4,9 / 3,8 / 6,2 %",idem,verifie,2026-10-31
10+CALC-38-09,38,Mêmes variables sans indicatrices de secteur et sans secteur ni gradient (faux positifs par confusion),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_modeles_augmentes,"sans secteur : zone A 0,0614 (t 3,78) ; zone B 0,0424 (2,99) ; ln A 0,1359 (10,9) ; F 33,4 ; sans gradient : 0,0578 ; 0,0502 ; ln A 0,0596 (14,1) ; F 99,4",idem,verifie,2026-10-31
11+CALC-38-10,38,Sensibilité au rayon du tampon (100–1 000 m) : n dans tampon, coefficients et t (référence et sans secteur),analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_sensibilite_tampon,"n = 4 → 57 ; référence jamais |t| > 1,96, IC ± 7,2 → ± 2,2 points ; sans secteur t = −2,13 (300 m), −2,72 (750), −3,56 (1 000)",idem,verifie,2026-10-31
12+CALC-38-11,38,Faux positifs : 500 disques aléatoires par rayon (0,5 / 1 / 2 km), part |t| > 1,96 par spécification et erreur-type, Bonferroni, écart-type des t,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_faux_positifs,"référence classique 11,2 / 2,9 / 3,5 % ; HC1 0,5 km 26,2 % ; sans secteur classique 25,2 / 36,4 / 73,6 % ; Bonferroni 2 km 29,3 % ; é.-t. t 1,01 (réf. 1 km), 4,42 (sans secteur 2 km)",idem (graine 20261031),verifie,2026-10-31
13+CALC-38-12,38,Cas 4 : part de la valeur en zone inondable (total et par RMR) ; coefficient inondable et sol des effets régionaux ; distances géodésiques entre RMR ; étendue Lambert,analysis/python/cases/ch38_sig.py + traite.cas4,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_cas4,"6,66 % ; Québec 28,8 % (5,0 pts), Saguenay 18,5 %, Montréal 2,6 % ; 0,0756 (0,0347) → +7,9 % ; sol +5,5 % ; Mtl–Qc 236 km, Qc–TR 116, Gat–Sag 478 ; 379 × 343 km",idem,verifie,2026-10-31
14+CALC-38-13,38,Capitalisation d'une perte annuelle espérée : p1 des bornes 70/20/7 % sur 25 ans ; décote pour D = 15/8/3 %, R = 5,5 %, V = 637 953 $,analysis/python/cases/ch38_sig.py,analysis/python/tests/test_ch38.py::test_capitalisation,"4,70 / 0,89 / 0,29 % ; 12,82 / 1,29 / 0,16 % ; 81 805 / 8 246 / 1 009 $",idem (hypothèses de dommage pédagogiques),verifie,2026-10-31
15+CALC-38-14,38,Solutions des exercices 1 à 5 (facteurs d'échelle, trois distances, point dans polygone et tampon, indice gravitaire, capitalisation et EMD),solutions/ch38.tex (traite.geo),analysis/python/tests/test_ch38.py::test_solutions_1_a_5,"k Mtl 0,999901 ; d 7,591 / 7,589 / 9,785 km ; aire 8, périm. 15,657, tampon 16,560 ; A 80,82 / 62,54 ; p1 1,71 %, décote 3,42 %, EMD 5,6 %",idem,verifie,2026-10-31
16+CALC-38-15,38,Solutions des exercices 6 et 7 (disques de 3 km × 1 000 tirages ; HC3 à 0,5 km ; grilles 800 / 1 200 / 2 000 m et carrés 2 km),analysis/python/cases/ch38_sig.py (exercice_6, exercice_7),analysis/python/tests/test_ch38.py::test_solutions_6_et_7,"réf. 4,5 % (HC1 5,3) ; sans secteur 89,2 %, Bonferroni 50,5 % ; HC3 23,4 % ; part intercellulaire 35,6 / 28,6 / 25,0 / 30,2 %",idem,verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch38-claims.csv +18 −0
@@ -0,0 +1,18 @@
1+id,chapitre,affirmation,source_id,verification,date,statut,notes
2+CLM-38-01,38,"Codes EPSG : WGS 84 4326 ; NAD83 4269 ; NAD83(CSRS) 4617 ; NAD83 / MTM 7-8-9 = 32187-32189 (tmerc, k0 0,9999, x0 304 800 m, méridiens −70,5/−73,5/−76,5) ; NAD83(CSRS) / MTM 7-8-9 = 2949-2951 ; NAD83 / UTM 18N-19N = 26918-26919 ; NAD83 / Québec Lambert 32198 (lcc, parallèles 46 et 60, méridien −68,5) ; Pseudo-Mercator 3857",SRC-38-001,"Base EPSG distribuée avec PROJ 9.5.1 interrogée par pyproj 3.7.2 (CRS.from_epsg, to_dict, area_of_use) le 2026-10-31 ; la page epsg.org renvoie HTTP 403 au script",2026-10-31,verifie,"fuseaux MTM : zone 9 = 78°W–75°W, zone 8 = 75°W–72°W, zone 7 = 72°W–69°W (area_of_use EPSG)"
3+CLM-38-02,38,"Rôle d'évaluation foncière du Québec en format ouvert : 1 140 fichiers XML, CC-BY 4.0, versions géoréférencées FGDB/GPKG (2025, 2026) et GeoJSON (2013-2024), propriétaires et cadastre caviardés, réidentification interdite, métadonnées modifiées le 2026-08-24",SRC-B-013,"Fiche CKAN package_show lue le 2026-10-31 (ressources : FGDB 2026-04-01, GPKG 2026-06-09, GeoJSON 2024 2025-02-06) ; notes-B §9.8",2026-10-31,verifie,
4+CLM-38-03,38,"Ville de Québec, « Zones inondables réglementées » : CC-BY 4.0, CSV/GeoJSON/KML/SHP, métadonnées 2023-06-26, ressources 2022-04-20 ; zones annexées au schéma d'aménagement et de développement révisé",SRC-B-020,"Fiche CKAN vque_77 lue le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,"antérieur au cadre du 1er mars 2026 ; pas de clé dans library.bib (ajoutée à lib-ch38.bib, non citée)"
5+CLM-38-04,38,"Ville de Gatineau : « Zonage » (CC-BY 4.0, CSV/KML/SHP/XLSX/XML, 2025-04-24) et « Zones inondables normé v1 » (GeoJSON, 2025-04-24), cartographie d'ancienne génération",SRC-B-021;SRC-B-022,"Fiches CKAN vgat-zonage et vgat-zones-inondables-norme-v1 lues le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
6+CLM-38-05,38,"Cadre des zones inondables en vigueur depuis le 1er mars 2026 (modifié le 29 juillet 2026) ; classes d'intensité très élevée / élevée / modérée / faible croisant la probabilité sur 25 ans (> 70 %, 70-20 %, 20-7 %) et la profondeur (> 60 cm, 30-60, 0-30) ; embâcles = très élevée ; cartographies publiées progressivement ; correspondance avec l'ancienne génération non énoncée",SRC-B-045;SRC-B-050,"notes-B §43.2 (pages Québec.ca màj 15 oct. et 28 août 2026) ; library.bib zonesInond2026, inondcartes",2026-10-31,verifie,"règles détaillées par classe non extraites (limites)"
7+CLM-38-06,38,"LQE art. 46.0.2 al. 3 par. 2.1° (zones inondables et de mobilité) ; art. 31.58-31.59 (avis de contamination / décontamination au registre foncier) ; art. 31.68 (liste municipale des terrains contaminés)",SRC-B-042,"notes-B §43.1-43.2 (texte LégisQuébec à jour au 15 oct. 2026)",2026-10-31,verifie,
8+CLM-38-07,38,"LAU art. 113 al. 2 par. 16° : régir ou prohiber compte tenu des dangers d'inondation, d'éboulis, de glissement de terrain",,"notes-B §ch. 8 ; library.bib lau",2026-10-31,verifie,
9+CLM-38-08,38,"Répertoire des terrains contaminés (MELCCFP) : inscription généralement si contamination > critère B ; non exhaustif ; recherche par adresse/municipalité, pas de couche géométrique",SRC-B-044,"notes-B §43.1 ; library.bib repertoiretc",2026-10-31,verifie,"l'absence de couche téléchargeable n'a été constatée que sur la page de recherche"
10+CLM-38-09,38,"Adresses Québec (géobase, points d'adresses, géocodage, CC BY 4.0, transition vers le Référentiel québécois des adresses jusqu'à fin 2026) et Référentiel québécois des adresses (mensuel, CC BY 4.0)",SRC-14-001,"library.bib mrnfAdressesQuebec2026, mrnfRQA2026 (fiches CKAN lues le 2026-10-31 par le ch. 14)",2026-10-31,verifie,
11+CLM-38-10,38,"Les produits géomatiques québécois à grande échelle utilisent la projection MTM (fuseaux de 3°, k0 0,9999, faux est 304 800 m) ; les cartes provinciales la projection Québec Lambert",SRC-38-001,"Paramètres confirmés par la base EPSG (area_of_use « Canada - Quebec ») ; l'usage effectif par le cadastre du Québec n'a pas été vérifié dans un document officiel",2026-10-31,partiellement_verifie,"formulé prudemment dans le texte (« pour ses produits géomatiques à grande échelle »)"
12+CLM-38-11,38,"Écart NAD83(SCRS) – WGS84 de l'ordre de 1 à 2 m dans l'est du Canada (dérive de la plaque)",,"Connaissance générale de géodésie ; aucune source dans les notes",2026-10-31,non_verifie,"ordre de grandeur donné comme négligeable pour l'évaluation ; à confirmer (RNCan) avant publication"
13+CLM-38-12,38,"CPTAQ : cartographie en ligne Déméter ; aucun téléchargement libre de la zone agricole vérifié",SRC-B-041,"library.bib cptaq (note : cartographie Déméter) ; notes-B point non vérifié 11",2026-10-31,partiellement_verifie,
14+CLM-38-13,38,"Zones de contraintes relatives aux glissements de terrain figurant aux schémas d'aménagement et règlements de zonage ; couverture des couches ouvertes non vérifiée",,"Déduit de LAU art. 113 par. 16° ; aucune couche consultée",2026-10-31,non_verifie,"signalé dans limites"
15+CLM-38-14,38,"Résultats de la littérature : Bin et Polasky 2004 (décote accrue après Floyd) ; Bin, Kruse et Landry 2008 (risque vs aménité côtière) ; Bernstein, Gustafson et Lewis 2019 (décote d'exposition future) ; Dubé, Thériault et Des Rosiers 2013 (effet non monotone des gares) ; Des Rosiers, Lagana et Thériault 2001 (taille et proximité des écoles)",,"notes-D §ch. 38 et résumés ; articles non relus in extenso pour ce chapitre",2026-10-31,partiellement_verifie,"aucun chiffre tiré de ces articles n'est cité"
16+CLM-38-15,38,"Générateur du cas 1 sans aucune des variables géospatiales du chapitre (effet vrai nul) ; cas 4 : taux × 1,05 si inondable, × 1,03 si contamination",,"data/synthetic/README.md (lois de génération)",2026-10-31,verifie,
17+CLM-38-16,38,"Formule du logsum : E[max_k U_k] = ln Σ exp(V_k) + γ pour des aléas de Gumbel iid (γ ≈ 0,5772)",,"Résultat standard du modèle logit (McFadden) ; dérivation reproduite dans le texte",2026-10-31,verifie,"aucune référence bibliographique propre dans library.bib ; non ajoutée"
18+CLM-38-17,38,"Pente d'un degré de longitude ≈ 78 km et d'un degré de latitude ≈ 111 km à la latitude de Gatineau ; formule du haversine ; facteur d'échelle TM k ≈ k0[1 + ½(Δλ cos φ)²]",,"Calculs reproduits par traite.geo et testés (test_ch38) ; haversine et équirectangulaire comparés à la géodésique WGS84 de pyproj",2026-10-31,verifie,
added verification/chapters/ch38-figures.csv +7 −0
@@ -0,0 +1,7 @@
1+fichier,chapitre,script,donnees,type_donnees,legende_courte,statut
2+ch38/ch38-fig-operations (TikZ),38,manuscript/chapters/ch38.tex,aucune,schema,"Chaîne des opérations SIG : couches sources, harmonisation du SRC, géocodage, cinq opérations, variables, modèle, cartes, documentation",verifie
3+ch38/ch38-fig-carte-cas1.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv + géométries fictives déclarées dans ch38_sig.py,synthetique,"600 ventes du cas 1 en NAD83 / MTM zone 9 avec cours d'eau fictif, classes d'exposition A et B, corridor fictif et tampon de 300 m, pôles fictifs, sujet [données synthétiques]",verifie
4+ch38/ch38-fig-choroplethe.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,"Choroplèthes hexagonales (30 cellules ≥ 5 ventes) de la médiane du prix au m² selon intervalles égaux / quantiles / Fisher–Jenks (palette séquentielle) et résidu moyen du modèle de référence (palette divergente) [données synthétiques]",verifie
5+ch38/ch38-fig-faux-positifs.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv (500 disques aléatoires par rayon),synthetique,"Distribution des t de 346 disques aléatoires de 1 km (référence vs sans secteur) et part de coefficients significatifs à 5 % selon le rayon et la spécification [données synthétiques]",verifie
6+ch38/ch38-fig-tampon.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,"Coefficient de l'indicatrice de tampon autour du corridor fictif selon le rayon (100–1000 m), IC 95 % HC1, référence vs sans secteur [données synthétiques]",verifie
7+ch38/ch38-fig-cas4.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille.csv,synthetique,"48 immeubles du cas 4 en NAD83 / Québec Lambert (taille ∝ valeur, zone inondable et contamination cerclées) et part de la valeur en zone inondable par RMR (6,7 % au total) [données synthétiques]",verifie
added verification/chapters/ch38-registry.csv +7 −0
@@ -0,0 +1,7 @@
1+id,type,titre,organisme,version_ou_date,url,date_consultation,statut,utilise_dans,notes
2+SRC-38-001,base_de_donnees,Registre EPSG des systèmes de référence de coordonnées (via PROJ 9.5.1 / pyproj 3.7.2),IOGP (EPSG Geodetic Parameter Dataset) ; distribution PROJ,PROJ 9.5.1 (pyproj 3.7.2),https://epsg.org/,2026-10-31,partiellement_verifie,38,"Codes 4326, 4269, 4617, 32187-32189, 2949-2951, 26918-26919, 2958-2959, 32198, 6622, 3857 et leurs paramètres lus dans la base EPSG embarquée (CRS.from_epsg) ; la fiche en ligne epsg.org/crs_32189 renvoie HTTP 403 à l'accès automatisé."
3+SRC-38-002,donnees,Zones inondables réglementées (Ville de Québec) — fiche CKAN vque_77,Ville de Québec / Données Québec,metadata_modified 2023-06-26 ; ressources 2022-04-20,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vque_77,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; CSV, GeoJSON, KML, SHP ; « zones inondables réglementées et cartographiées annexées au Schéma d'aménagement et de développement (SAD) révisé » ; antérieur au cadre du 1er mars 2026. Relu par l'API CKAN (package_show)."
4+SRC-38-003,donnees,Zonage (Ville de Gatineau) — fiche CKAN vgat-zonage,Ville de Gatineau / Données Québec,metadata_modified 2025-04-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vgat-zonage,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; XML, XLSX, CSV, SHP, KML. Relu par l'API CKAN."
5+SRC-38-004,donnees,Zones inondables normé v1 (Ville de Gatineau) — fiche CKAN,Ville de Gatineau / Données Québec,metadata_modified 2025-04-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/vgat-zones-inondables-norme-v1,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; GeoJSON ; cartographie d'ancienne génération. Relu par l'API CKAN."
6+SRC-38-005,donnees,Rôle d'évaluation foncière du Québec — fiche CKAN (ressources géoréférencées),MAMH / Données Québec,metadata_modified 2026-08-24,https://www.donneesquebec.ca/recherche/dataset/roles-d-evaluation-fonciere-du-quebec,2026-10-31,verifie,38,"CC-BY 4.0 ; ressources : géoréférencé 2026 FGDB (2026-04-01) et GPKG (2026-06-09), géoréférencé 2025 GPKG/FGDB (2025-12-15), géoréférencé 2024 GeoJSON (2025-02-06), index trimestriel (2026-08-24). Relu par l'API CKAN ; complète SRC-B-013."
7+SRC-38-006,logiciel,geopandas 1.1.3 / shapely 2.1.2 / pyproj 3.7.2 (PROJ 9.5.1),Projets GeoPandas / Shapely / pyproj,versions installées le 2026-10-31,https://geopandas.org/,2026-10-31,verifie,38,"Bibliothèques utilisées par ch38_sig.py et ch38_figures.py ; aucun fond de tuiles (contextily absent)."
added verification/chapters/ch38.md +42 −0
@@ -0,0 +1,42 @@
1+# Chapitre 38 — SIG et risques géospatiaux : bilan de rédaction (2026-10-31)
2+
3+## Compteurs
4+- Prose : ≈ 9 300 mots hors tableaux, figures, équations, listings et arguments de commandes (davantage avec la regex de `tools/check_manuscript.py`) ; 40 pages compilées (chapitre + solutions + bibliographie du chapitre).
5+- Figures : 6 (5 PDF geopandas/Matplotlib + 1 schéma TikZ) — `ch38-fig-carte-cas1`, `ch38-fig-choroplethe` (4 panneaux : 3 classifications séquentielles + 1 divergent), `ch38-fig-faux-positifs`, `ch38-fig-tampon`, `ch38-fig-cas4` ; chaîne des opérations (TikZ). Aucun fond de tuiles ; coordonnées projetées NAD83 / MTM 9 (cas 1) et Québec Lambert (cas 4), synthétiques.
6+- Tableaux : 9 (codes EPSG ; jeux de données québécois ; cinq opérations ; capitalisation du risque ; jointure par secteur ; bornes de classes/GVF ; coefficients × 3 spécifications + EMD ; faux positifs ; exposition du cas 4).
7+- Équations numérotées : 16 (équirectangulaire, facteur d'échelle TM, point dans polygone, tampon/Minkowski, haversine, détour réseau, pondération surfacique, IDW, gravité, logsum, hédonique avec risques, probabilité annuelle, capitalisation, EMD, Jenks/GVF, Bonferroni).
8+- Exercices : 7 (niveaux 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3) ; solutions détaillées dans `solutions/ch38.tex`, chiffres testés.
9+- Encadrés : objectifs, pratique, 2 × synthetique, exemple intégral, 2 × quebec, erreurs, limites, synthese.
10+- Citations : 36 clés, toutes déjà dans `references/library.bib` ; `lib-ch38.bib` contient une entrée nouvelle vérifiée (`vqinondables`, API CKAN), non citée.
11+
12+## Contrôles
13+- `tools/compile_chapter.sh 38` → `OK ch38 : 40 pages, 0 references/citations non definies, 0 overfull hbox`.
14+- `python3 -m pytest -q analysis/python/tests/test_ch38.py` → 18 passed (7 tests des fonctions génériques de `traite/geo.py`, 9 tests des chiffres du chapitre, 2 tests des solutions).
15+- `python3 tools/check_manuscript.py --no-log` : seuls signalements pour ch38 = figures non inscrites dans `verification/figures.csv` (global), conformément à la consigne « fichiers par chapitre seulement » (`ch38-figures.csv`).
16+- PDF relu (planches de contact des 40 pages, pages de tableaux et de figures à plus forte résolution) : tableaux larges en `\resizebox`, équation point-dans-polygone en `split`.
17+- `\cref` sans article respecté ; labels à deux chiffres (`eq:38:…`, `fig:38:…`, `tab:38:…`, `sec:38:…`, `ex:38:k`).
18+
19+## Fichiers livrés
20+`manuscript/chapters/ch38.tex`, `solutions/ch38.tex`, `analysis/python/traite/geo.py` (NOUVEAU module générique : haversine, équirectangulaire, facteur d'échelle TM, point dans polygone, IDW, grille hexagonale, classifications intervalles égaux/quantiles/Fisher–Jenks + GVF, accessibilité gravitaire, probabilité annuelle, EMD), `analysis/python/cases/ch38_sig.py` (+ `exercice_6`, `exercice_7`), `analysis/python/figures/ch38_figures.py`, `analysis/python/tests/test_ch38.py`, `assets/figures/ch38/*.pdf` (5), `verification/chapters/ch38-{figures,calculations,claims,registry}.csv`, `references/lib-ch38.bib`, ce bilan. Rien d'écrit dans les CSV globaux ni dans `library.bib` ; aucune fonction existante modifiée ; aucun fichier volumineux téléchargé (fiches CKAN seulement).
21+
22+## Résultats clés (données synthétiques)
23+- Cas 1 en MTM 9 : sujet (364 316 ; 5 031 566) m, k = 0,999943 ; MTM à 1,2 m de la géodésique, équirectangulaire locale à 83 m (0,51 %), haversine à 71 m (0,28 %).
24+- Jointure spatiale : 31 ventes en classe A, 57 en classe B (Hull/Aylmer), 17 dans le tampon de 300 m ; lancer de rayon `traite.geo` = shapely.
25+- Modèle de référence + 5 variables fictives (effet vrai nul) : rien de significatif, F(5, 579) = 0,84 (p 0,52) ; EMD 4,9 % (classe A). Sans indicatrices de secteur : classe A +6,3 % (t 3,78), ln A +14,6 % (t 10,9) — confusion avec la prime d'Aylmer.
26+- Faux positifs (disques aléatoires, erreurs-types classiques) : référence 2,9 % (1 km), 3,5 % (2 km) ; sans secteur 36 % et 74 % (29 % après Bonferroni) ; HC1 double la part aux petits rayons (26 % à 0,5 km).
27+- Choroplèthe hexagonale : 30 cellules ≥ 5 ventes ; GVF 0,952 / 0,909 / 0,964 (égaux / quantiles / Jenks).
28+- Cas 4 : 6,66 % de la valeur en zone inondable, dont 5,0 points pour un seul immeuble de Québec ; coefficient inondable 0,0756 (0,0347) vs ln 1,05 = 0,0488 du générateur.
29+
30+## Points non vérifiés ou partiellement vérifiés (voir ch38-claims.csv)
31+1. Écart NAD83(SCRS)–WGS84 « 1 à 2 m dans l'est du Canada » : ordre de grandeur non sourcé (CLM-38-11, non_verifie).
32+2. Usage effectif de la projection MTM par les produits géomatiques/cadastraux québécois : déduit du registre EPSG, non d'un document officiel (CLM-38-10, partiellement_verifie) ; formulation prudente.
33+3. Couches ouvertes de zones de contraintes relatives aux glissements de terrain : non consultées (CLM-38-13, non_verifie ; signalé dans `limites`).
34+4. Résultats de la littérature (Bin–Polasky, Bin–Kruse–Landry, Bernstein et al., Dubé et al. 2013, Des Rosiers et al. 2001) : cités d'après notes-D, sans chiffre (CLM-38-14).
35+5. Fiche epsg.org inaccessible au script (403) : codes vérifiés via la base EPSG de PROJ 9.5.1 (SRC-38-001, partiellement_verifie).
36+6. Fractions de dommage du tableau 38.4 : hypothèses pédagogiques déclarées.
37+
38+## Suggestions pour l'harmonisation
39+- Fusionner `vqinondables` (lib-ch38.bib) dans `library.bib` et la citer au tableau 38.2 ; ajouter les 6 lignes de `ch38-figures.csv` au CSV global.
40+- Le ch. 43 peut réutiliser `traite.geo.probabilite_annuelle` et l'équation de capitalisation (38.12) pour la mesure des décotes ; le ch. 48 les cartes Lambert de `ch38_figures.fig_cas4` ; le ch. 14 pourrait renvoyer au tableau 38.1 pour les codes EPSG.
41+- Le ch. 19 (§ matrices de poids) écrit « la projection officielle du Québec (ch. 38) » : préciser « MTM du fuseau local, tableau 38.1 ».
42+- Première utilisation de `lstlisting` dans un chapitre : style `traitecode` fonctionne ; garder le code en ASCII (LuaLaTeX + listings).
added verification/chapters/ch42-calculations.csv +15 −0
@@ -0,0 +1,15 @@
1+id,chapitre,description,script,test,resultat_attendu,resultat_obtenu,statut,date
2+CALC-42-01,42,"Part de F4 dans le déficit du ch. 7 (q4 0,1408 × 150 908) ; prix marginal du m² (0,60 × 3 650)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_passif_et_prix_marginal,"21 248 ; 2 190",idem,verifie,2026-10-31
3+CALC-42-02,42,"Prix observés des 5 comparables fictifs (modèle déflaté × bruit, arrondis à 500 $)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_prix_observes,"373 000 ; 326 500 ; 364 000 ; 373 500 ; 330 500",idem,verifie,2026-10-31
4+CALC-42-03,42,"Ajustements de la grille (marché, étage, orientation, stationnement, superficie, charges, syndicat) et prix ajustés ; identité P_aj = P + ΣA ; brut/net",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_ajustements_cites;test_signe_syndicat_et_charges,"390 935 ; 367 010 ; 375 475 ; 382 191 ; 373 416 ; brut F2 5,3 %, C4 20,0 %",idem,verifie,2026-10-31
5+CALC-42-04,42,"Réconciliation : poids inverses du brut (F2 0,419), valeur pondérée, moyenne, médiane, min, max, étendue ; valeur du modèle de génération dans la fourchette",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_reconciliation,"381 052 ; 377 805 ; 375 475 ; 367 010 ; 390 935 ; 6,3 % ; modèle 375 183",idem,verifie,2026-10-31
6+CALC-42-05,42,"Sensibilité de la valeur pondérée à R_c (5-12 %) et κ (0-1) ; monotonies",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFraction::test_sensibilite,"386 889 (κ=0, 5 %) à 379 437 (κ=1, 12 %)",idem,verifie,2026-10-31
7+CALC-42-06,42,"Cotisation spéciale de 150 908 $ répartie selon q_i ; ratio aux charges annuelles normalisées (A* = 21 891 $)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestCotisationSpeciale::test_repartition,"F1 14 110 (2,26 ans) ; F4 21 248 (2,08) ; F6 24 809 ; Σ = 150 908",idem,verifie,2026-10-31
8+CALC-42-07,42,"F4 louée 1 700 $/mois : RBP, RBE (v 2,1 %), dépenses, RNE avec/sans cotisation au fonds, taux implicite, MRB, valeur d'investissement à 5,25 %",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestLocative::test_rne_et_taux,"20 400 ; 19 972 ; 15 117 ; 4 855 / 7 937 ; 1,27 % / 2,08 % ; 18,7 ; 92 472",idem,verifie,2026-10-31
9+CALC-42-08,42,"Financement acheteur 380 000 $ : divise (mise 5 %, 4,12 %, 25 ans, composition semestrielle) vs part indivise (mise 20 %, hypothèse) ; TAM ; droits de mutation 2026",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestFinancement::test_divise_vs_indivise,"19 000 / 361 000 / 1 922 $/mois / coût 3 049 / TAM 6,12 % → 2 336 ; 76 000 / 304 000 / 1 619 ; écart 57 000 ; mutation 3 810,50",idem,verifie,2026-10-31
10+CALC-42-09,42,"Valeur en bloc : RBP, RBE (v 3 %), DE (42 %), RNE, V = RNE/5,25 %, par logement, MRB",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_bloc,"146 700 ; 142 299 ; 59 766 ; 82 533 ; 1 572 065 ; 196 508 ; 10,7",idem,verifie,2026-10-31
11+CALC-42-10,42,"Valeurs libres des 8 fractions (passif nul) et somme ; cohérence F4 libre = F4 sujet + part du déficit",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_valeurs_libres,"F1 276 481 … F6 430 539 ; F4 396 431 ; Σ 2 802 191",idem,verifie,2026-10-31
12+CALC-42-11,42,"Calendrier des ventes (ρ 12 %, δ 20 %, T 6) : produit brut par année et identité de somme",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_calendrier_identite,"1 705 343 ; 131 622 ; 115 827 ; 101 928 ; 89 697 ; 526 219",idem,verifie,2026-10-31
13+CALC-42-12,42,"Flux nets, V_conv = VAN à 10 % (traite.finance.van), prime, frais de vente, portage, somme nette ; variante vente occupée an 1",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_faisabilite,"flux −305 000 ; 1 595 097 ; … ; 495 304 ; V_conv 1 692 804 ; prime 120 739 (+7,7 %) ; 106 825 ; 106 784 ; 2 152 027 ; variante 1 884 780",idem,verifie,2026-10-31
14+CALC-42-13,42,"Sensibilité V_conv à ρ (5-30 %) × δ (10-30 %) ; vente occupée ; point mort des valeurs libres ; r = 8 % et 12 %",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestConversion::test_sensibilite_conversion,"1 531 692 à 1 893 849 ; θ* = 0,937 ; 1 768 600 ; 1 623 172",idem,verifie,2026-10-31
15+CALC-42-14,42,"Exercices 1 à 7 (quote-part et charges ; attestation ; capitalisation des charges ; grille à un comparable ; loyer pour 4 % ; variantes de conversion ; indivision → divise)",analysis/python/cases/ch42_copro.py,analysis/python/tests/test_ch42.py::TestExercices,"9 900 / 825 ; 13 430 ; 15 750 / 21 000 / 10 500 / 50 400 ; 294 280 (brut 19,6 %) ; 2 627 $/mois ; −44 742, 1 893 849, +120 000 ; 924 000 / 1 110 000 / 126 000 / 42 000",idem,verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch42-claims.csv +22 −0
@@ -0,0 +1,22 @@
1+id,chapitre,affirmation,source_id,verification,date,statut,notes
2+CLM-42-01,42,"C.c.Q. art. 1010, 1038, 1039, 1041, 1042-1044, 1052-1053, 1064 : fraction, déclaration, syndicat, valeur relative, parties communes, quote-part des charges et usage restreint",SRC-A-001,notes-A.md §3.2 ; normes-A NRM-A-008/012-018,2026-10-31,verifie,repris du ch. 7
3+CLM-42-02,42,"C.c.Q. art. 1068.1 (attestation, 15 jours, en vigueur 14 août 2025), 1068.2, 1069, 1070, 1070.2, 1071, 1072-1072.1, 1073, 1078 ; CCQ r. 8.01 art. 1-10 et 14 ; r. 4.1 art. 1-4",SRC-A-001;SRC-A-018;SRC-A-019,notes-A.md §3.2, §7 ; normes-A NRM-A-019/039,2026-10-31,verifie,
4+CLM-42-03,42,"Gestion Almaca c. Syndicat du 460 St-Jean, 2014 QCCA 105 : entretien courant des parties à usage restreint par les usagers, remplacement par le fonds de tous",SRC-A-037,sommaire SOQUIJ via CanLII Connects ; texte intégral non ouvert,2026-10-31,partiellement_verifie,même statut qu'au ch. 7
5+CLM-42-04,42,"Délai transitoire de trois ans et un jour (jusqu'au 15 août 2028) pour le carnet et la première étude ; renflouement sur au plus 10 ans ; validité 5/10 ans des documents obtenus dans les 2 années précédant le 14 août 2025 (art. 14)",SRC-A-020;SRC-A-018,notes-A.md §3.2,2026-10-31,verifie,
6+CLM-42-05,42,"NPP OEAQ : normes 13-14 (assurance) et 15-16 (fonds de prévoyance) ; seul un évaluateur agréé fixe le montant d'assurance de reconstruction (r. 4.1, art. 3)",SRC-C-001;SRC-A-019,notes-C.md §2 ; normes-A NRM-A-034,2026-10-31,verifie,
7+CLM-42-06,42,"Prix médians Centris T3 2026 (province 400 000 ; RMR Montréal 435 000 ; île 477 500 ; Québec 334 900 ; Gatineau 297 450 ; Sherbrooke 327 000 ; Trois-Rivières 287 000) et variations ; délais de vente copropriété 58/61/34/36 jours ; médianes Rosemont 563 200, Villeray 586 500, Basse-Ville/Limoilou 320 000, ville de Gatineau 295 000",SRC-E-001;SRC-E-002;SRC-E-003;SRC-E-004,notes-E.md (ch. 4 et 15) ; ordre des délais unifamiliale/copropriété/plex déduit de la cohérence avec ch16 (Gatineau unifamiliale 34 jours),2026-10-31,verifie,données d'industrie (Centris) ; citation ponctuelle avec attribution
8+CLM-42-07,42,"Valeurs au rôle : Montréal condo moyenne 549 600 $ (rôle 2026-2028) ; Gatineau condo médiane 306 300 → 320 700 $ (+4,70 %, rôle 2027-2029) ; agglomération de Québec condo moyen 301 539 $ (+21,6 %, rôle 2025-2027)",SRC-E-052;SRC-E-055;SRC-E-058,notes-E.md (ch. 45-47) ; Gatineau et Québec via presse,2026-10-31,partiellement_verifie,Gatineau et Québec : sources de presse reprenant les documents municipaux
9+CLM-42-08,42,"SCHL oct. 2025, copropriétés offertes en location : univers 233 535 / 36 816 / 10 620 ; part louée 21,9 / 15,5 / 27,4 % ; inoccupation 2,1 (1,4 en 2024) / 0,6 / 1,0 % vs ELL 2,9 / 2,4 / 3,8 % ; loyers 2 ch. 1 826 / 1 377 / 1 578 $ vs 1 346 / 1 277 / 1 460 $ ; tous types 1 812 / 1 382 / 1 534 $ ; taux de rotation Montréal 9,4 %",SRC-42-002;SRC-E-007,fichiers Excel SCHL lus le 2026-10-31 (tableaux 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.3.1) ; rotation : notes-E.md,2026-10-31,verifie,qualité a/b ; écarts de loyers signalés significatifs (Δ) par la SCHL
10+CLM-42-09,42,"Compte de taxes moyen 2026 à Montréal : copropriété 3 301 $, unifamiliale 4 939 $",SRC-E-033,La Presse 2026-10-19 (source secondaire) ; document budgétaire officiel non lu,2026-10-31,partiellement_verifie,cité en note de bas de page avec la mention « source secondaire »
11+CLM-42-10,42,"Finances Canada (en vigueur 15 déc. 2024) : mise de fonds 5 % jusqu'à 500 000 $ et 10 % de 500 000 à 1,5 M$ ; plafond assurable 1,5 M$ ; amortissement 30 ans premiers acheteurs et neuf",SRC-C-038,notes-C.md §4.3,2026-10-31,verifie,
12+CLM-42-11,42,"BSIF : taux admissible minimal = max(taux contractuel + 2 %, 5,25 %) ; BdC août 2026 : taux effectif des prêts assurés fixes ≥ 5 ans 4,12 %",SRC-C-035;SRC-E-?,notes-C.md §4.2 ; notes-E.md (ch. 31, groupe A4 BdC),2026-10-31,verifie,clé bdctauxhypothecaires2026 non citée dans le texte (chiffre attribué à la BdC en prose)
13+CLM-42-12,42,"Pratique des prêteurs pour une part indivise : pas de prêt assuré, mise de fonds souvent de 20 %",,aucune source normative consultée,2026-10-31,non_verifie,présentée comme pratique non vérifiée dans le texte et dans limites ; paramètre MISE_INDIVISE déclaré « NON VÉRIFIÉE » dans le script
14+CLM-42-13,42,"Loi sur le TAL art. 51 (autorisation ; 10 ans ; coopératives/OSBL ; interdiction agglomération de Montréal sauf dérogation ; exception propriétaires indivis ; restrictions hors Montréal), 52 (avis d'intention annexe I, préavis 24 h), 53 (gel des travaux), 54 (pas de reprise), 54.1 (6 mois), 54.2 (refus obligatoires, 3 ans), 54.3, 54.4 (inscription dans l'année), 54.5, 54.6 (rapport d'expert, circulaire, budget prévisionnel), 54.7 (préemption, 1 mois, 2 mois), 54.8, 54.9, 54.10, 54.11 (3 ans), 54.12 (règlement d'arrondissement), 54.13 (règlement municipal hors Montréal ; autorisation du conseil à Québec), 54.14 (critères ; avis public)",SRC-42-001;SRC-A-002,texte intégral lu sur LégisQuébec le 2026-10-31 (à jour au 15 octobre 2026),2026-10-31,verifie,paraphrase dans le tableau 42.7 ; aucune citation textuelle sauf l'exception « propriétaires indivis » (art. 51 al. 3)
15+CLM-42-14,42,"Contenu des règlements municipaux de conversion (Montréal — règlements d'arrondissement ; Québec — règlement en vertu de 54.13 ; autres municipalités)",,pages municipales non accessibles par script (404) ; règlements non lus,2026-10-31,non_verifie,signalé dans le tableau 42.7, l'encadré quebec et limites : à vérifier auprès de la municipalité à la date d'évaluation
16+CLM-42-15,42,"C.c.Q. art. 3030 (cadastre vertical préalable), 1937 (l'aliénation ne permet pas de résilier le bail), 1957-1959.1 (reprise, éviction, aînés), 1965 (indemnité 3-24 mois), 1958 (indivisaire)",SRC-A-001,normes-A NRM-A-066, 087, 091 ; notes-A.md §4-5,2026-10-31,verifie,
17+CLM-42-16,42,"Loi 65 (2024, c. 23) : moratoire sur les évictions de l'art. 1959 jusqu'au 6 juin 2027 ; fin anticipée possible (art. 11) ; aucun avis repéré au 2026-10-31",SRC-A-014,notes-A.md §5 et §8 ; normes-A NRM-A-088,2026-10-31,verifie,à revérifier à chaque évaluation
18+CLM-42-17,42,"Droits de mutation 2026 : 0,5 % ≤ 62 900 $ ; 1 % de 62 900 à 315 000 $ ; 1,5 % au-delà (exemple 380 000 $ → 3 810,50 $)",SRC-A-001,notes-A.md §2.3 (D-15.1, art. 2, à jour au 15 octobre 2026),2026-10-31,verifie,taux municipal facultatif > 500 000 $ non applicable à l'exemple
19+CLM-42-18,42,"CBRE T3 2026 : Québec multirésidentiel Low Rise B 5,00-6,00 % ; Montréal Low Rise B 4,25-4,75 %",SRC-E-?,notes-E.md (ch. 29),2026-10-31,verifie,le taux de 5,25 % de l'exemple est une hypothèse située dans la fourchette Québec LR B
20+CLM-42-19,42,"Hypothèses pédagogiques du marché fictif : 3 650 $/m², élasticité 0,60, coefficients d'étage −4/0/+2 %, d'orientation −3/0/+3 %, stationnement 28 000 $, g 2 %, R_c 8 %, κ 1, bruit 0,02 ; loyers 1 250-1 850 $, v 3 %, DE 42 %, ρ 12 %, δ 20 %, f 4 %, φ 1,5 %, r 10 %, coûts de conversion 305 000 $",,hypothèses déclarées (encadré synthetique, tableau 42.8, limites),2026-10-31,non_verifie,aucune statistique québécoise vérifiée sur R_c, κ, la décote de vente occupée ou les coûts de conversion
21+CLM-42-20,42,"Régime de la location à court terme (loi provinciale sur l'hébergement touristique, zonage municipal) et incidences fiscales d'une conversion (taxes de vente, gain en capital)",,hors périmètre, non vérifiés,2026-10-31,non_verifie,explicitement exclus dans l'encadré quebec de §42.6 et dans limites
22+CLM-42-21,42,"Littérature : Lentz & Wang 1998 (enjeux d'évaluation des copropriétés) ; Sims 2007, Autor-Palmer-Pathak 2014, Diamond-McQuade-Qian 2019, Glaeser-Luttmer 2003 (contrôle des loyers et conversions) ; Kestens-Thériault-Des Rosiers 2006 (profils d'acheteurs)",SRC-D,notes-D.md §ch. 42 ; library.bib (lib-D vérifié),2026-10-31,verifie,aucune étude vérifiée des effets de l'encadrement québécois de la conversion
added verification/chapters/ch42-figures.csv +5 −0
@@ -0,0 +1,5 @@
1+fichier,chapitre,script,donnees,type_donnees,legende_courte,statut
2+ch42/ch42-fig-medianes-rmr.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_medianes.py,"APCIQ, Statistiques résidentielles Centris T3 2026 (communiqué du 2026-10-14 ; sources/notes-E.md, tableau ch. 4) ; valeurs ponctuelles citées, aucun tableau APCIQ reproduit",reelle,"Prix médians Centris des copropriétés et des unifamiliales par territoire, T3 2026, variation annuelle et ratio copro/unifamiliale [données réelles citées]",verifie
3+ch42/ch42-fig-cotisation-speciale.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_cotisation_speciale.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py à partir de ch07_servitudes_copro.py (quotes-parts, charges, cotisation de seuil, déficit 150 908 $ ; graine 20261031)",synthetique,"Charges annuelles normalisées des 8 fractions et part de chacune dans une cotisation spéciale égale au déficit du fonds (= 2,0-2,3 années de charges) [données synthétiques]",verifie
4+ch42/ch42-fig-grille-fraction.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_grille.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py (5 comparables fictifs, graine 20261031)",synthetique,"Grille de la fraction F4 : prix observé → prix ajusté, décomposition des 7 ajustements, poids et valeur pondérée 381 052 $ [données synthétiques]",verifie
5+ch42/ch42-fig-bloc-piece.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_bloc_piece.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py (faisabilite, valeur_bloc ; graine 20261031)",synthetique,"Valeur de conversion selon la rotation des locataires (2-40 %) pour 3 décotes de vente occupée vs valeur en bloc 1 572 065 $ et vente occupée dès l'an 1 [données synthétiques]",verifie
added verification/chapters/ch42-registry.csv +3 −0
@@ -0,0 +1,3 @@
1+id,type,titre,organisme,version_ou_date,url,date_consultation,statut,utilise_dans,notes
2+SRC-42-001,loi,"Loi sur le Tribunal administratif du logement (RLRQ, c. T-15.01), section sur la conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise, art. 51 à 54.14",Québec (LégisQuébec),À jour au 15 octobre 2026,https://www.legisquebec.gouv.qc.ca/fr/document/lc/T-15.01,2026-10-31,verifie,42,"Page HTML téléchargée (curl, User-Agent navigateur) et texte des art. 51-54.14 extrait et lu intégralement le 2026-10-31 (sous-section 3 « Conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise ») ; complète SRC-A-002 ; clé library.bib loiTAL (aucune nouvelle clé)"
3+SRC-42-002,tableau,"SCHL, Enquête sur les logements locatifs, octobre 2025 — tableaux 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 et 4.3.1 (appartements en copropriété offerts en location) des fichiers rmr-montreal / rmr-quebec / rmr-gatineau-2025-fr.xlsx",Société canadienne d'hypothèques et de logement,Données d'octobre 2025 ; rapport publié le 11 décembre 2025,https://assets.cmhc-schl.gc.ca/sites/cmhc/professional/housing-markets-data-and-research/housing-data-tables/rental-market/rental-market-report-data-tables/2025/rmr-montreal-2025-fr.xlsx,2026-10-31,verifie,42,"Fichiers déjà versés dans data/raw/schl_rml_2025/ (SRC-E-007) ; feuilles lues par openpyxl le 2026-10-31 : univers 233 535 / 36 816 / 10 620 ; part louée 21,9 / 15,5 / 27,4 % ; inoccupation copro 2,1 / 0,6 / 1,0 % vs ELL 2,9 / 2,4 / 3,8 % ; loyers 2 ch. 1 826 / 1 377 / 1 578 $ vs 1 346 / 1 277 / 1 460 $ ; clé library.bib schlrmltables2025 ; conditions d'utilisation SCHL : chiffres cités avec attribution, fichiers non redistribués"
added verification/chapters/ch42.md +38 −0
@@ -0,0 +1,38 @@
1+# Chapitre 42 — Copropriétés et conversions : bilan de rédaction (2026-10-31)
2+
3+## Compteurs
4+- Prose : ≈ 11 900 mots hors tableaux, figures et équations (≈ 15 800 mots au sens de la regex de `tools/check_manuscript.py`) ; 43 pages compilées (chapitre 32 p. + solutions + bibliographie du chapitre).
5+- Figures : 4 — `ch42-fig-medianes-rmr.pdf` (données réelles APCIQ T3 2026, citées), `ch42-fig-cotisation-speciale.pdf`, `ch42-fig-grille-fraction.pdf`, `ch42-fig-bloc-piece.pdf` (synthétiques, graine 20261031).
6+- Tableaux : 9 (indicateurs publics du marché ; pièces du dossier ; sujet et comparables ; grille d'ajustement ; sensibilité R_c × κ ; SCHL copropriétés louées par RMR ; cadre Loi TAL art. 51-54.14 (longtable) ; faisabilité de la conversion ; sensibilité ρ × δ).
7+- Équations numérotées : 13 (modèle à effet d'immeuble, différence intra-immeuble, ajustements d'étage/orientation, borne de Gordon des charges, capitalisation des charges, ajustement de syndicat, RNE d'une fraction louée, taux implicite et valeur d'investissement, valeur en bloc, valeur de conversion, calendrier des ventes, prime, point mort) ; 1 définition ; 1 proposition démontrée.
8+- Exercices : 7 (niveaux 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3) ; solutions détaillées dans `solutions/ch42.tex`, chiffres testés (`TestExercices`).
9+- Encadrés : objectifs, 1 synthetique, 2 exemples intégraux (fraction F4 ; conversion de l'immeuble de 8 logements), 3 quebec, 1 pratique, erreurs, limites, synthese.
10+- Citations : 32 clés, toutes dans `references/library.bib` ; `references/lib-ch42.bib` ne contient aucune nouvelle entrée (commentaire explicatif ; les deux vérifications propres au chapitre sont rattachées aux clés existantes `loiTAL` et `schlrmltables2025`).
11+
12+## Contrôles
13+- `tools/compile_chapter.sh 42` → `OK ch42 : 43 pages, 0 references/citations non definies, 0 overfull hbox`.
14+- `python3 -m pytest -q analysis/python/tests/test_ch42.py` → 21 passed (avec `test_ch07.py` : 40 passed ; aucune modification de ch07 ni de `traite/`).
15+- `python3 tools/check_manuscript.py --no-log` : seules remarques pour ch42 = 4 figures non inscrites dans `verification/figures.csv` global (attendu : registres par chapitre `verification/chapters/ch42-*.csv`, règle de collision).
16+- PDF relu page par page (43 p.) : tableaux dans les marges après resserrement (tab. 42.3 en `\scriptsize`, tab. 42.6 `tabcolsep` 2,6 pt), tableau du cadre TAL converti en `longtable` (2 pages), figures lisibles, légendes complètes.
17+- Scripts : `analysis/python/cases/ch42_copro.py` (réutilise `quotes_parts`, `repartition_charges`, `cotisation_seuil`, `incidence_valeur`, `FRACTIONS` de `ch07_servitudes_copro.py` ; `traite.comparables` pour la grille et la réconciliation ; `traite.finance` pour RBE/RNE/capitalisation/VAN/Hypotheque/TAM) ; `analysis/python/figures/ch42_{medianes,cotisation_speciale,grille,bloc_piece}.py`.
18+- Cohérence avec le ch. 7 : même immeuble fictif, même déficit (150 908 $), même cotisation de seuil (21 891 $) ; F4 vaut 375 183 $ (modèle) / 381 052 $ (grille) avec son passif de 21 248 $, et 396 431 $ libre de passif dans l'analyse de conversion (identité testée).
19+
20+## Vérifications web effectuées (points précis seulement)
21+- Loi sur le TAL, art. 51 à 54.14 (sous-section « Conversion d'un immeuble locatif en copropriété divise »), texte à jour au 15 octobre 2026, téléchargé de LégisQuébec (curl, User-Agent navigateur) et lu intégralement le 2026-10-31 → `SRC-42-001` ; paraphrase au tableau 42.7 ; exception « propriétaires indivis » (art. 51 al. 3) et pouvoirs municipaux (54.12-54.14) intégrés.
22+- SCHL, tableaux 4.1.1/4.1.2/4.1.3/4.3.1 (copropriétés offertes en location) des fichiers déjà présents dans `data/raw/schl_rml_2025/` lus par openpyxl le 2026-10-31 → `SRC-42-002` (inoccupation 2,1 % Montréal / 0,6 % Québec / 1,0 % Gatineau ; loyers ; univers ; part louée).
23+- Pages municipales (Montréal, Québec) sur la conversion : non accessibles par script (404) → règlements municipaux non vérifiés (CLM-42-14).
24+
25+## Points non vérifiés ou partiellement vérifiés (voir ch42-claims.csv)
26+1. Pratique des prêteurs pour les parts indivises (mise de fonds 20 %, pas de prêt assuré) : CLM-42-12, non_verifie, présentée comme telle dans le texte et dans limites.
27+2. Contenu des règlements municipaux de conversion (art. 54.12-54.13) : CLM-42-14, non_verifie.
28+3. Compte de taxes moyen d'une copropriété à Montréal (3 301 $) : La Presse 2026-10-19, source secondaire (CLM-42-09) ; valeurs au rôle de Gatineau et Québec via presse (CLM-42-07).
29+4. Hypothèses pédagogiques du marché fictif (3 650 $/m², élasticité 0,60, coefficients, 28 000 $, R_c 8 %, κ 1, loyers, ρ 12 %, δ 20 %, coûts de conversion 305 000 $, r 10 %) : CLM-42-19 ; aucune statistique québécoise de R_c, κ, décote de vente occupée ou coûts de conversion.
30+5. Location à court terme (loi sur l'hébergement touristique) et fiscalité de la conversion : hors périmètre, CLM-42-20.
31+6. *Gestion Almaca* 2014 QCCA 105 : sommaire seulement (comme au ch. 7).
32+
33+## Suggestions pour l'harmonisation
34+- Compléter la `note` de `loiTAL` dans `library.bib` : « art. 51-54.14 (conversion) lus le 2026-10-31 » ; ajouter aux notes de `schlrmltables2025` les tableaux 4.x (copropriétés louées) et le fichier FR.
35+- Le ch. 41 (PHMU) peut renvoyer à `\cref{sec:42:modele-conversion}` et `eq:42:prime` pour le test de faisabilité d'une conversion ; le ch. 34 à `tab:42:cadre` pour l'art. 54 (pas de reprise après l'avis d'intention) ; le ch. 32 à `sec:42:indivise` pour les plex en indivision.
36+- Candidats à `traite/` : `calendrier_ventes`/`faisabilite` (VAN d'un programme de ventes échelonnées avec rotation) pourraient rejoindre `finance.py` si le ch. 41 (lotissement, résiduel) en a besoin, avec leurs tests.
37+- Données réelles : si la SCHL publie l'enquête d'octobre 2026 (décembre 2026), mettre à jour le tableau 42.6 et le paramètre `INOCC_COPRO` (2,1 %) ; revérifier le moratoire de la Loi 65 avant le 6 juin 2027.
38+- Le compte de taxes « condo 3 301 $ » devrait être remplacé par le document budgétaire officiel de la Ville de Montréal dès qu'il est lisible (voir notes-E, point 1 des non trouvés).
added verification/chapters/ch43-calculations.csv +12 −0
@@ -0,0 +1,12 @@
1+id,chapitre,description,script,test,resultat_attendu,resultat_obtenu,statut,date
2+CALC-43-001,43,"Cas 4, effets_regionaux : coefficient inondable (se HC1) → effet % du taux, IC95, Kennedy ; coefficient sol ; part de la valeur en zone inondable",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestPrimeTaux,"0,0756 (0,0347) → +7,86 % [0,77 ; 15,44], Kennedy 7,79 % ; sol 0,0536 (0,0288) → +5,50 % ; 6,66 %","0,0756 (0,0347) → +7,86 % [0,77 ; 15,44], Kennedy 7,79 % ; sol 0,0536 (0,0288) → +5,50 % ; 6,66 %",verifie,2026-10-31
3+CALC-43-002,43,"Décote de valeur impliquée par la prime de taux : 1 − exp(−γ) (estimée) et 1 − 1/1,05 (déclarée)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestPrimeTaux::test_coefficients_cites,"−7,29 % ; −4,76 %","−7,29 % ; −4,76 %",verifie,2026-10-31
4+CALC-43-003,43,"Cas 4, DiD sur ln RNE (choc injecté 2019T2 : −0,25/−0,12/−0,06 puis −0,05) : cellules, 2×2 naïf (se), par strate RMR, p de randomisation exacte (17 296 affectations)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestDiDCas4,"10,0063/10,1607/10,0995/10,1409 ; −0,1129 (0,0252) ; −0,0794 ; p 0,0052 et 0,0240","10,0063/10,1607/10,0995/10,1409 ; −0,1129 (0,0252) ; −0,0794 ; p 0,0052 et 0,0240",verifie,2026-10-31
5+CALC-43-004,43,"Cas 4, TWFE immeuble + RMR×trimestre : effet transitoire et permanent (se grappes) ; étude d'événement k=−7, 0, 1, 2, 12 ; effet valeur Δln RNE − Δln R estimé vs déclaré",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestDiDCas4::test_valeurs_citees,"−0,1653 (0,0263) ; −0,0888 (0,0466) ; 0,0208 / −0,2625 / −0,1278 / −0,0620 / −0,0912 ; −15,16 % vs −9,41 %","−0,1653 (0,0263) ; −0,0888 (0,0466) ; 0,0208 / −0,2625 / −0,1278 / −0,0620 / −0,0912 ; −15,16 % vs −9,41 %",verifie,2026-10-31
6+CALC-43-005,43,"Rivière-Fictive : 625 lots (175 exposés : 25/50/50/50 ; 141 avec vue dont 54 hors zone), 1 014 ventes (302 exposées, 695 après), vérités ln : avant −0,0499, après −0,0763, stigmate −0,0263",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_structure,"625 ; 175 ; 141/54 ; 1 014 ; 302 ; 695 ; −0,0499 ; −0,0763 ; −0,0263","625 ; 175 ; 141/54 ; 1 014 ; 302 ; 695 ; −0,0499 ; −0,0763 ; −0,0263",verifie,2026-10-31
7+CALC-43-006,43,"Ventes appariées (206 paires après 2019) : moyenne $, moyenne %, médiane %, IC95, vérité ; par classe (TE/E/M/F) ; par vue (0/1)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_paires,"−19 113 $ ; −4,83 % ; −5,35 % ; [−6,15 ; −3,51] ; −7,26 % ; −8,47/−5,97/−5,37/−1,30 % ; −3,62/−5,91 %","−19 113 $ ; −4,83 % ; −5,35 % ; [−6,15 ; −3,51] ; −7,26 % ; −8,47/−5,97/−5,37/−1,30 % ; −3,62/−5,91 %",verifie,2026-10-31
8+CALC-43-007,43,"Hédoniques : (a) exposé sans vue ; (b) avec vue (+ coef vue) ; (c) par classe avant et × après, vue ; (d) DiD régression exposé, exposé×après ; 2×2 ; effectifs",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestRiviereFictive::test_hedoniques,"−0,0447 (0,0052) ; −0,0501 (0,0059), vue 0,0132 ; TE −0,1035 E −0,0564 M −0,0426 F −0,0043 ; ×après −0,0218/−0,0430/−0,0193/−0,0095 ; vue 0,0417 ; DiD −0,0316 (0,0092), −0,0269 (0,0107) ; 2×2 −0,0237 ; 223/489/96/206","idem",verifie,2026-10-31
9+CALC-43-008,43,"Terrain contaminé (hyp. fictives : V_p 2,1 M$, coût 206 500 $ +25 %, 15 mois, 6,5 %, stigmate 5 %) : VA propre stigmatisée, VA coût, coût du délai, stigmate, V_c, écart % ; sensibilité (s, T) et (coût ×k)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_contamination,"1 843 979 ; 248 163 ; 151 021 ; 105 000 ; 1 595 816 (−24,01 %) ; 1 780 814 … 1 331 391 ; ×2 → 1 347 653","idem",verifie,2026-10-31
10+CALC-43-009,43,"Sinistre P41 (hyp. fictives : remise 240 000 $, 4 log. × 5 mois, 6,5 %, stigmate 5 %, indemnité 85 % − 10 000 $) : VA perte d'usage, stigmate, V_après (%), indemnité, position assuré, perte nette, part non assurée ; sensibilité stigmate",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_sinistre,"27 603 ; 85 700 ; 1 360 697 (−20,61 %) ; 194 000 ; 1 554 697 ; 159 303 ; 45,1 % ; 1 446 397 … 1 189 297","idem",verifie,2026-10-31
11+CALC-43-010,43,"Pyrite : dépréciation curable (25 000 + 2 000) vs incurable (1 800/0,055)",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestModelesValeur::test_pyrite,"27 000 ; 32 727","27 000 ; 32 727",verifie,2026-10-31
12+CALC-43-011,43,"Exercices 1 à 7 (solutions/ch43.tex) : HP −7,96 %, Kennedy −7,99 %, IC [−11,68 ; −4,10] ; 2 285 714 / 2 119 149 / −7,29 % / −10,07 % ; 730 841 / 110 208 / 620 633 ; 14 226 / 786 574 / 893 574 / 86 426 ; −0,06 → −5,82 % ; 17 296, p variantes (−0,02 : 0,033/0,138 ; −0,10 : 0,0001/0,002 ; placebo 2017T2 : p 0,44) ; p* 0,048, 27 000 / 32 727",analysis/python/cases/ch43_risques.py,analysis/python/tests/test_ch43.py::TestExercices,"voir description","idem (variantes de l'ex. 6 calculées hors test, script modifié à la main : CHOC_PERMANENT ∈ {−0,02 ; −0,10}, placebo 2017T2 sans choc)",verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch43-claims.csv +27 −0
@@ -0,0 +1,27 @@
1+id,chapitre,affirmation,source_id,verification,date,statut,notes
2+CLM-43-001,43,"Cadre des zones inondables en vigueur le 1er mars 2026, modifié le 29 juillet 2026 ; règlements nouveaux (encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités ; ouvrages de protection) et modifiés (RAMHHS, REAFIE)",SRC-B-045,notes-B.md §43.2 (page Québec.ca màj 15 oct. 2026),2026-10-31,verifie,"Numéros RLRQ des deux règlements nouveaux non confirmés (déclaré dans limites)"
3+CLM-43-002,43,"LQE art. 46.0.2 al. 3 par. 2.1° : milieux hydriques incluant « les zones inondables d'un lac ou d'un cours d'eau ainsi que les zones de mobilité d'un cours d'eau »",SRC-B-042,notes-B.md (texte LégisQuébec à jour au 15 oct. 2026),2026-10-31,verifie,
4+CLM-43-003,43,"Classes d'intensité très élevée / élevée / modérée / faible : probabilité sur 25 ans (> 70 % ; 70-20 % ; 20-7 %) × profondeur (> 60 cm ; 30-60 ; 0-30) ; embâcle = très élevée",SRC-B-050,notes-B.md §43.2 (page « Cartographies en vigueur », màj 28 août 2026),2026-10-31,verifie,"Grille TikZ fig. 43.1 ; correspondance avec grand/faible courant non énoncée"
5+CLM-43-004,43,"Nouvelle résidence permise sous conditions en classe faible, faible courant, mobilité long terme ; interdite littoral, rive, classes TE/E/M, grand courant, mobilité court terme ; accessoire ≤ 50 m² hors TE ; existante : réparation/entretien partout, travaux majeurs adaptés + avis professionnel, reconstruction « uniquement sous certaines conditions »",SRC-B-049,notes-B.md §43.2 (page « Réaliser des travaux », màj 14 juill. 2026),2026-10-31,verifie,
6+CLM-43-005,43,"Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités, art. 83 (reconstruction dans le littoral seulement après sinistre non lié à l'eau et si déplacement impossible) et art. 85 (rive : bande végétalisée ≥ 5 m, pas de rapprochement du littoral)",SRC-B-048,notes-B.md §43.2 (version administrative 2026-07-29),2026-10-31,verifie,"Règles détaillées par classe non extraites (déclaré)"
7+CLM-43-006,43,"LAU art. 118 par. 6° (reconstruction d'un bâtiment détruit ou ayant perdu ≥ la moitié de sa valeur conforme aux règlements en vigueur) ; art. 145.2 al. 2 (dérogation mineure interdite en zone de contraintes)",SRC-B-038,notes-B.md §ch. 8 ; normes-B.csv,2026-10-31,verifie,
8+CLM-43-007,43,"LFM art. 174 par. 6° (incendie, destruction) et 19° (imposition/levée d'une restriction juridique) = motifs de modification du rôle ; art. 46 al. 3 : l'état comprend la situation économique, juridique et l'environnement",SRC-B-001,notes-B.md §9.2 et 9.5,2026-10-31,verifie,
9+CLM-43-008,43,"Rénoclimat volet Adaptation (1er oct. 2026) : pompe submersible ≤ 1 000 $, clapet ≤ 700 $, barrière ≤ 800 $ ; parcours accompagné en zone inondable : diagnostic ≤ 1 000 $, protection des fondations ≤ 35 000 $ (75 %)",SRC-B-061,notes-B.md §43.2 (page màj 13 oct. 2026),2026-10-31,verifie,
10+CLM-43-009,43,"Prime moyenne d'assurance habitation au Québec 1 103 $ en 2024 (+9 % sur un an, +63 % en 10 ans) ; coût moyen d'un sinistre 22 745 $",SRC-E-039,notes-E.md et library.bib (bacprimes2025),2026-10-31,verifie,"Source secondaire (blogue Infoassurance du BAC)"
11+CLM-43-010,43,"Fonctionnement du marché canadien de l'assurance contre les inondations par débordement (couverture facultative, zones non assurables, programmes publics d'aide aux sinistrés)",,"Aucune source primaire consultée ; le chapitre déclare explicitement ne pas le décrire",2026-10-31,non_verifie,"À documenter avant publication (BAC, Sécurité publique Québec, programme fédéral) ; mention limitée dans le texte et limites"
12+CLM-43-011,43,"LQE art. 31.42 (étude signée par un professionnel ; terrain = sols + eaux), 31.51 (cessation : caractérisation 12 mois, plan 3 mois), 31.53-31.54 (changement d'utilisation subordonné à un plan approuvé ; inclut l'usage résidentiel), 31.55, 31.57, 31.58 (avis de contamination : contenu), 31.59 (avis de décontamination), 31.60 (restrictions opposables), 31.68 (liste municipale, permis conditionnels)",SRC-B-042,notes-B.md §43.1 (texte lu article par article),2026-10-31,verifie,
13+CLM-43-012,43,"RPRT (Q-2, r. 37) art. 1 : annexe I par défaut ; annexe II pour terrains zonés industriels/commerciaux/institutionnels hors bâtiments résidentiels, écoles, CPE, hôpitaux, CHSLD ; lettres A/B/C absentes du règlement (Guide d'intervention)",SRC-B-043,notes-B.md §43.1 ; registry-B.csv,2026-10-31,verifie,"Guide d'intervention non dépouillé : correspondance A/B/C = pratique rapportée (partiellement vérifié)"
14+CLM-43-013,43,"Répertoire des terrains contaminés (MELCCFP) : inscription « généralement » si > critère B ; « Il ne s'agit pas d'un inventaire exhaustif » ; noms jamais retirés",SRC-B-044,notes-B.md §43.1 ; library.bib (repertoiretc),2026-10-31,verifie,
15+CLM-43-014,43,"Phases I (documentaire + visite), II (échantillonnage et analyses), III (délimitation, volumes, options et coûts de réhabilitation) de l'évaluation environnementale de site",,"Pratique courante décrite sans référence normative (norme CSA et Guide d'intervention non consultés)",2026-10-31,partiellement_verifie,"Formulé comme « pratique professionnelle » ; ajouter la norme CSA Z768/Z769 si vérifiée"
16+CLM-43-015,43,"Plan de garantie des bâtiments résidentiels neufs : exclusions (art. 12) dont force majeure incluant les inondations et les sols contaminés",SRC-B-042;SRC-B-043,"notes-B.md §44.1 (B-1.1, r. 8 à jour au 1er juill. 2026) ; library.bib (reglgarantie)",2026-10-31,verifie,"source_id réel = règlement B-1.1 r. 8 (registre B §44 ; id non isolé dans registry-B)"
17+CLM-43-016,43,"C.c.Q. art. 1726 (vice caché : citation textuelle), 1728 (dommages-intérêts si le vendeur connaissait le vice ou ne pouvait l'ignorer)",SRC-A-001,notes-A.md §2.1,2026-10-31,verifie,
18+CLM-43-017,43,"Formulaire DV OACIQ obligatoire depuis juillet 2012 (vente par une personne physique d'un immeuble résidentiel < 5 logements par courtier) ; règlement C-73.2 r. 1 art. 84-85 (découvrir et divulguer les facteurs défavorables)",SRC-A-001,notes-A.md §2.4 ; library.bib (oaciqFormulaireDV, reglCourtageDeontologie),2026-10-31,verifie,"Les sections précises du DV sur les sinistres/inondations ne sont pas citées par numéro (formulaire non dépouillé section par section)"
19+CLM-43-018,43,"Bin & Polasky 2004 : décote « significativement plus grande » après Floyd (résumé) ; décote « de l'ordre de 6 % » avant (notes-D)",SRC-43-001,"Résumé lu le 2026-10-31 (le.uwpress.org) : aucun chiffre dans le résumé ; le 6 % provient de notes-D.md",2026-10-31,partiellement_verifie,"Le texte et le tableau déclarent l'origine du chiffre"
20+CLM-43-019,43,"Bin, Kruse & Landry 2008 : zone inondable réduit la valeur ; écarts de prix « à peu près équivalents » à la valeur capitalisée des primes",SRC-43-002,Résumé lu via Crossref le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
21+CLM-43-020,43,"Harrison, Smersh & Schwartz 2001 : décote inférieure à la valeur actualisée des primes",,"notes-D.md ; résumé inaccessible (403 tandfonline)",2026-10-31,partiellement_verifie,
22+CLM-43-021,43,"Bernstein, Gustafson & Lewis 2019 : décote ≈ 7 % des propriétés exposées à la hausse du niveau de la mer",,"notes-D.md ; résumé inaccessible (403 ScienceDirect)",2026-10-31,partiellement_verifie,
23+CLM-43-022,43,"Hino & Burke 2021 : « little evidence that housing markets fully price information about flood risk » ; surévaluation 43,8 G$ US (IC 32,6-55,6)",SRC-43-003,Résumé lu via Semantic Scholar le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
24+CLM-43-023,43,"Ortega & Taspinar 2018 : pénalité graduelle atteignant 8 % en 2017 (non endommagés, sans récupération) ; chute 17-22 % puis récupération partielle (endommagés)",SRC-43-004,Résumé lu via Semantic Scholar le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
25+CLM-43-024,43,"Simons & Saginor 2006 (méta-analyse), Jackson 2001 et Boyle & Kiel 2001 (recensions), Kiel & McClain 1995 (cycle rumeur → exploitation) : résumés qualitatifs",,"notes-D.md ; résumé de Simons & Saginor inaccessible",2026-10-31,partiellement_verifie,"Aucun chiffre rapporté pour ces quatre références"
26+CLM-43-025,43,"Lois du générateur du cas 4 : taux × 1,05 si zone inondable, × 1,03 si contamination ; P(inondable) 8 %, P(sol) 5 %",,data/synthetic/README.md et analysis/python/traite/synth.py (lus),2026-10-31,verifie,"Données synthétiques déclarées"
27+CLM-43-026,43,"Aucune étude arbitrée sur zones inondables et valeurs au Québec retrouvée",,notes-D.md (entrées non vérifiées),2026-10-31,verifie,"Déclaré dans limites"
added verification/chapters/ch43-figures.csv +7 −0
@@ -0,0 +1,7 @@
1+fichier,chapitre,script,donnees,type_donnees,legende_courte,statut
2+ch43/ch43-fig-carte-cas4.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_carte_cas4.py,data/synthetic/cas4_portefeuille.csv,synthetique,"Carte schématique des 48 immeubles du cas 4 par RMR (coordonnées fictives), taille ∝ valeur 2026, 3 immeubles en zone inondable et 2 sur sol contaminé mis en évidence [données synthétiques]",verifie
3+ch43/ch43-fig-carte-riverain.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_carte_riverain.py,data/synthetic/ch43_riverain_lots.csv;data/synthetic/ch43_riverain_ventes.csv,synthetique,"Rivière-Fictive : 625 lots, classes d'exposition le long de la rivière, lots du lac (aménité sans exposition) ; écart de ln P net des attributs par classe avant/après mai 2019 [données synthétiques]",verifie
4+ch43/ch43-fig-effets-methodes.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_effets_methodes.py,data/synthetic/ch43_riverain_ventes.csv,synthetique,"Décote de zone inondable par méthode (paires, hédonique indicatrice ± vue, DiD régression, DiD 2×2) avec IC 95 % et vérité du générateur ; décotes et stigmates par classe [données synthétiques]",verifie
5+ch43/ch43-fig-did-cas4.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_did_cas4.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv (choc injecté par ch43_risques.py),synthetique,"Trajectoires ln RNE traités (3) vs témoins (45) centrées 2019T1 et étude d'événement (EF immeuble + RMR×trimestre) avec choc déclaré [données synthétiques]",verifie
6+ch43/ch43-fig-placebos.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_placebos.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv (choc injecté),synthetique,"Inférence de randomisation exacte : distribution des 17 296 estimateurs placebo (naïf et par strate RMR), observé et vérité [données synthétiques]",verifie
7+ch43/schema-classes-exposition (TikZ),43,manuscript/chapters/ch43.tex,,schema,"Grille des quatre classes d'exposition (probabilité sur 25 ans × profondeur) du cadre québécois 2026 et conséquences pour une résidence (nouvelle / existante / littoral art. 83)",verifie
added verification/chapters/ch43-registry.csv +6 −0
@@ -0,0 +1,6 @@
1+id,type,titre,organisme,version_ou_date,url,date_consultation,statut,utilise_dans,notes
2+SRC-43-001,article,"Effects of Flood Hazards on Property Values: Evidence before and after Hurricane Floyd (résumé)",Land Economics 80(4) — University of Wisconsin Press,2004,http://le.uwpress.org/lookup/doi/10.2307/3655805,2026-10-31,partiellement_verifie,43,"Résumé lu (agent web) : 8 000 ventes, Pitt County NC, 1992-2002 ; « significantly larger after Hurricane Floyd than before » ; aucun pourcentage dans le résumé ; texte intégral non consulté (abonnement). Clé bib existante binPolasky2004."
3+SRC-43-002,article,"Flood Hazards, Insurance Rates, and Amenities: Evidence from the Coastal Housing Market (résumé Crossref)",Journal of Risk and Insurance — Wiley,2008,https://api.crossref.org/works/10.1111/j.1539-6975.2007.00248.x,2026-10-31,verifie,43,"Résumé via l'API Crossref (page Wiley 403) : « location within a flood zone lowers property value » ; « Price differentials for flood risk and the capitalized value of flood insurance premiums are roughly equivalent ». Clé bib existante binKruseLandry2008."
4+SRC-43-003,article,"The Effect of Information about Climate Risk on Property Values (résumé)",PNAS 118(17),2021,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1073/pnas.2003374118?fields=title%2Cabstract%2Cyear,2026-10-31,verifie,43,"Résumé via Semantic Scholar (page PNAS 403) : surévaluation 43,8 G$ US (IC 95 % 32,6-55,6) ; « little evidence that housing markets fully price information about flood risk in aggregate ». Clé bib existante hinoBurke2021."
5+SRC-43-004,article,"Rising Sea Levels and Sinking Property Values: Hurricane Sandy and New York's Housing Market (résumé)",Journal of Urban Economics 106,2018,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1016/j.jue.2018.06.005?fields=title%2Cabstract%2Cyear,2026-10-31,verifie,43,"Résumé via Semantic Scholar : pénalité « reaching 8% in year 2017 and showing no signs of recovery » (non endommagés) ; « large immediate drop in value following the storm (17–22%), followed by a partial recovery » (endommagés). Clé bib existante ortegaTaspinar2018."
6+SRC-43-005,article,"Tentatives d'accès aux résumés de Harrison et al. 2001, Bernstein et al. 2019, Simons & Saginor 2006",Taylor & Francis / Elsevier,2026-10-31,https://doi.org/10.1080/10835547.2001.12091045,2026-10-31,inaccessible,43,"HTTP 403 (tandfonline, ScienceDirect), Semantic Scholar 404, Crossref sans résumé ; les énoncés du chapitre pour ces trois références reprennent notes-D.md (partiellement vérifié)."
added verification/chapters/ch44-calculations.csv +14 −0
@@ -0,0 +1,14 @@
1+id,chapitre,description,script,test,resultat_attendu,resultat_obtenu,statut,date
2+CALC-44-001,44,"Facture annuelle au tarif D (1er avril 2026) pour 22 000 kWh : accès 168,46 + tranche 1 (14 600 kWh) 1 031,49 + tranche 2 (7 400 kWh) 824,51 = 2 024,46 $ ; prix moyen 9,20 ¢/kWh ; prix marginal 11,142 ¢/kWh",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestTarifD,"2024.46 ; 0.0920 ; 0.11142",idem,verifie,2026-10-31
3+CALC-44-002,44,"Économie marginale : 1 000 kWh évités au-dessus du seuil = 111,42 $ ; 15 000 → 14 000 kWh (franchissement du seuil) = 86,96 $",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestTarifD::test_economie_marginale,"111.42 ; 86.96",idem,verifie,2026-10-31
4+CALC-44-003,44,"Mesure A (thermopompe climat froid, hypothèses déclarées) : coût 16 500, LogisVert 120 × 36 = 4 320, net 12 180 ; 3 300 kWh = 367,69 $/an ; VAN −7 286,54 ; TRI −5,84 % ; VA économies 4 893,46 ; IR 0,402 ; annuité 1 140,37 ; CEE net 34,56 ¢, brut 46,81 ¢ ; délai jamais",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_thermopompe,"-7286.54 ; -0.0584 ; 4893.46 ; 0.3456",idem,verifie,2026-10-31
5+CALC-44-004,44,"Mesure B (isolation entretoit) : coût 95 × 44 = 4 180, Rénoclimat 2 000, net 2 180 ; 880 kWh = 98,05 $/an ; 31 ans ; VAN 224,60 ; TRI 5,29 % ; délai simple 16,89, actualisé 27,40 ; VA 2 404,60 ; IR 1,103 ; CEE net 15,12 ¢, brut 28,99 ¢",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_isolation,"224.60 ; 0.0529 ; 16.89 ; 27.40 ; 0.1512",idem,verifie,2026-10-31
6+CALC-44-005,44,"Combinaison A+B non additive : 880 + 0,30 × (11 000 − 880) = 3 916 kWh (vs 4 180) ; VAN −8 553,09 ; VA 5 806,91 (0,91 % de 637 953 $) ; coût 20 680 (3,24 %)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_combinaison_non_additive,"3916 ; -8553.09 ; 5806.91",idem,verifie,2026-10-31
7+CALC-44-006,44,"Décision incrémentale en fin de vie : appareil standard 10 481,32 × 1,33043 = 13 944,66, LogisVert 1 800 ; surcoût climat froid 2 555,34, bonification 2 520, net 35,34 ; 2 200 kWh = 245,12 $/an ; VA 3 262,31 ; VAN +3 226,97",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_decision_incrementale,"35.34 ; 3226.97",idem,verifie,2026-10-31
8+CALC-44-007,44,"Identités : VAN = −coût net + VA ; cumul actualisé final = VAN ; VAN(TRI) = 0 ; flux_t+1/flux_t = 1 + g ; annuité = coût net × CRF",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestMesures::test_identites,"écarts < 1e-6",idem,verifie,2026-10-31
9+CALC-44-008,44,"Seuils d'équilibre (A) : g = 14,40 % ; 8 683 kWh (78,9 % du chauffage) ; coût net 4 893,46 (subvention 11 606,54)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestSeuilsEtSensibilite::test_seuils_thermopompe,"0.1440 ; 8683 ; 11606.54",idem,verifie,2026-10-31
10+CALC-44-009,44,"Grille VAN taux × croissance : A de −9 383 à −4 573 (toutes négatives, monotone) ; B de −1 251 à +3 784 ; durée A : −9 573 (10 ans, 10 %) à −1 719 (25 ans, 2 %) ; tornade A (7 paramètres)",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestSeuilsEtSensibilite,"monotonie ; cellule de base = VAN ; subvention 0/6 700 → −11 606,54 / −4 906,54",idem,verifie,2026-10-31
11+CALC-44-010,44,"Lectures de la contribution (A) : VA/coût 0,297 ; VA/net 0,402 ; primes 2,32 / 4,20 / 5,36 % × 637 952,85 = 14 800,51 / 26 794,02 / 34 194,27 ; VA restante après 5 ans 3 923,88, après 10 ans 2 360,94",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution,"14800.51 ; 26794.02 ; 34194.27 ; 3923.88 ; 2360.94",idem,verifie,2026-10-31
12+CALC-44-011,44,"Paires qualité 4 vs 3 (cas 1 ; tolérances 25 m², 10 ans, 18 mois, 5 km ; prix bas ramené par 0,364 %/mois) : n = 30 ; médiane 5,78 % (25 082,63 $) ; moyenne 4,65 % ; σ 13,64 % ; erreur-type 2,49 % ; IC95 −0,23..9,53 % ; hédonique exp(0,06108)−1 = 6,30 % ; contribution 36 891,23 (paires) / 40 181,62 (hédonique) ; coût hypothèse 65 000 → ratios 0,568 / 0,618 ; VAN −28 108,77",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution::test_paires_qualite,"30 ; 0.0578 ; 0.0465 ; 0.0630 ; 36891.23",idem,verifie,2026-10-31
13+CALC-44-012,44,"Composantes du sujet à ≥ 90 % de vie utile (fiche ch. 11) : VRC 1,000 ; entrée asphaltée 1,000 ; aménagement paysager 0,950 ; gouttières 0,935 ; balcon 0,935",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestContribution::test_fin_de_vie,"5 composantes",idem,verifie,2026-10-31
14+CALC-44-013,44,"Exercices : ex1 1 578,78 / 2 470,14 ; ex2 1 200 / 2 880 / 55 833 BTU/h / 6 700 ; ex3 fenêtres VAN −16 213,20, CEE 183,96 ¢, sans sub −20 713,20 ; ex4 CEE 15,12 / 28,99 / 21,83 ¢, VAN sans sub −1 775,40 ; ex5 14 800,51 / 34 194,27 / 5 806,91 / 10 700,48 ; ex6 = CALC-44-008 ; ex7 n 59 (médiane 6,04 %) et 4 (0,92 %), Kennedy 6,298 %",analysis/python/cases/ch44_renovation.py,analysis/python/tests/test_ch44.py::TestExercices,"voir description",idem,verifie,2026-10-31
added verification/chapters/ch44-claims.csv +27 −0
@@ -0,0 +1,27 @@
1+id,chapitre,affirmation,source_id,verification,date,statut,notes
2+CLM-44-001,44,"Principe de contribution : la valeur d'une composante est ce qu'elle ajoute à la valeur de l'ensemble, non son coût ; critère de curabilité K ≤ ΔV",SRC-D-001,"appraisal2026 ; cohérent avec ch. 24 (eq:24:curabilite)",2026-10-31,verifie,Paraphrase
3+CLM-44-002,44,"Tarif D d'Hydro-Québec en vigueur le 1er avril 2026 : 46,154 ¢/jour ; 7,065 ¢/kWh jusqu'à 40 kWh/jour ; 11,142 ¢/kWh au-delà ; seuil uniforme (pas de variante hivernale dans la section 2.5)",SRC-44-001,"PDF Tarifs d'électricité, section 2.5 « Structure du tarif D », texte extrait et relu le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
4+CLM-44-003,44,"Hausse tarifaire domestique approuvée : 3,0 % (2026), 3,0 % (2027), 2,6 % (2028) — Régie de l'énergie, D-2026-033",SRC-E-020,"notes-E.md §ch. 28 ; clé regieenergie2026 (communiqué du 16 mars 2026)",2026-10-31,verifie,Communiqué relu dans le lot E ; la croissance de 3 % au-delà de 2028 est une hypothèse du chapitre
5+CLM-44-004,44,"Taux effectif des prêts hypothécaires non assurés à taux fixe de 5 ans et plus : 4,58 % (août 2026, BdC groupe A4)",SRC-E-012,"notes-E.md §ch. 31 ; clé bdctauxhypothecaires2026",2026-10-31,verifie,
6+CLM-44-005,44,"LogisVert : thermopompe ENERGY STAR 50 $/1 000 BTU/h à −8 °C, 120 $ climat froid, max 6 700 $ ; ENERGY STAR obligatoire depuis le 26 nov. 2025 ; bonification multilogements +100 $ depuis le 15 juin 2026 ; isolation du toit 1 500 $ ; bonus 5 % mesures combinées ; accumulateur thermique 15 000/22 000 $ ; géothermie 250 $/1 000 BTU/h max 18 000 $",SRC-B-044,"notes-B.md §44.2 ; page anglaise hydroquebec.com (FR = 404 le 2026-10-31)",2026-10-31,verifie,Cumul LogisVert/Rénoclimat sur une même mesure non vérifié : non supposé dans l'exemple
7+CLM-44-006,44,"Rénoclimat refondu le 1er oct. 2026 : évaluation avant travaux facultative (aide ≤ 500 $) ; transition jusqu'au 31 mars 2027 ; plafonds maison/plex : toit 2 000/5 000 ; murs 7 000/11 000 ; fondations 2 500/3 500 ; fenêtres 4 500/6 000 (300 $/fenêtre) ; portes/fenêtres ENERGY STAR 150 $/unité ; étanchéité 400–800 ; raccordement source d'appoint ≤ 1 000 ; batterie ≤ 4 000 ; adaptation inondations jusqu'à 35 000 $",SRC-B-043,"notes-B.md §44.2 ; clés renoclimat, renoclimatnouveautes (màj 13 oct. 2026)",2026-10-31,verifie,Le versement « au plafond » pour l'isolation du sujet est une hypothèse
8+CLM-44-007,44,"Chauffez vert terminé le 31 mars 2026 ; Subvention et Prêt canadiens pour des maisons plus vertes fermés (documents jusqu'au 31 déc. 2025) ; conversion mazout–thermopompe (fédéral) : date limite 31 juillet 2026 au Québec, jusqu'à 10 000 $/25 000 $ + 250 $ ; Novoclimat : 2 000 / 4 000 / 1 500 / 2 500 $",SRC-B-045,"notes-B.md §44.2 ; clés chauffezvertfin, rncansubvention, rncaninitiative, novoclimat",2026-10-31,verifie,Montants historiques de Chauffez vert et de l'ancien prêt fédéral non relus : non reproduits
9+CLM-44-008,44,"Mazout : installation interdite dans le neuf depuis le 31 déc. 2021 et remplacement dans l'existant depuis le 31 déc. 2023",SRC-B-046,"clés qcmazoutcommunique2021, qcmazout2026 (page Québec.ca, màj 8 juin 2026)",2026-10-31,partiellement_verifie,Texte réglementaire non relu ; résumé officiel seulement
10+CLM-44-009,44,"Code de construction : chapitre I.1 Efficacité énergétique du bâtiment (table des chapitres) ; chapitre I = CNB 2020 modifié Québec en vigueur le 17 avril 2025 ; dispositions antérieures applicables aux travaux débutés avant le 17 octobre 2027",SRC-B-040,"notes-B.md §44.1 ; clés codeConstruction, rbqtransition2026",2026-10-31,verifie,Contenu technique du chapitre I.1 non dépouillé ; cité comme référence de conformité seulement
11+CLM-44-010,44,"Loi sur le bâtiment : licence obligatoire (art. 46) ; exemption du propriétaire d'une unifamiliale pour son usage personnel sauf gaz, pétrole, électricité (art. 49 par. 2°) ; annulation du contrat et radiation de l'hypothèque légale (art. 50) ; plan de garantie (art. 77-83) ; GCR : bâtiments neufs seulement, durées 1/3/5 ans",SRC-B-041,"notes-B.md §44.1 ; clés loibatiment, reglgarantie, gcrprotections",2026-10-31,verifie,
12+CLM-44-011,44,"Déclarations du vendeur (OACIQ, formulaire obligatoire DV) : travaux effectués, permis, problèmes connus",SRC-A-030,"clé oaciqFormulaireDV (V24 06/2022) ; notes-A",2026-10-31,verifie,
13+CLM-44-012,44,"MIUF interdite au Canada depuis décembre 1980 ; vermiculite pouvant contenir de l'amiante",SRC-B-047,"clés rncanRenovations2025, rncanemprisonnons3",2026-10-31,verifie,
14+CLM-44-013,44,"Brounen & Kok 2011 : étiquette verte (A-C) +3,7 % (3,6 % Heckman) ; A vs D +10,2 % ; G vs D ≈ −5 % ; ≈ 32 000 logements étiquetés ; adoption faible et concentrée ; rôle informationnel",SRC-44-002,"texte publié (PDF sustainable-finance.nl) et extrait ScienceDirect, lus le 2026-10-31 ; résumé IDEAS",2026-10-31,verifie,
15+CLM-44-014,44,"Kahn & Kok 2014 : maisons étiquetées vertes en Californie, 2007-2012, prime ≈ 5 % (4,5 % hors maisons KB Home) ; plus élevée en climat chaud",SRC-44-003,"points saillants ScienceDirect (« sell for a 5% price premium ») et extrait ResearchGate ; résumé Maastricht (« small premium »)",2026-10-31,verifie,notes-D indiquait « ≈ 2–4 % » : le chiffre publié (5 %) a été retenu
16+CLM-44-015,44,"Hyland, Lyons & Lyons 2013 : A vs D +9,3 % (prix), +1,8 % (loyers) ; +1,3 %/+0,5 % par échelon BER ; effet plus fort quand le marché est faible ; 1,2 M d'annonces daft.ie dont ≈ 36 000-40 568 avec cote",SRC-44-004,"ESRI Research Bulletin 2014/1/3 (résumé des auteurs) ; rapport SEAI 2026 ; résumé IDEAS",2026-10-31,verifie,Des sources secondaires citent 11 % pour A : non retenu
17+CLM-44-016,44,"Fuerst, McAllister, Nanda & Wyatt 2015 : 333 095 logements vendus ≥ 2 fois, 1995-2012 ; A/B +5 %, C +1,8 %, E −0,7 %, F −0,9 %, G ≈ −6 % vs D ; effets plus forts pour maisons en rangée et appartements",SRC-44-005,"résumé IDEAS (échantillon) ; chiffres par bande d'après le document de travail des mêmes auteurs sur le pays de Galles (CentAUR, Reading) qui les résume",2026-10-31,verifie,Chiffres par bande non relus dans l'article lui-même (accès ScienceDirect refusé) ; source secondaire = mêmes auteurs
18+CLM-44-017,44,"Aydin, Brounen & Kok 2020 : +10 % d'efficacité énergétique mesurée ⇒ ≈ +2,2 % de valeur (IV), confirmé par ventes répétées ; le certificat ne change pas la capitalisation",SRC-44-006,"résumé Semantic Scholar (texte de l'abstract), 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
19+CLM-44-018,44,"Fuerst & Warren-Myers 2018 : ACT (Australie), 2011-2016, cote obligatoire à la vente ; cote et équipements capitalisés ; non-divulgation plus fréquente pour les logements peu efficaces (« citrons verts »)",SRC-44-006,"résumé Semantic Scholar, 2026-10-31",2026-10-31,verifie,Aucun chiffre de prime cité
20+CLM-44-019,44,"Cespedes-Lopez et al. 2019 : 66 documents, 173 estimations ; prime globale 4,20 % ; Amérique du Nord 5,36 %, Asie 4,81 %, Europe 2,32 % ; résultats par lettre non concluants en Europe ; dispersion Amérique −2,49 % à 14,3 % ; méta-analyses antérieures 7,6 % (2014), 4,3 % (2016), 3,5-4,5 % (2018)",SRC-44-007,"résumé Crossref + texte intégral MDPI (extraction Tavily), 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
21+CLM-44-020,44,"Eichholtz, Kok & Quigley 2010 : ≈ 10 000 immeubles de bureaux ; loyers ≈ 3 % plus élevés, loyers effectifs > 6 %, prix de vente ≈ 16 % ; prime liée à l'efficacité mesurée au-delà du label",SRC-44-008,"version de travail en libre accès (eml.berkeley.edu), p. 3, lue le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,La version AER publiée (7 % pour les loyers effectifs) n'a pas été relue : le texte cite « plus de 6 % »
22+CLM-44-021,44,"Aucune cote énergétique n'est obligatoire à la vente d'une maison existante au Québec ; la cote ÉnerGuide est volontaire",,"déduit des programmes publics (Rénoclimat : évaluation facultative depuis le 1er oct. 2026) ; aucune disposition législative vérifiée",2026-10-31,partiellement_verifie,Signalé dans `limites` ; à confirmer par un juriste
23+CLM-44-022,44,"Palmarès de « taux de récupération » des rénovations : sondages d'opinion de courtiers, pas d'étude transactionnelle québécoise repérée",,"recherche du dépôt (notes-D : aucune entrée) ; aucune source citée",2026-10-31,non_verifie,Le chapitre n'en cite aucun chiffre ; traité qualitativement
24+CLM-44-023,44,"Hypothèses pédagogiques de l'exemple : consommation 22 000 kWh (50/20/30 %), thermopompe 36 000 BTU/h à 16 500 $ économisant 30 % du chauffage (20 % vs standard neuf), isolation 95 m² × 44 $/m² économisant 8 %, vie 15/31 ans, subvention Rénoclimat au plafond",,"déclarées dans l'encadré synthetique et tab:44:hypotheses ; aucune source",2026-10-31,non_verifie,Hydro-Québec ne publie pas de facture moyenne par type de maison (notes-E) ; sensibilité fournie
25+CLM-44-024,44,"Coût d'une rénovation complète cuisine + 2 salles de bain : 65 000 $ ; un échelon de qualité (3→4) représente une telle rénovation",,"hypothèse pédagogique déclarée (sec:44:paires)",2026-10-31,non_verifie,Ratio de récupération 0,57-0,62 conditionnel à cette hypothèse
26+CLM-44-025,44,"Knight & Sirmans 1996 ; Harding, Rosenthal & Sirmans 2007 : l'entretien et la rénovation ralentissent la dépréciation sans l'annuler",SRC-D-001,"notes-D.md §ch. 24 et 44 ; articles non relus dans ce lot",2026-10-31,partiellement_verifie,Formulation qualitative seulement
27+CLM-44-026,44,"IPCB Montréal, bâtiments résidentiels : +8,6 % T3 2026 / T3 2025 (18-10-0289-01)",SRC-E-040,"notes-E.md §ch. 23 ; clé statcanIPCB",2026-10-31,verifie,
added verification/chapters/ch44-figures.csv +6 −0
@@ -0,0 +1,6 @@
1+fichier,chapitre,script,donnees,type_donnees,legende_courte,statut
2+ch44/ch44-fig-prime-verte.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_prime_verte.py,"résultats publiés (Brounen–Kok 2011, Kahn–Kok 2014, Hyland et al. 2013, Fuerst et al. 2015, Aydin et al. 2020, Cespedes-Lopez et al. 2019, Eichholtz et al. 2010) ; repères du cas 1 : data/synthetic/cas1_gatineau_*.csv/json",synthetique,"Fourchettes de la prime verte par étude (segments et points) et repères du cas 1 (VA des économies et coût installé des mesures A+B rapportés à la valeur hédonique) [chiffres publiés ; repères = données synthétiques]",verifie
3+ch44/ch44-fig-flux.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_flux.py,"constantes de analysis/python/cases/ch44_renovation.py (hypothèses déclarées) ; tarif D vérifié",synthetique,"Flux annuels des mesures A (thermopompe, 15 ans) et B (isolation, 31 ans) : coût net, économies croissantes à 3 %, cumul actualisé à 4,58 %, VAN [données synthétiques]",verifie
4+ch44/ch44-fig-heatmap-van.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_heatmap_van.py,"constantes de analysis/python/cases/ch44_renovation.py",synthetique,"Cartes de chaleur de la VAN (k$) des mesures A et B selon le taux d'actualisation (2–10 %) et la croissance du prix de l'électricité (0–6 %), courbe VAN = 0 [données synthétiques]",verifie
5+ch44/ch44-fig-capitalisation.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_capitalisation.py,"analysis/python/cases/ch44_renovation.py ; data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv (paires qualité 4 vs 3)",synthetique,"(a) Quatre lectures de la contribution de la thermopompe (coût, coût net, VA des économies, primes vertes) ; (b) 30 paires de ventes qualité 4 vs 3 du cas 1, médiane, moyenne, IC 95 %, prix implicite hédonique [données synthétiques]",verifie
6+ch44-fig-frise (TikZ dans ch44.tex),44,manuscript/chapters/ch44.tex,"dates vérifiées : qcmazoutcommunique2021, codeConstruction, rbqtransition2026, rncansubvention, chauffezvertfin, rncaninitiative, renoclimat",schema,"Frise 2021–2027 des interdictions du mazout, du nouveau Code et de sa transition, des fermetures de programmes et de la refonte de Rénoclimat",verifie
added verification/chapters/ch44-registry.csv +10 −0
@@ -0,0 +1,10 @@
1+id,type,titre,organisme,version_ou_date,url,date_consultation,statut,utilise_dans,notes
2+SRC-44-001,document officiel,"Tarifs d'électricité en vigueur le 1er avril 2026, section 2.5 Structure du tarif D",Hydro-Québec,2026-04-01,https://www.hydroquebec.com/data/documents-donnees/pdf/tarifs-electricite.pdf?v=20261001,2026-10-31,verifie,ch44,"PDF téléchargé et texte extrait : 46,154 ¢/jour ; 7,065 ¢/kWh ≤ 40 kWh/jour ; 11,142 ¢/kWh au-delà ; aucun seuil hivernal distinct (clé hydrotarifs2026)"
3+SRC-44-002,article,"On the Economics of Energy Labels in the Housing Market (texte publié, JEEM 62(2))",Brounen & Kok,2011,https://sustainable-finance.nl/upload/researches/BrounenKok_On-the-Economics-of-Energy-Labels-in-the-Housing-Market.pdf,2026-10-31,verifie,ch44,"Extraits : prime verte 3,7 % (3,6 % Heckman), A vs D 10,2 %, G ≈ −5 %, ≈ 32 000 logements ; concordant avec l'extrait ScienceDirect (pii S0095069611000337) et IDEAS"
4+SRC-44-003,article,"The capitalization of green labels in the California housing market (points saillants)",Kahn & Kok,2014,https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0166046213000574,2026-10-31,partiellement_verifie,ch44,"Points saillants : « green homes sell for a 5% price premium », plus élevée en climat chaud ; 4,5 % hors KB Home (extrait ResearchGate) ; résumé complet lu sur cris.maastrichtuniversity.nl ; texte intégral non accessible"
5+SRC-44-004,bulletin,"ESRI Research Bulletin 2014/1/3 : The Value of Domestic Building Energy Efficiency – Evidence from Ireland",Hyland, Lyons & Lyons (ESRI),2014,https://www.esri.ie/system/files/publications/RB20140103.pdf,2026-10-31,verifie,ch44,"Résumé par les auteurs de l'article Energy Economics 40 : A vs D +9,3 % (prix), +1,8 % (loyers) ; +1,3 %/+0,5 % par échelon ; effet plus fort en marché faible ; données daft.ie janv. 2008–mars 2012"
6+SRC-44-005,document de travail,"Energy performance ratings and house prices in Wales (v13), rappel des résultats de Fuerst et al. 2015",Fuerst, McAllister, Nanda & Wyatt (CentAUR, Université de Reading),2015,https://centaur.reading.ac.uk/52307/3/EPCs%20and%20House%20Prices%20in%20Wales%20v13.pdf,2026-10-31,partiellement_verifie,ch44,"Résume l'étude anglaise : 325 950 transactions avec contrôle d'âge ; A/B +5 %, C +1,8 %, E −0,7 %, F −0,9 %, G ≈ −6 % ; résumé IDEAS de l'article (333 095 logements) lu séparément ; article lui-même (ScienceDirect) inaccessible (403)"
7+SRC-44-006,API bibliographique,"Semantic Scholar Graph API : résumés de Aydin, Brounen & Kok 2020 (JUE 117) et Fuerst & Warren-Myers 2018 (Energy Economics 74)",Semantic Scholar,2026-10-31,https://api.semanticscholar.org/graph/v1/paper/DOI:10.1016/j.jue.2020.103243?fields=title,year,abstract,2026-10-31,verifie,ch44,"Aydin et al. : +10 % d'efficacité ⇒ ≈ 2,2 % de valeur ; Fuerst & Warren-Myers : ACT 2011-2016, non-divulgation des logements peu efficaces ; résumés Crossref des autres DOI sans champ abstract"
8+SRC-44-007,article,"Meta-Analysis of Price Premiums in Housing with Energy Performance Certificates (EPC), Sustainability 11(22) 6303",Cespedes-Lopez et al.,2019,https://www.mdpi.com/2071-1050/11/22/6303/htm,2026-10-31,verifie,ch44,"Texte intégral extrait (Tavily) : 66 documents, 173 registres ; 4,20 % ; 5,36 / 4,81 / 2,32 % ; Amérique −2,49 à 14,3 % ; méta-analyses antérieures 7,6 / 4,3 / 3,5-4,5 % ; résumé Crossref concordant"
9+SRC-44-008,document de travail,"Doing Well by Doing Good? Green Office Buildings (version de travail en libre accès)",Eichholtz, Kok & Quigley (UC Berkeley),2009,https://eml.berkeley.edu/~webfac/auerbach/quigley.pdf,2026-10-31,verifie,ch44,"p. 3 : ≈ 10 000 immeubles ; loyers ≈ 3 %, loyers effectifs > 6 %, prix ≈ 16 % ; article AER 100(5) 2010 (DOI vérifié Crossref) non relu"
10+SRC-44-009,page web,"Rénoclimat ; Rénoclimat — Nouveautés ; Novoclimat ; Fin de Chauffez vert ; LogisVert ; RNCan Initiative canadienne pour des maisons plus vertes (références du lot B, non reconsultées)",Québec.ca / Hydro-Québec / RNCan,2026-10,https://www.quebec.ca/habitation-territoire/chauffage-consommation-energie/aide-financiere-renovation-ecoenergetique/renoclimat,2026-10-31,verifie,ch44,"Vérifiées le 2026-10-31 dans le lot B (sources/notes-B.md §44.2, clés renoclimat, renoclimatnouveautes, novoclimat, chauffezvertfin, logisvert, rncansubvention, rncaninitiative) ; non reconsultées par le rédacteur du ch. 44"
modified verification/claims.csv +99 −0
@@ -846,3 +846,102 @@ CLM-20-13,20,"Pratique professionnelle de la réconciliation : critères de quan
846 CLM-20-14,20,Hypothèses d'usage du contre-exemple : part du terrain 30 % de la valeur (allocation) et vie économique de 60 ans (âge-vie) pour une maison de banlieue à ossature de bois,—,aucune source de marché ; ordres de grandeur pédagogiques déclarés comme tels dans le texte et remplacés par l'extraction du ch. 24,2026-10-31,non_verifie,ne sert qu'à illustrer ce que donnent des hypothèses non extraites du marché 846 CLM-20-14,20,Hypothèses d'usage du contre-exemple : part du terrain 30 % de la valeur (allocation) et vie économique de 60 ans (âge-vie) pour une maison de banlieue à ossature de bois,—,aucune source de marché ; ordres de grandeur pédagogiques déclarés comme tels dans le texte et remplacés par l'extraction du ch. 24,2026-10-31,non_verifie,ne sert qu'à illustrer ce que donnent des hypothèses non extraites du marché
847 CLM-20-15,20,"Indication par le coût du cas 1 : V_L 277 000 $ (13 ventes récentes de Hull), dépréciation extraite 22,00 % à 28 ans, désuétude fonctionnelle 7 605 $, total 23,91 %, valeur 579 501 $ (580 000 $) ; lecture ventilée 445 872 $",SRC-E-043,reprise de analysis/python/cases/ch24_depreciation.py (test_ch20::test_cout) ; hypothèses du ch. 24 (CLM-24-012 à -015) non revérifiées ici,2026-10-31,verifie,calcul vérifié ; les hypothèses sous-jacentes relèvent du ch. 24 et le terrain attend le ch. 25 847 CLM-20-15,20,"Indication par le coût du cas 1 : V_L 277 000 $ (13 ventes récentes de Hull), dépréciation extraite 22,00 % à 28 ans, désuétude fonctionnelle 7 605 $, total 23,91 %, valeur 579 501 $ (580 000 $) ; lecture ventilée 445 872 $",SRC-E-043,reprise de analysis/python/cases/ch24_depreciation.py (test_ch20::test_cout) ; hypothèses du ch. 24 (CLM-24-012 à -015) non revérifiées ici,2026-10-31,verifie,calcul vérifié ; les hypothèses sous-jacentes relèvent du ch. 24 et le terrain attend le ch. 25
848 CLM-20-16,20,"Valeur de génération du sujet (641 159 $) : loi déclarée dans data/synthetic/README.md ; constante de normalisation estimée sur les 600 ventes (e.-t. 0,0034)",—,recalcul dans ch20_reconciliation.verite ; données synthétiques,2026-10-31,verifie,n'existe que pour le jeu synthétique 848 CLM-20-16,20,"Valeur de génération du sujet (641 159 $) : loi déclarée dans data/synthetic/README.md ; constante de normalisation estimée sur les 600 ventes (e.-t. 0,0034)",—,recalcul dans ch20_reconciliation.verite ; données synthétiques,2026-10-31,verifie,n'existe que pour le jeu synthétique
849+CLM-36-01,36,Les séries du cas 4 sont engendrées comme tendance régionale + marche aléatoire σ 1.5 %/trim. + choc pandémique −3 % (2020T2-2021T2) ; le chapitre les prend comme Y(0) et superpose un effet déclaré,,data/synthetic/README.md (lois de génération) et analysis/python/traite/synth.py,2026-10-31,verifie,hypothèses pédagogiques déclarées ; aucune ligne de transport ni immeuble réel
850+CLM-36-02,36,"Linden & Rockoff (2008) : effet de l'arrivée d'un délinquant inscrit sur les prix, comparaison < 0,1 mille vs 0,1-0,3 mille",lindenRockoff2008,library.bib (DOI 10.1257/aer.98.3.1103) ; notes-D §ch. 36 ; distances d'après le résumé de l'article,2026-10-31,partiellement_verifie,les seuils de distance (0.1 et 0.3 mille) sont cités d'après le résumé ; à relire dans l'article pour un usage contentieux
851+CLM-36-03,36,"Currie et al. (2015) : 1 600 ouvertures et fermetures d'usines toxiques, anneaux < 0,5 mille et 0,5-2 milles",currie2015,library.bib (DOI 10.1257/aer.20121656 ; titre mentionne 1 600 usines) ; notes-D §ch. 36,2026-10-31,partiellement_verifie,les anneaux de distance sont cités d'après le résumé
852+CLM-36-04,36,Dubé–Legros–Thériault–Des Rosiers (2014) : estimateur spatial de DiD appliqué au train de banlieue de la Rive-Sud de Montréal ; effets dès l'annonce et décroissants avec la distance,dubeLegrosTheriaultDesrosiers2014,library.bib (DOI 10.1016/j.trb.2014.02.007) ; notes-D §ch. 36 et §ch. 5 ; contenu d'après le résumé et dubeTheriaultDesrosiers2013,2026-10-31,partiellement_verifie,les deux « leçons » (annonce ; distance) sont des généralisations de la littérature transport citées sans chiffre
853+CLM-36-05,36,Résultats théoriques cités : décomposition de Goodman-Bacon (poids et identité) ; ATT(g,t) de Callaway–Sant'Anna ; comparaison interdite,goodmanbacon2021;callawaySantanna2021,library.bib (DOI) ; identité vérifiée numériquement (CALC-36-05 et 36-09),2026-10-31,verifie
854+CLM-36-06,36,Rôles d'évaluation foncière du Québec : 1 140 municipalités en CC-BY 4.0 ; noms et adresses caviardés ; identifiant d'unité d'évaluation stable entre rôles,dqroles,library.bib (dqroles ; Données Québec consulté le 2026-10-31) ; CLM-19-02,2026-10-31,partiellement_verifie,la stabilité de l'identifiant d'unité d'évaluation d'un rôle à l'autre n'a pas été vérifiée dans les métadonnées ; à confirmer
855+CLM-36-07,36,Cadre réglementaire des zones inondables en vigueur le 1er mars 2026 ; cartographies de nouvelle génération publiées progressivement par secteur,zonesInond2026,library.bib (zonesInond2026) ; sources/notes-B.md §43.2 (« publiées progressivement »),2026-10-31,verifie,
856+CLM-36-08,36,Facteur de Moulton 1 + (m − 1)ρ et correction CR1 G/(G−1)·(N−1)/(N−K) ; test de Hausman ; exogénéité stricte,wooldridge2010;angristPischke2009,ouvrages de référence (chap. panel et chap. 8 d'Angrist–Pischke) ; formule CR1 vérifiée contre statsmodels (CALC-36-03),2026-10-31,verifie,
857+CLM-36-09,36,"Valeur au rôle = estimation à la date de référence (LFM art. 46), non un prix",lfm,library.bib (lfm) ; notes-B §ch. 9 (art. 46 al. 1),2026-10-31,verifie,renvoi au ch. 9
858+CLM-38-01,38,"Codes EPSG : WGS 84 4326 ; NAD83 4269 ; NAD83(CSRS) 4617 ; NAD83 / MTM 7-8-9 = 32187-32189 (tmerc, k0 0,9999, x0 304 800 m, méridiens −70,5/−73,5/−76,5) ; NAD83(CSRS) / MTM 7-8-9 = 2949-2951 ; NAD83 / UTM 18N-19N = 26918-26919 ; NAD83 / Québec Lambert 32198 (lcc, parallèles 46 et 60, méridien −68,5) ; Pseudo-Mercator 3857",SRC-38-001,"Base EPSG distribuée avec PROJ 9.5.1 interrogée par pyproj 3.7.2 (CRS.from_epsg, to_dict, area_of_use) le 2026-10-31 ; la page epsg.org renvoie HTTP 403 au script",2026-10-31,verifie,"fuseaux MTM : zone 9 = 78°W–75°W, zone 8 = 75°W–72°W, zone 7 = 72°W–69°W (area_of_use EPSG)"
859+CLM-38-02,38,"Rôle d'évaluation foncière du Québec en format ouvert : 1 140 fichiers XML, CC-BY 4.0, versions géoréférencées FGDB/GPKG (2025, 2026) et GeoJSON (2013-2024), propriétaires et cadastre caviardés, réidentification interdite, métadonnées modifiées le 2026-08-24",SRC-B-013,"Fiche CKAN package_show lue le 2026-10-31 (ressources : FGDB 2026-04-01, GPKG 2026-06-09, GeoJSON 2024 2025-02-06) ; notes-B §9.8",2026-10-31,verifie,
860+CLM-38-03,38,"Ville de Québec, « Zones inondables réglementées » : CC-BY 4.0, CSV/GeoJSON/KML/SHP, métadonnées 2023-06-26, ressources 2022-04-20 ; zones annexées au schéma d'aménagement et de développement révisé",SRC-B-020,Fiche CKAN vque_77 lue le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,"antérieur au cadre du 1er mars 2026 ; pas de clé dans library.bib (ajoutée à lib-ch38.bib, non citée)"
861+CLM-38-04,38,"Ville de Gatineau : « Zonage » (CC-BY 4.0, CSV/KML/SHP/XLSX/XML, 2025-04-24) et « Zones inondables normé v1 » (GeoJSON, 2025-04-24), cartographie d'ancienne génération",SRC-B-021;SRC-B-022,Fiches CKAN vgat-zonage et vgat-zones-inondables-norme-v1 lues le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
862+CLM-38-05,38,"Cadre des zones inondables en vigueur depuis le 1er mars 2026 (modifié le 29 juillet 2026) ; classes d'intensité très élevée / élevée / modérée / faible croisant la probabilité sur 25 ans (> 70 %, 70-20 %, 20-7 %) et la profondeur (> 60 cm, 30-60, 0-30) ; embâcles = très élevée ; cartographies publiées progressivement ; correspondance avec l'ancienne génération non énoncée",SRC-B-045;SRC-B-050,"notes-B §43.2 (pages Québec.ca màj 15 oct. et 28 août 2026) ; library.bib zonesInond2026, inondcartes",2026-10-31,verifie,règles détaillées par classe non extraites (limites)
863+CLM-38-06,38,LQE art. 46.0.2 al. 3 par. 2.1° (zones inondables et de mobilité) ; art. 31.58-31.59 (avis de contamination / décontamination au registre foncier) ; art. 31.68 (liste municipale des terrains contaminés),SRC-B-042,notes-B §43.1-43.2 (texte LégisQuébec à jour au 15 oct. 2026),2026-10-31,verifie,
864+CLM-38-07,38,"LAU art. 113 al. 2 par. 16° : régir ou prohiber compte tenu des dangers d'inondation, d'éboulis, de glissement de terrain",,notes-B §ch. 8 ; library.bib lau,2026-10-31,verifie,
865+CLM-38-08,38,"Répertoire des terrains contaminés (MELCCFP) : inscription généralement si contamination > critère B ; non exhaustif ; recherche par adresse/municipalité, pas de couche géométrique",SRC-B-044,notes-B §43.1 ; library.bib repertoiretc,2026-10-31,verifie,l'absence de couche téléchargeable n'a été constatée que sur la page de recherche
866+CLM-38-09,38,"Adresses Québec (géobase, points d'adresses, géocodage, CC BY 4.0, transition vers le Référentiel québécois des adresses jusqu'à fin 2026) et Référentiel québécois des adresses (mensuel, CC BY 4.0)",SRC-14-001,"library.bib mrnfAdressesQuebec2026, mrnfRQA2026 (fiches CKAN lues le 2026-10-31 par le ch. 14)",2026-10-31,verifie,
867+CLM-38-10,38,"Les produits géomatiques québécois à grande échelle utilisent la projection MTM (fuseaux de 3°, k0 0,9999, faux est 304 800 m) ; les cartes provinciales la projection Québec Lambert",SRC-38-001,Paramètres confirmés par la base EPSG (area_of_use « Canada - Quebec ») ; l'usage effectif par le cadastre du Québec n'a pas été vérifié dans un document officiel,2026-10-31,partiellement_verifie,formulé prudemment dans le texte (« pour ses produits géomatiques à grande échelle »)
868+CLM-38-11,38,Écart NAD83(SCRS) – WGS84 de l'ordre de 1 à 2 m dans l'est du Canada (dérive de la plaque),,Connaissance générale de géodésie ; aucune source dans les notes,2026-10-31,non_verifie,ordre de grandeur donné comme négligeable pour l'évaluation ; à confirmer (RNCan) avant publication
869+CLM-38-12,38,CPTAQ : cartographie en ligne Déméter ; aucun téléchargement libre de la zone agricole vérifié,SRC-B-041,library.bib cptaq (note : cartographie Déméter) ; notes-B point non vérifié 11,2026-10-31,partiellement_verifie,
870+CLM-38-13,38,Zones de contraintes relatives aux glissements de terrain figurant aux schémas d'aménagement et règlements de zonage ; couverture des couches ouvertes non vérifiée,,Déduit de LAU art. 113 par. 16° ; aucune couche consultée,2026-10-31,non_verifie,signalé dans limites
871+CLM-38-14,38,"Résultats de la littérature : Bin et Polasky 2004 (décote accrue après Floyd) ; Bin, Kruse et Landry 2008 (risque vs aménité côtière) ; Bernstein, Gustafson et Lewis 2019 (décote d'exposition future) ; Dubé, Thériault et Des Rosiers 2013 (effet non monotone des gares) ; Des Rosiers, Lagana et Thériault 2001 (taille et proximité des écoles)",,notes-D §ch. 38 et résumés ; articles non relus in extenso pour ce chapitre,2026-10-31,partiellement_verifie,aucun chiffre tiré de ces articles n'est cité
872+CLM-38-15,38,"Générateur du cas 1 sans aucune des variables géospatiales du chapitre (effet vrai nul) ; cas 4 : taux × 1,05 si inondable, × 1,03 si contamination",,data/synthetic/README.md (lois de génération),2026-10-31,verifie,
873+CLM-38-16,38,"Formule du logsum : E[max_k U_k] = ln Σ exp(V_k) + γ pour des aléas de Gumbel iid (γ ≈ 0,5772)",,Résultat standard du modèle logit (McFadden) ; dérivation reproduite dans le texte,2026-10-31,verifie,aucune référence bibliographique propre dans library.bib ; non ajoutée
874+CLM-38-17,38,Pente d'un degré de longitude ≈ 78 km et d'un degré de latitude ≈ 111 km à la latitude de Gatineau ; formule du haversine ; facteur d'échelle TM k ≈ k0[1 + ½(Δλ cos φ)²],,Calculs reproduits par traite.geo et testés (test_ch38) ; haversine et équirectangulaire comparés à la géodésique WGS84 de pyproj,2026-10-31,verifie,
875+CLM-42-01,42,"C.c.Q. art. 1010, 1038, 1039, 1041, 1042-1044, 1052-1053, 1064 : fraction, déclaration, syndicat, valeur relative, parties communes, quote-part des charges et usage restreint",SRC-A-001,notes-A.md §3.2 ; normes-A NRM-A-008/012-018,2026-10-31,verifie,repris du ch. 7
876+CLM-42-02,42,"C.c.Q. art. 1068.1 (attestation, 15 jours, en vigueur 14 août 2025), 1068.2, 1069, 1070, 1070.2, 1071, 1072-1072.1, 1073, 1078 ; CCQ r. 8.01 art. 1-10 et 14 ; r. 4.1 art. 1-4",SRC-A-001;SRC-A-018;SRC-A-019,notes-A.md §3.2,§7 ; normes-A NRM-A-019/039,2026-10-31,verifie
877+CLM-42-03,42,"Gestion Almaca c. Syndicat du 460 St-Jean, 2014 QCCA 105 : entretien courant des parties à usage restreint par les usagers, remplacement par le fonds de tous",SRC-A-037,sommaire SOQUIJ via CanLII Connects ; texte intégral non ouvert,2026-10-31,partiellement_verifie,même statut qu'au ch. 7
878+CLM-42-04,42,Délai transitoire de trois ans et un jour (jusqu'au 15 août 2028) pour le carnet et la première étude ; renflouement sur au plus 10 ans ; validité 5/10 ans des documents obtenus dans les 2 années précédant le 14 août 2025 (art. 14),SRC-A-020;SRC-A-018,notes-A.md §3.2,2026-10-31,verifie,
879+CLM-42-05,42,"NPP OEAQ : normes 13-14 (assurance) et 15-16 (fonds de prévoyance) ; seul un évaluateur agréé fixe le montant d'assurance de reconstruction (r. 4.1, art. 3)",SRC-C-001;SRC-A-019,notes-C.md §2 ; normes-A NRM-A-034,2026-10-31,verifie,
880+CLM-42-06,42,"Prix médians Centris T3 2026 (province 400 000 ; RMR Montréal 435 000 ; île 477 500 ; Québec 334 900 ; Gatineau 297 450 ; Sherbrooke 327 000 ; Trois-Rivières 287 000) et variations ; délais de vente copropriété 58/61/34/36 jours ; médianes Rosemont 563 200, Villeray 586 500, Basse-Ville/Limoilou 320 000, ville de Gatineau 295 000",SRC-E-001;SRC-E-002;SRC-E-003;SRC-E-004,notes-E.md (ch. 4 et 15) ; ordre des délais unifamiliale/copropriété/plex déduit de la cohérence avec ch16 (Gatineau unifamiliale 34 jours),2026-10-31,verifie,données d'industrie (Centris) ; citation ponctuelle avec attribution
881+CLM-42-07,42,"Valeurs au rôle : Montréal condo moyenne 549 600 $ (rôle 2026-2028) ; Gatineau condo médiane 306 300 → 320 700 $ (+4,70 %, rôle 2027-2029) ; agglomération de Québec condo moyen 301 539 $ (+21,6 %, rôle 2025-2027)",SRC-E-052;SRC-E-055;SRC-E-058,notes-E.md (ch. 45-47) ; Gatineau et Québec via presse,2026-10-31,partiellement_verifie,Gatineau et Québec : sources de presse reprenant les documents municipaux
882+CLM-42-08,42,"SCHL oct. 2025, copropriétés offertes en location : univers 233 535 / 36 816 / 10 620 ; part louée 21,9 / 15,5 / 27,4 % ; inoccupation 2,1 (1,4 en 2024) / 0,6 / 1,0 % vs ELL 2,9 / 2,4 / 3,8 % ; loyers 2 ch. 1 826 / 1 377 / 1 578 $ vs 1 346 / 1 277 / 1 460 $ ; tous types 1 812 / 1 382 / 1 534 $ ; taux de rotation Montréal 9,4 %",SRC-42-002;SRC-E-007,fichiers Excel SCHL lus le 2026-10-31 (tableaux 4.1.1,4.1.2,4.1.3,4.3.1) ; rotation : notes-E.md
883+CLM-42-09,42,"Compte de taxes moyen 2026 à Montréal : copropriété 3 301 $, unifamiliale 4 939 $",SRC-E-033,La Presse 2026-10-19 (source secondaire) ; document budgétaire officiel non lu,2026-10-31,partiellement_verifie,cité en note de bas de page avec la mention « source secondaire »
884+CLM-42-10,42,"Finances Canada (en vigueur 15 déc. 2024) : mise de fonds 5 % jusqu'à 500 000 $ et 10 % de 500 000 à 1,5 M$ ; plafond assurable 1,5 M$ ; amortissement 30 ans premiers acheteurs et neuf",SRC-C-038,notes-C.md §4.3,2026-10-31,verifie,
885+CLM-42-11,42,"BSIF : taux admissible minimal = max(taux contractuel + 2 %, 5,25 %) ; BdC août 2026 : taux effectif des prêts assurés fixes ≥ 5 ans 4,12 %",SRC-C-035;SRC-E-?,notes-C.md §4.2 ; notes-E.md (ch. 31,groupe A4 BdC),2026-10-31,verifie
886+CLM-42-12,42,"Pratique des prêteurs pour une part indivise : pas de prêt assuré, mise de fonds souvent de 20 %",,aucune source normative consultée,2026-10-31,non_verifie,présentée comme pratique non vérifiée dans le texte et dans limites ; paramètre MISE_INDIVISE déclaré « NON VÉRIFIÉE » dans le script
887+CLM-42-13,42,"Loi sur le TAL art. 51 (autorisation ; 10 ans ; coopératives/OSBL ; interdiction agglomération de Montréal sauf dérogation ; exception propriétaires indivis ; restrictions hors Montréal), 52 (avis d'intention annexe I, préavis 24 h), 53 (gel des travaux), 54 (pas de reprise), 54.1 (6 mois), 54.2 (refus obligatoires, 3 ans), 54.3, 54.4 (inscription dans l'année), 54.5, 54.6 (rapport d'expert, circulaire, budget prévisionnel), 54.7 (préemption, 1 mois, 2 mois), 54.8, 54.9, 54.10, 54.11 (3 ans), 54.12 (règlement d'arrondissement), 54.13 (règlement municipal hors Montréal ; autorisation du conseil à Québec), 54.14 (critères ; avis public)",SRC-42-001;SRC-A-002,texte intégral lu sur LégisQuébec le 2026-10-31 (à jour au 15 octobre 2026),2026-10-31,verifie,paraphrase dans le tableau 42.7 ; aucune citation textuelle sauf l'exception « propriétaires indivis » (art. 51 al. 3)
888+CLM-42-14,42,Contenu des règlements municipaux de conversion (Montréal — règlements d'arrondissement ; Québec — règlement en vertu de 54.13 ; autres municipalités),,pages municipales non accessibles par script (404) ; règlements non lus,2026-10-31,non_verifie,signalé dans le tableau 42.7
889+CLM-42-15,42,"C.c.Q. art. 3030 (cadastre vertical préalable), 1937 (l'aliénation ne permet pas de résilier le bail), 1957-1959.1 (reprise, éviction, aînés), 1965 (indemnité 3-24 mois), 1958 (indivisaire)",SRC-A-001,normes-A NRM-A-066,087,091 ; notes-A.md §4-5,2026-10-31
890+CLM-42-16,42,"Loi 65 (2024, c. 23) : moratoire sur les évictions de l'art. 1959 jusqu'au 6 juin 2027 ; fin anticipée possible (art. 11) ; aucun avis repéré au 2026-10-31",SRC-A-014,notes-A.md §5 et §8 ; normes-A NRM-A-088,2026-10-31,verifie,à revérifier à chaque évaluation
891+CLM-42-17,42,"Droits de mutation 2026 : 0,5 % ≤ 62 900 $ ; 1 % de 62 900 à 315 000 $ ; 1,5 % au-delà (exemple 380 000 $ → 3 810,50 $)",SRC-A-001,notes-A.md §2.3 (D-15.1,art. 2,à jour au 15 octobre 2026),2026-10-31
892+CLM-42-18,42,"CBRE T3 2026 : Québec multirésidentiel Low Rise B 5,00-6,00 % ; Montréal Low Rise B 4,25-4,75 %",SRC-E-?,notes-E.md (ch. 29),2026-10-31,verifie,le taux de 5
893+CLM-42-19,42,"Hypothèses pédagogiques du marché fictif : 3 650 $/m², élasticité 0,60, coefficients d'étage −4/0/+2 %, d'orientation −3/0/+3 %, stationnement 28 000 $, g 2 %, R_c 8 %, κ 1, bruit 0,02 ; loyers 1 250-1 850 $, v 3 %, DE 42 %, ρ 12 %, δ 20 %, f 4 %, φ 1,5 %, r 10 %, coûts de conversion 305 000 $",,hypothèses déclarées (encadré synthetique,tableau 42.8,limites),2026-10-31
894+CLM-42-20,42,"Régime de la location à court terme (loi provinciale sur l'hébergement touristique, zonage municipal) et incidences fiscales d'une conversion (taxes de vente, gain en capital)",,hors périmètre,non vérifiés,2026-10-31,non_verifie
895+CLM-42-21,42,"Littérature : Lentz & Wang 1998 (enjeux d'évaluation des copropriétés) ; Sims 2007, Autor-Palmer-Pathak 2014, Diamond-McQuade-Qian 2019, Glaeser-Luttmer 2003 (contrôle des loyers et conversions) ; Kestens-Thériault-Des Rosiers 2006 (profils d'acheteurs)",SRC-D,notes-D.md §ch. 42 ; library.bib (lib-D vérifié),2026-10-31,verifie,aucune étude vérifiée des effets de l'encadrement québécois de la conversion
896+CLM-43-001,43,"Cadre des zones inondables en vigueur le 1er mars 2026, modifié le 29 juillet 2026 ; règlements nouveaux (encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités ; ouvrages de protection) et modifiés (RAMHHS, REAFIE)",SRC-B-045,notes-B.md §43.2 (page Québec.ca màj 15 oct. 2026),2026-10-31,verifie,Numéros RLRQ des deux règlements nouveaux non confirmés (déclaré dans limites)
897+CLM-43-002,43,LQE art. 46.0.2 al. 3 par. 2.1° : milieux hydriques incluant « les zones inondables d'un lac ou d'un cours d'eau ainsi que les zones de mobilité d'un cours d'eau »,SRC-B-042,notes-B.md (texte LégisQuébec à jour au 15 oct. 2026),2026-10-31,verifie,
898+CLM-43-003,43,Classes d'intensité très élevée / élevée / modérée / faible : probabilité sur 25 ans (> 70 % ; 70-20 % ; 20-7 %) × profondeur (> 60 cm ; 30-60 ; 0-30) ; embâcle = très élevée,SRC-B-050,notes-B.md §43.2 (page « Cartographies en vigueur »,màj 28 août 2026),2026-10-31,verifie
899+CLM-43-004,43,"Nouvelle résidence permise sous conditions en classe faible, faible courant, mobilité long terme ; interdite littoral, rive, classes TE/E/M, grand courant, mobilité court terme ; accessoire ≤ 50 m² hors TE ; existante : réparation/entretien partout, travaux majeurs adaptés + avis professionnel, reconstruction « uniquement sous certaines conditions »",SRC-B-049,notes-B.md §43.2 (page « Réaliser des travaux »,màj 14 juill. 2026),2026-10-31,verifie
900+CLM-43-005,43,"Règlement sur l'encadrement d'activités sous la responsabilité des municipalités, art. 83 (reconstruction dans le littoral seulement après sinistre non lié à l'eau et si déplacement impossible) et art. 85 (rive : bande végétalisée ≥ 5 m, pas de rapprochement du littoral)",SRC-B-048,notes-B.md §43.2 (version administrative 2026-07-29),2026-10-31,verifie,Règles détaillées par classe non extraites (déclaré)
901+CLM-43-006,43,LAU art. 118 par. 6° (reconstruction d'un bâtiment détruit ou ayant perdu ≥ la moitié de sa valeur conforme aux règlements en vigueur) ; art. 145.2 al. 2 (dérogation mineure interdite en zone de contraintes),SRC-B-038,notes-B.md §ch. 8 ; normes-B.csv,2026-10-31,verifie,
902+CLM-43-007,43,"LFM art. 174 par. 6° (incendie, destruction) et 19° (imposition/levée d'une restriction juridique) = motifs de modification du rôle ; art. 46 al. 3 : l'état comprend la situation économique, juridique et l'environnement",SRC-B-001,notes-B.md §9.2 et 9.5,2026-10-31,verifie,
903+CLM-43-008,43,"Rénoclimat volet Adaptation (1er oct. 2026) : pompe submersible ≤ 1 000 $, clapet ≤ 700 $, barrière ≤ 800 $ ; parcours accompagné en zone inondable : diagnostic ≤ 1 000 $, protection des fondations ≤ 35 000 $ (75 %)",SRC-B-061,notes-B.md §43.2 (page màj 13 oct. 2026),2026-10-31,verifie,
904+CLM-43-009,43,"Prime moyenne d'assurance habitation au Québec 1 103 $ en 2024 (+9 % sur un an, +63 % en 10 ans) ; coût moyen d'un sinistre 22 745 $",SRC-E-039,notes-E.md et library.bib (bacprimes2025),2026-10-31,verifie,Source secondaire (blogue Infoassurance du BAC)
905+CLM-43-010,43,"Fonctionnement du marché canadien de l'assurance contre les inondations par débordement (couverture facultative, zones non assurables, programmes publics d'aide aux sinistrés)",,Aucune source primaire consultée ; le chapitre déclare explicitement ne pas le décrire,2026-10-31,non_verifie,"À documenter avant publication (BAC, Sécurité publique Québec, programme fédéral) ; mention limitée dans le texte et limites"
906+CLM-43-011,43,"LQE art. 31.42 (étude signée par un professionnel ; terrain = sols + eaux), 31.51 (cessation : caractérisation 12 mois, plan 3 mois), 31.53-31.54 (changement d'utilisation subordonné à un plan approuvé ; inclut l'usage résidentiel), 31.55, 31.57, 31.58 (avis de contamination : contenu), 31.59 (avis de décontamination), 31.60 (restrictions opposables), 31.68 (liste municipale, permis conditionnels)",SRC-B-042,notes-B.md §43.1 (texte lu article par article),2026-10-31,verifie,
907+CLM-43-012,43,"RPRT (Q-2, r. 37) art. 1 : annexe I par défaut ; annexe II pour terrains zonés industriels/commerciaux/institutionnels hors bâtiments résidentiels, écoles, CPE, hôpitaux, CHSLD ; lettres A/B/C absentes du règlement (Guide d'intervention)",SRC-B-043,notes-B.md §43.1 ; registry-B.csv,2026-10-31,verifie,Guide d'intervention non dépouillé : correspondance A/B/C = pratique rapportée (partiellement vérifié)
908+CLM-43-013,43,Répertoire des terrains contaminés (MELCCFP) : inscription « généralement » si > critère B ; « Il ne s'agit pas d'un inventaire exhaustif » ; noms jamais retirés,SRC-B-044,notes-B.md §43.1 ; library.bib (repertoiretc),2026-10-31,verifie,
909+CLM-43-014,43,"Phases I (documentaire + visite), II (échantillonnage et analyses), III (délimitation, volumes, options et coûts de réhabilitation) de l'évaluation environnementale de site",,Pratique courante décrite sans référence normative (norme CSA et Guide d'intervention non consultés),2026-10-31,partiellement_verifie,Formulé comme « pratique professionnelle » ; ajouter la norme CSA Z768/Z769 si vérifiée
910+CLM-43-015,43,Plan de garantie des bâtiments résidentiels neufs : exclusions (art. 12) dont force majeure incluant les inondations et les sols contaminés,SRC-B-042;SRC-B-043,"notes-B.md §44.1 (B-1.1, r. 8 à jour au 1er juill. 2026) ; library.bib (reglgarantie)",2026-10-31,verifie,source_id réel = règlement B-1.1 r. 8 (registre B §44 ; id non isolé dans registry-B)
911+CLM-43-016,43,"C.c.Q. art. 1726 (vice caché : citation textuelle), 1728 (dommages-intérêts si le vendeur connaissait le vice ou ne pouvait l'ignorer)",SRC-A-001,notes-A.md §2.1,2026-10-31,verifie,
912+CLM-43-017,43,Formulaire DV OACIQ obligatoire depuis juillet 2012 (vente par une personne physique d'un immeuble résidentiel < 5 logements par courtier) ; règlement C-73.2 r. 1 art. 84-85 (découvrir et divulguer les facteurs défavorables),SRC-A-001,notes-A.md §2.4 ; library.bib (oaciqFormulaireDV,reglCourtageDeontologie),2026-10-31,verifie
913+CLM-43-018,43,Bin & Polasky 2004 : décote « significativement plus grande » après Floyd (résumé) ; décote « de l'ordre de 6 % » avant (notes-D),SRC-43-001,Résumé lu le 2026-10-31 (le.uwpress.org) : aucun chiffre dans le résumé ; le 6 % provient de notes-D.md,2026-10-31,partiellement_verifie,Le texte et le tableau déclarent l'origine du chiffre
914+CLM-43-019,43,"Bin, Kruse & Landry 2008 : zone inondable réduit la valeur ; écarts de prix « à peu près équivalents » à la valeur capitalisée des primes",SRC-43-002,Résumé lu via Crossref le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
915+CLM-43-020,43,"Harrison, Smersh & Schwartz 2001 : décote inférieure à la valeur actualisée des primes",,notes-D.md ; résumé inaccessible (403 tandfonline),2026-10-31,partiellement_verifie,
916+CLM-43-021,43,"Bernstein, Gustafson & Lewis 2019 : décote ≈ 7 % des propriétés exposées à la hausse du niveau de la mer",,notes-D.md ; résumé inaccessible (403 ScienceDirect),2026-10-31,partiellement_verifie,
917+CLM-43-022,43,"Hino & Burke 2021 : « little evidence that housing markets fully price information about flood risk » ; surévaluation 43,8 G$ US (IC 32,6-55,6)",SRC-43-003,Résumé lu via Semantic Scholar le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
918+CLM-43-023,43,"Ortega & Taspinar 2018 : pénalité graduelle atteignant 8 % en 2017 (non endommagés, sans récupération) ; chute 17-22 % puis récupération partielle (endommagés)",SRC-43-004,Résumé lu via Semantic Scholar le 2026-10-31,2026-10-31,verifie,
919+CLM-43-024,43,"Simons & Saginor 2006 (méta-analyse), Jackson 2001 et Boyle & Kiel 2001 (recensions), Kiel & McClain 1995 (cycle rumeur → exploitation) : résumés qualitatifs",,notes-D.md ; résumé de Simons & Saginor inaccessible,2026-10-31,partiellement_verifie,Aucun chiffre rapporté pour ces quatre références
920+CLM-43-025,43,"Lois du générateur du cas 4 : taux × 1,05 si zone inondable, × 1,03 si contamination ; P(inondable) 8 %, P(sol) 5 %",,data/synthetic/README.md et analysis/python/traite/synth.py (lus),2026-10-31,verifie,Données synthétiques déclarées
921+CLM-43-026,43,Aucune étude arbitrée sur zones inondables et valeurs au Québec retrouvée,,notes-D.md (entrées non vérifiées),2026-10-31,verifie,Déclaré dans limites
922+CLM-44-001,44,"Principe de contribution : la valeur d'une composante est ce qu'elle ajoute à la valeur de l'ensemble, non son coût ; critère de curabilité K ≤ ΔV",SRC-D-001,appraisal2026 ; cohérent avec ch. 24 (eq:24:curabilite),2026-10-31,verifie,Paraphrase
923+CLM-44-002,44,"Tarif D d'Hydro-Québec en vigueur le 1er avril 2026 : 46,154 ¢/jour ; 7,065 ¢/kWh jusqu'à 40 kWh/jour ; 11,142 ¢/kWh au-delà ; seuil uniforme (pas de variante hivernale dans la section 2.5)",SRC-44-001,"PDF Tarifs d'électricité, section 2.5 « Structure du tarif D », texte extrait et relu le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
924+CLM-44-003,44,"Hausse tarifaire domestique approuvée : 3,0 % (2026), 3,0 % (2027), 2,6 % (2028) — Régie de l'énergie, D-2026-033",SRC-E-020,notes-E.md §ch. 28 ; clé regieenergie2026 (communiqué du 16 mars 2026),2026-10-31,verifie,Communiqué relu dans le lot E ; la croissance de 3 % au-delà de 2028 est une hypothèse du chapitre
925+CLM-44-004,44,"Taux effectif des prêts hypothécaires non assurés à taux fixe de 5 ans et plus : 4,58 % (août 2026, BdC groupe A4)",SRC-E-012,notes-E.md §ch. 31 ; clé bdctauxhypothecaires2026,2026-10-31,verifie,
926+CLM-44-005,44,"LogisVert : thermopompe ENERGY STAR 50 $/1 000 BTU/h à −8 °C, 120 $ climat froid, max 6 700 $ ; ENERGY STAR obligatoire depuis le 26 nov. 2025 ; bonification multilogements +100 $ depuis le 15 juin 2026 ; isolation du toit 1 500 $ ; bonus 5 % mesures combinées ; accumulateur thermique 15 000/22 000 $ ; géothermie 250 $/1 000 BTU/h max 18 000 $",SRC-B-044,notes-B.md §44.2 ; page anglaise hydroquebec.com (FR = 404 le 2026-10-31),2026-10-31,verifie,Cumul LogisVert/Rénoclimat sur une même mesure non vérifié : non supposé dans l'exemple
927+CLM-44-006,44,Rénoclimat refondu le 1er oct. 2026 : évaluation avant travaux facultative (aide ≤ 500 $) ; transition jusqu'au 31 mars 2027 ; plafonds maison/plex : toit 2 000/5 000 ; murs 7 000/11 000 ; fondations 2 500/3 500 ; fenêtres 4 500/6 000 (300 $/fenêtre) ; portes/fenêtres ENERGY STAR 150 $/unité ; étanchéité 400–800 ; raccordement source d'appoint ≤ 1 000 ; batterie ≤ 4 000 ; adaptation inondations jusqu'à 35 000 $,SRC-B-043,"notes-B.md §44.2 ; clés renoclimat, renoclimatnouveautes (màj 13 oct. 2026)",2026-10-31,verifie,Le versement « au plafond » pour l'isolation du sujet est une hypothèse
928+CLM-44-007,44,"Chauffez vert terminé le 31 mars 2026 ; Subvention et Prêt canadiens pour des maisons plus vertes fermés (documents jusqu'au 31 déc. 2025) ; conversion mazout–thermopompe (fédéral) : date limite 31 juillet 2026 au Québec, jusqu'à 10 000 $/25 000 $ + 250 $ ; Novoclimat : 2 000 / 4 000 / 1 500 / 2 500 $",SRC-B-045,"notes-B.md §44.2 ; clés chauffezvertfin, rncansubvention, rncaninitiative, novoclimat",2026-10-31,verifie,Montants historiques de Chauffez vert et de l'ancien prêt fédéral non relus : non reproduits
929+CLM-44-008,44,Mazout : installation interdite dans le neuf depuis le 31 déc. 2021 et remplacement dans l'existant depuis le 31 déc. 2023,SRC-B-046,"clés qcmazoutcommunique2021, qcmazout2026 (page Québec.ca, màj 8 juin 2026)",2026-10-31,partiellement_verifie,Texte réglementaire non relu ; résumé officiel seulement
930+CLM-44-009,44,Code de construction : chapitre I.1 Efficacité énergétique du bâtiment (table des chapitres) ; chapitre I = CNB 2020 modifié Québec en vigueur le 17 avril 2025 ; dispositions antérieures applicables aux travaux débutés avant le 17 octobre 2027,SRC-B-040,"notes-B.md §44.1 ; clés codeConstruction, rbqtransition2026",2026-10-31,verifie,Contenu technique du chapitre I.1 non dépouillé ; cité comme référence de conformité seulement
931+CLM-44-010,44,"Loi sur le bâtiment : licence obligatoire (art. 46) ; exemption du propriétaire d'une unifamiliale pour son usage personnel sauf gaz, pétrole, électricité (art. 49 par. 2°) ; annulation du contrat et radiation de l'hypothèque légale (art. 50) ; plan de garantie (art. 77-83) ; GCR : bâtiments neufs seulement, durées 1/3/5 ans",SRC-B-041,"notes-B.md §44.1 ; clés loibatiment, reglgarantie, gcrprotections",2026-10-31,verifie,
932+CLM-44-011,44,"Déclarations du vendeur (OACIQ, formulaire obligatoire DV) : travaux effectués, permis, problèmes connus",SRC-A-030,clé oaciqFormulaireDV (V24 06/2022) ; notes-A,2026-10-31,verifie,
933+CLM-44-012,44,MIUF interdite au Canada depuis décembre 1980 ; vermiculite pouvant contenir de l'amiante,SRC-B-047,"clés rncanRenovations2025, rncanemprisonnons3",2026-10-31,verifie,
934+CLM-44-013,44,"Brounen & Kok 2011 : étiquette verte (A-C) +3,7 % (3,6 % Heckman) ; A vs D +10,2 % ; G vs D ≈ −5 % ; ≈ 32 000 logements étiquetés ; adoption faible et concentrée ; rôle informationnel",SRC-44-002,"texte publié (PDF sustainable-finance.nl) et extrait ScienceDirect, lus le 2026-10-31 ; résumé IDEAS",2026-10-31,verifie,
935+CLM-44-014,44,"Kahn & Kok 2014 : maisons étiquetées vertes en Californie, 2007-2012, prime ≈ 5 % (4,5 % hors maisons KB Home) ; plus élevée en climat chaud",SRC-44-003,points saillants ScienceDirect (« sell for a 5% price premium ») et extrait ResearchGate ; résumé Maastricht (« small premium »),2026-10-31,verifie,notes-D indiquait « ≈ 2–4 % » : le chiffre publié (5 %) a été retenu
936+CLM-44-015,44,"Hyland, Lyons & Lyons 2013 : A vs D +9,3 % (prix), +1,8 % (loyers) ; +1,3 %/+0,5 % par échelon BER ; effet plus fort quand le marché est faible ; 1,2 M d'annonces daft.ie dont ≈ 36 000-40 568 avec cote",SRC-44-004,ESRI Research Bulletin 2014/1/3 (résumé des auteurs) ; rapport SEAI 2026 ; résumé IDEAS,2026-10-31,verifie,Des sources secondaires citent 11 % pour A : non retenu
937+CLM-44-016,44,"Fuerst, McAllister, Nanda & Wyatt 2015 : 333 095 logements vendus ≥ 2 fois, 1995-2012 ; A/B +5 %, C +1,8 %, E −0,7 %, F −0,9 %, G ≈ −6 % vs D ; effets plus forts pour maisons en rangée et appartements",SRC-44-005,"résumé IDEAS (échantillon) ; chiffres par bande d'après le document de travail des mêmes auteurs sur le pays de Galles (CentAUR, Reading) qui les résume",2026-10-31,verifie,Chiffres par bande non relus dans l'article lui-même (accès ScienceDirect refusé) ; source secondaire = mêmes auteurs
938+CLM-44-017,44,"Aydin, Brounen & Kok 2020 : +10 % d'efficacité énergétique mesurée ⇒ ≈ +2,2 % de valeur (IV), confirmé par ventes répétées ; le certificat ne change pas la capitalisation",SRC-44-006,"résumé Semantic Scholar (texte de l'abstract), 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
939+CLM-44-018,44,"Fuerst & Warren-Myers 2018 : ACT (Australie), 2011-2016, cote obligatoire à la vente ; cote et équipements capitalisés ; non-divulgation plus fréquente pour les logements peu efficaces (« citrons verts »)",SRC-44-006,"résumé Semantic Scholar, 2026-10-31",2026-10-31,verifie,Aucun chiffre de prime cité
940+CLM-44-019,44,"Cespedes-Lopez et al. 2019 : 66 documents, 173 estimations ; prime globale 4,20 % ; Amérique du Nord 5,36 %, Asie 4,81 %, Europe 2,32 % ; résultats par lettre non concluants en Europe ; dispersion Amérique −2,49 % à 14,3 % ; méta-analyses antérieures 7,6 % (2014), 4,3 % (2016), 3,5-4,5 % (2018)",SRC-44-007,"résumé Crossref + texte intégral MDPI (extraction Tavily), 2026-10-31",2026-10-31,verifie,
941+CLM-44-020,44,"Eichholtz, Kok & Quigley 2010 : ≈ 10 000 immeubles de bureaux ; loyers ≈ 3 % plus élevés, loyers effectifs > 6 %, prix de vente ≈ 16 % ; prime liée à l'efficacité mesurée au-delà du label",SRC-44-008,"version de travail en libre accès (eml.berkeley.edu), p. 3, lue le 2026-10-31",2026-10-31,verifie,La version AER publiée (7 % pour les loyers effectifs) n'a pas été relue : le texte cite « plus de 6 % »
942+CLM-44-021,44,Aucune cote énergétique n'est obligatoire à la vente d'une maison existante au Québec ; la cote ÉnerGuide est volontaire,,déduit des programmes publics (Rénoclimat : évaluation facultative depuis le 1er oct. 2026) ; aucune disposition législative vérifiée,2026-10-31,partiellement_verifie,Signalé dans `limites` ; à confirmer par un juriste
943+CLM-44-022,44,"Palmarès de « taux de récupération » des rénovations : sondages d'opinion de courtiers, pas d'étude transactionnelle québécoise repérée",,recherche du dépôt (notes-D : aucune entrée) ; aucune source citée,2026-10-31,non_verifie,Le chapitre n'en cite aucun chiffre ; traité qualitativement
944+CLM-44-023,44,"Hypothèses pédagogiques de l'exemple : consommation 22 000 kWh (50/20/30 %), thermopompe 36 000 BTU/h à 16 500 $ économisant 30 % du chauffage (20 % vs standard neuf), isolation 95 m² × 44 $/m² économisant 8 %, vie 15/31 ans, subvention Rénoclimat au plafond",,déclarées dans l'encadré synthetique et tab:44:hypotheses ; aucune source,2026-10-31,non_verifie,Hydro-Québec ne publie pas de facture moyenne par type de maison (notes-E) ; sensibilité fournie
945+CLM-44-024,44,Coût d'une rénovation complète cuisine + 2 salles de bain : 65 000 $ ; un échelon de qualité (3→4) représente une telle rénovation,,hypothèse pédagogique déclarée (sec:44:paires),2026-10-31,non_verifie,Ratio de récupération 0
946+CLM-44-025,44,"Knight & Sirmans 1996 ; Harding, Rosenthal & Sirmans 2007 : l'entretien et la rénovation ralentissent la dépréciation sans l'annuler",SRC-D-001,notes-D.md §ch. 24 et 44 ; articles non relus dans ce lot,2026-10-31,partiellement_verifie,Formulation qualitative seulement
947+CLM-44-026,44,"IPCB Montréal, bâtiments résidentiels : +8,6 % T3 2026 / T3 2025 (18-10-0289-01)",SRC-E-040,notes-E.md §ch. 23 ; clé statcanIPCB,2026-10-31,verifie,
modified verification/figures.csv +28 −0
@@ -181,3 +181,31 @@ ch20/ch20-fig-residus-elargissement.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.
181 ch20/ch20-fig-bootstrap-densite.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,"Densités bootstrap (B = 2 000) de l'indication par comparaison selon le rééchantillonnage (candidats, ajustements, les deux) et histogramme des 4 368 sous-ensembles de 5 candidats parmi 16 [données synthétiques]",verifie 181 ch20/ch20-fig-bootstrap-densite.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,"Densités bootstrap (B = 2 000) de l'indication par comparaison selon le rééchantillonnage (candidats, ajustements, les deux) et histogramme des 4 368 sous-ensembles de 5 candidats parmi 16 [données synthétiques]",verifie
182 ch20/ch20-fig-fourchettes-methodes.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv ; cas1_gatineau_couts.csv,synthetique,"Indications du cas 1 et leurs intervalles (prix IP 95 %, coût ventilé et extrait, comparaison 5 et 16, hédonique, conclusion 605 000 $ et fourchette 575 000–640 000 $) avec l'espérance de la loi de génération [données synthétiques]",verifie 182 ch20/ch20-fig-fourchettes-methodes.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv ; cas1_gatineau_couts.csv,synthetique,"Indications du cas 1 et leurs intervalles (prix IP 95 %, coût ventilé et extrait, comparaison 5 et 16, hédonique, conclusion 605 000 $ et fourchette 575 000–640 000 $) avec l'espérance de la loi de génération [données synthétiques]",verifie
183 ch20/ch20-fig-sensibilite-poids.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,Valeur combinée selon le poids de l'indication hédonique (poids du coût 0/15/30 %) et écart-type de la combinaison de deux indications selon la corrélation (poids optimal) [données synthétiques],verifie 183 ch20/ch20-fig-sensibilite-poids.pdf,20,analysis/python/figures/ch20_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,Valeur combinée selon le poids de l'indication hédonique (poids du coût 0/15/30 %) et écart-type de la combinaison de deux indications selon la corrélation (poids optimal) [données synthétiques],verifie
184+ch36/ch36-fig-trajectoires.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé (ch36_panel.simuler),synthetique,"Trajectoires du ln RNE moyen des cohortes traitées, des témoins de la même RMR et du contrefactuel déclaré [données synthétiques]",verifie
185+ch36/ch36-fig-event-study.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé,synthetique,Étude d'événement TWFE (RMR × trimestre) et agrégation dynamique de Callaway–Sant'Anna avec IC et effet déclaré [données synthétiques],verifie
186+ch36/ch36-fig-bacon.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,choc simulé cas 4 + panel artificiel (ch36_panel.laboratoire),synthetique,"Décomposition de Goodman-Bacon : comparaisons 2×2 (poids, estimation), TWFE et vérité ; cas 4 et laboratoire à effets croissants [données synthétiques]",verifie
187+ch36/ch36-fig-synthetique.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé,synthetique,"Contrôle synthétique de la cohorte A : trajectoires, écarts et placebos, poids des donneurs [données synthétiques]",verifie
188+ch36/ch36-fig-discontinuite.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,simulation transversale (ch36_panel.discontinuite),synthetique,"Discontinuité spatiale à une frontière de zone : nuage, moyennes par tranche, ajustement local linéaire h = 1 km [données synthétiques]",verifie
189+ch36/ch36-fig-sensibilite.pdf,36,analysis/python/figures/ch36_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv + choc simulé + tendance différentielle,synthetique,Étude d'événement : tendances parallèles respectées vs violées (+1 pt/an pour les traités) [données synthétiques],verifie
190+manuscript/chapters/ch36.tex (fig:36:chronologie),36,manuscript/chapters/ch36.tex,plan du script ch36_panel.py,schema,"Chronologie du plan simulé : cohortes A (2022T3) et B (2024T3), jamais traités, fenêtres du 2×2 et du placebo (TikZ)",verifie
191+ch38/ch38-fig-operations (TikZ),38,manuscript/chapters/ch38.tex,aucune,schema,"Chaîne des opérations SIG : couches sources, harmonisation du SRC, géocodage, cinq opérations, variables, modèle, cartes, documentation",verifie
192+ch38/ch38-fig-carte-cas1.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv + géométries fictives déclarées dans ch38_sig.py,synthetique,"600 ventes du cas 1 en NAD83 / MTM zone 9 avec cours d'eau fictif, classes d'exposition A et B, corridor fictif et tampon de 300 m, pôles fictifs, sujet [données synthétiques]",verifie
193+ch38/ch38-fig-choroplethe.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,Choroplèthes hexagonales (30 cellules ≥ 5 ventes) de la médiane du prix au m² selon intervalles égaux / quantiles / Fisher–Jenks (palette séquentielle) et résidu moyen du modèle de référence (palette divergente) [données synthétiques],verifie
194+ch38/ch38-fig-faux-positifs.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv (500 disques aléatoires par rayon),synthetique,Distribution des t de 346 disques aléatoires de 1 km (référence vs sans secteur) et part de coefficients significatifs à 5 % selon le rayon et la spécification [données synthétiques],verifie
195+ch38/ch38-fig-tampon.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv,synthetique,"Coefficient de l'indicatrice de tampon autour du corridor fictif selon le rayon (100–1000 m), IC 95 % HC1, référence vs sans secteur [données synthétiques]",verifie
196+ch38/ch38-fig-cas4.pdf,38,analysis/python/figures/ch38_figures.py,data/synthetic/cas4_portefeuille.csv,synthetique,"48 immeubles du cas 4 en NAD83 / Québec Lambert (taille ∝ valeur, zone inondable et contamination cerclées) et part de la valeur en zone inondable par RMR (6,7 % au total) [données synthétiques]",verifie
197+ch42/ch42-fig-medianes-rmr.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_medianes.py,"APCIQ, Statistiques résidentielles Centris T3 2026 (communiqué du 2026-10-14 ; sources/notes-E.md, tableau ch. 4) ; valeurs ponctuelles citées, aucun tableau APCIQ reproduit",reelle,"Prix médians Centris des copropriétés et des unifamiliales par territoire, T3 2026, variation annuelle et ratio copro/unifamiliale [données réelles citées]",verifie
198+ch42/ch42-fig-cotisation-speciale.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_cotisation_speciale.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py à partir de ch07_servitudes_copro.py (quotes-parts, charges, cotisation de seuil, déficit 150 908 $ ; graine 20261031)",synthetique,"Charges annuelles normalisées des 8 fractions et part de chacune dans une cotisation spéciale égale au déficit du fonds (= 2,0-2,3 années de charges) [données synthétiques]",verifie
199+ch42/ch42-fig-grille-fraction.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_grille.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py (5 comparables fictifs, graine 20261031)",synthetique,"Grille de la fraction F4 : prix observé → prix ajusté, décomposition des 7 ajustements, poids et valeur pondérée 381 052 $ [données synthétiques]",verifie
200+ch42/ch42-fig-bloc-piece.pdf,42,analysis/python/figures/ch42_bloc_piece.py,"générées dans analysis/python/cases/ch42_copro.py (faisabilite, valeur_bloc ; graine 20261031)",synthetique,Valeur de conversion selon la rotation des locataires (2-40 %) pour 3 décotes de vente occupée vs valeur en bloc 1 572 065 $ et vente occupée dès l'an 1 [données synthétiques],verifie
201+ch43/ch43-fig-carte-cas4.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_carte_cas4.py,data/synthetic/cas4_portefeuille.csv,synthetique,"Carte schématique des 48 immeubles du cas 4 par RMR (coordonnées fictives), taille ∝ valeur 2026, 3 immeubles en zone inondable et 2 sur sol contaminé mis en évidence [données synthétiques]",verifie
202+ch43/ch43-fig-carte-riverain.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_carte_riverain.py,data/synthetic/ch43_riverain_lots.csv;data/synthetic/ch43_riverain_ventes.csv,synthetique,"Rivière-Fictive : 625 lots, classes d'exposition le long de la rivière, lots du lac (aménité sans exposition) ; écart de ln P net des attributs par classe avant/après mai 2019 [données synthétiques]",verifie
203+ch43/ch43-fig-effets-methodes.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_effets_methodes.py,data/synthetic/ch43_riverain_ventes.csv,synthetique,"Décote de zone inondable par méthode (paires, hédonique indicatrice ± vue, DiD régression, DiD 2×2) avec IC 95 % et vérité du générateur ; décotes et stigmates par classe [données synthétiques]",verifie
204+ch43/ch43-fig-did-cas4.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_did_cas4.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv (choc injecté par ch43_risques.py),synthetique,Trajectoires ln RNE traités (3) vs témoins (45) centrées 2019T1 et étude d'événement (EF immeuble + RMR×trimestre) avec choc déclaré [données synthétiques],verifie
205+ch43/ch43-fig-placebos.pdf,43,analysis/python/figures/ch43_placebos.py,data/synthetic/cas4_portefeuille_series.csv (choc injecté),synthetique,"Inférence de randomisation exacte : distribution des 17 296 estimateurs placebo (naïf et par strate RMR), observé et vérité [données synthétiques]",verifie
206+ch43/schema-classes-exposition (TikZ),43,manuscript/chapters/ch43.tex,,schema,Grille des quatre classes d'exposition (probabilité sur 25 ans × profondeur) du cadre québécois 2026 et conséquences pour une résidence (nouvelle / existante / littoral art. 83),verifie
207+ch44/ch44-fig-prime-verte.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_prime_verte.py,"résultats publiés (Brounen–Kok 2011, Kahn–Kok 2014, Hyland et al. 2013, Fuerst et al. 2015, Aydin et al. 2020, Cespedes-Lopez et al. 2019, Eichholtz et al. 2010) ; repères du cas 1 : data/synthetic/cas1_gatineau_*.csv/json",synthetique,Fourchettes de la prime verte par étude (segments et points) et repères du cas 1 (VA des économies et coût installé des mesures A+B rapportés à la valeur hédonique) [chiffres publiés ; repères = données synthétiques],verifie
208+ch44/ch44-fig-flux.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_flux.py,constantes de analysis/python/cases/ch44_renovation.py (hypothèses déclarées) ; tarif D vérifié,synthetique,"Flux annuels des mesures A (thermopompe, 15 ans) et B (isolation, 31 ans) : coût net, économies croissantes à 3 %, cumul actualisé à 4,58 %, VAN [données synthétiques]",verifie
209+ch44/ch44-fig-heatmap-van.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_heatmap_van.py,constantes de analysis/python/cases/ch44_renovation.py,synthetique,"Cartes de chaleur de la VAN (k$) des mesures A et B selon le taux d'actualisation (2–10 %) et la croissance du prix de l'électricité (0–6 %), courbe VAN = 0 [données synthétiques]",verifie
210+ch44/ch44-fig-capitalisation.pdf,44,analysis/python/figures/ch44_capitalisation.py,analysis/python/cases/ch44_renovation.py ; data/synthetic/cas1_gatineau_ventes.csv (paires qualité 4 vs 3),synthetique,"(a) Quatre lectures de la contribution de la thermopompe (coût, coût net, VA des économies, primes vertes) ; (b) 30 paires de ventes qualité 4 vs 3 du cas 1, médiane, moyenne, IC 95 %, prix implicite hédonique [données synthétiques]",verifie
211+ch44-fig-frise (TikZ dans ch44.tex),44,manuscript/chapters/ch44.tex,"dates vérifiées : qcmazoutcommunique2021, codeConstruction, rbqtransition2026, rncansubvention, chauffezvertfin, rncaninitiative, renoclimat",schema,"Frise 2021–2027 des interdictions du mazout, du nouveau Code et de sa transition, des fermetures de programmes et de la refonte de Rénoclimat",verifie
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