Consignes spécifiques de la phase 4 (43 chapitres + annexes)

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++"""Tests du chapitre 21 — coût neuf du sujet du cas 1, IPCB Montréal, sensibilité et exercices.
++Tolérances : 0,01 $ sur les montants recalculés depuis le devis ; 0,5 $ sur les montants arrondis cités dans le texte ;
++1e-6 sur les identités ; valeurs IPCB exactes (lecture du CSV brut de Statistique Canada)."""
++import sys, pathlib, math
++import numpy as np, pytest
++sys.path.insert(0, str(pathlib.Path(__file__).resolve().parents[1] / "cases"))
++import ch21_cout_neuf as cas
++from traite import cout as ct
++
++TOL = 0.5
++
++
++@pytest.fixture(scope="module")
++def data():
++    devis, sujet = cas.charger()
++    return {"devis": devis, "sujet": sujet, "g": cas.regrouper(devis), "cn": cas.cout_neuf_sujet(devis), "sup": cas.superficies(sujet, devis), "ipcb": cas.ipcb_montreal()}
++
++
++class TestDevis:
++    def test_structure(self, data):
++        d = data["devis"]
++        assert len(d) == 38 and int((~d["indirect"]).sum()) == 33 and int(d["indirect"].sum()) == 5
++        assert np.allclose(d["quantite"] * d["prix_unitaire"], d["montant"], atol=0.011)
++
++    def test_totaux_cites(self, data):
++        cn = data["cn"]
++        assert cn["direct"] == pytest.approx(298826.17, abs=0.01)
++        assert cn["indirects"] == pytest.approx(62598.68, abs=0.01)
++        assert cn["direct"] + cn["indirects"] == pytest.approx(361424.85, abs=0.01)
++        assert cn["taux_indirects"] == pytest.approx(0.2095, abs=5e-5)
++        assert cn["incitatif"] == pytest.approx(36142.49, abs=0.01)
++        assert cn["total"] == pytest.approx(397567.33, abs=0.01)
++
++    def test_regroupement(self, data):
++        g = data["g"]
++        attendu = {"Fondations et site": 39818.04, "Structure et charpente": 53852.16, "Enveloppe": 70350.56, "Finition intérieure": 67092.26,
++                   "Mécanique et électricité": 51105.45, "Aménagements extérieurs": 16607.70, "Coûts indirects": 62598.68}
++        for k, v in attendu.items():
++            assert g.loc[k, "montant"] == pytest.approx(v, abs=0.01)
++        assert int(g["postes"].sum()) == 38
++        assert g["montant"].sum() == pytest.approx(data["cn"]["direct"] + data["cn"]["indirects"], abs=0.01)
++        assert g.loc["Enveloppe", "part_direct_indirect"] == pytest.approx(0.195, abs=5e-4)
++
++    def test_identite_multiplicative(self, data):
++        cn = data["cn"]
++        assert cn["total"] == pytest.approx(cn["direct"] * (1 + cn["taux_indirects"]) * 1.10, rel=1e-9)
++        parts = (cn["direct"] / cn["total"], cn["indirects"] / cn["total"], cn["incitatif"] / cn["total"])
++        assert parts[0] == pytest.approx(0.752, abs=5e-4) and parts[1] == pytest.approx(0.157, abs=5e-4) and parts[2] == pytest.approx(0.0909, abs=5e-4)
++        assert sum(parts) == pytest.approx(1.0, abs=1e-9)
++
++    def test_variante_assiette_direct(self, data):
++        cn = data["cn"]; alt = cas.cout_neuf_sujet(data["devis"], 0.10, "direct")
++        assert alt["incitatif"] == pytest.approx(29882.62, abs=0.01) and alt["total"] == pytest.approx(391307.47, abs=0.01)
++        assert cn["total"] - alt["total"] == pytest.approx(cn["direct"] * cn["taux_indirects"] * 0.10, rel=1e-9)
++        assert cn["total"] - alt["total"] == pytest.approx(6259.87, abs=0.01)
++
++    def test_unitaires(self, data):
++        cn, sup = data["cn"], data["sup"]
++        assert sup["habitable_m2"] == 165 and sup["brute_etages_m2"] == 190
++        assert sup["habitable_pi2"] == pytest.approx(1776, abs=0.6) and sup["brute_etages_pi2"] == pytest.approx(2045, abs=0.6)
++        assert cn["total"] / 165 == pytest.approx(2409, abs=TOL) and cn["total"] / 165 / cas.PI2_PAR_M2 == pytest.approx(223.8, abs=0.05)
++        assert cn["total"] / 190 == pytest.approx(2092, abs=TOL) and cn["total"] / 190 / cas.PI2_PAR_M2 == pytest.approx(194.4, abs=0.05)
++        di = cn["direct"] + cn["indirects"]
++        assert di / 165 == pytest.approx(2190, abs=TOL) and di / 190 / cas.PI2_PAR_M2 == pytest.approx(176.7, abs=0.05)
++
++    def test_comparaison_altus(self, data):
++        sup = data["sup"]; cn = data["cn"]
++        lo, hi, mid = 155 * sup["brute_etages_pi2"], 215 * sup["brute_etages_pi2"], 185 * sup["brute_etages_pi2"]
++        assert lo == pytest.approx(316997, abs=1) and hi == pytest.approx(439705, abs=1) and mid == pytest.approx(378351, abs=1)
++        assert lo < cn["total"] < hi and cn["total"] / mid - 1 == pytest.approx(0.051, abs=2e-3)
++        assert 185 * cas.PI2_PAR_M2 == pytest.approx(1991.3, abs=0.05)
++        assert 155 * sup["habitable_pi2"] == pytest.approx(275287, abs=1) and 215 * sup["habitable_pi2"] == pytest.approx(381849, abs=1)
++
++
++class TestIPCB:
++    def test_series(self, data):
++        ip = data["ipcb"]
++        mi = ip[ip["type"] == "Maison individuelle [621112]"]
++        assert len(mi) == 39 and mi["periode"].iloc[0] == "2017-01" and mi["periode"].iloc[-1] == "2026-07"
++        assert mi["indice"].iloc[0] == 66.1 and mi["indice"].iloc[-1] == 116.5
++        res = ip[ip["type"] == "Bâtiments résidentiels [621]"]
++        assert res["indice"].iloc[0] == 65.5 and res["indice"].iloc[-1] == 117.8
++
++    def test_valeurs_tableau(self, data):
++        ip = data["ipcb"]
++        attendu = {"Bâtiments résidentiels [621]": [65.5, 71.6, 86.0, 99.9, 108.5, 117.8], "Maison individuelle [621112]": [66.1, 71.9, 86.3, 100.0, 107.3, 116.5],
++                   "Immeuble à hauteur restreinte (moins de cinq étages) [62111]": [64.8, 70.9, 85.9, 99.7, 108.5, 118.5],
++                   "Tour d'habitations (cinq étages ou plus) [621111]": [69.9, 76.7, 85.6, 100.6, 110.8, 119.5], "Bâtiments non résidentiels [622]": [67.3, 75.0, 85.3, 100.4, 108.5, 114.4]}
++        for t, vals in attendu.items():
++            for p, v in zip(["2017-01", "2019-07", "2021-07", "2023-07", "2025-07", "2026-07"], vals):
++                assert cas.indice(ip, t, p) == v, (t, p)
++
++    def test_ratios_et_variations(self, data):
++        ip = data["ipcb"]; mi = "Maison individuelle [621112]"
++        assert cas.indice(ip, mi, "2026-07") / cas.indice(ip, mi, "2025-07") - 1 == pytest.approx(0.0857, abs=5e-4)
++        assert cas.indice(ip, mi, "2026-07") / cas.indice(ip, mi, "2017-01") == pytest.approx(1.7625, abs=5e-4)
++        assert cas.indice(ip, mi, "2026-07") / cas.indice(ip, mi, "2019-07") == pytest.approx(1.620, abs=5e-4)
++        assert (1.7625 ** (1 / 9.5) - 1) == pytest.approx(0.0615, abs=5e-4)
++        assert cas.indice(ip, mi, "2022-10") / cas.indice(ip, mi, "2020-01") - 1 == pytest.approx(0.36, abs=5e-3)
++        nr = "Bâtiments non résidentiels [622]"
++        r_nr = cas.indice(ip, nr, "2026-07") / cas.indice(ip, nr, "2019-07")
++        assert r_nr == pytest.approx(1.525, abs=5e-4) and r_nr / 1.6203 - 1 == pytest.approx(-0.059, abs=1e-3)
++
++    def test_indexation_exemples(self, data):
++        ip = data["ipcb"]; mi = "Maison individuelle [621112]"; cn = data["cn"]["total"]
++        assert ct.indexer_cout(cn, cas.indice(ip, mi, "2026-07"), cas.indice(ip, mi, "2021-07")) == pytest.approx(294507, abs=1)
++        assert ct.indexer_cout(cn, cas.indice(ip, mi, "2026-07"), cas.indice(ip, mi, "2019-07")) == pytest.approx(245366, abs=1)
++        assert ct.indexer_cout(290000, cas.indice(ip, mi, "2019-07"), cas.indice(ip, mi, "2026-07")) == pytest.approx(469889, abs=1)
++
++
++class TestSensibilite:
++    def test_grille(self, data):
++        cn = data["cn"]
++        ti = np.array([0.12, 0.15, 0.18, cn["taux_indirects"], 0.24, 0.27]); tc = np.array([0.05, 0.08, 0.10, 0.12, 0.15])
++        G = cas.grille_sensibilite(cn["direct"], ti, tc)
++        assert G.min() == pytest.approx(351420, abs=1) and G.max() == pytest.approx(436436, abs=1)
++        assert G.max() / G.min() - 1 == pytest.approx(0.242, abs=1e-3)
++        assert G[3, 2] == pytest.approx(cn["total"], abs=0.01)
++        # effet marginal d'un point de taux
++        assert (G[4, 2] - G[1, 2]) / 9 == pytest.approx(3290, abs=5) and (G[3, 4] - G[3, 0]) / 10 == pytest.approx(3614, abs=5)
++
++    def test_tornade(self, data):
++        cn = data["cn"]; ip = data["ipcb"]; mi = "Maison individuelle [621112]"
++        var = cas.indice(ip, mi, "2026-07") / cas.indice(ip, mi, "2025-07") - 1
++        t = cas.tornade(cn["direct"], cn["taux_indirects"], 0.10, (1 / (1 + var), 1 + var), (-0.05, -0.20))
++        d = {o["param"]: o for o in t}
++        assert d["Taux d'indirects"]["bas"] == pytest.approx(381132, abs=1) and d["Taux d'indirects"]["haut"] == pytest.approx(414003, abs=1)
++        assert d["Taux d'incitatif"]["bas"] == pytest.approx(379496, abs=1) and d["Taux d'incitatif"]["haut"] == pytest.approx(415639, abs=1)
++        assert d["Indice de coûts (date)"]["bas"] == pytest.approx(366171, abs=1) and d["Indice de coûts (date)"]["haut"] == pytest.approx(431655, abs=1)
++        assert (431655 - 366171) / cn["total"] == pytest.approx(0.165, abs=1e-3)
++
++    def test_elasticite(self, data):
++        um = data["cn"]["total"] / 165
++        assert ct.cout_par_superficie_ajuste(um, 165, 200, -0.05) * 200 == pytest.approx(477287, abs=1)
++        assert ct.cout_par_superficie_ajuste(um, 165, 200, -0.20) * 200 == pytest.approx(463711, abs=1)
++        assert ct.cout_par_superficie_ajuste(um, 165, 140, -0.05) * 140 == pytest.approx(340112, abs=1)
++        assert ct.cout_par_superficie_ajuste(um, 165, 140, -0.20) * 140 == pytest.approx(348599, abs=1)
++        assert ct.cout_par_superficie_ajuste(2300, 200, 165, -0.10) * 165 == pytest.approx(386871, abs=1)
++        assert 2300 * 165 == 379500
++        # élasticité du coût total = 1 + ε
++        assert (ct.cout_par_superficie_ajuste(1, 100, 120, -0.1) * 120) / (1 * 100) == pytest.approx(1.2 ** 0.9, rel=1e-12)
++
++
++class TestExercices:
++    def test_ex1(self):
++        a = ct.cout_neuf(250000, 0.15, 0.10, "direct+indirect"); b = ct.cout_neuf(250000, 0.15, 0.10, "direct")
++        assert a["total"] == 316250 and b["total"] == 312500 and a["total"] - b["total"] == 3750
++        assert a["direct"] / a["total"] == pytest.approx(0.791, abs=5e-4) and a["indirects"] / a["total"] == pytest.approx(0.119, abs=5e-4)
++
++    def test_ex2(self, data):
++        ip = data["ipcb"]
++        assert ct.indexer_cout(310000, 86.3, 116.5) == pytest.approx(418482, abs=1)
++        assert ct.indexer_cout(310000, cas.indice(ip, "Bâtiments non résidentiels [622]", "2021-07"), cas.indice(ip, "Bâtiments non résidentiels [622]", "2026-07")) == pytest.approx(415756, abs=1)
++
++    def test_ex3(self):
++        repro = 0.7 * 520000 - (0.7 * 40000 + 12000); rempl = 0.7 * 480000 - 12000
++        assert repro == rempl == 324000 and rempl - 40000 == 284000
++
++    def test_ex4(self):
++        k = cas.PI2_PAR_M2
++        assert 155 * k == pytest.approx(1668.4, abs=0.05) and 215 * k == pytest.approx(2314.2, abs=0.05)
++        u = ct.cout_par_superficie_ajuste(185 * k, 190, 210, -0.10)
++        assert u == pytest.approx(1971.5, abs=0.05) and u * 210 == pytest.approx(414013, abs=1) and 185 * k * 210 == pytest.approx(418178, abs=1)
++
++    def test_ex5(self, data):
++        d = data["devis"]; sup = float(d.loc[d["poste"] == "Supervision de chantier (salaires)", "montant"].iloc[0])
++        assert sup == pytest.approx(35708.66, abs=0.01)
++        D2 = data["cn"]["direct"] + sup; I2 = data["cn"]["indirects"] - sup
++        assert I2 / D2 == pytest.approx(0.0804, abs=5e-5) and D2 + I2 == pytest.approx(361424.85, abs=0.01)
++        assert ct.cout_neuf(D2, I2 / D2, 0.10)["total"] == pytest.approx(397567.33, abs=0.01)
++        assert ct.cout_neuf(D2, I2 / D2, 0.10, "direct")["total"] == pytest.approx(394878.33, abs=0.01)
++
++    def test_ex6(self):
++        a, b, A = 1500, 900, 95
++        for kappa, part, eps, c in [(4.0, 0.1976, -0.0988, 1869.4), (3 * math.sqrt(2), 0.2071, -0.1035, 1891.8)]:
++            P = kappa * math.sqrt(A); w = b * P / (a * A + b * P)
++            assert w == pytest.approx(part, abs=5e-4) and -0.5 * w == pytest.approx(eps, abs=5e-4) and (a * A + b * P) / A == pytest.approx(c, abs=0.05)
++        assert 1500 + 900 * 4 / math.sqrt(190) == pytest.approx(1761.2, abs=0.05)
++        assert 1869.4 * 2 ** -0.0988 == pytest.approx(1745.7, abs=0.1)
++
++    def test_ex7(self, data):
++        g = data["g"]; cn = data["cn"]
++        Dass = cn["direct"] - g.loc["Fondations et site", "montant"] - g.loc["Aménagements extérieurs", "montant"]
++        r = ct.cout_neuf(Dass, cn["taux_indirects"], 0.10)
++        assert Dass == pytest.approx(242400.43, abs=0.01) and r["indirects"] == pytest.approx(50778.51, abs=0.01) and r["total"] == pytest.approx(322497, abs=1)
++        assert 180000 + 0.65 * cn["total"] == pytest.approx(438419, abs=1)

added manuscript/_wrap_ch29.tex +12 −0

++\providecommand{\BUILDVARIANT}{uqo}\providecommand{\BUILDMEDIA}{numerique}
++\documentclass[10pt,twoside,openright]{book}
++\newif\ifLogoAutorise\LogoAutorisefalse\def\PALETTE{uqo}
++\usepackage{traite-qc}
++\input{../manuscript/frontmatter/metadata.tex}
++\input{/Users/simon-pierreboucher/Desktop/UQO/Traite-Evaluation-QC/build/ch29/_labels.tex}
++\begin{document}
++\setcounter{chapter}{28}
++\input{chapters/ch29.tex}
++\appendix\chapter{Solutions du chapitre}\input{../solutions/ch29.tex}
++\printbibliography
++\end{document}

modified manuscript/chapters/ch21.tex +196 −0

+ \begin{quebec}[Le coût neuf au rôle d'évaluation foncière]
+ Le rôle indique la valeur réelle de chaque unité d'évaluation \parencite[art.~42 et 43]{lfm}, établie selon l'état de l'unité et les conditions du marché au 1\ier{} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur du rôle \parencite[art.~46]{lfm} ; pour le rôle 2027-2029 de Gatineau, cette date de référence est le 1\ier{} juillet 2025. L'évaluateur municipal applique « la méthode la plus pertinente ou les méthodes les plus pertinentes » parmi la comparaison (partie 3C du Manuel), le revenu (3D) et le coût (3E), puis concilie les indications (3F) \parencite[art.~8 et 9]{reglrole}. Pour la très grande majorité des résidences, le coût constitue la méthode de base de la valeur du bâtiment, que l'on corrige ensuite par l'analyse du marché. Trois conséquences pour l'évaluateur privé qui lit un rôle : la valeur du bâtiment qui y figure est un coût de remplacement déprécié calibré à la date de référence du rôle et non à la date d'évaluation ; les superficies du dossier de propriété sont des aires brutes mesurées à la face externe des murs, un étage étant compté lorsque son plancher n'est pas plus bas que 0,4 mètre sous le niveau moyen du sol, ce qui diffère des superficies habitables des fiches de courtage \parencite{mefq2026} ; et la valeur au rôle n'est pas une valeur marchande à la date d'évaluation, même si elle en est, dans l'ensemble, une proportion médiane connue (\cref{ch:9}). Les données ouvertes du rôle permettent, en respectant la licence CC-BY 4.0 et l'interdiction de réidentification, d'analyser la répartition terrain-bâtiment à l'échelle d'un quartier \parencite{dqroles}.
+ \end{quebec}
++
++\section{Exemple intégral : le coût neuf du sujet du cas 1}\label{sec:21:exemple}
++
++\begin{synthetique}
++Le sujet est la maison fictive du premier dossier de cas : un cottage à étages de \msq{165} habitables sur un terrain de \msq{620}, construit en 1998 dans le secteur Hull de Gatineau, de qualité moyenne (classe 3 sur 5), avec garage simple, sous-sol fini, quatre chambres et deux salles de bain, évalué au 1\ier{} septembre 2026 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_sujet.json}). Son devis par composantes, \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_couts.csv}, compte 38 postes (33 directs, 5 indirects) dont les quantités sont cohérentes avec une empreinte de \msq{95} sur deux étages et dont les prix unitaires ont été mis à l'échelle de sorte que le coût direct et indirect par mètre carré habitable corresponde au milieu de la fourchette Altus 2026 pour Montréal (155-215 \$/pi², converti en \$/m²) majoré de 10 \% pour le sous-sol fini et les aménagements, hypothèse pédagogique documentée dans \texttt{data/synthetic/README.md} et \texttt{calibration.json} (\texttt{SRC-E-043}). Le devis est généré par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine 20261031 ; aucun de ses chiffres ne décrit une propriété ou un entrepreneur réel. Tous les résultats de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch21\_cout\_neuf.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch21.py}.
++\end{synthetique}
++
++\begin{exemple}{Coût de remplacement neuf d'un cottage de 165 m² à Hull}{cas1}
++L'estimation procède en six étapes : regroupement du devis par corps de métier, séparation des coûts directs et indirects, choix et application de l'incitatif, calcul des coûts unitaires, comparaison avec un barème externe et mise en perspective temporelle par l'IPCB.
++
++\emph{Étape 1 : le devis par corps de métier.} Les 38 postes sont regroupés en six corps de métier pour les coûts directs et un bloc pour les indirects (\cref{tab:21:devis}). L'enveloppe (couverture, revêtement de brique et de fibrociment, isolation, fenêtres, portes, gouttières) et la finition intérieure (gypse, peinture, planchers, escaliers, portes intérieures, armoires, vanités) sont les deux blocs les plus lourds, avec respectivement \dollars{70351} et \dollars{67092}, soit 19,5 \% et 18,6 \% du sous-total directs et indirects ; la structure et la charpente comptent pour \dollars{53852} (14,9 \%), la mécanique et l'électricité pour \dollars{51105} (14,1 \%), les fondations et le site pour \dollars{39818} (11,0 \%) et les aménagements extérieurs pour \dollars{16608} (4,6 \%). Le poste individuel le plus élevé est la charpente des murs et planchers (\dollars{39359}), suivi de la supervision du chantier (\dollars{35709}) et du revêtement extérieur (\dollars{28625}).
++
++\emph{Étape 2 : directs et indirects.} Les 33 postes directs totalisent $D = \dollars{298826.17}$ et les 5 postes indirects (permis et études, supervision de chantier, assurances et cautionnement, plans et honoraires, financement intérimaire) $I = \dollars{62598.68}$, soit un sous-total $D + I = \dollars{361424.85}$. Le taux d'indirects implicite est $\tau_I = I/D = \pct{20.95}$ des directs, ou \pct{17.32} du sous-total. Ce taux est élevé au regard des fourchettes usuelles parce que le devis classe la supervision du chantier, 26 semaines de salaires, parmi les indirects ; si on la reclassait dans les frais généraux de chantier, donc dans les directs, le taux tomberait à \pct{8.04} sans que le sous-total change. L'exercice~\ref{ex:21:5} explore les conséquences de ce reclassement.
++
++\emph{Étape 3 : l'incitatif.} Le devis ne contient aucune rémunération pour le promoteur ou l'entrepreneur général qui coordonne et porte le risque du projet ; les prix unitaires sont des prix de sous-traitants installés, marge des métiers comprise. Un incitatif doit donc être ajouté. Faute d'une extraction du marché de Gatineau, qui serait la méthode correcte dans un mandat réel (différence entre les prix de vente de maisons neuves comparables et la somme de leurs coûts et du terrain), le chapitre retient un taux de \pct{10} appliqué à l'assiette directs plus indirects, conformément à la convention de l'ouvrage. Ce taux est une hypothèse pédagogique, située au centre d'une fourchette de 5 à 15 \% explorée dans l'analyse de sensibilité ; il correspond à une construction sur commande, de taille modeste, de courte durée et sans risque de mévente, pour laquelle le risque porté est faible. L'incitatif vaut $E = 0{,}10 \times \dollars{361424.85} = \dollars{36142.49}$ et le coût neuf
++\begin{equation}\label{eq:21:cn-cas1}
++C_N = D\,(1+\tau_I)(1+\tau_E) = \dollars{298826.17} \times 1{,}2095 \times 1{,}10 = \dollars{397567.33},
++\end{equation}
++arrondi à \dollars{398000} dans les conclusions. Les parts sont de \pct{75.2} pour les directs, \pct{15.7} pour les indirects et \pct{9.1} pour l'incitatif. Sous la convention d'assiette limitée aux directs, l'incitatif ne serait que de \dollars{29882.62} et le coût neuf de \dollars{391307.47}, soit \dollars{6259.87} de moins (1,6 \%) : c'est l'écart $D\,\tau_I\,\tau_E$ de la \cref{sec:21:composantes}.
++
++\emph{Étape 4 : coûts unitaires.} Rapporté à la superficie habitable de \msq{165} (\pisq{1776}), le coût neuf vaut \parmsq{2409}, soit \qty{223.8}{\dollar\per\piedcarre}. Rapporté à l'aire brute des étages, estimée à $2 \times \msq{95} = \msq{190}$ (\pisq{2045}) en prenant l'aire de la dalle du sous-sol comme empreinte, il vaut \parmsq{2092}, soit \qty{194.4}{\dollar\per\piedcarre}. Le même coût s'exprime donc par deux coûts unitaires qui diffèrent de 15 \% selon la convention de superficie : c'est la première leçon de l'exemple.
++
++\emph{Étape 5 : comparaison avec le barème externe.} La fourchette Altus 2026 relayée pour une maison unifamiliale à Montréal, 155 à \qty{215}{\dollar\per\piedcarre} hors terrain et sous-sol non fini, appliquée à l'aire brute de \pisq{2045}, donne un intervalle de \dollars{316997} à \dollars{439705}, de milieu \dollars{378351}. Le coût neuf de \dollars{397567} s'y inscrit, 5 \% au-dessus du milieu, ce qui est cohérent avec un sous-sol fini, un garage, des aménagements extérieurs et un incitatif que la fourchette du guide n'inclut pas nécessairement. Appliquée à la superficie habitable de \pisq{1776}, la même fourchette donnerait \dollars{275287} à \dollars{381849}, et le coût neuf la dépasserait : la comparaison ne vaut que si la base de superficie du guide est connue et respectée. En sens inverse, le coût direct et indirect ramené à l'aire brute, \qty{176.7}{\dollar\per\piedcarre}, se situe au tiers inférieur de la fourchette du guide, ce qui est attendu pour une maison de qualité moyenne.
++
++\emph{Étape 6 : perspective temporelle.} Le devis est exprimé en dollars du troisième trimestre de 2026, ce qui correspond à la date d'évaluation ; aucune indexation n'est nécessaire. À titre d'illustration de l'\cref{eq:21:indexation}, le même coût neuf exprimé en dollars du troisième trimestre de 2021, par le ratio $86{,}3/116{,}5$ de l'indice de la maison individuelle à Montréal, aurait été de \dollars{294507}, et en dollars du troisième trimestre de 2019, de \dollars{245366} : la maison coûte 35 \% de plus à construire qu'il y a cinq ans et 62 \% de plus qu'il y a sept ans. Inversement, un devis de \dollars{290000} daté du troisième trimestre de 2019 vaudrait aujourd'hui $\dollars{290000} \times 116{,}5/71{,}9 = \dollars{469889}$. Si l'on avait utilisé par erreur la série des bâtiments non résidentiels, le ratio aurait été de 1,525 au lieu de 1,620, soit une sous-estimation de 5,9 \% ; avec la série des tours d'habitation, 1,558 (−3,8 \%) ; avec celle des immeubles de moins de cinq étages, 1,671 (+3,2 \%).
++
++Le coût neuf de \dollars{397567} est le point de départ du \cref{ch:24}, qui en déduira les dépréciations d'un bâtiment de 28 ans, et du \cref{ch:25}, qui estimera la valeur du terrain de \msq{620} ; la réconciliation du \cref{ch:45} rapprochera l'indication par le coût de celles de la comparaison et du modèle hédonique.
++\end{exemple}
++
++\begin{table}[tbp]
++\caption{Devis par composantes du sujet du cas 1 regroupé par corps de métier, et calcul du coût neuf (dollars du T3 2026).}\label{tab:21:devis}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=6.2] S[table-format=2.1]@{}}
++\toprule
++Bloc & {Postes} & {Montant (\$)} & {Part de $D+I$ (\%)} \\
++\midrule
++Fondations et site & 5 & 39818.04 & 11.0 \\
++Structure et charpente & 3 & 53852.16 & 14.9 \\
++Enveloppe & 7 & 70350.56 & 19.5 \\
++Finition intérieure & 8 & 67092.26 & 18.6 \\
++Mécanique et électricité & 6 & 51105.45 & 14.1 \\
++Aménagements extérieurs & 4 & 16607.70 & 4.6 \\
++\midrule
++Coûts directs $D$ & 33 & 298826.17 & 82.7 \\
++Coûts indirects $I$ (permis et études, supervision, assurances, plans et honoraires, financement intérimaire) & 5 & 62598.68 & 17.3 \\
++Sous-total $D + I$ & 38 & 361424.85 & 100.0 \\
++Incitatif de l'entrepreneur, 10 \% de $(D+I)$ & & 36142.49 & \\
++\midrule
++Coût neuf $C_N$ & & 397567.33 & \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_couts.csv}, graine 20261031 ; calculs \texttt{analysis/python/cases/ch21\_cout\_neuf.py}}.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[tbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\linewidth]{ch21/ch21-fig-decomposition-corps.pdf}
++\caption{Décomposition du coût neuf du sujet du cas 1 par corps de métier, coûts indirects et incitatif, triée par montant. L'enveloppe et la finition intérieure représentent ensemble plus du tiers du coût neuf ; les coûts indirects, gonflés par la supervision du chantier, en représentent 15,7 \% et l'incitatif 9,1 \%.}\label{fig:21:decomposition}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch21\_decomposition.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[tbp]
++\caption{Coûts unitaires du sujet du cas 1 selon la convention de superficie et la composante retenue, et comparaison avec la fourchette Altus 2026 (Montréal, unifamiliale, hors terrain).}\label{tab:21:unitaires}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=4.0] S[table-format=3.1] S[table-format=4.0] S[table-format=3.1]@{}}
++\toprule
++ & \multicolumn{2}{c}{Sur superficie habitable (\msq{165})} & \multicolumn{2}{c}{Sur aire brute des étages (\msq{190})} \\
++\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-5}
++Composante & {\$/m²} & {\$/pi²} & {\$/m²} & {\$/pi²} \\
++\midrule
++Directs et indirects $D + I$ & 2190 & 203.5 & 1902 & 176.7 \\
++Coût neuf $C_N$ (avec incitatif) & 2409 & 223.8 & 2092 & 194.4 \\
++\midrule
++Fourchette Altus 2026 (borne basse) & 1668 & 155.0 & 1668 & 155.0 \\
++Fourchette Altus 2026 (borne haute) & 2314 & 215.0 & 2314 & 215.0 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch21\_cout\_neuf.py}} ; fourchette Altus telle que relayée (\texttt{SRC-E-043}, partiellement vérifiée) ; conversion $1\,\text{m}^2 = 10{,}7639\,\text{pi}^2$.}
++\end{table}
++
++\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:21:sensibilite}
++
++Le coût neuf de l'exemple dépend de quatre hypothèses que l'évaluateur contrôle imparfaitement : le taux d'indirects, le taux d'incitatif, la date à laquelle les prix sont exprimés et, lorsqu'un barème unitaire est utilisé, l'élasticité de taille. L'analyse de sensibilité consiste à faire varier chacune dans une plage plausible et à mesurer l'effet sur $C_N$ ; elle ne remplace pas le jugement sur la valeur centrale, mais elle dit où ce jugement compte le plus. Le \cref{tab:21:grille} croise le taux d'indirects, de 12 à 27 \% des directs, et le taux d'incitatif, de 5 à 15 \% de l'assiette directs plus indirects, les coûts directs étant maintenus à leur valeur de devis. Le coût neuf parcourt un intervalle de \dollars{351420} à \dollars{436436}, soit une étendue de 24,2 \% autour de la valeur centrale : à devis identique, deux évaluateurs qui retiendraient des conventions raisonnables mais différentes peuvent s'écarter du quart du coût neuf. Chaque point de taux d'indirects déplace le coût neuf d'environ \dollars{3290} et chaque point d'incitatif d'environ \dollars{3610} ; les deux taux ont des effets du même ordre et se combinent multiplicativement.
++
++\begin{table}[tbp]
++\caption{Sensibilité du coût neuf du sujet du cas 1 au taux d'indirects (lignes, en proportion des directs) et au taux d'incitatif (colonnes, en proportion des directs et indirects), en milliers de dollars ; coûts directs fixés à \dollars{298826}.}\label{tab:21:grille}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}S[table-format=2.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1] S[table-format=3.1]@{}}
++\toprule
++{Indirects (\%)} & {Incitatif 5 \%} & {8 \%} & {10 \%} & {12 \%} & {15 \%} \\
++\midrule
++12.0 & 351.4 & 361.5 & 368.2 & 374.8 & 384.9 \\
++15.0 & 360.8 & 371.1 & 378.0 & 384.9 & 395.2 \\
++18.0 & 370.2 & 380.8 & 387.9 & 394.9 & 405.5 \\
++20.9 & 379.5 & 390.3 & 397.6 & 404.8 & 415.6 \\
++24.0 & 389.1 & 400.2 & 407.6 & 415.0 & 426.1 \\
++27.0 & 398.5 & 409.9 & 417.5 & 425.1 & 436.4 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch21\_cout\_neuf.py}, fonction \texttt{grille\_sensibilite}} ; la ligne 20,9 \% et la colonne 10 \% correspondent au cas de base.}
++\end{table}
++
++La \cref{fig:21:sensibilite} complète la grille par un diagramme en tornade où chaque paramètre varie seul, les autres restant à leur valeur centrale. Le taux d'indirects, déplacé de cinq points de part et d'autre de sa valeur de devis (15,9 à 25,9 \%), fait varier le coût neuf de \dollars{381132} à \dollars{414003}, soit une étendue de 8,3 \% ; le taux d'incitatif, de 5 à 15 \%, le fait varier de \dollars{379496} à \dollars{415639}, soit 9,1 \%. Mais c'est la date des prix qui domine : une erreur d'un an sur la période à laquelle les coûts sont exprimés, mesurée par la variation annuelle de 8,6 \% de l'IPCB de la maison individuelle entre les troisièmes trimestres de 2025 et de 2026, déplace le coût neuf de \dollars{366171} à \dollars{431655}, une étendue de 16,5 \%, presque le double de chacun des deux taux. Dans un marché où les coûts progressent de 6 à 9 \% par année, la fraîcheur des prix unitaires est le premier déterminant de la qualité d'un coût neuf, avant toute discussion sur l'incitatif.
++
++\begin{figure}[tbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\linewidth]{ch21/ch21-fig-sensibilite.pdf}
++\caption{Sensibilité du coût neuf du sujet du cas 1 : (a) grille du taux d'indirects et du taux d'incitatif, en milliers de dollars ; (b) tornade où chaque paramètre varie seul autour du cas de base de \dollars{397567} : la date des prix (une année d'IPCB, ±8,6 \%) pèse près de deux fois plus que chacun des deux taux.}\label{fig:21:sensibilite}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch21\_sensibilite.py}, graine 20261031} ; variation annuelle de l'IPCB : Statistique Canada, tableau 18-10-0289-01.}
++\end{figure}
++
++L'élasticité de taille n'intervient pas dans le calcul par composantes, mais elle conditionne tout usage du coût unitaire du sujet pour d'autres bâtiments. Le \cref{tab:21:elasticite} transpose le coût unitaire de \parmsq{2409} à une maison de \msq{140} et à une maison de \msq{200} pour des élasticités de $-0{,}05$ à $-0{,}20$. Pour la maison de \msq{200}, le coût total varie de \dollars{477287} à \dollars{463711} selon l'élasticité, soit un écart de 2,9 \% ; pour celle de \msq{140}, de \dollars{340112} à \dollars{348599}, soit 2,5 \%. L'élasticité est donc un paramètre de second ordre tant que la superficie du bâtiment visé reste à moins de 25 \% de celle de la référence ; au-delà, l'erreur croît et il vaut mieux changer de référence que d'extrapoler. L'exemple inverse, un barème de \parmsq{2300} établi sur des maisons de \msq{200} et appliqué au sujet de \msq{165}, donne \dollars{379500} sans correction et \dollars{386871} avec une élasticité de $-0{,}10$ : ignorer la correction sous-estime le coût de 1,9 \%, un écart modeste mais systématique, toujours dans le même sens pour les bâtiments plus petits que la référence.
++
++\begin{table}[tbp]
++\caption{Transposition du coût unitaire du sujet (\parmsq{2409} pour \msq{165}) à d'autres superficies selon l'élasticité de taille, \cref{eq:21:elasticite}.}\label{tab:21:elasticite}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}S[table-format=-1.2] S[table-format=4.0] S[table-format=6.0] S[table-format=4.0] S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++{Élasticité $\varepsilon$} & {\$/m², \msq{140}} & {Coût \msq{140} (\$)} & {\$/m², \msq{200}} & {Coût \msq{200} (\$)} \\
++\midrule
++-0.05 & 2429 & 340112 & 2386 & 477287 \\
++-0.10 & 2449 & 342918 & 2364 & 472718 \\
++-0.15 & 2470 & 345747 & 2341 & 468193 \\
++-0.20 & 2490 & 348599 & 2319 & 463711 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch21\_cout\_neuf.py}}, fonction \texttt{traite.cout.cout\_par\_superficie\_ajuste}.}
++\end{table}
++
++\begin{erreurs}
++\begin{itemize}
++\item \emph{Confondre coût et valeur.} Le coût neuf est un plafond économique, non une estimation de valeur ; sans terrain et sans dépréciation, il ne dit rien du prix probable. Écrire « la maison vaut \dollars{398000} » après avoir calculé un coût neuf est une faute de raisonnement.
++\item \emph{Mélanger les conventions de superficie.} Appliquer un coût au pied carré établi sur l'aire brute des étages à une superficie habitable nette, ou l'inverse, fausse le résultat de 10 à 20 \% ; l'exemple montre un écart de 15 \% entre \qty{194}{\dollar\per\piedcarre} et \qty{224}{\dollar\per\piedcarre} pour le même bâtiment.
++\item \emph{Compter deux fois.} Incitatif ajouté à des prix qui incluent déjà la marge de l'entrepreneur général ; supervision dans les indirects et dans les prix composites ; raccordements dans le bâtiment et dans le terrain viabilisé ; améliorations du site dans le coût neuf et évaluées à part.
++\item \emph{Déduire une surabondance d'un coût de remplacement.} Le coût de remplacement l'a déjà exclue ; la déduire de nouveau en désuétude fonctionnelle viole la \cref{prop:equivalence}.
++\item \emph{Indexer avec le mauvais indice.} L'indice des prix à la consommation ne mesure pas les coûts de construction ; l'IPLN mesure un prix de vente terrain compris ; une série non résidentielle sous-estime la hausse résidentielle de 6 \% entre 2019 et 2026.
++\item \emph{Confondre incitatif et profit réalisé.} Le profit constaté sur un projet voisin, qu'il soit nul ou exceptionnel, n'est pas l'incitatif requis par le marché ; celui-ci se mesure sur plusieurs projets et s'exprime en proportion d'une assiette déclarée.
++\item \emph{Prendre le coût au rôle pour un coût à la date d'évaluation.} La valeur du bâtiment au rôle est un coût déprécié à la date de référence du rôle (le 1\ier{} juillet 2025 pour le rôle 2027-2029 de Gatineau), parfois trois ans avant l'évaluation.
++\end{itemize}
++\end{erreurs}
++
++\begin{limites}
++\begin{itemize}
++\item Le devis du cas 1 est synthétique ; ses quantités sont vraisemblables et ses prix unitaires calibrés sur une fourchette publique, mais aucun chiffre ne provient d'un chantier réel. La fourchette Altus 2026 pour Montréal (155-215 \$/pi²) est connue par une source secondaire et n'a pas été vérifiée dans le guide lui-même (\texttt{SRC-E-043}, statut partiellement vérifié) ; la fourchette 2025 relayée ailleurs (150-215 \$/pi²) n'a pas été vérifiée.
++\item Le taux d'incitatif de 10 \% est une hypothèse pédagogique, non une extraction du marché de Gatineau ; dans un mandat réel il doit être justifié par des données de projets comparables.
++\item Les séries résidentielles de l'IPCB pour Montréal ne commencent qu'en 2017 ; aucun indice public ne permet d'indexer directement un coût résidentiel montréalais de 1998, et l'IPCB ne couvre pas Gatineau ni Québec.
++\item Le contenu détaillé des barèmes 3E du Manuel d'évaluation foncière et des classes de bâtiments n'a pas été dépouillé ; le chapitre renvoie au Manuel sans en reproduire les valeurs (droit d'auteur, absence de licence ouverte). Le pied de page des pages de normes de mesurage consultées porte la mention « 2022 » dans le PDF de l'édition 2026.
++\item Les paramètres du remboursement de la TVQ pour habitation neuve n'ont pas pu être vérifiés sur le site de Revenu Québec (accès refusé le 31 octobre 2026) ; seuls les paramètres fédéraux lus dans le guide RC4028 sont cités. Les hausses salariales 2025-2029 de la construction (8, 5, 5, 4 \%) sont relayées par Altus et la page de la CCQ n'a pas été reconsultée dans ce lot.
++\item L'aire brute des étages du sujet (\msq{190}) est déduite de l'aire de la dalle du sous-sol du devis, non d'un plan ; c'est une hypothèse de l'exemple.
++\end{itemize}
++\end{limites}
++
++\begin{synthese}
++\begin{itemize}
++\item La méthode du coût estime $\hat V = V_L + C_N - D_{\text{phys}} - D_{\text{fonc}} - D_{\text{ext}}$ ; elle est pertinente pour le neuf, l'atypique, l'assurance et le rôle, et devient un simple contrôle de vraisemblance pour les bâtiments anciens où la dépréciation domine.
++\item Le coût de reproduction chiffre une réplique, le coût de remplacement un équivalent moderne ; le second est la base par défaut, et le choix de la base détermine ce qui reste à déduire en désuétude fonctionnelle.
++\item $C_N = D(1+\tau_I)(1+\tau_E)$ avec l'incitatif sur directs plus indirects ; l'assiette doit être déclarée et les doubles comptages traqués poste par poste.
++\item Comparaison unitaire, composantes, métré et indexation forment une hiérarchie de précision ; le coût unitaire exige une convention de superficie et une base explicites ; l'élasticité de taille vaut la moitié de la part des coûts liés au périmètre, changée de signe.
++\item L'IPCB de Statistique Canada (18-10-0289-01) est la source publique d'indexation ; les guides Altus, Marshall \& Swift et RSMeans sont des sources sous licence à citer sans reproduire ; le MEFQ fixe la méthode et les mesures du rôle.
++\item Pour le sujet du cas 1, $C_N = \dollars{397567}$ (\parmsq{2409} habitables, \qty{194}{\dollar\per\piedcarre} bruts) ; la date des prix pèse deux fois plus que les taux d'indirects ou d'incitatif dans l'incertitude du résultat.
++\end{itemize}
++\end{synthese}
++
++\section*{Exercices}
++
++\begin{exercice}[1]{Conventions d'assiette}{ex:21:1}
++Les coûts directs d'une maison neuve s'élèvent à \dollars{250000}. Le taux d'indirects est de 15 \% des directs et le taux d'incitatif de 10 \%. Calculez le coût neuf selon la convention où l'incitatif s'applique aux directs et indirects, puis selon celle où il s'applique aux seuls directs. Montrez que l'écart est égal à $D\,\tau_I\,\tau_E$ et donnez les parts de chaque composante dans le coût neuf sous la première convention.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[1]{Indexation par l'IPCB}{ex:21:2}
++Un contrat de construction d'une maison individuelle à Montréal, signé au troisième trimestre de 2021, s'élevait à \dollars{310000} (directs et indirects, sans incitatif). À l'aide des valeurs du \cref{tab:21:ipcb}, exprimez ce coût en dollars du troisième trimestre de 2026 avec la série « maison individuelle », puis avec la série « bâtiments non résidentiels ». Commentez l'écart et expliquez pourquoi le résultat est un coût de reproduction plutôt qu'un coût de remplacement.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Reproduction, remplacement et désuétude}{ex:21:3}
++Une maison de 1925 a un coût de reproduction de \dollars{520000}, dont \dollars{40000} pour des éléments surabondants (plâtre sur lattes, deux foyers de maçonnerie massive) que le marché ne paie pas ; son coût de remplacement est de \dollars{480000}. La dépréciation physique est de 30 \% et l'excès de coûts d'exploitation imputable aux éléments surabondants, capitalisé, vaut \dollars{12000}. Le terrain vaut \dollars{150000}. Calculez l'indication de valeur sous les deux bases en appliquant la \cref{prop:equivalence}, puis montrez l'erreur commise si l'on déduisait \dollars{40000} de désuétude fonctionnelle à partir du coût de remplacement.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Comparaison unitaire et élasticité de taille}{ex:21:4}
++Convertissez la fourchette Altus 2026 de 155 à \qty{215}{\dollar\per\piedcarre} en dollars par mètre carré et calculez le coût unitaire du milieu de fourchette. Appliquez ce coût unitaire à une maison dont l'aire brute des étages est de \msq{210}, sachant que la fourchette est réputée établie sur des maisons d'environ \msq{190} et que l'élasticité de taille est de $-0{,}10$. Comparez au résultat sans correction de taille et indiquez ce que la fourchette n'inclut pas.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Reclasser la supervision de chantier}{ex:21:5}
++Dans le devis du cas 1, la supervision du chantier (\dollars{35708.66}) est classée parmi les coûts indirects. Reclassez-la dans les coûts directs et recalculez le taux d'indirects, le sous-total $D + I$, l'incitatif et le coût neuf sous chacune des deux conventions d'assiette. Expliquez pourquoi le coût neuf est inchangé sous l'une et modifié sous l'autre, et ce que cela implique pour la mesure d'un taux d'indirects « de marché ».
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Géométrie et économies d'échelle}{ex:21:6}
++Un cottage a une empreinte de \msq{95}. Les coûts proportionnels à l'aire de plancher s'élèvent à \parmsq{1500} et les coûts proportionnels au périmètre (fondations, murs extérieurs, revêtement, isolation) à \qty{900}{\dollar\per\metre} linéaire. Pour une empreinte carrée puis pour une empreinte rectangulaire de proportion $1{:}2$, calculez le périmètre, la part des coûts liés au périmètre, l'élasticité de taille selon la \cref{prop:echelle} et le coût unitaire. Déduisez-en l'effet de la forme sur le coût unitaire et discutez la validité de l'élasticité constante de l'\cref{eq:21:elasticite} lorsque l'aire double.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Valeur assurable et indication par le coût}{ex:21:7}
++Un contrat d'assurance habitation couvre la reconstruction du bâtiment à l'exclusion de l'excavation, des fondations, de la dalle, du drain, des raccordements aux services et des aménagements extérieurs. À partir du devis du cas 1 (\cref{tab:21:devis}), estimez la valeur assurable en conservant le taux d'indirects du devis et l'incitatif de 10 \% sur directs plus indirects, et justifiez le maintien de ces deux éléments. Puis, avec une valeur de terrain de \dollars{180000} et une dépréciation totale de 35 \% du coût neuf, calculez l'indication de valeur par le coût. Expliquez pourquoi les deux montants répondent à des questions différentes et pourquoi ni l'un ni l'autre ne peut être qualifié de « valeur marchande » sans réconciliation.
++\end{exercice}
++
++\section*{Pour aller plus loin}
++
++Le traitement de référence de la méthode du coût en Amérique du Nord demeure celui de \textcite{appraisal2026}, dont les chapitres consacrés au coût neuf, aux sources de coûts et à l'incitatif de l'entrepreneur fixent la terminologie reprise ici ; l'édition canadienne de \textcite{appraisalCdn} adapte la présentation au contexte des provinces et le glossaire de \textcite{aiDictionary2022} fixe les définitions. \textcite{bowes2011} offre la défense la plus argumentée de la méthode face à son déclin dans la pratique, en montrant comment une dépréciation extraite du marché transforme le coût en véritable indicateur de valeur ; sa lecture prépare le \cref{ch:24}. Pour la tradition britannique, \textcite{wyatt2022} et \textcite{scarrettOsborn2014} exposent la méthode de l'entrepreneur avec une clarté pédagogique et insistent sur ses conditions d'application restreintes, tandis que \textcite{baum1991} propose la taxonomie des désuétudes qui éclaire le lien entre base de coût et obsolescence. Du côté de l'économie, \textcite{davisHeathcote2007} et \textcite{clappSalavei2010} rappellent que la décomposition terrain-bâtiment est un objet d'inférence et non une donnée, et que la méthode du coût se dégrade là où le terrain domine ; \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} développent la logique du profit du promoteur et des coûts financiers dans l'analyse de développement, utile pour calibrer un incitatif. Enfin, la terminologie française de la méthode se trouve chez \textcite{achour1992}, et la méthodologie de l'IPCB est documentée par \textcite{statcanIPCB}.

modified manuscript/chapters/ch29.tex +474 −1

+ \chapter{Capitalisation directe}\label{ch:29}
++
++La capitalisation directe est la plus ancienne et la plus répandue des techniques de la méthode du revenu : elle convertit un revenu net d'exploitation (RNE, \emph{net operating income}) d'une seule année en une indication de valeur au moyen d'un seul taux, le taux global de capitalisation. Sa simplicité apparente est trompeuse. Derrière le quotient $V = \NOI_1/R$ se cachent une hypothèse sur la durée des flux, une hypothèse sur leur croissance, une hypothèse sur le risque et, surtout, une exigence de cohérence absolue entre la définition du revenu capitalisé et celle du revenu qui a servi à extraire le taux. Ce chapitre dérive la formule à partir de l'actualisation d'un flux perpétuel, montre comment extraire le taux de ventes comparables, le construire à partir des conditions de financement ou d'un modèle de croissance, puis applique l'ensemble à l'immeuble de douze logements de Rosemont (cas~3) dont les chapitres~27 et~28 ont établi les revenus et les dépenses. Les chapitres~30 (flux actualisés) et~31 (financement) reprennent les mêmes chiffres : le lecteur y verra que la capitalisation directe n'est qu'un cas particulier, mais un cas particulier dont la discipline reste indispensable.
++
++\begin{objectifs}
++À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
++\begin{itemize}
++\item dériver $V = \NOI_1/R$ de la somme actualisée d'un flux perpétuel et énoncer les hypothèses que cette dérivation impose (période, prospectivité, croissance, risque) ;
++\item extraire un taux global d'un échantillon de ventes, choisir entre médiane, moyenne et moyenne pondérée, et corriger le taux pour l'état et la taille au moyen d'une régression simple ;
++\item construire un taux par la bande d'investissement, par la formule de couverture de la dette, par le modèle de Gordon et par les formules d'Ellwood et d'Akerson, en démontrant leur équivalence et leurs cas limites ;
++\item vérifier la cohérence entre le revenu capitalisé et le taux (réserves, dépenses en capital, gestion imputée, taxes foncières calculées sur la valeur au rôle) et reconnaître les erreurs de convention les plus coûteuses ;
++\item situer un taux dans son marché à partir des publications d'industrie et des taux sans risque, et interpréter l'écart comme une prime de risque ;
++\item mesurer la sensibilité de la valeur au taux et au revenu, et présenter une fourchette plutôt qu'un chiffre unique.
++\end{itemize}
++\end{objectifs}
++
++\section{La logique de la capitalisation directe}\label{sec:29:logique}
++
++\subsection{De la somme actualisée au quotient}
++
++Tout actif qui produit des revenus vaut, pour un investisseur, la somme de ces revenus futurs ramenés à aujourd'hui. Si l'immeuble rapporte un revenu net $\NOI_t$ à la fin de chaque année $t$ et si l'investisseur exige un taux de rendement annuel $r$, la valeur à la date d'évaluation s'écrit
++\begin{equation}\label{eq:29:va}
++V_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{\NOI_t}{(1+r)^t}.
++\end{equation}
++La capitalisation directe repose sur la forme la plus simple de cette somme : un revenu constant perpétuel, $\NOI_t = \NOI$ pour tout $t$. La série géométrique de raison $1/(1+r)$, avec $r > 0$, converge et donne
++\begin{equation}\label{eq:29:perpetuite}
++V_0 = \NOI \sum_{t=1}^{\infty} (1+r)^{-t} = \NOI \cdot \frac{(1+r)^{-1}}{1 - (1+r)^{-1}} = \frac{\NOI}{r}.
++\end{equation}
++Dans ce cas particulier, le taux de capitalisation et le taux d'actualisation coïncident : $R = r$. Cette égalité n'est vraie que si le revenu est constant à perpétuité et si l'immeuble ne se déprécie ni ne s'apprécie. Dès que le revenu croît, la \cref{sec:29:gordon} montrera que $R = r - g$ ; dès que l'immeuble est détenu pour une durée finie puis revendu, la \cref{sec:29:ellwood} montrera que $R$ incorpore la variation de valeur attendue. Le taux global n'est donc pas un rendement : c'est un \emph{rapport} entre un revenu d'une année et un prix, dans lequel le marché a résumé toutes ses anticipations.
++
++\begin{definition}{Taux global de capitalisation}{taux-global}
++Le \motcle{taux global de capitalisation} (\emph{overall capitalization rate}), noté $R$, est le rapport entre le revenu net d'exploitation prospectif de la première année et la valeur de la pleine propriété :
++\begin{equation}\label{eq:29:def}
++R = \frac{\NOI_1}{V_0}, \qquad\text{d'où}\qquad V_0 = \frac{\NOI_1}{R}.
++\end{equation}
++Le taux est dit \emph{global} parce qu'il s'applique à l'ensemble de l'immeuble (terrain et bâtiment, dette et fonds propres confondus) et qu'il incorpore implicitement le rendement courant et la variation de valeur anticipée. Il se distingue du taux de rendement $r$ (taux d'actualisation) et du rendement courant des fonds propres $R_E$.
++\end{definition}
++
++\subsection{Les hypothèses implicites}
++
++La dérivation~\eqref{eq:29:perpetuite} rend explicites quatre hypothèses que la pratique oublie souvent. La première est l'\emph{horizon infini} : le revenu est supposé durer indéfiniment, ce qui suppose que les dépenses d'exploitation comprennent ce qu'il faut pour maintenir l'immeuble dans un état qui préserve ce revenu. C'est le fondement de la réserve de remplacement discutée au chapitre~28 et à la \cref{sec:29:coherence}. La deuxième est la \emph{stationnarité} : le revenu de l'année 1 est représentatif de la suite ; un immeuble dont les loyers sont très en deçà du marché, ou dont le taux d'inoccupation est anormal au moment de l'évaluation, viole cette hypothèse et appelle soit une stabilisation du revenu, soit un passage aux flux actualisés. La troisième est la \emph{cohérence de période} : si $\NOI_1$ est un revenu annuel, $R$ est un taux annuel effectif ; capitaliser un revenu mensuel ou un revenu de l'exercice écoulé avec un taux annuel extrait de revenus prospectifs est une faute de dimension. La quatrième est la \emph{cohérence de définition} : le taux extrait du marché ne peut s'appliquer qu'à un revenu défini exactement comme celui des ventes dont il provient, ce qui vaut pour la vacance, les réserves, la gestion et les taxes.
++
++Le qualificatif \emph{prospectif} de $\NOI_1$ mérite insistance. L'acheteur paie pour le revenu qu'il recevra, non pour celui que le vendeur a perçu. L'annexe des conventions de calcul fixe la règle de l'ouvrage : $\NOI_1$ est le revenu net des douze mois qui suivent la date d'évaluation, établi à partir des baux en vigueur, de l'inoccupation et des mauvaises créances attendues, et des dépenses normalisées indexées. Lorsqu'un taux est extrait d'une vente, le revenu placé au numérateur est, de la même façon, le revenu prospectif de l'acheteur à la date de la vente, reconstitué avec les mêmes conventions. La littérature anglo-saxonne appelle parfois \emph{trailing cap rate} le rapport fondé sur le revenu écoulé et \emph{forward cap rate} celui fondé sur le revenu prospectif ; dans un marché où les loyers croissent de trois à cinq pour cent par année, l'écart entre les deux atteint facilement quinze à vingt points de base, ce qui n'est pas négligeable lorsque la valeur varie de plus de cinq pour cent par quart de point de taux (\cref{sec:29:sensibilite}).
++
++\subsection{Place de la technique dans la méthode du revenu}
++
++Les normes professionnelles présentent la capitalisation directe et l'actualisation des flux comme deux techniques d'une même méthode, celle du revenu \parencite[IVS~103, sect.~60]{ivs2025}. Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent que le rapport expose le raisonnement et justifie le rejet d'une méthode traditionnelle \parencite[règle~2.3, éléments~8 et~10]{oeaqNormes} ; pour un immeuble locatif, l'évaluateur qui s'abstient de capitaliser le revenu doit s'en expliquer. \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} insistent sur le fait que la capitalisation directe est une technique de \emph{comparaison} déguisée : le taux est un prix relatif observé sur le marché, de la même nature qu'un prix au mètre carré, et sa fiabilité tient entièrement à la qualité des ventes dont il est tiré. \textcite{baumCrosbyDevaney2021} parlent, dans la tradition britannique, de \emph{all-risks yield} pour souligner que ce taux unique porte tous les risques et toutes les anticipations de croissance, par opposition aux méthodes explicites qui les détaillent. Cette lecture guide la suite du chapitre : extraire d'abord, construire ensuite pour vérifier, et toujours confronter.
++
++\section{Extraction du taux à partir des ventes}\label{sec:29:extraction}
++
++\subsection{Sélection des ventes}
++
++L'extraction consiste à calculer, pour chaque vente comparable $j$, le rapport $R_j = \NOI_{1,j}/P_j$ entre le revenu net prospectif reconstitué et le prix observé, puis à résumer la distribution de ces rapports. La sélection obéit aux mêmes principes que le choix des comparables en méthode de comparaison (chapitre~16) : même marché, même segment de taille, même catégorie d'investisseur, délai raisonnable. Pour un immeuble de douze logements à Montréal, le segment pertinent est celui des immeubles de six à trente logements achetés par des investisseurs privés ; les tours de cent logements relèvent d'un marché institutionnel dont les taux sont systématiquement plus bas, comme le montrent les fourchettes publiées par les courtiers (\cref{sec:29:marches}). Le délai de vingt-quatre mois retenu ici est long ; il est acceptable lorsque les taux ont été stables, mais il faut alors vérifier l'absence de tendance temporelle dans les taux extraits, faute de quoi un ajustement au temps s'impose.
++
++Les ventes retenues doivent ensuite être épurées des conditions qui faussent le prix : financement avantageux consenti par le vendeur, vente liée, succession, reprise, vente d'un portefeuille. Le prix $P_j$ est le prix épuré, conformément à la définition de la valeur marchande qui suppose un paiement comptant ou équivalent \parencite{oeaqNormes}. Enfin, et c'est le point le plus souvent négligé, le revenu $\NOI_{1,j}$ de chaque vente doit être \emph{reconstitué par l'évaluateur} selon ses propres conventions, et non repris tel quel de la fiche descriptive du courtier. Les revenus annoncés à la vente sont souvent des revenus bruts potentiels sans inoccupation, avec des dépenses incomplètes et sans réserve ; un taux calculé sur ce revenu est un taux « de courtier » qui surestime systématiquement le rendement et qui, appliqué à un revenu normalisé, sous-estime la valeur.
++
++\begin{synthetique}
++Les ventes et l'immeuble sujet de ce chapitre proviennent du dossier synthétique du cas~3 : \texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_comparables.csv} (quarante ventes d'immeubles de 6 à 30 logements, septembre 2024 à août 2026, cinq quartiers de l'île de Montréal), \texttt{cas3\_montreal\_etat\_locatif.csv} (douze baux), \texttt{cas3\_montreal\_depenses.csv} (trois exercices) et \texttt{cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json}. Ils sont générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} avec la graine~20261031. Les ordres de grandeur sont calibrés sur des publications publiques consignées dans \texttt{data/synthetic/calibration.json} : loyers moyens de la zone Rosemont et taux d'inoccupation de la RMR d'octobre 2025 \parencite{schlLocatif2025}, fourchette des taux de capitalisation du multirésidentiel de basse hauteur de classe~B à Montréal au troisième trimestre de 2026 \parencite{cbrecaprates2026q3}, taux hypothécaire assuré à taux fixe de cinq ans et plus d'août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026}, taxe foncière générale résidentielle 2026 de Montréal et taxe scolaire 2026-2027. Les relations entre variables (effet de l'état, de la taille, ancienneté des baux) sont des hypothèses pédagogiques déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md}. Aucun immeuble, aucune transaction et aucun locataire réels ne sont décrits.
++\end{synthetique}
++
++\subsection{Résumer la distribution : médiane, moyenne, moyenne pondérée}
++
++Une fois les taux $R_j$ calculés, trois résumés concurrents se présentent. La \emph{moyenne simple} $\bar R = n^{-1}\sum_j R_j$ est sensible aux valeurs extrêmes ; une seule vente mal épurée la déplace. La \emph{médiane} est robuste et c'est le résumé que l'ouvrage retient par défaut, dans l'esprit de la proportion médiane qu'utilise la fiscalité municipale (art.~264 LFM). La \emph{moyenne pondérée par le revenu}, $R_w = \sum_j \NOI_j / \sum_j P_j$, revient à traiter l'échantillon comme un seul grand immeuble ; elle accorde plus de poids aux grands immeubles, qui se vendent à des taux plus faibles, et elle est donc biaisée vers le bas lorsque le sujet est plus petit que la moyenne de l'échantillon. Le \cref{tab:29:extraction} donne ces trois résumés pour les quarante ventes du cas~3 ; la \cref{fig:29:taux-extraits} en montre la distribution.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Statistiques des taux globaux extraits de quarante ventes d'immeubles de 6 à 30 logements (cas~3, données synthétiques), revenu net après réserve de remplacement.}
++\label{tab:29:extraction}
++\centering
++\begin{tabular}{l S[table-format=1.3] l}
++\toprule
++{Statistique} & {Taux (\%)} & {Remarque} \\
++\midrule
++Nombre de ventes retenues & {40} & 6 à 30 logements, 2024-09 à 2026-08 \\
++Minimum & 3.720 & 22 logements, Plateau, état 3 \\
++Premier quartile & 4.153 & \\
++\textbf{Médiane} & \textbf{4.415} & résumé retenu par défaut \\
++Moyenne simple & 4.404 & \\
++Moyenne pondérée par le RNE & 4.332 & biaisée vers les grands immeubles \\
++Troisième quartile & 4.638 & \\
++Maximum & 5.470 & 9 logements, Hochelaga, état 4 \\
++Écart-type & 0.406 & coefficient de variation \pct{9.2} \\
++\midrule
++Régression : constante (état 3, 12 logements) & 4.567 & prévision pour le sujet \\
++Régression : effet de l'état (par point, 1 à 5) & -0.044 & état 4 = mieux noté, taux plus bas \\
++Régression : effet de la taille (par logement) & -0.023 & $R^2 = 0{,}16$ ; écart-type résiduel \pct{0.38} \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas3.taux\_extraits} via \texttt{analysis/python/cases/ch29\_capitalisation.py}, graine 20261031}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch29/ch29-fig-taux-extraits.pdf}
++\caption{Distribution des quarante taux globaux extraits du cas~3. La médiane (\pct{4.415}) et les quartiles résument un échantillon dont l'étendue dépasse 170 points de base ; la prévision de la régression pour un immeuble de douze logements en état moyen (\pct{4.57}) se situe au-dessus de la médiane, parce que l'échantillon contient beaucoup de grands immeubles vendus à des taux plus bas.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch29\_figures.py}, graine 20261031}}
++\end{figure}
++
++La médiane de \pct{4.415} et la moyenne de \pct{4.404} sont presque confondues, ce qui indique une distribution symétrique sans valeur aberrante ; la moyenne pondérée, à \pct{4.332}, est inférieure de huit points de base parce que les immeubles de vingt-sept à trente logements, nombreux dans l'échantillon, se sont vendus entre \pct{3.72} et \pct{4.74}. Pour un sujet de douze logements, cette moyenne pondérée n'est pas le bon résumé.
++
++\subsection{Corriger pour l'état et la taille : une régression simple}
++
++Lorsque l'échantillon est hétérogène, la médiane brute mélange des immeubles qui ne sont pas tous comparables au sujet. Une régression linéaire du taux sur les écarts d'attributs par rapport au sujet permet de lire directement le taux « ajusté » : avec $e_j$ l'état de l'immeuble $j$ sur une échelle de 1 à 5 et $n_j$ son nombre de logements,
++\begin{equation}\label{eq:29:regression}
++R_j = a + b_1 (e_j - 3) + b_2 (n_j - 12) + \varepsilon_j,
++\end{equation}
++où le centrage sur les attributs du sujet (état~3, douze logements) fait de la constante $a$ la prévision du taux pour le sujet. Sur les quarante ventes, l'estimation par moindres carrés donne $a = \pct{4.567}$, $b_1 = -\num{0.044}$~point par point d'état et $b_2 = -\num{0.023}$~point par logement (\cref{tab:29:extraction}). Les signes sont ceux qu'attend la théorie : un immeuble mieux entretenu et un immeuble plus grand se vendent à des taux plus bas, le premier parce que son risque d'entretien est moindre, le second parce qu'il attire des acheteurs mieux capitalisés et qu'il offre des économies de gestion. L'ampleur, en revanche, est modeste : passer de douze à trente logements abaisse le taux de quarante points de base, et le coefficient de détermination de \num{0.16} rappelle que l'essentiel de la dispersion des taux tient à des facteurs non observés (qualité des baux, négociation, moment de la vente). La \cref{fig:29:taux-etat-taille} montre le nuage et les trois droites.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch29/ch29-fig-taux-etat-taille.pdf}
++\caption{Taux extraits selon le nombre de logements, par niveau d'état (trois séries), avec les droites de la régression~\eqref{eq:29:regression}. La pente négative sur la taille et le décalage vers le bas des immeubles en meilleur état sont visibles, mais la dispersion autour des droites (écart-type résiduel de 38 points de base) l'emporte sur les effets systématiques ; l'étoile marque la prévision pour le sujet.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch29\_figures.py}, graine 20261031}}
++\end{figure}
++
++La régression n'est pas une fin en soi. Elle sert à poser une question précise : la médiane de l'échantillon convient-elle au sujet, ou faut-il la corriger ? Ici, la prévision de \pct{4.567} dépasse la médiane de quinze points de base ; la \cref{sec:29:exemple} discutera s'il faut suivre ce signal ou si d'autres caractéristiques du sujet, en particulier des loyers contractuels nettement inférieurs au marché, le compensent. Avec un écart-type résiduel de 38 points de base et quarante observations, l'erreur-type de la constante est d'environ six points de base ; l'écart entre la prévision et la médiane est donc statistiquement réel, mais petit devant l'incertitude de chaque vente prise isolément.
++
++\section{Construction du taux}\label{sec:29:construction}
++
++L'extraction fournit le taux du marché ; la construction fournit le taux \emph{qu'un investisseur devrait exiger} compte tenu de ses conditions de financement et de ses anticipations. Les deux doivent se recouper. Lorsqu'elles divergent, l'écart est lui-même une information : il dit que le marché anticipe une croissance ou accepte un rendement différent de ceux que l'évaluateur a supposés. Quatre constructions sont présentées, de la plus simple à la plus complète.
++
++\subsection{La bande d'investissement}\label{sec:29:bande}
++
++Un immeuble est financé par une hypothèque et par des fonds propres. Notons $M = \LTV$ la part de la valeur financée par dette, $f$ la \motcle{constante hypothécaire} (service annuel de la dette rapporté au capital emprunté) et $R_E$ le \emph{rendement courant des fonds propres} (\emph{equity dividend rate} ou \emph{cash-on-cash}), c'est-à-dire le flux de trésorerie avant impôt de la première année rapporté à la mise de fonds. Le revenu net doit couvrir le service de la dette et rémunérer les fonds propres :
++\begin{equation}\label{eq:29:bande-deriv}
++\NOI_1 = \underbrace{M V_0 f}_{\text{service de la dette}} + \underbrace{(1-M) V_0 R_E}_{\text{flux aux fonds propres}} .
++\end{equation}
++En divisant par $V_0$ on obtient la formule de la \motcle{bande d'investissement} (\emph{band of investment}) :
++\begin{equation}\label{eq:29:bande}
++R = M f + (1-M) R_E .
++\end{equation}
++Le taux global est une moyenne pondérée du coût courant de la dette et du rendement courant des fonds propres, les pondérations étant les parts respectives dans la valeur. La constante $f$ se calcule pour une hypothèque canadienne à taux nominal $i$ composé semestriellement, remboursée par $N$ versements mensuels, avec le taux périodique $i_m = (1 + i/2)^{1/6} - 1$ :
++\begin{equation}\label{eq:29:constante}
++f = 12\,\frac{i_m}{1 - (1+i_m)^{-N}} .
++\end{equation}
++Pour le taux assuré de \pct{4.12} et un amortissement de quarante ans ($N = 480$), $f = \pct{5.079}$ : chaque dollar emprunté coûte environ cinq cents par année en intérêts et en remboursement de capital. On remarque immédiatement que ce coût dépasse la médiane des taux extraits (\pct{4.415}). Lorsque $f > R$, le levier est \emph{négatif} au sens du rendement courant : chaque dollar emprunté coûte plus qu'il ne rapporte en première année, et le rendement courant des fonds propres est inférieur au taux global. La formule~\eqref{eq:29:bande} le quantifie en sens inverse : le rendement courant des fonds propres compatible avec le marché est $R_E = (R - Mf)/(1-M) = (\num{0.04415} - \num{0.75}\times\num{0.05079})/\num{0.25} = \pct{2.42}$. Un acheteur qui finance à 75~\% au taux assuré et paie le prix du marché encaisse donc, la première année, un rendement courant d'à peine deux et demi pour cent sur sa mise de fonds ; il n'accepte un tel rendement que parce qu'il compte sur la hausse des loyers et de la valeur, ce que la \cref{sec:29:ellwood} formalisera. Le \cref{tab:29:construction} donne aussi la lecture directe : si l'on impose un rendement courant de six pour cent, la bande d'investissement produit un taux de \pct{5.31}, bien au-dessus du marché.
++
++La bande d'investissement a deux limites qu'il faut connaître. Elle ignore le remboursement du capital, qui est une forme d'épargne pour l'investisseur et non un coût ; elle ignore la variation de valeur. Elle décrit donc le rendement \emph{courant}, non le rendement \emph{total}. C'est pourquoi elle sert surtout de vérification du côté des prêteurs, et c'est la formule suivante qui en découle directement.
++
++\subsection{La formule de couverture de la dette}
++
++Les prêteurs n'exigent pas seulement un ratio prêt-valeur ; ils exigent que le revenu net couvre le service de la dette avec une marge, le ratio de couverture de la dette $\DSCR = \NOI_1 / SD$. En écrivant le service de la dette $SD = M V_0 f$ et en imposant $\DSCR = \NOI_1/SD$, on obtient $\NOI_1 = \DSCR \cdot M V_0 f$, d'où
++\begin{equation}\label{eq:29:rcd}
++R = \DSCR \cdot M \cdot f .
++\end{equation}
++Cette formule donne le taux global \emph{minimal} qui permet à un acheteur d'obtenir le financement maximal autorisé par le prêteur ; c'est le taux du marché vu par le prêteur plutôt que par l'investisseur. Avec les paramètres du cas~3, soit un ratio de couverture minimal de \num{1.20}, un ratio prêt-valeur de 75~\% et $f = \pct{5.079}$, on trouve $R = \num{1.20}\times\num{0.75}\times\num{0.05079} = \pct{4.571}$. Ce taux est supérieur à la médiane extraite : si l'acheteur paie le prix du marché, le prêt plafonné par la couverture de la dette sera inférieur à 75~\% de la valeur. Le chapitre~31 le confirme : pour ce sujet, la contrainte de couverture l'emporte sur la contrainte de ratio prêt-valeur, et le prêt effectivement accessible représente environ 67~\% de la valeur. Les programmes d'assurance de la SCHL pour immeubles collectifs admettent des ratios de couverture plus faibles (jusqu'à \num{1.10} pour le locatif ordinaire dans APH~Select) et des amortissements plus longs \parencite{schlaphselect} ; en abaissant simultanément $\DSCR$ et $f$, ils abaissent le taux « du prêteur » et contribuent à expliquer pourquoi le multirésidentiel se négocie à des taux inférieurs au coût de la dette conventionnelle.
++
++\subsection{Le modèle de Gordon : $R = r - g$}\label{sec:29:gordon}
++
++Revenons à la somme actualisée~\eqref{eq:29:va} en supposant maintenant que le revenu croît à un taux constant $g$ : $\NOI_t = \NOI_1 (1+g)^{t-1}$. La somme devient
++\begin{equation}\label{eq:29:gordon-deriv}
++V_0 = \frac{\NOI_1}{1+r}\sum_{t=1}^{\infty}\left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{t-1} = \frac{\NOI_1}{1+r}\cdot\frac{1}{1 - \frac{1+g}{1+r}} = \frac{\NOI_1}{r - g}, \qquad r > g,
++\end{equation}
++ce qui est le modèle de croissance de \textcite{gordonShapiro1956} appliqué à l'immobilier. Le taux global est donc
++\begin{equation}\label{eq:29:gordon}
++R = r - g .
++\end{equation}
++La formule est d'une clarté remarquable : le taux de capitalisation est le rendement exigé \emph{moins} la croissance attendue du revenu net. Elle repose sur trois hypothèses fortes. La croissance est constante et perpétuelle ; il faut donc utiliser une croissance de long terme (celle des loyers nets d'un marché mature), et non le rattrapage temporaire d'un immeuble sous-loué. La valeur croît au même rythme que le revenu, puisque $V_t = \NOI_{t+1}/(r-g)$ ; c'est cohérent pour un immeuble sans dépréciation nette, mais l'usure réelle des bâtiments \parencite{bokhariGeltner2018} impose que $g$ soit une croissance \emph{nette de dépréciation}, c'est-à-dire inférieure à la croissance des loyers de marché. Enfin $r$ doit excéder $g$, sans quoi la somme diverge ; la bibliothèque \texttt{traite.finance} refuse d'ailleurs l'appel dans ce cas.
++
++Appliqué au cas~3 avec le taux d'actualisation de \pct{7.25} retenu pour les flux actualisés du chapitre~30, le modèle donne $R = \pct{7.25} - \pct{2.25} = \pct{5.00}$ si la croissance de long terme est fixée à \pct{2.25}, ce qui est précisément le taux terminal du dossier ; il donne \pct{4.15} si l'on retient le taux de base de \pct{3.1} publié par le Tribunal administratif du logement pour 2026 \parencite{talIndices2026}, ce qui montre à quel point le résultat dépend de $g$. Lu à l'envers, le modèle transforme le taux de marché en croissance implicite : $g = r - R = \pct{7.25} - \pct{4.415} = \pct{2.835}$. Si le marché exige \pct{7.25} et paie \pct{4.415}, il anticipe une croissance perpétuelle du revenu net d'environ \pct{2.8} par année, soit une valeur plausible entre l'inflation visée et la hausse récente des loyers. C'est l'usage le plus fécond de Gordon en évaluation : non pas produire un taux, mais interpréter celui qu'on observe \parencite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014,plazziTorousValkanov2010}.
++
++\subsection{Ellwood et Akerson : la méthode hypothèque–fonds propres}\label{sec:29:ellwood}
++
++\textcite{ellwood1970} a généralisé la bande d'investissement en tenant compte de ce qu'elle oublie : le remboursement du capital pendant la détention et la variation de valeur à la revente. Le raisonnement part du rendement des fonds propres $Y_E$ sur un horizon de $n$ années. L'investisseur apporte $(1-M)V_0$, reçoit chaque année $\NOI - M V_0 f$ (supposé constant), puis touche à la revente le prix $V_0(1+\Delta)$ diminué du solde de l'hypothèque $M V_0 (1-P)$, où $\Delta$ est la variation relative de la valeur et $P$ la fraction du capital remboursée en $n$ années. La condition de rendement s'écrit
++\begin{equation}\label{eq:29:ellwood-cond}
++(1-M)V_0 = \left(\NOI - M V_0 f\right) a_{\overline{n}|Y_E} + \frac{V_0(1+\Delta) - M V_0(1-P)}{(1+Y_E)^n},
++\end{equation}
++où $a_{\overline{n}|Y_E} = \left[1 - (1+Y_E)^{-n}\right]/Y_E$ est le facteur d'annuité. Divisons par $V_0$, posons $R = \NOI/V_0$ et isolons $R$ :
++\begin{equation}\label{eq:29:ellwood-step}
++R = M f + \frac{1}{a_{\overline{n}|Y_E}}\left[(1-M) - \frac{(1+\Delta) - M(1-P)}{(1+Y_E)^n}\right].
++\end{equation}
++Deux identités des mathématiques financières permettent de simplifier : $1/a_{\overline{n}|Y} = Y + \mathit{SFF}$ et $(1+Y)^{-n}/a_{\overline{n}|Y} = \mathit{SFF}$, où $\mathit{SFF} = Y/\left[(1+Y)^n - 1\right]$ est le \motcle{facteur de fonds d'amortissement} (\emph{sinking fund factor}), c'est-à-dire le versement annuel qui accumule un dollar en $n$ années au taux $Y$. En les substituant dans~\eqref{eq:29:ellwood-step}, il vient
++\begin{align}
++R &= M f + (1-M)(Y_E + \mathit{SFF}) - (1+\Delta)\mathit{SFF} + M(1-P)\mathit{SFF} \nonumber\\
++  &= M f + (1-M) Y_E - M P\,\mathit{SFF} - \Delta\,\mathit{SFF}. \label{eq:29:akerson}
++\end{align}
++C'est la formulation dite d'Akerson, que \textcite{appraisal2026} présentent comme la version « sans algèbre » de la méthode : le taux global est la bande d'investissement calculée avec le \emph{rendement total} des fonds propres $Y_E$ plutôt qu'avec le rendement courant, diminuée du crédit pour le capital remboursé ($M P\,\mathit{SFF}$) et du crédit pour l'appréciation ($\Delta\,\mathit{SFF}$). La formulation originale d'Ellwood regroupe les termes autrement :
++\begin{equation}\label{eq:29:ellwood}
++R = Y_E - M\left(Y_E + P\,\mathit{SFF} - f\right) - \Delta\,\mathit{SFF},
++\end{equation}
++où le terme entre parenthèses est le \emph{coefficient hypothécaire} d'Ellwood. Le lecteur vérifiera en développant~\eqref{eq:29:ellwood} que $Y_E - M Y_E - M P\,\mathit{SFF} + M f - \Delta\,\mathit{SFF}$ coïncide terme à terme avec~\eqref{eq:29:akerson}.
++
++\begin{proposition}{Équivalence d'Ellwood et d'Akerson ; cas limites}{ellwood-akerson}
++Pour tout $M \in [0,1]$, $f$, $P$, $\Delta$, $n \geq 1$ et $Y_E > 0$, les expressions~\eqref{eq:29:akerson} et~\eqref{eq:29:ellwood} sont identiques. De plus : (i) sans dette ($M = 0$), $R = Y_E - \Delta\,\mathit{SFF}$ ; (ii) sans dette ni variation de valeur, $R = Y_E$, ce qui redonne la perpétuité~\eqref{eq:29:perpetuite} ; (iii) avec un prêt à intérêt seulement ($P = 0$) et sans variation de valeur, $R = M f + (1-M) Y_E$, ce qui redonne la bande d'investissement~\eqref{eq:29:bande} avec $R_E = Y_E$.
++\end{proposition}
++\begin{proof}
++L'identité résulte du développement de~\eqref{eq:29:ellwood} : $Y_E - M Y_E - M P\,\mathit{SFF} + M f - \Delta\,\mathit{SFF} = M f + (1-M)Y_E - M P\,\mathit{SFF} - \Delta\,\mathit{SFF}$. Les cas limites s'obtiennent en substituant $M = 0$, puis $\Delta = 0$, puis $P = 0$ et $\Delta = 0$ dans~\eqref{eq:29:akerson}. Dans le cas (ii), le revenu constant est perçu à perpétuité par un propriétaire sans dette dont la valeur ne change pas : la valeur est bien $\NOI/Y_E$.
++\end{proof}
++
++Le cas sans dette mérite un commentaire, car il relie Ellwood à Gordon. Sans dette, Ellwood donne $R = Y_E - \Delta\,\mathit{SFF}$ avec un revenu \emph{constant} et une plus-value $\Delta$ réalisée \emph{à la fin} de l'horizon ; Gordon donne $R = r - g$ avec un revenu qui \emph{croît chaque année} et une valeur qui croît au même rythme à perpétuité. Si l'on choisit $\Delta = (1+g)^n - 1$ pour que la valeur finale soit la même, les deux taux ne coïncident pas exactement, parce que le revenu intermédiaire n'est pas le même : Ellwood capitalise un revenu stable alors que Gordon capitalise le premier terme d'un revenu croissant. Avec $Y_E = r = \pct{7.25}$, $g = \pct{2.25}$ et $n = 10$, on obtient $\Delta = \pct{24.92}$, $\mathit{SFF} = \num{0.0715}$ et donc $R_{\text{Ellwood}} = \pct{7.25} - \num{0.2492}\times\num{0.0715} = \pct{5.47}$ contre $R_{\text{Gordon}} = \pct{5.00}$. L'écart de 47 points de base est le prix de l'hypothèse de revenu constant ; Ellwood a d'ailleurs proposé un facteur de correction (le facteur~$J$) pour un revenu qui varie linéairement, que l'ouvrage n'utilise pas puisque les flux actualisés du chapitre~30 traitent explicitement la trajectoire du revenu.
++
++Le \cref{tab:29:construction} rassemble les quatre constructions appliquées au cas~3, et la \cref{fig:29:bande} en décompose les composantes. Avec les paramètres du dossier ($Y_E = \pct{7.25}$, $M = 75~\%$, $f = \pct{5.079}$, $P = \pct{12.25}$ du capital remboursé en dix ans, $\Delta = \pct{24.92}$), la formule d'Ellwood donne $R = \pct{3.18}$, un taux très inférieur au marché, qui conduirait à une valeur de \dollars{2826982}. Ce résultat n'est pas une anomalie : il dit qu'un investisseur qui se contenterait d'un rendement total de \pct{7.25} sur ses fonds propres, en empruntant 75~\% à \pct{4.12} et en comptant sur une appréciation de 25~\% en dix ans, pourrait payer beaucoup plus que le marché. Autrement dit, le marché n'achète pas sur ces hypothèses. Deux lectures inverses sont instructives. Si l'on fixe $Y_E = \pct{7.25}$, l'appréciation implicite qui ramène le taux à la médiane de marché n'est que de \pct{7.68} en dix ans, soit moins d'un pour cent par année ; si l'on fixe plutôt $\Delta = \pct{24.92}$, le rendement total implicite des fonds propres est de \pct{10.70}. Le marché des petits immeubles locatifs montréalais au troisième trimestre de 2026 se comporte donc soit comme s'il exigeait un rendement sur fonds propres voisin de dix à onze pour cent, soit comme s'il n'attendait qu'une faible appréciation ; les deux lectures sont compatibles avec un contexte où le coût de la dette excède le taux de capitalisation.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Quatre constructions du taux global appliquées au cas~3 et comparées à la médiane extraite (\pct{4.415}) ; paramètres du dossier synthétique (financement assuré à \pct{4.12} sur 40 ans, $M = 75~\%$, $\DSCR = 1{,}20$, $Y_E = r = \pct{7.25}$, horizon 10 ans).}
++\label{tab:29:construction}
++\centering
++\small
++\begin{tabular}{l l S[table-format=1.3] S[table-format=7.0]}
++\toprule
++{Construction} & {Paramètres} & {$R$ (\%)} & {$V = \NOI_1/R$ (\$)} \\
++\midrule
++Médiane extraite (référence) & 40 ventes & 4.415 & 2037503 \\
++\midrule
++Bande d'investissement & $f = 5{,}079~\%$ ; $R_E$ impliqué $= 2{,}42~\%$ & 4.415 & 2037503 \\
++Bande d'investissement & $R_E = 6~\%$ (hypothèse illustrative) & 5.309 & 1694335 \\
++Couverture de la dette & $\DSCR = 1{,}20$ ; $M = 0{,}75$ ; $f = 5{,}079~\%$ & 4.571 & 1967946 \\
++Gordon & $r = 7{,}25~\%$ ; $g = 2{,}25~\%$ (taux terminal du cas) & 5.000 & 1799115 \\
++Gordon & $r = 7{,}25~\%$ ; $g = 3{,}10~\%$ (taux de base TAL 2026) & 4.150 & 2167608 \\
++Ellwood sans dette & $Y_E = 7{,}25~\%$ ; $\Delta = 24{,}92~\%$ ; $n = 10$ & 5.468 & 1645178 \\
++Ellwood = Akerson & $M = 0{,}75$ ; $P = 12{,}25~\%$ ; $\Delta = 24{,}92~\%$ & 3.182 & 2826982 \\
++Ellwood = Akerson & idem, $\Delta = 0$ & 4.965 & 1811949 \\
++Akerson, $\Delta$ implicite & $\Delta = 7{,}68~\%$ ramène $R$ au marché & 4.415 & 2037503 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch29\_capitalisation.py} (fonctions \texttt{traite.finance.taux\_bande\_investissement}, \texttt{taux\_par\_rcd}, \texttt{taux\_gordon}, \texttt{taux\_ellwood}, \texttt{taux\_akerson}), graine 20261031}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch29/ch29-fig-bande-investissement.pdf}
++\caption{Décomposition du taux global selon la construction. La part de la dette $M f$ (\pct{3.81}) est identique dans toutes les constructions ; ce sont la rémunération des fonds propres et les crédits pour remboursement du capital et pour appréciation (hachurés, soustraits) qui distinguent les méthodes. Avec l'appréciation du dossier (\pct{24.9} en dix ans), Ellwood tombe à \pct{3.18} ; seule une appréciation implicite de \pct{7.7} ramène le taux à la médiane de marché.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch29\_figures.py}, paramètres du cas~3, graine 20261031}}
++\end{figure}
++
++\section{Cohérence entre le revenu et le taux}\label{sec:29:coherence}
++
++Un taux de capitalisation n'a de sens qu'associé à une définition précise du revenu. Quatre postes concentrent les risques d'incohérence : la réserve de remplacement, les dépenses en capital, la gestion et les taxes foncières.
++
++\subsection{Réserves et dépenses en capital}
++
++La convention de l'ouvrage, fixée à l'annexe des conventions de calcul et appliquée au chapitre~28, est d'\emph{inclure} une réserve de remplacement dans le calcul du revenu net utilisé en capitalisation directe et de traiter les dépenses en capital ponctuelles (CAPEX) explicitement dans les flux actualisés, sans réserve en double. La raison est la perpétuité implicite de~\eqref{eq:29:perpetuite} : un revenu perpétuel suppose un immeuble perpétuellement entretenu, ce que la réserve représente. Pour le cas~3, la réserve est de \dollars{8103} par année, soit environ \dollars{675} par logement ; le barème indicatif de la SCHL pour le Québec, daté d'avril 2015, ne prévoyait qu'une centaine de dollars par logement pour les électroménagers et il n'existe pas de norme publique récente \parencite{schlfraisexploitation2015}, de sorte que le niveau retenu est une convention du dossier, déclarée comme telle.
++
++L'essentiel n'est pas le niveau mais la \emph{symétrie}. Si les taux ont été extraits de ventes dont le revenu net a été reconstitué \emph{après} réserve, ils s'appliquent à un revenu après réserve ; s'ils ont été extraits avant réserve, ils s'appliquent à un revenu avant réserve. Mélanger les deux est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse. Pour le cas~3, le taux de \pct{4.415} est un taux après réserve. Le taux avant réserve équivalent, pour la même valeur, serait $(\NOI_1 + RR)/V_0 = (\dollars{89956} + \dollars{8103})/\dollars{2037503} = \pct{4.81}$. Un évaluateur qui extrairait des taux avant réserve des comparables (parce que les fiches de vente ignorent la réserve), soit environ \pct{4.81}, puis les appliquerait au revenu après réserve du sujet obtiendrait \dollars{89956}/\num{0.0481} = \dollars{1869136}, une valeur inférieure de huit pour cent à la valeur cohérente. L'erreur est de l'ordre du rapport entre la réserve et le revenu net, ici neuf pour cent ; elle est systématique et toujours dans le même sens.
++
++\subsection{Gestion imputée}
++
++La gestion est un coût même lorsque le propriétaire gère lui-même, parce que l'acheteur type du marché devra soit la payer, soit y consacrer son temps. La convention du dossier impute une gestion de quatre pour cent du revenu brut effectif, soit \dollars{6738} ; le barème SCHL de 2015 suggérait cinq pour cent du revenu brut pour les immeubles de douze logements et plus \parencite{schlfraisexploitation2015}, et le formulaire de fixation de loyer du Tribunal administratif du logement admet des frais de gestion forfaitaires de cinq pour cent des revenus, plafonnés à dix pour cent. La fourchette est donc de quatre à cinq pour cent pour un immeuble de cette taille. Là encore, la cohérence prime : si la gestion a été imputée aux comparables lors de l'extraction, elle doit l'être au sujet. Omettre la gestion du sujet tout en l'ayant imputée aux comparables gonfle la valeur d'environ $\dollars{6738}/\num{0.04415} \approx \dollars{152600}$, soit sept et demi pour cent.
++
++\subsection{Taxes foncières : valeur au rôle et effet de la vente}
++
++Les taxes foncières sont la dépense fixe la plus importante du cas~3 (\dollars{10188} de taxe municipale générale et \dollars{1738} de taxe scolaire, calculées sur la valeur au rôle de \dollars{2200000}). Leur normalisation pose une question propre au Québec : faut-il les calculer sur la valeur au rôle en vigueur, ou sur la valeur que l'évaluateur est en train d'estimer ? L'encadré qui suit répond ; retenons ici l'ordre de grandeur. Si la valeur indiquée est de \dollars{2037503} alors que le rôle inscrit \dollars{2200000}, les taxes calculées sur la valeur indiquée seraient inférieures de \dollars{881} ; capitalisées à \pct{4.415}, elles représenteraient \dollars{19952}, soit un pour cent de la valeur. L'effet est modeste dans ce cas parce que l'écart entre la valeur et le rôle est faible (le rapport est de \num{0.93}) ; il devient important lorsque le rôle est très en retard sur le marché ou, inversement, lorsqu'un rôle récent dépasse les prix.
++
++\begin{quebec}[Au Québec : rôle triennal et « taxe de bienvenue »]
++Au Québec, les taxes foncières d'un immeuble locatif se calculent sur la valeur inscrite au rôle d'évaluation, laquelle reflète l'état et les conditions du marché au 1\textsuperscript{er} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur du rôle (art.~46 al.~1 LFM, \cite{lfm}). Le rôle est triennal : pour Montréal, le rôle 2026-2027-2028 a pour date de référence le 1\textsuperscript{er} juillet 2024 et a fait croître les valeurs des immeubles de six logements et plus de \pct{10.9} en moyenne \parencite{montrealrole2026}. Une vente ne modifie pas, en elle-même, la valeur inscrite : contrairement à certaines juridictions nord-américaines où la vente déclenche une réévaluation au prix payé, la valeur au rôle n'est revue qu'au dépôt du rôle suivant ou lors d'un événement prévu par la loi (travaux, changement d'usage ; art.~174 LFM). L'évaluateur normalise donc les taxes sur la valeur au rôle en vigueur multipliée par les taux de l'exercice, en tenant compte, dans les flux actualisés, de la révision attendue au prochain rôle. Pour le cas~3, la taxe foncière générale résidentielle 2026 de Montréal est de \num{0.4631}~\$ par 100~\$ d'évaluation \parencite{ledevoirmtl2026,montrealtaux2026} et la taxe scolaire 2026-2027 de \num{0.07899}~\$ par 100~\$ \parencite{taxescolaire2026} ; la taxe d'arrondissement et le taux propre aux immeubles de six logements et plus n'ont pu être vérifiés dans un document officiel lisible et ne sont pas modélisés.
++
++Les \emph{droits sur les mutations immobilières}, familièrement appelés « taxe de bienvenue », ne sont pas une dépense d'exploitation et ne doivent jamais être déduits du revenu net : ce sont des frais d'acquisition payés une fois par l'acquéreur. Leur base est la plus élevée de la contrepartie fournie, de la contrepartie stipulée et de la valeur marchande, cette dernière étant la valeur au rôle multipliée par le facteur comparatif (art.~1.1 LDMI, \cite{ldmi}). Les tranches provinciales 2026 sont de \pct{0.5} jusqu'à \dollars{62900}, \pct{1} jusqu'à \dollars{315000} et \pct{1.5} au-delà \parencite{quebecMutations} ; Montréal applique un barème progressif propre qui atteint \pct{2} entre \dollars{552300} et \dollars{1104700}, \pct{2.5} jusqu'à \dollars{2136500} et jusqu'à \pct{4} au-delà de \dollars{3113000}, avec un facteur comparatif de \num{1.00} en 2026 \parencite{mtlmutations2026}. Pour le cas~3, la base serait la valeur au rôle de \dollars{2200000}, supérieure au prix indiqué de \dollars{2037503} : les droits s'élèveraient à \dollars{45460}, soit \pct{2.2} du prix, contre \dollars{40763} s'ils étaient calculés sur le prix. L'acheteur en tient compte dans son prix ; l'évaluateur en tient compte dans les flux actualisés comme coût d'acquisition (chapitre~30), mais jamais dans le revenu net capitalisé.
++\end{quebec}
++
++\section{Multiplicateurs du revenu}\label{sec:29:multiplicateurs}
++
++Avant la capitalisation du revenu net, les praticiens utilisent souvent le \motcle{multiplicateur du revenu brut} (MRB, \emph{gross income multiplier}), rapport entre le prix et le revenu brut potentiel ou effectif, et le multiplicateur du revenu net (MRN), rapport entre le prix et le revenu net. Le MRN est l'inverse exact du taux global : $\mathit{MRN} = P/\NOI = 1/R$, et la médiane de \pct{4.415} correspond à un multiplicateur de \num{22.65} fois le revenu net. Le MRB est lié au taux par le ratio de dépenses $d$ (dépenses totales rapportées au revenu brut effectif) et par le taux de vacance $v$ : comme $\NOI = RBP(1-v)(1-d)$ en l'absence d'autres revenus,
++\begin{equation}\label{eq:29:mrb}
++R = \frac{\NOI}{P} = \frac{(1-v)(1-d)}{\mathit{MRB}}, \qquad \mathit{MRB} = \frac{P}{RBP}.
++\end{equation}
++Deux immeubles ne peuvent donc avoir le même MRB \emph{et} le même taux que s'ils ont le même ratio de dépenses et la même vacance. C'est la limite fondamentale du multiplicateur brut : il ignore la structure des charges. Un immeuble dont le propriétaire paie le chauffage, ou dont les taxes sont élevées, mérite un MRB plus faible à taux égal.
++
++Les quarante ventes du cas~3 ont un MRB médian de \num{13.54} (moyenne \num{13.37}, de \num{9.68} à \num{17.22}), avec un coefficient de variation de \pct{12.8}, supérieur à celui des taux extraits (\pct{9.2}) : le multiplicateur brut est plus dispersé que le taux parce qu'il incorpore la variabilité des ratios de dépenses. Appliqué au revenu brut potentiel contractuel du sujet (\dollars{165540}), il indique \dollars{2241412} ; appliqué au revenu brut de marché (\dollars{186036}), \dollars{2518927}. La première indication excède de dix pour cent la valeur par capitalisation du revenu net, et la raison est instructive : le ratio de dépenses du sujet (\pct{46.6} du revenu brut effectif, en incluant gestion et réserve) est nettement supérieur au ratio médian des comparables (\pct{39.9}). Le MRB médian « transporte » vers le sujet la structure de charges des comparables, plus légère que la sienne, et surestime donc sa valeur. Lu autrement, le MRB implicite de la valeur capitalisée est de \num{12.31}, inférieur à la médiane du marché, ce qui est cohérent avec un immeuble plus coûteux à exploiter. Le multiplicateur brut reste utile pour les très petits immeubles (chapitre~32), où les dépenses sont mal documentées et où les acheteurs raisonnent effectivement en multiples de loyers, et comme indicateur de vraisemblance ; il ne remplace pas la capitalisation du revenu net dès que les dépenses sont connues \parencite{fisherMartin2007,appraisalCdn}.
++
++\section{Les taux observés par marché}\label{sec:29:marches}
++
++\subsection{Publications d'industrie}
++
++Les courtiers en immobilier commercial publient chaque trimestre des fourchettes de taux de capitalisation par ville et par catégorie, fondées sur les transactions dont ils ont connaissance et sur leur jugement. Ces fourchettes sont des opinions d'industrie, non des statistiques officielles, et elles portent sur des immeubles d'une taille généralement supérieure à celle des petits plex ; elles n'en sont pas moins la seule référence publique régulière. Au troisième trimestre de 2026, CBRE situait le multirésidentiel montréalais entre \pct{4.25} et \pct{4.75} selon la hauteur et la classe (tours de classe~A : \pct{4.50} à \pct{4.75} ; tours de classe~B et basse hauteur de classe~B : \pct{4.25} à \pct{4.75} ; basse hauteur de classe~A et construction neuve : \pct{4.50} à \pct{4.75}), et le multirésidentiel de la ville de Québec entre \pct{4.25} et \pct{6.00} (tours~A : \pct{4.25} à \pct{5.00} ; tours~B : \pct{4.75} à \pct{5.75} ; basse hauteur~A : \pct{4.50} à \pct{5.25} ; basse hauteur~B : \pct{5.00} à \pct{6.00} ; neuf : \pct{4.25} à \pct{4.75}) \parencite{cbrecaprates2026q3}. Les moyennes nationales du même rapport s'établissaient à \pct{4.60} pour les tours de classe~A, \pct{4.86} pour les tours de classe~B, \pct{4.73} et \pct{4.99} pour la basse hauteur de classes~A et~B, et \pct{4.68} pour la construction neuve ; toutes catégories de propriétés confondues (bureaux, industriel, commerce de détail, multirésidentiel), la moyenne nationale était de \pct{6.56}. Aucune fourchette n'est publiée par CBRE pour Gatineau, Sherbrooke, Trois-Rivières ou Saguenay ; pour ces marchés, l'évaluateur n'a d'autre ressource que l'extraction locale, et l'ouvrage s'interdit d'avancer un chiffre.
++
++La médiane de \pct{4.415} extraite de l'échantillon synthétique du cas~3 tombe dans la fourchette montréalaise de basse hauteur de classe~B sur laquelle le jeu a été calibré ; cette concordance est construite et ne constitue pas une validation. Dans un dossier réel, la comparaison entre le taux extrait des ventes locales et la fourchette publiée est une vérification de vraisemblance, pas un substitut à l'extraction : les petits immeubles de quartier se vendent souvent à des taux plus élevés que les immeubles institutionnels couverts par les courtiers, et parfois plus bas lorsque des acheteurs occupants ou de petits investisseurs paient pour autre chose que le revenu.
++
++\subsection{Taux sans risque et primes}
++
++Un taux de capitalisation se décompose conceptuellement en un taux sans risque, une prime de risque et une correction pour la croissance attendue : en combinant Gordon, $R = r_f + \pi - g$, où $r_f$ est le rendement d'une obligation d'État et $\pi$ la prime exigée pour détenir de l'immobilier. Le rendement de l'obligation du gouvernement du Canada à dix ans, référence habituelle, était de \pct{3.84} le 29 octobre 2026, celui de l'obligation à cinq ans de \pct{3.58}, et le taux directeur venait d'être relevé à \pct{2.50} le 28 octobre \parencite{bdcvalet,bdc20261028}. Le taux hypothécaire conventionnel de cinq ans affiché par les banques était de \pct{6.19}, tandis que les fonds effectivement avancés en août 2026 l'étaient à \pct{4.12} pour les prêts assurés à taux fixe de cinq ans et plus et à \pct{4.58} pour les prêts non assurés \parencite{bdctauxhypothecaires2026}. La \cref{fig:29:gdc} replace ces niveaux dans un quart de siècle d'histoire.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch29/ch29-fig-taux-gdc.pdf}
++\caption{Rendements des obligations de référence du gouvernement du Canada à cinq et dix ans et taux hypothécaire conventionnel de cinq ans affiché par les banques à charte, moyennes mensuelles de janvier 2001 à octobre 2026. Après le creux de 2020, la remontée des taux sans risque a rétréci l'écart entre taux de capitalisation et rendement obligataire ; le taux affiché surestime le coût réel de la dette, que les taux des fonds avancés mesurent mieux.}
++\figsource{Banque du Canada, API Valet, séries BD.CDN.5YR.DQ.YLD, BD.CDN.10YR.DQ.YLD et V80691335, extraites le 31 octobre 2026 \parencite{bdcvalet} ; moyennes mensuelles calculées par l'auteur (script \texttt{analysis/python/figures/ch29\_figures.py}).}
++\end{figure}
++
++L'écart entre le taux de capitalisation et le rendement obligataire est la mesure la plus suivie du marché. CBRE évaluait à 256 points de base l'écart entre sa moyenne nationale toutes propriétés et l'obligation à dix ans au troisième trimestre de 2026 \parencite{cbrecaprates2026q3} ; calculé avec le rendement du 29 octobre, l'écart serait un peu plus large, la différence tenant à la date de référence du rendement. Pour le multirésidentiel montréalais, la fourchette de \pct{4.25} à \pct{4.75} ne dépasse l'obligation à dix ans que de quarante à quatre-vingt-dix points de base, et elle est \emph{inférieure} au coût des fonds avancés non assurés. Une prime aussi mince ne se comprend qu'en tenant compte du terme $-g$ : les acheteurs anticipent une croissance des revenus nets qui compense le faible rendement courant, et l'assurance hypothécaire de la SCHL abaisse le coût de la dette au point de rendre le levier moins pénalisant qu'il n'y paraît. Sur la période 2001-2026, le rendement moyen de l'obligation à dix ans a été d'environ \pct{3.0}, avec un creux de \pct{0.43} en août 2020 ; les taux de capitalisation n'ont ni suivi la baisse ni la remontée point pour point, ce que la recherche empirique attribue à la persistance des taux, aux anticipations de croissance et au rôle de la disponibilité du crédit.
++
++La littérature est abondante sur les déterminants des taux. \textcite{sivitanidouSivitanides1999} et \textcite{sivitanidesTortoWheaton2003} montrent que les taux de capitalisation répondent aux conditions du marché local des espaces (vacance, croissance des loyers) autant qu'aux conditions des marchés de capitaux, avec une inertie marquée. \textcite{chervachidzeWheaton2013} expliquent la compression des taux de 2000 à 2007 et leur brusque remontée en 2008-2009 par la croissance du crédit et l'aversion au risque, au-delà des taux d'intérêt. \textcite{ducaLing2020} documentent le rôle des primes de risque et de l'arbitrage réglementaire du capital dans le cycle commercial américain. \textcite{hendershottMacgregor2005} confirment, sur données britanniques, que les investisseurs intègrent rationnellement les anticipations de croissance des loyers dans les taux. \textcite{plazziTorousValkanov2010} établissent enfin que le taux de capitalisation prédit à la fois les rendements futurs et la croissance future des loyers, exactement comme le ratio dividende-prix en finance d'entreprise. Pour l'évaluateur, la leçon commune est que le taux d'un marché n'est ni le taux d'intérêt plus une constante, ni un chiffre figé : c'est un prix qui se déplace lentement et qui résume des anticipations que la section précédente a appris à lire.
++
++\section{Exemple intégral : l'immeuble de douze logements de Rosemont}\label{sec:29:exemple}
++
++\begin{exemple}{Capitalisation directe du cas~3}{cas3}
++L'immeuble sujet est un bâtiment fictif de douze logements (quatre 3½, six 4½, deux 5½) construit en 1962 dans Rosemont–La Petite-Patrie, à Montréal, en état moyen (3 sur 5), avec six stationnements, évalué au 1\textsuperscript{er} septembre 2026 ; sa valeur au rôle 2026-2028 est de \dollars{2200000}. Tous les baux viennent à échéance le 30 juin 2027. Les chapitres~27 et~28 ont établi les revenus et les dépenses normalisées ; le \cref{tab:29:rne} les récapitule. Chaque chiffre de l'exemple provient du script \texttt{analysis/python/cases/ch29\_capitalisation.py}, qui appelle les fonctions partagées \texttt{traite.cas3.rne} et \texttt{traite.cas3.taux\_extraits}.
++\end{exemple}
++
++\subsection{Du revenu brut potentiel au revenu net normalisé}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Cas~3 : du revenu brut potentiel au revenu net d'exploitation normalisé de la première année (dollars courants, exercice du 1\textsuperscript{er} septembre 2026 au 31 août 2027).}
++\label{tab:29:rne}
++\centering
++\small
++\begin{tabular}{l S[table-format=6.2] l}
++\toprule
++{Poste} & {Montant (\$)} & {Base de normalisation} \\
++\midrule
++Revenu brut potentiel, loyers contractuels (RBP) & 165540.00 & douze baux en vigueur, $\times 12$ \\
++\quad\emph{pour mémoire : RBP aux loyers de marché} & {\emph{186 036,00}} & loyers SCHL zone Rosemont, oct. 2025 \\
++Inoccupation et mauvaises créances (\pct{3.9} du RBP) & -6456.06 & hypothèse du dossier (RMR : \pct{2.9} en oct. 2025) \\
++Autres revenus (stationnement, buanderie) & 9360.00 & six places et services \\
++\textbf{Revenu brut effectif (RBE)} & \textbf{168443.94} & \\
++\midrule
++Taxes municipales (\num{0.4631}~\$/100~\$ du rôle) & -10188.20 & rôle \dollars{2200000} \\
++Taxe scolaire (\num{0.07899}~\$/100~\$) & -1737.78 & rôle \dollars{2200000} \\
++Assurances & -11391.80 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Électricité des aires communes & -4387.80 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Chauffage des aires communes (gaz) & -2978.76 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Entretien et réparations & -11745.09 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Conciergerie & -10139.32 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Déneigement et aménagement paysager & -6886.58 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Frais juridiques et comptables & -2833.53 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Publicité et location & -1358.57 & 2025 $\times$ \num{1.03} \\
++Gestion imputée (\pct{4} du RBE) & -6737.76 & convention de l'ouvrage \\
++\emph{Sous-total des dépenses d'exploitation} & {\emph{$-$70 385,19}} & \pct{41.8} du RBE \\
++Réserve de remplacement (\dollars{675} par logement) & -8103.00 & convention du dossier, non indexée \\
++\textbf{Dépenses totales} & \textbf{-78488.19} & \pct{46.6} du RBE \\
++\midrule
++\textbf{Revenu net d'exploitation normalisé ($\NOI_1$)} & \textbf{89955.75} & \dollars{7496} par logement \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas3.rne} ; état locatif et dépenses 2023-2025 du dossier cas~3, graine 20261031 ; taux de taxes : \cite{ledevoirmtl2026,taxescolaire2026}}}
++\end{table}
++
++Trois observations préparent le choix du taux. D'abord, les loyers contractuels sont inférieurs de \dollars{20496} au niveau de marché, soit onze pour cent : plusieurs locataires sont en place depuis 2008 à 2018 et leurs loyers n'ont suivi que les hausses permises. Le revenu capitalisé est celui des baux en vigueur, conformément au principe que l'acheteur acquiert le droit du locateur grevé des baux (chapitre~2) ; l'écart constitue un potentiel que le marché valorise, mais pas en capitalisant un revenu que personne ne touche encore. Ensuite, le taux d'inoccupation et de pertes de \pct{3.9} dépasse l'inoccupation de \pct{2.9} mesurée par la SCHL dans la RMR en octobre 2025 \parencite{schlLocatif2025} ; il incorpore les mauvaises créances et l'anticipation d'un assouplissement du marché locatif, la SCHL prévoyant \pct{3.8} pour 2026 \parencite{schlpmh2026ete}. Enfin, le ratio de dépenses de \pct{46.6} est élevé pour un immeuble de cette taille ; il s'explique par la conciergerie, par des assurances lourdes et par la réserve, et il devra être cohérent avec celui des comparables.
++
++\subsection{Extraction du taux}
++
++Les quarante ventes de l'échantillon ont été analysées à la \cref{sec:29:extraction} : médiane \pct{4.415}, quartiles \pct{4.15} et \pct{4.64}, prévision de la régression pour un immeuble de douze logements en état~3 de \pct{4.57}. Le \cref{tab:29:proches} isole les dix ventes les plus proches du sujet selon une distance pédagogique qui combine l'écart de taille, l'écart d'état, l'écart d'âge, le quartier et l'ancienneté de la vente. Leur médiane est de \pct{4.52} ; leurs taux s'étalent de \pct{3.93} (huit logements sur le Plateau) à \pct{5.04} (quatorze logements dans Hochelaga), ce qui rappelle que même des immeubles très semblables se vendent à des taux qui diffèrent de cent points de base.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Les dix ventes les plus proches du sujet (taille, état, âge, quartier, date), avec le revenu net reconstitué après réserve, le prix épuré et le taux global extrait.}
++\label{tab:29:proches}
++\centering
++\small
++\begin{tabular}{l l l S[table-format=2.0] S[table-format=4.0] S[table-format=6.0] S[table-format=7.0] S[table-format=1.2] S[table-format=2.2]}
++\toprule
++{Vente} & {Date} & {Quartier} & {Log.} & {Année} & {RNE (\$)} & {Prix (\$)} & {Taux (\%)} & {MRB} \\
++\midrule
++M040 & 2026-08-09 & Villeray & 12 & 1954 & 111423 & 2518000 & 4.43 & 11.87 \\
++M022 & 2025-08-22 & Rosemont & 11 & 1952 & 87455 & 1834000 & 4.77 & 11.01 \\
++M027 & 2025-11-28 & Rosemont & 17 & 1960 & 157397 & 3426000 & 4.59 & 11.89 \\
++M019 & 2025-06-14 & Hochelaga & 14 & 1962 & 129519 & 2571000 & 5.04 & 11.99 \\
++M035 & 2026-04-30 & Plateau & 13 & 1947 & 98988 & 2354000 & 4.21 & 13.43 \\
++M008 & 2024-12-19 & Ahuntsic & 12 & 1967 & 99594 & 2270000 & 4.39 & 12.07 \\
++M024 & 2025-09-05 & Plateau & 8 & 1961 & 73999 & 1883000 & 3.93 & 14.99 \\
++M002 & 2024-09-04 & Villeray & 13 & 1961 & 114637 & 2293000 & 5.00 & 11.51 \\
++M012 & 2025-02-28 & Rosemont & 16 & 1971 & 138957 & 2933000 & 4.74 & 11.54 \\
++M011 & 2025-01-29 & Hochelaga & 12 & 1977 & 109516 & 2460000 & 4.45 & 13.86 \\
++\midrule
++\multicolumn{7}{l}{Médiane des dix ventes les plus proches} & 4.52 & 11.94 \\
++\multicolumn{7}{l}{Médiane des quarante ventes} & 4.415 & 13.54 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch29\_capitalisation.py}, fonction \texttt{comparables\_proches} ; tous les immeubles sont en état~3 ; graine 20261031}}
++\end{table}
++
++\subsection{Taux retenu et valeur indiquée}
++
++Trois indications de taux sont disponibles : la médiane de l'ensemble (\pct{4.415}), la médiane des dix ventes les plus proches (\pct{4.52}) et la prévision de la régression (\pct{4.57}). Les deux dernières suggèrent qu'un immeuble de douze logements en état moyen se vend un peu plus cher, en taux, que l'immeuble médian de l'échantillon, qui compte dix-huit logements. Deux considérations jouent en sens inverse. La première est l'écart entre loyers contractuels et loyers de marché : avec des loyers inférieurs de onze pour cent au marché et des baux qui échoient tous en juin 2027, le sujet offre à l'acheteur un potentiel de rattrapage que la plupart des comparables, dont les loyers moyens sont proches du marché, n'offrent pas ; les acheteurs paient ce potentiel en acceptant un taux plus bas sur le revenu en place. La seconde est la faiblesse du pouvoir explicatif de la régression ($R^2$ de \num{0.16}, erreur-type de la constante d'environ six points de base) et la dispersion des dix ventes proches, qui couvrent plus de cent points de base. La fourchette raisonnable est donc de \pct{4.40} à \pct{4.55}, et l'ouvrage retient comme estimation ponctuelle la médiane de marché de \pct{4.415}, qui est aussi le taux utilisé par les chapitres~30 et~47 pour que les chiffres se répondent. Le lecteur qui préférerait \pct{4.50} obtiendrait \dollars{1999017} ; celui qui suivrait la régression, \dollars{1969694}.
++
++La valeur indiquée par capitalisation directe est
++\begin{equation}\label{eq:29:valeur-cas3}
++\hat V = \frac{\NOI_1}{R} = \frac{\dollars{89955.75}}{\num{0.04415}} = \dollars{2037502.89} \approx \dollars{2040000},
++\end{equation}
++soit \dollars{169792} par logement et un multiplicateur du revenu brut contractuel de \num{12.31}. La fourchette interquartile des taux (\pct{4.15} à \pct{4.64}) correspond à des valeurs de \dollars{1939747} à \dollars{2166303}. La valeur indiquée est inférieure de sept pour cent à la valeur au rôle 2026-2028 (\dollars{2200000}) : le rôle reflète le marché au 1\textsuperscript{er} juillet 2024, après une hausse moyenne de \pct{10.9} pour les immeubles de six logements et plus \parencite{montrealrole2026}, et un rapport de \num{0.93} entre la valeur estimée et la valeur au rôle n'a rien d'anormal pour un immeuble dont les loyers sont en retard sur le marché. Le chapitre~30 montre que les flux actualisés, qui modélisent explicitement le rattrapage des loyers et les dépenses en capital, indiquent \dollars{2208566} ; l'écart de huit pour cent entre les deux techniques est précisément la valeur que le marché attribue au potentiel locatif et que la capitalisation d'un revenu en place ne saisit qu'imparfaitement par le taux. La réconciliation finale est l'objet du chapitre~47.
++
++\subsection{Vérification par la bande d'investissement et par la couverture de la dette}
++
++Le financement type du dossier est un prêt assuré à \pct{4.12} (taux des fonds avancés, prêts assurés à taux fixe de cinq ans et plus, août 2026, \cite{bdctauxhypothecaires2026}) amorti sur quarante ans, ce que permet l'assurance APH~Select de la SCHL \parencite{schlaphselect}, pour un ratio prêt-valeur de 75~\% et une couverture minimale de \num{1.20}. La constante hypothécaire est $f = \pct{5.079}$ (\cref{eq:29:constante}, composition semestrielle, 480 versements). La bande d'investissement~\eqref{eq:29:bande} donne $M f = \num{0.75}\times\num{0.05079} = \pct{3.81}$ pour la dette ; pour que le taux global soit celui du marché, les fonds propres doivent se contenter d'un rendement courant de \pct{2.42}. La formule de couverture~\eqref{eq:29:rcd} donne $R = \num{1.20}\times\num{0.75}\times\num{0.05079} = \pct{4.571}$ et une valeur « du prêteur » de \dollars{1967946}. Ces deux vérifications ne contredisent pas la valeur retenue ; elles la qualifient. Elles disent qu'au prix de \dollars{2037503}, l'acheteur qui finance à 75~\% ne couvrira pas son service de dette avec la marge exigée (le prêt sera plafonné par la couverture à environ 67~\% de la valeur, chapitre~31) et qu'il n'encaissera, la première année, qu'un rendement courant modeste. La valeur marchande n'en est pas moins celle que le marché paie ; la valeur d'investissement d'un acheteur particulier, qui exigerait par exemple un rendement courant de six pour cent, serait inférieure (\dollars{1694335} selon la bande d'investissement). Distinguer les deux est l'un des devoirs de l'évaluateur.
++
++\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:29:sensibilite}
++
++La capitalisation directe est une fonction de deux variables, et sa sensibilité se dérive en une ligne. De $V = \NOI_1/R$,
++\begin{equation}\label{eq:29:derivee}
++\frac{\partial V}{\partial R} = -\frac{\NOI_1}{R^2} = -\frac{V}{R}, \qquad \frac{\partial V}{\partial \NOI_1} = \frac{1}{R} = \frac{V}{\NOI_1},
++\end{equation}
++d'où les élasticités $\varepsilon_R = (\partial V/\partial R)(R/V) = -1$ et $\varepsilon_{\NOI} = +1$. Une erreur relative de un pour cent sur le taux ou sur le revenu produit une erreur de un pour cent sur la valeur, en sens opposé pour le taux. L'asymétrie pratique tient à ce qu'un point de base pèse d'autant plus que le taux est bas : pour le cas~3, $\partial V/\partial R = -\dollars{2037503}/\num{0.04415} \approx -\dollars{46150000}$ par unité de taux, soit $-\dollars{115374}$ par quart de point. La variation exacte est légèrement moindre pour une hausse du taux et légèrement plus forte pour une baisse, parce que la fonction est convexe : à \pct{4.665} la valeur tombe à \dollars{1928312} ($-\pct{5.36}$, contre $-\pct{5.66}$ en approximation linéaire), à \pct{4.165} elle monte à \dollars{2159802} ($+\pct{6.0}$). Le \cref{tab:29:sensibilite} croise sept niveaux de taux avec trois niveaux de revenu net ; la \cref{fig:29:surface} étend la grille.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Sensibilité de la valeur indiquée au taux global (par pas de 25 points de base) et au revenu net normalisé ($\pm\,5~\%$) ; cas~3, valeurs en dollars.}
++\label{tab:29:sensibilite}
++\centering
++\begin{tabular}{S[table-format=1.2] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=+2.1]}
++\toprule
++{Taux $R$ (\%)} & {$\NOI_1 - 5~\%$ (\dollars{85458})} & {$\NOI_1$ (\dollars{89956})} & {$\NOI_1 + 5~\%$ (\dollars{94453})} & {Écart au cas de base (\%)} \\
++\midrule
++3.75 & 2278879 & 2398820 & 2518761 & +17.7 \\
++4.00 & 2136449 & 2248894 & 2361339 & +10.4 \\
++4.25 & 2010776 & 2116606 & 2222436 & +3.9 \\
++4.50 & 1899066 & 1999017 & 2098968 & -1.9 \\
++4.75 & 1799115 & 1893805 & 1988496 & -7.1 \\
++5.00 & 1709159 & 1799115 & 1889071 & -11.7 \\
++5.25 & 1627771 & 1713443 & 1799115 & -15.9 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch29\_capitalisation.py} ; cas de base $R = 4{,}415~\%$, $V = \dollars{2037503}$ ; l'écart est celui de la colonne centrale par rapport au cas de base}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch29/ch29-fig-surface-v.pdf}
++\caption{Carte de la valeur indiquée $V = \NOI_1/R$ pour un revenu net variant de $-10$ à $+10~\%$ et un taux de \pct{3.75} à \pct{5.25}. Les iso-valeurs sont des hyperboles : la même valeur de \dollars{1799115} s'obtient avec le revenu de base à \pct{5.00}, avec un revenu réduit de cinq pour cent à \pct{4.75} ou avec un revenu accru de cinq pour cent à \pct{5.25}, ce qui illustre la compensation entre erreurs de revenu et erreurs de taux.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch29\_figures.py}, graine 20261031}}
++\end{figure}
++
++La lecture du tableau a une conséquence pratique. Sur un échantillon dont l'écart interquartile des taux est de près de cinquante points de base, prétendre à une valeur au millier de dollars près est illusoire ; la précision honnête d'une capitalisation directe bien conduite est de l'ordre de plus ou moins cinq pour cent, et c'est ce que la conclusion de valeur doit refléter, soit par un arrondi (\dollars{2040000}), soit par une fourchette explicite, soit par l'intervalle que fournissent les méthodes du chapitre~20. La compensation entre le revenu et le taux, visible sur la carte, est aussi un avertissement : un revenu surestimé de cinq pour cent et un taux sous-estimé de vingt-cinq points de base s'additionnent pour gonfler la valeur de plus de onze pour cent, tandis que les mêmes erreurs en sens contraire se compensent et passent inaperçues. D'où l'importance de valider séparément le revenu (chapitres~27 et~28) et le taux (ce chapitre).
++
++\begin{erreurs}
++\begin{itemize}
++\item \textbf{Appliquer un taux extrait avant réserve à un revenu net après réserve.} Les fiches de vente ignorent la réserve ; les taux qui en sortent sont trop élevés d'environ $RR/V$. Appliqués au revenu normalisé du sujet, ils sous-évaluent de huit pour cent dans le cas~3. L'inverse (taux après réserve sur revenu avant réserve) surévalue d'autant.
++\item \textbf{Capitaliser les loyers de marché alors que les baux sont en place.} Le revenu net aux loyers de marché du cas~3 serait de \dollars{108865} et la valeur de \dollars{2465788}, soit \pct{21} de trop : l'acheteur n'encaissera ces loyers que progressivement, au fil des départs et dans les limites de l'encadrement des loyers (chapitre~34). Le potentiel se traite par le taux, par les flux actualisés ou par un ajustement explicite, jamais en substituant le revenu.
++\item \textbf{Capitaliser le revenu de l'exercice écoulé.} Le taux est un rapport entre le revenu \emph{prospectif} et le prix ; un revenu historique non indexé, avec des taxes de l'ancien rôle, n'est pas cohérent avec des taux extraits de revenus prospectifs.
++\item \textbf{Omettre la gestion lorsque le propriétaire gère lui-même}, alors qu'elle a été imputée aux comparables : surévaluation de sept et demi pour cent dans le cas~3.
++\item \textbf{Déduire les droits de mutation ou les frais d'acquisition du revenu net.} Ce sont des coûts ponctuels de l'acquéreur, non des dépenses d'exploitation récurrentes.
++\item \textbf{Retenir la moyenne pondérée par le revenu pour un sujet plus petit que l'échantillon}, ou la moyenne simple en présence d'une vente aberrante ; la médiane, éventuellement corrigée par régression, est le résumé par défaut.
++\item \textbf{Confondre taux global et taux de rendement.} Le taux global n'est pas un rendement ; il est inférieur au rendement exigé d'un montant égal à la croissance anticipée ($R = r - g$). Un taux de \pct{4.4} dans un marché où la dette coûte \pct{4.1} à \pct{4.6} n'est pas une absurdité, c'est une anticipation.
++\item \textbf{Présenter une valeur au dollar près.} La sensibilité de cinq pour cent par quart de point interdit une telle précision ; arrondir et encadrer.
++\end{itemize}
++\end{erreurs}
++
++\begin{limites}
++La capitalisation directe suppose un revenu stabilisé et représentatif ; elle est mal adaptée aux immeubles en location initiale, en rénovation lourde, en conversion ou dont les loyers s'écartent fortement du marché, pour lesquels les flux actualisés (chapitre~30) sont préférables. Le taux extrait reflète les conditions de financement et les anticipations de la période des ventes ; dans un marché où les taux d'intérêt bougent vite, un échantillon de vingt-quatre mois peut mélanger deux régimes, et l'évaluateur doit tester la tendance temporelle des taux extraits. Les fourchettes publiées par les courtiers sont des opinions d'industrie sur des immeubles souvent plus grands que les plex de quartier ; elles n'existent pas pour la plupart des marchés québécois hors Montréal et Québec. Le barème de dépenses de la SCHL pour le Québec date de 2015 ; aucune enquête publique récente ne fixe la réserve de remplacement ni le ratio de dépenses typique, de sorte que ces paramètres relèvent de conventions déclarées. Le taux propre aux immeubles de six logements et plus et la taxe d'arrondissement de Montréal n'ont pu être vérifiés dans un document officiel lisible au 31 octobre 2026 ; les taxes du cas~3 sont calculées avec la seule taxe foncière générale. La formulation d'Akerson est attribuée à un article de 1970 de \emph{The Appraisal Journal} dont les références exactes n'ont pu être vérifiées ; elle est citée ici d'après \textcite{appraisal2026}. Enfin, les données du cas~3 sont synthétiques : la concordance entre la médiane extraite et la fourchette de CBRE résulte de la calibration et ne vaut pas validation empirique.
++\end{limites}
++
++\begin{synthese}
++\begin{itemize}
++\item $V = \NOI_1/R$ découle de la somme actualisée d'un revenu perpétuel ; $R$ n'est pas un rendement mais un rapport revenu/prix qui résume rendement exigé, croissance anticipée et risque.
++\item Le revenu capitalisé est le revenu net \emph{prospectif} de la première année, défini exactement comme celui qui a servi à extraire le taux (vacance, gestion imputée, réserve, taxes sur le rôle).
++\item Extraire : ventes épurées du même segment, revenu reconstitué par l'évaluateur, médiane par défaut, régression sur l'état et la taille pour corriger ; cas~3 : médiane \pct{4.415} sur quarante ventes, régression \pct{4.57}.
++\item Construire pour vérifier : bande d'investissement $R = Mf + (1-M)R_E$ ; couverture de la dette $R = \DSCR \cdot M \cdot f$ ; Gordon $R = r - g$ ; Ellwood/Akerson $R = Mf + (1-M)Y_E - MP\,\mathit{SFF} - \Delta\,\mathit{SFF}$, formulations équivalentes.
++\item Cas~3 : $\NOI_1 = \dollars{89956}$, $R = \pct{4.415}$, $\hat V = \dollars{2037503} \approx \dollars{2040000}$ ; levier négatif en rendement courant ($f = \pct{5.08} > R$) ; valeur du prêteur \dollars{1967946}.
++\item $\partial V/\partial R = -V/R$ : élasticité unitaire ; vingt-cinq points de base déplacent la valeur de cinq à six pour cent. Arrondir, encadrer, valider revenu et taux séparément.
++\item Au Québec, les taxes se normalisent sur la valeur au rôle en vigueur (art.~46 LFM) ; les droits de mutation sont un coût d'acquisition, jamais une dépense d'exploitation.
++\end{itemize}
++\end{synthese}
++
++\section*{Exercices}
++
++\begin{exercice}[1]{Capitalisation et variation du taux}{ex:29:1}
++Un immeuble de huit logements produit un revenu net d'exploitation normalisé de \dollars{61200} (après réserve). Le taux global retenu est de \pct{4.75}. Calculer la valeur indiquée, puis la valeur si le taux est de \pct{5.00}. Exprimer la variation en pourcentage et la comparer à l'approximation linéaire $-\Delta R / R$ tirée de l'\cref{eq:29:derivee}. Pourquoi l'approximation surestime-t-elle la baisse ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[1]{Extraction sur cinq ventes}{ex:29:2}
++À partir du fichier \texttt{cas3\_montreal\_comparables.csv}, calculer le taux global des ventes M008, M011, M022, M034 et M040 (revenu net après réserve rapporté au prix). Donner la médiane, la moyenne simple et la moyenne pondérée par le revenu net. Laquelle retenir pour le sujet du cas~3 et pourquoi ? Quelle valeur indique la médiane de ces cinq ventes appliquée au revenu net de \dollars{89955.75} ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Le piège de la réserve}{ex:29:3}
++Un comparable de dix-huit logements s'est vendu \dollars{3400000} ; son revenu net reconstitué après une réserve de \dollars{675} par logement est de \dollars{150000}. Calculer le taux global après réserve et le taux avant réserve. Un collègue applique le taux avant réserve au revenu net après réserve du cas~3 (\dollars{89955.75}). Quelle valeur obtient-il, quelle est l'erreur relative par rapport à l'application cohérente, et quelle valeur aurait-il obtenue en appliquant le taux avant réserve au revenu avant réserve du sujet ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Bande d'investissement et couverture de la dette}{ex:29:4}
++Un prêteur offre un prêt assuré à \pct{4.12} (composé semestriellement) amorti sur quarante ans pour 75~\% de la valeur. Calculer la constante hypothécaire. (a) Si l'investisseur exige un rendement courant de six pour cent sur ses fonds propres, quel taux global produit la bande d'investissement, et quelle valeur en découle pour le cas~3 ? (b) Si le prêteur exige une couverture de \num{1.25}, quel est le taux « du prêteur » et la valeur correspondante ? (c) Quel rendement courant des fonds propres est compatible avec la médiane de marché de \pct{4.415} ? Interpréter le signe du levier.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Gordon et la croissance implicite}{ex:29:5}
++Avec un taux d'actualisation de \pct{7.25}, calculer le taux global de Gordon pour une croissance perpétuelle du revenu net de \pct{2.25}, de \pct{3.10} et de \pct{4.00}, ainsi que les valeurs correspondantes du cas~3. Quelle croissance implicite le marché anticipe-t-il si le taux observé est de \pct{4.415} ? Expliquer pourquoi la croissance à retenir dans Gordon doit être nette de dépréciation et pourquoi le rattrapage des loyers du cas~3 ne peut pas servir de $g$.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Ellwood, Akerson et le cas sans dette}{ex:29:6}
++Reprendre les paramètres du cas~3 : $Y_E = \pct{7.25}$, $M = 0{,}75$, prêt à \pct{4.12} sur quarante ans, horizon de dix ans, et supposer une appréciation $\Delta$ de 25~\% sur l'horizon. (a) Calculer la part $P$ du capital remboursée en dix ans et le facteur de fonds d'amortissement. (b) Calculer le taux global par la formule d'Ellwood~\eqref{eq:29:ellwood} et par celle d'Akerson~\eqref{eq:29:akerson} ; vérifier l'égalité. (c) Calculer le taux sans dette et le comparer au taux de Gordon obtenu avec la croissance annuelle équivalente $g = (1+\Delta)^{1/10} - 1$ ; expliquer l'écart. (d) Commenter la valeur obtenue pour le cas~3 au regard de la médiane de marché.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Loyers de marché, baux en place et multiplicateur brut}{ex:29:7}
++Pour le cas~3, calculer le revenu net qu'on obtiendrait en remplaçant les loyers contractuels par les loyers de marché (même taux de vacance, même gestion de \pct{4} du revenu brut effectif, mêmes autres dépenses et réserve), puis la valeur à \pct{4.415}. Quelle est la surévaluation par rapport à la valeur fondée sur les baux en place ? Calculer ensuite la valeur indiquée par le MRB médian des quarante ventes (\num{13.54}) appliqué au revenu brut contractuel, puis au revenu brut de marché. Expliquer, à l'aide de l'\cref{eq:29:mrb} et des ratios de dépenses, pourquoi le multiplicateur brut surévalue le sujet même sur les loyers contractuels.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Régression, fourchette et erreurs combinées}{ex:29:8}
++À partir des coefficients du \cref{tab:29:extraction}, calculer le taux prévu pour un immeuble de vingt-quatre logements en état~2 et pour un immeuble de six logements en état~4. Pour le sujet du cas~3, calculer la valeur dans le scénario le plus défavorable (revenu net inférieur de cinq pour cent et taux supérieur de vingt-cinq points de base à la médiane) et dans le scénario le plus favorable (revenu supérieur de cinq pour cent, taux inférieur de vingt-cinq points de base). Comparer les variations exactes à l'approximation $\pm(0{,}05 + 0{,}0025/R)$ et discuter la présentation d'une fourchette dans le rapport.
++\end{exercice}
++
++\section*{Pour aller plus loin}
++
++\textcite{appraisal2026} consacrent plusieurs chapitres à la capitalisation directe, à l'extraction des taux et à la méthode hypothèque–fonds propres, et constituent la référence professionnelle nord-américaine ; l'édition canadienne de \textcite{appraisalCdn} transpose la matière au contexte canadien, y compris la composition semestrielle des hypothèques. \textcite{fisherMartin2007} offrent l'exposé pédagogique le plus clair sur les liens entre bande d'investissement, couverture de la dette et Ellwood, avec de nombreux exemples numériques. \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} situent le taux de capitalisation dans la théorie financière : $R = r - g$, lien avec le coût moyen pondéré du capital et avec les flux actualisés ; c'est l'ouvrage à lire pour comprendre pourquoi un taux de capitalisation inférieur au coût de la dette n'a rien d'irrationnel. \textcite{baumCrosbyDevaney2021} présentent la tradition britannique de l'\emph{all-risks yield} et sa critique par les méthodes explicites, utile pour relativiser les habitudes nord-américaines. \textcite{ellwood1970} reste la source première des tables et de la formule qui portent son nom. Du côté de la recherche, \textcite{sivitanidouSivitanides1999}, \textcite{chervachidzeWheaton2013} et \textcite{plazziTorousValkanov2010} forment un trio indispensable sur les déterminants des taux, leur cycle et leur contenu prédictif ; \textcite{bokhariGeltner2018} documentent la dépréciation du multirésidentiel et justifient que la croissance de Gordon soit nette d'usure. Enfin, le rapport trimestriel de \textcite{cbrecaprates2026q3} et les séries de la \textcite{bdcvalet} sont les deux sources publiques à consulter avant toute conclusion sur un taux au Québec.

modified manuscript/chapters/ch30.tex +570 −1

+ \chapter{Flux actualisés et valeur terminale}\label{ch:30}
++
++La capitalisation directe du \cref{ch:29} condense toute l'information sur l'avenir d'un immeuble dans un seul nombre, le taux global, appliqué à un seul revenu, celui de la première année. Cette économie de moyens est sa force lorsque le revenu est stabilisé et que le marché fournit des taux extraits de ventes comparables ; elle devient une faiblesse dès que le revenu de l'immeuble doit changer de régime : loyers contractuels nettement sous le marché, travaux majeurs programmés, bail commercial en fin de course, rotation prévisible des locataires. La méthode des flux de trésorerie actualisés (\emph{discounted cash flow}, DCF) répond à cette difficulté en déroulant explicitement les revenus et les dépenses sur un horizon de plusieurs années, puis en capitalisant le revenu qui subsiste au-delà dans une valeur terminale. Le présent chapitre établit les fondements de cette méthode, ses conventions, ses pièges et sa cohérence avec la capitalisation directe, et la met en œuvre intégralement sur l'immeuble de douze logements du cas 3. Les chapitres \ref{ch:31}, \ref{ch:34}, \ref{ch:40} et \ref{ch:47} réutiliseront les mêmes fonctions et les mêmes chiffres.
++
++\begin{objectifs}
++À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
++\begin{itemize}
++\item dériver la relation $r = R + g$ entre taux d'actualisation, taux de capitalisation et croissance, et en énoncer les hypothèses ;
++\item construire une projection annuelle cohérente des revenus, des dépenses, des réserves et des dépenses en capital sur un horizon déclaré, en distinguant loyers contractuels et loyers de marché ;
++\item calculer une valeur terminale par capitalisation du revenu de l'année $T+1$, la corriger des coûts de vente et l'actualiser à la bonne date ;
++\item distinguer les flux avant et après financement, avant et après impôt, et calculer le taux de rendement interne des fonds propres avec levier ;
++\item interpréter le TRI, la VAN et le TRI modifié, reconnaître les flux non conventionnels et démontrer dans quelles conditions le DCF et la capitalisation directe coïncident ;
++\item conduire une analyse de sensibilité et des scénarios sur les intrants d'un DCF et en rendre compte dans un rapport.
++\end{itemize}
++\end{objectifs}
++
++\section{Du taux de capitalisation au taux d'actualisation}\label{sec:30:taux}
++
++\subsection{Deux taux pour deux questions}
++
++Le \motcle{taux de capitalisation} $R$ répond à la question « combien le marché paie-t-il aujourd'hui pour un dollar de revenu net de l'année qui vient ? ». Le \terme{taux d'actualisation}{discount rate} $r$ répond à une autre question : « quel rendement annuel total un investisseur exige-t-il pour immobiliser son capital dans cet immeuble, compte tenu de son risque ? ». Le premier est un rapport entre un revenu et un prix ; le second est un rendement attendu, qui additionne le revenu courant et la variation de valeur. Les deux sont liés, mais ils ne sont égaux que dans un monde sans croissance ni dépréciation. La littérature anglo-saxonne nomme le second \emph{yield}, \emph{total return} ou \emph{IRR requis} ; \textcite{baumCrosbyDevaney2021} parlent de \emph{target rate} et \textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014} de \emph{going-in IRR} ; nous nous en tiendrons à « taux d'actualisation », en précisant toujours s'il s'applique à des flux avant ou après financement.
++
++\begin{definition}{Taux d'actualisation}{30:taux}
++Le taux d'actualisation $r$ d'un immeuble est le taux annuel effectif tel que la valeur présente des flux de trésorerie futurs attendus de la pleine propriété non grevée, flux avant service de la dette et avant impôt, actualisés à ce taux, égale la valeur marchande de l'immeuble. Il est l'espérance du rendement total exigé par les participants du marché pour cette classe de risque.
++\end{definition}
++
++\subsection{La relation de Gordon et Shapiro : $r = R + g$}
++
++Considérons un immeuble dont le revenu net d'exploitation de première année est $\NOI_1$ et croît ensuite à un taux constant $g$ chaque année, de sorte que $\NOI_t = \NOI_1 (1+g)^{t-1}$, et supposons que l'immeuble soit détenu à perpétuité. Sa valeur est la somme actualisée de ces revenus :
++\begin{equation}\label{eq:30:gordon-serie}
++V_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{\NOI_1 (1+g)^{t-1}}{(1+r)^t} = \frac{\NOI_1}{1+r} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1+g}{1+r}\right)^{k}.
++\end{equation}
++La série géométrique converge si et seulement si $g < r$ ; elle vaut alors $(1+r)/(r-g)$, d'où
++\begin{equation}\label{eq:30:gordon}
++V_0 = \frac{\NOI_1}{r - g}, \qquad \text{donc} \qquad R \equiv \frac{\NOI_1}{V_0} = r - g \quad \Longleftrightarrow \quad r = R + g.
++\end{equation}
++C'est le modèle de croissance constante de \textcite{gordonShapiro1956}, formulé à l'origine pour l'évaluation d'équipements et d'actions, et devenu la clef de voûte de toute la théorie des taux immobiliers. Il énonce que le taux de capitalisation est le rendement exigé \emph{diminué} de la croissance attendue du revenu : à rendement exigé constant, un marché qui anticipe une forte croissance des loyers accepte un taux de capitalisation bas, et réciproquement.
++
++Trois hypothèses implicites méritent d'être rendues explicites, car ce sont elles qui, en pratique, séparent $r$ de $R + g$. La première est la \emph{constance} de $g$ : si le revenu doit d'abord rattraper le marché puis croître plus lentement, aucun $g$ unique ne décrit la trajectoire et la relation ne vaut qu'en moyenne. La deuxième est l'identité entre la croissance du revenu et celle de la valeur : dans \eqref{eq:30:gordon}, la valeur $V_t = \NOI_{t+1}/(r-g)$ croît elle aussi au taux $g$, ce qui suppose un taux de capitalisation constant dans le temps. Or un immeuble vieillit : à loyers de marché donnés, sa valeur croît moins vite que les loyers parce que sa dépréciation physique et fonctionnelle s'accumule \parencite{bokhariGeltner2018,hardingRosenthalSirmans2007}. Il faut donc lire $g$ comme la croissance attendue de la \emph{valeur} de l'immeuble (nette de dépréciation) plutôt que comme celle des loyers du marché. La troisième hypothèse est la détention perpétuelle, sans coûts de transaction : la section~\ref{sec:30:coherence} montre que la relation survit à un horizon fini pourvu que la valeur terminale soit calculée de façon cohérente, mais qu'elle est rompue par les coûts de vente.
++
++\subsection{Lecture des taux extraits du marché}
++
++La relation \eqref{eq:30:gordon} se lit dans les deux sens. Si l'on dispose de taux de capitalisation extraits de ventes et d'une opinion sur le rendement exigé, on en déduit la croissance que le marché anticipe ; si l'on dispose de taux extraits et d'une opinion sur la croissance, on en déduit le rendement exigé. Dans le cas 3, les quarante ventes d'immeubles de 6 à 30 logements de la région de Montréal (\cref{ch:29}) donnent un taux global médian de \pct{4.415}, que nous arrondirons à \pct{4.42} dans le texte. Avec le taux d'actualisation de \pct{7.25} retenu pour le dossier, la croissance implicite de long terme est $g = r - R = \pct{2.83}$ par an. Ce chiffre est inférieur à l'indexation de \pct{3.1} des loyers reconduits en 2026 et à la croissance de \pct{3.5} retenue pour les loyers de marché, ce qui est précisément l'écart attendu entre la croissance des loyers et celle de la valeur d'un immeuble qui vieillit. Inversement, si l'on tenait pour acquis que la valeur des immeubles multirésidentiels montréalais croît à long terme comme les loyers de marché, soit \pct{3.5}, le rendement exigé implicite serait de $\pct{4.42} + \pct{3.5} = \pct{7.92}$. Ces lectures croisées sont la première vérification de cohérence qu'un évaluateur doit faire avant d'écrire un taux d'actualisation dans un rapport.
++
++Les études empiriques confirment que les taux de capitalisation reflètent simultanément l'état du marché des capitaux et les anticipations de croissance locale. \textcite{sivitanidouSivitanides1999} montrent que les taux de capitalisation des immeubles de bureaux répondent aux taux d'intérêt mais aussi aux conditions du marché locatif local ; \textcite{chervachidzeWheaton2013} attribuent la compression des taux de 2000 à 2007 et leur remontée brutale de 2008-2009 à la prime de risque et à la disponibilité du crédit davantage qu'aux fondamentaux locatifs ; \textcite{ducaLing2020} documentent le rôle de l'arbitrage réglementaire sur le capital des prêteurs. \textcite{plazziTorousValkanov2010} établissent que le taux de capitalisation prédit à la fois les rendements futurs et la croissance future des loyers, exactement comme le ratio dividende-prix le fait pour les actions : la relation \eqref{eq:30:gordon} est donc aussi une relation empiriquement testable.
++
++\subsection{Structure du taux d'actualisation : taux sans risque et primes}
++
++Le taux d'actualisation nominal peut être décomposé, à des fins d'explication et non de calcul, en un taux sans risque et une somme de primes :
++\begin{equation}\label{eq:30:build-up}
++r = r_f + \pi_{\text{illiq}} + \pi_{\text{loc}} + \pi_{\text{gest}} + \pi_{\text{régl}} + \cdots,
++\end{equation}
++où $r_f$ est le rendement d'un titre d'État de maturité comparable à l'horizon de détention, $\pi_{\text{illiq}}$ rémunère l'illiquidité et les coûts de transaction élevés de l'immobilier, $\pi_{\text{loc}}$ le risque locatif (inoccupation, défaut, rotation), $\pi_{\text{gest}}$ la charge de gestion active et $\pi_{\text{régl}}$ le risque réglementaire propre au logement locatif, qui au Québec comprend l'encadrement de la fixation des loyers et des reprises (\cref{ch:34}). Cette méthode dite de construction (\emph{build-up}) est utile pour raisonner et pour expliquer une opinion ; elle ne permet pas, à elle seule, de la fonder, car les primes ne s'observent pas séparément sur le marché. Le point d'ancrage, lui, est observable : au 29 octobre 2026, le rendement de l'obligation de référence du gouvernement du Canada à 10 ans était de \pct{3.84} et celui de l'obligation à 5 ans de \pct{3.58} \parencite{bdcvalet}, le lendemain d'une hausse du taux directeur à \pct{2.50} \parencite{bdc20261028}. Un taux d'actualisation de \pct{7.25} correspond donc à une prime totale de $\qty{341}{\pb}$ au-dessus de l'obligation à 10 ans ; CBRE signalait pour sa part, au troisième trimestre de 2026, un écart de $\qty{256}{\pb}$ entre le taux de capitalisation moyen toutes catégories au Canada et l'obligation à 10 ans \parencite{cbrecaprates2026q3}, écart qui porte sur $R$ et non sur $r$ et qu'il faut majorer de la croissance anticipée pour le comparer à la prime du taux d'actualisation. La \cref{fig:30:gdc} rappelle que ce point d'ancrage a varié de moins de \pct{1} à plus de \pct{4} au cours des vingt dernières années : un taux d'actualisation n'est jamais une constante de la nature, et tout rapport doit dater le sien.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-gdc.pdf}
++\caption{Rendements mensuels moyens des obligations de référence du gouvernement du Canada à 5 et 10 ans et taux hypothécaire conventionnel 5 ans affiché par les banques à charte, janvier 2006 à octobre 2026. Le taux sans risque qui ancre tout taux d'actualisation a connu trois régimes en vingt ans ; au 29 octobre 2026, l'obligation à 10 ans rendait \pct{3.84}, alors que le taux hypothécaire affiché restait à \pct{6.19}.}
++\figsource{Banque du Canada, API Valet, séries BD.CDN.5YR.DQ.YLD, BD.CDN.10YR.DQ.YLD et V80691335, téléchargées le 2026-10-31 \parencite{bdcvalet} ; script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_gdc.py}.}
++\label{fig:30:gdc}
++\end{figure}
++
++Comment, dès lors, fixer $r$ ? Trois sources se complètent. La première est l'inversion des transactions : lorsqu'une vente comparable est accompagnée d'un état locatif et d'un budget crédibles, on peut projeter ses flux et résoudre le taux qui ramène leur valeur présente au prix payé, ce qui donne un \emph{TRI implicite} ; c'est l'équivalent, pour le DCF, de l'extraction du taux global. La deuxième est l'enquête auprès des investisseurs et des prêteurs actifs sur le segment, pratiquée par les grandes firmes de courtage et de conseil ; aucune enquête publique ne publie de taux d'actualisation pour le multirésidentiel québécois à la date de rédaction, et le lecteur ne trouvera donc ici aucun chiffre de cette nature. La troisième est la relation \eqref{eq:30:gordon} elle-même, appliquée aux taux de capitalisation publiés : CBRE donne pour Montréal, au troisième trimestre de 2026, une fourchette de \pct{4.25} à \pct{4.75} pour les immeubles multirésidentiels de faible hauteur de classe B \parencite{cbrecaprates2026q3}, dont le milieu, \pct{4.50}, ajouté à une croissance de long terme de l'ordre de \pct{2.5} à \pct{3}, situe le rendement exigé entre \pct{7} et \pct{7.5}. Le taux de \pct{7.25} du cas 3 est une hypothèse de travail cohérente avec ces trois lectures, non une donnée observée, et il est identifié comme tel dans le dossier synthétique.
++
++\subsection{Taux nominal ou taux réel}
++
++Les flux projetés dans ce chapitre sont nominaux, c'est-à-dire exprimés en dollars courants de chaque année, avec une croissance des loyers et des dépenses qui incorpore l'inflation ; le taux d'actualisation doit alors être nominal lui aussi. La relation de Fisher relie les deux conventions :
++\begin{equation}\label{eq:30:fisher}
++(1 + r) = (1 + r_{\text{réel}})(1 + \pi) \qquad \Longrightarrow \qquad r \approx r_{\text{réel}} + \pi,
++\end{equation}
++où $\pi$ est l'inflation anticipée. L'indice des prix à la consommation du Québec progressait de \pct{3.1} sur douze mois en septembre 2026 \parencite{statcanipc} ; un taux nominal de \pct{7.25} correspond ainsi à un taux réel d'environ \pct{4.0}. L'erreur classique, actualiser des flux nominaux à un taux réel ou des flux constants à un taux nominal, est traitée dans l'encadré des erreurs fréquentes ; elle produit des écarts de valeur de l'ordre de la part de la valeur qui dépend de la croissance, c'est-à-dire des dizaines de points de pourcentage.
++
++\section{Horizon, projections et hypothèses}\label{sec:30:projection}
++
++\subsection{L'horizon de projection}
++
++L'horizon $T$ est le nombre d'années pour lesquelles les flux sont projetés explicitement ; au-delà, la valeur terminale résume l'avenir. Il est d'usage de retenir dix ans pour les immeubles de placement, et c'est l'horizon du cas 3 ; mais ce choix n'a rien de sacré. La règle de fond est que l'horizon doit être assez long pour que le revenu ait atteint un \motcle{régime stabilisé} à la fin de la période, car la valeur terminale capitalise le revenu de l'année $T+1$ comme s'il devait croître régulièrement ensuite. Si des loyers sont très sous le marché, l'horizon doit couvrir leur rattrapage ; si des travaux majeurs sont programmés, il doit les inclure plutôt que les renvoyer à l'acheteur terminal ; si un bail commercial ou une subvention expire, l'échéance doit tomber à l'intérieur de l'horizon. Un horizon trop court transfère tout le poids de l'évaluation à la valeur terminale et aux hypothèses qu'elle porte ; un horizon trop long multiplie des projections de plus en plus incertaines pour un gain d'information décroissant, puisque le facteur d'actualisation à \pct{7.25} tombe sous $0{,}50$ dès la dixième année et sous $0{,}25$ à la vingtième.
++
++\subsection{Loyers contractuels et loyers de marché}
++
++Le revenu brut potentiel d'un immeuble locatif québécois se projette à partir de deux trajectoires. La trajectoire \emph{contractuelle} décrit ce que les baux en cours rapporteront tant qu'ils sont reconduits par les mêmes locataires : le loyer est alors ajusté annuellement selon les règles de fixation (\cref{ch:26,ch:34}), ce qui, pour un bail reconduit en 2026, correspond à un pourcentage de base de \pct{3.1} selon la méthode entrée en vigueur le 1\textsuperscript{er} janvier 2026 \parencite{talIndices2026,decret1455_2025}. La trajectoire de \emph{marché} décrit le loyer qu'obtiendrait le logement s'il était reloué aujourd'hui à un nouveau locataire, et elle croît au rythme du marché locatif, que l'on calibre sur les enquêtes de la SCHL : dans la RMR de Montréal, le loyer moyen d'un logement de deux chambres a progressé de \pct{7.2} entre octobre 2024 et octobre 2025 pour un même échantillon de logements \parencite{schlLocatif2025}, rythme exceptionnel que l'on ne prolonge pas sur dix ans ; le cas 3 retient \pct{3.5} par an, soit l'inflation observée majorée d'une fraction de point.
++
++Le passage de la première trajectoire à la seconde se fait par la \motcle{rotation} des locataires. Lorsqu'un locataire quitte le logement, le locateur conclut un nouveau bail dont le loyer n'est pas soumis au pourcentage de fixation ; il doit toutefois déclarer au nouveau locataire le loyer le plus bas payé au cours des douze mois précédents (section G du bail, art.~1896 C.c.Q.), et celui-ci peut demander la fixation du loyer dans les dix jours (art.~1950 C.c.Q.) \parencite{ccq}. La relocation au loyer de marché n'est donc pas automatique en droit, mais elle est la pratique dominante, et c'est l'hypothèse de modélisation retenue, discutée dans l'encadré québécois ci-dessous. Le modèle du cas 3 suppose qu'une fraction $\rho = \pct{15}$ des logements se libère chaque année, que les logements les plus sous le marché se libèrent en premier et que chacun est reloué à son loyer de marché de l'année ; la SCHL mesurait un taux de rotation de \pct{9.4} dans la RMR de Montréal en 2025, contre \pct{11.1} en 2024 \parencite{schlLocatif2025}, et l'hypothèse de \pct{15} pour un immeuble de petits logements (quatre 3½, six 4½, deux 5½) est volontairement un peu plus élevée que la moyenne régionale ; la section~\ref{sec:30:sensibilite} mesure ce que vaut cette hypothèse.
++
++Formellement, si $L_{i,t}$ est le loyer mensuel contractuel du logement $i$ l'année $t$, $M_{i,t}$ son loyer de marché, $g_c$ le taux d'indexation des baux reconduits et $g_m$ la croissance des loyers de marché, la projection s'écrit
++\begin{equation}\label{eq:30:loyers}
++M_{i,t} = M_{i,1}(1+g_m)^{t-1}, \qquad
++L_{i,t} = \begin{cases} M_{i,t} & \text{si le logement } i \text{ est reloué l'année } t,\\ L_{i,t-1}(1+g_c) & \text{sinon,}\end{cases}
++\qquad RBP_t = 12 \sum_{i=1}^{n} L_{i,t}.
++\end{equation}
++Avec $g_c < g_m$, un logement qui n'est jamais reloué s'éloigne du marché ; la rotation est le seul mécanisme de rattrapage. La \cref{fig:30:loyers} montre le résultat pour le cas 3 : l'écart entre le revenu brut potentiel contractuel et le revenu au marché, de \dollars{20496} soit \pct{11.0} en 2026, se résorbe presque entièrement en dix ans ; sans relocation, l'indexation seule laisserait un écart croissant.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-loyers.pdf}
++\caption{Trajectoire du revenu brut potentiel du cas 3 : loyers contractuels indexés à \pct{3.1} avec relocation de \pct{15} des logements par an au loyer de marché (trait plein bleu), revenu au loyer de marché croissant de \pct{3.5} par an (orange) et, pour comparaison, indexation seule sans relocation (pointillé). La zone grisée est l'écart au marché, qui passe de \pct{11.0} à \pct{1.0} en dix ans.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_loyers.py}, fonctions \texttt{traite.cas3.projection\_dcf}, graine 20261031}}
++\label{fig:30:loyers}
++\end{figure}
++
++\begin{quebec}[Fixation des loyers, rotation et trajectoire contractuelle]
++Le droit québécois encadre la trajectoire contractuelle des loyers plus étroitement que celui des autres provinces, et le modélisateur doit en tenir compte. Le bail de logement est reconduit de plein droit (art.~1941 C.c.Q.) ; le locateur qui veut modifier le loyer donne un avis de trois à six mois avant l'échéance (art.~1942) et, si le locataire refuse, c'est le Tribunal administratif du logement qui fixe le loyer selon les critères réglementaires (art.~1947 et 1953 C.c.Q. ; \parencite{ccq}). Depuis le 1\textsuperscript{er} janvier 2026, le Règlement sur les critères de fixation de loyer, modifié par le décret 1455-2025 \parencite{decret1455_2025,reglCriteresFixation}, calcule un pourcentage de base unique égal à la moyenne des trois dernières variations annuelles de l'IPC du Québec (art.~3.1), auquel s'ajoutent la part attribuable au logement des variations de taxes et d'assurances et un rendement de \pct{5} sur les dépenses d'immobilisation (art.~3). Le pourcentage de base publié par le TAL est de \pct{3.1} pour 2026 \parencite{talIndices2026} ; c'est la valeur de $g_c$ du cas 3, que l'on suppose constante faute de connaître les IPC futurs, alors qu'elle suivra en réalité l'inflation moyenne des trois années précédentes avec retard.
++
++Deux conséquences découlent pour la projection. Premièrement, la croissance des loyers contractuels est bornée par l'inflation passée, tandis que les dépenses suivent l'inflation courante : un immeuble sans rotation voit sa marge se comprimer dans les périodes de hausse des coûts. Deuxièmement, le rattrapage du marché dépend de la rotation, elle-même influencée par le droit : la cession de bail ne requiert plus le consentement du locateur pour un motif sérieux seulement, mais celui-ci peut désormais la refuser pour un autre motif, auquel cas le bail est résilié à la date prévue (art.~1978.1 à 1978.4 C.c.Q., introduits par la Loi~31 de 2024 ; \parencite{loi31_2024}), ce qui facilite la relocation au marché ; en revanche le nouveau locataire peut faire fixer le loyer s'il apprend que le loyer précédent était inférieur (art.~1896 et 1950). Les immeubles neufs échappent à la fixation pendant cinq ans à condition que le bail indique le loyer maximal (art.~1955, modifié en 2024). L'hypothèse « relocation au loyer de marché » est donc une approximation favorable au locateur ; un évaluateur prudent la tempère, par exemple en ne relouant qu'à une fraction du marché ou en retardant la rotation, et il en déclare l'effet (\cref{ch:34}).
++\end{quebec}
++
++\subsection{Inoccupation, mauvaises créances et autres revenus}
++
++Le revenu brut effectif s'obtient en retranchant du revenu brut potentiel une provision combinée pour inoccupation et mauvaises créances, $v$, et en ajoutant les autres revenus (stationnement, buanderie, rangement) :
++\begin{equation}\label{eq:30:rbe}
++RBE_t = RBP_t\,(1 - v) + R^{\text{autres}}_t .
++\end{equation}
++Le cas 3 retient $v = \pct{3.9}$. Ce taux est supérieur à l'inoccupation de \pct{2.9} mesurée par la SCHL dans la RMR de Montréal en octobre 2025 et à celle de \pct{2.2} des immeubles de 6 à 19 logements de l'île \parencite{schlLocatif2025}, pour deux raisons : la provision couvre aussi les pertes de loyers (défauts, délais entre deux locataires, frais de relocation) qu'un taux d'inoccupation physique ignore, et la SCHL anticipe une détente du marché montréalais, avec une inoccupation de \pct{3.8} en 2026, \pct{4.5} en 2027 et \pct{4.8} en 2028 dans sa mise à jour de l'été 2026 \parencite{schlpmh2026ete}. Dans un immeuble à forte rotation, la provision doit être cohérente avec l'hypothèse de rotation : relouer \pct{15} des logements par an suppose des périodes de vacance frictionnelle, et c'est aussi ce que $v$ paie. La projection du cas 3 applique le même $v$ à toutes les années ; un modèle plus fin le ferait varier avec le cycle (\cref{ch:27}).
++
++\subsection{Dépenses, réserve de remplacement et dépenses en capital}
++
++Les dépenses d'exploitation normalisées de l'année 1 proviennent du \cref{ch:28} : dernière année observée indexée, taxes recalculées sur la valeur au rôle et les taux de 2026, gestion imputée à \pct{4} du revenu brut effectif, réserve de remplacement de \dollars{650} par logement. Pour les années suivantes, les dépenses hors réserve croissent au taux $g_d = \pct{3}$, proche de l'inflation observée ; la réserve, qui est une convention de calcul et non une facture, est maintenue constante ; les autres revenus croissent comme les dépenses.
++
++La question délicate est celle des \motcle{dépenses en capital} (CAPEX). La convention de l'ouvrage, énoncée à l'\cref{app:conventions-calcul}, est d'inclure la réserve dans le revenu net d'exploitation servant à la capitalisation directe et de traiter explicitement, dans les flux actualisés, les dépenses en capital ponctuelles prévues : toiture, fenêtres, balcons, système de chauffage. La réserve couvre le renouvellement régulier des composantes à vie courte (électroménagers, revêtements, peinture) qu'un acheteur intègre dans son budget annuel ; les CAPEX couvrent les travaux lourds, discontinus, dont la date et le montant sont connus au moment de l'évaluation. Les deux ne doivent jamais couvrir les mêmes éléments : si la réserve est calibrée pour inclure la toiture, celle-ci ne doit pas réapparaître en CAPEX, et réciproquement. Le cas 3 programme \dollars{85000} en 2027 (maçonnerie et balcons), \dollars{40000} en 2029 (fenêtres) et \dollars{120000} en 2032 (toiture et chauffage) ; ces montants sont des hypothèses du dossier synthétique, et leur cohérence avec la réserve est assurée par construction, la réserve de \dollars{650} par logement ne visant que les composantes intérieures. Le revenu net et le flux avant dette de chaque année s'écrivent alors
++\begin{equation}\label{eq:30:flux}
++\NOI_t = RBE_t - DE_t - RR_t, \qquad CF_t = \NOI_t - CAPEX_t,
++\end{equation}
++où $DE_t$ sont les dépenses d'exploitation hors réserve et $RR_t$ la réserve. Le revenu net reste ainsi une mesure de la rentabilité d'exploitation comparable d'une année à l'autre et d'un immeuble à l'autre, tandis que le flux subit les à-coups des travaux. On notera que, selon le règlement sur la fixation des loyers, une partie des dépenses d'immobilisation est récupérable par une hausse de loyer (rendement de \pct{5}) ; le cas 3 ignore cette récupération, ce qui est prudent, et le \cref{ch:34} en modélise l'effet.
++
++\subsection{Les hypothèses du cas 3 et leur provenance}
++
++Le \cref{tab:30:hypotheses} rassemble les hypothèses du dossier. Elles sont lues par la fonction \texttt{traite.cas3.charger} depuis le fichier \texttt{cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json} et partagées avec les chapitres \ref{ch:29}, \ref{ch:31} et \ref{ch:47}.
++
++\begin{synthetique}
++Le cas 3 est un immeuble \emph{fictif} de douze logements construit en 1962 dans Rosemont--La Petite-Patrie, à Montréal (\texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_*.csv} et \texttt{.json}, générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py}, graine 20261031). L'état locatif, l'historique de dépenses, les quarante ventes comparables et les hypothèses de projection sont simulés ; leurs ordres de grandeur sont calibrés sur des publications publiques (loyers et inoccupation SCHL d'octobre 2025 pour la zone Rosemont, taux de capitalisation CBRE du troisième trimestre de 2026, taux hypothécaires de la Banque du Canada d'août 2026, taux de taxe de Montréal 2026, pourcentage TAL 2026 ; voir \texttt{data/synthetic/README.md} et \texttt{calibration.json}). Les relations entre variables, notamment la décote des loyers avec l'ancienneté du bail et l'ordre de relocation, sont des hypothèses pédagogiques. Aucun chiffre de ce chapitre relatif au cas 3 ne décrit un immeuble réel.
++\end{synthetique}
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\small
++\caption{Hypothèses de projection du cas 3 (immeuble fictif de 12 logements, Montréal) et provenance de leur calibration.}
++\label{tab:30:hypotheses}
++\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}lYl@{}}
++\toprule
++Hypothèse & Valeur retenue & Repère public (calibration) \\
++\midrule
++Date d'évaluation ; horizon $T$ & 1\textsuperscript{er} septembre 2026 ; 10 ans & convention usuelle \\
++Taux d'actualisation $r$ & \pct{7.25} (nominal, avant dette, avant impôt) & GdC 10 ans \pct{3.84} + primes ; CBRE \pct{4.50} + $g$ \\
++Taux terminal $R_T$ & \pct{5.00} = milieu CBRE \pct{4.50} + \qty{50}{\pb} & CBRE T3 2026, faible hauteur B : 4,25--\pct{4.75} \\
++Coûts de vente $c_v$ & \pct{2.5} de la valeur terminale brute & courtage et frais juridiques (hypothèse) \\
++Indexation des baux reconduits $g_c$ & \pct{3.1} par an & pourcentage de base TAL 2026 \\
++Croissance des loyers de marché $g_m$ & \pct{3.5} par an & IPC Québec \pct{3.1} ; SCHL 2 ch. Montréal +\pct{7.2} (2025) \\
++Rotation annuelle $\rho$ & \pct{15} des logements, les plus sous le marché d'abord & SCHL : rotation RMR Montréal \pct{9.4} (2025) \\
++Inoccupation et pertes $v$ & \pct{3.9} du RBP & SCHL : inocc. \pct{2.9} (2025), prévision \pct{3.8}--\pct{4.8} \\
++Croissance des dépenses $g_d$ & \pct{3.0} par an & IPC Québec \pct{3.1} \\
++Réserve de remplacement & \dollars{650}/logement, constante & convention de l'ouvrage (\cref{ch:28}) \\
++CAPEX programmés & \dollars{85000} (2027), \dollars{40000} (2029), \dollars{120000} (2032) & hypothèse du dossier \\
++Financement (\cref{ch:31}) & RPV max \pct{75}, RCD min $1{,}20$, \pct{4.12} nominal semestriel, 480 mois & BdC, fonds avancés assurés $\geq$ 5 ans, août 2026 \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{\synth{\texttt{data/synthetic/cas3\_montreal\_hypotheses\_dcf.json} ; repères : \textcite{cbrecaprates2026q3}, \textcite{bdcvalet}, \textcite{bdctauxhypothecaires2026}, \textcite{schlLocatif2025}, \textcite{schlpmh2026ete}, \textcite{talIndices2026}, \textcite{statcanipc}, consultés le 2026-10-31.}}
++\end{table}
++
++\section{La valeur terminale}\label{sec:30:vt}
++
++\subsection{Définition et conventions}
++
++À la fin de l'année $T$, l'immeuble est réputé vendu à un acheteur qui, à son tour, capitalise le revenu prospectif de sa première année de détention, c'est-à-dire le revenu de l'année $T+1$ :
++\begin{equation}\label{eq:30:vt}
++V_T = \frac{\NOI_{T+1}}{R_T}, \qquad V_T^{\text{net}} = V_T\,(1 - c_v),
++\end{equation}
++où $R_T$ est le \motcle{taux de capitalisation terminal} (\emph{terminal}, \emph{exit} ou \emph{going-out cap rate}) et $c_v$ la proportion de coûts de vente. L'usage de $\NOI_{T+1}$ plutôt que de $\NOI_T$ n'est pas une coquetterie : il applique à l'acheteur terminal exactement la convention prospective que le \cref{ch:29} applique à l'acheteur d'aujourd'hui, $V_0 = \NOI_1/R$. Capitaliser $\NOI_T$ sous-évaluerait la valeur terminale d'un facteur $(1+g)$, soit de \pct{3} à \pct{4} ; c'est l'une des erreurs les plus fréquentes dans les tableurs. Il faut en outre que $\NOI_{T+1}$ soit un revenu \emph{stabilisé}, sans dépense en capital exceptionnelle ni loyer anormalement bas, puisque l'acheteur terminal le capitalise à perpétuité ; si l'année $T+1$ doit porter des travaux lourds, on projette un revenu normalisé et l'on traite les travaux à part.
++
++La valeur présente de la valeur terminale s'obtient en l'actualisant sur $T$ années, et non sur $T+1$ : la vente a lieu à la fin de l'année $T$, au moment où le revenu de l'année $T+1$ n'est encore qu'une anticipation. La valeur de l'immeuble est alors
++\begin{equation}\label{eq:30:dcf}
++V_0 = \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t} + \frac{V_T\,(1 - c_v)}{(1+r)^T} = \sum_{t=1}^{T} \frac{\NOI_t - CAPEX_t}{(1+r)^t} + \frac{\NOI_{T+1}\,(1-c_v)}{R_T\,(1+r)^T}.
++\end{equation}
++C'est la formule que calcule \texttt{traite.finance.dcf}, et que le \cref{tab:30:dcf} applique ligne à ligne.
++
++\subsection{Pourquoi $R_T \geq R_0$}
++
++Il est d'usage de retenir un taux terminal au moins égal au taux de capitalisation courant $R_0$ ; le cas 3 ajoute \qty{50}{\pb} au milieu de la fourchette publiée par CBRE. Trois arguments fondent cette prudence. Le premier est le \emph{vieillissement} : à la fin de l'horizon, l'immeuble a dix ans de plus, sa dépréciation accumulée est plus grande et l'acheteur terminal anticipe une croissance de valeur plus faible ; par \eqref{eq:30:gordon}, un $g$ plus petit implique un $R$ plus grand. Le deuxième est l'\emph{incertitude} : le taux terminal s'applique dans dix ans à un marché que personne ne connaît ; à défaut de pouvoir le prévoir, on reconnaît que le marché exige une compensation pour ce risque. Le troisième est la \emph{réversion vers la moyenne} : lorsque les taux courants sont historiquement bas, comme ils l'ont été au Canada entre 2020 et 2022, supposer qu'ils le resteront dix ans plus tard revient à parier sur la persistance d'un extrême. L'argument inverse existe : si le revenu de l'année $T+1$ est enfin stabilisé après un rattrapage, l'acheteur terminal fait face à moins d'incertitude locative que l'acheteur d'aujourd'hui, et rien n'interdit un $R_T$ proche de $R_0$ dans un dossier bien argumenté. Ce qu'exige la rigueur, c'est que l'écart $R_T - R_0$ soit déclaré, justifié et soumis à l'analyse de sensibilité.
++
++La lecture par la relation de Gordon donne une vérification immédiate. Avec $r = \pct{7.25}$ et $R_T = \pct{5.00}$, la croissance implicite au-delà de l'horizon est $g_T = r - R_T = \pct{2.25}$ par an, contre \pct{3.5} pour les loyers de marché : l'écart de $1{,}25$ point est le rythme de dépréciation nette que le modèle prête à l'immeuble au-delà de 2036. Un taux terminal de \pct{4.25} impliquerait $g_T = \pct{3.0}$, c'est-à-dire presque aucune dépréciation ; un taux de \pct{5.75} impliquerait $g_T = \pct{1.5}$. Exprimer le taux terminal en croissance implicite est souvent plus parlant, pour le lecteur du rapport, que le taux lui-même.
++
++\subsection{Coûts de vente}
++
++Les coûts de vente sont ceux que supporte le \emph{vendeur} terminal : commission de courtage, honoraires juridiques et frais de quittance de l'hypothèque. Au Québec, les droits sur les mutations immobilières sont payés par l'acquéreur \parencite{quebecMutations} et ne réduisent donc pas le produit net du vendeur ; ils interviennent plutôt, pour l'acheteur d'aujourd'hui, dans les coûts d'acquisition que le DCF de la valeur marchande ne comprend pas. Le cas 3 retient \pct{2.5}, soit \dollars{79829} sur une valeur terminale brute de \dollars{3193168} ; actualisé, cet élément pèse \dollars{39645} sur la valeur, soit \pct{1.8}. Les coûts de vente sont souvent omis des DCF publiés ; leur omission surévalue la valeur de $c_v$ fois la part de la valeur terminale, et le \cref{tab:30:tornade} en mesure l'effet.
++
++\subsection{Le poids de la valeur terminale}
++
++Dans le cas 3, la valeur terminale actualisée représente \pct{70.0} de la valeur ; les flux des dix premières années n'en représentent que \pct{30.0}. Cette proportion est caractéristique des immeubles résidentiels à faible taux de capitalisation : par la proposition~\ref{prop:30:gordon}, elle vaut exactement $[(1+g)/(1+r)]^T$ sous croissance constante, soit \pct{70.1} pour $g = \pct{3.5}$, $r = \pct{7.25}$ et $T = 10$. Elle a une conséquence méthodologique majeure : les deux tiers de la conclusion de valeur reposent sur deux nombres, $\NOI_{11}$ et $R_T$, et sur la qualité du raisonnement qui les soutient, bien plus que sur le détail des dix années de projection. Un rapport qui consacre vingt pages à la projection et deux lignes au taux terminal a inversé l'ordre des priorités. Le \cref{tab:30:sens-rt} montre qu'un écart de \qty{25}{\pb} sur $R_T$ déplace la valeur de \pct{3.3} à \pct{3.7}, et un écart de \qty{75}{\pb} de \pct{9} à \pct{12}.
++
++\section{Flux avant et après financement, avant et après impôt}\label{sec:30:flux}
++
++\subsection{Quatre niveaux de flux}
++
++La projection peut s'arrêter à quatre niveaux, qui correspondent à quatre questions différentes. Le \emph{flux avant dette et avant impôt} ($CF_t = \NOI_t - CAPEX_t$) mesure ce que l'immeuble produit, indépendamment de la façon dont il est financé et de la situation fiscale de son propriétaire ; c'est lui qu'actualise le DCF de la \emph{valeur marchande}, car celle-ci est définie pour un acheteur typique, dont le financement est déjà reflété dans le taux d'actualisation du marché. Le \emph{flux après dette} ($CF_t - SD_t$, où $SD_t$ est le service de la dette) mesure ce qui revient aux fonds propres d'un investisseur donné ; il sert à la \emph{valeur d'investissement} et à l'analyse de la décision d'achat. Le \emph{flux après impôt} déduit en outre l'impôt sur le revenu de location, calculé après déduction des intérêts et de l'amortissement fiscal, et, l'année de la revente, l'impôt sur le gain en capital et la récupération d'amortissement. Le quatrième niveau, rarement explicité, est le flux après impôt et après réinvestissement, qui n'intéresse que la gestion de patrimoine.
++
++Les normes professionnelles n'imposent pas de niveau, mais elles imposent la cohérence entre le flux, le taux et la base de valeur : l'IVS~103 range la méthode des flux actualisés parmi les méthodes de l'approche par le revenu et exige que les hypothèses et intrants soient appropriés à la base de valeur retenue \parencite{ivs2025} ; les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent de divulguer toute hypothèse extraordinaire ayant une incidence directe sur l'évaluation et d'en indiquer l'incidence sur la valeur (règle~2.1~c), ainsi que de la rappeler à chaque conclusion de valeur (règle~2.3, élément~7) \parencite{oeaqNormes}. Une projection de dix ans contient des dizaines d'hypothèses ; toutes ne sont pas extraordinaires, mais celles qui le sont, par exemple la réalisation d'un CAPEX conditionnel ou la relocation au marché de logements dont les locataires contesteraient le loyer, doivent être identifiées comme telles.
++
++\subsection{Flux après financement et TRI des fonds propres}
++
++Soit $M_0$ le capital emprunté, $SD$ le service de la dette annuel constant d'un prêt à versements égaux, et $M_T$ le solde du prêt après $T$ années. L'investisseur qui paie $V_0$ apporte $E_0 = V_0 - M_0$ de fonds propres, reçoit chaque année $CF_t - SD$ et, l'année $T$, le produit net de revente $V_T(1-c_v) - M_T$. Le \motcle{TRI des fonds propres} avec levier, noté $y_E$, est la racine de
++\begin{equation}\label{eq:30:tri-levier}
++-E_0 + \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t - SD}{(1+y_E)^t} + \frac{V_T(1-c_v) - M_T}{(1+y_E)^T} = 0 .
++\end{equation}
++La fonction \texttt{traite.finance.rendement\_fonds\_propres\_levier} résout cette équation ; elle reçoit la série des flux avant dette, le prix, l'objet \texttt{Hypotheque} et la valeur de revente nette. Deux précisions comptent. D'abord, ce sont les flux \emph{après CAPEX} qui doivent être passés, car les travaux sont payés par le propriétaire et non par le prêteur, à moins qu'un financement de travaux ne soit explicitement modélisé. Ensuite, le solde $M_T$ est celui du tableau d'amortissement à la date de revente, calculé avec le taux périodique canadien ; le \cref{ch:31} détaille ce calcul, dont l'encadré ci-dessous donne l'essentiel.
++
++Le levier est dit \emph{positif} lorsque $y_E$ excède le rendement non endetté $r$, ce qui se produit lorsque le coût effectif de la dette est inférieur au rendement total de l'immeuble ; il est \emph{négatif} dans le cas contraire. Il faut distinguer ce levier sur le rendement \emph{total} du levier sur le rendement \emph{courant} : avec un taux de capitalisation de \pct{4.42} et une constante hypothécaire de \pct{5.08} (service de la dette annuel sur capital emprunté), chaque dollar emprunté coûte en service de la dette plus qu'il ne rapporte en revenu net la première année, et le rendement courant des fonds propres, dit \emph{cash-on-cash}, est faible ; c'est la croissance attendue du revenu et de la valeur qui rend le levier positif sur l'horizon. Cette situation, où $R < $ constante hypothécaire $<$ $r$, est celle du marché multirésidentiel montréalais de 2026 et elle explique pourquoi les prêteurs y contraignent les prêts par le ratio de couverture de la dette plutôt que par le ratio prêt-valeur (\cref{ch:31}).
++
++\begin{quebec}[Taux hypothécaires canadiens : la composition semestrielle]
++Au Canada, la Loi sur l'intérêt (L.R.C. 1985, c.~I-15, art.~6) exige que le taux d'un prêt hypothécaire à versements périodiques soit exprimé en taux annuel calculé semestriellement ou annuellement, non à l'avance. Un taux « de \pct{4.12} » affiché par un prêteur canadien est donc un taux nominal composé deux fois l'an, et le taux mensuel équivalent est
++\begin{equation}\label{eq:30:taux-mensuel}
++i_m = \left(1 + \frac{i}{2}\right)^{1/6} - 1 = (1{,}0206)^{1/6} - 1 = \pct{0.34042},
++\end{equation}
++et non $i/12 = \pct{0.34333}$ comme dans la convention américaine à composition mensuelle. Le taux effectif annuel est $(1 + i/2)^2 - 1 = \pct{4.1624}$. L'écart paraît mince, mais il modifie le paiement, le solde et le ratio de couverture : sur le prêt de \dollars{1475959} du cas 3 amorti sur 40 ans, le service de la dette annuel est de \dollars{74963} avec la convention canadienne. Les fonctions \texttt{taux\_mensuel\_canadien} et \texttt{Hypotheque} de la bibliothèque appliquent cette convention par défaut (\cref{app:conventions-calcul}) ; les tableurs importés des États-Unis ne le font pas. Le taux retenu, \pct{4.12}, est le taux effectif moyen des fonds avancés par les banques à charte pour les prêts hypothécaires résidentiels assurés à taux fixe de cinq ans et plus en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026} ; il sert de repère de calibration et ne préjuge pas du taux qu'obtiendrait un emprunteur donné pour un immeuble de douze logements, lequel dépend de l'assurance (SCHL, programme APH Select, dont le ratio de couverture minimal est de $1{,}10$ pour le locatif ordinaire selon la page consultée le 2026-10-31 ; \parencite{schlaphselect}) et du terme.
++\end{quebec}
++
++\subsection{L'impôt : un survol}
++
++Le traitement fiscal n'est pas développé dans cet ouvrage, dont l'objet est la valeur marchande, par définition avant impôt. Le lecteur retiendra seulement le cadre. Le revenu net de location est imposable entre les mains du propriétaire après déduction des intérêts et d'une déduction pour amortissement sur le coût du bâtiment, mais non du terrain ; l'amortissement fiscal, qui n'est pas une dépense décaissée, réduit l'impôt courant mais est récupéré à la revente si le prix excède la fraction non amortie du coût ; la plus-value excédant le coût est un gain en capital, dont une fraction seulement est imposable. Le DCF après impôt actualise ces flux à un taux après impôt propre à l'investisseur, ce qui donne une valeur d'investissement, non une valeur marchande \parencite{brueggemanFisher2022}. Les taux, catégories et fractions évoluent avec les lois fiscales fédérale et québécoise et doivent être vérifiés à la date de l'analyse ; aucun n'est cité ici.
++
++\section{TRI, VAN, TRI modifié et cohérence avec la capitalisation directe}\label{sec:30:tri}
++
++\subsection{Valeur actuelle nette et taux de rendement interne}
++
++Soit une série de flux $CF_0, CF_1, \dots, CF_T$, où $CF_0 < 0$ est l'investissement initial. La \motcle{valeur actuelle nette} au taux $r$ et le \motcle{taux de rendement interne} sont définis par
++\begin{equation}\label{eq:30:van-tri}
++\VAN(r) = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1+r)^t}, \qquad \VAN(\TRI) = 0 .
++\end{equation}
++La VAN répond à la question « combien l'achat à ce prix crée-t-il ou détruit-il de valeur pour un investisseur dont le rendement exigé est $r$ ? » ; le TRI répond à « quel rendement l'achat à ce prix procure-t-il ? ». Les deux sont liés par une identité fondamentale : si le prix payé est exactement la valeur DCF $V_0$ calculée au taux $r$, alors $\VAN(r) = 0$ et $\TRI = r$. Ce n'est pas un résultat empirique mais une tautologie, et elle fournit le premier test de tout tableur DCF : en remplaçant $CF_0$ par $-V_0$ dans \eqref{eq:30:van-tri}, le TRI de la série $(-V_0, CF_1, \dots, CF_T + V_T^{\text{net}})$ doit redonner $r$ à la précision de la machine. Le script du cas 3 vérifie que le TRI de l'investisseur non endetté payant \dollars{2208566} est bien \pct{7.2500}. Payer moins que $V_0$ procure plus que $r$ : l'investisseur qui obtiendrait l'immeuble du cas 3 à la valeur par capitalisation directe, \dollars{2037503}, réaliserait un TRI de \pct{8.25} si les projections se vérifiaient.
++
++Le TRI se calcule numériquement, la VAN étant un polynôme en $1/(1+r)$ ; la bibliothèque procède par bissection sur un intervalle où la VAN change de signe, puis raffine par la méthode de Newton. Quand la VAN est strictement décroissante en $r$, ce qui est le cas des \emph{flux conventionnels} (un seul changement de signe, l'investissement initial négatif suivi de flux positifs), le TRI est unique et bien défini.
++
++\subsection{Flux non conventionnels et TRI multiples}
++
++Dès que la série comporte plusieurs changements de signe, la règle des signes de Descartes n'exclut plus l'existence de plusieurs TRI réels, ou d'aucun. Les flux immobiliers après dette sont souvent dans ce cas : une année de travaux lourds peut rendre le flux des fonds propres négatif, comme en 2027 et 2032 dans le cas 3, où le flux après dette est de $-\dollars{60451}$ puis $-\dollars{58205}$. La série des fonds propres du cas 3 compte ainsi cinq changements de signe. En pratique, lorsque l'investissement initial domine les flux négatifs intermédiaires, la VAN reste monotone sur la plage de taux pertinente et un seul TRI existe ; le script le vérifie en constatant que la VAN des fonds propres est positive à \pct{8} (\dollars{243468}) et négative à \pct{12} ($-\dollars{48366}$). Mais l'analyste ne doit jamais tenir cette unicité pour acquise ; il trace la VAN en fonction du taux, ou il recourt au TRI modifié.
++
++Le \motcle{TRI modifié} (MIRR) lève l'ambiguïté en séparant deux hypothèses que le TRI confond : le coût de financement des flux négatifs et le taux de réinvestissement des flux positifs. Les flux négatifs sont actualisés à $t = 0$ au taux de financement $i_f$, les flux positifs sont capitalisés à $t = T$ au taux de réinvestissement $i_r$, et le MIRR est le taux qui égalise les deux montants :
++\begin{equation}\label{eq:30:mirr}
++\text{MIRR} = \left( \frac{\sum_{t:\,CF_t>0} CF_t\,(1+i_r)^{T-t}}{-\sum_{t:\,CF_t<0} CF_t\,(1+i_f)^{-t}} \right)^{1/T} - 1 .
++\end{equation}
++Le MIRR est unique par construction et il corrige l'hypothèse héroïque du TRI, selon laquelle les flux intermédiaires sont réinvestis au TRI lui-même. Si $i_f = i_r = r$ et que le prix payé est $V_0$, alors MIRR $= r$ : c'est une seconde identité de contrôle. Pour les fonds propres du cas 3, avec un taux de financement de \pct{4.12} et un taux de réinvestissement de \pct{7.25}, le MIRR est de \pct{10.61}, contre un TRI de \pct{11.22} ; l'écart mesure ce que le TRI doit à l'hypothèse de réinvestissement des flux à \pct{11.22}.
++
++\subsection{Cohérence entre le DCF et la capitalisation directe}\label{sec:30:coherence}
++
++La question revient dans toute réconciliation : le DCF et la capitalisation directe sont-ils deux méthodes ou deux présentations d'une même méthode ? La proposition suivante répond : ce sont deux présentations, exactement équivalentes sous les hypothèses de Gordon, et dont l'écart, hors de ces hypothèses, mesure précisément l'information que la capitalisation directe ne peut pas porter.
++
++\begin{proposition}{Équivalence du DCF et de la capitalisation directe sous croissance constante}{30:gordon}
++Soit $\NOI_t = \NOI_1 (1+g)^{t-1}$ pour tout $t \geq 1$, avec $0 \leq g < r$, aucune dépense en capital hors réserve et aucun coût de vente. Si le taux terminal est $R_T = r - g$, alors, pour tout horizon $T \geq 1$,
++\[
++V_0^{\text{DCF}}(T) = \sum_{t=1}^{T} \frac{\NOI_t}{(1+r)^t} + \frac{\NOI_{T+1}}{(r-g)(1+r)^T} = \frac{\NOI_1}{r-g} = V_0^{\text{cap}},
++\]
++et la part de la valeur terminale dans la valeur est $\left[(1+g)/(1+r)\right]^T$.
++\end{proposition}
++
++\begin{proof}
++Posons $q = (1+g)/(1+r) < 1$. La somme des flux actualisés est $\sum_{t=1}^{T} \NOI_1 (1+g)^{t-1}(1+r)^{-t} = \dfrac{\NOI_1}{1+r}\sum_{k=0}^{T-1} q^k = \dfrac{\NOI_1}{1+r}\cdot\dfrac{1-q^T}{1-q}$. Or $(1+r)(1-q) = (1+r) - (1+g) = r - g$, donc cette somme vaut $\dfrac{\NOI_1}{r-g}(1 - q^T)$. La valeur terminale actualisée est $\dfrac{\NOI_1(1+g)^T}{(r-g)(1+r)^T} = \dfrac{\NOI_1}{r-g}\,q^T$. En additionnant, les termes en $q^T$ s'annulent et il reste $\NOI_1/(r-g)$, indépendant de $T$. La part de la valeur terminale est le rapport du second terme au total, soit $q^T$.
++\end{proof}
++
++La démonstration dit plus que l'énoncé. Elle montre d'abord que, sous croissance constante, l'horizon n'a \emph{aucune} influence sur la valeur : allonger la projection déplace de la valeur depuis la valeur terminale vers les flux, à hauteur de $q^T$, sans changer le total. Le script du cas 3 le vérifie numériquement pour $T = 5$, $10$ et $30$ : avec $\NOI_1 = \dollars{100000}$, $r = \pct{7.25}$ et $g = \pct{3.5}$, le DCF donne \dollars{2666667} dans les trois cas, avec une part terminale de \pct{83.7}, \pct{70.1} et \pct{34.4} respectivement. Elle montre ensuite que l'égalité repose sur l'alignement $R_T = r - g$ : un taux terminal plus élevé que $r - g$ donne un DCF inférieur à la capitalisation directe, quelle que soit la précision de la projection. Elle montre enfin ce qui la brise : des coûts de vente $c_v > 0$ donnent, par le même calcul,
++\begin{equation}\label{eq:30:corollaire-cv}
++V_0^{\text{DCF}}(T) = \frac{\NOI_1}{r-g}\left[1 - c_v\,q^T\right],
++\end{equation}
++soit, pour le cas 3, une réduction de $0{,}025 \times 0{,}701 = \pct{1.75}$ ; et une trajectoire de revenu non géométrique, par exemple un rattrapage des loyers, fait diverger les deux méthodes d'une quantité qui mesure la valeur de ce rattrapage.
++
++C'est exactement ce que l'on observe dans le cas 3. La capitalisation directe au taux médian de \pct{4.42} donne \dollars{2037503} ; le DCF donne \dollars{2208566}, soit \dollars{171063} ou \pct{8.4} de plus. Cet écart n'est pas une erreur de l'une ou l'autre méthode ; il s'explique entièrement. Le revenu net de la première année, \dollars{89956}, est celui d'un immeuble dont les loyers sont \pct{11.0} sous le marché ; la projection le fait croître de \pct{5.9} par an en moyenne sur dix ans, dont \pct{4.6} pour le revenu brut potentiel, bien au-delà des \pct{2.83} que le taux médian de \pct{4.42} implique pour un immeuble typique du marché. Le DCF valorise ce rattrapage ; la capitalisation directe, qui n'en sait rien, ne le peut pas. En sens inverse, le taux de capitalisation implicite du DCF, $\NOI_1 / V_0 = \pct{4.07}$, est inférieur au taux médian : c'est le taux qu'un acheteur informé du potentiel de rattrapage accepterait sur le revenu courant. La réconciliation (\cref{ch:33,ch:47}) consiste alors à juger si les comparables dont le taux médian a été extrait présentaient eux aussi des loyers sous le marché, auquel cas le taux de \pct{4.42} incorpore déjà une part de rattrapage et le DCF en compte une partie deux fois, ou s'ils étaient stabilisés, auquel cas l'écart est légitime. Le taux de \pct{4.07} peut aussi être comparé au bas de la fourchette CBRE, \pct{4.25} : le DCF place le sujet légèrement sous le marché publié, ce qui est plausible pour un immeuble au revenu courant déprimé par ses baux.
++
++\section{Exemple intégral : le DCF du cas 3}\label{sec:30:exemple}
++
++\begin{exemple}{Flux actualisés sur dix ans de l'immeuble de douze logements de Rosemont}{30:cas3}
++Tous les chiffres de cette section sont calculés par \texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, qui n'appelle que \texttt{traite.cas3} (fonctions \texttt{rne}, \texttt{taux\_extraits}, \texttt{projection\_dcf}, \texttt{valeur\_dcf}, \texttt{financement}) et \texttt{traite.finance}. Le chapitre~\ref{ch:29} a établi le revenu net normalisé de la première année et le taux global médian ; le chapitre~\ref{ch:31} reprendra le financement ; le chapitre~\ref{ch:47} réconciliera l'ensemble.
++\end{exemple}
++
++\subsection{Point de départ : la première année}
++
++Le revenu brut potentiel contractuel des douze baux est de \dollars{165540} ; au loyer de marché, il serait de \dollars{186036}, soit un écart de \dollars{20496} (\pct{11.0}). La provision pour inoccupation et pertes de \pct{3.9} retranche \dollars{6456} ; les autres revenus (stationnement, buanderie) ajoutent \dollars{9360} ; le revenu brut effectif est de \dollars{168444}. Les dépenses d'exploitation normalisées hors réserve s'élèvent à \dollars{70385} et la réserve de remplacement à \dollars{8103} (douze fois \dollars{650}, arrondie dans le dossier), pour un ratio de dépenses de \pct{46.6} du revenu brut effectif ; le revenu net d'exploitation de la première année est de \dollars{89956}, soit \dollars{7496} par logement. Le taux global extrait des quarante ventes comparables a une médiane de \pct{4.415}, une moyenne de \pct{4.404}, une moyenne pondérée par le revenu net de \pct{4.332} et un intervalle interquartile de \pct{4.152} à \pct{4.638} ; la capitalisation directe au taux médian donne \dollars{2037503}.
++
++\subsection{Projection des revenus et des dépenses}
++
++Le \cref{tab:30:projection} déroule la projection pendant onze ans, la onzième année ne servant qu'à la valeur terminale. Le revenu brut potentiel passe de \dollars{165540} à \dollars{259911}, soit \pct{4.6} par an, par l'effet conjugué de l'indexation à \pct{3.1} et de la relocation de deux logements par an environ ($0{,}15 \times 12 = 1{,}8$, arrondi à 2) au loyer de marché ; l'écart au marché se réduit de \pct{11.0} à \pct{1.0}. Les dépenses hors réserve croissent de \pct{3} par an ; la réserve est constante. Le revenu net passe de \dollars{89956} à \dollars{159658}, soit \pct{5.9} par an : la croissance du revenu net excède celle du revenu brut parce que les dépenses, qui en absorbent près de la moitié la première année, croissent moins vite que les loyers. Cet effet de levier opérationnel est la raison pour laquelle les immeubles à loyers déprimés présentent des taux de capitalisation courants bas et des croissances de revenu net élevées.
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\footnotesize
++\caption{Projection des revenus et des dépenses du cas 3, années 1 à 11 (dollars courants). L'année 11 ne sert qu'au calcul de la valeur terminale.}
++\label{tab:30:projection}
++\begin{tabular}{@{}cc S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=4.0] S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++Année & Exercice & {RBP contractuel (\$)} & {RBP au marché (\$)} & {RBE (\$)} & {Dépenses hors réserve (\$)} & {Réserve (\$)} & {RNE (\$)} \\
++\midrule
++1 & 2026 & 165540 & 186036 & 168444 & 70385 & 8103 & 89956 \\
++2 & 2027 & 177389 & 192547 & 180112 & 72497 & 8103 & 99512 \\
++3 & 2028 & 188095 & 199286 & 190689 & 74672 & 8103 & 107915 \\
++4 & 2029 & 199953 & 206261 & 202383 & 76912 & 8103 & 117368 \\
++5 & 2030 & 209340 & 213481 & 211710 & 79219 & 8103 & 124388 \\
++6 & 2031 & 218250 & 220952 & 220589 & 81596 & 8103 & 130890 \\
++7 & 2032 & 226565 & 228686 & 228905 & 84044 & 8103 & 136759 \\
++8 & 2033 & 234307 & 236690 & 236681 & 86565 & 8103 & 142013 \\
++9 & 2034 & 242513 & 244974 & 244912 & 89162 & 8103 & 147647 \\
++10 & 2035 & 251101 & 253548 & 253521 & 91837 & 8103 & 153581 \\
++\midrule
++11 & 2036 & 259911 & 262422 & 262353 & 94592 & 8103 & 159658 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py} (fonction \texttt{traite.cas3.projection\_dcf}), graine 20261031. RBE = RBP $\times$ (1 $-$ 0,039) + autres revenus (\dollars{9360} indexés à \pct{3}).}}
++\end{table}
++
++\subsection{Flux, actualisation et valeur}
++
++Le \cref{tab:30:dcf} soustrait les dépenses en capital, applique le facteur d'actualisation $(1{,}0725)^{-t}$ et cumule les valeurs présentes. Les trois années de travaux ramènent le flux avant dette à \dollars{14512} en 2027 et \dollars{16759} en 2032 ; la \cref{fig:30:flux} en donne l'image. La somme des valeurs présentes des dix flux est de \dollars{662410}.
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\footnotesize
++\caption{Flux avant dette, facteur d'actualisation à \pct{7.25} et valeurs présentes du cas 3, années 1 à 10.}
++\label{tab:30:dcf}
++\begin{tabular}{@{}c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=1.6] S[table-format=5.0] S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++Année $t$ & {RNE (\$)} & {CAPEX (\$)} & {Flux $CF_t$ (\$)} & {$(1+r)^{-t}$} & {VA (\$)} & {VA cumulée (\$)} \\
++\midrule
++1 & 89956 & 0 & 89956 & 0.932401 & 83875 & 83875 \\
++2 & 99512 & 85000 & 14512 & 0.869371 & 12616 & 96491 \\
++3 & 107915 & 0 & 107915 & 0.810603 & 87476 & 183967 \\
++4 & 117368 & 40000 & 77368 & 0.755807 & 58475 & 242442 \\
++5 & 124388 & 0 & 124388 & 0.704715 & 87658 & 330100 \\
++6 & 130890 & 0 & 130890 & 0.657077 & 86005 & 416105 \\
++7 & 136759 & 120000 & 16759 & 0.612659 & 10267 & 426373 \\
++8 & 142013 & 0 & 142013 & 0.571244 & 81124 & 507497 \\
++9 & 147647 & 0 & 147647 & 0.532628 & 78641 & 586138 \\
++10 & 153581 & 0 & 153581 & 0.496623 & 76272 & 662410 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonctions \texttt{traite.finance.facteur\_va} et \texttt{traite.cas3.valeur\_dcf}. Les valeurs présentes sont calculées sans arrondi intermédiaire ; la somme des VA arrondies peut différer d'un dollar du total.}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-flux.pdf}
++\caption{Haut : revenu net d'exploitation, dépenses en capital et flux net avant dette du cas 3 sur dix ans ; les travaux de 2027, 2029 et 2032 creusent le flux sans affecter le revenu net. Bas : valeur présente cumulée des flux (\dollars{662410}, soit \pct{30} de la valeur) et apport de la valeur terminale actualisée (\dollars{1546156}, soit \pct{70}) pour atteindre $V_0 = \dollars{2208566}$.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_flux.py}, graine 20261031}}
++\label{fig:30:flux}
++\end{figure}
++
++La valeur terminale capitalise le revenu net de l'année 11, \dollars{159658}, au taux terminal de \pct{5.00} : $V_{10} = 159\,658 / 0{,}05 = \dollars{3193168}$. Les coûts de vente de \pct{2.5}, soit \dollars{79829}, la ramènent à \dollars{3113338} ; actualisée sur dix ans par le facteur $0{,}496623$, elle vaut \dollars{1546156}. La valeur de l'immeuble est donc
++\[
++V_0 = 662\,410 + 1\,546\,156 = \dollars{2208566},
++\]
++soit \dollars{184047} par logement et un taux de capitalisation implicite sur le revenu courant de \pct{4.07}. La valeur terminale représente \pct{70.0} du total. Le \cref{tab:30:synthese} résume la décomposition. Conformément aux conventions de l'ouvrage, la conclusion de valeur arrondie que porterait un rapport serait de l'ordre de \dollars{2210000}, le détail au dollar près n'ayant de sens que pour la traçabilité du calcul.
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\small
++\caption{Décomposition de la valeur DCF du cas 3.}
++\label{tab:30:synthese}
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.0] S[table-format=3.1]@{}}
++\toprule
++Composante & {Montant (\$)} & {Part (\%)} \\
++\midrule
++Valeur présente des flux avant dette, années 1 à 10 & 662410 & 30.0 \\
++Revenu net de l'année 11 & 159658 & \\
++Valeur terminale brute ($\NOI_{11}/0{,}05$) & 3193168 & \\
++Coûts de vente (\pct{2.5}) & -79829 & \\
++Valeur terminale nette & 3113338 & \\
++Valeur présente de la valeur terminale nette ($\times\,0{,}496623$) & 1546156 & 70.0 \\
++\midrule
++Valeur DCF $V_0$ & 2208566 & 100.0 \\
++Valeur par capitalisation directe (\pct{4.415}) & 2037503 & \\
++Écart DCF $-$ capitalisation directe & 171063 & 8.4 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}}}
++\end{table}
++
++\subsection{Flux après dette et TRI des fonds propres}
++
++Le financement est celui que détermine \texttt{traite.cas3.financement} à partir de la valeur DCF et du revenu net de la première année : un prêt au plus égal à \pct{75} de la valeur, soit \dollars{1656424}, et au plus tel que le ratio de couverture de la dette atteigne $1{,}20$ sur le revenu net de la première année. Au taux nominal de \pct{4.12} composé semestriellement et sur un amortissement de 480 mois, la constante hypothécaire est de \pct{5.079} et le prêt maximal par le ratio de couverture est de \dollars{1475959} ; c'est cette seconde contrainte qui lie, et le prêt retenu représente \pct{66.83} de la valeur. Le paiement mensuel est de \dollars{6247}, le service de la dette annuel de \dollars{74963}, la mise de fonds de \dollars{732606}. Après 120 paiements, le solde du prêt est de \dollars{1295148} ; le produit net de revente qui revient aux fonds propres l'année 10 est donc $3\,113\,338 - 1\,295\,148 = \dollars{1818190}$.
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\footnotesize
++\caption{Flux après service de la dette et flux des fonds propres du cas 3 (prêt de \dollars{1475959} à \pct{4.12}, 480 mois ; mise de fonds \dollars{732606}).}
++\label{tab:30:levier}
++\begin{tabular}{@{}c S[table-format=6.0] S[table-format=6.0] S[table-format=5.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=1.2] S[table-format=-7.0]@{}}
++\toprule
++Année & {RNE (\$)} & {Flux avant dette (\$)} & {Service de la dette (\$)} & {Flux après dette (\$)} & {RCD} & {Flux des fonds propres (\$)} \\
++\midrule
++0 & & & & & & -732606 \\
++1 & 89956 & 89956 & 74963 & 14993 & 1.20 & 14993 \\
++2 & 99512 & 14512 & 74963 & -60451 & 1.33 & -60451 \\
++3 & 107915 & 107915 & 74963 & 32951 & 1.44 & 32951 \\
++4 & 117368 & 77368 & 74963 & 2405 & 1.57 & 2405 \\
++5 & 124388 & 124388 & 74963 & 49425 & 1.66 & 49425 \\
++6 & 130890 & 130890 & 74963 & 55927 & 1.75 & 55927 \\
++7 & 136759 & 16759 & 74963 & -58205 & 1.82 & -58205 \\
++8 & 142013 & 142013 & 74963 & 67050 & 1.89 & 67050 \\
++9 & 147647 & 147647 & 74963 & 72684 & 1.97 & 72684 \\
++10 & 153581 & 153581 & 74963 & 78618 & 2.05 & 1896808 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonctions \texttt{traite.cas3.financement}, \texttt{traite.finance.flux\_apres\_financement} et \texttt{rendement\_fonds\_propres\_levier}. Le flux des fonds propres de l'année 10 comprend le produit net de revente (\dollars{3113338} $-$ solde \dollars{1295148}). Le RCD est le rapport du RNE au service de la dette.}}
++\end{table}
++
++Le \cref{tab:30:levier} montre que le ratio de couverture, de $1{,}20$ la première année, monte à $2{,}05$ la dixième, mais que le flux après dette est négatif les deux années de travaux lourds : le propriétaire doit alors apporter \dollars{60451} puis \dollars{58205}, ou disposer d'une facilité de crédit. Le rendement courant des fonds propres la première année est de \pct{2.05} seulement (\dollars{14993} sur \dollars{732606}) : c'est la manifestation du levier négatif sur le revenu courant lorsque le taux de capitalisation, \pct{4.42}, est inférieur à la constante hypothécaire, \pct{5.08}. Sur l'horizon, en revanche, le TRI des fonds propres est de \pct{11.22}, contre \pct{7.25} pour l'investisseur non endetté : le levier est positif sur le rendement total, parce que le coût effectif de la dette, \pct{4.16}, est très inférieur au rendement total de l'immeuble. La série des fonds propres comporte cinq changements de signe ; son TRI est néanmoins unique sur la plage de taux pertinente, et le TRI modifié, avec financement à \pct{4.12} et réinvestissement à \pct{7.25}, est de \pct{10.61}.
++
++\section{Analyse de sensibilité et scénarios}\label{sec:30:sensibilite}
++
++\subsection{Sensibilité au taux d'actualisation et au taux terminal}
++
++Les deux taux sont les intrants les plus discutés d'un DCF et les plus incertains. La \cref{fig:30:surface} représente la valeur du cas 3 pour neuf valeurs de $r$ et sept valeurs de $R_T$ ; le \cref{tab:30:sens-rt} isole l'effet du taux terminal. On y lit trois choses. La valeur décroît dans les deux directions, de façon presque linéaire sur la plage considérée : \qty{25}{\pb} de taux d'actualisation valent environ \pct{2} de valeur, \qty{25}{\pb} de taux terminal environ \pct{3.5}. Le taux terminal pèse davantage que le taux d'actualisation pour un même écart en points de base, parce qu'il agit sur \pct{70} de la valeur par un rapport $1/R_T$ dont la dérivée, $-V_T/R_T$, est grande quand $R_T$ est petit. Enfin, les deux taux se compensent partiellement lorsqu'ils bougent ensemble, ce qui est le cas le plus réaliste : une hausse générale des taux d'intérêt relève à la fois le rendement exigé et le taux terminal ; la cellule ($r = \pct{8.00}$, $R_T = \pct{5.50}$) donne \dollars{1948000}, soit \pct{11.8} de moins que la base, et c'est le scénario de hausse des taux examiné plus bas.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-surface.pdf}
++\caption{Valeur DCF du cas 3 (milliers de dollars) selon le taux d'actualisation $r$ (lignes) et le taux de capitalisation terminal $R_T$ (colonnes), toutes autres hypothèses à leur valeur de base ; la cellule encadrée est la base (\dollars{2208566}). La valeur est plus sensible à \qty{25}{\pb} de $R_T$ qu'à \qty{25}{\pb} de $r$.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_surface.py}, graine 20261031}}
++\label{fig:30:surface}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\small
++\caption{Sensibilité de la valeur du cas 3 au taux de capitalisation terminal, $r = \pct{7.25}$ et coûts de vente de \pct{2.5} inchangés.}
++\label{tab:30:sens-rt}
++\begin{tabular}{@{}S[table-format=1.2] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=2.1] S[table-format=-2.1]@{}}
++\toprule
++{$R_T$ (\%)} & {VT brute (\$)} & {VT nette (\$)} & {VA de la VT (\$)} & {Valeur $V_0$ (\$)} & {Part VT (\%)} & {Écart à la base (\%)} \\
++\midrule
++4.25 & 3756668 & 3662751 & 1819007 & 2481417 & 73.3 & 12.4 \\
++4.50 & 3547964 & 3459265 & 1717951 & 2380361 & 72.2 & 7.8 \\
++4.75 & 3361229 & 3277198 & 1627533 & 2289943 & 71.1 & 3.7 \\
++5.00 & 3193168 & 3113338 & 1546156 & 2208566 & 70.0 & 0.0 \\
++5.25 & 3041112 & 2965084 & 1472530 & 2134939 & 69.0 & -3.3 \\
++5.50 & 2902880 & 2830308 & 1405596 & 2068006 & 68.0 & -6.4 \\
++5.75 & 2776667 & 2707251 & 1344483 & 2006893 & 67.0 & -9.1 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{sensibilite\_taux\_terminal}}}
++\end{table}
++
++\subsection{Le diagramme en tornade}
++
++Le diagramme en tornade (\cref{fig:30:tornade} et \cref{tab:30:tornade}) fait varier chaque intrant entre une borne basse et une borne haute, les autres étant maintenus à leur valeur de base, et classe les intrants par l'amplitude de leur effet. Les bornes doivent être comparables en vraisemblance, faute de quoi le classement ne reflète que l'arbitraire des plages choisies ; celles du cas 3 représentent, pour chaque intrant, un écart que l'analyste juge plausible à dix ans. Le résultat renverse une idée reçue : les intrants dominants ne sont pas les taux, mais les croissances. Une croissance des loyers de marché de \pct{2.5} au lieu de \pct{3.5} retranche \dollars{153390} ; une croissance de \pct{4.5} ajoute \dollars{214845}, soit une amplitude de \dollars{368235}, le double de celle du taux d'actualisation (\dollars{179218} pour $\pm\qty{50}{\pb}$). La croissance des dépenses vient en deuxième (\dollars{214045} pour un écart de deux points), devant l'indexation des baux reconduits (\dollars{207429}). Ce classement tient au mécanisme de levier opérationnel : avec un ratio de dépenses de \pct{46.6}, un point de croissance de plus sur les loyers ou de moins sur les dépenses se transmet presque doublé au revenu net de l'année 11, et donc à la valeur terminale. L'asymétrie de certaines barres est instructive : la rotation produit un effet asymétrique (\dollars{-67649} à \pct{5}, \dollars{+23089} à \pct{25}) parce que l'écart au marché, déjà presque résorbé à \pct{15}, ne peut guère se résorber davantage ; les CAPEX, l'inoccupation et les coûts de vente produisent des effets symétriques parce qu'ils entrent linéairement.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=135mm]{ch30/ch30-fig-tornade.pdf}
++\caption{Diagramme en tornade de la valeur DCF du cas 3 : variation de la valeur (milliers de dollars) lorsque chaque intrant est porté à sa borne basse (bleu) ou haute (orange), les autres étant à leur valeur de base. Les hypothèses de croissance dominent les taux ; l'effet de la rotation est asymétrique.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch30\_tornade.py}, graine 20261031}}
++\label{fig:30:tornade}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\footnotesize
++\caption{Tornade du cas 3 : valeur aux bornes basse et haute de chaque intrant et amplitude (dollars), base \dollars{2208566}.}
++\label{tab:30:tornade}
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.0] S[table-format=7.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=-6.0] S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++Intrant (borne basse / haute) & {$V$ basse (\$)} & {$V$ haute (\$)} & {$\Delta$ basse (\$)} & {$\Delta$ haute (\$)} & {Amplitude (\$)} \\
++\midrule
++Croissance des loyers de marché (2,5 / \pct{4.5}) & 2055176 & 2423411 & -153390 & 214845 & 368235 \\
++Croissance des dépenses (2,0 / \pct{4.0}) & 2310942 & 2096898 & 102376 & -111668 & 214045 \\
++Indexation des baux reconduits (2,0 / \pct{4.0}) & 2118624 & 2326053 & -89942 & 117487 & 207429 \\
++Taux d'actualisation $r$ ($-50$ / $+\qty{50}{\pb}$) & 2300356 & 2121138 & 91790 & -87428 & 179218 \\
++Taux terminal $R_T$ ($-25$ / $+\qty{25}{\pb}$) & 2289943 & 2134939 & 81377 & -73626 & 155003 \\
++Rotation annuelle (5 / \pct{25}) & 2140916 & 2231655 & -67649 & 23089 & 90738 \\
++CAPEX ($-25$ / $+\pct{25}$) & 2252978 & 2164154 & 44412 & -44412 & 88824 \\
++Inoccupation et pertes (2,9 / \pct{4.9}) & 2246652 & 2170480 & 38086 & -38086 & 76173 \\
++Coûts de vente (1,5 / \pct{3.5}) & 2224424 & 2192708 & 15858 & -15858 & 31716 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{tornade}}}
++\end{table}
++
++\subsection{Trois scénarios narratifs}
++
++La sensibilité fait varier un intrant à la fois ; les scénarios font varier ensemble les intrants qu'une même cause affecterait. Le \cref{tab:30:scenarios} en présente trois et les lit de deux façons : la valeur que l'évaluateur conclurait si le scénario était son cas de base, et le sort de l'investisseur qui a payé la valeur de base, \dollars{2208566}, avec le prêt de base, si le scénario se matérialise ensuite.
++
++Le scénario \emph{de base} est celui des sections précédentes. Le scénario \emph{d'encadrement serré des loyers} suppose que le pourcentage de base de la fixation retombe à \pct{2.0}, que la rotation ralentit à \pct{8} par an, par exemple parce que les locataires en place, conscients de l'avantage de leur bail, ne bougent plus, et que les loyers de marché eux-mêmes ne croissent que de \pct{3.0}, le marché s'étant détendu ; c'est le scénario qu'examine en détail le \cref{ch:34}. Le revenu net de l'année 11 tombe à \dollars{137845}, la valeur à \dollars{1912046}, soit \pct{13.4} de moins ; l'investisseur qui a payé la base n'obtient plus que \pct{5.49} sans levier et \pct{7.48} sur ses fonds propres, le levier restant positif mais réduit, et le flux de ses fonds propres descend à $-\dollars{75657}$ l'année des travaux de 2027. Le scénario \emph{de hausse des taux} suppose que le rendement exigé monte à \pct{8.00}, le taux terminal à \pct{5.50} et que le prêt est renouvelé à \pct{5.12} dès l'origine, approximation d'un renouvellement à l'échéance du terme de cinq ans que le \cref{ch:31} traite exactement ; la valeur tombe à \dollars{1947889}, soit \pct{11.8} de moins, le service de la dette monte à \dollars{86183}, le ratio de couverture minimal descend à $1{,}04$, sous le seuil de $1{,}20$ exigé à l'origine, et l'investisseur qui a payé la base n'obtient que \pct{6.44} sans levier et \pct{8.31} sur ses fonds propres. Dans les deux scénarios adverses, le levier reste positif, mais la marge de sécurité disparaît : un ratio de couverture de $1{,}04$ signifie qu'une inoccupation de deux logements de plus suffirait à rendre le flux après dette négatif de façon durable. Le \cref{ch:40} généralise cette approche en tirant les intrants de lois de probabilité plutôt que de les fixer par scénarios, dans la tradition ouverte par \textcite{pyhrr1973} et \textcite{wofford1978} et développée par \textcite{frenchGabrielli2005} et \textcite{hoesliJaniBender2006}.
++
++\begin{table}[htbp]
++\centering\small
++\caption{Trois scénarios pour le cas 3 : hypothèses, valeur conclue sous le scénario, et rendements de l'investisseur qui a payé la valeur de base (\dollars{2208566}) avec le prêt de base (\dollars{1475959}).}
++\label{tab:30:scenarios}
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=7.2] S[table-format=7.2] S[table-format=7.2]@{}}
++\toprule
++ & {Base} & {Encadrement serré} & {Hausse des taux} \\
++\midrule
++Taux d'actualisation $r$ (\%) & 7.25 & 7.25 & 8.00 \\
++Taux terminal $R_T$ (\%) & 5.00 & 5.00 & 5.50 \\
++Indexation des baux reconduits (\%) & 3.1 & 2.0 & 3.1 \\
++Croissance des loyers de marché (\%) & 3.5 & 3.0 & 3.5 \\
++Rotation annuelle (\%) & 15 & 8 & 15 \\
++Taux hypothécaire (\%) & 4.12 & 4.12 & 5.12 \\
++\midrule
++$\NOI_{11}$ (\$) & 159658 & 137845 & 159658 \\
++Valeur terminale nette (\$) & 3113338 & 2687973 & 2830308 \\
++Valeur $V_0$ (\$) & 2208566 & 1912046 & 1947889 \\
++Écart à la base (\%) & 0.0 & -13.4 & -11.8 \\
++Part de la valeur terminale (\%) & 70.0 & 69.8 & 67.3 \\
++\midrule
++Service de la dette (\$) & 74963 & 74963 & 86183 \\
++RCD minimal sur l'horizon & 1.20 & 1.20 & 1.04 \\
++TRI sans levier si payé \dollars{2208566} (\%) & 7.25 & 5.49 & 6.44 \\
++TRI des fonds propres si payé \dollars{2208566} (\%) & 11.22 & 7.48 & 8.31 \\
++Flux des fonds propres le plus bas (\$) & -60451 & -75657 & -71671 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch30\_dcf.py}, fonction \texttt{scenarios}. Dans le scénario de hausse des taux, le prêt de base est supposé porté à \pct{5.12} dès l'origine.}}
++\end{table}
++
++\subsection{Ce que l'analyse de sensibilité doit dire au lecteur du rapport}
++
++Un rapport d'évaluation par DCF ne devrait jamais présenter une valeur seule. Il devrait présenter la valeur de base, les deux ou trois intrants qui la gouvernent avec la plage sur laquelle ils ont été examinés, la fourchette de valeurs qui en résulte et la raison pour laquelle l'évaluateur retient la base plutôt qu'un autre point de la fourchette. Dans le cas 3, cette présentation tiendrait en quelques phrases : la valeur de \dollars{2210000} repose d'abord sur la croissance attendue des loyers de marché et sur le taux terminal ; une croissance inférieure d'un point ou un taux terminal supérieur de \qty{50}{\pb} ramèneraient la valeur vers \dollars{2060000}, une croissance supérieure d'un point la porterait vers \dollars{2420000} ; la valeur par capitalisation directe, \dollars{2040000}, se situe dans la partie basse de cette fourchette, ce qui s'explique par le potentiel de rattrapage des loyers que la capitalisation directe ignore. \textcite{frenchGabrielli2004} ont montré que les destinataires des rapports comprennent mieux une opinion assortie de sa fourchette qu'un nombre isolé, et les normes vont dans ce sens en exigeant la divulgation des hypothèses.
++
++\begin{erreurs}
++\begin{itemize}
++\item \textbf{Compter deux fois les réserves et les CAPEX.} Inclure dans le revenu net une réserve de remplacement calibrée pour la toiture et les fenêtres, puis inscrire ces mêmes travaux en CAPEX dans les flux, soustrait deux fois la même dépense. La convention de l'ouvrage réserve la réserve aux composantes à vie courte et les CAPEX aux travaux lourds datés ; un taux terminal extrait de ventes dont le revenu net excluait toute réserve ne doit pas être appliqué à un $\NOI_{T+1}$ après réserve.
++\item \textbf{Capitaliser $\NOI_T$ au lieu de $\NOI_{T+1}$, ou actualiser la valeur terminale sur $T+1$ années.} La première erreur sous-évalue la valeur terminale d'un facteur $(1+g)$ ; la seconde, d'un facteur $(1+r)$ : dans le cas 3, actualiser la valeur terminale nette sur onze ans au lieu de dix la réduirait de \dollars{1546156} à \dollars{1441637}, soit \dollars{104519} de moins sur la valeur (\pct{4.7}). Les deux erreurs se cumulent souvent dans un tableur dont la colonne « année 11 » a été ajoutée après coup.
++\item \textbf{Mélanger flux nominaux et taux réels.} Projeter des loyers et des dépenses en dollars courants, puis actualiser à un taux « réel » ou appliquer un taux terminal implicitement réel, surévalue la valeur ; projeter des flux constants en dollars d'aujourd'hui et les actualiser à un taux nominal la sous-évalue. La relation de Fisher \eqref{eq:30:fisher} impose la cohérence.
++\item \textbf{Prendre le TRI pour un rendement réalisé.} Le TRI suppose le réinvestissement des flux intermédiaires au TRI lui-même et il peut ne pas être unique quand les flux changent plusieurs fois de signe ; le MIRR et la VAN à un taux explicite sont plus robustes.
++\item \textbf{Oublier que la valeur terminale porte \pct{70} de la valeur.} Une projection minutieuse des dix premières années ne compense pas un taux terminal choisi sans justification ; le taux terminal doit être exprimé aussi en croissance implicite $g_T = r - R_T$ et discuté.
++\item \textbf{Supposer la relocation au marché sans réserve.} Au Québec, le nouveau locataire informé du loyer précédent peut en demander la fixation ; l'hypothèse doit être tempérée ou déclarée comme hypothèse extraordinaire.
++\item \textbf{Appliquer un taux hypothécaire américain.} Un taux canadien est composé semestriellement ; utiliser $i/12$ surestime le service de la dette et sous-estime le ratio de couverture.
++\end{itemize}
++\end{erreurs}
++
++\begin{limites}
++Le DCF n'est pas plus « exact » que la capitalisation directe ; il est plus explicite. Ses résultats dépendent d'hypothèses sur dix ans dont aucune n'est observable, et la précision apparente du tableau au dollar près ne doit pas être confondue avec la précision de la conclusion, qui est de l'ordre de la fourchette révélée par l'analyse de sensibilité. Les taux d'actualisation du marché multirésidentiel québécois ne font l'objet d'aucune enquête publique vérifiée à la date de rédaction ; le taux de \pct{7.25} du cas 3 est une hypothèse raisonnée, non une observation. Les hypothèses de rotation (\pct{15}), de relocation intégrale au loyer de marché et d'ordre de relocation sont des hypothèses pédagogiques du dossier synthétique ; les décisions de fixation du TAL, l'évolution de la méthode réglementaire après 2026 et le comportement des locataires peuvent s'en écarter. Les CAPEX du cas 3 sont fictifs et la récupération partielle des dépenses d'immobilisation par la fixation des loyers n'est pas modélisée. Le traitement fiscal est hors du champ. Enfin, la réconciliation entre le DCF et la capitalisation directe suppose de connaître l'état locatif des comparables, information rarement disponible, de sorte que l'écart de \pct{8.4} observé dans le cas 3 ne peut être attribué avec certitude au seul rattrapage des loyers.
++\end{limites}
++
++\begin{synthese}
++\begin{itemize}
++\item Sous croissance constante, $V_0 = \NOI_1/(r-g)$ et $R = r - g$ : le taux de capitalisation est le rendement exigé moins la croissance attendue de la \emph{valeur}, qui est inférieure à celle des loyers d'un immeuble qui vieillit.
++\item Le taux d'actualisation s'ancre sur un taux sans risque daté (GdC 10 ans : \pct{3.84} le 29 octobre 2026) et se justifie par trois lectures croisées : TRI implicites de ventes, taux de capitalisation publiés plus croissance, construction par primes.
++\item La projection distingue loyers contractuels (indexation TAL, \pct{3.1} en 2026) et loyers de marché, reliés par la rotation ; les CAPEX datés sont soustraits des flux, la réserve reste dans le revenu net, sans double compte.
++\item $V_T = \NOI_{T+1}/R_T$, nette des coûts de vente, actualisée sur $T$ années ; $R_T \geq R_0$ par vieillissement, incertitude et réversion ; la valeur terminale porte \pct{70} de la valeur du cas 3.
++\item Le DCF de la valeur marchande actualise les flux avant dette et avant impôt ; le TRI des fonds propres avec levier se calcule sur les flux après dette et après CAPEX, avec un solde hypothécaire à composition semestrielle.
++\item $\VAN(r) = 0$ et $\TRI = r$ quand le prix est $V_0$ ; les flux non conventionnels appellent la VAN ou le MIRR.
++\item Le DCF et la capitalisation directe coïncident si et seulement si la croissance est constante et $R_T = r - g$ ; leur écart mesure la valeur du changement de régime du revenu. Cas 3 : \dollars{2208566} contre \dollars{2037503}, soit $+\pct{8.4}$, attribuable au rattrapage des loyers.
++\item La sensibilité classe les intrants : croissance des loyers de marché, croissance des dépenses et indexation des baux dominent les taux ; un rapport présente la fourchette, non un nombre.
++\end{itemize}
++\end{synthese}
++
++\section*{Exercices}
++
++\begin{exercice}[1]{Taux de capitalisation, taux d'actualisation et croissance}{ex:30:1}
++Un investisseur exige un rendement total de \pct{7.25} sur un immeuble locatif dont il anticipe que le revenu net et la valeur croîtront de \pct{3.5} par an à perpétuité. (a) Quel taux de capitalisation est-il prêt à accepter ? Quelle valeur attribue-t-il à un revenu net de première année de \dollars{100000} ? (b) Le marché affiche un taux de capitalisation médian de \pct{4.415} ; quelle croissance de la valeur ce taux implique-t-il pour un rendement exigé de \pct{7.25} ? Quel rendement exigé implique-t-il pour une croissance de \pct{3.5} ? (c) Expliquer pourquoi la croissance implicite en (b) est inférieure à la croissance attendue des loyers de marché.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[1]{Valeur terminale et date d'actualisation}{ex:30:2}
++Le revenu net projeté de l'année 11 d'un immeuble est de \dollars{159658.38}. (a) Calculer la valeur terminale brute à la fin de l'année 10 au taux terminal de \pct{5.0}, puis la valeur terminale nette de coûts de vente de \pct{2.5}. (b) Actualiser la valeur terminale nette à \pct{7.25} sur dix ans. (c) Un collègue l'a actualisée sur onze ans ; calculer son résultat et l'écart. (d) Recalculer la valeur terminale nette avec un taux terminal de \pct{5.5} et commenter.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Un DCF à cinq ans}{ex:30:3}
++Un petit immeuble doit produire les flux avant dette suivants : \dollars{62000}, \dollars{64000}, \dollars{20000} (année de travaux), \dollars{68000} et \dollars{70000} pour les années 1 à 5 ; le revenu net stabilisé de l'année 6 est estimé à \dollars{72000}. Le taux d'actualisation est de \pct{7.0}, le taux terminal de \pct{5.0}, les coûts de vente de \pct{3.0}. (a) Calculer la valeur présente des flux, la valeur terminale brute et nette, sa valeur présente et la valeur de l'immeuble. (b) Quelle part de la valeur provient de la valeur terminale ? (c) Le vendeur demande \dollars{1300000} ; calculer la VAN à \pct{7.0} et le TRI d'un achat à ce prix.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Composition semestrielle}{ex:30:4}
++Un prêt de \dollars{1000000} est consenti au taux de \pct{4.12}, amorti sur 300 mois. (a) Calculer le taux mensuel selon la convention canadienne (composition semestrielle) et selon la convention américaine (composition mensuelle), puis le taux effectif annuel dans chaque cas. (b) Calculer le paiement mensuel dans chaque convention et l'écart annuel de service de la dette. (c) Dans quel sens une erreur de convention biaise-t-elle le ratio de couverture de la dette ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Vérifier la proposition d'équivalence}{ex:30:5}
++Un immeuble a un revenu net de première année de \dollars{90000} qui croît de \pct{3.5} par an ; le rendement exigé est de \pct{7.25}. (a) Calculer la valeur par capitalisation directe au taux de Gordon. (b) Calculer la valeur par DCF avec un taux terminal $R_T = r - g$ pour des horizons de 5, 10 et 20 ans, sans coûts de vente, et la part de la valeur terminale dans chaque cas. (c) Reprendre l'horizon de 10 ans avec des coûts de vente de \pct{2.5} et vérifier la formule \eqref{eq:30:corollaire-cv}.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Variante du cas 3}{ex:30:6}
++À l'aide des fonctions \texttt{traite.cas3.projection\_dcf} et \texttt{traite.cas3.valeur\_dcf} (ou en reproduisant le \cref{tab:30:dcf}), recalculer la valeur du cas 3 avec un taux d'actualisation de \pct{7.75} et un taux terminal de \pct{5.5}, toutes autres hypothèses inchangées. Donner la valeur présente des flux, la valeur terminale nette, sa valeur présente, la valeur, la part de la valeur terminale, l'écart à la base et le taux de capitalisation implicite sur le revenu de la première année. Commenter la cohérence de ce taux implicite avec la fourchette CBRE de \pct{4.25} à \pct{4.75}.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{TRI des fonds propres, flux non conventionnels et MIRR}{ex:30:7}
++Reprendre la série des flux des fonds propres du cas 3 (\cref{tab:30:levier}). (a) Compter les changements de signe et expliquer pourquoi l'unicité du TRI n'est pas garantie a priori. (b) Calculer la VAN des fonds propres à \pct{8} et à \pct{12} et en déduire un encadrement du TRI ; retrouver le TRI. (c) Calculer le MIRR avec un taux de financement de \pct{4.12} et un taux de réinvestissement de \pct{7.25} et interpréter l'écart avec le TRI. (d) Quelle disposition pratique un investisseur doit-il prendre face aux flux négatifs de 2027 et 2032 ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Décomposer l'écart entre DCF et capitalisation directe}{ex:30:8}
++Dans le cas 3, le DCF donne \dollars{2208566} et la capitalisation directe au taux médian de \pct{4.415} donne \dollars{2037503}. (a) Calculer le taux de capitalisation implicite du DCF sur le revenu net de la première année et la croissance de long terme implicite du taux médian ($g = r - R$). (b) Calculer la croissance annualisée du revenu net entre l'année 1 et l'année 11 de la projection, et la comparer à la croissance implicite. (c) Calculer le TRI que réaliserait un acheteur qui paierait la valeur par capitalisation directe et obtiendrait les flux projetés. (d) Énoncer deux hypothèses sur les comparables sous lesquelles l'écart de \pct{8.4} serait, respectivement, entièrement légitime ou partiellement un double compte.
++\end{exercice}
++
++\section*{Pour aller plus loin}
++
++\textcite{geltnerMillerClaytonEichholtz2014}, \emph{Commercial Real Estate Analysis and Investments}, demeure l'exposé le plus complet de la méthode des flux actualisés appliquée à l'immobilier : la relation entre taux de capitalisation, rendement exigé et croissance, le traitement des flux avant et après financement, la valeur terminale et ses coûts de revente y sont développés avec une rigueur qui a inspiré ce chapitre. \textcite{baumCrosbyDevaney2021}, \emph{Property Investment Appraisal}, confrontent la capitalisation implicite britannique (\emph{all-risks yield}) au DCF explicite et consacrent de longs développements au taux cible et à sa justification ; leur distinction entre évaluation et analyse d'investissement rejoint celle, faite ici, entre valeur marchande et valeur d'investissement. \textcite{fisherMartin2007} et \textcite{brueggemanFisher2022} offrent des traitements plus pédagogiques, le second avec un chapitre sur le DCF après impôt que le présent ouvrage n'aborde pas. \textcite{appraisal2026}, seizième édition de \emph{The Appraisal of Real Estate}, présente les conventions nord-américaines de l'analyse par flux actualisés telles que les enseigne l'Appraisal Institute. Sur l'incertitude, \textcite{frenchGabrielli2004,frenchGabrielli2005} proposent d'exprimer les intrants du DCF comme des distributions et d'en communiquer la fourchette, et \textcite{hoesliJaniBender2006} appliquent la simulation de Monte-Carlo à la valeur DCF ; ces travaux préparent le \cref{ch:40}. Sur la dimension empirique, \textcite{plazziTorousValkanov2010} et \textcite{ghysels2013} examinent ce que les taux de capitalisation prédisent des rendements et de la croissance des loyers, ce qui donne un fondement statistique à la lecture $r = R + g$ ; \textcite{bokhariGeltner2018} mesurent la dépréciation des immeubles multirésidentiels et justifient l'écart entre croissance des loyers et croissance de la valeur. Pour les encadrements réglementaires des loyers et leurs effets sur la trajectoire des revenus, \textcite{arnott1995} et \textcite{kholodilin2024} fournissent le cadre théorique et la recension empirique qu'approfondit le \cref{ch:34}.

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+ Sur le marché des immeubles, les transactions de petits multilogements restent soutenues : le prix médian des plex de deux à cinq logements atteint \dollars{950000} dans le secteur Rosemont au troisième trimestre 2026 (+\pct{2} sur un an) \parencite{apciqbaromontreal2026}, indicateur de la vigueur de la demande des petits investisseurs et des acheteurs-occupants, même si les plex ne sont pas des comparables directs d'un douze logements. Pour les immeubles d'appartements, CBRE situe les taux de capitalisation du multirésidentiel de faible hauteur de catégorie B à Montréal entre \pct{4.25} et \pct{4.75} au troisième trimestre 2026, en légère hausse \parencite{cbrecaprates2026q3} ; l'écart avec l'obligation du Canada à dix ans (\pct{3.84}) n'est que d'une soixantaine de points de base pour le haut de la fourchette, ce qui illustre la compression persistante des taux résidentiels par rapport aux autres catégories d'actifs, phénomène documenté par \textcite{chervachidzeWheaton2013} et \textcite{ducaLing2020} dans le cycle précédent.
+ Sur le marché des capitaux, la Banque du Canada a maintenu son taux directeur à \pct{2.25} pendant toute la période précédant la date d'évaluation, puis l'a relevé à \pct{2.50} le 28~octobre 2026, première hausse depuis juillet 2023 \parencite{bdc20261028}. Le taux hypothécaire conventionnel à cinq ans affiché par les banques est de \pct{6.19}, mais les taux effectivement consentis sur les prêts assurés à taux fixe de cinq ans et plus s'établissaient à \pct{4.12} en août 2026 \parencite{bdctauxhypothecaires2026} ; c'est ce dernier taux, représentatif d'un prêt multilogement assuré par la SCHL, que le dossier retient pour l'analyse de financement. On note dès maintenant une tension centrale du dossier : un taux hypothécaire de \pct{4.12} amorti sur quarante ans correspond à une constante hypothécaire d'environ \pct{5.08}, supérieure au taux de capitalisation de \pct{4.42} que nous extrairons du marché ; le levier financier est donc négatif sur le revenu courant, ce que la \cref{sec:47:financement} mesure et dont le \chref{31} a exposé la théorie.
++
++\section{Analyse de l'état locatif}\label{sec:47:etat-locatif}
++
++L'état locatif est la pièce maîtresse du dossier : il fixe le revenu que l'acheteur percevra effectivement et détermine, par comparaison avec les loyers de marché, le potentiel de rattrapage. Le \cref{tab:47:etat-locatif} présente les douze baux. Tous se terminent le 30~juin 2027, conformément à l'usage montréalais du bail de douze mois courant du 1\textsuperscript{er} juillet au 30~juin ; aucun n'inclut le chauffage ; six comportent une case de stationnement. Le loyer de marché de chaque logement a été estimé par l'évaluateur à partir des loyers demandés pour des logements semblables du quartier et des moyennes de la SCHL pour la zone Rosemont, en tenant compte de la taille, de l'étage et de l'état intérieur. La \cref{fig:47:etat-locatif} met les deux séries en regard.
++
++\begin{table}[htbp]\centering
++\caption{État locatif au 1\textsuperscript{er} septembre 2026 : loyer contractuel, loyer de marché estimé et écart (données synthétiques).}\label{tab:47:etat-locatif}
++\small\begin{tabular}{@{}l c S[table-format=2.0] S[table-format=4.0] S[table-format=4.0] S[table-format=3.0] S[table-format=2.1] c S[table-format=2.0] c@{}}
++\toprule
++Log. & Type & {m\textsuperscript{2}} & {Loyer contrat (\$/mois)} & {Loyer marché (\$/mois)} & {Écart (\$)} & {Écart (\%)} & Bail depuis & {Ancienneté (ans)} & Stat. \\
++\midrule
++101 & 3½ & 55 & 917 & 1015 & 98 & 9.7 & 2021 & 5 & oui \\
++102 & 3½ & 52 & 788 & 1004 & 216 & 21.5 & 2014 & 12 & oui \\
++103 & 3½ & 51 & 728 & 1047 & 319 & 30.5 & 2008 & 18 & non \\
++104 & 3½ & 49 & 1068 & 1090 & 22 & 2.0 & 2025 & 1 & oui \\
++201 & 4½ & 73 & 1144 & 1345 & 201 & 14.9 & 2018 & 8 & non \\
++202 & 4½ & 68 & 1191 & 1240 & 49 & 4.0 & 2024 & 2 & oui \\
++203 & 4½ & 70 & 1167 & 1372 & 205 & 14.9 & 2018 & 8 & non \\
++204 & 4½ & 71 & 1064 & 1251 & 187 & 14.9 & 2018 & 8 & oui \\
++301 & 4½ & 75 & 1328 & 1356 & 28 & 2.1 & 2025 & 1 & non \\
++302 & 4½ & 72 & 1258 & 1478 & 220 & 14.9 & 2018 & 8 & non \\
++303 & 5½ & 96 & 1526 & 1622 & 96 & 5.9 & 2023 & 3 & oui \\
++304 & 5½ & 93 & 1616 & 1683 & 67 & 4.0 & 2024 & 2 & non \\
++\midrule
++Total & & 825 & 13795 & 15503 & 1708 & 11.0 & & {6,3 (moy.)} & 6 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{cas3\_montreal\_etat\_locatif.csv} ; échéance de tous les baux : 2027-06-30 ; chauffage non inclus ; script \texttt{ch47\_dossier.py}.}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]\centering
++\includegraphics{ch47/ch47-fig-etat-locatif.pdf}
++\caption{Loyer contractuel et loyer de marché estimé pour chacun des douze logements ; l'écart relatif, inscrit au-dessus de chaque paire, croît avec l'ancienneté du bail et atteint \pct{30.5} pour le logement 103 occupé depuis 2008.}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch47\_dossier\_figures.py}, graine 20261031.}}
++\end{figure}
++
++Le loyer contractuel mensuel total est de \dollars{13795}, contre \dollars{15503} au marché : l'écart global est de \pct{11.0}, soit \dollars{142} par logement et par mois en moyenne, et \dollars{20496} par an. La structure de cet écart est caractéristique des immeubles anciens du Québec. Les quatre logements reloués depuis 2024 (104, 202, 301, 304) sont à moins de \pct{4} du marché ; les cinq baux signés en 2018 accusent un retard homogène de \pct{14.9} après huit reconductions ; les deux baux les plus anciens, 102 (2014) et 103 (2008), sont respectivement \pct{21.5} et \pct{30.5} sous le marché. Le jeu synthétique a été construit avec une décote de \pct{2} par année d'ancienneté, hypothèse pédagogique qui reproduit l'écart cumulé entre les augmentations accordées selon les critères du Tribunal administratif du logement et la croissance des loyers de marché, laquelle a dépassé \pct{7} par an en 2024 et 2025 dans la région \parencite{schlLocatif2025}. La littérature sur les régimes de contrôle des loyers dits « de deuxième génération », qui encadrent la hausse des baux en cours sans fixer le loyer des nouvelles locations, prédit exactement cette dispersion croissante entre locataires anciens et récents \parencite{arnott1995,kholodilin2024}.
++
++\subsection{Les contraintes juridiques du rattrapage}
++
++L'évaluateur ne peut pas supposer que l'acheteur portera les loyers au marché au 1\textsuperscript{er} juillet 2027. Quatre mécanismes du droit québécois gouvernent l'évolution du revenu et doivent être traduits en hypothèses de projection.
++
++Premièrement, le bail se reconduit de plein droit et le locateur qui veut en modifier les conditions doit transmettre un avis « au moins trois mois, mais pas plus de six mois, avant l'arrivée du terme », soit entre le 1\textsuperscript{er} janvier et le 31~mars 2027 pour des baux échéant le 30~juin \parencite[art.~1941 à 1945]{ccq}. Le locataire peut refuser l'augmentation dans le mois tout en demeurant dans les lieux ; le locateur doit alors saisir le Tribunal dans le mois suivant le refus, faute de quoi le bail est reconduit aux conditions antérieures \parencite[art.~1947]{ccq}. Le Tribunal fixe le loyer selon les critères du Règlement sur les critères de fixation de loyer, profondément remanié par le décret 1455-2025 entré en vigueur le 1\textsuperscript{er} janvier 2026 : le nouvel article~3 énumère six critères, dont un pourcentage de base fondé sur la moyenne des trois dernières variations annuelles de l'indice des prix à la consommation du Québec, la variation des taxes municipales et scolaires et des primes d'assurance, et un rendement de \pct{5} sur les dépenses d'immobilisation de la période de référence \parencite[art.~3 et 3.1]{reglCriteresFixation,decret1455_2025}. Pour les avis donnés à compter du 1\textsuperscript{er} janvier 2026, le pourcentage de base est de \pct{3.1} pour 2026 ; celui de 2027 n'était pas publié à la date du rapport \parencite{talIndices2026,talCommunique2026}. La projection retient donc une croissance des loyers contractuels de \pct{3.1} par an, en précisant qu'il s'agit du pourcentage de base et que la part des taxes et des immobilisations, variable, est traitée en analyse de sensibilité. Le point essentiel pour l'évaluation est que la valeur locative de marché « n'est pas un critère à prendre en considération » en fixation, comme le Tribunal l'a rappelé dans ses résumés de décisions \parencite{talResumesDecisions} : le déficit de loyer d'un bail ancien ne se résorbe pas par la fixation.
++
++Deuxièmement, le rattrapage ne survient qu'au départ du locataire. Le nouveau locataire doit être informé du loyer le plus bas payé au cours des douze mois précédents (section~G du bail) et peut, dans les dix jours, demander la fixation du loyer \parencite[art.~1896 et 1950]{ccq} ; en pratique, la relocation au marché est fréquente mais non garantie. Le taux de rotation de \pct{9.4} observé par la SCHL dans la région de Montréal en 2025, en baisse par rapport à \pct{11.1} en 2024 \parencite{schlrmltables2025}, s'applique à l'ensemble du parc ; pour un immeuble dont la moitié des locataires bénéficient de loyers nettement inférieurs au marché, la rotation est vraisemblablement plus faible encore, puisque ces locataires ont le plus à perdre à déménager. Le dossier retient néanmoins une rotation de \pct{15} par an, soit environ deux logements, en posant que les locataires les plus sous le marché partent en premier ; cette hypothèse, plus favorable au propriétaire que les données de la SCHL, est volontairement soumise au test de résistance de la \cref{sec:47:montecarlo}, où elle varie de \pct{8} à \pct{25}.
++
++Troisièmement, les réformes législatives récentes modifient la marge de man\oe uvre du locateur dans les deux sens. La loi dite « Loi 31 » a permis au locateur de refuser une cession de bail « pour un motif autre qu'un motif sérieux », le bail étant alors résilié à la date de cession indiquée \parencite[art.~1978.2]{ccq,loi31_2024}, ce qui met fin, en pratique, au transfert des baux anciens à loyer bas entre locataires et accélère le retour au marché lors des départs. À l'inverse, la « Loi 65 » interdit toute éviction aux fins de subdivision, d'agrandissement ou de changement d'affectation « avant le 6~juin 2027 » \parencite[art.~1]{loi65_2024} et élargit la protection des locataires aînés aux personnes de 65~ans ou plus occupant le logement depuis au moins dix ans et disposant d'un revenu modeste \parencite[art.~1959.1]{ccq}. Les indemnités d'éviction ont été portées, pour les évictions permises, à un mois de loyer par année d'occupation, entre trois et vingt-quatre mois, plus les frais de déménagement \parencite[art.~1965]{ccq}. Pour un prêteur, ces règles signifient qu'aucune stratégie de repositionnement rapide (rénovation lourde avec évictions) ne peut être valorisée dans la valeur marchande : le scénario de base doit être celui de la continuation de l'exploitation locative avec rattrapage au gré des départs.
++
++Quatrièmement, la vente de l'immeuble ne modifie rien aux baux \parencite[art.~1937]{ccq} et le locateur ne peut exiger aucun dépôt de garantie \parencite[art.~1904]{ccq} ; les loyers de juillet et août 2026 déjà perçus par le vendeur et les ajustements à la date de signature relèvent de l'acte de vente et non de l'évaluation. Le formulaire obligatoire de déclarations du vendeur de l'OACIQ ne s'applique qu'aux immeubles résidentiels de moins de cinq logements \parencite{oaciqFormulaireDV,oaciqContexteDV} : pour un douze logements, l'évaluateur doit obtenir lui-même du vendeur, ou par le courtier, la liste des avis d'augmentation envoyés, des refus reçus et des demandes pendantes devant le Tribunal, informations qui n'ont pas été fournies dans le dossier fictif et dont l'absence est signalée comme limite.
++
++\subsection{Vacance économique}
++
++Le taux d'inoccupation de la SCHL mesure la part des logements vacants à une date donnée ; il ne mesure ni les pertes de loyer entre deux baux, ni les mauvaises créances, ni les concessions. L'évaluateur retient une provision combinée pour inoccupation et mauvaises créances de \pct{3.9} du revenu brut potentiel contractuel. Ce taux résulte du rapprochement de trois éléments : le taux d'inoccupation de \pct{2.9} de la région métropolitaine en octobre 2025 et de \pct{2.2} pour les immeubles de six à dix-neuf logements de l'île \parencite{schlLocatif2025,schlrmltables2025} ; la détente anticipée vers \pct{3.8} en 2026 et \pct{4.5} en 2027 \parencite{schlpmh2026ete} ; et une provision d'environ un point pour les mauvaises créances et les pertes à la rotation, qui, avec deux logements relocalisés par an et un mois perdu à chaque fois, représente à elle seule près de \pct{1.4} du revenu. Aucune statistique officielle ne mesure la vacance économique des petits immeubles québécois ; le \chref{27} a discuté les ordres de grandeur et leur incertitude, et le test de résistance fait varier ce taux de \pct{2.4} à \pct{6.3} au centile 5 et 95.
++
++\section{Revenus}\label{sec:47:revenus}
++
++Le revenu brut potentiel (RBP) est la somme des loyers contractuels annualisés :
++\begin{equation}\label{eq:47:rbp}
++RBP = 12 \sum_{i=1}^{12} L_i = 12 \times \dollars{13795} = \dollars{165540},
++\end{equation}
++où $L_i$ est le loyer mensuel du logement $i$ au 1\textsuperscript{er} septembre 2026. Au marché, le même calcul donnerait \dollars{186036} ; l'écart de \dollars{20496} est le déficit de loyer annuel dont la résorption progressive constitue la principale source de croissance du revenu dans la projection. Le choix du RBP \emph{contractuel} comme base de la première année découle directement du droit évalué : le locateur perçoit les loyers des baux en vigueur, et la première année de la projection court du 1\textsuperscript{er} septembre 2026 au 31~août 2027, période pendant laquelle les loyers ne peuvent changer qu'au 1\textsuperscript{er} juillet 2027, pour les deux derniers mois ; l'effet est négligeable et la convention de l'ouvrage retient le loyer en place pour toute la première année.
++
++Les autres revenus comprennent la location des six cases de stationnement, la buanderie commune et les frais de rangement, pour un total de \dollars{9360} par an, soit \dollars{65} par logement et par mois en moyenne ; ces revenus ne sont pas soumis à la provision pour inoccupation, car ils sont soit facturés par bail (stationnement), soit indépendants de l'occupation d'un logement donné. Le revenu brut effectif (RBE) s'écrit
++\begin{equation}\label{eq:47:rbe}
++RBE = RBP\,(1 - v) + R_{\text{autres}} = \dollars{165540} \times (1 - \num{0.039}) + \dollars{9360} = \dollars{168443.94},
++\end{equation}
++la provision pour inoccupation et mauvaises créances s'élevant à \dollars{6456.06}. Le \cref{tab:47:revenus} récapitule la construction du revenu.
++
++\begin{table}[htbp]\centering
++\caption{Construction du revenu brut effectif de première année (données synthétiques).}\label{tab:47:revenus}
++\small\begin{tabular}{@{}L{7.4cm}S[table-format=6.2]S[table-format=3.1]@{}}
++\toprule
++Poste & {Montant (\$)} & {\% du RBP} \\
++\midrule
++Revenu brut potentiel, loyers contractuels (12 baux) & 165540.00 & 100.0 \\
++\quad pour mémoire : RBP aux loyers de marché & 186036.00 & 112.4 \\
++Moins : inoccupation et mauvaises créances (\pct{3.9}) & -6456.06 & -3.9 \\
++Plus : autres revenus (stationnement, buanderie, rangement) & 9360.00 & 5.7 \\
++\midrule
++Revenu brut effectif & 168443.94 & 101.8 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite/cas3.py}, fonction \texttt{revenus} ; script \texttt{ch47\_dossier.py}.}}
++\end{table}
++
++\section{Dépenses d'exploitation}\label{sec:47:depenses}
++
++\subsection{Historique 2023-2025}
++
++Le vendeur a fourni les états de dépenses des trois derniers exercices (\cref{tab:47:depenses-historique}). Le total passe de \dollars{66992} en 2023 à \dollars{70693} en 2025, soit une croissance annuelle moyenne de \pct{2.7}, inférieure à la croissance des assurances et de l'énergie, mais tirée vers le bas par la stabilité des taxes municipales pendant la dernière année du rôle 2023-2025. Trois observations guident la normalisation. Les taxes municipales de 2025 (\dollars{10631}) reflètent le rôle précédent ; elles doivent être recalculées sur la valeur inscrite au rôle 2026-2028. Les assurances ont bondi de \pct{9.9} en 2024 puis reculé en 2025, le propriétaire ayant changé d'assureur ; la prime 2025 est retenue comme base. La « réserve de remplacement » inscrite par le propriétaire (\dollars{8103} en 2025, soit \dollars{675} par logement) correspond aux achats effectifs d'électroménagers et de revêtements de l'exercice plutôt qu'à une dotation régulière ; elle est conservée à ce niveau comme dotation normalisée, l'ordre de grandeur étant conforme à la convention de l'ouvrage, et elle n'est pas indexée puisqu'elle sera révisée à chaque exercice. Aucune tarification distincte de l'eau n'apparaît : à Montréal, le service d'eau des immeubles résidentiels est financé par la taxe foncière générale, et le poste reste à zéro.
++
++\begin{table}[htbp]\centering
++\caption{Dépenses d'exploitation déclarées par le vendeur, 2023 à 2025 (données synthétiques, \$ courants).}\label{tab:47:depenses-historique}
++\small\begin{tabular}{@{}L{5.6cm}S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=3.1]@{}}
++\toprule
++Poste & {2023} & {2024} & {2025} & {Var. 2025/2023 (\%)} \\
++\midrule
++Taxes municipales & 10649 & 10853 & 10631 & -0.2 \\
++Taxe scolaire & 1782 & 1712 & 1744 & -2.1 \\
++Assurances & 11474 & 12614 & 11060 & -3.6 \\
++Électricité (aires communes) & 3792 & 4062 & 4260 & 12.3 \\
++Chauffage (aires communes, gaz) & 2608 & 2654 & 2892 & 10.9 \\
++Eau et égouts & 0 & 0 & 0 & {—} \\
++Entretien et réparations & 10434 & 11025 & 11403 & 9.3 \\
++Conciergerie & 8989 & 10227 & 9844 & 9.5 \\
++Déneigement et paysagement & 5959 & 6091 & 6686 & 12.2 \\
++Frais juridiques et comptables & 2329 & 2480 & 2751 & 18.1 \\
++Publicité et location & 1171 & 1232 & 1319 & 12.6 \\
++Réserve de remplacement (achats de l'exercice) & 7805 & 7488 & 8103 & 3.8 \\
++\midrule
++Total & 66992 & 70438 & 70693 & 5.5 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{cas3\_montreal\_depenses.csv} ; le propriétaire gère lui-même l'immeuble (aucuns frais de gestion déclarés).}}
++\end{table}
++
++\subsection{Normalisation poste par poste}
++
++La normalisation transforme l'historique en dépenses prospectives de première année, représentatives d'un propriétaire typique. Le \cref{tab:47:depenses-normalisees} et la \cref{fig:47:depenses} en présentent le résultat. Les règles appliquées, toutes issues de la fonction \texttt{depenses\_normalisees} de la bibliothèque partagée, sont les suivantes. Les taxes municipales sont recalculées comme le produit de la valeur au rôle 2026-2028 par le taux général résidentiel 2026 : $\dollars{2200000} \times \num{0.004631} = \dollars{10188.20}$ ; ce montant est \emph{inférieur} à la taxe payée en 2025, ce qui doit alerter le lecteur. L'explication tient à ce que le compte réel comprend, outre la taxe générale, la taxe d'arrondissement et d'éventuelles taxes spéciales, dont le taux n'a pu être vérifié ; si l'on indexait plutôt le compte 2025 de la hausse moyenne de \pct{5.3} annoncée pour Rosemont--La Petite-Patrie \parencite{ledevoirmtl2026}, la taxe normalisée serait de \dollars{11194}, soit \dollars{1006} de plus, et le revenu net diminuerait d'autant. La convention du jeu synthétique et de la bibliothèque est de retenir le recalcul au taux général ; l'écart est traité dans les limites et dans l'exercice~\ref{ex:47:2}. La taxe scolaire est recalculée au taux 2026-2027 de \qty{0.07899}{\dollar} par \dollars{100} sur la valeur au rôle, soit \dollars{1737.78}, en négligeant l'exemption des premiers \dollars{25000} de valeur (environ \dollars{20}). Les assurances et les postes variables (énergie des aires communes, entretien, conciergerie, déneigement, honoraires, publicité) sont indexés de \pct{3} sur la base de 2025, taux de croissance des dépenses retenu pour toute la projection, cohérent avec l'inflation de \pct{3.1} \parencite{statcanipc} et avec la hausse tarifaire de \pct{3.0} de l'électricité domestique autorisée pour 2026.
++
++La gestion est imputée à \pct{4} du revenu brut effectif, soit \dollars{6737.76}, bien que le propriétaire actuel gère lui-même l'immeuble : la valeur marchande suppose un acheteur typique qui rémunère la gestion, qu'il la confie à un tiers ou qu'il valorise son propre temps. Le barème indicatif de la SCHL pour les immeubles locatifs du Québec situe les frais de gestion et d'administration entre \pct{3} et \pct{5} du revenu brut selon la taille \parencite{schlfraisexploitation2015}, et le Tribunal administratif du logement admet dans ses calculs un forfait de \pct{5} des revenus ; le taux de \pct{4} est au milieu de la fourchette pour un immeuble de douze logements. Enfin, la réserve de remplacement de \dollars{8103}, soit \dollars{675} par logement, couvre le renouvellement courant des composantes à courte durée de vie ; les travaux majeurs identifiés à l'inspection (toiture, balcons, cuisines) sont des dépenses en capital ponctuelles traitées séparément dans le flux actualisé, et non dans le revenu net capitalisé, pour éviter le double comptage. Cette convention est celle de l'annexe des conventions de calcul : le revenu net d'exploitation capitalisé inclut la réserve, et les taux extraits du marché à la \cref{sec:47:capitalisation} ont été calculés sur des revenus nets définis de la même manière.
++
++\begin{table}[htbp]\centering
++\caption{Normalisation des dépenses : base 2025, règle appliquée et montant de première année (données synthétiques).}\label{tab:47:depenses-normalisees}
++\small\begin{tabular}{@{}L{4.1cm}S[table-format=5.0]L{4.3cm}S[table-format=5.2]S[table-format=2.1]@{}}
++\toprule
++Poste & {2025 (\$)} & Règle de normalisation & {Normalisé (\$)} & {\% du RBE} \\
++\midrule
++Taxes municipales & 10631 & rôle 2026 $\times$ \qty{0.4631}{\dollar}/100~\$ & 10188.20 & 6.0 \\
++Taxe scolaire & 1744 & rôle 2026 $\times$ \qty{0.07899}{\dollar}/100~\$ & 1737.78 & 1.0 \\
++Assurances & 11060 & prime 2025 $\times$ 1,03 & 11391.80 & 6.8 \\
++Électricité (aires communes) & 4260 & $\times$ 1,03 & 4387.80 & 2.6 \\
++Chauffage (aires communes, gaz) & 2892 & $\times$ 1,03 & 2978.76 & 1.8 \\
++Eau et égouts & 0 & inclus dans la taxe générale & 0.00 & 0.0 \\
++Entretien et réparations & 11403 & $\times$ 1,03 & 11745.09 & 7.0 \\
++Conciergerie & 9844 & $\times$ 1,03 & 10139.32 & 6.0 \\
++Déneigement et paysagement & 6686 & $\times$ 1,03 & 6886.58 & 4.1 \\
++Frais juridiques et comptables & 2751 & $\times$ 1,03 & 2833.53 & 1.7 \\
++Publicité et location & 1319 & $\times$ 1,03 & 1358.57 & 0.8 \\
++Gestion (imputée) & {—} & \pct{4} du RBE & 6737.76 & 4.0 \\
++\midrule
++Dépenses d'exploitation hors réserve & & & 70385.19 & 41.8 \\
++Réserve de remplacement & 8103 & maintenue (\dollars{675}/logement) & 8103.00 & 4.8 \\
++\midrule
++Dépenses totales & 70693 & & 78488.19 & 46.6 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite/cas3.py}, fonction \texttt{depenses\_normalisees} (croissance \pct{3}) ; taux de taxes : \textcite{ledevoirmtl2026,taxescolaire2026}.}}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]\centering
++\includegraphics{ch47/ch47-fig-depenses.pdf}
++\caption{Structure des dépenses normalisées de première année, par poste et par nature (fixes, variables et gestion imputée, réserve) ; le trait vertical indique le montant historique 2025 de chaque poste, ce qui fait ressortir la baisse des taxes recalculées au taux général et l'ajout de la gestion imputée.}
++\figsource{\synth{script \texttt{ch47\_dossier\_figures.py}, graine 20261031.}}
++\end{figure}
++
++Le ratio des dépenses totales au revenu brut effectif,
++\begin{equation}\label{eq:47:ratio}
++\rho = \frac{DE + RR}{RBE} = \frac{\dollars{70385.19} + \dollars{8103.00}}{\dollars{168443.94}} = \pct{46.6},
++\end{equation}
++est élevé pour un immeuble dont les locataires paient leur chauffage ; il s'explique par le niveau bas des loyers en place, qui gonfle mécaniquement tout ratio rapporté au revenu, et par l'inclusion de la gestion imputée et de la réserve. Par logement, les dépenses totales s'élèvent à \dollars{6541} par an. Le lecteur se gardera de comparer ce ratio aux fourchettes de \pct{35} à \pct{50} qui circulent dans les publications de courtage sans définition des postes inclus ; aucune enquête officielle ne mesure un ratio de dépenses typique au Québec, et seule la décomposition poste par poste, avec ses règles explicites, rend la normalisation vérifiable.
++
++\section{Revenu net d'exploitation normalisé}\label{sec:47:rne}
++
++Le revenu net d'exploitation (RNE, \emph{net operating income}) de première année est
++\begin{equation}\label{eq:47:rne}
++\NOI_1 = RBE - DE - RR = \dollars{168443.94} - \dollars{70385.19} - \dollars{8103.00} = \dollars{89955.75},
++\end{equation}
++soit \dollars{7496.31} par logement et \pct{53.4} du revenu brut effectif. Ce chiffre est le pivot du dossier : il est capitalisé à la \cref{sec:47:capitalisation}, il constitue la première année de la projection de la \cref{sec:47:dcf}, il détermine le prêt maximal par la couverture de la dette à la \cref{sec:47:financement} et il sert de point de départ au test de résistance. Il est identique, au cent près, à celui que les chapitres de méthode ont obtenu sur les mêmes données, parce qu'il provient du même code ; c'est la garantie de cohérence que l'ouvrage s'est imposée. Trois précisions en encadrent l'usage. Le revenu net est \emph{prospectif} (douze mois suivant la date d'évaluation) et non historique : le revenu net comptable 2025, calculé avec les taxes de l'ancien rôle et sans gestion imputée, aurait été plus élevé d'environ \dollars{6300}, et un acheteur qui capitaliserait ce revenu historique surpaierait l'immeuble. Le revenu net est calculé \emph{après} réserve de remplacement, convention qui exige que le taux de capitalisation soit extrait de ventes dont le revenu net a été défini de la même manière. Enfin, le revenu net ne tient aucun compte du financement ni de l'impôt : il mesure la capacité de l'immeuble, non celle de son propriétaire.

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spb/traite-evaluation-qc

Consignes spécifiques de la phase 4 (43 chapitres + annexes)

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