Ch. 5 livré et validé (compilation isolée, tests, fusion des registres)

Co-Authored-By: Claude Fable 5.1 <noreply@anthropic.com>

Simon-Pierre Boucher committed 3 days ago (Oct 31, 2026) parent bd29a9d Browse files

19 changed files +1,622 −64

modified analysis/python/cases/ch04_marches.py +32 −0

				`@@ -301,6 +301,7 @@ def main(verbose: bool = True) -> dict:`
301	b = bdc(); res["bdc"] = b	301	b = bdc(); res["bdc"] = b
302	mut = tableau_mutations([500000, 645500, 860500, 1500000]); res["mutations"] = mut	302	mut = tableau_mutations([500000, 645500, 860500, 1500000]); res["mutations"] = mut
303	sens, pmt_ref = sensibilite_taux(); res["sensibilite"] = sens; res["paiement_ref"] = pmt_ref	303	sens, pmt_ref = sensibilite_taux(); res["sensibilite"] = sens; res["paiement_ref"] = pmt_ref
		304	+ mc = mises_en_chantier(); res["mises_en_chantier"] = mc; res["mc_stats"] = stats_mises_en_chantier(mc)
304	# MRB et prix/loyer implicites	305	# MRB et prix/loyer implicites
305	mrb = {r: mrb_implicite(ap.loc[r, "plex"], sc.loc[sc.index[sc.index.str.startswith(r.split(" ")[0])][0], "loyer_2_chambres_2025"])	306	mrb = {r: mrb_implicite(ap.loc[r, "plex"], sc.loc[sc.index[sc.index.str.startswith(r.split(" ")[0])][0], "loyer_2_chambres_2025"])
306	for r in ["Montréal", "Québec", "Gatineau", "Sherbrooke", "Trois-Rivières", "Saguenay"]}	307	for r in ["Montréal", "Québec", "Gatineau", "Sherbrooke", "Trois-Rivières", "Saguenay"]}
				`@@ -326,6 +327,9 @@ def main(verbose: bool = True) -> dict:`
326	print("\n=== APCIQ T3 2026 (chiffres cités) et indicateurs dérivés"); print(ap.to_string(float_format=lambda v: f"{v:.3f}"))	327	print("\n=== APCIQ T3 2026 (chiffres cités) et indicateurs dérivés"); print(ap.to_string(float_format=lambda v: f"{v:.3f}"))
327	print(" MRB implicite (plex 2-5 log. ↔ 3 logements au loyer moyen 2 ch. SCHL oct. 2025) :", {k: round(v, 2) for k, v in mrb.items()})	328	print(" MRB implicite (plex 2-5 log. ↔ 3 logements au loyer moyen 2 ch. SCHL oct. 2025) :", {k: round(v, 2) for k, v in mrb.items()})
328	print(f" Ratio prix/loyer annuel, Montréal (copropriété 435 000 $ / loyer copropriété locative 2 ch. 1 826 $) : {ratio_prix_loyer(435000, 1826):.1f}")	329	print(f" Ratio prix/loyer annuel, Montréal (copropriété 435 000 $ / loyer copropriété locative 2 ch. 1 826 $) : {ratio_prix_loyer(435000, 1826):.1f}")
		330	+ print("\n=== Mises en chantier, Québec, toutes les régions (34-10-0135-01), années complètes")
		331	+ print(mc.loc[[2000, 2005, 2008, 2010, 2015, 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025], ["total", "individuelles", "jumeles", "en_bande", "appartements", "part_appartements"]].to_string(float_format=lambda v: f"{v:.4f}"))
		332	+ for k, v in res["mc_stats"].items(): print(f" {k} : {v}")
329	print("\n=== Banque du Canada (Valet)")	333	print("\n=== Banque du Canada (Valet)")
330	for k, v in b["stats"].items(): print(f" {k} : {v}")	334	for k, v in b["stats"].items(): print(f" {k} : {v}")
331	print("\n=== Droits sur les mutations immobilières 2026"); print(mut.to_string(float_format=lambda v: f"{v:.4f}"))	335	print("\n=== Droits sur les mutations immobilières 2026"); print(mut.to_string(float_format=lambda v: f"{v:.4f}"))
				`@@ -333,6 +337,34 @@ def main(verbose: bool = True) -> dict:`
333	return res	337	return res
334		338
335		339
		340	+
		341	+# ----------------------------------------------------------------------------- Mises en chantier (34-10-0135-01, SCHL via Statistique Canada)
		342	+def mises_en_chantier(geo: str = "Québec") -> pd.DataFrame:
		343	+ """Logements mis en chantier, toutes les régions, trimestriel non désaisonnalisé, sommés par année civile : total, maisons individuelles,
		344	+ appartements et autres logements, jumelés, en bande ; part des appartements. Années complètes seulement (quatre trimestres)."""
		345	+ rows = []
		346	+ with open(RAW / "statcan_34100135/34100135.csv", encoding="utf-8-sig") as f:
		347	+ r = csv.reader(f, delimiter=";"); next(r)
		348	+ for row in r:
		349	+ if row[1] == geo and row[3] == "Logements mis en chantier" and row[5] == "Non désaisonnalisés" and row[12] not in ("", ".."):
		350	+ rows.append({"periode": row[0], "annee": int(row[0][:4]), "type": row[4], "unites": float(row[12])})
		351	+ df = pd.DataFrame(rows)
		352	+ n = df[df["type"] == "Total d'unités"].groupby("annee")["periode"].count()
		353	+ complets = n[n == 4].index
		354	+ piv = df[df["annee"].isin(complets)].pivot_table(index="annee", columns="type", values="unites", aggfunc="sum")
		355	+ piv = piv.rename(columns={"Total d'unités": "total", "Maisons individuelles": "individuelles", "Appartements et autres logements": "appartements",
		356	+ "Logements jumelés": "jumeles", "Logements en bande": "en_bande"})
		357	+ piv["part_appartements"] = piv["appartements"] / piv["total"]
		358	+ piv["part_individuelles"] = piv["individuelles"] / piv["total"]
		359	+ return piv
		360	+
		361	+def stats_mises_en_chantier(piv: pd.DataFrame) -> dict:
		362	+ return {"derniere_annee": int(piv.index.max()), "total_2025": piv.loc[2025, "total"], "part_app_2025": piv.loc[2025, "part_appartements"],
		363	+ "part_app_2000": piv.loc[2000, "part_appartements"], "max_total": (int(piv["total"].idxmax()), piv["total"].max()),
		364	+ "min_total_2000": (int(piv.loc[2000:, "total"].idxmin()), piv.loc[2000:, "total"].min()),
		365	+ "moyenne_2000_2019": piv.loc[2000:2019, "total"].mean(), "moyenne_2020_2025": piv.loc[2020:2025, "total"].mean(),
		366	+ "individuelles_2000": piv.loc[2000, "individuelles"], "individuelles_2025": piv.loc[2025, "individuelles"]}
		367	+
336	# ----------------------------------------------------------------------------- Exercices (solutions/ch04.tex)	368	# ----------------------------------------------------------------------------- Exercices (solutions/ch04.tex)
337	def exercices() -> dict:	369	def exercices() -> dict:
338	"""Chiffres des solutions des exercices 4.1 à 4.6 (l'exercice 4.7 est rédactionnel)."""	370	"""Chiffres des solutions des exercices 4.1 à 4.6 (l'exercice 4.7 est rédactionnel)."""

modified analysis/python/cases/ch18_hedonique.py +8 −1

				`@@ -305,13 +305,20 @@ def exercices(ref: dict, pred: dict, vari: dict, idx: pd.DataFrame) -> dict:`
305	ex["6"] = {"dist_ref": cR["dist_centre"], "dist_sans": cS["dist_centre"], "lnT_ref": cR["ln_T"], "lnT_sans": cS["ln_T"],	305	ex["6"] = {"dist_ref": cR["dist_centre"], "dist_sans": cS["dist_centre"], "lnT_ref": cR["ln_T"], "lnT_sans": cS["ln_T"],
306	"sigma_ref": ref["sigma"], "sigma_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["sigma"], "sujet_ref": vari["semi-log (référence)"]["sujet"],	306	"sigma_ref": ref["sigma"], "sigma_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["sigma"], "sujet_ref": vari["semi-log (référence)"]["sujet"],
307	"sujet_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["sujet"], "r2_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["r2"]}	307	"sujet_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["sujet"], "r2_sans": vari["semi-log sans secteurs"]["r2"]}
		308	+ # variante demandée à l'exercice : omission de la qualité (tirée indépendamment des autres attributs dans la loi de génération)
		309	+ XQ = ref["X"].drop(columns=["qualite"]); rQ = h.mco(XQ.values, ref["y"])
		310	+ d = cas1.charger(); sdQ = cas1.matrice(cas1.sujet_df(d["sujet"]))[XQ.columns].values
		311	+ ex["6"].update({"sigma_sans_qualite": float(np.sqrt(rQ["sigma2"])), "r2_sans_qualite": rQ["r2"], "lnS_sans_qualite": rQ["beta"][list(XQ.columns).index("ln_S")],
		312	+ "sujet_sans_qualite": float(np.exp(sdQ @ rQ["beta"])[0] * _duan(rQ["residus"]))})
308	# 18.7 : Rosen — prix implicite marginal et enchère	313	# 18.7 : Rosen — prix implicite marginal et enchère
309	ex["7"] = {"p_S": 0.539 * 638_000 / 165, "p_S_120": 0.539 * 638_000 * (120 / 165) ** 0.539 / 120, "p_S_220": 0.539 * 638_000 * (220 / 165) ** 0.539 / 220}	314	ex["7"] = {"p_S": 0.539 * 638_000 / 165, "p_S_120": 0.539 * 638_000 * (120 / 165) ** 0.539 / 120, "p_S_220": 0.539 * 638_000 * (220 / 165) ** 0.539 / 220}
310	# 18.8 : indice trimestriel vs tendance	315	# 18.8 : indice trimestriel vs tendance
311	bm = ref["beta"][list(ref["X"].columns).index("mois")]	316	bm = ref["beta"][list(ref["X"].columns).index("mois")]
312	ecart = (idx["indice_dummies"] / idx["indice_tendance"] - 1) * 100	317	ecart = (idx["indice_dummies"] / idx["indice_tendance"] - 1) * 100
313	ex["8"] = {"g_mensuel": math.exp(bm) - 1, "g_annuel": math.exp(12 * bm) - 1, "ecart_abs_moyen_pct": float(ecart.abs().mean()), "ecart_max_pct": float(ecart.abs().max()),	318	ex["8"] = {"g_mensuel": math.exp(bm) - 1, "g_annuel": math.exp(12 * bm) - 1, "ecart_abs_moyen_pct": float(ecart.abs().mean()), "ecart_max_pct": float(ecart.abs().max()),
314	− "G0404_tendance": 506_500 * (math.exp(bm * 15.2) - 1), "indice_fin": float(idx["indice_dummies"].iloc[-1]), "tendance_fin": float(idx["indice_tendance"].iloc[-1])}	319	+ "G0404_tendance": 506_500 * (math.exp(bm * 15.2) - 1), "indice_fin": float(idx["indice_dummies"].iloc[-1]), "tendance_fin": float(idx["indice_tendance"].iloc[-1]),
		320	+ "indice_2025T2": float(idx.set_index("trimestre").loc["2025T2", "indice_dummies"]),
		321	+ "G0404_indices": 506_500 * (float(idx["indice_dummies"].iloc[-1]) / float(idx.set_index("trimestre").loc["2025T2", "indice_dummies"]) - 1)}
315	return ex	322	return ex
316		323
317	# ----------------------------------------------------------------------------- principal	324	# ----------------------------------------------------------------------------- principal

added analysis/python/tests/test_ch19.py +236 −0

++"""Chapitre 19 — tests des fonctions spatiales ajoutées à traite.hedonique et des chiffres cités dans le texte et les solutions.
++Tolérances : coefficients ±0,001 (ou relatives 1 %), log-vraisemblances ±0,1, indications en dollars ±1 $ (arrondi au dollar)."""
++import sys, pathlib
++import numpy as np, pytest
++sys.path.insert(0, str(pathlib.Path(__file__).resolve().parents[1] / "cases"))
++from traite import hedonique as h
++import ch19_spatial as c19
++
++# ----------------------------------------------------------------------------- fonctions génériques (données simulées)
++
++def _simul(n=400, seed=5):
++    rng = np.random.default_rng(seed); coords = rng.uniform(0, 10, (n, 2)); W = h.matrice_poids_knn(coords, 6)
++    X = np.column_stack([np.ones(n), rng.normal(size=n), rng.normal(size=n)])
++    return rng, coords, W, X
++
++def test_sem_recupere_lambda_et_beta():
++    rng, coords, W, X = _simul(seed=21); n = len(X); beta = np.array([1.0, 0.8, -0.5]); lam = 0.6
++    u = np.linalg.solve(np.eye(n) - lam * W, rng.normal(0, 0.3, n)); y = X @ beta + u
++    r = h.sem_mv(y, X, W)
++    assert abs(r["lambda"] - lam) < 0.12 and np.allclose(r["beta"], beta, atol=0.1)
++    assert r["loglik"] > h.sar_mv(y, X, W)["loglik"] - 50      # cohérence des échelles de vraisemblance
++
++def test_sdm_recupere_theta_et_sar_coherent_avec_sar_lag_mv():
++    rng, coords, W, X = _simul(seed=8); n = len(X); beta = np.array([1.0, 0.8, -0.5]); theta = np.array([0.4, 0.0]); rho = 0.4
++    y = np.linalg.solve(np.eye(n) - rho * W, X @ beta + (W @ X[:, 1:]) @ theta + rng.normal(0, 0.3, n))
++    r = h.sar_mv(y, X, W, durbin=True)
++    assert abs(r["rho"] - rho) < 0.12 and np.allclose(r["beta"][:3], beta, atol=0.12) and abs(r["beta"][3] - 0.4) < 0.15
++    # le SAR par raffinement coïncide avec la recherche sur grille de sar_lag_mv (à la résolution de la grille)
++    s1 = h.sar_mv(y, X, W); s2 = h.sar_lag_mv(y, X, W)
++    assert abs(s1["rho"] - s2["rho"]) < 0.01
++
++def test_tests_lm_detectent_la_bonne_forme():
++    rng, coords, W, X = _simul(seed=3); n = len(X); beta = np.array([1.0, 0.8, -0.5])
++    y0 = X @ beta + rng.normal(0, 0.3, n)
++    t0 = h.tests_lm_spatial(y0, X, W)
++    assert t0["LM_erreur"][1] > 0.01 and t0["LM_decalage"][1] > 0.01           # pas de dépendance : tests non significatifs
++    u = np.linalg.solve(np.eye(n) - 0.6 * W, rng.normal(0, 0.3, n)); y1 = X @ beta + u
++    t1 = h.tests_lm_spatial(y1, X, W)
++    assert t1["LM_erreur"][1] < 1e-6 and t1["RLM_erreur"][0] > t1["RLM_decalage"][0]
++    assert t1["SARMA"][0] == pytest.approx(t1["LM_erreur"][0] + t1["RLM_decalage"][0])
++
++def test_effets_sar_identites():
++    _, coords, W, X = _simul(); rho = 0.5; beta = np.array([1.0, 0.8, -0.5])
++    e = h.effets_sar(rho, beta, W)
++    assert np.allclose(e["total"], e["direct"] + e["indirect"])
++    # W standardisée en ligne : effet total moyen = β/(1 − ρ) exactement
++    assert np.allclose(e["total"], beta / (1 - rho), atol=1e-8)
++    assert (np.abs(e["direct"] - beta) < np.abs(e["indirect"]) + 1e-9).all() and e["direct"][1] > beta[1]
++
++def test_gwr_grande_bande_egale_mco_et_cv_minimal_raisonnable():
++    rng, coords, W, X = _simul(seed=2); n = len(X)
++    y = X @ np.array([1.0, 0.8, -0.5]) + rng.normal(0, 0.3, n)
++    g = h.gwr(y, X, coords, bande=1e4); r = h.mco(X, y)
++    assert np.allclose(g["beta"], r["beta"][None, :], atol=1e-4) and abs(g["trace_S"] - 3) < 1e-3
++    # coefficient variant dans l'espace : la bande choisie par CV est finie et la GWR améliore la CV
++    y2 = 1.0 + (0.3 + 0.1 * coords[:, 0]) * X[:, 1] - 0.5 * X[:, 2] + rng.normal(0, 0.3, n)
++    sel = h.gwr_bande_cv(y2, X, coords, bornes=(0.5, 50.0), n_grille=12)
++    assert sel["bande"] < 20 and sel["cv"] < h.gwr(y2, X, coords, 1e4)["cv"]
++
++def test_variogramme_bruit_blanc_plat_et_krigeage_exact():
++    rng = np.random.default_rng(9); coords = rng.uniform(0, 20, (500, 2)); z = rng.normal(0, 0.1, 500)
++    vg = h.variogramme_empirique(coords, z, np.arange(0, 10.1, 1.0))
++    assert np.allclose(vg["gamma"], 0.01, atol=0.0025)                              # γ(h) ≈ σ² pour un bruit blanc
++    p = {"pepite": 0.0, "palier_partiel": 0.01, "portee": 3.0}
++    k = h.krigeage_ordinaire(coords[:5], z[:5], coords[:5], p, voisins=None)
++    assert np.allclose(k["prediction"], z[:5], atol=1e-8) and np.allclose(k["variance"], 0.0, atol=1e-8)   # interpolateur exact sans pépite
++    assert np.allclose(h.variogramme_exponentiel(np.array([0.0, 1e9]), 0.002, 0.008, 2.0), [0.0, 0.010])
++
++def test_matrice_spatio_temporelle_unidirectionnelle_et_nilpotente():
++    rng = np.random.default_rng(4); coords = rng.uniform(0, 5, (120, 2)); t = np.sort(rng.uniform(0, 36, 120))
++    W = h.matrice_poids_spatio_temporelle(coords, t, portee=2.0, fenetre=12)
++    assert np.all(np.triu(W) == 0)                                                  # seules les ventes antérieures (indices inférieurs) pèsent
++    assert np.abs(np.linalg.eigvals(W)).max() < 1e-10                             # nilpotente : log|I − ρW| = 0
++    s = W.sum(1); assert np.allclose(s[s > 0], 1.0)
++    Wb = h.matrice_poids_spatio_temporelle(coords, t, 2.0, 12, unidirectionnel=False)
++    assert (Wb > 0).sum() >= (W > 0).sum()
++
++def test_coordonnees_km_et_moran_par_distance():
++    xy = h.coordonnees_km([45.0, 45.0 + 1 / 110.57], [-75.0, -75.0], 45.0, -75.0)
++    assert xy[1, 1] == pytest.approx(1.0, abs=1e-6) and xy[1, 0] == pytest.approx(0.0, abs=1e-9)
++    rng = np.random.default_rng(6); coords = rng.uniform(0, 10, (300, 2)); x = coords[:, 0] + rng.normal(0, 0.3, 300)
++    cg = h.moran_par_distance(x, coords, [0, 1, 2, 4, 8])
++    assert cg[0]["I"] > cg[-1]["I"] and cg[0]["z"] > 3
++
++# ----------------------------------------------------------------------------- chiffres du chapitre (cas 1)
++
++@pytest.fixture(scope="module")
++def res():
++    return c19.main(verbose=False)
++
++def test_moran_residus_avec_et_sans_secteur(res):
++    m = res["moran"].set_index("serie")
++    assert m.loc["Résidus, modèle de référence", "I_knn"] == pytest.approx(-0.0136, abs=0.001)
++    assert abs(m.loc["Résidus, modèle de référence", "z_knn"]) < 1.96
++    assert m.loc["Résidus, sans indicatrices de secteur", "I_knn"] == pytest.approx(0.3237, abs=0.001)
++    assert m.loc["Résidus, sans indicatrices de secteur", "z_knn"] == pytest.approx(17.11, abs=0.05)
++    assert m.loc["Résidus, sans secteur ni distance", "I_knn"] == pytest.approx(0.3595, abs=0.001)
++    assert m.loc["ln P (sans modèle)", "I_knn"] == pytest.approx(0.2013, abs=0.001)
++    assert m.loc["Résidus, sans indicatrices de secteur", "I_st"] == pytest.approx(0.305, abs=0.001)
++    assert res["base"]["modele"]["r2"] == pytest.approx(0.853, abs=0.001) and res["base"]["mco_r"]["r2"] == pytest.approx(0.766, abs=0.001)
++
++def test_correlogramme(res):
++    cg = res["correlogramme"]["sans_secteur"]
++    assert cg[0]["I"] == pytest.approx(0.225, abs=0.002) and cg[4]["I"] == pytest.approx(0.261, abs=0.002)
++    assert cg[-1]["I"] < -0.25 and all(abs(c["z"]) < 2 for c in res["correlogramme"]["reference"])
++
++def test_tests_lm(res):
++    r = res["lm"]["sans_secteur"]
++    assert r["LM_erreur"][0] == pytest.approx(285.18, abs=0.05) and r["LM_decalage"][0] == pytest.approx(116.21, abs=0.05)
++    assert r["RLM_erreur"][0] == pytest.approx(170.06, abs=0.05) and r["RLM_decalage"][0] == pytest.approx(1.09, abs=0.01)
++    assert r["RLM_decalage"][1] == pytest.approx(0.2975, abs=0.001)
++    c = res["lm"]["reference"]
++    assert all(p > 0.1 for _, p in c.values())
++
++def test_sar_sem_sdm(res):
++    m = res["modeles"]
++    assert m["sar_r"]["rho"] == pytest.approx(0.4385, abs=0.0005) and m["sar_r"]["se_rho"] == pytest.approx(0.0412, abs=0.0005)
++    assert m["sem_r"]["lambda"] == pytest.approx(0.6486, abs=0.0005) and m["sem_r"]["se_lambda"] == pytest.approx(0.0447, abs=0.0005)
++    assert m["sdm_r"]["rho"] == pytest.approx(0.5089, abs=0.0005)
++    assert m["mco_r"]["loglik"] == pytest.approx(510.71, abs=0.05) and m["sar_r"]["loglik"] == pytest.approx(554.23, abs=0.05)
++    assert m["sem_r"]["loglik"] == pytest.approx(590.58, abs=0.05) and m["sdm_r"]["loglik"] == pytest.approx(606.72, abs=0.05)
++    assert m["mco_c"]["loglik"] == pytest.approx(650.00, abs=0.05)
++    assert m["mco_r"]["aic"] == pytest.approx(-995.4, abs=0.1) and m["sar_r"]["aic"] == pytest.approx(-1080.5, abs=0.1)
++    assert m["sem_r"]["aic"] == pytest.approx(-1153.2, abs=0.1) and m["sdm_r"]["aic"] == pytest.approx(-1163.4, abs=0.1) and m["mco_c"]["aic"] == pytest.approx(-1266.0, abs=0.1)
++    assert m["sar_r"]["moran_residus"] == pytest.approx(0.121, abs=0.002) and m["sem_r"]["moran_residus"] == pytest.approx(-0.041, abs=0.002)
++    # modèle de référence : aucun paramètre spatial significatif
++    assert abs(m["sar_c"]["rho"] / m["sar_c"]["se_rho"]) < 1.96 and abs(m["sem_c"]["lambda"] / m["sem_c"]["se_lambda"]) < 1.96
++    assert m["sar_c"]["rho"] == pytest.approx(-0.080, abs=0.001) and m["sem_c"]["lambda"] == pytest.approx(-0.066, abs=0.001)
++    # coefficients cités
++    cols = list(res["base"]["Xr"].columns)
++    assert m["sar_r"]["beta"][cols.index("ln_S")] == pytest.approx(0.5571, abs=0.0005)
++    assert m["sem_r"]["beta"][cols.index("ln_S")] == pytest.approx(0.5416, abs=0.0005)
++    assert m["mco_r"]["beta"][cols.index("ln_T")] == pytest.approx(0.0419, abs=0.0005) and m["sem_r"]["beta"][cols.index("ln_T")] == pytest.approx(0.0886, abs=0.0005)
++    assert m["mco_r"]["beta"][cols.index("dist_centre")] == pytest.approx(-0.0117, abs=0.0005)
++    assert m["sdm_r"]["beta"][len(cols) + cols.index("ln_S") - 1] == pytest.approx(-0.2439, abs=0.0005)   # θ de W·ln_S
++
++def test_effets_directs_indirects(res):
++    e = res["effets"]
++    assert e.loc["ln_S", "sar_direct"] == pytest.approx(0.5715, abs=0.0005) and e.loc["ln_S", "sar_indirect"] == pytest.approx(0.4206, abs=0.0005)
++    assert e.loc["ln_S", "sar_total"] == pytest.approx(0.9921, abs=0.0005)
++    assert e.loc["ln_S", "sar_total"] == pytest.approx(res["modeles"]["sar_r"]["beta"][1] / (1 - res["modeles"]["sar_r"]["rho"]), abs=1e-6)
++    assert e.loc["qualite", "sar_total"] == pytest.approx(0.1076, abs=0.0005)
++    assert e.loc["ln_S", "sdm_direct"] == pytest.approx(0.5484, abs=0.0005) and e.loc["ln_S", "sdm_indirect"] == pytest.approx(0.0666, abs=0.0005)
++    assert e.loc["ln_S", "sdm_total"] == pytest.approx(0.6150, abs=0.0005)
++
++def test_gwr(res):
++    g = res["gwr"]
++    assert g["selection"]["bande"] == pytest.approx(4.99, abs=0.03)
++    assert g["gwr"]["trace_S"] == pytest.approx(44.8, abs=0.1) and g["gwr"]["aicc"] == pytest.approx(-1233.2, abs=0.2)
++    assert g["aicc_mco_sans_secteur"] == pytest.approx(-994.8, abs=0.2) and g["aicc_mco_reference"] == pytest.approx(-1264.9, abs=0.2)
++    assert g["gwr"]["r2"] == pytest.approx(0.861, abs=0.001) and g["gwr"]["sigma"] == pytest.approx(0.0829, abs=0.0002)
++    q = g["quartiles"]
++    assert q.loc["ln_S", "50%"] == pytest.approx(0.5418, abs=0.0005) and q.loc["ln_S", "min"] == pytest.approx(0.5083, abs=0.0005) and q.loc["ln_S", "max"] == pytest.approx(0.5522, abs=0.0005)
++    c = g["comparaison_secteurs"]
++    assert c.loc["Buckingham", "gwr_localisation_rel_hull"] == pytest.approx(-0.3131, abs=0.001) and c.loc["Buckingham", "reference_localisation"] == pytest.approx(-0.3440, abs=0.001)
++    assert c.loc["Buckingham", "generateur_localisation"] == pytest.approx(-0.3418, abs=0.001)
++    assert c.loc["Aylmer", "gwr_localisation_rel_hull"] == pytest.approx(0.0034, abs=0.001) and c.loc["Aylmer", "generateur_localisation"] == pytest.approx(0.0622, abs=0.001)
++    assert c.loc["Masson-Angers", "gwr_localisation_rel_hull"] == pytest.approx(-0.3190, abs=0.001)
++
++def test_effets_fixes(res):
++    ef = res["effets_fixes"].set_index("specification")
++    assert ef.iloc[1]["aic"] == pytest.approx(-1266.0, abs=0.1)                     # référence : meilleur AIC
++    assert ef["aic"].idxmin() == ef.index[1]
++    g2 = [i for i in ef.index if i.startswith("Grille de 2")][0]; g5 = [i for i in ef.index if i.startswith("Grille de 5")][0]
++    assert ef.loc[g2, "r2"] == pytest.approx(0.8721, abs=0.0005) and ef.loc[g2, "aic"] == pytest.approx(-1225.4, abs=0.1) and ef.loc[g2, "parametres"] == 78
++    assert ef.loc[g5, "aic"] == pytest.approx(-1252.1, abs=0.1) and ef.loc[g5, "parametres"] == 30
++    tri = [i for i in ef.index if "trimestrielles" in i][0]
++    assert ef.loc[tri, "aic"] == pytest.approx(-1253.8, abs=0.1)
++    idx = res["effets_fixes"].attrs["indice_trimestriel"]
++    assert idx["2026Q3"] == pytest.approx(0.199, abs=0.001) and res["effets_fixes"].attrs["tendance_mensuelle"] == pytest.approx(0.0036, abs=0.0001)
++
++def test_variogramme_krigeage(res):
++    vk = res["variogramme"]; p = vk["parametres"]
++    assert vk["variogramme"]["gamma"][0] == pytest.approx(0.00699, abs=0.00005) and vk["variogramme"]["gamma"].max() == pytest.approx(0.01702, abs=0.00005)
++    assert p["pepite"] == pytest.approx(0.00455, abs=0.00005) and p["palier_partiel"] == pytest.approx(0.00897, abs=0.00005) and p["portee"] == pytest.approx(5.0, abs=1e-6)
++    assert vk["variance_residus"] == pytest.approx(0.01067, abs=0.00005) and vk["sigma2_reference"] == pytest.approx(0.00689, abs=0.00005)
++    assert vk["sujet"]["prediction"][0] == pytest.approx(-0.0597, abs=0.0005) and vk["sujet"]["variance"][0] == pytest.approx(0.00567, abs=0.00005)
++    assert np.all(np.abs(vk["variogramme_reference"]["gamma"] - 0.0068) < 0.0006)   # variogramme plat pour le modèle de référence
++
++def test_spatio_temporel(res):
++    st = res["spatio_temporel"]
++    assert st["n_retenues"] == 582 and st["n_sans_voisin"] == 18 and st["max_abs_valeur_propre"] < 1e-10
++    assert st["moran_e_st"]["I"] == pytest.approx(0.305, abs=0.001)
++    assert st["rho_st"] == pytest.approx(0.3696, abs=0.0005) and st["se_rho_st"] == pytest.approx(0.0532, abs=0.0005)
++    assert st["moran_e_apres_lag"] == pytest.approx(0.128, abs=0.002)
++    assert st["sem_st"]["lambda"] == pytest.approx(0.7485, abs=0.0005) and st["sem_st"]["aic"] == pytest.approx(-1154.8, abs=0.1)
++
++def test_validation_croisee(res):
++    v = res["validation"].set_index("modele")["rmse_log"]
++    attendu = {"MCO, modèle de référence (secteurs)": 0.0841, "MCO, sans indicatrices de secteur": 0.1053, "MCO sans secteur + krigeage des résidus": 0.0878,
++               "SEM sans secteur (espérance conditionnelle)": 0.0882, "SAR sans secteur (prédiction conditionnelle)": 0.0950, "GWR sans secteur (validation croisée)": 0.0860}
++    for k, x in attendu.items():
++        assert v[k] == pytest.approx(x, abs=0.0001), k
++    e = res["validation"].set_index("modele")["erreur_abs_moy_pct"]
++    assert e["MCO, modèle de référence (secteurs)"] == pytest.approx(0.0681, abs=0.0002) and e["MCO, sans indicatrices de secteur"] == pytest.approx(0.0838, abs=0.0002)
++
++def test_indications_sujet(res):
++    s = res["sujet"]["indication"].round(0).values
++    assert list(s) == [637953, 664342, 624799, 633352, 654429, 627519]
++    assert res["sujet"]["ln_correction"].iloc[3] == pytest.approx(-0.0520, abs=0.0005) and res["sujet"]["ln_correction"].iloc[5] == pytest.approx(-0.0311, abs=0.0005)
++    assert all(sct == "Hull" for sct in res["sujet"].attrs["secteurs_voisins"]) and len(res["sujet"].attrs["voisins_sujet"]) == 8
++    assert "G0404" in res["sujet"].attrs["voisins_sujet"] and "G0574" in res["sujet"].attrs["voisins_sujet"]
++
++def test_sensibilite(res):
++    s = res["sensibilite"]; k = s[s["famille"].str.startswith("k")].set_index("parametre")
++    assert list(k.index) == [4, 6, 8, 12, 16] and (k["lignes_vides"] == 0).all()
++    assert k.loc[4, "rho"] == pytest.approx(0.2359, abs=0.0005) and k.loc[16, "rho"] == pytest.approx(0.6537, abs=0.0005)
++    assert k.loc[4, "lambda"] == pytest.approx(0.5066, abs=0.0005) and k.loc[16, "lambda"] == pytest.approx(0.7855, abs=0.0005)
++    assert k["rho"].is_monotonic_increasing and k["lambda"].is_monotonic_increasing
++    assert (k["I"].between(0.31, 0.34)).all()
++    d = s[s["famille"] == "distance inverse"].set_index("parametre")
++    assert d.loc[2.0, "rho"] == pytest.approx(0.6360, abs=0.0005) and d.loc[4.0, "lambda"] == pytest.approx(0.8876, abs=0.0005)
++
++# ----------------------------------------------------------------------------- solutions des exercices
++
++def test_solutions_exercices():
++    from scipy.stats import chi2
++    # ex. 19.1 : cinq maisons alignées, contiguïté standardisée
++    e = np.array([0.10, 0.06, -0.02, -0.08, -0.06]); W = np.zeros((5, 5))
++    for i in range(5):
++        for j in (i - 1, i + 1):
++            if 0 <= j < 5: W[i, j] = 1
++    W = W / W.sum(1, keepdims=True); r = h.moran_i(e, W)
++    assert r["I"] == pytest.approx(0.6917, abs=0.0005) and r["E_I"] == pytest.approx(-0.25) and r["z"] == pytest.approx(2.37, abs=0.01)
++    # ex. 19.3 : règle de décision
++    assert chi2.sf(1.09, 1) == pytest.approx(0.296, abs=0.001) and chi2.ppf(0.95, 1) == pytest.approx(3.841, abs=0.001)
++    # ex. 19.4 : effet total = β/(1 − ρ)
++    assert 0.5571 / (1 - 0.4385) == pytest.approx(0.992, abs=0.001) and 0.0604 / (1 - 0.4385) == pytest.approx(0.1076, abs=0.0005)
++    # ex. 19.5 : poids gaussiens
++    d = np.array([0.5, 1, 2, 5])
++    assert np.allclose(np.exp(-0.5 * (d / 2) ** 2), [0.969, 0.882, 0.607, 0.044], atol=0.001)
++    assert np.allclose(np.exp(-0.5 * (d / 5) ** 2), [0.995, 0.980, 0.923, 0.607], atol=0.001)
++    # ex. 19.6 : krigeage ordinaire à trois points
++    co = np.array([[1, 0], [0, 2], [-3, 0.0]]); z = np.array([0.08, 0.05, -0.01]); p = {"pepite": 0.0045, "palier_partiel": 0.009, "portee": 5.0}
++    k = h.krigeage_ordinaire(co, z, np.array([[0, 0.0]]), p, None)
++    assert k["prediction"][0] == pytest.approx(0.0489, abs=0.0001) and k["variance"][0] == pytest.approx(0.00869, abs=0.00001)

modified assets/figures/ch05/ch05-fig-capitalisation-taxe.pdf +0 −0

Binary file not shown.

modified assets/figures/ch05/ch05-fig-gradient-monocentrique.pdf +0 −0

Binary file not shown.

modified assets/figures/ch05/ch05-fig-prix-distance-cas1.pdf +0 −0

Binary file not shown.

modified assets/figures/ch05/ch05-fig-surface-rente.pdf +0 −0

Binary file not shown.

modified assets/figures/ch05/ch05-fig-valeur-logement-rmr.pdf +0 −0

Binary file not shown.

deleted manuscript/_wrap_ch06.tex +0 −12

+−\providecommand{\BUILDVARIANT}{uqo}\providecommand{\BUILDMEDIA}{numerique}
+−\documentclass[10pt,twoside,openright]{book}
+−\newif\ifLogoAutorise\LogoAutorisefalse\def\PALETTE{uqo}
+−\usepackage{traite-qc}
+−\input{../manuscript/frontmatter/metadata.tex}
+−\input{/Users/simon-pierreboucher/Desktop/UQO/Traite-Evaluation-QC/build/ch06/_labels.tex}
+−\begin{document}
+−\setcounter{chapter}{5}
+−\input{chapters/ch06.tex}
+−\appendix\chapter{Solutions du chapitre}\input{../solutions/ch06.tex}
+−\printbibliography
+−\end{document}

deleted manuscript/_wrap_ch09.tex +0 −12

+−\providecommand{\BUILDVARIANT}{uqo}\providecommand{\BUILDMEDIA}{numerique}
+−\documentclass[10pt,twoside,openright]{book}
+−\newif\ifLogoAutorise\LogoAutorisefalse\def\PALETTE{uqo}
+−\usepackage{traite-qc}
+−\input{../manuscript/frontmatter/metadata.tex}
+−\input{/Users/simon-pierreboucher/Desktop/UQO/Traite-Evaluation-QC/build/ch09/_labels.tex}
+−\begin{document}
+−\setcounter{chapter}{8}
+−\input{chapters/ch09.tex}
+−\appendix\chapter{Solutions du chapitre}\input{../solutions/ch09.tex}
+−\printbibliography
+−\end{document}

renamed manuscript/_wrap_ch05.tex → manuscript/_wrap_ch18.tex +4 −4

				`@@ -3,10 +3,10 @@`
3	\newif\ifLogoAutorise\LogoAutorisefalse\def\PALETTE{uqo}	3	\newif\ifLogoAutorise\LogoAutorisefalse\def\PALETTE{uqo}
4	\usepackage{traite-qc}	4	\usepackage{traite-qc}
5	\input{../manuscript/frontmatter/metadata.tex}	5	\input{../manuscript/frontmatter/metadata.tex}
6	−\input{/Users/simon-pierreboucher/Desktop/UQO/Traite-Evaluation-QC/build/ch05/_labels.tex}	6	+\input{/Users/simon-pierreboucher/Desktop/UQO/Traite-Evaluation-QC/build/ch18/_labels.tex}
7	\begin{document}	7	\begin{document}
8	−\setcounter{chapter}{4}	8	+\setcounter{chapter}{17}
9	−\input{chapters/ch05.tex}	9	+\input{chapters/ch18.tex}
10	−\appendix\chapter{Solutions du chapitre}\input{../solutions/ch05.tex}	10	+\appendix\chapter{Solutions du chapitre}\input{../solutions/ch18.tex}
11	\printbibliography	11	\printbibliography
12	\end{document}	12	\end{document}

modified manuscript/chapters/ch03.tex +22 −22

				`@@ -86,20 +86,20 @@ La force du modèle tient à ce qu'il distingue la réaction de court terme, lor`
86	\begin{table}[htbp]	86	\begin{table}[htbp]
87	\caption{Statique comparative du marché type : réaction de court terme (stock fixe) et équilibre de long terme}\label{tab:3:statique}	87	\caption{Statique comparative du marché type : réaction de court terme (stock fixe) et équilibre de long terme}\label{tab:3:statique}
88	\centering	88	\centering
89	−\small	89	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
90	\begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=4.0]}	90	\begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=4.0]}
91	\toprule	91	\toprule
92	& \multicolumn{2}{c}{Court terme} & \multicolumn{4}{c}{Long terme} \\	92	& \multicolumn{2}{c}{Court terme} & \multicolumn{4}{c}{Long terme} \\
93	\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-7}	93	\cmidrule(lr){2-3}\cmidrule(lr){4-7}
94	Choc & {$R$ (\$/an)} & {$P$ (\$)} & {$S$ (log.)} & {$R$ (\$/an)} & {$P$ (\$)} & {$C$ (log./an)} \\	94	Choc & {$R$ (\$/an)} & {$P$ (\$)} & {$S$ (log.)} & {$R$ (\$/an)} & {$P$ (\$)} & {$C$ (log./an)} \\
95	\midrule	95	\midrule
96	−Référence ($i$ = 5 \%, $a$ = 150 000, $c_0$ = 240 000 \$) & 14400 & 288000 & 100000 & 14400 & 288000 & 1000 \\	96	+Référence ($i$ = 5 \%) & 14400 & 288000 & 100000 & 14400 & 288000 & 1000 \\
97	−Taux de capitalisation : 5 \% $\to$ 4 \% & 14400 & 360000 & 109375 & 11700 & 292500 & 1094 \\	97	+Taux $i$ : 5 \% $\to$ 4 \% & 14400 & 360000 & 109375 & 11700 & 292500 & 1094 \\
98	Demande $a$ : +10 \% & 18720 & 374400 & 113846 & 14732 & 294646 & 1138 \\	98	Demande $a$ : +10 \% & 18720 & 374400 & 113846 & 14732 & 294646 & 1138 \\
99	Seuil de coût $c_0$ : +10 \% & 14400 & 288000 & 96154 & 15508 & 310154 & 962 \\	99	Seuil de coût $c_0$ : +10 \% & 14400 & 288000 & 96154 & 15508 & 310154 & 962 \\
100	\bottomrule	100	\bottomrule
101	\end{tabular}	101	\end{tabular}
102	−\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch03\_cycles.py, fonction \texttt{statique\_comparative}}}	102	+\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch03\_cycles.py, fonction \texttt{statique\_comparative} ; référence : $a$ = 150 000, $c_0$ = 240 000 \$, $c_1$ = 48, $\delta$ = 1 \%}}
103	\end{table}	103	\end{table}
104		104
105	La baisse du taux de capitalisation de 5 à 4 \% est le choc le plus instructif pour l'évaluateur. À court terme, rien ne change sur le marché de l'espace : le stock et le loyer sont inchangés, et le prix bondit mécaniquement de \dollars{288000} à \dollars{360000}, soit \pct{25}, parce que les investisseurs capitalisent le même loyer à un taux plus bas. La construction réagit à ce prix : elle passe de \num{1000} à \num{2500} logements par an. Mais à mesure que ces logements s'ajoutent au stock, le loyer baisse, et avec lui le prix. À l'équilibre de long terme, le stock a crû de \pct{9.4}, le loyer a reculé de \pct{18.75} et le prix ne dépasse plus que de \pct{1.56} son niveau initial. Le modèle dit donc qu'une baisse durable des taux se traduit d'abord par une hausse des prix, puis par une hausse du stock et une baisse des loyers, le prix revenant près du coût de construction. La hausse initiale des prix n'est pas une erreur du marché ; c'est le signal qui déclenche la construction. Mais un évaluateur qui extrapolerait le prix de court terme comme s'il était permanent se tromperait sur le long terme, et un investisseur qui achèterait au sommet en comptant sur la stabilité des loyers découvrirait que c'est précisément la hausse des prix qui prépare la baisse des loyers.	105	La baisse du taux de capitalisation de 5 à 4 \% est le choc le plus instructif pour l'évaluateur. À court terme, rien ne change sur le marché de l'espace : le stock et le loyer sont inchangés, et le prix bondit mécaniquement de \dollars{288000} à \dollars{360000}, soit \pct{25}, parce que les investisseurs capitalisent le même loyer à un taux plus bas. La construction réagit à ce prix : elle passe de \num{1000} à \num{2500} logements par an. Mais à mesure que ces logements s'ajoutent au stock, le loyer baisse, et avec lui le prix. À l'équilibre de long terme, le stock a crû de \pct{9.4}, le loyer a reculé de \pct{18.75} et le prix ne dépasse plus que de \pct{1.56} son niveau initial. Le modèle dit donc qu'une baisse durable des taux se traduit d'abord par une hausse des prix, puis par une hausse du stock et une baisse des loyers, le prix revenant près du coût de construction. La hausse initiale des prix n'est pas une erreur du marché ; c'est le signal qui déclenche la construction. Mais un évaluateur qui extrapolerait le prix de court terme comme s'il était permanent se tromperait sur le long terme, et un investisseur qui achèterait au sommet en comptant sur la stabilité des loyers découvrirait que c'est précisément la hausse des prix qui prépare la baisse des loyers.
				`@@ -131,8 +131,8 @@ Qu'est-ce qui rend l'offre d'une région plus ou moins réactive ? \textcite{sai`
131	\begin{table}[htbp]	131	\begin{table}[htbp]
132	\caption{Déterminants de l'élasticité de l'offre de logements et paramètre du modèle qu'ils affectent}\label{tab:3:determinants}	132	\caption{Déterminants de l'élasticité de l'offre de logements et paramètre du modèle qu'ils affectent}\label{tab:3:determinants}
133	\centering	133	\centering
134	−\small	134	+\footnotesize
135	−\begin{tabularx}{\textwidth}{lYcc}	135	+\begin{tabularx}{\textwidth}{>{\raggedright\arraybackslash}p{36mm}>{\raggedright\arraybackslash}X>{\raggedright\arraybackslash}p{17mm}>{\raggedright\arraybackslash}p{24mm}}
136	\toprule	136	\toprule
137	Déterminant & Mécanisme & Paramètre & Effet sur l'élasticité \\	137	Déterminant & Mécanisme & Paramètre & Effet sur l'élasticité \\
138	\midrule	138	\midrule
				`@@ -209,12 +209,12 @@ La \cref{fig:3:cycle} montre la réponse du marché type. La montée de la deman`
209	La \cref{fig:3:sensibilite} et le \cref{tab:3:sensibilite} font varier les deux paramètres que la \cref{prop:3:oscillation} désigne comme décisifs. Avec un délai de deux trimestres, le loyer ne dépasse son équilibre que de \pct{12.0} et ne passe que \pct{1.2} en deçà : le marché s'ajuste presque sans excès, parce que l'offre arrive avant que les loyers n'aient eu le temps de s'emballer. Avec un délai de douze trimestres, caractéristique des tours d'habitation, le dépassement atteint \pct{16.9} et le creux \pct{18.1}, la période s'allonge à 76 trimestres et l'amortissement d'un cycle à l'autre faiblit. La réactivité de l'offre agit dans le même sens : avec $\kappa = 0{,}12$, le loyer monte de \pct{15.1} mais ne repasse jamais sous son équilibre, parce que l'offre ne construit pas assez pour créer un excédent ; avec $\kappa = 0{,}24$, un léger creux de \pct{1.0} apparaît ; avec $\kappa = 0{,}48$, le cycle complet se déploie. La vitesse d'ajustement des loyers $\lambda$ a un effet plus modeste et ambigu : des loyers plus réactifs montent plus vite et plus haut, mais raccourcissent la période et réduisent la pointe d'inoccupation.	209	La \cref{fig:3:sensibilite} et le \cref{tab:3:sensibilite} font varier les deux paramètres que la \cref{prop:3:oscillation} désigne comme décisifs. Avec un délai de deux trimestres, le loyer ne dépasse son équilibre que de \pct{12.0} et ne passe que \pct{1.2} en deçà : le marché s'ajuste presque sans excès, parce que l'offre arrive avant que les loyers n'aient eu le temps de s'emballer. Avec un délai de douze trimestres, caractéristique des tours d'habitation, le dépassement atteint \pct{16.9} et le creux \pct{18.1}, la période s'allonge à 76 trimestres et l'amortissement d'un cycle à l'autre faiblit. La réactivité de l'offre agit dans le même sens : avec $\kappa = 0{,}12$, le loyer monte de \pct{15.1} mais ne repasse jamais sous son équilibre, parce que l'offre ne construit pas assez pour créer un excédent ; avec $\kappa = 0{,}24$, un léger creux de \pct{1.0} apparaît ; avec $\kappa = 0{,}48$, le cycle complet se déploie. La vitesse d'ajustement des loyers $\lambda$ a un effet plus modeste et ambigu : des loyers plus réactifs montent plus vite et plus haut, mais raccourcissent la période et réduisent la pointe d'inoccupation.
210		210
211	\begin{table}[htbp]	211	\begin{table}[htbp]
212	−\caption{Sensibilité du cycle simulé au délai de livraison $L$ et à la réactivité de l'offre $\kappa$ ($\lambda = 0{,}75$ ; écarts du loyer à son niveau stationnaire final)}\label{tab:3:sensibilite}	212	+\caption{Sensibilité du cycle simulé au délai de livraison $L$ (trimestres) et à la réactivité de l'offre $\kappa$ ($\lambda = 0{,}75$) : pointe et creux du loyer en écart à son niveau stationnaire final, inoccupation maximale $v$, mises en chantier maximales $C$ (logements par an), période (trimestres) et amortissement}\label{tab:3:sensibilite}
213	\centering	213	\centering
214	−\small	214	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
215	\begin{tabular}{S[table-format=2.0]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=-2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=4.0]S[table-format=2.0]S[table-format=1.2]}	215	\begin{tabular}{S[table-format=2.0]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=-2.1]S[table-format=1.1]S[table-format=4.0]S[table-format=2.0]S[table-format=1.2]}
216	\toprule	216	\toprule
217	−{$L$ (trim.)} & {$\kappa$} & {Pointe du loyer (\%)} & {Creux du loyer (\%)} & {Inoccupation max. (\%)} & {Chantiers max. (log./an)} & {Période (trim.)} & {Amortissement} \\	217	+{$L$} & {$\kappa$} & {Pointe (\%)} & {Creux (\%)} & {$v$ max. (\%)} & {$C$ max.} & {Période} & {Amort.} \\
218	\midrule	218	\midrule
219	2 & 0.48 & 12.0 & -1.2 & 4.5 & 3985 & 39 & 0.01 \\	219	2 & 0.48 & 12.0 & -1.2 & 4.5 & 3985 & 39 & 0.01 \\
220	6 & 0.48 & 15.0 & -7.0 & 5.0 & 4711 & 47 & 0.17 \\	220	6 & 0.48 & 15.0 & -7.0 & 5.0 & 4711 & 47 & 0.17 \\
				`@@ -250,10 +250,10 @@ L'effondrement de 2022-2023 illustre le canal du prix des actifs du modèle des`
250	\begin{table}[htbp]	250	\begin{table}[htbp]
251	\caption{Logements mis en chantier au Québec par type d'unité, années choisies (toutes régions)}\label{tab:3:types}	251	\caption{Logements mis en chantier au Québec par type d'unité, années choisies (toutes régions)}\label{tab:3:types}
252	\centering	252	\centering
253	−\small	253	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
254	\begin{tabular}{lS[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=2.1]}	254	\begin{tabular}{lS[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=2.1]}
255	\toprule	255	\toprule
256	−Année & {Total} & {Maisons individuelles} & {Jumelés et en bande} & {Appartements et autres} & {Part des individuelles (\%)} \\	256	+Année & {Total} & {Individuelles} & {Jumelés, en bande} & {Appartements} & {Part indiv. (\%)} \\
257	\midrule	257	\midrule
258	1990 & 48070 & 24942 & 3623 & 19505 & 51.9 \\	258	1990 & 48070 & 24942 & 3623 & 19505 & 51.9 \\
259	2005 & 50910 & 23930 & 3752 & 23228 & 47.0 \\	259	2005 & 50910 & 23930 & 3752 & 23228 & 47.0 \\
				`@@ -269,15 +269,15 @@ Année & {Total} & {Maisons individuelles} & {Jumelés et en bande} & {Apparteme`
269	\begin{table}[htbp]	269	\begin{table}[htbp]
270	\caption{Trajectoire du taux cible du financement à un jour de la Banque du Canada, 2020-2026 (dates d'effet dans la série Valet, lendemain de l'annonce)}\label{tab:3:directeur}	270	\caption{Trajectoire du taux cible du financement à un jour de la Banque du Canada, 2020-2026 (dates d'effet dans la série Valet, lendemain de l'annonce)}\label{tab:3:directeur}
271	\centering	271	\centering
272	−\small	272	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
273	\begin{tabular}{llS[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=-3.0]}	273	\begin{tabular}{llS[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=-3.0]}
274	\toprule	274	\toprule
275	−Phase & Dates & {Taux initial (\%)} & {Taux final (\%)} & {Variation (pb)} \\	275	+Phase & Dates d'effet & {Initial (\%)} & {Final (\%)} & {Variation (pb)} \\
276	\midrule	276	\midrule
277	−Détente pandémique (3 baisses) & 4 mars 2020 -- 27 mars 2020 & 1.75 & 0.25 & -150 \\	277	+Détente pandémique (3 baisses) & 2020-03-04 -- 2020-03-27 & 1.75 & 0.25 & -150 \\
278	−Resserrement (10 hausses) & 3 mars 2022 -- 13 juillet 2023 & 0.25 & 5.00 & 475 \\	278	+Resserrement (10 hausses) & 2022-03-03 -- 2023-07-13 & 0.25 & 5.00 & 475 \\
279	−Détente (9 baisses) & 6 juin 2024 -- 30 octobre 2025 & 5.00 & 2.25 & -275 \\	279	+Détente (9 baisses) & 2024-06-06 -- 2025-10-30 & 5.00 & 2.25 & -275 \\
280	−Première hausse du cycle suivant & 29 octobre 2026 & 2.25 & 2.50 & 25 \\	280	+Première hausse (cycle suivant) & 2026-10-29 & 2.25 & 2.50 & 25 \\
281	\bottomrule	281	\bottomrule
282	\end{tabular}	282	\end{tabular}
283	\tabsource{Banque du Canada, série V39079 (API Valet), observations jusqu'au 2026-10-29, consultée le 2026-10-31 \parencite{bdcvalet,bdc20261028} ; calculs de l'auteur (\texttt{changements\_taux\_directeur}).}	283	\tabsource{Banque du Canada, série V39079 (API Valet), observations jusqu'au 2026-10-29, consultée le 2026-10-31 \parencite{bdcvalet,bdc20261028} ; calculs de l'auteur (\texttt{changements\_taux\_directeur}).}
				`@@ -325,12 +325,12 @@ La \cref{fig:3:coutusage} et le \cref{tab:3:coutusage} reconstituent mensuelleme`
325	\begin{table}[htbp]	325	\begin{table}[htbp]
326	\caption{Taux de coût d'usage et ratio prix/loyer implicite au Québec à six dates (taux hypothécaire affiché 5 ans ; $\tau$ = 0,825 \%, $\delta$ = 2,5 \%)}\label{tab:3:coutusage}	326	\caption{Taux de coût d'usage et ratio prix/loyer implicite au Québec à six dates (taux hypothécaire affiché 5 ans ; $\tau$ = 0,825 \%, $\delta$ = 2,5 \%)}\label{tab:3:coutusage}
327	\centering	327	\centering
328	−\small	328	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
329	\begin{tabular}{lS[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]}	329	\begin{tabular}{lS[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]S[table-format=1.2]S[table-format=2.1]}
330	\toprule	330	\toprule
331	− & & & & & \multicolumn{2}{c}{$g$ = inflation IPC} & \multicolumn{2}{c}{$g$ = IPLN 5 ans} \\	331	+ & & & & & \multicolumn{2}{c}{$g$ = IPC} & \multicolumn{2}{c}{$g$ = IPLN} \\
332	\cmidrule(lr){6-7}\cmidrule(lr){8-9}	332	\cmidrule(lr){6-7}\cmidrule(lr){8-9}
333	−Mois & {Taux hyp. (\%)} & {Oblig. 5 ans (\%)} & {Inflation (\%)} & {IPLN 5 ans (\%)} & {$u$ (\%)} & {$P/R$} & {$u$ (\%)} & {$P/R$} \\	333	+Mois & {Hyp. 5 ans (\%)} & {GdC 5 ans (\%)} & {IPC (\%)} & {IPLN 5 ans (\%)} & {$u$ (\%)} & {$P/R$} & {$u$ (\%)} & {$P/R$} \\
334	\midrule	334	\midrule
335	Janvier 2001 & 7.79 & 5.22 & 2.76 & 1.63 & 8.35 & 12.0 & 9.49 & 10.5 \\	335	Janvier 2001 & 7.79 & 5.22 & 2.76 & 1.63 & 8.35 & 12.0 & 9.49 & 10.5 \\
336	Janvier 2008 & 7.49 & 3.55 & 2.02 & 4.98 & 8.79 & 11.4 & 5.84 & 17.1 \\	336	Janvier 2008 & 7.49 & 3.55 & 2.02 & 4.98 & 8.79 & 11.4 & 5.84 & 17.1 \\
				`@@ -394,10 +394,10 @@ qui mesure le temps nécessaire pour écouler le stock de propriétés à vendre`
394	\begin{table}[htbp]	394	\begin{table}[htbp]
395	\caption{Ventes, inscriptions en vigueur et mois d'inventaire, troisième trimestre de 2026, propriétés résidentielles vendues par courtier}\label{tab:3:inventaire}	395	\caption{Ventes, inscriptions en vigueur et mois d'inventaire, troisième trimestre de 2026, propriétés résidentielles vendues par courtier}\label{tab:3:inventaire}
396	\centering	396	\centering
397	−\small	397	+\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
398	\begin{tabular}{lS[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=4.0]S[table-format=1.1]S[table-format=6.0]}	398	\begin{tabular}{lS[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=4.0]S[table-format=1.1]S[table-format=6.0]}
399	\toprule	399	\toprule
400	−Territoire & {Ventes T3} & {Inscriptions en vigueur} & {Ventes par mois} & {Mois d'inventaire} & {Médiane unifamiliale (\$)} \\	400	+Territoire & {Ventes T3} & {Inscriptions} & {Ventes/mois} & {Mois d'inv.} & {Médiane unif. (\$)} \\
401	\midrule	401	\midrule
402	Province de Québec & 20935 & 42408 & 6978 & 6.1 & 500000 \\	402	Province de Québec & 20935 & 42408 & 6978 & 6.1 & 500000 \\
403	RMR de Montréal & 9265 & 20350 & 3088 & 6.6 & 645500 \\	403	RMR de Montréal & 9265 & 20350 & 3088 & 6.6 & 645500 \\

modified manuscript/chapters/ch05.tex +7 −7

				`@@ -1,6 +1,6 @@`
1	\chapter{Économie urbaine et rente foncière}\label{ch:05}	1	\chapter{Économie urbaine et rente foncière}\label{ch:05}
2		2
3	−Deux maisons identiques, construites la même année par le même entrepreneur avec les mêmes matériaux, ne se vendent pas au même prix si l'une est à deux kilomètres du centre-ville et l'autre à trente. La différence ne vient pas du bâtiment, dont le coût est le même, mais du sol, dont la valeur dépend de ce que l'emplacement permet : accéder aux emplois, aux services et aux aménités en économisant du temps et de l'argent. L'économie urbaine donne à cette intuition une forme rigoureuse. Elle montre que la valeur du terrain est une \emph{rente}, c'est-à-dire le prix d'un avantage de situation que personne ne peut produire, qu'elle se répartit dans l'espace selon des gradients prévisibles, et qu'elle absorbe, en se capitalisant, tout ce qui rend un emplacement plus ou moins désirable, des écoles aux inondations et des parcs aux taxes foncières. Le présent chapitre, dernier de la partie consacrée aux fondements économiques, reprend la théorie de la rente de Ricardo et de von Thünen, la formalise dans le modèle monocentrique d'Alonso, Muth et Mills, puis en tire ce qui compte pour l'évaluateur : la valeur du terrain comme résidu, la capitalisation des aménités et des taxes, le polycentrisme des agglomérations québécoises. L'exemple intégral mesure le gradient prix-distance dans le dossier de Gatineau (cas 1) et la rente interrégionale dans le portefeuille du cas 4 ; l'analyse de sensibilité porte sur la capitalisation d'un écart de taxe foncière, point de contact avec le \cref{ch:9}.	3	+Deux maisons identiques, construites la même année par le même entrepreneur avec les mêmes matériaux, ne se vendent pas au même prix si l'une est à deux kilomètres du centre-ville et l'autre à trente. La différence ne vient pas du bâtiment, dont le coût est le même, mais du sol, dont la valeur dépend de ce que l'emplacement permet : accéder aux emplois, aux services et aux aménités en économisant du temps et de l'argent. L'économie urbaine donne à cette intuition une forme rigoureuse. Elle montre que la valeur du terrain est une \emph{rente}, c'est-à-dire le prix d'un avantage de situation que personne ne peut produire, qu'elle se répartit dans l'espace selon des gradients prévisibles, et qu'elle absorbe, en se capitalisant, tout ce qui rend un emplacement plus ou moins désirable, des écoles aux inondations et des parcs aux taxes foncières. Le présent chapitre, dernier de la partie consacrée aux fondements économiques, reprend la théorie de la rente de Ricardo et de von Thünen, la formalise dans le modèle monocentrique d'Alonso, Muth et Mills, puis en tire ce qui compte pour l'évaluateur : la valeur du terrain comme résidu, la capitalisation des aménités et des taxes, le polycentrisme des agglomérations québécoises. L'exemple intégral mesure le gradient prix-distance dans le dossier de Gatineau (cas 1) et la rente interrégionale dans le portefeuille du cas 4 ; l'analyse de sensibilité porte sur la capitalisation d'un écart de taxe foncière, point de contact avec le \cref{ch:09}.
4		4
5	\begin{objectifs}	5	\begin{objectifs}
6	\begin{itemize}	6	\begin{itemize}
				`@@ -184,13 +184,13 @@ L'\cref{eq:5:capitalisation-rente} ne vaut que pour une rente stationnaire. \tex`
184	\begin{equation}\label{eq:5:capozza}	184	\begin{equation}\label{eq:5:capozza}
185	P_L(d) = \underbrace{\frac{r_a}{i}}_{\text{valeur agricole}} + \underbrace{C}_{\text{coût de conversion}} + \underbrace{\frac{r(d) - r_a}{i}}_{\text{accessibilité}} + \underbrace{\Pi(d)}_{\text{prime de croissance}},	185	P_L(d) = \underbrace{\frac{r_a}{i}}_{\text{valeur agricole}} + \underbrace{C}_{\text{coût de conversion}} + \underbrace{\frac{r(d) - r_a}{i}}_{\text{accessibilité}} + \underbrace{\Pi(d)}_{\text{prime de croissance}},
186	\end{equation}	186	\end{equation}
187	−où la prime de croissance $\Pi(d)$ est la valeur actualisée des hausses de rente que la croissance de la ville apportera à cet emplacement. Près de la frontière, la composante d'accessibilité est faible et la prime de croissance domine : un terrain agricole en bordure de l'agglomération se vend plusieurs fois sa valeur agricole parce que le marché anticipe sa conversion. Au centre, c'est l'inverse. Dans la simulation du \cref{tab:5:params}, un terrain à dix kilomètres dont la rente urbaine courante est de \parmsq{28.92} vaut $40 + 25 + 538 + 60 = \parmsq{663}$ si l'on pose un coût de conversion de \parmsq{25} et une prime de croissance de \parmsq{60} : l'accessibilité en fait 81 \%. Cette décomposition est le cadre de l'évaluation des terrains de développement (\cref{ch:25,ch:41}) ; elle rappelle qu'un prix de terrain observé en périphérie n'est pas une rente capitalisée mais une option sur une rente future, dont la valeur dépend des anticipations de croissance et du zonage (\cref{ch:8}).	187	+où la prime de croissance $\Pi(d)$ est la valeur actualisée des hausses de rente que la croissance de la ville apportera à cet emplacement. Près de la frontière, la composante d'accessibilité est faible et la prime de croissance domine : un terrain agricole en bordure de l'agglomération se vend plusieurs fois sa valeur agricole parce que le marché anticipe sa conversion. Au centre, c'est l'inverse. Dans la simulation du \cref{tab:5:params}, un terrain à dix kilomètres dont la rente urbaine courante est de \parmsq{28.92} vaut $40 + 25 + 538 + 60 = \parmsq{663}$ si l'on pose un coût de conversion de \parmsq{25} et une prime de croissance de \parmsq{60} : l'accessibilité en fait 81 \%. Cette décomposition est le cadre de l'évaluation des terrains de développement (\cref{ch:25,ch:41}) ; elle rappelle qu'un prix de terrain observé en périphérie n'est pas une rente capitalisée mais une option sur une rente future, dont la valeur dépend des anticipations de croissance et du zonage (\cref{ch:08}).
188		188
189	\subsection{La part du terrain dans la valeur des logements}	189	\subsection{La part du terrain dans la valeur des logements}
190		190
191	Les travaux macroéconomiques des vingt dernières années ont réhabilité la rente foncière comme explication première des mouvements de prix immobiliers. \textcite{davisHeathcote2007} construisent, pour les États-Unis, des séries du prix et de la quantité de terrain résidentiel en retranchant de la valeur du parc le coût de remplacement des structures, c'est-à-dire par la méthode résiduelle agrégée de l'\cref{eq:5:residuelle} ; ils trouvent que la part du terrain dans la valeur des logements a fortement augmenté depuis les années 1970 et que la quasi-totalité de la volatilité des prix des logements provient du prix du terrain, la structure se comportant comme un bien reproductible dont le prix suit les coûts de construction. \textcite{knollSchularickSteger2017}, sur quatorze pays avancés de 1870 à 2012, attribuent environ 80 \% de la hausse des prix réels des logements depuis 1950 à la hausse du prix des terrains. \textcite{albouyEhrlichShin2018} estiment les valeurs foncières des métropoles américaines à partir de ventes de terrains et montrent que la part du terrain varie fortement d'une agglomération à l'autre et croît avec la taille et la productivité de la métropole, ce qui est exactement ce que prédit le modèle monocentrique en version ouverte : la rente du sol est le prix d'accès à une ville productive.	191	Les travaux macroéconomiques des vingt dernières années ont réhabilité la rente foncière comme explication première des mouvements de prix immobiliers. \textcite{davisHeathcote2007} construisent, pour les États-Unis, des séries du prix et de la quantité de terrain résidentiel en retranchant de la valeur du parc le coût de remplacement des structures, c'est-à-dire par la méthode résiduelle agrégée de l'\cref{eq:5:residuelle} ; ils trouvent que la part du terrain dans la valeur des logements a fortement augmenté depuis les années 1970 et que la quasi-totalité de la volatilité des prix des logements provient du prix du terrain, la structure se comportant comme un bien reproductible dont le prix suit les coûts de construction. \textcite{knollSchularickSteger2017}, sur quatorze pays avancés de 1870 à 2012, attribuent environ 80 \% de la hausse des prix réels des logements depuis 1950 à la hausse du prix des terrains. \textcite{albouyEhrlichShin2018} estiment les valeurs foncières des métropoles américaines à partir de ventes de terrains et montrent que la part du terrain varie fortement d'une agglomération à l'autre et croît avec la taille et la productivité de la métropole, ce qui est exactement ce que prédit le modèle monocentrique en version ouverte : la rente du sol est le prix d'accès à une ville productive.
192		192
193	−Pour l'évaluateur québécois, ces résultats ont deux conséquences. D'abord, la répartition terrain--bâtiment d'une propriété n'est pas une convention comptable : elle gouverne la volatilité attendue de la valeur, et une propriété dont le terrain pèse 60 \% de la valeur réagira à un retournement du marché bien plus qu'une propriété où il pèse 25 \%. Ensuite, le rôle d'évaluation foncière, qui inscrit séparément la valeur du terrain et celle du bâtiment de chaque unité (\cref{ch:9}), offre une source précieuse pour mesurer la part du terrain par quartier ; les données ouvertes du rôle permettent cette analyse à l'échelle des municipalités \parencite{dqroles}, avec les précautions du \cref{ch:21} sur la date de référence et sur le fait que la valeur du bâtiment au rôle est un coût déprécié de barème.	193	+Pour l'évaluateur québécois, ces résultats ont deux conséquences. D'abord, la répartition terrain--bâtiment d'une propriété n'est pas une convention comptable : elle gouverne la volatilité attendue de la valeur, et une propriété dont le terrain pèse 60 \% de la valeur réagira à un retournement du marché bien plus qu'une propriété où il pèse 25 \%. Ensuite, le rôle d'évaluation foncière, qui inscrit séparément la valeur du terrain et celle du bâtiment de chaque unité (\cref{ch:09}), offre une source précieuse pour mesurer la part du terrain par quartier ; les données ouvertes du rôle permettent cette analyse à l'échelle des municipalités \parencite{dqroles}, avec les précautions du \cref{ch:21} sur la date de référence et sur le fait que la valeur du bâtiment au rôle est un coût déprécié de barème.
194		194
195	\begin{pratique}	195	\begin{pratique}
196	La méthode résiduelle est la plus sensible des méthodes d'évaluation du terrain, et c'est pourquoi la pratique professionnelle lui préfère la comparaison directe avec des ventes de terrains vacants lorsqu'elles existent \parencite{appraisal2026}. Lorsqu'on y recourt faute de ventes, trois précautions s'imposent : documenter la dépréciation du bâtiment avec le plus grand soin, puisque toute erreur s'y reporte en entier sur le terrain ; présenter une fourchette de valeur du terrain plutôt qu'un point, en faisant varier la dépréciation ; et vérifier que le ratio terrain--valeur obtenu est cohérent avec celui du voisinage au rôle et avec les ventes de terrains des secteurs comparables. Le \cref{ch:25} détaille ces vérifications.	196	La méthode résiduelle est la plus sensible des méthodes d'évaluation du terrain, et c'est pourquoi la pratique professionnelle lui préfère la comparaison directe avec des ventes de terrains vacants lorsqu'elles existent \parencite{appraisal2026}. Lorsqu'on y recourt faute de ventes, trois précautions s'imposent : documenter la dépréciation du bâtiment avec le plus grand soin, puisque toute erreur s'y reporte en entier sur le terrain ; présenter une fourchette de valeur du terrain plutôt qu'un point, en faisant varier la dépréciation ; et vérifier que le ratio terrain--valeur obtenu est cohérent avec celui du voisinage au rôle et avec les ventes de terrains des secteurs comparables. Le \cref{ch:25} détaille ces vérifications.
				`@@ -336,7 +336,7 @@ La taxe foncière est la plus importante des charges qui pèsent sur la rente, e`
336	\begin{equation}\label{eq:5:taxe}	336	\begin{equation}\label{eq:5:taxe}
337	V = \frac{R_b}{i + \tau} .	337	V = \frac{R_b}{i + \tau} .
338	\end{equation}	338	\end{equation}
339	−La taxe agit donc comme un supplément de taux de capitalisation : une propriété dont la rente brute est capitalisée à 5 \% dans une municipalité sans taxe l'est à 5,75 \% dans une municipalité qui prélève 0,75 \% de la valeur, et vaut 13 \% de moins. L'\cref{eq:5:taxe} est l'expression statique du coût d'usage du logement introduit au \cref{ch:3}, $u = P\,(i + \tau + \delta - g)$, dans lequel la taxe foncière est l'une des composantes du coût annuel de détention \parencite{poterba1984,himmelbergMayerSinai2005} ; avec un taux hypothécaire de 4,12 \%, une dépréciation de 1,5 \%, une croissance anticipée de 2 \% et le taux effectif de Gatineau estimé plus bas, la taxe représente 14 \% du coût d'usage d'un propriétaire occupant.	339	+La taxe agit donc comme un supplément de taux de capitalisation : une propriété dont la rente brute est capitalisée à 5 \% dans une municipalité sans taxe l'est à 5,75 \% dans une municipalité qui prélève 0,75 \% de la valeur, et vaut 13 \% de moins. L'\cref{eq:5:taxe} est l'expression statique du coût d'usage du logement introduit au \cref{ch:03}, $u = P\,(i + \tau + \delta - g)$, dans lequel la taxe foncière est l'une des composantes du coût annuel de détention \parencite{poterba1984,himmelbergMayerSinai2005} ; avec un taux hypothécaire de 4,12 \%, une dépréciation de 1,5 \%, une croissance anticipée de 2 \% et le taux effectif de Gatineau estimé plus bas, la taxe représente 14 \% du coût d'usage d'un propriétaire occupant.
340		340
341	\begin{proposition}{Capitalisation d'un changement de taxe}{capitalisation}	341	\begin{proposition}{Capitalisation d'un changement de taxe}{capitalisation}
342	Si le taux de taxe passe de $\tau_0$ à $\tau_1$ sans que la rente brute $R_b$ ni le taux $i$ changent, la valeur passe de $V_0 = R_b/(i + \tau_0)$ à $V_1 = R_b/(i + \tau_1)$ et la variation vaut exactement	342	Si le taux de taxe passe de $\tau_0$ à $\tau_1$ sans que la rente brute $R_b$ ni le taux $i$ changent, la valeur passe de $V_0 = R_b/(i + \tau_0)$ à $V_1 = R_b/(i + \tau_1)$ et la variation vaut exactement
				`@@ -356,7 +356,7 @@ Le choix du taux au dénominateur n'est pas un détail. Lorsque l'évaluateur ex`
356		356
357	\subsection{Taux nominal, taux effectif et facteur comparatif}	357	\subsection{Taux nominal, taux effectif et facteur comparatif}
358		358
359	−Le taux de taxe que publie une municipalité s'applique à la valeur inscrite au rôle, non à la valeur marchande du jour. Si $F$ est le \motcle{facteur comparatif} du rôle, inverse de la proportion médiane, de sorte que la valeur marchande à la date de référence s'approche par $V = F \times V_{\text{rôle}}$ (\cref{ch:9}), le taux effectif sur la valeur marchande est	359	+Le taux de taxe que publie une municipalité s'applique à la valeur inscrite au rôle, non à la valeur marchande du jour. Si $F$ est le \motcle{facteur comparatif} du rôle, inverse de la proportion médiane, de sorte que la valeur marchande à la date de référence s'approche par $V = F \times V_{\text{rôle}}$ (\cref{ch:09}), le taux effectif sur la valeur marchande est
360	\begin{equation}\label{eq:5:effectif}	360	\begin{equation}\label{eq:5:effectif}
361	\tau_{\text{eff}} = \frac{T}{V} = \frac{\tau_{\text{rôle}}\, V_{\text{rôle}}}{F\,V_{\text{rôle}}} = \frac{\tau_{\text{rôle}}}{F} .	361	\tau_{\text{eff}} = \frac{T}{V} = \frac{\tau_{\text{rôle}}\, V_{\text{rôle}}}{F\,V_{\text{rôle}}} = \frac{\tau_{\text{rôle}}}{F} .
362	\end{equation}	362	\end{equation}
				`@@ -365,7 +365,7 @@ Comparer les taux nominaux de deux villes dont les rôles ont des dates de réf`
365	\begin{quebec}[Taux de taxe foncière 2026 et capitalisation]	365	\begin{quebec}[Taux de taxe foncière 2026 et capitalisation]
366	Au Québec, la taxe foncière générale est imposée sur la valeur inscrite au rôle triennal, dont la valeur réelle est établie aux conditions du marché du 1\ier{} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur \parencite[art.~42 à 46]{lfm}. La Loi sur la fiscalité municipale permet des taux variés par catégorie d'immeubles (non résidentiels, industriels, terrains vagues desservis, agricoles, forestiers, résiduelle), le taux de base étant celui de la catégorie résiduelle, et une sous-catégorie de six logements et plus peut recevoir un taux distinct ; le taux des terrains vagues desservis peut atteindre le quadruple du taux de base, ce qui est une pénalité explicite à la rétention spéculative de terrains \parencite[art.~244.29 à 244.49]{lfm}. L'évaluateur municipal établit la proportion médiane du rôle et son facteur comparatif, inscrits sur l'avis d'évaluation \parencite[art.~264]{lfm}. La taxe scolaire, uniforme dans la province, s'ajoute au taux de 0,07899 \$ par 100 \$ d'évaluation uniformisée ajustée pour 2026-2027, sur la partie de la valeur qui excède 25 000 \$ \parencite[art.~303 à 303.6]{lip} ; ce taux est connu par les communiqués des centres de services scolaires \parencite{taxescolaire2026}.	366	Au Québec, la taxe foncière générale est imposée sur la valeur inscrite au rôle triennal, dont la valeur réelle est établie aux conditions du marché du 1\ier{} juillet du deuxième exercice précédant l'entrée en vigueur \parencite[art.~42 à 46]{lfm}. La Loi sur la fiscalité municipale permet des taux variés par catégorie d'immeubles (non résidentiels, industriels, terrains vagues desservis, agricoles, forestiers, résiduelle), le taux de base étant celui de la catégorie résiduelle, et une sous-catégorie de six logements et plus peut recevoir un taux distinct ; le taux des terrains vagues desservis peut atteindre le quadruple du taux de base, ce qui est une pénalité explicite à la rétention spéculative de terrains \parencite[art.~244.29 à 244.49]{lfm}. L'évaluateur municipal établit la proportion médiane du rôle et son facteur comparatif, inscrits sur l'avis d'évaluation \parencite[art.~264]{lfm}. La taxe scolaire, uniforme dans la province, s'ajoute au taux de 0,07899 \$ par 100 \$ d'évaluation uniformisée ajustée pour 2026-2027, sur la partie de la valeur qui excède 25 000 \$ \parencite[art.~303 à 303.6]{lip} ; ce taux est connu par les communiqués des centres de services scolaires \parencite{taxescolaire2026}.
367		367
368	−Le \cref{tab:5:taux} réunit les taux résidentiels 2026 des trois villes des cas de l'ouvrage. Québec impose 0,7464 \$ par 100 \$ aux immeubles de un à cinq logements et 0,7697 \$ à ceux de six logements et plus, sur un rôle 2025-2027 dont la date de référence est le 1\ier{} juillet 2023 \parencite{vqtaux2026}. Gatineau a un taux de base de 5,224 \$ par 1 000 \$, soit 0,5224 \$ par 100 \$, et le règlement d'imposition prévoit, à son annexe I, des taux de taxe générale résidentielle distincts par unité de voisinage \parencite{gatineaureglement994} ; selon le dépouillement de cette annexe consigné dans les notes de calibration du dépôt, ces taux s'échelonnent de 1,613 à 7,544 \$ par 1 000 \$ (médiane 5,233), une différenciation intramunicipale de la taxe que l'\cref{eq:5:deltaV} invite à capitaliser lorsqu'on compare deux ventes de secteurs différents. Le facteur comparatif de Gatineau pour 2026 est 1,02 \parencite{gatmutations}, d'où un taux effectif de $0{,}5224/1{,}02 = 0{,}5122$ \$ par 100 \$ de valeur marchande à la date de référence. Pour Montréal, la page officielle des taux 2026 renvoie à un document que les outils de ce dépôt n'ont pas pu lire \parencite{mtltaux2026} ; une source secondaire rapporte une taxe foncière générale résidentielle de 0,4631 \$ par 100 \$, à laquelle s'ajoutent les taxes d'arrondissement \parencite{ledevoirmtl2026}, sur un rôle 2026-2028 dont le facteur comparatif est 1,00 \parencite{mtlmutations2026}. Ces taux sont des taux nominaux : seule la conversion de l'\cref{eq:5:effectif}, et la prise en compte des tarifications et des taxes locales, permet de comparer la charge fiscale réelle de propriétés situées dans des villes différentes, et seule la connaissance des services financés permet de décider quelle part de l'écart capitaliser. Le \cref{ch:9} reprend ces règles du point de vue de la contestation du rôle.	368	+Le \cref{tab:5:taux} réunit les taux résidentiels 2026 des trois villes des cas de l'ouvrage. Québec impose 0,7464 \$ par 100 \$ aux immeubles de un à cinq logements et 0,7697 \$ à ceux de six logements et plus, sur un rôle 2025-2027 dont la date de référence est le 1\ier{} juillet 2023 \parencite{vqtaux2026}. Gatineau a un taux de base de 5,224 \$ par 1 000 \$, soit 0,5224 \$ par 100 \$, et le règlement d'imposition prévoit, à son annexe I, des taux de taxe générale résidentielle distincts par unité de voisinage \parencite{gatineaureglement994} ; selon le dépouillement de cette annexe consigné dans les notes de calibration du dépôt, ces taux s'échelonnent de 1,613 à 7,544 \$ par 1 000 \$ (médiane 5,233), une différenciation intramunicipale de la taxe que l'\cref{eq:5:deltaV} invite à capitaliser lorsqu'on compare deux ventes de secteurs différents. Le facteur comparatif de Gatineau pour 2026 est 1,02 \parencite{gatmutations}, d'où un taux effectif de $0{,}5224/1{,}02 = 0{,}5122$ \$ par 100 \$ de valeur marchande à la date de référence. Pour Montréal, la page officielle des taux 2026 renvoie à un document que les outils de ce dépôt n'ont pas pu lire \parencite{mtltaux2026} ; une source secondaire rapporte une taxe foncière générale résidentielle de 0,4631 \$ par 100 \$, à laquelle s'ajoutent les taxes d'arrondissement \parencite{ledevoirmtl2026}, sur un rôle 2026-2028 dont le facteur comparatif est 1,00 \parencite{mtlmutations2026}. Ces taux sont des taux nominaux : seule la conversion de l'\cref{eq:5:effectif}, et la prise en compte des tarifications et des taxes locales, permet de comparer la charge fiscale réelle de propriétés situées dans des villes différentes, et seule la connaissance des services financés permet de décider quelle part de l'écart capitaliser. Le \cref{ch:09} reprend ces règles du point de vue de la contestation du rôle.
369	\end{quebec}	369	\end{quebec}
370		370
371	\begin{table}[tbp]	371	\begin{table}[tbp]
				`@@ -405,7 +405,7 @@ Le \cref{tab:5:sensibilite} et la \cref{fig:5:capitalisation} généralisent ces`
405	100 & 5000 & -125000 & -100000 & -83333 & -71429 \\	405	100 & 5000 & -125000 & -100000 & -83333 & -71429 \\
406	\bottomrule	406	\bottomrule
407	\end{tabular}	407	\end{tabular}
408	−\tabsource{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{grille\_capitalisation} ; \cref{eq:5:deltaV-approx} avec $\kappa = 1$.}	408	+\tabsource{\texttt{analysis/python/cases/ch05\_rente.py}, fonction \texttt{grille\_capitalisation} ; l'\cref{eq:5:deltaV-approx} avec $\kappa = 1$.}
409	\end{table}	409	\end{table}
410		410
411	\begin{figure}[tbp]	411	\begin{figure}[tbp]

modified manuscript/chapters/ch09.tex +3 −3

				`@@ -218,7 +218,7 @@ Le \cref{tab:9:taux} rassemble les taux de 2026 que nous avons pu vérifier dans`
218	\caption{Taux de la taxe foncière 2026 et de la taxe scolaire 2026-2027 dans les trois villes des dossiers de cas, par 100~\$ d'évaluation}\label{tab:9:taux}	218	\caption{Taux de la taxe foncière 2026 et de la taxe scolaire 2026-2027 dans les trois villes des dossiers de cas, par 100~\$ d'évaluation}\label{tab:9:taux}
219	\centering	219	\centering
220	\footnotesize	220	\footnotesize
221	−\begin{tabularx}{\textwidth}{p{44mm}S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]Y}	221	+\begin{tabularx}{\textwidth}{p{44mm}S[table-format=1.4, group-digits=integer]S[table-format=1.4, group-digits=integer]S[table-format=1.4, group-digits=integer]Y}
222	\toprule	222	\toprule
223	Ville et taxe & {Résidentiel} & {6 log. et plus} & {Non résid.} & Source et statut \\	223	Ville et taxe & {Résidentiel} & {6 log. et plus} & {Non résid.} & Source et statut \\
224	\midrule	224	\midrule
				`@@ -374,7 +374,7 @@ Le ratio personnel du sujet est alors $468\,000 / 573\,000 = 0{,}817$, soit 11,6`
374	\caption{Étude de ratios du rôle fictif 2026-2028 sur les 600 ventes du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:9:ratios}	374	\caption{Étude de ratios du rôle fictif 2026-2028 sur les 600 ventes du cas 1 (données synthétiques)}\label{tab:9:ratios}
375	\centering	375	\centering
376	\small	376	\small
377	−\begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=1.4]S[table-format=1.2]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]S[table-format=1.4]}	377	+\begin{tabular}{lS[table-format=3.0]S[table-format=1.4, group-digits=integer]S[table-format=1.2]S[table-format=1.4, group-digits=integer]S[table-format=1.4, group-digits=integer]S[table-format=1.4, group-digits=integer]}
378	\toprule	378	\toprule
379	Échantillon & {$n$} & {Médiane} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {ETR (annexe III)} \\	379	Échantillon & {$n$} & {Médiane} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {ETR (annexe III)} \\
380	\midrule	380	\midrule
				`@@ -456,7 +456,7 @@ Valeur au rôle fictif (\$) & 468 000 & 502 400 & 524 800 & 465 600 & 482 500 &`
456	\caption{Les deux dossiers de contestation du cas 1 en regard (données synthétiques ; taux de Gatineau 2026, secteur de Hull, unité de voisinage au taux médian)}\label{tab:9:dossier}	456	\caption{Les deux dossiers de contestation du cas 1 en regard (données synthétiques ; taux de Gatineau 2026, secteur de Hull, unité de voisinage au taux médian)}\label{tab:9:dossier}
457	\centering	457	\centering
458	\small	458	\small
459	−\begin{tabular}{lS[table-format=-6.2]S[table-format=-6.2]}	459	+\begin{tabular}{lS[table-format=-6.2, group-digits=integer]S[table-format=-6.2, group-digits=integer]}
460	\toprule	460	\toprule
461	Élément & {Sujet du cas 1} & {Acheteur de G0258} \\	461	Élément & {Sujet du cas 1} & {Acheteur de G0258} \\
462	\midrule	462	\midrule

modified manuscript/chapters/ch11.tex +157 −1

+ \chapter{Inspection et pathologies du bâtiment}\label{ch:11}
++
++Aucune méthode d'évaluation ne vaut mieux que la connaissance que l'évaluateur a de l'immeuble qu'il évalue. Les comparables ne s'ajustent correctement que si l'état du sujet est connu, la méthode du coût ne déprécie que ce qui a été constaté, et le revenu d'un immeuble locatif dépend des réparations qui l'attendent. L'inspection est donc la première opération de toute évaluation, et elle est aussi la plus exposée à l'erreur, parce qu'elle repose sur l'observation d'un objet complexe, en partie caché, pendant un temps limité. Le présent chapitre ouvre la troisième partie de l'ouvrage, consacrée à l'information : il décrit ce que l'évaluateur doit voir, ce qu'il peut légitimement déduire de ce qu'il voit, et la façon dont ces constats se traduisent en chiffres, d'abord sous la forme d'une note d'état par composante, puis d'un âge effectif qui alimentera la dépréciation du \cref{ch:24}. Il distingue soigneusement l'inspection d'évaluation de l'inspection préachat, passe en revue les pathologies propres au parc québécois, et conduit, sur la maison du dossier de Gatineau (cas 1), une inspection complète dont chaque chiffre est reproduit par un script.
++
++\begin{objectifs}
++\begin{itemize}
++\item Situer l'inspection dans l'acte d'évaluation et la distinguer de l'inspection préachat, dans ses objectifs, sa portée et sa responsabilité.
++\item Lire l'enveloppe, la structure, les fondations et les systèmes d'un bâtiment résidentiel et reconnaître les signes des pathologies fréquentes au Québec.
++\item Connaître le cadre juridique applicable : garantie de qualité, déclarations du vendeur, plan de garantie des bâtiments neufs, obligations déontologiques de l'évaluateur.
++\item Classer l'état de chaque composante sur une échelle ordinale déclarée et convertir ce classement en âge effectif selon une convention explicite.
++\item Relier la fiche d'état à la dépréciation physique ventilée et mesurer la sensibilité du résultat aux conventions retenues.
++\item Décider, par un raisonnement de valeur de l'information, quand recommander un test spécialisé et comment formuler l'hypothèse extraordinaire correspondante.
++\item Connaître la structure du formulaire d'inspection de l'ouvrage (annexe~\ref{app:formulaires-inspection}) et les exigences de documentation du dossier.
++\end{itemize}
++\end{objectifs}
++
++\section{L'inspection d'évaluation : objet, portée et cadre}\label{sec:11:cadre}
++
++\subsection{Pourquoi l'évaluateur inspecte}
++
++Les Normes de pratique professionnelle de l'Ordre des évaluateurs agréés du Québec posent l'exigence en termes simples : tout immeuble évalué doit faire l'objet d'une inspection, sauf circonstances exceptionnelles qui seront expliquées au rapport \parencite[règle 2.4]{oeaqNormes}. La règle est coercitive, et elle se comprend à la lumière du contenu minimal du rapport : le premier des douze éléments exigés est l'identification physique et légale de l'immeuble, le sixième l'étendue du travail, le septième les réserves et hypothèses de base, le huitième le traitement de l'information et le raisonnement \parencite[règle 2.3]{oeaqNormes}. L'inspection est ce qui donne un contenu à ces éléments. Sans elle, la description du bâtiment est empruntée au rôle d'évaluation, à la fiche de courtage ou aux dires du propriétaire, trois sources dont le \cref{ch:13} montre les limites, et la conclusion de valeur repose sur un immeuble supposé plutôt que constaté.
++
++L'\motcle{inspection d'évaluation} a donc un objet précis : établir, à la date d'évaluation, les caractéristiques physiques du bien qui influent sur sa valeur, et parmi elles l'état de chaque composante, les réparations différées, les améliorations récentes, les éléments fonctionnellement désuets et les indices de pathologies cachées. Elle ne cherche ni à certifier que le bâtiment est sain ni à garantir l'absence de vices : elle cherche à savoir ce qu'un acheteur prudent et informé constaterait, puisque c'est de ce point de vue que la valeur marchande est définie (\cref{ch:2}). Lorsqu'un indice sérieux échappe à l'observation directe, l'évaluateur ne tranche pas ; il formule une \motcle{hypothèse extraordinaire}, en indique l'incidence sur la valeur et recommande, s'il y a lieu, l'intervention d'un spécialiste \parencite[règle 2.1~c)]{oeaqNormes}. La \cref{sec:11:information} donne à cette recommandation une forme quantitative.
++
++\subsection{Inspection d'évaluation et inspection préachat}
++
++L'inspection préachat est un service distinct, rendu à un acheteur par un inspecteur en bâtiment, et il importe de ne pas confondre les deux exercices, ni de présenter l'un comme un substitut de l'autre. La norme de pratique de l'Association des inspecteurs en bâtiments du Québec (AIBQ), publiée en collaboration avec l'Organisme d'autoréglementation du courtage immobilier du Québec, décrit l'inspection préachat comme une inspection « visuelle et attentive, qui n'est cependant pas techniquement exhaustive », consistant en « un examen visuel de l'état physique des systèmes et des composantes installés, facilement accessibles » (art.~7 et 8)\footnote{Association des inspecteurs en bâtiments du Québec, \emph{Norme de pratique professionnelle pour l'inspection visuelle de bâtiments principalement résidentiels}, version V03 d'avril 2011 mise à jour le 23 mars 2023, 24~p., \url{https://www.aibq.qc.ca/media/2220/aibq_normepreachat_maj-23-mars-2023-art1210.pdf}, consultée le 31 octobre 2026. Référence inscrite au registre du chapitre (SRC-11-011).}. La même norme exclut expressément du mandat l'évaluation de la durée de vie résiduelle des composantes, l'évaluation des méthodes et des coûts de correction et, surtout, « l'évaluation de la valeur marchande de la propriété » (art.~12.1 à 12.3) ; elle oblige en revanche l'inspecteur à prendre connaissance des déclarations du vendeur (art.~16) et à remettre un rapport écrit dont le contenu minimal est fixé (art.~14). Les normes nord-américaines sont construites sur le même modèle : les \emph{Standards of Practice} de l'International Association of Certified Home Inspectors définissent l'inspection résidentielle comme un examen visuel et non invasif des parties accessibles d'une propriété et précisent qu'elle ne détermine ni la valeur marchande ni l'espérance de vie des composantes\footnote{InterNACHI, \emph{Home Inspection Standards of Practice}, révision d'octobre 2022, art.~2.1.5 et 2.1.8, \url{https://www.nachi.org/sop.htm}, consulté le 31 octobre 2026 (SRC-11-013).}.
++
++La comparaison du \cref{tab:11:deux-inspections} fait ressortir trois différences. La première tient à la finalité : l'inspecteur informe un acheteur sur l'état du bâtiment, l'évaluateur en déduit une valeur ; le premier décrit des défauts, le second les traduit en dépréciation. La deuxième tient à la profondeur : l'inspection préachat dure plusieurs heures, met à l'essai les appareils par leurs commandes normales et examine systématiquement onze systèmes, alors que l'inspection d'évaluation d'une maison unifamiliale est souvent plus courte et vise l'essentiel pour la valeur ; en contrepartie, l'évaluateur apporte une connaissance du marché que l'inspecteur n'a pas, et il sait quels défauts le marché pénalise. La troisième tient à la responsabilité : l'inspecteur en bâtiment répond de ce qu'il aurait dû voir dans les limites de sa norme et de sa convention de service ; l'évaluateur répond de sa conclusion de valeur, et l'état du bâtiment en est l'un des intrants. Lorsqu'un rapport d'inspection préachat existe, il est une source précieuse pour l'évaluateur, qui le cite, en vérifie les constats principaux lors de sa propre visite et ne s'y substitue pas.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Inspection d'évaluation et inspection préachat : deux exercices distincts}\label{tab:11:deux-inspections}
++\centering
++\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}
++\toprule
++Dimension & Inspection d'évaluation & Inspection préachat \\
++\midrule
++Cadre & NPP de l'OEAQ, règle 2.4 (inspection obligatoire sauf exception expliquée) ; règle 2.3 (identification, étendue du travail, hypothèses) & Norme de pratique de l'AIBQ (ou norme équivalente) et convention de service d'inspection ; rapport écrit obligatoire \\
++Finalité & Décrire le bien à la date d'évaluation et en déduire les intrants de la valeur (état, âge effectif, réparations, désuétudes) & Donner à l'acheteur « une meilleure connaissance de l'état du bâtiment » (AIBQ, art.~6) \\
++Méthode & Visite, mesurage, photographies, lecture des documents (rôle, certificat de localisation, déclarations du vendeur, permis), entretien avec l'occupant & Examen visuel et attentif des systèmes et composantes installés et accessibles ; essai des appareils par leurs commandes normales ; sondage des éléments détériorés \\
++Ce qui est exclu & Diagnostic technique, essais destructifs, certification de conformité ; l'évaluateur recommande un spécialiste et formule une hypothèse extraordinaire & Durée de vie résiduelle, coûts de correction, valeur marchande, recommandation d'achat, éléments enfouis, conformité aux codes (AIBQ, art.~11 et 12) \\
++Produit & Section descriptive du rapport d'évaluation, fiche d'état par composante, liste des travaux, âge effectif & Rapport d'inspection décrivant les systèmes inspectés, non inspectés et à réparer, avec photographies (AIBQ, art.~14) \\
++Lien avec la valeur & Direct : alimente la dépréciation (\cref{ch:24}), les ajustements d'état (\cref{ch:17}) et les réserves pour travaux (\cref{ch:28}) & Indirect : le rapport sert à la négociation et peut conditionner la promesse d'achat (clause d'inspection) \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{oeaqNormes} et les normes AIBQ (V03, 2011, m.à.j. 2023) et InterNACHI (2022) consultées le 31 octobre 2026.}
++\end{table}
++
++\subsection{Le cadre juridique : garantie de qualité, déclarations du vendeur, bâtiments neufs}
++
++L'inspection s'inscrit dans un cadre juridique que l'évaluateur doit connaître, non pour le dire au client à la place du juriste, mais parce qu'il détermine qui, du vendeur ou de l'acheteur, supporte le risque d'un défaut, et donc le prix auquel les parties concluent. Le Code civil du Québec oblige le vendeur à garantir que le bien est exempt de vices cachés qui le rendent impropre à l'usage auquel on le destine ou qui en diminuent tellement l'utilité que l'acheteur ne l'aurait pas acheté, ou n'aurait pas donné si haut prix \parencite[art.~1726]{ccq}. Le même article précise qu'est apparent le vice qui peut être constaté par un acheteur prudent et diligent sans avoir besoin de recourir à un expert. La Cour d'appel a fixé la norme dans l'arrêt \emph{Marcoux c. Picard} : le test de l'article 1726 est celui de l'acheteur prudent et diligent, non celui de l'expert tatillon \parencite[par.~20]{marcouxPicard2008}. La Cour suprême avait, l'année précédente, posé les principes généraux de la garantie dans \emph{ABB c. Domtar} \parencite{abbDomtar2007}. Pour l'évaluateur, la conséquence est double. D'une part, le degré de diligence attendu de l'acheteur est précisément celui de l'inspection visuelle et attentive décrite plus haut : ce que cette inspection révèle est apparent et se négocie dans le prix ; ce qu'elle ne révèle pas est caché et relève de la garantie. D'autre part, la valeur marchande suppose un acheteur informé de l'état de l'immeuble ; une transaction conclue dans l'ignorance d'un vice important n'est pas un comparable représentatif, et c'est l'une des raisons pour lesquelles le \cref{ch:16} impose la vérification des ventes.
++
++La garantie peut être limitée ou exclue par convention, sauf pour les vices que le vendeur connaissait ou ne pouvait ignorer, et la vente faite « aux risques et périls » de l'acheteur par un vendeur non professionnel a un régime particulier \parencite[art.~1732--1733]{ccq}. La mention « vendu sans garantie légale » est fréquente dans les successions et les reprises, et elle a un prix : l'acheteur assume un risque qu'il aurait autrement transféré, de sorte qu'à état constaté égal, un immeuble vendu sans garantie se négocie habituellement avec une décote. L'évaluateur qui compare une telle vente à un sujet vendu avec garantie doit en tenir compte dans les conditions de vente (\cref{ch:17}) ; il ne doit pas, en revanche, chiffrer lui-même la décote comme s'il s'agissait d'une règle, car elle dépend du marché et de l'information disponible.
++
++\begin{quebec}[Les déclarations du vendeur et la clause d'inspection]
++Depuis juillet 2012, le formulaire \emph{Déclarations du vendeur sur l'immeuble} (DV) de l'Organisme d'autoréglementation du courtage immobilier du Québec est obligatoire lorsqu'une personne physique vend, par l'entremise d'un courtier, un immeuble principalement résidentiel de moins de cinq logements ; la copropriété divise a son propre formulaire (DVD) \parencite{oaciqContexteDV,oaciqFormulaireDV}. La version V24 (juin 2022) comporte quinze sections, de l'identification du vendeur aux équipements, en passant par le terrain, les infiltrations d'eau, la toiture, la plomberie, l'électricité, le chauffage et les contaminants connus ; elle est annexée à la promesse d'achat par sa clause 13.1 \parencite{oaciqFormulairePA}. La promesse d'achat prévoit par ailleurs, à sa clause 8, la faculté pour l'acheteur de faire inspecter l'immeuble par une personne de son choix dans un délai convenu, et elle stipule que l'immeuble est vendu avec la garantie légale de propriété et de qualité à moins de stipulation contraire à la clause 12.1 \parencite{oaciqFormulairePA}. Pour l'évaluateur, la DV est l'une des sources les plus utiles de l'inspection : elle date les travaux, révèle les sinistres et les réclamations, signale les tests déjà faits (pyrite, radon, amiante) et oriente la visite. Elle n'est pas publique ; l'évaluateur la demande au client ou au courtier, et il note au rapport qu'elle a été lue ou qu'elle n'était pas disponible. Depuis la Loi~16 de 2019, dont l'intitulé vise notamment « l'encadrement des inspections en bâtiment », le législateur s'est donné les moyens d'encadrer la profession d'inspecteur \parencite{loi16_2019} ; l'état du règlement d'application n'a pas pu être vérifié à la date de rédaction et le lecteur consultera la Régie du bâtiment du Québec.
++\end{quebec}
++
++Pour les bâtiments neufs, le cadre est différent : la Loi sur le bâtiment impose à l'entrepreneur une licence \parencite[art.~46]{loibatiment} et un plan de garantie obligatoire, administré par Garantie de construction résidentielle (GCR), pour les maisons unifamiliales, les duplex à quintuplex et les petites copropriétés \parencite[art.~2]{reglgarantie}. La garantie couvre les malfaçons non apparentes pendant un an, les vices cachés pendant trois ans et les vices de conception, de construction ou de réalisation et les vices du sol au sens de l'article 2118 C.c.Q. pendant cinq ans à compter de la réception, avec un plafond de \dollars{300000} par maison unifamiliale et de \dollars{200000} par logement pour un multifamilial \parencite[art.~10, 13 et 14]{reglgarantie}. Ces durées fixent le calendrier d'une inspection de bâtiment neuf : les vices apparents se dénoncent à la réception ou dans les trois jours, et un acheteur qui approche de la fin de la troisième ou de la cinquième année a intérêt à inspecter avant l'échéance. La garantie est transférable à l'acquéreur subséquent \parencite[art.~16]{reglgarantie}, de sorte qu'une maison de deux ans qui change de mains conserve une protection dont l'évaluateur tient compte dans la comparaison avec des maisons plus anciennes. Le \cref{ch:23} revient sur le cadre de la construction et le \cref{ch:44} sur les programmes d'aide à la rénovation.
++
++\section{Lire le bâtiment : enveloppe, structure et fondations}\label{sec:11:enveloppe}
++
++\subsection{L'enveloppe comme système}
++
++L'\motcle{enveloppe} d'un bâtiment est l'ensemble des éléments qui séparent l'intérieur chauffé de l'extérieur : toiture, murs hors sol, fenêtres et portes, fondations et dalle. Sa fonction première est de contrôler quatre flux, l'eau, l'air, la vapeur et la chaleur, et la plupart des pathologies du bâtiment résidentiel résultent d'un défaut de contrôle de l'un d'eux. L'eau qui s'infiltre par un solin défectueux pourrit la charpente ; l'air chaud et humide qui s'échappe dans le comble par un pare-vapeur discontinu y condense et y fait naître des moisissures ; la chaleur qui fuit par un mur mal isolé crée des ponts thermiques où la condensation se dépose. La \cref{fig:11:enveloppe} schématise ces éléments et situe les points que l'inspection examine en priorité. Lire l'enveloppe comme un système, plutôt que comme une liste de matériaux, est ce qui permet de passer d'un symptôme observé à sa cause probable, et c'est cette cause qui détermine si le défaut est curable à peu de frais ou s'il traduit une dégradation profonde.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\begin{tikzpicture}[scale=0.92, every node/.style={font=\sffamily\scriptsize}, etiq/.style={font=\sffamily\scriptsize, align=left, text=brandDark}, fl/.style={-{Stealth[length=1.6mm]}, brandGray, thin}]
++% sol et nappe
++\fill[gray!12] (-1.2,-2.6) rectangle (9.2,0);
++\draw[gray!60, thick] (-1.2,0) -- (0.3,0) (6.7,0) -- (9.2,0);
++\draw[gray!60, thick] (0.3,0) -- (0.3,0.08) (6.7,0) -- (6.7,0.08);
++\node[etiq, text=brandGray] at (8.2,-0.3) {sol : argile, remblai,\\radon, nappe};
++% fondations
++\fill[gray!35] (0.5,-2.2) rectangle (1.0,0.3);
++\fill[gray!35] (6.0,-2.2) rectangle (6.5,0.3);
++\fill[gray!35] (0.2,-2.5) rectangle (1.3,-2.2);
++\fill[gray!35] (5.7,-2.5) rectangle (6.8,-2.2);
++\fill[gray!45] (1.0,-2.3) rectangle (6.0,-2.1);
++\fill[pattern=dots, pattern color=gray!70] (1.0,-2.1) rectangle (6.0,-1.9);
++\node[etiq] at (3.5,-1.3) {sous-sol : humidité, efflorescence, gondolement des planchers};
++\node[etiq] at (3.5,-2.45) {dalle sur remblai (pyrite) --- fissures en étoile, soulèvement};
++% drain
++\draw[brandPrimary, thick] (0.05,-2.35) circle (0.12);
++\draw[brandPrimary, thick] (6.95,-2.35) circle (0.12);
++\node[etiq, text=brandPrimary, anchor=east] at (-0.1,-2.0) {drain français :\\ocre, colmatage,\\cheminées};
++% fissure
++\draw[brandRed, thick] (6.25,0.3) -- (6.2,-0.4) -- (6.3,-0.9) -- (6.22,-1.6);
++\node[etiq, text=brandRed, anchor=west] at (6.7,-1.2) {fissure : retrait (verticale, fine)\\ou structurale (en escalier, horizontale)};
++% murs
++\fill[brandLight] (0.5,0.3) rectangle (1.0,5.2);
++\fill[brandLight] (6.0,0.3) rectangle (6.5,5.2);
++\draw[brandDark] (0.5,0.3) rectangle (1.0,5.2);
++\draw[brandDark] (6.0,0.3) rectangle (6.5,5.2);
++\node[etiq, anchor=east] at (0.35,3.2) {mur : revêtement,\\pare-intempéries,\\isolant, pare-vapeur,\\gypse};
++% planchers
++\draw[brandDark] (1.0,0.3) -- (6.0,0.3);
++\draw[brandDark] (1.0,2.8) -- (6.0,2.8);
++\draw[brandDark] (1.0,5.2) -- (6.0,5.2);
++% fenêtres
++\fill[white] (2.0,1.0) rectangle (3.0,2.2); \draw[brandDark] (2.0,1.0) rectangle (3.0,2.2); \draw[brandDark] (2.5,1.0) -- (2.5,2.2);
++\fill[white] (4.0,3.5) rectangle (5.0,4.7); \draw[brandDark] (4.0,3.5) rectangle (5.0,4.7); \draw[brandDark] (4.5,3.5) -- (4.5,4.7);
++\node[etiq, anchor=west] at (6.7,1.6) {fenêtre : thermos embué,\\calfeutrage, solin, allège};
++\draw[fl] (6.65,1.6) -- (5.1,1.6);
++% comble et toiture
++\fill[gray!20] (0.5,5.2) -- (3.5,7.4) -- (6.5,5.2) -- cycle;
++\draw[brandDark, thick] (0.2,5.0) -- (3.5,7.45) -- (6.8,5.0);
++\draw[brandDark] (0.5,5.2) -- (6.5,5.2);
++\fill[pattern=north east lines, pattern color=brandAmber] (1.0,5.2) rectangle (6.0,5.55);
++\node[etiq] at (3.5,6.1) {comble : isolant, pare-vapeur,\\ventilation (soffites, évents), givre};
++\node[etiq, anchor=west] at (6.9,6.4) {toiture : bardeaux, solins,\\noues, cheminée, gouttières};
++\draw[fl] (6.85,6.4) -- (5.3,6.1);
++% cheminée
++\fill[gray!50] (5.2,6.0) rectangle (5.6,7.0);
++% gouttière
++\draw[brandPrimary, thick] (0.2,5.0) -- (0.2,4.7);
++% pente du terrain
++\draw[fl] (-0.9,0.15) -- (-0.2,0.15); \node[etiq, text=brandGray, anchor=south] at (-0.55,0.2) {pente};
++% radon
++\draw[fl, brandRed] (3.0,-2.05) -- (3.0,-1.5); \draw[fl, brandRed] (4.2,-2.05) -- (4.2,-1.5);
++\node[etiq, text=brandRed, anchor=west] at (4.35,-1.75) {radon};
++% ligne de terrain intérieure
++\node[etiq, text=brandGray] at (3.5,0.05) {rez-de-chaussée};
++\node[etiq, text=brandGray] at (3.5,2.95) {étage};
++\end{tikzpicture}
++\caption{Coupe schématique de l'enveloppe d'un cottage et points d'attention de l'inspection : toiture et comble, murs et fenestration, fondations, dalle et drain, sol. Chaque élément contrôle un flux (eau, air, vapeur, chaleur) et chaque pathologie de la \cref{sec:11:pathologies} correspond à la défaillance d'un de ces contrôles.}\label{fig:11:enveloppe}
++\figsource{schéma de l'auteur.}
++\end{figure}
++
++\subsection{Toiture, combles et drainage des eaux de surface}
++
++La toiture est la composante de courte durée la plus coûteuse d'une maison et celle dont la défaillance cause les dommages les plus étendus. L'inspection l'aborde depuis le sol et, lorsque c'est possible sans risque, depuis une échelle ou un point d'observation voisin : on y lit l'âge des bardeaux à la perte de granules, au relèvement des pattes et à la fissuration, l'état des solins à la cheminée, aux murs et aux noues, l'alignement des faîtes, la présence de mousse ou de débris. Le comble se visite par la trappe : on y vérifie l'épaisseur et la continuité de l'isolant, la présence d'un pare-vapeur du côté chaud, l'état du platelage, l'ouverture des soffites et des évents, et les traces d'humidité, de givre hivernal ou de moisissures sur les chevrons, qui trahissent une ventilation insuffisante ou des fuites d'air chaud depuis l'habitation. Les gouttières et les descentes sont examinées pour leur fixation et pour la distance à laquelle elles rejettent l'eau ; une descente qui se vide au pied de la fondation est une cause fréquente d'infiltration au sous-sol, et la pente du terrain autour du bâtiment, qui doit éloigner l'eau, se vérifie à l'œil et au niveau. Ces constats sont peu coûteux à corriger lorsqu'ils sont pris à temps ; ils deviennent structuraux lorsqu'ils sont négligés pendant des années.
++
++\subsection{Murs, revêtements et fenestration}
++
++Les murs hors sol se lisent de l'extérieur et de l'intérieur. À l'extérieur, le revêtement renseigne par son matériau et son état : une brique saine aux joints intacts, un déclin de bois ou de fibrociment dont la peinture tient, un parement de vinyle sans gondolement ni décoloration. On s'attarde aux points singuliers, allèges, linteaux, jonctions avec la toiture et les balcons, sorties d'appareils, où les solins et les calfeutrages vieillissent plus vite que les surfaces. Les fissures en escalier dans la maçonnerie, les joints effrités, le renflement d'un pan de mur signalent un mouvement de la structure ou des fondations et appellent un examen approfondi. À l'intérieur, les taches, le gondolement du gypse, les joints qui se fissurent au-dessus des ouvertures, les portes qui coincent indiquent soit une infiltration, soit un mouvement. La fenestration, enfin, est à la fois une composante de confort et une composante énergétique : le double vitrage dont le scellé a cédé s'embue, le calfeutrage sec laisse passer l'air et l'eau, les châssis de bois pourrissent au bas des meneaux. Le dénombrement des unités à remplacer est une donnée que l'évaluateur relève précisément, parce qu'elle se chiffre directement en coût de correction.
++
++\subsection{Fondations, dalle et sols : les pathologies québécoises}\label{sec:11:fondations}
++
++Les fondations sont la partie du bâtiment où les pathologies propres au Québec se concentrent, et leur inspection exige une attention particulière parce qu'une partie des indices est enfouie ou dissimulée par les finitions du sous-sol. La première lecture est celle des fissures. Une fissure de retrait du béton est verticale ou légèrement oblique, fine, d'ouverture constante, et elle n'a de conséquence que si l'eau y passe, ce que l'efflorescence ou les traces de ruissellement révèlent ; sa correction, par injection, est une réparation courante. Une fissure horizontale, une fissure en escalier dans un mur de blocs, une fissure dont l'ouverture varie ou dont les lèvres sont décalées traduisent une poussée ou un tassement, et elles appellent une expertise.
++
++La \motcle{pyrite} est le problème le plus connu de la région de Montréal. Selon la Régie du bâtiment du Québec, ce minéral présent dans certains remblais de pierre concassée produit de l'acide sulfurique en s'oxydant au contact de l'humidité et de l'oxygène et peut provoquer, sous une fondation, le soulèvement et la fissuration de la dalle de béton\footnote{Régie du bâtiment du Québec, « Pyrite et pyrrhotite », \url{https://www.rbq.gouv.qc.ca/vous-etes/citoyen/problemes-particuliers-en-batiment/pyrite-et-pyrrhotite/}, consultée le 31 octobre 2026 (SRC-11-008).}. Les signes sont le bombement et la fissuration en étoile de la dalle du sous-sol et surtout du garage, où l'épaisseur du remblai est plus grande, parfois la poussée latérale sur les murs du garage et une poussière blanchâtre dans les fissures. La pratique du marché québécois consiste à faire prélever et analyser le remblai par un laboratoire, selon un protocole d'échantillonnage reconnu, et à exprimer le résultat sous la forme d'un indice pétrographique du potentiel de gonflement (IPPG) ; les remblais certifiés non gonflants depuis la fin des années 1990 ont fait reculer le problème dans les constructions récentes. L'évaluateur qui observe les signes, ou qui évalue une maison construite dans la période et les secteurs touchés sans certificat de remblai ni test antérieur, formule une hypothèse extraordinaire et recommande le test ; il ne chiffre pas lui-même l'excavation.
++
++La \motcle{pyrrhotite} est un problème de nature différente, concentré en Mauricie et dans le Centre-du-Québec : il s'agit d'un sulfure de fer présent dans le granulat du béton lui-même, qui, selon la description de la Régie, cristallise en lamelles et peut provoquer des fissures dans le béton\footnotemark[\value{footnote}] ; le remède est le remplacement des fondations. Le gouvernement du Québec a administré, de 2011 au 30 septembre 2026, un Programme pour les résidences endommagées par la pyrrhotite, dont le volet~I offrait une aide égale à 75~\% des coûts admissibles jusqu'à concurrence de \dollars{75000} pour un bâtiment non couvert par le plan de garantie, à la condition que les fondations soient endommagées ou présentent un taux minimal de 0,23~\% de pyrrhotite\footnote{Gouvernement du Québec, « Programme pour les résidences endommagées par la pyrrhotite -- Volet I : aide financière pour la réalisation de travaux », dernière mise à jour le 8 octobre 2026, \url{https://www.quebec.ca/habitation-territoire/construction-renovation/renovation-residentielle/programme-residences-endommagees-pyrrhotite/programme-pyrrhotite-aide-financiere-realisation-travaux}, consultée le 31 octobre 2026 (SRC-11-010).}. La fin du programme ne fait pas disparaître le problème : pour une maison des années concernées dans les municipalités visées, l'existence d'un rapport d'expertise, d'un remplacement documenté des fondations ou d'une décision judiciaire est une information de premier ordre.
++
++L'\motcle{ocre ferreuse} touche le drain français. La Régie en décrit deux mécanismes : une réaction chimique, lorsque le sol contient du fer qui migre avec l'eau vers le drain et forme au contact de l'air une boue d'hydroxyde de fer, et un processus biologique, lorsque la ferrobactérie présente dans la nappe phréatique produit une masse gélatineuse ; dans les deux cas, un dépôt visqueux colmate le drain, et l'eau s'infiltre à la jonction des murs et de la dalle\footnote{Régie du bâtiment du Québec, « Dépôt d'ocre », \url{https://www.rbq.gouv.qc.ca/vous-etes/citoyen/problemes-avec-votre-residence/depot-docre}, consultée le 31 octobre 2026 (SRC-11-007).}. Les sols sablonneux contenant du silt y sont plus exposés que les sols argileux, et les signes sont des dépôts rougeâtres sur la dalle ou dans le bassin de captation, une odeur de soufre, une eau rougeâtre dans les fossés après la pluie. La Régie recommande, sur les sites à risque, une évaluation du site avant la construction et l'installation de cheminées de nettoyage permettant d'entretenir le drain ; pour une maison existante, la présence de ces cheminées, la fréquence des nettoyages et l'état du drain, vérifiable par caméra, sont les données à recueillir. Les \motcle{sols argileux}, enfin, présents notamment dans la vallée du Saint-Laurent, la vallée de l'Outaouais et au Saguenay--Lac-Saint-Jean, varient de volume avec leur teneur en eau ; la plantation de certaines espèces d'arbres et les périodes de sécheresse peuvent occasionner la contraction de l'argile et l'affaissement des fondations\footnote{Régie du bâtiment du Québec, « Sols argileux », \url{https://www.rbq.gouv.qc.ca/vous-etes/citoyen/problemes-particuliers-en-batiment/sols-argileux/}, consultée le 31 octobre 2026 (SRC-11-009).}. La distance des grands arbres, les fissures d'un côté du bâtiment et la saison des constats sont ici les indices utiles.
++
++\subsection{Les pathologies selon la période de construction}
++
++L'année de construction est le premier filtre de l'inspection : elle dit quels matériaux étaient en usage, quelles pratiques étaient courantes et quelles interdictions sont intervenues depuis. La \cref{fig:11:frise} rassemble, sous forme de frise, les périodes pendant lesquelles les principaux matériaux et pratiques à risque ont été mis en place dans le parc résidentiel québécois. Ces bornes sont des repères de métier, arrondis à la décennie ; elles ne constituent pas une statistique et doivent être lues comme une liste de vérification indexée sur l'âge, non comme une probabilité. Seules les dates marquées « (v) » ont été vérifiées sur une source publique : l'interdiction de la mousse isolante d'urée-formaldéhyde en décembre 1980, la période de vente de la vermiculite de la mine de Libby, l'interdiction de l'amiante en 2018, la fin du programme pyrrhotite et l'entrée en vigueur du chapitre I du Code de construction fondé sur le Code national du bâtiment 2020 modifié pour le Québec, le 17 avril 2025, avec une période transitoire qui autorise les dispositions antérieures pour les travaux commencés avant le 17 octobre 2027 \parencite{codeConstruction,rbqtransition2026}. Pour une maison de 1998 comme celle du cas 1, la frise oriente la visite vers le remblai sous la dalle, le pare-vapeur et la ventilation du comble, et elle écarte d'emblée les fils d'aluminium, le galvanisé et la MIUF, sauf rénovation documentée du contraire.
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch11/ch11-fig-frise-pathologies.pdf}
++\caption{Frise indicative des matériaux et pratiques à risque selon la période de mise en place dans le parc résidentiel québécois. Les bornes sont des repères de connaissances générales du métier, arrondis à la décennie ; seules les dates marquées (v) ont été vérifiées sur une source publique. La frise sert de liste de vérification indexée sur l'âge, non de mesure de prévalence.}\label{fig:11:frise}
++\figsource{analysis/python/figures/ch11\_frise\_pathologies.py ; repères indicatifs de l'auteur ; dates vérifiées : RNCan (MIUF, vermiculite), Canada.ca (amiante), Québec.ca (pyrrhotite), RBQ (Code de construction), consultées le 31 octobre 2026.}
++\end{figure}

modified manuscript/chapters/ch17.tex +566 −1

+ \chapter{Ajustements qualitatifs et quantitatifs}\label{ch:17}
++
++Le \cref{ch:16} a laissé le lecteur devant cinq ventes vérifiées, voisines du sujet mais jamais identiques à lui, et devant une grille dont les cellules d'ajustement sont vides. Le présent chapitre les remplit. Son objet est la traduction en dollars de chaque différence entre un comparable et le sujet : combien vaut, sur ce marché et à cette date, un garage, un sous-sol fini, seize mètres carrés de plus, un échelon de qualité, quinze mois d'ancienneté ? La question paraît technique ; elle est en réalité la plus discutée de toute la méthode de comparaison, parce qu'un ajustement n'est jamais observé directement : il est toujours \emph{extrait} du marché par une méthode dont il hérite la précision et les biais. Le chapitre fixe d'abord l'ordre, la base et le signe des ajustements, puis il expose les cinq méthodes d'extraction, en insistant sur la régression hédonique et sur les ventes appariées, dont il compare les résultats sur le même marché synthétique. Il traite à part l'ajustement de conditions du marché, qui est le plus fréquent et le plus sensible, puis l'analyse qualitative, qui encadre la valeur lorsque les montants font défaut. L'exemple intégral conduit la grille complète des cinq comparables du cas 1 jusqu'à une valeur pondérée, et l'analyse de sensibilité montre quels ajustements comptent réellement. Le chapitre se termine sur un résultat qui surprend souvent : la moyenne des prix ajustés et la prédiction du modèle hédonique dont la grille est tirée diffèrent de près de dix pour cent, et l'on démontre pourquoi.
++
++\begin{objectifs}
++\begin{itemize}
++\item Énoncer et justifier l'ordre conventionnel des ajustements : transactionnels en pourcentage et en séquence, puis de propriété en dollars et additifs, avec le signe du point de vue du sujet.
++\item Dériver les formes additive, multiplicative et mixte du prix ajusté, démontrer que le total d'une cascade multiplicative ne dépend pas de l'ordre et quantifier l'écart entre les formes.
++\item Extraire un ajustement par ventes appariées, par coût déprécié, par capitalisation d'une différence de loyer, par régression et par analyse de tendance, et connaître la précision de chaque méthode.
++\item Calculer un ajustement de conditions du marché par taux composé, par indice et par coefficient temporel d'un modèle en logarithme, et interpréter correctement un coefficient de variable indicatrice (Halvorsen--Palmquist, Kennedy).
++\item Construire une grille complète, calculer les ajustements brut et net, pondérer les comparables et conclure une indication de valeur par comparaison.
++\item Mener une analyse relative lorsque les ajustements ne peuvent être chiffrés, et mesurer la sensibilité de l'indication aux prix implicites retenus.
++\end{itemize}
++\end{objectifs}
++
++\section{Ordre, base et signe des ajustements}\label{sec:17:ordre}
++
++\subsection{Ce qu'est un ajustement}
++
++Le \cref{ch:16} a défini le prix ajusté d'un comparable comme son prix de vente corrigé de la contribution de ses différences avec le sujet, de sorte que $P^{\text{aj}}_j = V_s + \varepsilon_j$ sous le modèle local de l'\cref{eq:16:local}. Cette écriture fixe trois choses que la pratique perd parfois de vue. D'abord, c'est le \emph{comparable} que l'on ajuste vers le sujet, jamais l'inverse : on se demande ce que le comparable se serait vendu s'il avait eu les caractéristiques du sujet. Ensuite, le signe d'un ajustement est celui du point de vue du sujet : si le sujet est supérieur au comparable sur une caractéristique, le comparable se serait vendu plus cher en la possédant, et l'ajustement est positif ; si le sujet est inférieur, l'ajustement est négatif. Enfin, un ajustement est le produit d'un prix implicite par un écart de caractéristique, $A_{jk} = \beta_k (x_{sk} - x_{jk})$ ; il n'existe donc pas de « valeur d'un garage » dans l'absolu, mais un prix implicite propre à un marché, à une date et à un niveau de prix.
++
++\begin{definition}{Ajustement, ajustement brut et ajustement net}{ajustement}
++L'\motcle{ajustement} $A_{jk}$ est le montant qu'il faut ajouter au prix du comparable $j$ pour neutraliser sa différence avec le sujet sur l'élément de comparaison $k$ ; il est positif lorsque le sujet est supérieur au comparable sur cet élément. L'\motcle{ajustement brut} du comparable est la somme des valeurs absolues de ses ajustements rapportée à son prix, $\sum_k \abs{A_{jk}} / P_j$ ; l'\motcle{ajustement net} est la somme algébrique rapportée au prix, $\sum_k A_{jk} / P_j$. Le premier mesure l'éloignement total du comparable, le second le déséquilibre entre ses supériorités et ses infériorités.
++\end{definition}
++
++\subsection{Deux familles d'ajustements et un ordre conventionnel}
++
++La pratique nord-américaine, codifiée par l'Appraisal Institute et reprise dans l'édition canadienne de son manuel, distingue deux familles d'ajustements et impose un ordre entre elles \parencite{appraisal2026,appraisalCdn}. Les \motcle{ajustements de transaction} corrigent le prix des circonstances de la vente : droits transmis, conditions de financement, conditions de vente, dépenses engagées immédiatement après l'achat, conditions du marché à la date de la vente. Ils s'expriment en pourcentage du prix, parce que leur effet est proportionnel au montant de la transaction, et ils sont appliqués en séquence, chacun sur la base laissée par le précédent, parce que chacun répond à la question « quel aurait été le prix si cette circonstance avait été normale, toutes choses égales par ailleurs ». Les \motcle{ajustements de propriété} corrigent ensuite les différences entre les biens : localisation, caractéristiques physiques, caractéristiques économiques, usage, éléments non immobiliers. Ils s'expriment en dollars, additivement, sur la base laissée par les ajustements de transaction, parce que le marché valorise un garage ou un sous-sol à un montant qui dépend peu du prix total de la maison. Le \cref{tab:17:ordre} donne cet ordre, la base et le signe de chaque ajustement ; la \cref{fig:17:ordre} le schématise.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Ordre conventionnel des ajustements, base de calcul et signe}\label{tab:17:ordre}
++\centering\small
++\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{34mm}YL{30mm}@{}}
++\toprule
++Élément de comparaison & Nature et base & Signe (du point de vue du sujet) \\
++\midrule
++\multicolumn{3}{@{}l}{\textit{Ajustements de transaction --- en pourcentage, séquentiels}} \\
++Droits transmis & Pleine propriété comme référence ; démembrement, baux en deçà du marché & $+$ si le comparable transmet moins que le sujet \\
++Financement & Prix comptant comme référence ; valeur actualisée de l'avantage de taux retranchée & $-$ si le comparable a bénéficié d'un financement avantageux \\
++Conditions de vente & Vente sincère comme référence ; vendeur pressé, parties liées, incitatifs & $+$ si le comparable a été vendu sous contrainte \\
++Dépenses après l'achat & Travaux que l'acheteur du comparable a dû engager immédiatement & $+$ si le comparable exigeait des travaux \\
++Conditions du marché & Évolution des prix entre la date de la promesse d'achat et la date d'évaluation & $+$ si le marché a monté depuis la vente \\
++\addlinespace
++\multicolumn{3}{@{}l}{\textit{Ajustements de propriété --- en dollars, additifs sur la base ajustée}} \\
++Localisation & Secteur, voisinage, nuisances, accès & $+$ si le sujet est mieux situé \\
++Caractéristiques physiques & Superficie, terrain, âge et état, qualité, garage, sous-sol, piscine, type & $+$ si le sujet est supérieur \\
++Caractéristiques économiques & Loyers, dépenses, état locatif (immeubles de revenu) & $+$ si le sujet rapporte davantage \\
++Usage et zonage & Usage permis, densité, droits de développement & $+$ si le sujet a plus de latitude \\
++Éléments non immobiliers & Meubles, électroménagers compris dans le prix du comparable & $-$ si le prix du comparable incluait des meubles \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{convention de l'ouvrage (annexe~\ref{app:conventions-calcul}), d'après la pratique nord-américaine décrite par \textcite{appraisal2026}.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\begin{tikzpicture}[node distance=3.5mm, every node/.style={font=\sffamily\small}, boite/.style={draw=brandPrimary, fill=brandLight, rounded corners=1pt, minimum width=96mm, minimum height=7.5mm, align=center}, etape/.style={draw=brandGray, fill=white, rounded corners=1pt, minimum width=96mm, minimum height=6.5mm, align=center, font=\sffamily\footnotesize}, fleche/.style={-{Stealth[length=2mm]}, brandGray, thick}]
++\node[boite] (p) {Prix de vente du comparable $P_j$ (date de la promesse d'achat)};
++\node[etape, below=of p] (t1) {Droits transmis $\to$ financement $\to$ conditions de vente $\to$ dépenses après l'achat};
++\node[etape, below=of t1] (t2) {Conditions du marché (temps) : $\times\,(1 + a_{j,\text{temps}})$};
++\node[boite, below=of t2, fill=brandSecondary!25] (b) {Base de transaction $B_j = P_j \prod_k (1 + a_{jk})$};
++\node[etape, below=of b] (p1) {Localisation $+$ superficie $+$ terrain $+$ âge $+$ qualité $+$ garage $+$ sous-sol $+$ \dots\ (en dollars)};
++\node[boite, below=of p1, fill=brandSecondary!45] (f) {Prix ajusté $P^{\text{aj}}_j = B_j + \sum_k A_{jk}$};
++\node[etape, below=of f, minimum width=60mm] (q) {Ajustement brut, ajustement net, pondération $w_j$};
++\foreach \i/\j in {p/t1, t1/t2, t2/b, b/p1, p1/f, f/q} \draw[fleche] (\i) -- (\j);
++\node[right=2mm of t1, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=left] {en \%, séquentiels};
++\node[right=2mm of p1, text=brandGray, font=\sffamily\footnotesize, align=left] {en \$, additifs};
++\end{tikzpicture}
++\caption{La séquence conventionnelle des ajustements : les circonstances de la transaction sont corrigées en pourcentage et en cascade, puis les différences de propriété sont ajoutées en dollars sur la base ainsi obtenue. Les indicateurs de qualité du comparable et sa pondération découlent de la grille remplie.}\label{fig:17:ordre}
++\figsource{schéma de l'auteur.}
++\end{figure}
++
++Cet ordre n'est pas une exigence normative. Les Normes de pratique professionnelle de l'OEAQ exigent que le rapport expose « le traitement de l'information et le raisonnement » qui conduisent à la conclusion de valeur (règle 2.3), et que la définition de la valeur retenue soit celle d'un prix épuré des incitatifs et des conditions de financement avantageuses \parencite{oeaqNormes} ; elles ne prescrivent ni la forme ni l'ordre des ajustements. L'ordre conventionnel est une pratique courante, justifiée par trois arguments. Le premier est logique : on ne peut comparer les caractéristiques de deux biens qu'après avoir ramené leurs prix à une même définition, celle d'une vente sincère, au comptant, de la pleine propriété, à la date d'évaluation. Le deuxième est arithmétique : les ajustements de propriété tirés du marché le sont à la date d'évaluation, sur des prix actuels ; les appliquer à un prix de 2025 non actualisé mélangerait deux niveaux de prix. Le troisième est statistique, et il sera développé à la \cref{sec:17:cascade} : la cascade en pourcentage puis l'addition en dollars est une approximation d'un modèle multiplicatif dont les propriétés sont connues.
++
++\subsection{Trois formes du prix ajusté}
++
++Trois écritures du prix ajusté coexistent dans la littérature et dans la pratique, et il importe de les distinguer avant de calculer. La \emph{forme additive} applique tous les ajustements en dollars sur le prix de vente :
++\begin{equation}\label{eq:17:additif}
++P^{\text{aj}}_j = P_j + \sum_{k=1}^{K} A_{jk} .
++\end{equation}
++La \emph{forme multiplicative} applique tous les ajustements en proportion, en cascade :
++\begin{equation}\label{eq:17:multiplicatif}
++P^{\text{aj}}_j = P_j \prod_{k=1}^{K} \left(1 + a_{jk}\right),
++\end{equation}
++où $a_{jk}$ est l'ajustement pour l'élément $k$ exprimé en proportion de la base courante. La \emph{forme mixte}, qui est la convention de l'ouvrage, applique les ajustements de transaction $k \in \mathcal{T}$ en proportion et en cascade, puis les ajustements de propriété $k \in \mathcal{P}$ en dollars :
++\begin{equation}\label{eq:17:mixte}
++P^{\text{aj}}_j = P_j \prod_{k \in \mathcal{T}} \left(1 + a_{jk}\right) + \sum_{k \in \mathcal{P}} A_{jk} .
++\end{equation}
++Les trois formes donnent des résultats voisins lorsque les ajustements sont petits, et elles divergent dès qu'ils sont grands ou nombreux. \textcite{colwellCannadayWu1983} ont montré que la forme additive est l'analogue exact d'un modèle hédonique linéaire en niveau, et la forme multiplicative celui d'un modèle linéaire en logarithme ; le choix de la forme n'est donc pas une question de commodité, mais une hypothèse sur la façon dont le marché forme les prix. \textcite{isakson2002} a formalisé la grille en algèbre linéaire et montré que, sous la forme additive, le prix ajusté est une projection du prix du comparable sur l'espace des caractéristiques du sujet, ce qui éclaire les conditions d'identification des prix implicites. La \cref{sec:17:cascade} quantifie l'écart entre les formes sur les comparables du cas 1.
++
++\section{Les méthodes d'extraction des ajustements}\label{sec:17:extraction}
++
++Un ajustement n'est pas une opinion : il doit provenir du marché. Cinq méthodes permettent de l'en extraire, et le \cref{tab:17:methodes} les compare. Elles ne s'excluent pas ; dans un dossier soigné, l'ajustement retenu pour un élément important est recoupé par au moins deux d'entre elles, et le rapport documente la méthode, les données et la précision obtenue.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Méthodes d'extraction des ajustements : principe, données requises, précision et limites}\label{tab:17:methodes}
++\centering\small
++\begin{tabularx}{\textwidth}{@{}L{27mm}YYL{34mm}@{}}
++\toprule
++Méthode & Principe & Données requises & Précision et limites \\
++\midrule
++Ventes appariées & Différence de prix entre deux ventes qui ne diffèrent que par l'élément étudié & Paires vérifiées, mêmes marché, date et autres caractéristiques & Intuitive et probante ; très bruitée (la variance d'une différence est le double de celle d'un prix) ; paires parfaites rares \\
++Coût déprécié & Coût neuf de l'élément moins sa dépréciation (\cref{ch:24}) & Coût unitaire de l'élément, âge, durée de vie & Plafond plutôt que mesure de la contribution au prix ; convient aux éléments récents et séparables \\
++Capitalisation d'une différence de loyer & Écart de revenu attribuable à l'élément divisé par un taux (\cref{ch:29}) & Loyers de marché avec et sans l'élément, taux de capitalisation & Immeubles de revenu ; suppose que l'acheteur paie le revenu, non l'agrément \\
++Régression & Coefficient d'un modèle hédonique estimé sur le marché (\cref{ch:18}) & Plusieurs centaines de ventes décrites de façon homogène & Précis et cohérent entre éléments ; dépend de la spécification ; prix implicites moyens, non locaux \\
++Analyse de tendance & Évolution d'un indice ou d'une série de prix entre deux dates & Indice de prix du segment, ventes répétées, médianes par période & Réservé aux conditions du marché ; sensible au choix de l'indice et à la composition \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{appraisal2026}, \textcite{colwellCannadayWu1983} et \textcite{pace1998grid}.}
++\end{table}
++
++\subsection{Les ventes appariées}
++
++La méthode des \motcle{ventes appariées} (\emph{paired sales}) est la plus ancienne et la plus parlante : si deux maisons identiques à tous égards sauf la présence d'un garage se sont vendues au même moment, la différence de leurs prix est le prix du garage. Formellement, pour $n$ paires $(P_i^{\text{avec}}, P_i^{\text{sans}})$ dont les membres ne diffèrent que par l'élément $k$, l'estimateur est la différence moyenne et sa précision découle de la dispersion des différences :
++\begin{equation}\label{eq:17:paires}
++\hat A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(P_i^{\text{avec}} - P_i^{\text{sans}}\right), \qquad
++\widehat{\mathrm{ET}}(\hat A_k) = \frac{s_d}{\sqrt{n}}, \quad s_d^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(P_i^{\text{avec}} - P_i^{\text{sans}} - \hat A_k\right)^2 .
++\end{equation}
++Sous le modèle local du \cref{ch:16}, chaque prix comporte un bruit de transaction de variance $\sigma^2$ ; la différence de deux prix indépendants a donc une variance de $2\sigma^2$, et l'erreur-type de l'estimateur vaut $\sigma\sqrt{2/n}$. C'est la faiblesse structurelle de la méthode : sur un marché où le bruit de transaction est de l'ordre de \pct{8} du prix, soit environ \dollars{45000} pour une maison de \dollars{550000}, une seule paire donne une estimation dont l'erreur-type dépasse \dollars{60000}, et il faut une quinzaine de paires pour la ramener à \dollars{16000}, ce qui reste du même ordre que l'ajustement recherché. La méthode est donc probante pour établir le \emph{signe} et l'\emph{ordre de grandeur} d'un ajustement, rarement pour en fixer le montant à quelques milliers de dollars près.
++
++Deux difficultés pratiques s'ajoutent. La première est que les paires parfaites n'existent pas : deux maisons diffèrent toujours par la date, le terrain, l'état, et il faut soit tolérer ces différences, soit les corriger par d'autres ajustements, ce qui introduit une circularité. La convention raisonnable est de déclarer les critères de pairage (même secteur, même type, superficie et âge dans une fourchette étroite, dates proches) et de n'appliquer aux membres de la paire qu'un seul ajustement préalable, celui de conditions du marché, dont le montant est tiré d'une source indépendante. La seconde difficulté est le choix entre la moyenne et la médiane des différences : la moyenne est l'estimateur efficace si les différences sont normalement distribuées, mais une seule paire aberrante la déplace de plusieurs milliers de dollars ; la médiane est robuste mais moins précise. Le dossier devrait présenter les deux, avec le nombre de paires et l'écart-type des différences. La \cref{sec:17:exemple} applique cette discipline au marché synthétique du cas 1 et montre ce que l'on obtient réellement avec une quinzaine de paires.
++
++\subsection{Le coût déprécié}
++
++Pour un élément séparable et récent, le coût de l'ajouter, diminué de sa dépréciation, borne la contribution de l'élément au prix : un acheteur ne paiera pas, pour un garage existant, plus que ce qu'il lui en coûterait d'en construire un, et il paiera moins si le garage est vieux. L'ajustement par le coût déprécié s'écrit
++\begin{equation}\label{eq:17:cout}
++A_k = C_{N,k}\,(1 - \delta_k),
++\end{equation}
++où $C_{N,k}$ est le coût neuf de l'élément à la date d'évaluation et $\delta_k$ son taux de dépréciation, mesuré selon les méthodes du \cref{ch:24}. La méthode est utile comme recoupement et comme plafond ; elle est trompeuse comme mesure directe, parce que le marché ne paie pas nécessairement le coût d'un élément : une piscine creusée coûte souvent davantage que la prime qu'elle rapporte à la revente, et une finition de sous-sol de qualité médiocre peut ne rien valoir. L'écart entre le coût déprécié et la contribution au prix est précisément la désuétude fonctionnelle de l'élément, et il peut être de l'un ou l'autre signe.
++
++\subsection{La capitalisation d'une différence de loyer}
++
++Pour les immeubles de revenu, un élément de comparaison a un prix parce qu'il rapporte un revenu : un stationnement, un logement rénové, une buanderie se louent. Si l'élément $k$ procure un revenu net supplémentaire $\Delta \NOI_k$ par année, sa contribution à la valeur est, par capitalisation directe,
++\begin{equation}\label{eq:17:capitalisation}
++A_k = \frac{\Delta \NOI_k}{R},
++\end{equation}
++où $R$ est le taux global de capitalisation du marché pour ce type d'immeuble (\cref{ch:29}). Un stationnement loué \dollars{75} par mois, soit \dollars{900} par année, dont les dépenses d'exploitation sont négligeables, vaut \dollars{18000} à un taux de \pct{5}. La méthode suppose que l'acheteur type est un investisseur qui paie le revenu ; pour un duplex acheté par un propriétaire occupant, l'agrément compte autant que le loyer et la méthode ne donne qu'une borne. Le \cref{ch:32} y revient pour les petits immeubles.
++
++\subsection{La régression}
++
++La régression hédonique estime simultanément les prix implicites de toutes les caractéristiques à partir de l'ensemble des ventes d'un marché. Dans le modèle semi-logarithmique de référence de l'ouvrage, $\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T\boldsymbol\beta + \varepsilon_i$, le coefficient $\beta_k$ est l'effet d'une unité de la caractéristique $k$ sur le logarithme du prix, et l'ajustement du comparable $j$ vers le sujet pour cette caractéristique, appliqué sur une base $B$, vaut
++\begin{equation}\label{eq:17:regression}
++A_{jk} = B \left[\exp\!\big(\beta_k\,(x_{sk} - x_{jk})\big) - 1\right].
++\end{equation}
++La régression a trois avantages décisifs sur les paires. Elle utilise toutes les ventes, de sorte que l'erreur-type d'un prix implicite est divisée par la racine du nombre de ventes et non du nombre de paires ; sur le marché du cas 1, le coefficient du garage est estimé avec une erreur-type de 0,5 point de pourcentage à partir de 600 ventes. Elle contrôle les autres caractéristiques simultanément, ce qui supprime le problème des paires imparfaites. Et elle produit des prix implicites cohérents entre eux, tirés du même échantillon et de la même date de référence. Ses limites sont tout aussi réelles. Les prix implicites sont des moyennes sur tout le marché, non des prix locaux autour du sujet ; si la relation entre prix et superficie n'est pas la même pour les petites et les grandes maisons, le coefficient unique de la superficie est faux aux deux extrémités, ce que \textcite{pace1998} a traité par des modèles additifs généralisés. La spécification compte : \textcite{cropperDeckMcconnell1988} ont montré que les formes linéaire et semi-logarithmique simples résistent mieux aux variables omises que les formes flexibles, et \textcite{malpezzi2003} rappelle que l'omission d'une caractéristique corrélée aux autres biaise tous les coefficients. Enfin, les coefficients de variables indicatrices en logarithme ne se lisent pas directement en pourcentage, ce que la \cref{sec:17:temps} précise. Le \cref{ch:18} est consacré à l'estimation et au diagnostic de ces modèles ; le présent chapitre les utilise comme source d'ajustements, selon la logique de \textcite{pace1998grid}, pour qui la grille et la régression sont deux estimateurs du même objet.
++
++\subsection{L'analyse de tendance}
++
++L'analyse de tendance est réservée aux conditions du marché : elle mesure l'évolution des prix entre la date de la vente et la date d'évaluation à partir d'un indice de prix, d'une série de médianes par période, de ventes répétées ou du coefficient temporel d'un modèle hédonique. Elle fait l'objet de la section suivante, parce que l'ajustement de temps est, dans la plupart des dossiers résidentiels, le plus grand des ajustements de transaction et celui dont l'erreur se propage à tous les autres.
++
++\section{L'ajustement de conditions du marché}\label{sec:17:temps}
++
++\subsection{Trois écritures équivalentes}
++
++Soit $m_j$ le nombre de mois écoulés entre la date de la promesse d'achat du comparable et la date d'évaluation. Si l'on dispose d'un indice de prix $I_t$ du segment, l'ajustement par ratio d'indices est
++\begin{equation}\label{eq:17:temps-indice}
++A_{j,\text{temps}} = P_j \left(\frac{I_{\text{éval}}}{I_{\text{vente}}} - 1\right).
++\end{equation}
++Si l'on dispose d'un taux de croissance annuel composé $g$, l'ajustement est
++\begin{equation}\label{eq:17:temps-taux}
++A_{j,\text{temps}} = P_j \left[(1+g)^{m_j/12} - 1\right],
++\end{equation}
++et si l'on dispose du coefficient $\beta_m$ d'une tendance mensuelle dans un modèle en logarithme,
++\begin{equation}\label{eq:17:temps-coef}
++A_{j,\text{temps}} = P_j \left[\exp(\beta_m\, m_j) - 1\right], \qquad g = \exp(12\,\beta_m) - 1 .
++\end{equation}
++Les trois écritures sont équivalentes lorsque l'indice croît à taux constant, $I_t = I_0 (1+g)^{t/12}$ et $\beta_m = \ln(1+g)/12$ ; elles diffèrent lorsque la trajectoire des prix n'est pas régulière, et c'est alors l'indice, s'il est fiable, qui doit prévaloir, parce qu'il suit les inflexions du marché que le taux moyen lisse. L'approximation linéaire $A \approx P_j\,\beta_m\,m_j$, encore répandue, sous-estime l'ajustement d'un montant qui croît avec le carré de la durée : pour quinze mois à \pct{4.4} par année, l'écart est d'environ un dixième de point de pourcentage du prix, négligeable ; pour trois ans à \pct{10} par année, il atteint près de trois points et cesse de l'être.
++
++\subsection{La date pertinente et le choix de l'indice}
++
++Le \cref{ch:16} a insisté sur la date de la promesse d'achat, seule date à laquelle le prix reflète le marché ; l'ajustement de temps court de cette date à la date d'évaluation. Lorsque seule la date de l'acte est connue, l'évaluateur la corrige d'un délai typique, ou il utilise l'historique de courtage. L'erreur de date est une source d'erreur fréquente et systématique : dans un marché qui monte, utiliser la date de l'acte, postérieure, raccourcit la période et sous-estime l'ajustement de tous les comparables.
++
++Le choix de l'indice est la décision la plus lourde. Un indice de prix médians par trimestre, comme ceux que publient les chambres immobilières, mesure l'évolution du prix d'une maison médiane dont la composition change d'un trimestre à l'autre ; en période de rotation de l'offre vers les biens plus chers ou moins chers, il surestime ou sous-estime la variation à qualité constante. Un indice de ventes répétées suit des biens identiques et élimine l'effet de composition, au prix d'un échantillon plus petit et d'une agrégation géographique plus large (\cref{ch:35}). Un indice hédonique, enfin, est à qualité constante par construction, mais il hérite des hypothèses du modèle. Dans tous les cas, l'indice doit porter sur le segment et le territoire du sujet : appliquer à une unifamiliale de Gatineau l'indice de l'ensemble des propriétés de la RMR de Montréal n'est pas un ajustement de conditions du marché, c'est une erreur de marché.
++
++\begin{quebec}[Sources québécoises pour l'ajustement de temps]
++Trois familles de sources sont disponibles au Québec, chacune avec ses limites. L'APCIQ publie chaque trimestre, par RMR et par secteur, le prix médian des unifamiliales, des copropriétés et des plex, à partir des transactions du système Centris ; ce sont des médianes brutes, sans contrôle de composition, et leur variation annuelle doit être lue comme une indication de tendance plutôt que comme un indice à qualité constante \parencite{apciqgatineaut32026}. L'indice de prix de maison Teranet--Banque Nationale est un indice de ventes répétées, base juin 2005 = 100, publié mensuellement pour onze RMR dont Montréal, Québec et, dans sa composante composite, les autres marchés ; il est à qualité constante mais agrège tous les types de propriétés d'une RMR et n'est pas publié par secteur \parencite{teranet202609}. L'Indice des prix des logements neufs de Statistique Canada (tableau 18-10-0205-01) mesure le prix des maisons \emph{neuves} vendues par les constructeurs, terrain et bâtiment, pour les RMR dont Ottawa--Gatineau ; il ne décrit pas le marché de la revente et ne convient pas à l'ajustement d'une vente de maison existante \parencite{statcanipln}. En évaluation foncière, la partie 3A du Manuel d'évaluation foncière du Québec, « Taux de variation du marché », encadre la mesure de l'évolution des prix entre la date des ventes et la date de référence du rôle, et la partie 3C traite de la méthode de comparaison ; l'évaluateur municipal applique ces consignes en vertu du Règlement sur le rôle d'évaluation foncière \parencite{mefqpartie3,reglrole}. Pour le cas 1, le jeu synthétique a été généré avec une croissance annuelle composée égale à celle que révèle la variation de la médiane unifamiliale entre les rôles 2024-2026 et 2027-2029 de Gatineau, soit \pct{9.06} en deux ans ou \pct{4.43} par année \parencite{gatineaurole2027} ; le coefficient temporel estimé sur les 600 ventes vaut 0,364 \% par mois, soit \pct{4.46} par année. Sources consultées le 31 octobre 2026.
++\end{quebec}
++
++\subsection{Lire un coefficient de variable indicatrice}
++
++Lorsque l'ajustement provient d'un modèle en logarithme, la lecture du coefficient d'une variable continue est immédiate : $\beta_k$ est une semi-élasticité, et l'effet d'un écart $\Delta x$ est $\exp(\beta_k \Delta x) - 1$, comme à l'\cref{eq:17:regression}. Pour une variable indicatrice (garage ou non, sous-sol fini ou non, secteur), l'habitude de lire $\beta_k$ comme un pourcentage est une approximation qui n'est acceptable que pour les petits coefficients. \textcite{halvorsenPalmquist1980} ont établi que l'effet relatif exact est
++\begin{equation}\label{eq:17:hp}
++\hat g_k = \exp(\hat\beta_k) - 1,
++\end{equation}
++et \textcite{kennedy1981} a montré que cet estimateur est biaisé vers le haut parce que l'espérance de $\exp(\hat\beta_k)$ excède $\exp(\beta_k)$ lorsque $\hat\beta_k$ est aléatoire ; l'estimateur approximativement sans biais est
++\begin{equation}\label{eq:17:kennedy}
++\tilde g_k = \exp\!\left(\hat\beta_k - \tfrac{1}{2}\widehat{\Var}(\hat\beta_k)\right) - 1 .
++\end{equation}
++Giles (1982) puis van Garderen et Shah (2002) ont donné les estimateurs exacts et leur variance ; la correction de Kennedy suffit en pratique. Les deux corrections ne comptent que si le coefficient est grand ou imprécis. Pour un coefficient de 0,032 estimé avec une erreur-type de 0,005, la lecture naïve donne \pct{3.2}, la formule de Halvorsen--Palmquist \pct{3.30} et celle de Kennedy \pct{3.29} : les écarts sont de l'ordre du millième du prix. Pour un coefficient de secteur de $-0{,}25$ estimé avec une erreur-type de 0,07, la lecture naïve donne \pct{-25.0} alors que l'effet exact est de \pct{-22.1} et l'effet corrigé de \pct{-22.3} : l'erreur de lecture atteint trois points de pourcentage, soit \dollars{15000} sur une maison de \dollars{500000}. La conséquence pratique est simple : un ajustement de localisation entre secteurs, qui est typiquement grand, ne se lit jamais directement dans un coefficient en logarithme. Le \cref{tab:17:hpk} applique les trois lectures aux indicatrices du modèle du cas 1.
++
++\section{Les ajustements qualitatifs et l'analyse relative}\label{sec:17:qualitatif}
++
++Il arrive que l'on ne puisse pas chiffrer un ajustement de façon défendable : le marché est trop mince pour des paires, trop hétérogène pour une régression, et l'élément n'a ni coût ni loyer identifiable (une vue, un voisinage bruyant, un plan d'étage malcommode). L'\motcle{analyse relative} (\emph{relative comparison analysis}) remplace alors le montant par un jugement ordinal : pour chaque élément, le comparable est noté inférieur, égal ou supérieur au sujet, et la position d'ensemble du comparable résulte du bilan de ces jugements, pondéré par l'importance de chaque élément. Un comparable globalement inférieur au sujet s'est vendu à un prix que la valeur du sujet doit dépasser ; un comparable globalement supérieur fixe un prix que la valeur du sujet ne doit pas atteindre. Si les comparables se répartissent des deux côtés, la valeur est \motcle{encadrée} (\emph{bracketed}) : elle se situe entre le prix le plus élevé des comparables inférieurs et le prix le plus bas des comparables supérieurs.
++
++La méthode a deux mérites. Elle oblige à hiérarchiser les éléments de comparaison, ce qui est utile même lorsque des montants existent ; et elle produit une fourchette qui ne dépend d'aucun prix implicite, donc d'aucune hypothèse d'extraction. Elle a aussi deux limites qu'il faut dire. D'abord, l'encadrement n'est valide que si les prix des comparables sont de bonnes mesures de leur propre valeur, c'est-à-dire si le bruit de transaction est petit ; un comparable inférieur qui s'est vendu cher par hasard relève la borne inférieure au-dessus de la valeur du sujet. Ensuite, lorsque tous les comparables sont du même côté, l'analyse ne donne qu'une borne, et le dossier doit le reconnaître. L'analyse relative est donc le complément de la grille chiffrée, non son substitut, et l'exemple de la \cref{sec:17:exemple} montre qu'elle peut la contredire de façon instructive.
++
++Une variante intermédiaire, le classement (\emph{ranking analysis}), ordonne les comparables du plus inférieur au plus supérieur et place le sujet dans cet ordre ; la valeur est alors interpolée entre les prix des deux voisins du sujet dans le classement. Elle partage les mérites et les limites de l'encadrement. Dans les deux cas, la littérature sur les biais de jugement invite à la prudence : \textcite{northcraftNeale1987} ont montré que des évaluateurs professionnels, exposés à un prix demandé fictif, déplaçaient leur estimation dans le sens de l'ancre, et \textcite{diaz1997} que le jugement sur les comparables est influencé par l'opinion de valeur formée avant l'analyse. Les jugements ordinaux doivent donc être consignés élément par élément, avant que les prix ne soient regardés, exactement comme les critères de sélection du \cref{ch:16}.
++
++\section{La cascade et le prix ajusté}\label{sec:17:cascade}
++
++\subsection{La cascade dérivée d'un modèle en logarithme}
++
++Lorsque les ajustements proviennent d'un modèle semi-logarithmique, la façon la plus cohérente de les appliquer est une cascade multiplicative qui respecte l'ordre conventionnel du \cref{tab:17:ordre}. Soit $\Delta_{jk} = \sum_{c \in k} \beta_c (x_{sc} - x_{jc})$ la variation du logarithme du prix attribuable au groupe de caractéristiques $k$ (un groupe peut réunir plusieurs régresseurs, par exemple l'âge et son carré). La cascade part de $B_{j0} = P_j$ et applique, à chaque étape,
++\begin{equation}\label{eq:17:cascade}
++A_{jk} = B_{j,k-1}\left[\exp(\Delta_{jk}) - 1\right], \qquad B_{jk} = B_{j,k-1} + A_{jk} = B_{j,k-1}\exp(\Delta_{jk}),
++\end{equation}
++de sorte que le prix ajusté est la dernière base, $P^{\text{aj}}_j = B_{jK}$, et que la somme des ajustements est bien l'écart entre le prix ajusté et le prix de vente. C'est exactement ce que calcule la fonction \texttt{ajustements\_hedoniques} du module \texttt{traite.cas1}, dans l'ordre : conditions du marché, localisation, superficie, terrain, âge, qualité, garage, sous-sol, piscine, type de bâtiment.
++
++\begin{proposition}{Commutativité du total, non de la répartition}{commutativite}
++Sous la cascade \eqref{eq:17:cascade}, le prix ajusté ne dépend pas de l'ordre dans lequel les groupes sont appliqués :
++\begin{equation}\label{eq:17:commutativite}
++P^{\text{aj}}_j = P_j \exp\!\Big(\sum_{k=1}^{K} \Delta_{jk}\Big) = P_j \exp\!\big(\boldsymbol\beta\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j)\big).
++\end{equation}
++En revanche, le montant attribué à chaque étape, $A_{jk}$, dépend de la base $B_{j,k-1}$ et donc de l'ordre : un même écart de caractéristique reçoit un ajustement en dollars d'autant plus grand qu'il est appliqué tard dans la cascade, si les étapes précédentes ont relevé la base.
++\end{proposition}
++\begin{proof}
++Par récurrence sur \eqref{eq:17:cascade}, $B_{jK} = P_j \prod_{k} \exp(\Delta_{jk}) = P_j \exp(\sum_k \Delta_{jk})$, et le produit d'exponentielles est commutatif. La seconde assertion découle de $A_{jk} = B_{j,k-1}[\exp(\Delta_{jk}) - 1]$, où $B_{j,k-1}$ dépend des étapes antérieures ; pour $\Delta_{jk}$ fixé, $A_{jk}$ est croissant en $B_{j,k-1}$.
++\end{proof}
++
++La proposition a une portée pratique précise. Le total étant invariant, l'ordre conventionnel ne change pas la conclusion ; il change la lecture de la grille, c'est-à-dire la part de l'écart total que l'on impute au temps plutôt qu'à l'âge ou à la superficie. L'ordre conventionnel, qui place le temps en premier, impute à l'ajustement de conditions du marché le montant calculé sur le prix de vente d'origine, ce qui est la lecture naturelle : le marché a progressé sur ce que l'acheteur a effectivement payé. La \cref{sec:17:exemple} chiffre l'effet de l'ordre sur la répartition pour le comparable G0404.
++
++\subsection{L'écart entre les formes}
++
++La forme additive \eqref{eq:17:additif}, qui applique tous les effets au prix de vente, et la forme multiplicative \eqref{eq:17:multiplicatif} diffèrent par des termes de second ordre. Pour deux ajustements de proportions $a_1$ et $a_2$, le prix ajusté multiplicatif vaut $P(1 + a_1 + a_2 + a_1 a_2)$ et l'additif $P(1 + a_1 + a_2)$ ; l'écart est $P\,a_1 a_2$, positif si les deux ajustements sont de même signe, négatif s'ils sont de signes contraires. En général,
++\begin{equation}\label{eq:17:ecart-formes}
++P^{\text{aj}}_{\text{mult}} - P^{\text{aj}}_{\text{add}} = P_j \left[\prod_k (1 + a_{jk}) - 1 - \sum_k a_{jk}\right] = P_j \Big(\sum_{k < l} a_{jk} a_{jl} + \dots\Big),
++\end{equation}
++une quantité qui reste inférieure au demi pour cent du prix tant que les ajustements individuels ne dépassent pas une dizaine de pour cent, comme la \cref{sec:17:exemple} le vérifie, mais qui devient appréciable pour des comparables éloignés du sujet. La forme mixte \eqref{eq:17:mixte} se situe entre les deux. La leçon est double : d'une part, la forme retenue doit être déclarée au dossier, parce qu'elle fait partie du calcul ; d'autre part, l'écart entre les formes est un indicateur de l'éloignement du comparable, au même titre que l'ajustement brut, et un comparable pour lequel les formes divergent de plus d'un pour cent est un comparable trop éloigné.
++
++\subsection{Indicateurs de qualité et pondération}
++
++La grille remplie fournit, pour chaque comparable, l'ajustement brut et l'ajustement net de la \cref{def:ajustement} :
++\begin{equation}\label{eq:17:brut-net}
++\mathrm{brut}_j = \frac{\sum_k \abs{A_{jk}}}{P_j}, \qquad \mathrm{net}_j = \frac{\sum_k A_{jk}}{P_j} = \frac{P^{\text{aj}}_j - P_j}{P_j}.
++\end{equation}
++Le \cref{ch:16} a établi que les pondérations optimales des comparables sont inversement proportionnelles à leur variance (\cref{prop:indication}) et que l'ajustement brut est le substitut usuel de cette variance, parce que l'incertitude des prix implicites s'ajoute au bruit de transaction en proportion de l'ampleur des ajustements. La règle de pondération correspondante est
++\begin{equation}\label{eq:17:poids}
++w_j = \frac{1/\max(\mathrm{brut}_j, b_0)}{\sum_{i=1}^{n} 1/\max(\mathrm{brut}_i, b_0)}, \qquad \hat V_s = \sum_{j=1}^{n} w_j\,P^{\text{aj}}_j,
++\end{equation}
++où le plancher $b_0$ évite qu'un comparable presque identique au sujet n'écrase tous les autres. Cette règle est une heuristique, non un optimum : elle suppose que l'incertitude croît linéairement avec le brut, ce que \textcite{vandell1991} et \textcite{green1994} ont discuté sans trancher, et elle ignore la corrélation entre comparables. \textcite{kummerowGalfalvy2002} ont montré empiriquement qu'elle fait mieux que la moyenne simple lorsque les bruts diffèrent nettement, et à peine mieux lorsqu'ils sont voisins. L'ajustement net, lui, ne sert pas à pondérer mais à alerter : un net élevé signale un comparable systématiquement inférieur ou supérieur au sujet, dont le prix ajusté dépend fortement des prix implicites retenus. Les seuils de \pct{25} pour le brut et de \pct{15} pour le net, souvent cités, sont des repères d'usage, non des règles ; le \cref{ch:20} intégrera la dispersion des prix ajustés dans une fourchette de valeur.
++
++\section{Exemple intégral : la grille des cinq comparables du cas 1}\label{sec:17:exemple}
++
++\begin{synthetique}
++Le dossier du cas 1 est synthétique. Les 600 ventes de \texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv} et le sujet de \texttt{cas1\_gatineau\_sujet.json} ont été générés par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon les lois déclarées dans \texttt{data/synthetic/README.md} : le logarithme du prix y est une fonction de la superficie (élasticité 0,55), du terrain (0,10), de l'âge, de la qualité (0,06 par échelon), du garage (0,035), du sous-sol fini (0,03), de la piscine, du type, du secteur et du temps, plus un bruit d'écart-type 0,085. Les cinq comparables sont ceux du \cref{ch:16} (\texttt{traite.cas1.selection}) ; les ajustements sont ceux de \texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques}, et les paires de ventes sont construites dans le même jeu. Tous les chiffres de cette section sont reproduits par \texttt{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch17.py}. Le marché réel de référence qui a servi à la calibration est décrit au \cref{ch:16} ; aucun chiffre ci-dessous ne décrit une propriété réelle.
++\end{synthetique}
++
++\begin{exemple}{Ajustements et valeur par comparaison du cottage de Hull}{cas1}
++Le sujet est le cottage à étages de \msq{165} sur un terrain de \msq{620}, construit en 1998, de qualité 3, avec garage simple et sous-sol fini, évalué au 1\ier{} septembre 2026 (\cref{tab:16:comparables}). L'exemple procède en sept étapes : estimation des prix implicites, ajustement de conditions du marché, cascade pour un comparable, grille complète, recoupement par ventes appariées, analyse relative, pondération et réconciliation partielle.
++
++\emph{Étape 1 : les prix implicites.} Le modèle hédonique de référence de l'ouvrage (\texttt{traite.cas1.hedonique}, détaillé au \cref{ch:18}) régresse le logarithme du prix des 600 ventes sur seize régresseurs ; il explique \pct{85.3} de la variance et laisse un écart-type résiduel de 0,083, soit un bruit de transaction d'environ \pct{8.3} du prix. Les coefficients utiles à la grille sont les suivants, avec leurs erreurs-types robustes : 0,539 (0,013) pour le logarithme de la superficie habitable, 0,094 (0,011) pour celui du terrain, $-0{,}00510$ (0,00056) par année d'âge avec un terme quadratique de 0,00264 (0,00064) par centaine d'années au carré, 0,061 (0,004) par échelon de qualité, 0,032 (0,005) par place de garage, 0,022 (0,007) pour le sous-sol fini, 0,026 (0,008) pour la piscine, 0,030 (0,007) pour le type à étages, et 0,00364 (0,00027) par mois. Les cinq comparables étant du secteur de Hull, comme le sujet, et à moins de trois kilomètres du centre, seuil au-delà duquel le modèle fait jouer la distance, l'ajustement de localisation est nul pour chacun : c'est une conséquence de la sélection du \cref{ch:16}, qui a choisi des ventes du même micro-marché, et une limite du modèle, qui ne distingue pas les rues à l'intérieur d'un secteur.
++
++\emph{Étape 2 : l'ajustement de conditions du marché.} Le coefficient mensuel de 0,00364 correspond à une croissance de 0,364 \% par mois, soit \pct{4.46} par année composée ; la loi de génération du jeu utilisait \pct{4.43}, et l'écart de trois centièmes de point est l'erreur d'estimation. Pour le comparable G0404, vendu le 27 mai 2025, soit 15,2 mois avant la date d'évaluation, à \dollars{506500}, le \cref{tab:17:temps} compare les écritures de la \cref{sec:17:temps}. Le coefficient, le taux composé estimé et le ratio d'un indice à croissance constante donnent le même montant de \dollars{28733} (\pct{5.67} du prix), comme l'exige leur équivalence ; le taux de génération de \pct{4.43} donne \dollars{28558}, et l'approximation linéaire \dollars{27998}. Les écarts entre méthodes sont ici inférieurs à \dollars{750}, parce que la durée est courte et la croissance modérée ; ils ne le seraient pas pour une vente de trois ans dans un marché à dix pour cent par année.
++
++\emph{Étape 3 : la cascade pour G0404.} Le \cref{tab:17:cascade} et la \cref{fig:17:cascade} déroulent la cascade \eqref{eq:17:cascade} pour G0404, le comparable le plus proche du sujet par les caractéristiques physiques. Après l'ajustement de temps, la base est de \dollars{535233}. Le sujet est plus grand de \msq{5} (165 contre 160), d'où $\Delta = 0{,}539 \ln(165/160) = 0{,}0166$ et un ajustement de \dollars{8953} ; son terrain est plus grand de \msq{82}, d'où $\Delta = 0{,}094 \ln(620/538) = 0{,}0133$ et \dollars{7279} ; il est plus vieux de cinq ans (28 ans contre 23), d'où un $\Delta$ de $-0{,}0187$ et un ajustement de $-\dollars{10242}$. La qualité, le garage, le sous-sol, la piscine et le type sont identiques, et leurs ajustements sont nuls. Le prix ajusté est de \dollars{541222}, soit un ajustement net de \pct{6.86} et un brut de \pct{10.9} : G0404 est le comparable le moins ajusté des cinq. Appliquée dans l'ordre inverse, la cascade donne le même prix ajusté, mais impute $-\dollars{9407}$ à l'âge, \dollars{6649} au terrain, \dollars{8426} à la superficie et \dollars{29054} au temps : la répartition a bougé de plusieurs centaines de dollars par ligne, le total d'aucun, conformément à la \cref{prop:commutativite}.
++
++\emph{Étape 4 : la grille complète.} Le \cref{tab:17:grille} présente les cinq cascades. Les prix ajustés s'établissent à \dollars{640247} pour G0574, \dollars{541222} pour G0404, \dollars{572793} pour G0468, \dollars{568853} pour G0477 et \dollars{584862} pour G0575 ; leur moyenne est de \dollars{581595}, leur médiane de \dollars{572793} et leur écart-type de \dollars{36471}, contre \dollars{52528} pour les prix bruts : les ajustements ont resserré la distribution, ce qui est leur fonction, sans la rendre étroite. La lecture par comparable est instructive. G0574, le mieux classé par la distance d'attributs du \cref{ch:16}, reçoit les ajustements les plus contrastés : \dollars{34090} pour la superficie, \dollars{19988} pour le garage, \dollars{13925} pour le sous-sol, mais $-\dollars{38190}$ pour sa qualité supérieure ; son brut atteint \pct{19.8} alors que son net n'est que de \pct{7.1}, illustration de ce que le brut mesure et de ce que le net cache. G0468, plus grand et de meilleure qualité que le sujet, est le seul comparable ajusté à la baisse ($-\dollars{51707}$, net de \pct{-8.3}). G0575, le plus récent et le plus petit en terrain, cumule un ajustement d'âge de $-\dollars{33052}$ (le sujet a quinze ans de plus) et un ajustement de qualité de $+\dollars{33549}$ (le sujet est d'un échelon supérieur), qui se compensent presque mais portent son brut à \pct{26.8}, au-delà du repère d'usage. La \cref{fig:17:bruts-ajustes} met en regard prix bruts et prix ajustés.
++
++\emph{Étape 5 : le recoupement par ventes appariées.} Pour vérifier les prix implicites du garage et du sous-sol, des paires ont été construites dans les 600 ventes selon des critères déclarés : même secteur, même type de bâtiment, même qualité, même présence de piscine, autre attribut binaire identique, écart d'exactement une place de garage (ou présence contre absence de sous-sol fini), superficie habitable à \pct{5} près, âge à cinq ans près, dates de vente à moins de douze mois l'une de l'autre ; le prix de la vente « sans » est ramené à la date de la vente « avec » par le taux mensuel du modèle, seul ajustement préalable. Les critères laissent quinze paires pour le garage et quatorze pour le sous-sol. Le \cref{tab:17:paires} et la \cref{fig:17:paires} donnent les résultats. Pour le garage, la différence moyenne est de \dollars{7991} et la médiane de \dollars{6034}, mais l'écart-type des différences atteint \dollars{64270} et l'erreur-type de la moyenne \dollars{16594} : l'intervalle à 95 \% s'étend de $-\dollars{24500}$ à \dollars{40500} et contient le prix implicite hédonique, qui vaut \pct{3.30} du prix, soit \dollars{17155} au prix médian des paires. Pour le sous-sol fini, la différence moyenne est de \dollars{23623} (médiane \dollars{30789}), avec une erreur-type de \dollars{6255} ; le prix implicite hédonique, \pct{2.22} ou \dollars{10394} au prix médian des paires, se situe cette fois à l'extérieur de l'intervalle à 95 \%. Les variantes du \cref{tab:17:paires} montrent que ces résultats bougent de plusieurs milliers de dollars dès que l'on relâche la fourchette de superficie ou la fenêtre temporelle : avec \pct{7.5} de superficie et dix-huit mois, les 45 paires de garage donnent une moyenne de \dollars{5956} et les 27 paires de sous-sol \dollars{16039}. Rien de cela n'est anormal : avec un bruit de transaction de \pct{8.3}, une quinzaine de paires ne peut pas estimer un ajustement de deux ou trois pour cent du prix à mieux que trois ou quatre pour cent près. La méthode des paires confirme le signe et l'ordre de grandeur des deux ajustements ; elle ne permet ni de les préciser, ni de contredire la régression, qui utilise quarante fois plus d'observations. C'est la régression qui est retenue pour la grille, et le dossier consigne les paires comme recoupement.
++
++\emph{Étape 6 : l'analyse relative.} Le \cref{tab:17:qualitatif} traduit chaque ajustement en jugement ordinal. Quatre comparables sont globalement inférieurs au sujet (ajustement net positif) et un, G0468, lui est supérieur. L'encadrement de la \cref{sec:17:qualitatif} place donc la valeur entre le prix le plus élevé des inférieurs, \dollars{598000} (G0574), et le prix du supérieur, \dollars{624500} (G0468). Or la grille chiffrée conclut en deçà de cet intervalle : la moyenne des prix ajustés est de \dollars{581595} et les prix ajustés de G0404, G0477, G0468 et G0575 sont tous inférieurs à \dollars{598000}. La contradiction n'est pas une erreur de calcul ; elle révèle que l'hypothèse qui fonde l'encadrement, un bruit de transaction faible, n'est pas satisfaite. G0574 s'est vendu \dollars{598000} pour une maison que le modèle estime à \dollars{594000} environ à sa date ; G0404 s'est vendu \dollars{506500} pour une maison que le modèle estime près de \dollars{595000} à la sienne. L'encadrement prend ces prix au pied de la lettre ; la grille, elle, ne corrige que les caractéristiques et laisse le bruit dans chaque prix ajusté. La \cref{prop:residus} ci-dessous explique le phénomène.
++
++\emph{Étape 7 : pondération et indication de valeur.} Les ajustements bruts sont de \pct{19.8}, \pct{10.9}, \pct{17.6}, \pct{22.4} et \pct{26.8} ; les poids de l'\cref{eq:17:poids} valent 0,179, 0,327, 0,202, 0,159 et 0,133, et G0404 reçoit près du tiers du poids parce qu'il est le moins ajusté. La valeur pondérée est de \dollars{575565}, contre \dollars{581595} pour la moyenne simple et \dollars{572793} pour la médiane ; l'étendue des prix ajustés, de \dollars{541222} à \dollars{640247}, représente \pct{17.2} de la valeur pondérée, et leur écart-type pondéré \dollars{33997}. L'indication de valeur par la méthode de comparaison, arrondie, est de \dollars{575000}, dans une fourchette que le \cref{ch:20} précisera. Elle est à rapprocher de l'indication brute par le prix unitaire du \cref{ch:16}, \dollars{551029}, qu'elle dépasse de \pct{4.5} parce que les ajustements de temps, de garage et de sous-sol, tous positifs, l'emportent sur les ajustements de qualité négatifs ; et de la prédiction du modèle hédonique pour le sujet, \dollars{637953} avec la correction de retransformation de Duan (1983), dont elle s'écarte de \pct{9.8}.
++\end{exemple}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Ajustement de conditions du marché du comparable G0404 (\dollars{506500}, vendu 15,2 mois avant la date d'évaluation) selon cinq écritures}\label{tab:17:temps}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.3]S[table-format=5.0]S[table-format=1.2]@{}}
++\toprule
++Écriture & {Paramètre} & {Ajustement (\$)} & {En \% du prix} \\
++\midrule
++Coefficient mensuel du modèle, \cref{eq:17:temps-coef} ($\beta_m = 0{,}00364$) & 0.364 & 28733 & 5.67 \\
++Taux annuel composé estimé, \cref{eq:17:temps-taux} ($g = \pct{4.46}$) & 4.459 & 28733 & 5.67 \\
++Ratio d'indices à croissance constante, \cref{eq:17:temps-indice} & 1.057 & 28733 & 5.67 \\
++Taux annuel composé de la loi de génération ($g = \pct{4.43}$) & 4.432 & 28558 & 5.64 \\
++Approximation linéaire $P\,\beta_m\,m$ & 0.364 & 27998 & 5.53 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{temps}} ; le paramètre est en \% par mois pour les lignes 1 et 5, en \% par année pour les lignes 2 et 4, et le ratio $I_{\text{éval}}/I_{\text{vente}}$ pour la ligne 3.}
++\end{table}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Cascade d'ajustements du comparable G0404 vers le sujet, dans l'ordre conventionnel}\label{tab:17:cascade}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-1.4]S[table-format=-1.2]S[table-format=-5.0]S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++Étape & {$\Delta_{jk}$ (log)} & {Effet (\%)} & {Ajustement (\$)} & {Base après l'étape (\$)} \\
++\midrule
++Prix de vente (27 mai 2025) & {---} & {---} & {---} & 506500 \\
++Conditions du marché (15,2 mois) & 0.0552 & 5.67 & 28733 & 535233 \\
++Localisation (même secteur) & 0 & 0 & 0 & 535233 \\
++Superficie habitable (165 c. 160 m\textsuperscript{2}) & 0.0166 & 1.67 & 8953 & 544185 \\
++Terrain (620 c. 538 m\textsuperscript{2}) & 0.0133 & 1.34 & 7279 & 551464 \\
++Âge (28 c. 23 ans) & -0.0187 & -1.86 & -10242 & 541222 \\
++Qualité, garage, sous-sol, piscine, type (identiques) & 0 & 0 & 0 & 541222 \\
++\midrule
++Prix ajusté & 0.0663 & 6.86 & 34722 & 541222 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{cascade}}.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-cascade-g0404.pdf}
++\caption{Cascade des ajustements du comparable G0404 : chaque barre part de la base laissée par l'étape précédente ; les ajustements positifs (vert) relèvent la base, l'ajustement d'âge (orange) l'abaisse, et six étapes sont nulles parce que les caractéristiques sont identiques. Le prix ajusté de \dollars{541222} est le total de la cascade, indépendant de l'ordre des étapes.}\label{fig:17:cascade}
++\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Grille complète des ajustements des cinq comparables du cas 1 (cascade hédonique, ordre conventionnel, montants en dollars)}\label{tab:17:grille}
++\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]S[table-format=-6.0]@{}}
++\toprule
++Élément de comparaison & {G0574} & {G0404} & {G0468} & {G0477} & {G0575} \\
++\midrule
++Prix de vente & 598000 & 506500 & 624500 & 538000 & 513500 \\
++Date de vente & {2026-06-22} & {2025-05-27} & {2025-09-27} & {2025-11-02} & {2026-06-23} \\
++\addlinespace
++\multicolumn{6}{@{}l}{\textit{Ajustement de transaction (en \%, sur le prix)}} \\
++Conditions du marché (0,364 \%/mois) & 5092 & 28733 & 25803 & 19826 & 4311 \\
++\addlinespace
++\multicolumn{6}{@{}l}{\textit{Ajustements de propriété (en dollars, cascade sur la base ajustée)}} \\
++Localisation & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
++Superficie habitable & 34090 & 8953 & -42430 & 38028 & 15896 \\
++Terrain & 2764 & 7279 & 3220 & 17901 & 31993 \\
++Âge & 4578 & -10242 & -2223 & -9072 & -33052 \\
++Qualité & -38190 & 0 & -36078 & -35829 & 33549 \\
++Garage & 19988 & 0 & 0 & 0 & 18665 \\
++Sous-sol fini & 13925 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
++Piscine ; type de bâtiment & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
++\midrule
++Prix ajusté & 640247 & 541222 & 572793 & 568853 & 584862 \\
++Ajustement net (\%) & {$+7{,}1$} & {$+6{,}9$} & {$-8{,}3$} & {$+5{,}7$} & {$+13{,}9$} \\
++Ajustement brut (\%) & {$19{,}8$} & {$10{,}9$} & {$17{,}6$} & {$22{,}4$} & {$26{,}8$} \\
++Poids (inverse du brut) & {$0{,}179$} & {$0{,}327$} & {$0{,}202$} & {$0{,}159$} & {$0{,}133$} \\
++Résidu du modèle à la vente (\%) & {$+0{,}7$} & {$-14{,}9$} & {$-9{,}9$} & {$-10{,}5$} & {$-8{,}0$} \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques}, reproduit par analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py} ; moyenne des prix ajustés \dollars{581595}, médiane \dollars{572793}, valeur pondérée \dollars{575565}.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-bruts-ajustes.pdf}
++\caption{Prix de vente (cercles vides) et prix ajustés (cercles pleins) des cinq comparables, avec l'ajustement brut et le poids de chacun ; la ligne pleine marque la valeur pondérée (\dollars{575565}), la ligne tiretée la prédiction du modèle hédonique pour le sujet (\dollars{637953}). Quatre comparables sont ajustés à la hausse, un à la baisse ; tous les prix ajustés sauf celui de G0574 restent sous la prédiction hédonique.}\label{fig:17:bruts-ajustes}
++\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Ventes appariées pour le garage et le sous-sol fini : résultats selon les critères de pairage, et prix implicites hédoniques correspondants}\label{tab:17:paires}
++\centering\footnotesize
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=1.1]S[table-format=1.0]S[table-format=2.0]S[table-format=2.0]S[table-format=-5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]S[table-format=5.0]@{}}
++\toprule
++Élément & {Superficie (± \%)} & {Âge (± ans)} & {Dates (mois)} & {$n$} & {Moyenne (\$)} & {Médiane (\$)} & {Écart-type (\$)} & {Erreur-type (\$)} \\
++\midrule
++Garage (critères retenus) & 5.0 & 5 & 12 & 15 & 7991 & 6034 & 64270 & 16594 \\
++Garage & 5.0 & 5 & 6 & 9 & 6052 & 6034 & 61147 & 20382 \\
++Garage & 5.0 & 5 & 18 & 23 & 3793 & 2501 & 62246 & 12979 \\
++Garage & 7.5 & 5 & 12 & 23 & 21494 & 44659 & 58908 & 12283 \\
++Garage & 5.0 & 7 & 12 & 22 & -2555 & 11915 & 68210 & 14542 \\
++Garage & 7.5 & 7 & 18 & 45 & 5956 & 10389 & 61611 & 9184 \\
++\addlinespace
++Sous-sol fini (critères retenus) & 5.0 & 5 & 12 & 14 & 23623 & 30789 & 23402 & 6255 \\
++Sous-sol fini & 5.0 & 5 & 6 & 6 & 25486 & 30789 & 28063 & 11457 \\
++Sous-sol fini & 5.0 & 5 & 18 & 18 & 13784 & 25165 & 34423 & 8114 \\
++Sous-sol fini & 7.5 & 5 & 12 & 18 & 7976 & 17903 & 38122 & 8985 \\
++Sous-sol fini & 5.0 & 7 & 12 & 17 & 37253 & 35153 & 49194 & 11931 \\
++Sous-sol fini & 7.5 & 7 & 18 & 27 & 16039 & 29331 & 54539 & 10496 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonctions \texttt{paires} et \texttt{variantes\_paires}} ; prix implicites hédoniques : garage \pct{3.30} du prix, soit \dollars{17155} au prix médian des paires (\dollars{520388}) ; sous-sol fini \pct{2.22}, soit \dollars{10394} au prix médian des paires (\dollars{467529}). Les différences sont calculées après alignement des dates par le taux mensuel du modèle.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-paires.pdf}
++\caption{Dispersion des différences de prix des paires de ventes (critères retenus), pour le garage et le sous-sol fini : chaque point est une paire, la bande est l'intervalle à 95 \% autour de la moyenne, la ligne tiretée le prix implicite hédonique. Pour le garage, les différences vont de $-\dollars{120000}$ à $+\dollars{84000}$ : le bruit de transaction domine l'ajustement recherché.}\label{fig:17:paires}
++\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Trois lectures des coefficients de variables indicatrices du modèle du cas 1 : naïve ($\hat\beta$), Halvorsen--Palmquist et Kennedy (en \%)}\label{tab:17:hpk}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=-1.5]S[table-format=1.5]S[table-format=-2.2]S[table-format=-2.2]S[table-format=-2.2]@{}}
++\toprule
++Variable & {$\hat\beta$} & {Erreur-type} & {Naïve} & {Halvorsen--Palmquist} & {Kennedy} \\
++\midrule
++Garage (par place) & 0.03243 & 0.00501 & 3.24 & 3.30 & 3.29 \\
++Sous-sol fini & 0.02199 & 0.00692 & 2.20 & 2.22 & 2.22 \\
++Piscine & 0.02633 & 0.00845 & 2.63 & 2.67 & 2.67 \\
++Bâtiment à étages & 0.03011 & 0.00687 & 3.01 & 3.06 & 3.05 \\
++Secteur Aylmer & 0.08542 & 0.02314 & 8.54 & 8.92 & 8.89 \\
++Secteur Gatineau & -0.02230 & 0.01463 & -2.23 & -2.21 & -2.22 \\
++Secteur Buckingham & -0.25036 & 0.07177 & -25.04 & -22.15 & -22.35 \\
++Secteur Masson-Angers & -0.26314 & 0.06718 & -26.31 & -23.14 & -23.31 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{hp\_kennedy}} ; référence : secteur de Hull, plain-pied. Erreurs-types robustes (HC1).}
++\end{table}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Analyse relative des cinq comparables : position de chaque comparable par rapport au sujet, élément par élément, et encadrement}\label{tab:17:qualitatif}
++\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
++\begin{tabular}{@{}lccccc@{}}
++\toprule
++Élément & G0574 & G0404 & G0468 & G0477 & G0575 \\
++\midrule
++Conditions du marché (ancienneté) & inf. & inf. & inf. & inf. & inf. \\
++Localisation & égal & égal & égal & égal & égal \\
++Superficie habitable & inf. & inf. & sup. & inf. & inf. \\
++Terrain & inf. & inf. & inf. & inf. & inf. \\
++Âge & inf. & sup. & sup. & sup. & sup. \\
++Qualité & sup. & égal & sup. & sup. & inf. \\
++Garage & inf. & égal & égal & égal & inf. \\
++Sous-sol fini & inf. & égal & égal & égal & égal \\
++\midrule
++Position d'ensemble (signe du net) & inférieur & inférieur & supérieur & inférieur & inférieur \\
++Prix de vente (\$) & 598 000 & 506 500 & 624 500 & 538 000 & 513 500 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonctions \texttt{analyse\_qualitative} et \texttt{encadrement}} ; « inf. » : le comparable est inférieur au sujet (ajustement positif). Encadrement : de \dollars{598000} (plus cher des inférieurs) à \dollars{624500} (seul supérieur).}
++\end{table}
++
++\section{Pourquoi la grille et le modèle ne concluent pas au même montant}\label{sec:17:residus}
++
++L'exemple laisse un écart de près de dix pour cent entre la moyenne des prix ajustés (\dollars{581595}) et la prédiction du modèle hédonique pour le sujet (\dollars{637953}), alors que la grille est dérivée de ce même modèle. L'écart n'est ni une erreur ni un paradoxe ; il résulte d'une identité qu'il vaut la peine d'établir, parce qu'elle éclaire ce que la méthode de comparaison mesure réellement.
++
++\begin{proposition}{Prix ajustés et résidus des comparables}{residus}
++Soit $\ln P_j = \mathbf{x}_j\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j$ la décomposition du prix du comparable $j$ en valeur ajustée du modèle et résidu. Sous la cascade hédonique \eqref{eq:17:commutativite}, le prix ajusté du comparable est la prédiction ponctuelle du modèle pour le sujet multipliée par le facteur résiduel du comparable :
++\begin{equation}\label{eq:17:residus}
++P^{\text{aj}}_j = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta})\,\exp(\hat e_j),
++\qquad\text{d'où}\qquad
++\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} P^{\text{aj}}_j = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}) \cdot \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\exp(\hat e_j).
++\end{equation}
++La moyenne des prix ajustés diffère de la prédiction ponctuelle par la moyenne des facteurs résiduels des comparables retenus, et de la prédiction corrigée de Duan par le rapport entre cette moyenne et la moyenne des facteurs résiduels de tout l'échantillon.
++\end{proposition}
++\begin{proof}
++Par \eqref{eq:17:commutativite}, $P^{\text{aj}}_j = P_j \exp(\hat{\boldsymbol\beta}\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j))$. En substituant $P_j = \exp(\mathbf{x}_j\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j)$, les termes en $\mathbf{x}_j$ s'annulent et il reste $\exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} + \hat e_j)$. La moyenne s'obtient en factorisant le terme commun. La correction de Duan multiplie la prédiction ponctuelle par $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\exp(\hat e_i)$ sur les $N$ ventes de l'échantillon, d'où la dernière assertion.
++\end{proof}
++
++Sur le cas 1, la prédiction ponctuelle est de \dollars{635821} et la correction de Duan, égale à la moyenne de $\exp(\hat e_i)$ sur les 600 ventes, vaut 1,0034, d'où \dollars{637953}. Les résidus des cinq comparables, eux, valent $+0{,}007$, $-0{,}161$, $-0{,}104$, $-0{,}111$ et $-0{,}084$ en logarithme : quatre des cinq se sont vendus nettement moins cher que ce que le modèle prédit pour leurs caractéristiques, et la moyenne de $\exp(\hat e_j) - 1$ sur les cinq est de \pct{-8.5}. La dernière ligne du \cref{tab:17:grille} donne ces résidus, et l'identité \eqref{eq:17:residus} se vérifie au dollar près : $635\,821 \times \exp(0{,}0069) = 640\,247$ pour G0574, $635\,821 \times \exp(-0{,}1611) = 541\,222$ pour G0404.
++
++Deux leçons s'en dégagent. La première est que la méthode de comparaison, même outillée d'une grille hédonique, n'estime pas la même chose que le modèle. Le modèle estime l'espérance conditionnelle de l'\cref{eq:16:esperance} à partir de 600 ventes ; la grille l'estime à partir de cinq, et elle conserve dans chaque prix ajusté le bruit de transaction du comparable. Si les cinq comparables avaient été tirés au hasard parmi les ventes semblables, leurs résidus seraient centrés sur zéro et la moyenne des prix ajustés serait proche de la prédiction. Ils ne l'ont pas été : la sélection du \cref{ch:16} a retenu les ventes les plus proches du sujet par leurs \emph{attributs}, sans regarder les prix, et il se trouve, dans cet échantillon synthétique, que ces ventes-là ont des résidus négatifs. Il n'y a là aucun biais de la procédure, puisque la sélection par attributs est indépendante des résidus en espérance ; il y a la variance d'une moyenne de cinq bruits de \pct{8.3} chacun, soit un écart-type d'environ \pct{3.7}, dont l'écart observé de \pct{8.5} est une réalisation à deux écarts-types. C'est exactement l'arbitrage biais--variance de l'\cref{eq:16:kopt} : peu de comparables très proches, et une estimation bruitée ; beaucoup de comparables régressés, et une estimation précise mais dépendante de la spécification.
++
++La seconde leçon concerne la réconciliation. Lorsque la comparaison et le modèle hédonique divergent de la sorte, l'évaluateur dispose de deux lectures défendables. Ou bien les cinq comparables, vérifiés un à un, révèlent une information que le modèle ignore : un micro-marché local moins cher que le reste du secteur de Hull, une rue moins recherchée, un état des bâtiments inférieur à ce que l'âge et la qualité codée laissent croire ; les résidus négatifs sont alors un signal et l'indication par comparaison est la bonne. Ou bien les comparables se sont simplement vendus à des prix bas par les aléas de la négociation, et le modèle, qui lisse ces aléas sur 600 ventes, est plus près de la valeur. Dans un jeu synthétique, on sait que la seconde lecture est la vraie, puisque le bruit a été généré indépendamment de toute caractéristique ; dans un dossier réel, on ne le sait pas, et c'est l'objet du \cref{ch:20} que de combiner les deux indications en tenant compte de leur incertitude respective, et d'examiner si le bootstrap des comparables et l'élargissement de l'échantillon rapprochent les deux lectures. Le présent chapitre se borne à livrer l'indication par comparaison, \dollars{575565} pondérée, avec son étendue de \pct{17.2} et la connaissance de ce qui la sépare du modèle.
++
++\section{Sensibilité et incertitude des ajustements}\label{sec:17:sensibilite}
++
++Les ajustements d'une grille reposent sur des prix implicites estimés, non connus. L'analyse de sensibilité consiste à faire varier chaque prix implicite dans un intervalle plausible et à mesurer l'effet sur la valeur pondérée ; elle dit quels ajustements méritent le plus de soin, et elle prépare la fourchette du \cref{ch:20}. Le \cref{tab:17:sensibilite} et la \cref{fig:17:sensibilite} présentent trois familles de variantes : les coefficients de chaque groupe déplacés de plus ou moins 1,96 erreur-type, qui mesurent l'incertitude d'estimation ; le taux de croissance du marché imposé à \pct{3} ou \pct{6} par année, qui mesure l'incertitude du choix de l'indice ; et l'omission pure et simple d'un ajustement, qui mesure ce que coûterait l'oubli d'un élément de comparaison.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Sensibilité de la valeur pondérée (poids inverse du brut, référence \dollars{575565}) à l'incertitude des prix implicites, au taux de croissance du marché et à l'omission d'un ajustement}\label{tab:17:sensibilite}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=5.0]@{}}
++\toprule
++Variante & {Borne basse (\$)} & {Borne haute (\$)} & {Étendue (\$)} \\
++\midrule
++\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Coefficients déplacés de $\pm 1{,}96$ erreur-type}} \\
++Conditions du marché (tendance mensuelle) & 571806 & 579186 & 7380 \\
++Superficie habitable & 575190 & 575944 & 754 \\
++Terrain & 572842 & 578225 & 5383 \\
++Âge (deux coefficients) & 572464 & 578874 & 6409 \\
++Qualité & 573156 & 578080 & 4923 \\
++Garage & 574307 & 576758 & 2451 \\
++Sous-sol fini & 574817 & 576238 & 1421 \\
++\addlinespace
++\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Choix de l'indice et de la pondération}} \\
++Croissance du marché imposée : 3 \% à 6 \% par année & 567014 & 583747 & 16734 \\
++Pondération égale plutôt qu'inverse du brut & 575565 & 581595 & 6030 \\
++\addlinespace
++\multicolumn{4}{@{}l}{\textit{Omission d'un ajustement (valeur obtenue contre référence)}} \\
++Omission des conditions du marché & 545208 & 575565 & 30357 \\
++Omission de la qualité & 575565 & 597252 & 21687 \\
++Omission de l'âge & 575565 & 583950 & 8385 \\
++Omission du garage & 571132 & 575565 & 4433 \\
++Omission du sous-sol fini & 574308 & 575565 & 1257 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py, fonction \texttt{sensibilite}}.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch17/ch17-fig-sensibilite.pdf}
++\caption{Diagramme en tornade de la valeur pondérée : chaque barre donne l'intervalle parcouru par la valeur lorsqu'un seul élément varie, les autres restant à leur valeur de référence. L'omission de l'ajustement de temps et celle de l'ajustement de qualité dominent ; l'incertitude d'estimation des coefficients, prise un à un, déplace la valeur de moins de \dollars{8000}.}\label{fig:17:sensibilite}
++\figsource{\synth{script analysis/python/figures/ch17\_figures.py, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++Trois observations ressortent. La première est que l'incertitude d'estimation des prix implicites, prise coefficient par coefficient, est modeste : aucun groupe ne déplace la valeur pondérée de plus de \dollars{7400}, soit \pct{1.3}, et la superficie, pourtant l'ajustement le plus grand en valeur absolue, n'en déplace que \dollars{750}, parce que son coefficient est estimé avec une précision relative de \pct{2.4} et que les écarts de superficie ont été bornés par la sélection. C'est le dividende d'un modèle estimé sur 600 ventes ; avec des prix implicites tirés d'une quinzaine de paires, les intervalles seraient dix fois plus larges. La deuxième observation est que le choix de l'indice temporel pèse plus que l'erreur d'estimation de la tendance : entre \pct{3} et \pct{6} par année, la valeur parcourt \dollars{16734}, parce que trois des cinq comparables ont plus de dix mois d'ancienneté. Dans un dossier réel, où l'indice doit être choisi parmi des sources imparfaites, c'est là que loge la plus grande part de l'incertitude des ajustements de transaction. La troisième observation est que l'omission d'un ajustement coûte beaucoup plus que son imprécision : oublier le temps abaisse la valeur de \dollars{30357}, oublier la qualité la relève de \dollars{21687}, et ces deux erreurs sont systématiques, non aléatoires. L'ajustement de qualité, qui repose sur une cote subjective de 1 à 5, est le plus exposé à une erreur de codage d'un échelon sur un comparable ; un tel écart vaut environ \pct{6} du prix du comparable concerné, soit un cinquième de son poids dans la valeur pondérée. L'inspection des comparables, au moins depuis la rue et par les photos de l'historique de courtage, est donc une étape du calcul des ajustements, non une formalité.
++
++\begin{pratique}
++Un dossier d'ajustements défendable comporte, pour chaque élément de comparaison, la méthode d'extraction, les données utilisées, le prix implicite retenu et son incertitude ; pour l'ajustement de temps, l'indice ou le taux, sa source, sa période et la date de promesse d'achat de chaque comparable ; la grille complète avec les ajustements brut et net ; les poids et leur règle ; et l'analyse de sensibilité aux prix implicites les plus incertains. Lorsqu'un ajustement provient d'une régression, les coefficients, leurs erreurs-types et l'ajustement du modèle sont annexés ; lorsqu'il provient de paires, les paires sont listées avec leurs critères. Les Normes de pratique professionnelle exigent que le rapport permette au lecteur de suivre le raisonnement \parencite{oeaqNormes} ; une grille dont les ajustements ne sont pas sourcés ne satisfait pas cette exigence, quelle que soit la justesse de la conclusion.
++\end{pratique}
++
++\begin{erreurs}
++\begin{itemize}
++\item Ajuster le sujet vers le comparable, ou inverser le signe : l'ajustement est positif lorsque le \emph{sujet} est supérieur au comparable. Une grille où les comparables de qualité supérieure sont ajustés à la hausse est fausse en bloc.
++\item Additionner des pourcentages séquentiels, ou appliquer les ajustements de propriété en dollars sur le prix non actualisé : les ajustements de transaction se composent, et les prix implicites tirés du marché actuel s'appliquent à une base actualisée.
++\item Lire un coefficient de variable indicatrice en logarithme comme un pourcentage : pour les écarts de secteur, l'erreur atteint trois points ; appliquer la \cref{eq:17:hp} et, si l'erreur-type est grande, la \cref{eq:17:kennedy}.
++\item Compter deux fois une même différence : superficie et nombre de pièces, âge et état, terrain et localisation se recoupent ; la grille ne doit contenir qu'un ajustement par source de différence, et le modèle qui fournit les prix implicites doit avoir été spécifié en conséquence.
++\item Mesurer l'ancienneté d'une vente depuis la date de l'acte notarié plutôt que depuis la promesse d'achat, ce qui sous-estime l'ajustement de temps dans un marché haussier.
++\item Tirer un ajustement de deux ou trois paires sans aligner les dates ni déclarer les critères, et le présenter au dollar près : la \cref{fig:17:paires} montre ce que vaut une paire isolée.
++\item Prendre l'encadrement de l'analyse relative pour une preuve : il suppose que les prix des comparables sont exempts de bruit, et la \cref{sec:17:residus} montre qu'il peut exclure la bonne réponse.
++\item Croire que la grille et la régression, parce qu'elles partagent les mêmes prix implicites, doivent conclure au même montant : la \cref{prop:residus} établit qu'elles diffèrent par les résidus des comparables, et qu'il faut l'expliquer plutôt que le masquer.
++\end{itemize}
++\end{erreurs}
++
++\begin{limites}
++\begin{itemize}
++\item Les chiffres de l'exemple proviennent d'un jeu synthétique dont les lois sont déclarées ; les prix implicites estimés y sont proches des lois de génération par construction, et l'écart entre la grille et le modèle y est, en connaissance de cause, du bruit. Sur un marché réel, la même divergence peut traduire une information locale, et le chapitre ne prétend pas trancher.
++\item Les ajustements de la grille et la prédiction hédonique sont tirés du même modèle ; les deux indications ne sont donc pas indépendantes, et le \cref{ch:20} ne peut pas les combiner comme deux mesures indépendantes.
++\item L'ajustement de localisation est nul parce que le modèle ne distingue pas les emplacements à l'intérieur d'un secteur ; un modèle spatial (\cref{ch:19}) ou un ajustement de voisinage par jugement serait nécessaire dans un dossier réel.
++\item Les méthodes du coût déprécié et de la capitalisation d'une différence de loyer sont présentées sans application chiffrée ; leurs composantes relèvent des \cref{ch:24,ch:29}.
++\item Les paires de ventes sont peu nombreuses et dépendent des critères de pairage ; leurs résultats sont des recoupements, non des mesures.
++\item Les seuils de \pct{25} (brut) et \pct{15} (net), la règle de pondération inverse du brut et l'ordre conventionnel des ajustements sont des pratiques courantes documentées dans les manuels professionnels, non des exigences normatives ; les Normes de pratique professionnelle n'imposent aucune forme de grille. La variance d'une somme de bruits indépendants utilisée à la \cref{sec:17:residus} suppose des résidus non corrélés entre comparables voisins, hypothèse que le \cref{ch:19} remet en question.
++\end{itemize}
++\end{limites}
++
++\begin{synthese}
++\begin{itemize}
++\item Un ajustement est le produit d'un prix implicite par un écart de caractéristique, appliqué au comparable, positif lorsque le sujet est supérieur. La convention de l'ouvrage applique les ajustements de transaction en pourcentage et en séquence, puis les ajustements de propriété en dollars.
++\item La cascade dérivée d'un modèle en logarithme a un total indépendant de l'ordre des étapes, $P_j \exp(\boldsymbol\beta\T(\mathbf{x}_s - \mathbf{x}_j))$ ; l'ordre ne change que la répartition. Les formes additive, multiplicative et mixte diffèrent par des termes de second ordre, inférieurs au demi pour cent pour des comparables bien choisis.
++\item Les paires de ventes établissent le signe et l'ordre de grandeur d'un ajustement, rarement son montant : la variance d'une différence est le double de celle d'un prix. La régression, qui utilise toutes les ventes, est plus précise mais dépend de la spécification ; le coût déprécié et la capitalisation d'un loyer servent de bornes et de recoupements.
++\item L'ajustement de temps court de la promesse d'achat à la date d'évaluation ; coefficient, taux composé et ratio d'indices sont équivalents à croissance constante ; le choix de l'indice pèse plus que l'erreur d'estimation. Un coefficient d'indicatrice en logarithme se lit $\exp(\beta) - 1$, corrigé de Kennedy si l'erreur-type est grande.
++\item Pour le cas 1, les prix ajustés sont de 640 247, 541 222, 572 793, 568 853 et \dollars{584862} ; la valeur pondérée par l'inverse du brut est de \dollars{575565}, la moyenne de \dollars{581595}, l'étendue de \pct{17.2}.
++\item La moyenne des prix ajustés égale la prédiction ponctuelle du modèle multipliée par la moyenne des facteurs résiduels des comparables ; l'écart de \pct{-8.5} du cas 1 est le bruit de cinq transactions sélectionnées par leurs attributs, et sa réconciliation avec la prédiction hédonique relève du \cref{ch:20}.
++\item L'omission d'un ajustement coûte plus que son imprécision ; le temps et la qualité sont, sur ce dossier, les deux ajustements qui méritent le plus de soin.
++\end{itemize}
++\end{synthese}
++
++\section*{Exercices}
++\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
++
++\begin{exercice}[1]{Grille additive, brut et net}{ex:17:1}
++Un comparable vendu \dollars{540000} reçoit les ajustements suivants vers le sujet : conditions du marché $+\dollars{18000}$, superficie $-\dollars{12500}$, garage $+\dollars{15000}$, sous-sol $-\dollars{9000}$, qualité nulle. Calculez le prix ajusté sous la forme additive, l'ajustement brut et l'ajustement net en pourcentage du prix. Dites, pour chaque ajustement, si le sujet est supérieur ou inférieur au comparable sur l'élément considéré, et expliquez pourquoi un brut de \pct{10} avec un net de \pct{2} n'a pas la même signification qu'un brut de \pct{10} avec un net de \pct{10}.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[1]{Trois écritures de l'ajustement de temps}{ex:17:2}
++Le comparable G0404 s'est vendu \dollars{506500} 15,2 mois avant la date d'évaluation. Calculez l'ajustement de conditions du marché (a) par taux annuel composé de \pct{4.43}, (b) par ratio d'indices si l'indice du segment valait 131,2 à la vente et 138,7 à la date d'évaluation, (c) par l'approximation linéaire avec une tendance de 0,364 \% par mois. Expliquez pourquoi (b) diffère de (a) et pourquoi (c) est toujours inférieur à l'écriture composée correspondante.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Ventes appariées}{ex:17:3}
++Six paires de maisons ne différant que par la présence d'un garage double ont été relevées (prix avec, prix sans, dates déjà alignées) : (612 000, 590 000), (548 000, 541 000), (589 500, 562 000), (571 000, 570 500), (603 000, 578 000), (557 500, 549 000). Calculez la différence moyenne, la médiane, l'écart-type des différences et l'erreur-type de la moyenne selon l'\cref{eq:17:paires}, puis l'intervalle à 95 \%. Un modèle hédonique estimé sur le même marché donne un prix implicite de \pct{3.3} du prix pour le garage ; au prix médian des paires, ce prix implicite est-il compatible avec les paires ? Combien de paires faudrait-il pour ramener l'erreur-type à \dollars{2000}, si l'écart-type des différences restait le même ?
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Halvorsen--Palmquist et Kennedy}{ex:17:4}
++Dans un modèle semi-logarithmique, le coefficient d'une indicatrice « bord de l'eau » est estimé à 0,045 avec une erreur-type de 0,020, et celui d'une indicatrice de secteur à $-0{,}25$ avec une erreur-type de 0,08. Pour chacun, calculez l'effet en pourcentage selon la lecture naïve, selon l'\cref{eq:17:hp} et selon l'\cref{eq:17:kennedy}. Traduisez les écarts en dollars pour un comparable de \dollars{600000} et dites dans quel cas la correction compte.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Additif, multiplicatif, mixte}{ex:17:5}
++Un comparable vendu \dollars{500000} exige trois ajustements : conditions du marché $+\pct{6}$, superficie $+\pct{4}$, qualité $-\pct{5}$ (effets en proportion de la base courante). Calculez le prix ajusté sous les formes multiplicative \eqref{eq:17:multiplicatif}, additive \eqref{eq:17:additif} (tous les effets appliqués au prix de vente) et mixte \eqref{eq:17:mixte} (temps en cascade, puis superficie et qualité en dollars calculés sur la base actualisée). Vérifiez l'\cref{eq:17:ecart-formes} en calculant explicitement les termes de second et de troisième ordre, et indiquez laquelle des trois formes est l'analogue exact d'un modèle en logarithme.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Pondération inverse du brut et réconciliation}{ex:17:6}
++Trois comparables ont les prix et ajustements suivants : A, \dollars{600000}, ajustements $+30\,000$ et $-60\,000$ ; B, \dollars{520000}, ajustements $+26\,000$ et $+13\,000$ ; C, \dollars{575000}, ajustements $-23\,000$, $+46\,000$ et $+23\,000$. Calculez les prix ajustés, les ajustements bruts et nets, les poids de l'\cref{eq:17:poids} (plancher \pct{1}), la valeur pondérée et la moyenne simple, à l'aide des fonctions \texttt{poids\_inverse\_brut} et \texttt{reconciliation} de \texttt{traite.comparables} ou à la main. Expliquez pourquoi A et C, dont les nets sont de signes opposés, reçoivent des poids voisins, et discutez la pertinence de la règle lorsque le comparable le moins ajusté est aussi celui dont la vente est la plus ancienne.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Remplacer les prix implicites par les paires}{ex:17:7}
++À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch17\_ajustements.py}, remplacez dans la grille du \cref{tab:17:grille} l'ajustement de garage de G0574 et de G0575 par la différence moyenne des quinze paires de garage (\dollars{7991}) et l'ajustement de sous-sol de G0574 par celle des quatorze paires de sous-sol (\dollars{23623}). Recalculez les prix ajustés, la moyenne, les bruts, les poids et la valeur pondérée. L'écart avec la prédiction hédonique s'est-il réduit ? À l'aide de la \cref{prop:residus}, expliquez pourquoi aucun changement des prix implicites du garage et du sous-sol ne peut combler cet écart, et proposez deux vérifications de terrain qui permettraient de trancher entre les deux lectures de la \cref{sec:17:residus}.
++\end{exercice}
++
++\section*{Pour aller plus loin}
++\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
++
++Le traitement de référence des ajustements dans la pratique nord-américaine reste celui de l'Appraisal Institute \parencite{appraisal2026}, dont l'édition canadienne \parencite{appraisalCdn} adapte les exemples, et le glossaire de \textcite{aiDictionary2022} fixe le vocabulaire des ajustements de transaction et de propriété. Les fondements analytiques de la grille sont posés par \textcite{colwellCannadayWu1983}, qui relient les formes additive et multiplicative aux spécifications hédoniques, et par \textcite{isakson2002}, qui en donne l'algèbre linéaire et les conditions d'identification ; \textcite{pace1998grid} montre comment estimer conjointement les ajustements et les pondérations, et \textcite{pace1998} comment dériver des ajustements non linéaires par des modèles additifs généralisés. Sur la lecture des coefficients de variables indicatrices, \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981} sont les deux notes fondatrices ; sur le choix de la forme fonctionnelle et ses conséquences pour les prix implicites, \textcite{cropperDeckMcconnell1988} et la revue de \textcite{malpezzi2003} ; sur les signes et les ordres de grandeur typiques des prix implicites dans la littérature hédonique, les recensions de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023}. La pondération des comparables et son lien avec la variance sont traités par \textcite{vandell1991}, \textcite{green1994} et \textcite{kummerowGalfalvy2002}, déjà rencontrés au \cref{ch:16}. Sur les biais de jugement qui menacent l'analyse qualitative et la réconciliation, on lira \textcite{northcraftNeale1987} et \textcite{diaz1997}. Pour l'inférence robuste qui fournit les erreurs-types utilisées dans l'analyse de sensibilité, \textcite{wooldridge2010} ; pour les applications québécoises des prix implicites de localisation et d'accessibilité, \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} et \textcite{dubeLegros2014}, qui préparent le \cref{ch:19}.

modified manuscript/chapters/ch18.tex +507 −1

+ \chapter{Modèles hédoniques}\label{ch:18}
++
++Les deux chapitres précédents ont posé la méthode de comparaison comme l'estimation d'une espérance conditionnelle à partir de quelques ventes voisines du sujet, corrigées de leurs différences par des ajustements. Chaque ajustement suppose connu le \emph{prix implicite} d'une caractéristique, c'est-à-dire ce que le marché paie, toutes choses égales par ailleurs, pour un mètre carré de plus, une place de garage ou un secteur mieux coté. Le modèle hédonique est l'outil qui estime ces prix implicites de façon simultanée, sur des centaines ou des milliers de ventes, en décomposant le prix d'un immeuble en la somme des contributions de ses attributs. Le présent chapitre en expose le fondement économique, dû à Lancaster et à Rosen, sa spécification, son estimation par les moindres carrés, ses diagnostics et son emploi en évaluation : prix implicites pour alimenter la grille du \cref{ch:17}, prédiction directe de la valeur d'un sujet avec son intervalle, et modèles d'évaluation de masse pour le rôle foncier du \cref{ch:9}. L'exemple intégral estime le modèle de référence de l'ouvrage sur les 600 ventes synthétiques du cas 1 ; comme les lois qui ont engendré ces ventes sont connues, le lecteur peut vérifier que le modèle retrouve bien ce qu'il est censé mesurer, ce qu'aucune donnée réelle ne permet jamais. Les extensions spatiales et temporelles sont réservées au \cref{ch:19}, les indices au \cref{ch:35}, l'apprentissage automatique au \cref{ch:37} et les intervalles bayésiens au \cref{ch:39}.
++
++\begin{objectifs}
++À la fin de ce chapitre, le lecteur sait :
++\begin{itemize}
++\item expliquer pourquoi la fonction de prix hédonique est une enveloppe d'enchères et d'offres, ce que ses dérivées mesurent et pourquoi l'évaluateur n'a pas besoin du second stade de Rosen ;
++\item choisir une forme fonctionnelle (linéaire, semi-logarithmique, log-log, Box--Cox), en interpréter les coefficients et convertir correctement les coefficients d'indicatrices en pourcentages ;
++\item estimer un modèle hédonique par les moindres carrés avec des erreurs-types robustes, et conduire les diagnostics d'hétéroscédasticité, de normalité, de colinéarité, d'influence et d'autocorrélation spatiale ;
++\item dériver les prix implicites en dollars au sujet et les relier aux ajustements de la grille de comparaison ;
++\item produire une prédiction en niveau corrigée du biais de retransformation et son intervalle de prédiction, et en lire la largeur ;
++\item mesurer la qualité d'un modèle d'évaluation de masse par les statistiques de ratio (COD, PRD, PRB) et situer ces résultats par rapport aux normes de l'IAAO et au cadre québécois de la proportion médiane.
++\end{itemize}
++\end{objectifs}
++
++\section{Fondements : des caractéristiques aux prix implicites}\label{sec:18:fondements}
++
++\subsection{Une méthode plus ancienne qu'il n'y paraît}
++
++L'idée de décomposer le prix d'un bien hétérogène en contributions de ses caractéristiques est née hors de l'immobilier. \textcite{court1939}, économiste chez General Motors, l'a utilisée pour construire un indice de prix des automobiles corrigé des changements de qualité, et c'est lui qui a forgé le terme « hédonique » ; \textcite{goodman1998} a retracé cette genèse. \textcite{griliches1961} a ressuscité la méthode vingt ans plus tard, toujours pour l'automobile, puis l'a systématisée \parencite{griliches1971}, et elle s'est transférée au logement dans les années 1960 et 1970, où elle est devenue l'instrument standard pour mesurer la valeur des attributs du logement et de son environnement. Les revues de \textcite{sheppard1999} et de \textcite{malpezzi2003} font le point sur ses fondements et ses applications ; celles de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023} recensent plusieurs centaines d'études et les signes et ordres de grandeur typiques des coefficients.
++
++Le fondement théorique est venu après la pratique. \textcite{lancaster1966} a proposé que l'utilité d'un consommateur ne porte pas sur les biens eux-mêmes, mais sur les caractéristiques qu'ils contiennent ; un logement est alors un panier de superficie, d'âge, de qualité, d'accessibilité et de voisinage. \textcite{rosen1974} a fourni le modèle d'équilibre qui relie ce panier au prix observé et qui donne aux coefficients d'une régression hédonique une interprétation économique précise.
++
++\subsection{L'équilibre hédonique de Rosen}
++
++Soit $\mathbf{z} = (z_1, \dots, z_K)$ le vecteur des caractéristiques d'un logement et $P(\mathbf{z})$ la \motcle{fonction de prix hédonique}, qui donne le prix de marché d'un logement en fonction de ses caractéristiques. Cette fonction n'est pas choisie par un agent : elle est le résultat de l'équilibre entre des acheteurs hétérogènes et des vendeurs hétérogènes, et c'est ce qui la rend observable. Du côté des acheteurs, un ménage de revenu $y$ et de goûts $\boldsymbol\alpha$ qui consomme un logement $\mathbf{z}$ et un bien composite $x$ au prix unitaire maximise $U(x, \mathbf{z}; \boldsymbol\alpha)$ sous la contrainte $y = x + P(\mathbf{z})$. Sa \motcle{fonction d'enchère} (en anglais \emph{bid function}) $\theta(\mathbf{z}; u, y, \boldsymbol\alpha)$ est le montant maximal qu'il accepterait de payer pour le logement $\mathbf{z}$ tout en conservant le niveau d'utilité $u$ ; elle est définie implicitement par $U(y - \theta, \mathbf{z}; \boldsymbol\alpha) = u$. À l'optimum, le ménage choisit le logement où sa courbe d'enchère est tangente à la fonction de prix :
++\begin{equation}\label{eq:18:rosen}
++\frac{\partial P(\mathbf{z})}{\partial z_k} = \frac{\partial \theta(\mathbf{z}; u, y, \boldsymbol\alpha)}{\partial z_k} = \frac{\partial U / \partial z_k}{\partial U / \partial x}, \qquad k = 1, \dots, K .
++\end{equation}
++La dérivée partielle de la fonction de prix par rapport à la caractéristique $k$ est égale, pour le ménage qui occupe effectivement ce logement, à son taux marginal de substitution entre cette caractéristique et le bien composite, c'est-à-dire à sa disposition marginale à payer. Du côté des vendeurs ou des constructeurs, un raisonnement symétrique conduit à des fonctions d'offre tangentes à $P(\mathbf{z})$ par en dessous. La fonction de prix est l'\emph{enveloppe} de toutes ces courbes d'enchère et d'offre ; en chaque point, elle touche l'enchère d'un type d'acheteur et l'offre d'un type de vendeur.
++
++\begin{definition}{Prix implicite}{prix-implicite}
++Le \motcle{prix implicite} (ou prix hédonique) de la caractéristique $k$ au point $\mathbf{z}$ est la dérivée partielle $p_k(\mathbf{z}) = \partial P(\mathbf{z}) / \partial z_k$ de la fonction de prix hédonique. Il mesure le supplément de prix que le marché associe à une unité de plus de la caractéristique $k$, les autres caractéristiques étant maintenues constantes, pour un logement de caractéristiques $\mathbf{z}$. En général, il dépend de $\mathbf{z}$ : le mètre carré supplémentaire ne vaut pas la même chose dans une petite maison et dans une grande.
++\end{definition}
++
++Trois conséquences de l'\cref{eq:18:rosen} importent pour l'évaluateur. Premièrement, rien n'oblige la fonction de prix à être linéaire : comme les ménages ne peuvent pas acheter deux demi-maisons pour en faire une, l'arbitrage qui linéariserait les prix n'existe pas, et la non-linéarité est la règle. C'est elle qui justifie les formes logarithmiques et les polynômes de la \cref{sec:18:specification}, et c'est elle qui condamne l'application d'un ajustement unitaire constant à des comparables très différents du sujet. Deuxièmement, le prix implicite n'est pas la « valeur » intrinsèque de la caractéristique : c'est un prix d'équilibre local qui reflète à la fois la disposition à payer de l'acheteur marginal et le coût de l'offreur marginal pour cette caractéristique, dans ce marché, à cette date. Un garage vaut ce que le marché de Gatineau en 2026 paie pour un garage, pas ce qu'il coûte à construire ni ce que son propriétaire en pense. Troisièmement, la fonction de prix est propre à un marché : dans un autre marché, avec d'autres distributions de goûts, de revenus et de stocks, l'enveloppe est différente. Transposer des prix implicites estimés à Montréal vers Gatineau est une hypothèse, non une déduction.
++
++\subsection{Les deux stades et pourquoi l'évaluateur s'arrête au premier}
++
++Rosen a proposé une procédure en deux stades. Le premier estime la fonction de prix $P(\mathbf{z})$ sur les transactions observées et en déduit les prix implicites $p_k(\mathbf{z}_i)$ de chaque logement vendu. Le second régresse ces prix implicites sur les quantités $z_{ik}$ et les caractéristiques des acheteurs pour retrouver les fonctions de demande, c'est-à-dire la disposition marginale à payer en fonction de la quantité consommée et du revenu. Ce second stade est celui qui intéresse l'économiste des politiques publiques, parce qu'il permet de prévoir ce qu'un ménage paierait pour une amélioration non marginale de la qualité de l'air ou de l'école de quartier. Il est aussi celui qui pose les problèmes d'identification les plus sérieux. \textcite{epple1987} a montré que, dans un seul marché, le prix implicite et la quantité consommée sont déterminés simultanément par le même équilibre, de sorte que la régression du second stade confond la courbure de la fonction de prix avec la pente de la demande ; \textcite{ekelandHeckmanNesheim2004} ont établi sous quelles conditions, non linéaires, l'identification reste possible dans un seul marché, et \textcite{bajariBenkard2005} ont proposé une voie alternative fondée sur les préférences individuelles. L'\cref{ex:18:7} fait toucher du doigt cette difficulté.
++
++L'évaluateur n'a pas besoin de résoudre ce problème, et il doit comprendre pourquoi. Sa question n'est pas « combien un ménage type paierait-il pour vingt mètres carrés de plus si tous les logements en avaient vingt de plus ? » mais « combien se vend, aujourd'hui, sur ce marché, un logement de ces caractéristiques ? ». La première question porte sur les préférences, qui ne sont pas observables ; la seconde porte sur la fonction de prix, qui l'est, au bruit près. La valeur marchande définie au \cref{ch:16} comme $\E[P \mid \mathbf{x} = \mathbf{x}_s, t]$ \emph{est} la fonction de prix hédonique évaluée au sujet, et les ajustements du \cref{ch:17} \emph{sont} ses dérivées partielles, ou plus exactement les différences finies qu'elles permettent d'approcher. Le premier stade de Rosen suffit donc entièrement à l'évaluation, à condition que l'on reste à l'intérieur du nuage des ventes observées : le modèle décrit le marché tel qu'il est, non tel qu'il serait si l'offre changeait. Les études québécoises sur les prix des logements, celles de \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000} sur l'accessibilité et le voisinage, de \textcite{desrosiersLaganaTheriault2001} sur les écoles primaires ou de \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2002} sur l'aménagement paysager, s'inscrivent dans ce premier stade et illustrent ce qu'il permet de mesurer sur un marché local.
++
++\section{Spécification : formes fonctionnelles et variables}\label{sec:18:specification}
++
++\subsection{Quatre formes fonctionnelles}
++
++La théorie ne dicte pas la forme de $P(\mathbf{z})$ ; elle dit seulement qu'elle est croissante dans les caractéristiques désirables et généralement non linéaire. La pratique a retenu quatre formes, que le \cref{tab:18:formes} compare. La forme \motcle{linéaire},
++\begin{equation}\label{eq:18:lineaire}
++P_i = \alpha + \sum_{k=1}^{K} \beta_k x_{ik} + \varepsilon_i ,
++\end{equation}
++a l'avantage de donner directement des prix implicites en dollars, constants : un mètre carré vaut $\beta_S$ dollars quelle que soit la maison. C'est aussi sa faiblesse, parce que les données contredisent presque toujours cette constance, et parce qu'elle laisse la variance des erreurs croître avec le prix. La forme \motcle{semi-logarithmique}, qui est celle du modèle de référence de l'ouvrage et de la convention de notation rappelée à l'annexe~\ref{app:conventions-calcul},
++\begin{equation}\label{eq:18:semilog}
++\ln P_i = \alpha + \mathbf{x}_i\T \boldsymbol\beta + \tau_{t(i)} + \mu_{s(i)} + \varepsilon_i ,
++\end{equation}
++fait porter l'additivité sur le logarithme du prix : chaque caractéristique multiplie le prix par un facteur, de sorte qu'une place de garage ajoute un pourcentage et non un montant. Les effets temporels $\tau_t$ et spatiaux $\mu_s$ y entrent comme des indicatrices de période et de secteur, ou comme des fonctions du temps et des coordonnées. La forme \motcle{log-log} applique aussi le logarithme aux variables continues et lit les coefficients comme des élasticités. Enfin, la transformation de \textcite{boxCox1964}, appliquée à la variable dépendante,
++\begin{equation}\label{eq:18:boxcox}
++P_i^{(\lambda)} = \frac{P_i^{\lambda} - 1}{\lambda} \quad (\lambda \neq 0), \qquad P_i^{(0)} = \ln P_i ,
++\end{equation}
++englobe la forme linéaire ($\lambda = 1$) et la forme semi-logarithmique ($\lambda \to 0$) comme cas particuliers et laisse les données choisir $\lambda$ par maximum de vraisemblance. La log-vraisemblance concentrée en $\lambda$ s'écrit, pour une régression de $P^{(\lambda)}$ sur $\mathbf{X}$ de somme des carrés des résidus $\mathit{SCR}(\lambda)$,
++\begin{equation}\label{eq:18:boxcox-ll}
++\ell(\lambda) = -\frac{n}{2} \ln \frac{\mathit{SCR}(\lambda)}{n} + (\lambda - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln P_i ,
++\end{equation}
++où le second terme est le jacobien de la transformation, sans lequel les sommes de carrés de variables d'échelles différentes ne seraient pas comparables. Un intervalle de confiance à 95 \% pour $\lambda$ réunit les valeurs telles que $\ell(\lambda) \geq \ell(\hat\lambda) - \chi^2_{1;0{,}95}/2 = \ell(\hat\lambda) - 1{,}92$.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Quatre formes fonctionnelles de la fonction de prix hédonique et lecture de leurs coefficients}\label{tab:18:formes}
++\centering\small
++\begin{tabularx}{\textwidth}{lYYY}
++\toprule
++Forme & Équation & Prix implicite $\partial P/\partial x_k$ & Lecture du coefficient \\
++\midrule
++Linéaire & $P = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k$ (constant) & dollars par unité de $x_k$ \\
++Semi-log & $\ln P = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k P$ (proportionnel au prix) & $100\,\beta_k$ \% par unité (approximation) ; indicatrice : $100\,[\exp(\beta_k) - 1]$ \% \\
++Log-log & $\ln P = \alpha + \sum_k \beta_k \ln x_k$ & $\beta_k P / x_k$ & élasticité : $\beta_k$ \% par 1 \% de $x_k$ \\
++Box--Cox & $(P^\lambda - 1)/\lambda = \alpha + \sum_k \beta_k x_k$ & $\beta_k P^{\,1-\lambda}$ & dépend de $\lambda$ ; $\lambda = 1$ linéaire, $\lambda \to 0$ semi-log \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{synthèse de l'auteur d'après \textcite{malpezzi2003} et \textcite{boxCox1964}.}
++\end{table}
++
++Le choix entre ces formes repose sur trois considérations. La première est statistique : la forme doit stabiliser la variance des erreurs et rendre leur distribution à peu près symétrique, ce que le logarithme fait presque toujours pour des prix, dont la distribution est asymétrique à droite. La deuxième est économique : les élasticités et les effets proportionnels sont plus stables d'un marché à l'autre et d'une taille à l'autre que les effets en dollars, ce qui rend la semi-log et la log-log plus transportables. La troisième est la robustesse aux erreurs de spécification. \textcite{cropperDeckMcconnell1988} ont comparé, par simulation, les erreurs sur les prix implicites commises par chaque forme lorsque des variables sont omises ou mal mesurées, ce qui est la situation normale en évaluation : les formes simples, linéaire et semi-logarithmique, et la Box--Cox linéaire se sont montrées les moins sensibles, tandis que les formes flexibles très paramétrées (Box--Cox quadratique) se sont dégradées. C'est un argument fort en faveur de la semi-log comme spécification par défaut, et c'est celui que suit l'ouvrage. La \cref{fig:18:formes} montrera, sur le cas 1, à quel point les quatre formes s'accordent à l'intérieur du nuage des données et divergent à ses bords.
++
++\subsection{Lire les coefficients d'une indicatrice en semi-log}
++
++Dans la forme semi-logarithmique, le coefficient d'une variable continue s'interprète approximativement comme un effet en pourcentage : $\partial \ln P / \partial x_k = \beta_k$, donc une unité de plus de $x_k$ change le prix de $100\,\beta_k$ \% environ. L'approximation est bonne tant que $\beta_k$ est petit. Pour une variable indicatrice $D$ qui passe de 0 à 1, l'effet exact est un saut, et \textcite{halvorsenPalmquist1980} ont rappelé que le pourcentage n'est pas $100\,\beta$ mais
++\begin{equation}\label{eq:18:hp}
++g = \frac{P(D = 1) - P(D = 0)}{P(D = 0)} = \exp(\beta) - 1 .
++\end{equation}
++Pour $\beta = 0{,}03$ la différence est négligeable (3,05 \% contre 3 \%) ; pour $\beta = -0{,}25$, comme le secteur de Buckingham dans l'exemple intégral, elle ne l'est plus ($-22{,}1$ \% contre $-25$ \%). \textcite{kennedy1981} a ajouté que $\exp(\hat\beta)$ est un estimateur biaisé de $\exp(\beta)$ lorsque $\hat\beta$ est entaché d'une variance $\hat V(\hat\beta)$, et a proposé l'estimateur presque sans biais
++\begin{equation}\label{eq:18:kennedy}
++\hat g^{\,K} = \exp\!\left(\hat\beta - \tfrac{1}{2}\hat V(\hat\beta)\right) - 1 .
++\end{equation}
++La correction ne compte que lorsque l'erreur-type est de l'ordre de quelques dixièmes, c'est-à-dire pour des indicatrices rares ; avec les erreurs-types de l'exemple, elle déplace les effets de quelques centièmes de point de pourcentage. La bibliothèque de l'ouvrage fournit les deux formules (\texttt{traite.comparables.ajustement\_depuis\_coefficient\_log} et \texttt{\_sans\_biais}) et les conventions de calcul prévoient d'appliquer la correction de Kennedy lorsque la variance n'est pas négligeable.
++
++\subsection{Les variables et leur transformation}
++
++Le choix des régresseurs obéit à un principe simple : toute caractéristique que les acheteurs paient et qui varie dans l'échantillon doit figurer dans le modèle, sous une forme qui respecte la façon dont elle agit sur le prix ; toute caractéristique omise qui est corrélée aux régresseurs inclus biaise leurs coefficients. Si le vrai modèle est $\ln P = \mathbf{x}\T\boldsymbol\beta + \gamma w + \varepsilon$ et que $w$ est omis, alors que sa projection sur $\mathbf{x}$ a pour coefficients $\boldsymbol\delta$, le modèle estimé converge vers
++\begin{equation}\label{eq:18:omission}
++\tilde{\boldsymbol\beta} = \boldsymbol\beta + \gamma\, \boldsymbol\delta ,
++\end{equation}
++le biais de chaque coefficient étant le produit de l'effet de la variable omise par sa corrélation partielle avec le régresseur. C'est la raison pour laquelle l'omission du secteur, dans l'exemple intégral, gonfle l'effet de la distance au centre et écrase celui du terrain : les secteurs périphériques ont à la fois des prix plus bas, des distances plus grandes et des terrains plus vastes.
++
++Les variables usuelles d'un modèle résidentiel se regroupent en cinq familles, et le \cref{tab:18:variables} en présente le traitement retenu dans le modèle de référence. La \emph{superficie habitable} entre en logarithme, parce que son élasticité est inférieure à un : les études recensées par \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} trouvent presque toujours un coefficient positif et une concavité, et le \cref{ch:16} a rappelé que c'est elle qui rend le prix unitaire des petites maisons plus élevé. Le \emph{terrain} entre aussi en logarithme, avec une élasticité faible en secteur bâti ; le \cref{ch:25} discute sa valeur séparée. L'\emph{âge} entre en polynôme du second degré : la dépréciation est rapide dans les premières décennies puis ralentit, et les maisons très anciennes rénovées ou patrimoniales peuvent même se réapprécier, ce que le \cref{ch:24} relie aux courbes de dépréciation. La \emph{qualité} et l'\emph{état}, codés sur une échelle ordinale, sont traités comme des écarts à la classe moyenne ; les \emph{équipements} (garage, sous-sol fini, piscine, type de bâtiment) sont des indicatrices ou des comptages. La \emph{localisation} combine des indicatrices de secteur, qui captent tout ce qui distingue un sous-marché sans le nommer, et des variables d'accessibilité continues, comme la distance au centre ; \textcite{can1992} a montré que la qualité du voisinage agit à la fois par un déplacement du niveau des prix et par une modification des prix implicites des autres attributs, ce qui motive les termes d'interaction et, au-delà, les méthodes du \cref{ch:19}. Le \emph{temps} enfin, qu'une tendance linéaire ou des indicatrices de période représentent ; la \cref{sec:18:exemple} compare les deux et le \cref{ch:35} en fait des indices.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Variables du modèle hédonique de référence du cas 1 (\texttt{traite.cas1.matrice}) et transformation retenue}\label{tab:18:variables}
++\centering\small
++\begin{tabularx}{\textwidth}{llY}
++\toprule
++Variable & Transformation & Raison \\
++\midrule
++Superficie habitable $S$ (m²) & $\ln(S/140)$ & élasticité inférieure à un ; centrage à 140 m² pour une constante interprétable \\
++Superficie du terrain $T$ (m²) & $\ln(T/560)$ & élasticité faible ; centrage à 560 m² \\
++Âge (années) & âge et âge²/100 & dépréciation décroissante avec l'âge \\
++Qualité (1 à 5) & écart à 3 & échelle ordinale traitée comme un écart à la classe moyenne \\
++Garage (places), sous-sol fini, piscine & comptage ou indicatrice 0/1 & effets proportionnels par équipement \\
++Type de bâtiment & indicatrice « à étages » (plain-pied en référence) & \\
++Secteur & quatre indicatrices (Hull en référence) & sous-marchés de Gatineau \\
++Distance au centre (km) & $\max(d - 3, 0)$ & plateau de 3 km autour du centre, puis gradient (\cref{ch:5}) \\
++Date de vente & mois écoulés depuis le 1\ier{} juillet 2024 & tendance linéaire du marché ; indicatrices trimestrielles en variante \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{\texttt{analysis/python/traite/cas1.py} ; lois de génération dans \texttt{data/synthetic/README.md}.}
++\end{table}
++
++Deux précautions complètent ce choix. La première est le centrage des variables continues autour d'une valeur typique, qui donne à la constante le sens du logarithme du prix d'une maison de référence (ici un plain-pied de \msq{140} sur \msq{560} à Hull, de qualité 3, neuf, sans équipement, vendu à la date de référence) et facilite la lecture. La seconde est la parcimonie : chaque variable ajoutée consomme un degré de liberté et, si elle est colinéaire aux autres, dégrade la précision de tous les coefficients sans améliorer la prédiction. \textcite{bishop2020} et \textcite{kuminoffParmeterPope2010} ont montré, pour les modèles destinés à mesurer la disposition à payer pour des aménités, que les effets fixes spatiaux et temporels fins et les formes flexibles réduisent nettement le biais d'omission ; pour l'évaluateur, qui cherche à prédire, la leçon est la même, à ceci près que la prédiction pour un sujet exige que ses propres effets fixes soient estimés, donc que son secteur et sa période soient suffisamment représentés dans l'échantillon.
++
++\section{Estimation et inférence}\label{sec:18:estimation}
++
++\subsection{Les moindres carrés ordinaires}
++
++Soit $\mathbf{y}$ le vecteur des $n$ logarithmes des prix, $\mathbf{X}$ la matrice $n \times k$ des régresseurs (constante comprise) et $\boldsymbol\varepsilon$ le vecteur des erreurs. L'estimateur des moindres carrés ordinaires (MCO) minimise la somme des carrés des résidus :
++\begin{equation}\label{eq:18:mco}
++\hat{\boldsymbol\beta} = \argmin_{\mathbf{b}} \norm{\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{b}}^2 = (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}\T\mathbf{y}, \qquad \hat{\boldsymbol\varepsilon} = \mathbf{y} - \mathbf{X}\hat{\boldsymbol\beta}, \qquad \hat\sigma^2 = \frac{\hat{\boldsymbol\varepsilon}\T\hat{\boldsymbol\varepsilon}}{n - k} .
++\end{equation}
++Sous l'hypothèse que les erreurs sont d'espérance nulle conditionnellement aux régresseurs, $\hat{\boldsymbol\beta}$ est sans biais ; si de plus elles sont homoscédastiques et non corrélées, sa matrice de covariance est $\sigma^2 (\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}$. L'écart-type résiduel $\hat\sigma$ a, dans un modèle semi-logarithmique, une lecture directe : c'est la dispersion typique, en proportion, des prix autour de ce que les caractéristiques expliquent, et il mesure donc l'incertitude irréductible d'une prédiction individuelle. Un $\hat\sigma$ de 0,08 signifie qu'environ deux tiers des logements se vendent à moins de 8 \% de leur prix prédit et 95 \% à moins de 16 \%. Le coefficient de détermination $R^2$ mesure la part de la variance de $\ln P$ expliquée ; il dépend autant de l'hétérogénéité de l'échantillon que de la qualité du modèle, et un $R^2$ élevé obtenu en mélangeant des secteurs très différents ne vaut pas un $R^2$ modeste obtenu sur un sous-marché homogène. Il ne se compare pas d'une forme fonctionnelle à l'autre lorsque la variable dépendante change : le $R^2$ d'un modèle en niveaux et celui d'un modèle en logarithmes mesurent des choses différentes, et l'on comparera plutôt des erreurs de prédiction en dollars ou des statistiques de ratio (\cref{sec:18:masse}).
++
++\subsection{Erreurs-types robustes}
++
++L'hypothèse d'homoscédasticité est rarement crédible sur des prix immobiliers : la dispersion des erreurs peut dépendre de la taille, du secteur ou de la période. Lorsqu'elle est violée, $\hat{\boldsymbol\beta}$ reste sans biais mais la formule classique de sa covariance est fausse, et les tests qui en découlent aussi. L'estimateur convergent de White (1980), dans sa version HC1 corrigée pour les degrés de liberté,
++\begin{equation}\label{eq:18:hc1}
++\hat V_{\text{HC1}}(\hat{\boldsymbol\beta}) = \frac{n}{n - k}\,(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\left(\sum_{i=1}^{n} \hat\varepsilon_i^{2}\, \mathbf{x}_i \mathbf{x}_i\T\right)(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1},
++\end{equation}
++remplace $\sigma^2$ par le carré de chaque résidu et reste valide quelle que soit la forme de l'hétéroscédasticité\footnote{White, H. (1980), « A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity », \emph{Econometrica}, 48(4), 817-838. La référence est vérifiée (DOI 10.2307/1912934) et consignée dans \texttt{references/lib-ch18.bib}.}. C'est la convention de l'ouvrage (annexe~\ref{app:conventions-calcul}) et ce que calcule \texttt{traite.hedonique.mco}. Lorsque les erreurs sont corrélées à l'intérieur de groupes, par exemple les ventes d'un même secteur ou d'un même trimestre, les erreurs-types doivent être agrégées par grappes ; \textcite{wooldridge2010} en donne la théorie, et le \cref{ch:19} traite le cas, plus subtil, où la corrélation décroît avec la distance.
++
++\subsection{Diagnostics}
++
++Une régression n'est défendable qu'accompagnée de ses diagnostics, et l'évaluateur qui dépose un modèle hédonique à l'appui d'une conclusion doit pouvoir les produire. Cinq examens forment le minimum.
++
++\emph{Hétéroscédasticité.} Le graphique des résidus contre les valeurs ajustées, complété par la médiane et les déciles des résidus par tranche de valeur ajustée, montre si la dispersion dépend du niveau du prix. Le test de Breusch et Pagan (1979), dans la version studentisée de Koenker qui ne suppose pas la normalité, régresse les carrés des résidus sur les régresseurs et compare
++\begin{equation}\label{eq:18:bp}
++\mathit{LM} = n\, R^2_{\hat\varepsilon^2 \mid \mathbf{X}} \ \sim\ \chi^2_{k-1}
++\end{equation}
++à la loi du khi-deux\footnote{Breusch, T. S. et Pagan, A. R. (1979), « A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation », \emph{Econometrica}, 47(5), 1287-1294 ; DOI 10.2307/1911963 (vérifié), dans \texttt{lib-ch18.bib}.}. Un rejet ne condamne pas le modèle, puisque les erreurs-types HC1 restent valides ; il signale que la précision des prédictions varie selon les segments, ce que l'intervalle de prédiction de la \cref{sec:18:prediction} ne reflète pas.
++
++\emph{Normalité des résidus.} Le diagramme quantile-quantile et la statistique de Jarque--Bera, fondée sur l'asymétrie et l'aplatissement, vérifient si la loi normale est une approximation acceptable. La normalité n'est pas nécessaire aux MCO, mais l'intervalle de prédiction s'en sert et la retransformation en niveau en dépend (\cref{sec:18:prediction}) ; des queues épaisses signalent des ventes atypiques qu'il faut examiner une à une.
++
++\emph{Colinéarité.} Lorsque deux régresseurs varient presque ensemble, leurs coefficients individuels deviennent imprécis bien que leur effet joint soit bien estimé. Le facteur d'inflation de la variance du régresseur $j$,
++\begin{equation}\label{eq:18:vif}
++\mathit{VIF}_j = \frac{1}{1 - R^2_j} ,
++\end{equation}
++où $R^2_j$ est le coefficient de détermination de la régression de $x_j$ sur les autres régresseurs, mesure par quel facteur la variance de $\hat\beta_j$ est multipliée par rapport au cas orthogonal ; des valeurs au-delà de 10 sont couramment considérées comme un signal\footnote{Ce seuil est une convention d'usage, non une norme ; il est discuté par Belsley, Kuh et Welsch (1980), \emph{Regression Diagnostics}, Wiley (DOI 10.1002/0471725153, vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).}. Deux cas sont à distinguer : la colinéarité structurelle, inévitable entre l'âge et son carré ou entre une indicatrice de secteur périphérique et la distance au centre, qui n'empêche ni la prédiction ni le calcul des prix implicites joints ; et la colinéarité de données, qui résulte d'un échantillon où deux attributs distincts ne sont jamais observés séparément et qui, elle, interdit de séparer leurs effets.
++
++\emph{Observations influentes.} La distance de Cook (1977),
++\begin{equation}\label{eq:18:cook}
++D_i = \frac{\hat\varepsilon_i^{2}}{k\,\hat\sigma^{2}}\cdot\frac{h_{ii}}{(1 - h_{ii})^{2}}, \qquad h_{ii} = \mathbf{x}_i\T(\mathbf{X}\T\mathbf{X})^{-1}\mathbf{x}_i ,
++\end{equation}
++combine la taille du résidu et le levier $h_{ii}$ de l'observation, c'est-à-dire son éloignement dans l'espace des régresseurs, et mesure de combien l'ensemble des coefficients bougerait si l'observation était retirée\footnote{Cook, R. D. (1977), « Detection of Influential Observation in Linear Regression », \emph{Technometrics}, 19(1), 15-18 ; DOI 10.1080/00401706.1977.10489493 (vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).}. Le seuil indicatif $4/n$ désigne les observations à examiner ; en évaluation, ce sont typiquement des ventes mal vérifiées (\cref{ch:16}), des erreurs de saisie (\cref{ch:14}) ou des biens atypiques dont la présence dans l'échantillon doit être réfléchie. On ne retire pas une observation parce qu'elle est influente ; on la retire parce que la vérification révèle qu'elle n'est pas une vente de marché ou qu'elle n'appartient pas au segment.
++
++\emph{Autocorrélation spatiale.} Si les résidus des ventes voisines se ressemblent, c'est que le modèle a omis des déterminants de la localisation ; l'inférence est alors trop optimiste et la prédiction pour un sujet peut être améliorée par les résidus de ses voisins. L'indice $I$ de Moran calculé sur les résidus avec une matrice de voisinage, fourni par \texttt{traite.hedonique.moran\_i}, en est le test de base ; le \cref{ch:19} en fait le point de départ des modèles spatiaux.
++
++\section{Exemple intégral : les 600 ventes du cas 1}\label{sec:18:exemple}
++
++\begin{synthetique}
++Les 600 ventes du cas 1 (\texttt{data/synthetic/cas1\_gatineau\_ventes.csv}) sont fictives : elles ont été engendrées par \texttt{analysis/python/traite/synth.py} (graine 20261031) selon une loi déclarée dans \texttt{data/synthetic/README.md}, précisément de la forme semi-logarithmique \eqref{eq:18:semilog}, avec une élasticité de 0,55 pour la superficie habitable, 0,10 pour le terrain, un polynôme d'âge $-0{,}0055\,\text{âge} + 0{,}00003\,\text{âge}^2$, 0,06 par échelon de qualité, 0,035 par place de garage, 0,03 pour le sous-sol fini, 0,02 pour la piscine et pour le cottage à étages, des primes de secteur égales au logarithme du rapport des prix médians publiés par l'APCIQ au troisième trimestre de 2026 à celui de Hull \parencite{apciqgatineaut32026}, un gradient de $-0{,}006$ par kilomètre au-delà de 3 km du centre, une croissance annuelle composée de 4,43 \% dérivée de la variation de la médiane au rôle 2027-2029 de Gatineau \parencite{gatineaurole2027}, et une erreur normale d'écart-type 0,085 ; les prix sont arrondis à \dollars{500}. Ces paramètres sont des hypothèses pédagogiques calibrées sur des ordres de grandeur publics, non des estimations sur données réelles. Leur connaissance est ici un atout : elle permet de vérifier que la méthode retrouve ce qu'elle doit retrouver. Tous les chiffres de cette section sont imprimés par \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py} et vérifiés par \texttt{analysis/python/tests/test\_ch18.py} ; le modèle de référence lui-même est \texttt{traite.cas1.hedonique}, partagé avec les \cref{ch:17,ch:19,ch:20,ch:35,ch:37,ch:39,ch:45}.
++\end{synthetique}
++
++\begin{exemple}{Estimation, diagnostics, prix implicites et prédiction du sujet du cas 1}{hedonique-cas1}
++L'exemple procède en cinq étapes : estimation du modèle de référence et confrontation aux paramètres de génération ; diagnostics ; comparaison des formes fonctionnelles et des variantes ; prix implicites au sujet ; prédiction et intervalle.
++
++\emph{Étape 1 : le modèle de référence.} Le \cref{tab:18:resultats} présente l'estimation par MCO de l'\cref{eq:18:semilog} avec les régresseurs du \cref{tab:18:variables} sur les 600 ventes, erreurs-types HC1. Le modèle compte 16 paramètres, explique 85,3 \% de la variance du logarithme des prix ($R^2$ ajusté de 0,849) et laisse un écart-type résiduel $\hat\sigma = 0{,}083$, à comparer à l'écart-type de 0,085 de l'erreur de génération : la part inexpliquée est, comme il se doit, le bruit de transaction et rien d'autre. Tous les coefficients ont le signe attendu et quinze des quinze paramètres de génération tombent dans l'intervalle de confiance à 95 \% de leur estimation. L'élasticité de la superficie habitable est estimée à 0,539 (erreur-type 0,013) pour une vraie valeur de 0,55 ; celle du terrain à 0,094 pour 0,10 ; l'échelon de qualité à 0,061 pour 0,06 ; la place de garage à 0,032 pour 0,035. La croissance mensuelle implicite, $\exp(0{,}00364) - 1 = 0{,}364$ \%, correspond à 4,46 \% par année composée, pour une vraie valeur de 4,43 \%. Les coefficients les moins précis sont ceux des secteurs de Buckingham et de Masson-Angers (erreurs-types de 0,07), qui ne comptent que 42 et 47 ventes et dont la distance au centre est presque constante, et celui de la distance au centre elle-même ($-0{,}0036$, erreur-type 0,0027), dont le \cref{tab:18:diagnostics} expliquera l'imprécision. La constante, 13,207, est le logarithme du prix prédit pour la maison de référence : $\exp(13{,}207) = \dollars{544400}$ pour un plain-pied neuf de \msq{140} sur \msq{560} à Hull, de qualité 3, sans équipement, au 1\ier{} juillet 2024.
++
++\emph{Étape 2 : diagnostics.} La \cref{fig:18:diagnostics} et le \cref{tab:18:diagnostics} rassemblent les examens de la \cref{sec:18:estimation}. Les résidus sont centrés et de dispersion stable sur toute l'étendue des valeurs ajustées ; le test de Breusch--Pagan ne rejette pas l'homoscédasticité ($\mathit{LM} = 16{,}1$ pour 15 degrés de liberté, $p = 0{,}38$), et les erreurs-types HC1 sont donc très proches des erreurs-types classiques. Le diagramme quantile-quantile est rectiligne ; l'asymétrie vaut $-0{,}07$, l'aplatissement 2,75 et la statistique de Jarque--Bera 2,1 ($p = 0{,}35$). Ces résultats sont ceux que l'on attend de données engendrées par une loi normale ; sur des données réelles, l'évaluateur observe presque toujours des queues plus épaisses et une dispersion qui croît pour les biens les plus chers. Les facteurs d'inflation de la variance sont inférieurs à 2 pour toutes les caractéristiques physiques, mais atteignent 11,9 pour l'âge et son carré, 8,0 pour Aylmer, 30 et 28 pour Buckingham et Masson-Angers, et 43,7 pour la distance au centre : c'est la colinéarité structurelle décrite plus haut, puisque la distance au centre au-delà de 3 km n'est positive, dans ce jeu, que pour les ventes des secteurs périphériques, dont les indicatrices absorbent déjà l'essentiel de l'écart de prix. Elle explique l'imprécision du coefficient de distance sans invalider le modèle : la somme des effets « secteur plus distance » est, elle, bien estimée, et c'est elle qui compte pour la prédiction. La plus grande distance de Cook vaut 0,022, pour une vente de Buckingham (G0541 : \msq{119}, 11 ans, \dollars{503000}, un prix élevé pour le secteur) ; 29 ventes dépassent le seuil $4/n = 0{,}0067$, aucune n'est aberrante, et le retrait de toutes les 29 ne déplacerait la prédiction du sujet que de \dollars{1081} (\cref{tab:18:sensibilite}). Enfin l'indice de Moran des résidus, calculé sur les huit plus proches voisins, vaut $-0{,}013$ ($z = -0{,}59$, $p = 0{,}56$) : aucune autocorrélation spatiale, ce qui est attendu puisque la loi de génération ne contient aucun effet spatial au-delà des secteurs et du gradient ; le \cref{ch:19} montrera, sur ce même jeu, ce que donnent les modèles spatiaux lorsqu'il n'y a rien à trouver, et ce qu'ils donnent lorsqu'il y a quelque chose.
++
++\emph{Étape 3 : formes fonctionnelles et variantes.} Le \cref{tab:18:variantes} compare six spécifications estimées sur les mêmes 600 ventes. Comme les variables dépendantes diffèrent, la comparaison porte sur l'erreur quadratique moyenne de prédiction en dollars, après retransformation, et sur le coefficient de dispersion (COD) des rapports prédit/observé défini à la \cref{sec:18:masse}. La forme linéaire est la moins bonne (erreur quadratique moyenne de \dollars{40973}, COD de 6,83) et prédit le sujet à \dollars{615985}, soit \dollars{22000} de moins que la semi-log : elle attribue un prix constant de \parmsq{1798} au mètre carré habitable, trop élevé pour les petites maisons et trop faible pour les grandes, et son erreur n'est pas homoscédastique en dollars. La forme log-log, qui remplace le polynôme d'âge par $\ln(1 + \text{âge})$, fait presque aussi bien que la semi-log (COD 6,74) mais sa courbe d'âge, contrainte à être monotone, prédit le sujet \dollars{10700} plus bas. La transformation de Box--Cox estime $\hat\lambda = 0{,}157$ avec un intervalle de confiance à 95 \% de $[-0{,}036 ; 0{,}353]$ : la valeur $\lambda = 0$ (semi-log) n'est pas rejetée (rapport de vraisemblance 2,5 contre un seuil de 3,84) tandis que $\lambda = 1$ (linéaire) l'est massivement (rapport de 66) ; la \cref{fig:18:formes} montre que les quatre courbes de prix selon la superficie coïncident entre 120 et \msq{200}, où se trouvent la plupart des ventes, et se séparent aux extrémités, où l'on ne devrait de toute façon pas prédire. La variante \emph{sans secteurs} illustre l'\cref{eq:18:omission} : le $R^2$ chute à 0,766, $\hat\sigma$ monte à 0,104, le coefficient de la distance au centre passe de $-0{,}0036$ à $-0{,}0117$ par kilomètre parce qu'il doit porter seul l'écart de prix des secteurs périphériques, celui du terrain tombe de 0,094 à 0,042 parce que les grands terrains sont concentrés dans les secteurs les moins chers, et la prédiction du sujet grimpe à \dollars{664342}, soit 4,1 \% de trop, parce que Hull, secteur de référence, n'est plus distingué des autres. La variante à \emph{indicatrices trimestrielles} remplace la tendance linéaire par quinze indicatrices (2023T1 en référence) : le $R^2$ ajusté est identique (0,849), ce qui signifie que la tendance linéaire était une description suffisante du marché synthétique, mais la prédiction du sujet monte à \dollars{649980} parce que le dernier trimestre observé (2026T3, 22 ventes seulement) se situe 5 \% au-dessus de la tendance avec un intervalle de confiance de $\pm 3{,}6$ \%. La \cref{fig:18:indice} oppose les deux lectures du temps : l'indice trimestriel oscille autour de la tendance avec des écarts absolus moyens de 2,6 \% et un écart maximal de 5,0 \%, et le lecteur comprend pourquoi l'évaluateur préfère souvent une tendance lissée à un indice de période dont le dernier point, celui qui compte pour l'ajustement de conditions du marché, est aussi le moins précis. Le \cref{ch:35} reprend cette question.
++
++\emph{Étape 4 : prix implicites au sujet.} Le sujet est le cottage de \msq{165} sur \msq{620} construit en 1998 à Hull, de qualité 3, avec garage simple et sous-sol fini, évalué au 1\ier{} septembre 2026 ; sa prédiction corrigée est $\hat P_s = \dollars{637953}$ (étape 5). Le \cref{tab:18:prix-implicites} et la \cref{fig:18:prix-implicites} convertissent les coefficients du \cref{tab:18:resultats} en dollars au sujet par les formules du \cref{tab:18:formes} : pour une variable continue entrée en logarithme, $p_k = \hat\beta_k \hat P_s / x_{sk}$ ; pour l'âge, $p = (\hat\beta_{\text{âge}} + 2\hat\beta_{\text{âge}^2}\,\text{âge}/100)\hat P_s$ ; pour une indicatrice, l'\cref{eq:18:hp}. Le mètre carré habitable supplémentaire vaut \parmsq{2084} au sujet, le mètre carré de terrain \parmsq{96}, une année d'âge de plus retranche \dollars{2308} à 28 ans (et seulement \dollars{1263} à 60 ans, où la courbe s'aplatit), un mois de marché ajoute \dollars{2319}, un échelon de qualité \dollars{40182}, une place de garage \dollars{21031}, le sous-sol fini \dollars{14183}, une piscine \dollars{17023}, le passage d'un plain-pied à un cottage \dollars{19502}, et le même immeuble situé à Aylmer plutôt qu'à Hull vaudrait \dollars{56886} de plus. La correction de Kennedy \eqref{eq:18:kennedy} ne déplace aucun de ces montants de plus de \dollars{200}, sauf celui d'Aylmer (\dollars{186} sur \dollars{56886}), parce que les erreurs-types sont faibles. Ce sont exactement les prix implicites que le \cref{ch:17} a appliqués, sous forme de différences finies $P_j[\exp(\hat\beta_k \Delta x_k) - 1]$, pour ajuster les cinq comparables du \cref{ch:16} ; la fonction \texttt{traite.cas1.ajustements\_hedoniques} en fait la cascade. Deux lectures de la figure s'imposent. D'abord, les barres d'erreur, qui ne tiennent compte que de l'incertitude des coefficients (méthode delta avec les erreurs-types HC1, $\hat P_s$ étant tenu pour fixe), sont étroites pour la superficie, la qualité et le marché, larges pour les équipements rares et très larges pour la localisation : c'est l'ordre dans lequel les ajustements de la grille sont fiables. Ensuite, la somme des prix implicites de tous les attributs du sujet ne reconstitue pas son prix : la constante, c'est-à-dire la maison de référence, en porte l'essentiel, et les prix implicites ne décrivent que les écarts.
++
++\emph{Étape 5 : prédiction et intervalle.} La prédiction du logarithme vaut $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$ et son exponentielle \dollars{635821}. Cette exponentielle estime la médiane du prix, non son espérance ; la \cref{sec:18:prediction} explique pourquoi et comment la corriger. Le facteur de Duan, moyenne des exponentielles des 600 résidus, vaut 1,00335, et la prédiction corrigée $\hat P_s = \dollars{637953}$ ; le facteur log-normal $\exp(\hat\sigma^2/2) = 1{,}00345$ donnerait \dollars{638016}, soit \dollars{63} de plus. La variance de l'erreur de prédiction du logarithme est $\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s = 0{,}00689 + 0{,}00010 = 0{,}00700$ : l'incertitude d'estimation des coefficients n'en représente que 1,5 \%, le reste étant le bruit de transaction que le modèle ne peut pas réduire. L'écart-type de prédiction est de 0,0836 et l'intervalle de prédiction à 95 \%, retransformé, va de \dollars{539682} à \dollars{749087}, soit de $-15{,}4$ \% à $+17{,}4$ \% autour de la prédiction ; l'intervalle à 80 \% va de \dollars{571192} à \dollars{707764}. Ces bornes ne disent pas que la valeur marchande est incertaine à $\pm 16$ \% : elles disent que le \emph{prix} auquel le sujet se vendrait est incertain dans cette mesure, la valeur marchande étant le centre de cette distribution. Le \cref{ch:20} distingue ces deux incertitudes et le \cref{ch:39} en donne la version bayésienne. La \cref{fig:18:predit-observe} situe les cinq comparables du \cref{ch:16} dans le nuage des prix prédits et observés : quatre d'entre eux se sont vendus de 8 à 15 \% \emph{sous} leur prix prédit (résidus de $-0{,}161$ pour G0404, $-0{,}104$ pour G0468, $-0{,}111$ pour G0477, $-0{,}084$ pour G0575 ; $+0{,}007$ pour G0574), pour une moyenne de $-8{,}7$ \%. C'est la raison pour laquelle la moyenne des prix ajustés du \cref{ch:17}, autour de \dollars{582000}, est inférieure à la prédiction hédonique de \dollars{637953} : les comparables les plus proches du sujet dans l'espace des attributs se trouvent être, dans ce jeu synthétique, des ventes dont le bruit de transaction était négatif, et rien dans leurs caractéristiques observées ne le laissait prévoir. Le \cref{ch:20} tranchera entre les deux indications ; retenons ici que l'écart n'est pas une incohérence des méthodes, mais la manifestation, sur cinq observations, de l'écart-type résiduel de 8 \% que la régression mesure sur six cents.
++\end{exemple}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Modèle hédonique de référence du cas 1 : MCO semi-log sur 600 ventes, erreurs-types HC1, et paramètres de génération (données synthétiques)}\label{tab:18:resultats}
++\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=-2.4] S[table-format=1.4] S[table-format=-3.1] S[table-format=-2.2] S[table-format=-1.4]@{}}
++\toprule
++Variable & {Coefficient $\hat\beta$} & {E.-t. HC1} & {$t$} & {Effet (\%)} & {Paramètre vrai} \\
++\midrule
++Constante & 13.2074 & 0.0138 & 959.3 & {---} & {---} \\
++ln(superficie habitable / 140 m²) & 0.5391 & 0.0127 & 42.4 & {élast.} & 0.5500 \\
++ln(terrain / 560 m²) & 0.0937 & 0.0110 & 8.5 & {élast.} & 0.1000 \\
++Âge (années) & -0.0051 & 0.0006 & -9.1 & -0.51 & -0.0055 \\
++Âge² / 100 & 0.0026 & 0.0006 & 4.1 & 0.26 & 0.0030 \\
++Qualité (écart à 3) & 0.0611 & 0.0042 & 14.4 & 6.30 & 0.0600 \\
++Garage (places) & 0.0324 & 0.0050 & 6.5 & 3.30 & 0.0350 \\
++Sous-sol fini & 0.0220 & 0.0069 & 3.2 & 2.22 & 0.0300 \\
++Piscine & 0.0263 & 0.0084 & 3.1 & 2.67 & 0.0200 \\
++À étages & 0.0301 & 0.0069 & 4.4 & 3.06 & 0.0200 \\
++Distance au centre au-delà de 3 km (km) & -0.0036 & 0.0027 & -1.3 & -0.36 & -0.0060 \\
++Secteur Gatineau & -0.0223 & 0.0146 & -1.5 & -2.21 & -0.0215 \\
++Secteur Aylmer & 0.0854 & 0.0231 & 3.7 & 8.92 & 0.1096 \\
++Secteur Buckingham & -0.2504 & 0.0718 & -3.5 & -22.15 & -0.1844 \\
++Secteur Masson-Angers & -0.2631 & 0.0672 & -3.9 & -23.14 & -0.2044 \\
++Mois depuis le 1\ier{} juillet 2024 & 0.0036 & 0.0003 & 13.5 & 0.36 & 0.0036 \\
++\midrule
++\multicolumn{6}{@{}l}{$n = 600$ ; $k = 16$ ; $R^2 = 0{,}853$ ; $R^2$ ajusté $= 0{,}849$ ; $\hat\sigma = 0{,}083$ (vrai : 0,085) ; 15 paramètres sur 15 dans l'IC à 95 \%} \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{traite.cas1.hedonique} ; \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Effet (\%) : $100\,[\exp(\hat\beta) - 1]$ pour une unité ; les primes de secteur vraies sont $\ln$(médiane APCIQ du secteur / médiane de Hull), Masson-Angers moins 0,02.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-diagnostics.pdf}
++\caption{Diagnostics du modèle de référence. À gauche, les résidus contre les valeurs ajustées du logarithme du prix, avec la médiane et les premier et neuvième déciles des résidus par décile de valeur ajustée : la dispersion est stable et centrée. À droite, le diagramme quantile-quantile des résidus contre la loi normale : les queues ne s'écartent pas de la droite, ce qui est attendu de données engendrées par une erreur normale.}\label{fig:18:diagnostics}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Diagnostics du modèle de référence (600 ventes, données synthétiques)}\label{tab:18:diagnostics}
++\centering\small
++\begin{tabularx}{\textwidth}{lYY}
++\toprule
++Examen & Résultat & Lecture \\
++\midrule
++Breusch--Pagan (Koenker) & $\mathit{LM} = 16{,}09$, 15 ddl, $p = 0{,}38$ & homoscédasticité non rejetée ; HC1 $\approx$ classique \\
++Jarque--Bera & 2,11, $p = 0{,}35$ ; asymétrie $-0{,}07$ ; aplatissement 2,75 & normalité acceptable ; 7,0 \% des résidus dépassent 0,15 en valeur absolue \\
++Étendue des résidus & $-0{,}238$ à $+0{,}224$ & aucune vente hors de $\pm 3\hat\sigma$ \\
++VIF, caractéristiques physiques & 1,02 à 1,71 & aucune colinéarité \\
++VIF, âge et âge² & 11,9 et 11,8 & structurelle (polynôme) ; sans conséquence pour la prédiction \\
++VIF, secteurs et distance & Gatineau 4,2 ; Aylmer 8,0 ; Buckingham 30,3 ; Masson-Angers 28,0 ; distance 43,7 & structurelle : la distance au-delà de 3 km n'est positive qu'en périphérie ; l'effet joint est bien estimé \\
++Distances de Cook & max 0,022 (G0541) ; 29 ventes $> 4/n = 0{,}0067$ & aucune observation dominante ; retrait des 29 : prédiction du sujet $-\dollars{1081}$ \\
++Moran des résidus (8 voisins) & $I = -0{,}013$, $z = -0{,}59$, $p = 0{,}56$ & pas d'autocorrélation spatiale (\cref{ch:19}) \\
++\bottomrule
++\end{tabularx}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}.}
++\end{table}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Six spécifications estimées sur les 600 ventes du cas 1 : ajustement, erreur de prédiction en dollars, statistiques de ratio et prédiction du sujet (données synthétiques)}\label{tab:18:variantes}
++\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{3.5pt}
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=2.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.3] S[table-format=5.0] S[table-format=1.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] S[table-format=6.0]@{}}
++\toprule
++Spécification & {$k$} & {$R^2$} & {$R^2$ aj.} & {EQM (\$)} & {COD} & {PRD} & {PRB} & {Sujet (\$)} \\
++\midrule
++Semi-log (référence) & 16 & 0.853 & 0.849 & 39907 & 6.68 & 1.007 & -0.058 & 637953 \\
++Linéaire & 16 & 0.839 & 0.835 & 40973 & 6.83 & 1.006 & -0.042 & 615985 \\
++Log-log (âge en logarithme) & 15 & 0.847 & 0.843 & 40662 & 6.74 & 1.007 & -0.061 & 627260 \\
++Box--Cox, $\hat\lambda = 0{,}157$ [$-0{,}036$ ; 0,353] & 16 & 0.853 & 0.849 & 39844 & 6.65 & 1.007 & -0.059 & 635171 \\
++Semi-log sans indicatrices de secteur & 12 & 0.766 & 0.762 & 50379 & 8.16 & 1.010 & -0.100 & 664342 \\
++Semi-log, indicatrices trimestrielles & 29 & 0.856 & 0.849 & 39587 & 6.57 & 1.006 & -0.056 & 649980 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Le $R^2$ n'est comparable qu'entre modèles de même variable dépendante ; EQM : racine de l'erreur quadratique moyenne des prix prédits (retransformés avec correction de Duan) ; COD, PRD, PRB : \cref{sec:18:masse}, calculés sur l'échantillon d'estimation.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-formes.pdf}
++\caption{Prix prédit selon la superficie habitable, pour un logement ayant les autres attributs du sujet, sous quatre formes fonctionnelles estimées sur les 600 ventes ; les points sont les ventes de cottages du secteur de Hull. Les formes coïncident là où les données sont denses et divergent aux extrémités ; la forme linéaire est la seule à s'écarter nettement au centre.}\label{fig:18:formes}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-indice.pdf}
++\caption{Deux représentations du temps dans le modèle : l'indice trimestriel obtenu par quinze indicatrices (avec intervalle de confiance à 95 \%, HC1) et la tendance linéaire du modèle de référence (0,36 \% par mois), base 2023T1 = 100 ; le nombre de ventes par trimestre figure sous l'axe. Le dernier trimestre, qui gouverne l'ajustement de conditions du marché, est le moins précis.}\label{fig:18:indice}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Prix implicites au sujet du cas 1 dérivés du modèle de référence, $\hat P_s = \dollars{637953}$ (données synthétiques)}\label{tab:18:prix-implicites}
++\centering\footnotesize\setlength{\tabcolsep}{4pt}
++\begin{tabular}{@{}l l S[table-format=-1.4] S[table-format=-5.0] S[table-format=-5.0] S[table-format=5.0]@{}}
++\toprule
++Caractéristique & Unité & {$\hat\beta$} & {Prix implicite} & {Kennedy} & {E.-t. (delta)} \\
++\midrule
++Superficie habitable & \$/m² & 0.5391 & 2084 & {---} & 49 \\
++Superficie du terrain & \$/m² & 0.0937 & 96 & {---} & 11 \\
++Âge, une année de plus (à 28 ans) & \$/an & -0.0036 & -2308 & {---} & 159 \\
++Conditions du marché, un mois & \$/mois & 0.0036 & 2319 & {---} & 172 \\
++Distance au centre (sujet à 2,1 km, dans le plateau) & \$/km & -0.0036 & 0 & {---} & 0 \\
++Qualité, un échelon de plus & \$ & 0.0611 & 40182 & 40176 & 2870 \\
++Garage, une place de plus & \$ & 0.0324 & 21031 & 21022 & 3301 \\
++Sous-sol fini (fini plutôt que non fini) & \$ & 0.0220 & 14183 & 14168 & 4514 \\
++Piscine (ajout) & \$ & 0.0263 & 17023 & 16999 & 5533 \\
++Cottage à étages plutôt que plain-pied & \$ & 0.0301 & 19502 & 19486 & 4517 \\
++Secteur Aylmer plutôt que Hull & \$ & 0.0854 & 56886 & 56701 & 16076 \\
++Secteur Gatineau plutôt que Hull & \$ & -0.0223 & -14070 & -14137 & 9129 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Continues : $\hat\beta \hat P_s$ fois la dérivée de la transformation ; âge : $(\hat\beta_{\text{âge}} + 2\hat\beta_{\text{âge}^2}\,\text{âge}/100)\hat P_s$ ; indicatrices : $\hat P_s[\exp(\hat\beta) - 1]$ et correction de Kennedy ; erreur-type par la méthode delta avec HC1, $\hat P_s$ tenu pour fixe.}
++\end{table}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-prix-implicites.pdf}
++\caption{Prix implicites au sujet du cas 1, en milliers de dollars, pour des variations typiques de chaque caractéristique (10 m² habitables, 100 m² de terrain, 10 années d'âge, 12 mois de marché, un échelon, une place, une indicatrice), avec des barres d'erreur de $\pm 1{,}96$ erreur-type HC1. La localisation est l'ajustement le plus important et le moins précis.}\label{fig:18:prix-implicites}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=0.92\textwidth]{ch18/ch18-fig-predit-observe.pdf}
++\caption{Prix prédit par le modèle de référence (avec correction de Duan) contre prix observé pour les 600 ventes du cas 1, avec la diagonale et les bandes à $\pm 2\hat\sigma$ ($\pm 18$ \%). Les cinq comparables retenus au chapitre 16 sont encerclés : quatre se situent nettement au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire qu'ils se sont vendus sous leur prix prédit.}\label{fig:18:predit-observe}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\begin{figure}[htbp]
++\centering
++\includegraphics[width=\textwidth]{ch18/ch18-fig-surface.pdf}
++\caption{Surface du prix prédit (milliers de dollars) selon la superficie habitable et l'âge du bâtiment, les autres attributs étant ceux du sujet (étoile). Les courbes de niveau se resserrent vers la gauche, où le mètre carré vaut plus cher, et s'espacent vers le haut, où la dépréciation annuelle diminue.}\label{fig:18:surface}
++\figsource{\synth{script \texttt{analysis/python/figures/ch18\_figures.py}, graine 20261031}.}
++\end{figure}
++
++\section{Prédiction, retransformation et intervalle}\label{sec:18:prediction}
++
++\subsection{Pourquoi l'exponentielle de la prédiction sous-estime l'espérance}
++
++Le modèle semi-logarithmique prédit $\ln P$, et l'évaluateur veut $P$. Si $\ln P_s = \mathbf{x}_s\T\boldsymbol\beta + \varepsilon_s$ avec $\E[\varepsilon_s] = 0$, alors
++\begin{equation}\label{eq:18:retransformation}
++\E[P_s \mid \mathbf{x}_s] = \exp(\mathbf{x}_s\T\boldsymbol\beta)\;\E[\exp(\varepsilon_s)] ,
++\end{equation}
++et, par l'inégalité de Jensen, $\E[\exp(\varepsilon)] > \exp(\E[\varepsilon]) = 1$ dès que $\varepsilon$ n'est pas dégénéré. L'exponentielle de la prédiction du logarithme estime donc la \emph{médiane} conditionnelle du prix, pas sa moyenne, et sous-estime celle-ci d'un facteur qui croît avec la variance résiduelle. Si $\varepsilon$ est normale de variance $\sigma^2$, le facteur vaut exactement $\exp(\sigma^2/2)$ : 1,0035 pour $\sigma = 0{,}083$, mais 1,02 pour $\sigma = 0{,}20$ et 1,05 pour $\sigma = 0{,}30$, des ordres de grandeur courants sur des marchés hétérogènes ou des données mal nettoyées. \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981} ont traité ce biais pour les coefficients ; pour la prédiction, Duan (1983) a proposé l'estimateur non paramétrique dit de lissage (\emph{smearing})\footnote{Duan, N. (1983), « Smearing Estimate: A Nonparametric Retransformation Method », \emph{Journal of the American Statistical Association}, 78(383), 605-610 ; DOI 10.1080/01621459.1983.10478017 (vérifié ; \texttt{lib-ch18.bib}).},
++\begin{equation}\label{eq:18:duan}
++\hat P_s = \exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta}) \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \exp(\hat\varepsilon_i) ,
++\end{equation}
++qui remplace l'espérance inconnue de $\exp(\varepsilon)$ par sa moyenne empirique sur les résidus et ne suppose ni la normalité ni une forme particulière de la distribution. Il coïncide avec $\exp(\hat\sigma^2/2)$ lorsque les résidus sont normaux, ce qui est le cas de l'exemple (1,00335 contre 1,00345), et s'en écarte sinon ; il suppose en revanche l'homoscédasticité, et en présence d'hétéroscédasticité le facteur doit être calculé par segment. La convention de l'ouvrage applique la correction de Duan à toute prédiction en niveau issue d'un modèle en logarithme, et \texttt{traite.cas1.predire} l'implémente. La question « médiane ou moyenne ? » n'est pas que technique : la définition professionnelle de la valeur marchande parle du prix « le plus probable », que l'on peut lire comme un mode ou une médiane, tandis que le cadre de l'espérance conditionnelle du \cref{ch:16} vise la moyenne ; pour des erreurs symétriques en logarithme, la différence est de l'ordre de $\sigma^2/2$, négligeable ici, et l'évaluateur la déclare lorsqu'elle ne l'est pas.
++
++\subsection{L'intervalle de prédiction}
++
++L'erreur de prédiction du logarithme pour un nouveau logement a deux composantes indépendantes : l'erreur d'estimation des coefficients, de variance $\mathbf{x}_s\T V(\hat{\boldsymbol\beta})\mathbf{x}_s$, et le bruit de transaction propre à la vente future, de variance $\sigma^2$. Sous normalité, l'intervalle de prédiction au niveau $1 - a$ pour $\ln P_s$ est $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} \pm z_{1-a/2}\sqrt{\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s}$ et, retransformé,
++\begin{equation}\label{eq:18:intervalle}
++\left[\exp\!\left(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} - z_{1-a/2}\, s_p\right),\ \exp\!\left(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} + z_{1-a/2}\, s_p\right)\right], \qquad s_p = \sqrt{\hat\sigma^2 + \mathbf{x}_s\T\hat V_{\text{HC1}}\mathbf{x}_s} ,
++\end{equation}
++un intervalle asymétrique en dollars, plus long vers le haut. C'est ce que calcule \texttt{traite.cas1.intervalle\_prediction}. Trois remarques en gouvernent l'usage. D'abord, la seconde composante domine presque toujours : avec six cents ventes, l'incertitude sur les coefficients ne pèse que 1,5 \% de la variance de prédiction au sujet, et aucun ajout de données ne réduira sensiblement l'intervalle, parce que ce qu'il mesure est la dispersion des prix du marché à caractéristiques données. Ensuite, l'intervalle s'élargit lorsque le sujet s'éloigne du centre du nuage des ventes, par le terme $\mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s$ ; un sujet atypique reçoit un intervalle plus large, ce qui est l'expression quantitative de la mise en garde du \cref{ch:16} contre les biens sans substituts. Enfin, l'intervalle de prédiction n'est pas un intervalle de confiance pour la valeur marchande : celui-ci, qui porte sur $\E[P_s \mid \mathbf{x}_s]$, ne contiendrait que la première composante et serait, ici, dix fois plus étroit (de l'ordre de $\pm 2$ \%). La distinction, souvent confondue dans les rapports, est développée au \cref{ch:20}.
++
++\section{Évaluation de masse et statistiques de ratio}\label{sec:18:masse}
++
++\subsection{Du modèle à l'évaluation de masse}
++
++Lorsque le même modèle sert à estimer des milliers de valeurs à une date de référence commune, on parle d'\motcle{évaluation de masse} (en anglais \emph{mass appraisal}) et, lorsque le processus est automatisé de bout en bout, de modèle d'évaluation automatisé (\emph{automated valuation model}, AVM). Le modèle hédonique en est l'outil central depuis les travaux de \textcite{gloudemans1999} et le manuel de \textcite{gloudemansAlmy2011}, et l'IAAO lui consacre deux normes, le \emph{Standard on Mass Appraisal of Real Property} \parencite{iaaomass2025} et le \emph{Standard on Automated Valuation Models} \parencite{iaaoavm2018}, qui renvoient toutes deux au \emph{Standard on Ratio Studies} \parencite{iaaoratio2013} pour la mesure de la qualité. La différence avec l'évaluation individuelle n'est pas dans l'équation mais dans l'objectif : le modèle de masse doit être juste \emph{en moyenne} et \emph{uniformément} sur l'ensemble du parc, non précis pour un sujet donné, et il doit l'être à une date de référence passée plutôt qu'à la date du rapport. Le \cref{ch:9} expose le cadre québécois du rôle d'évaluation foncière ; cette section en présente les instruments de mesure et les applique au modèle de l'exemple.
++
++\subsection{COD, PRD et PRB}
++
++Une \motcle{étude de ratios} compare, pour un échantillon de ventes, la valeur estimée $V_i$ au prix $P_i$ par le ratio $r_i = V_i / P_i$. Le niveau d'évaluation est mesuré par la médiane des ratios ; l'uniformité horizontale, c'est-à-dire la dispersion des ratios entre immeubles semblables, par le \motcle{coefficient de dispersion} (COD),
++\begin{equation}\label{eq:18:cod}
++\mathit{COD} = \frac{100}{\tilde r}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\abs{r_i - \tilde r} ,
++\end{equation}
++où $\tilde r$ est la médiane ; et l'uniformité verticale, c'est-à-dire l'absence de tendance des ratios selon le niveau de valeur, par le \motcle{différentiel relatif aux prix} (PRD),
++\begin{equation}\label{eq:18:prd}
++\mathit{PRD} = \frac{\bar r}{\sum_i V_i / \sum_i P_i} ,
++\end{equation}
++rapport de la moyenne simple des ratios à leur moyenne pondérée par les prix, et par le \motcle{biais relatif aux prix} (PRB), pente de la régression de $(r_i - \tilde r)/\tilde r$ sur le logarithme en base 2 d'une valeur de référence $\tfrac{1}{2}(V_i/\tilde r + P_i)$ :
++\begin{equation}\label{eq:18:prb}
++\frac{r_i - \tilde r}{\tilde r} = a + \mathit{PRB}\cdot\log_2\!\left(\frac{V_i/\tilde r + P_i}{2}\right) + u_i .
++\end{equation}
++Un PRD supérieur à 1 ou un PRB négatif signalent une évaluation \emph{régressive}, où les biens chers sont relativement sous-évalués ; le PRB a l'avantage de s'exprimer en pourcentage de variation du ratio par doublement de la valeur et d'être assorti d'une erreur-type. Les trois statistiques sont fournies par \texttt{traite.hedonique.statistiques\_ratio}. Le \emph{Standard on Ratio Studies} de l'IAAO fixe les plages acceptables rappelées au \cref{tab:18:ratios} : un COD de 5,0 à 10,0 pour le résidentiel unifamilial de secteurs récents ou homogènes et de 5,0 à 15,0 pour les secteurs anciens ou hétérogènes, un niveau d'évaluation entre 0,90 et 1,10, un PRD entre 0,98 et 1,03 et un PRB entre $-0{,}05$ et $+0{,}05$, un intervalle de confiance à 95 \% du PRB entièrement hors de $[-0{,}10 ; 0{,}10]$ indiquant une iniquité verticale inacceptable ; la norme précise aussi qu'un COD inférieur à 5,0 peut indiquer une « poursuite des ventes » (\emph{sales chasing}), c'est-à-dire des valeurs ajustées sur les prix des ventes connues \parencite{iaaoratio2013}. Ces plages datent de l'édition approuvée en avril 2013 ; la page de l'IAAO indiquait, à la date de consultation, qu'une révision était en cours de finalisation.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Statistiques de ratio du modèle de référence et du rôle fictif du cas 1, et plages de l'IAAO pour le résidentiel unifamilial}\label{tab:18:ratios}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=1.3] S[table-format=2.2] S[table-format=1.3] S[table-format=-1.3] l@{}}
++\toprule
++Ensemble & {Médiane} & {COD} & {PRD} & {PRB} & Remarque \\
++\midrule
++Modèle de référence, échantillon d'estimation ($n = 600$) & 0.997 & 6.68 & 1.007 & -0.058 & PRB mécaniquement négatif (voir texte) \\
++Modèle de référence, validation croisée à 10 plis & 0.997 & 6.83 & 1.007 & -0.059 & erreur absolue médiane 5,7 \% \\
++Rôle fictif 2025 / prix ramenés au 1\ier{} juillet 2024 & 0.925 & 6.12 & 0.999 & 0.064 & rôle généré à $0{,}93 \times$ valeur, $\sigma = 0{,}07$ \\
++Rôle fictif 2025 / prix bruts (sans rajustement temporel) & 0.914 & 6.90 & 1.002 & 0.033 & la tendance gonfle le COD \\
++\midrule
++Plage IAAO, unifamilial, secteurs récents ou homogènes & {0,90--1,10} & {5,0--10,0} & {0,98--1,03} & {$\pm 0{,}05$} & Standard on Ratio Studies, table 1-3 et §~9.2 \\
++Plage IAAO, unifamilial, secteurs anciens ou hétérogènes & {0,90--1,10} & {5,0--15,0} & {0,98--1,03} & {$\pm 0{,}05$} & idem \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}} ; plages : \textcite{iaaoratio2013}, consulté le 31 octobre 2026 (copie 2013 ; révision annoncée).}
++\end{table}
++
++Appliquées au modèle de référence, ces statistiques donnent un COD de 6,68 sur l'échantillon d'estimation et de 6,83 en validation croisée à dix plis, c'est-à-dire lorsque chaque vente est prédite par un modèle estimé sans elle : le modèle est à peine moins bon hors échantillon qu'en échantillon, ce qui est le signe d'une spécification parcimonieuse, et il se situe dans la plage la plus exigeante de l'IAAO. Le PRD de 1,007 est dans la plage. Le PRB de $-0{,}058$ (erreur-type 0,011) est, lui, légèrement en deçà de $-0{,}05$, et le lecteur doit comprendre pourquoi avant d'y voir un défaut : la variable de référence de l'\cref{eq:18:prb} contient le prix de vente, qui contient le bruit de transaction $\varepsilon_i$ ; une vente conclue au-dessus de ce que ses caractéristiques justifient a un prix élevé \emph{et} un ratio faible, ce qui crée une corrélation négative mécanique entre le ratio et la valeur de référence même pour un modèle parfaitement spécifié. Sur des données synthétiques où le modèle est connu pour être sans biais, ce PRB négatif mesure cet artefact, dont l'ampleur croît avec $\sigma$ ; sur des données réelles, l'analyste doit le garder à l'esprit avant de conclure à une régressivité, et la norme elle-même invite à interpréter le PRB avec son intervalle de confiance.
++
++La troisième ligne du tableau applique les mêmes statistiques à la valeur au rôle fictive du jeu (\texttt{valeur\_role\_2025}), qui a été engendrée comme 93 \% de la valeur à la date de référence du 1\ier{} juillet 2024 avec un bruit d'écart-type 0,07, en ramenant d'abord chaque prix de vente à cette date par la tendance du modèle ($P_i \exp(-\hat\beta_{\text{mois}}\,\text{mois}_i)$), comme le prescrit le Règlement sur la proportion médiane pour les ventes qui ne sont pas contemporaines de la date de référence \parencite[art.~11--12]{reglpropmed}. La médiane des ratios est de 0,925, le COD de 6,12, le PRD de 0,999 et le PRB de $+0{,}064$ : un rôle uniforme mais sous-évalué de 7,5 \%, ce qui est précisément ce que la loi de génération a construit. Sans rajustement temporel (quatrième ligne), le COD monte à 6,90 parce que la dérive des prix sur trois ans et demi s'ajoute à la dispersion des ratios : c'est l'illustration de la raison pour laquelle les études de ratios ramènent les prix à la date de référence avant toute comparaison. Pour le sujet lui-même, dont la valeur au rôle fictive est de \dollars{468000}, le modèle prédit \dollars{580375} au 1\ier{} juillet 2024, soit un ratio de 0,81, bien en deçà de la médiane de 0,925 du rôle fictif : le dossier de contestation du \cref{ch:9} part de ce constat.
++
++\begin{quebec}[La proportion médiane et l'uniformité du rôle]
++Le cadre québécois formalise, pour le rôle d'évaluation foncière, des mesures voisines de celles de l'IAAO. L'article 264 de la Loi sur la fiscalité municipale prévoit que l'évaluateur établit « à quelle proportion médiane de la valeur foncière réelle des unités d'évaluation correspondent les valeurs inscrites au rôle », ainsi que le facteur comparatif, inverse de cette proportion \parencite[art.~264]{lfm}. Le Règlement sur la proportion médiane du rôle d'évaluation foncière fixe la méthode de l'étude de ratios : ventes d'au moins \dollars{5000} (art.~2), liste de base d'au moins trente ventes (art.~5), ventes du deuxième exercice précédent (art.~6), rajustement des prix aux conditions du marché au 1\ier{} juillet de cet exercice (art.~11-12), épuration des ratios situés à plus de deux écarts-types de la médiane (art.~15-16), puis médiane des ratios restants (art.~18-19) \parencite{reglpropmed}. Le Règlement sur le rôle d'évaluation foncière exige qu'après équilibration la proportion médiane soit « d'au moins 95 \% et d'au plus 105 \% » (art.~13 al.~2) et plafonne l'écart-type relatif à la médiane des ratios, de 14 \% à 36 \% selon l'indice de concentration résidentielle unifamiliale de la municipalité (art.~14 et annexe III) \parencite{reglrole}. Cet écart-type relatif joue le rôle du COD, avec un seuil beaucoup moins exigeant que les plages de l'IAAO, et la proportion médiane celui du niveau d'évaluation, avec une plage de $\pm 5$ \% au lieu de $\pm 10$ \%. Le Manuel d'évaluation foncière du Québec, édition 2026, consacre sa partie 3 au processus d'évaluation, dont la mesure des taux de variation du marché (3A), l'équilibration (3B) et la comparaison (3C), qui mettent en œuvre des modèles de la famille présentée ici \parencite{mefqpartie3} ; son contenu est protégé par le droit d'auteur du gouvernement du Québec et n'est pas reproduit. À titre d'ordre de grandeur, la Ville de Gatineau publie des facteurs comparatifs de 1,00 pour 2024, 0,98 pour 2025 et 1,02 pour 2026 \parencite{gatmutations}, soit des proportions médianes de 100 \%, d'environ 102 \% et d'environ 98 \% : le rôle fictif du cas 1, à 92,5 \%, ne satisferait pas l'exigence de l'article 13 du règlement, et c'est volontaire. Textes consultés sur LégisQuébec et Québec.ca le 31 octobre 2026.
++\end{quebec}
++
++\section{Analyse de sensibilité}\label{sec:18:sensibilite}
++
++La prédiction hédonique du sujet dépend de deux séries de choix : la spécification du modèle et l'échantillon sur lequel il est estimé. Le \cref{tab:18:variantes} a mesuré la première : parmi les spécifications correctement situées en logarithme (semi-log, log-log, Box--Cox, indicatrices trimestrielles), la prédiction du sujet varie de \dollars{627260} à \dollars{649980}, soit un intervalle de $-1{,}7$ \% à $+1{,}9$ \% autour de la référence ; la forme linéaire ($-3{,}4$ \%) et l'omission des secteurs ($+4{,}1$ \%) sortent de cet intervalle, et ce sont précisément les deux spécifications que les diagnostics rejettent. Le \cref{tab:18:sensibilite} mesure la seconde en réestimant la spécification de référence sur six sous-échantillons. Restreindre l'estimation au secteur de Hull (186 ventes) abaisse la prédiction à \dollars{625967} et le $R^2$ à 0,79, non parce que le modèle est moins bon, mais parce qu'un échantillon homogène a moins de variance à expliquer et que les coefficients y sont estimés avec moins de précision ; la restriction aux dix-huit derniers mois (236 ventes) la relève à \dollars{640098} ; les cottages seuls (330 ventes) la ramènent à \dollars{629272} ; le retrait des 29 observations influentes la laisse à \dollars{636872} ; la restriction aux superficies de 110 à \msq{230} donne \dollars{635048}. L'élasticité de la superficie reste comprise entre 0,539 et 0,555 dans tous les cas. L'étendue totale, de \dollars{625967} à \dollars{640098}, est de 2,2 \% : l'incertitude de spécification et d'échantillonnage, pour un modèle bien spécifié estimé sur plusieurs centaines de ventes, est de l'ordre de deux à trois points de pourcentage, soit quatre à huit fois moins que l'intervalle de prédiction individuel de la \cref{sec:18:prediction}, et du même ordre que l'incertitude de sélection des comparables mesurée au \cref{ch:16} (4,4 \%). Le \cref{ch:20} combine ces trois sources.
++
++\begin{table}[htbp]
++\caption{Sensibilité du modèle de référence et de la prédiction du sujet à l'échantillon d'estimation (données synthétiques)}\label{tab:18:sensibilite}
++\centering\small
++\begin{tabular}{@{}l S[table-format=3.0] S[table-format=1.3] S[table-format=1.4] S[table-format=1.3] S[table-format=6.0] S[table-format=-1.1]@{}}
++\toprule
++Échantillon & {$n$} & {$R^2$} & {$\hat\sigma$} & {$\hat\beta_{\ln S}$} & {Sujet (\$)} & {Écart (\%)} \\
++\midrule
++600 ventes (référence) & 600 & 0.853 & 0.0830 & 0.539 & 637953 & 0.0 \\
++Secteur Hull seulement & 186 & 0.793 & 0.0845 & 0.540 & 625967 & -1.9 \\
++Ventes des 18 derniers mois & 236 & 0.850 & 0.0846 & 0.546 & 640098 & 0.3 \\
++Cottages à étages seulement & 330 & 0.847 & 0.0849 & 0.544 & 629272 & -1.4 \\
++Sans les 29 observations influentes (Cook $> 4/n$) & 571 & 0.875 & 0.0748 & 0.540 & 636872 & -0.2 \\
++Superficie habitable de 110 à 230 m² & 495 & 0.813 & 0.0839 & 0.555 & 635048 & -0.5 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\tabsource{\synth{\texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}}. Même spécification que le \cref{tab:18:resultats} ; les indicatrices de secteur constantes dans un sous-échantillon sont omises.}
++\end{table}
++
++\begin{pratique}
++Un modèle hédonique déposé à l'appui d'une conclusion de valeur doit être documenté de façon qu'un tiers puisse le reproduire : source et période des ventes, filtres d'épuration et nombre de ventes retirées à chaque étape (\cref{ch:14,ch:16}), liste des variables et de leurs transformations, tableau des coefficients avec erreurs-types robustes, $R^2$, $\hat\sigma$ et $n$, diagnostics (au minimum le graphique des résidus, le test d'hétéroscédasticité, les VIF et les observations influentes examinées), facteur de retransformation, prédiction du sujet avec son intervalle, et statistiques de ratio en validation croisée. Le script et les données, ou à défaut leur description exacte, font partie du dossier. Un modèle dont on ne peut produire que la prédiction n'est pas une preuve ; c'est une opinion habillée de chiffres.
++\end{pratique}
++
++\begin{erreurs}
++\begin{itemize}
++\item \emph{Lire $100\,\hat\beta$ comme un pourcentage pour une indicatrice de grande ampleur.} Le secteur de Buckingham a un coefficient de $-0{,}250$ : l'effet est de $-22{,}1$ \%, non de $-25$ \% (\cref{eq:18:hp}).
++\item \emph{Comparer les $R^2$ d'un modèle linéaire et d'un modèle en logarithmes.} Les variables dépendantes diffèrent ; on compare des erreurs de prédiction en dollars, des COD ou la vraisemblance de Box--Cox avec son jacobien.
++\item \emph{Retransformer par la simple exponentielle.} Elle estime la médiane, non la moyenne ; l'erreur vaut $\sigma^2/2$, soit 2 \% pour $\sigma = 0{,}20$ (\cref{eq:18:duan}).
++\item \emph{Confondre intervalle de prédiction et intervalle de confiance.} Le premier décrit la dispersion des prix possibles ($\pm 16$ \% ici), le second l'incertitude sur la valeur espérée ($\pm 2$ \%) ; le rapport doit dire lequel il communique.
++\item \emph{Retirer les observations influentes parce qu'elles sont influentes.} On les retire parce que la vérification montre qu'elles ne sont pas des ventes de marché ; sinon on les garde et on le dit.
++\item \emph{Interpréter un VIF élevé comme un défaut du modèle.} La colinéarité entre l'âge et son carré, ou entre un secteur périphérique et la distance, est structurelle ; elle n'affecte ni la prédiction ni l'effet joint, seulement la lecture séparée des coefficients.
++\item \emph{Extrapoler hors du nuage des ventes.} Les formes fonctionnelles s'accordent au centre et divergent aux bords (\cref{fig:18:formes}) ; prédire une maison de \msq{400} avec un modèle estimé sur des maisons de 90 à \msq{260} revient à choisir arbitrairement l'une de ces courbes.
++\item \emph{Transposer des prix implicites d'un marché à un autre.} La fonction de prix est une enveloppe propre à un marché et à une date (\cref{sec:18:fondements}).
++\item \emph{Omettre la localisation faute de données.} L'omission des secteurs a gonflé le gradient de distance de trois fois, divisé par deux l'effet du terrain et surestimé le sujet de 4 \% (\cref{eq:18:omission}).
++\end{itemize}
++\end{erreurs}
++
++\begin{limites}
++\begin{itemize}
++\item Les données du cas 1 sont synthétiques et engendrées par le modèle même que l'on estime, avec une erreur normale, homoscédastique et sans structure spatiale : la concordance remarquable des diagnostics et la couverture de quinze paramètres sur quinze ne doivent pas être lues comme typiques de données réelles, où la forme vraie est inconnue, les erreurs sont hétéroscédastiques et à queues épaisses, des variables sont omises et les résidus sont spatialement corrélés. L'exemple enseigne la méthode, pas l'ordre de grandeur de son erreur sur un marché réel.
++\item Les paramètres de génération sont des hypothèses pédagogiques calibrées sur des médianes publiées par l'APCIQ (source d'industrie) et sur la variation du rôle de Gatineau ; les élasticités et primes ne résultent d'aucune estimation sur des ventes réelles de Gatineau.
++\item Le seuil de 10 pour le VIF et celui de $4/n$ pour la distance de Cook sont des conventions d'usage, non des normes.
++\item Les plages de COD, PRD et PRB citées proviennent de l'édition 2013 du \emph{Standard on Ratio Studies} de l'IAAO, consultée sur une copie tierce ; la page de l'IAAO annonçait une révision en cours. Les seuils québécois (proportion médiane 95-105 \%, écart-type relatif) ont été lus sur LégisQuébec le 31 octobre 2026 ; les facteurs comparatifs de Gatineau proviennent de la page municipale sur les droits de mutation.
++\item Le modèle de référence ignore la dépendance spatiale fine, les interactions entre attributs et localisation \parencite{can1992,desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2007}, les ruptures temporelles et les sous-marchés ; ces extensions relèvent des \cref{ch:19,ch:35,ch:37}.
++\item La prédiction et l'intervalle supposent que le sujet appartient au marché échantillonné et que ses caractéristiques sont mesurées comme celles des ventes (\cref{ch:12,ch:14}) ; un sujet atypique ou mal mesuré n'est pas couvert par l'intervalle calculé.
++\end{itemize}
++\end{limites}
++
++\begin{synthese}
++\begin{itemize}
++\item La fonction de prix hédonique $P(\mathbf{z})$ est l'enveloppe d'équilibre des enchères des acheteurs et des offres des vendeurs ; ses dérivées partielles sont les prix implicites, égaux à la disposition marginale à payer de l'acheteur qui occupe le logement. L'évaluation n'a besoin que de ce premier stade de Rosen : la valeur marchande est $P(\mathbf{z}_s)$ et les ajustements en sont les dérivées.
++\item La forme semi-logarithmique est la spécification par défaut : variance stabilisée, effets proportionnels transportables, robustesse aux variables omises. Les indicatrices se lisent par $\exp(\hat\beta) - 1$, avec la correction de Kennedy si la variance est notable ; la transformation de Box--Cox permet de tester la forme.
++\item Les MCO avec erreurs-types HC1 sont l'estimateur de référence ; les diagnostics obligatoires sont le graphique des résidus et le test de Breusch--Pagan, le diagramme quantile-quantile, les VIF, les distances de Cook et l'indice de Moran des résidus.
++\item Sur les 600 ventes du cas 1, le modèle retrouve les quinze paramètres de génération, $R^2 = 0{,}853$ et $\hat\sigma = 0{,}083$ ; au sujet, le mètre carré habitable vaut \parmsq{2084}, l'échelon de qualité \dollars{40182}, la place de garage \dollars{21031}, le mois de marché \dollars{2319}.
++\item La prédiction en niveau exige la correction de retransformation de Duan ; le sujet est prédit à \dollars{637953}, dans un intervalle de prédiction à 95 \% de \dollars{539682} à \dollars{749087} dominé par le bruit de transaction, non par l'incertitude des coefficients.
++\item En évaluation de masse, la qualité se mesure par le COD (6,8 en validation croisée ici), le PRD et le PRB, à situer dans les plages de l'IAAO ; au Québec, la proportion médiane (95-105 \%) et l'écart-type relatif du règlement jouent ce rôle pour le rôle foncier.
++\item L'incertitude de spécification et d'échantillonnage d'un bon modèle est de l'ordre de deux à trois points de pourcentage ; elle est petite devant la dispersion des prix, et c'est cette dernière qui gouverne l'intervalle communiqué.
++\end{itemize}
++\end{synthese}
++
++\section*{Exercices}
++\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}
++
++\begin{exercice}[1]{Lire les coefficients d'un modèle semi-logarithmique}{ex:18:1}
++À partir du \cref{tab:18:resultats} : (a) interprétez le coefficient 0,539 de $\ln(S/140)$ ; (b) convertissez le coefficient 0,0324 du garage en effet en pourcentage par l'\cref{eq:18:hp} et comparez à $100\,\hat\beta$ ; (c) faites de même pour le secteur de Buckingham avec $\hat\beta = -0{,}250$ et une erreur-type de 0,072, puis appliquez la correction de Kennedy \eqref{eq:18:kennedy} ; (d) convertissez le coefficient mensuel 0,0036 en taux annuel composé.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[1]{Prix implicites en dollars au sujet}{ex:18:2}
++Le sujet est prédit à \dollars{638000} ; il a \msq{165} habitables et 28 ans. Avec $\hat\beta_{\ln S} = 0{,}539$, $\hat\beta_{\text{âge}} = -0{,}0051$, $\hat\beta_{\text{âge}^2/100} = 0{,}0026$ et $\hat\beta_{\text{piscine}} = 0{,}0263$ : (a) calculez le prix implicite marginal du mètre carré habitable ; (b) calculez l'ajustement exact pour \msq{10} de plus, $P[(175/165)^{0{,}539} - 1]$, et comparez-le à dix fois le prix marginal ; (c) calculez la dépréciation annuelle implicite à 28 ans puis à 60 ans, et l'âge auquel la dérivée s'annule ; (d) calculez la contribution d'une piscine.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Transformation de Box--Cox et comparaison des formes}{ex:18:3}
++(a) Calculez la transformation de Box--Cox \eqref{eq:18:boxcox} d'un prix de \dollars{500000} pour $\lambda = 1$, $\lambda = 0{,}5$ et $\lambda \to 0$. (b) Sur le cas 1, $\hat\lambda = 0{,}157$ avec un intervalle à 95 \% de $[-0{,}036 ; 0{,}353]$ : que concluez-vous quant aux formes linéaire et semi-logarithmique ? (c) Expliquez pourquoi le $R^2$ de 0,839 de la forme linéaire et celui de 0,853 de la semi-log (\cref{tab:18:variantes}) ne permettent pas, à eux seuls, de départager les deux formes, et quelle statistique du tableau le permet.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Retransformation et intervalle de prédiction}{ex:18:4}
++Pour le sujet du cas 1, $\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta} = 13{,}3627$, $\hat\sigma = 0{,}0830$, $\mathbf{x}_s\T\hat V\mathbf{x}_s = 0{,}00010$ et la moyenne des exponentielles des résidus vaut 1,0034. (a) Calculez la prédiction naïve $\exp(\mathbf{x}_s\T\hat{\boldsymbol\beta})$, la prédiction corrigée de Duan et la prédiction corrigée sous l'hypothèse log-normale. (b) Calculez l'écart-type de prédiction, la part de la variance due à l'estimation des coefficients et l'intervalle de prédiction à 95 \% \eqref{eq:18:intervalle}. (c) Que deviendrait la demi-largeur relative de l'intervalle si l'on disposait de dix fois plus de ventes ? Justifiez.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[2]{Étude de ratios}{ex:18:5}
++Dix ventes fictives et leurs valeurs estimées par un modèle de masse sont données ci-dessous (en dollars). Calculez les ratios, leur médiane, le COD \eqref{eq:18:cod} et le PRD \eqref{eq:18:prd} ; dites si le niveau et l'uniformité respectent les plages de l'IAAO du \cref{tab:18:ratios}, et indiquez, sans le calculer, le signe attendu du PRB.
++\begin{center}\small
++\begin{tabular}{lS[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]S[table-format=6.0]}
++\toprule
++Prix & 312000 & 358500 & 401000 & 445000 & 489500 & 532000 & 598000 & 655000 & 742000 & 895000 \\
++Valeur & 298000 & 329000 & 371000 & 405000 & 452000 & 478000 & 539000 & 576000 & 645000 & 752000 \\
++\bottomrule
++\end{tabular}
++\end{center}
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Variables omises}{ex:18:6}
++À l'aide de \texttt{analysis/python/cases/ch18\_hedonique.py}, estimez le modèle de référence sans les indicatrices de secteur et comparez les coefficients de la distance au centre et du terrain, $\hat\sigma$ et la prédiction du sujet à ceux du modèle complet. Expliquez chaque déplacement par l'\cref{eq:18:omission} en raisonnant sur le signe de la corrélation entre les secteurs omis et chaque régresseur. Que se passerait-il si l'on omettait plutôt la variable \emph{qualité} ? Vérifiez votre intuition dans le script.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Le second stade de Rosen et l'identification}{ex:18:7}
++Un ménage a l'utilité $U = \ln x + \alpha \ln S$, où $x$ est la consommation du bien composite et $S$ la superficie, et la contrainte $y = x + P(S)$, avec une fonction de prix log-log $P(S) = a S^{\beta}$. (a) Écrivez la condition de premier ordre \eqref{eq:18:rosen} et exprimez $\alpha$ en fonction du prix implicite $p_S = \partial P/\partial S$, de $S$ et de $x$. (b) Avec $\beta = 0{,}539$ et $P = \dollars{638000}$ pour $S = \msq{165}$, calculez $p_S$ à 120, 165 et \msq{220}. (c) Montrez que, dans un seul marché, la régression du prix implicite $p_S$ sur $S$ parmi les acheteurs observés ne renseigne que sur $\beta$ et non sur la distribution des $\alpha$, et expliquez pourquoi l'évaluateur n'en a pas besoin.
++\end{exercice}
++
++\begin{exercice}[3]{Indicatrices de période ou tendance ?}{ex:18:8}
++À l'aide du script du chapitre, extrayez l'indice trimestriel de la \cref{fig:18:indice} et la tendance du modèle de référence. (a) Calculez le taux mensuel et le taux annuel composé implicites du coefficient $\hat\beta_{\text{mois}}$. (b) Calculez l'écart absolu moyen et l'écart maximal, en pourcentage, entre les deux indices. (c) Le comparable G0404 du \cref{ch:16} s'est vendu \dollars{506500} 15,2 mois avant la date d'évaluation : calculez l'ajustement de conditions du marché par la tendance, puis par le rapport des indices trimestriels, et discutez lequel retenir au regard de la précision du dernier trimestre. (d) En quoi la question se pose-t-elle différemment pour un indice de prix publié (\cref{ch:35}) et pour un ajustement de grille ?
++\end{exercice}
++
++\section*{Pour aller plus loin}
++\addcontentsline{toc}{section}{Pour aller plus loin}
++
++L'article fondateur de \textcite{rosen1974} reste la lecture première, précédé de \textcite{lancaster1966} pour l'idée que l'utilité porte sur les caractéristiques ; \textcite{goodman1998} raconte la naissance de la méthode chez \textcite{court1939}. Les synthèses de \textcite{sheppard1999}, dans le \emph{Handbook of Regional and Urban Economics}, et de \textcite{malpezzi2003} couvrent la théorie, la spécification et les biais ; les recensions de \textcite{sirmansMacphersonZietz2005} et de \textcite{khoshnoudSirmansZietz2023} donnent les signes et magnitudes typiques de plus d'une centaine de variables. Sur la forme fonctionnelle, \textcite{boxCox1964} et surtout \textcite{cropperDeckMcconnell1988}, dont les simulations fondent la préférence pour les formes simples, et sur l'interprétation des indicatrices \textcite{halvorsenPalmquist1980} et \textcite{kennedy1981}. Les questions d'identification du second stade sont traitées par \textcite{epple1987}, \textcite{ekelandHeckmanNesheim2004} et \textcite{bajariBenkard2005} ; les bonnes pratiques contemporaines (effets fixes fins, formes flexibles, robustesse) par \textcite{kuminoffParmeterPope2010} et \textcite{bishop2020}. Pour l'inférence robuste et les erreurs en grappes, \textcite{wooldridge2010}. Les applications québécoises de l'équipe de l'Université Laval, \textcite{desrosiersTheriaultVilleneuve2000}, \textcite{desrosiersLaganaTheriault2001}, \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2002}, \textcite{theriaultDesrosiersVilleneuveKestens2003} et \textcite{desrosiersTheriaultKestensVilleneuve2007}, montrent ce qu'un modèle hédonique bien spécifié peut mesurer sur le marché de Québec, et \textcite{can1992} a ouvert la voie aux spécifications spatiales du \cref{ch:19}. Enfin, pour l'évaluation de masse, \textcite{gloudemans1999}, \textcite{gloudemansAlmy2011} et \textcite{mccluskey2013} complètent les normes de l'IAAO \parencite{iaaoratio2013,iaaomass2025,iaaoavm2018}.

added verification/chapters/ch05.md +42 −0

Large diff (42 lines) is not loaded by default to keep the page fast.Load diff

added verification/chapters/ch06.md +38 −0

Large diff (39 lines) is not loaded by default to keep the page fast.Load diff

spb/traite-evaluation-qc

Ch. 5 livré et validé (compilation isolée, tests, fusion des registres)

Theme